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1. SEMELHANÇA
DE
TRIÂNGULOS

2. Figuras semelhantes
Figuras semelhantes são aquelas que
apresentam a mesma forma, independente do
tamanho.
Exemplos:

3. Polígonos semelhantes
Polígonos semelhantes são aquelas que
apresentam ângulos correspondentes
congruentes e lados homólogos proporcionais.
Exemplos:

4. Triângulos semelhantes
Dois triângulos são semelhantes se
atenderem a duas condições:
1º) os ângulos correspondentes congruentes:

5. 2º) os lados homólogos são proporcionais.
a b c
a' b' c'

6. Exemplo:
3 2 5
9 6 15

7. Ângulos correspondentes
congruentes
Definição
Lados homólogos
proporcionias
Triângulos
semelhantes

8. Tente fazer sozinho
1) Verifique se os pares de triângulos abaixo são
semelhantes..

9. Tente fazer sozinho
1) Verifique se os pares de triângulos abaixo são
semelhantes.

10. Solução
São semelhantes
Não são semelhantes,
pois os ângulos
correspondentes não
são congruentes

11. Tente fazer sozinho
2) Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes,
calcule os valores de x e y.

12. Tente fazer sozinho
2) Sabendo que os triângulos abaixo são semelhantes,
calcule os valores de x e y.

13. Solução
12 18
12 x 9 y
9 18 27
y
x 24 2

14. Razão de semelhança
Razão de semelhança é a razão entre os
lados homólogos.
Exemplo:
Razão de
semelhança
3 2 5 1
9 6 15 3

15. A razão de semelhança entre dois triângulos
é a mesma para:
 Os lados correspondentes
 Os perímetros
 As alturas
 As medianas
 As bissetrizes

16. Exemplo:
3 2 5 1 PA 10 1
9 6 15 3
PB 30 3
PA 10 PB 30

17. Ângulos correspondentes
congruentes
Definição
Lados homólogos
proporcionias
Apresentam razão
característica
de semelhança
Triângulos
semelhantes

18. Tente fazer sozinho
4) Calcule os lados do triângulo NMP, sabendo
que seu perímetro é igual a 130.

19. Tente fazer sozinho
4) Calcule os lados do triângulo NMP, sabendo
que seu perímetro é igual a 130.

20. Solução
PABC 94 PNMP 130
94 48
MP 60
130 MP
94 20
PN 25
130 PN
94 36
MN 45
130 MN

21. Teorema Fundamental da
semelhança
Toda paralela a um lado de um triângulo e
que cruza os outros lados em dois pontos,
determina um triângulo semelhante ao primeiro.
OC1C ~ OB1B ~ OA1 A

22. Exemplo:
Determine os valores de x e y:
8 12
20 12 x
x 18
8 y
20 y 21
y 14

23. Tente fazer sozinho
5) Considere o triângulo ABC e determine as medidas
dos segmentos CE e CB , sabendo que AB e DE são
segmentos paralelos.

24. Tente fazer sozinho
5) Considere o triângulo ABC e determine as medidas
dos segmentos CE e CB , sabendo que AB e DE são
segmentos paralelos.

25. Solução
AB 12
Dados DE 9
EB 4
CE ?
O que se pede
CB ?

26. Solução
CD CE DE
CA CB AB
CE 9
CE 4 12
12CE 9CE 36
12CE 9CE 36 CB CE 4
3CE 36 CB 12 4
CE 12 CB 16

27. Tente fazer sozinho
6) (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5 FB,
a razão FG/DE vale:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 5/2
e) 7/2

28. Tente fazer sozinho
6) (Mackenzie 2003) Na figura, se AB = 5 AD = 5 FB,
a razão FG/DE vale:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 5/2
e) 7/2

29. Solução
FG 4x
DE x
FG
4
DE
Letra b

30. Propriedade
Se a paralela a um lado de triângulo intercepta
um dos lados no seu ponto médio, então ela
também intercepta o outro lado no ponto médio.
Exemplo:
M é o ponto médio de AB,
então N é o ponto médio de
AC.

31. Ângulos correspondentes
congruentes
Definição
Lados homólogos
proporcionias
Apresentam razão
característica
de semelhança
Triângulos
semelhantes Paralela a um lado que cruza
Teorema
os outros lados determina
Fundamental
dois triângulos semelhantes

32. Casos de semelhança
1º) LLL (Lado, Lado, Lado)
Três lados homólogos proporcionais.

33. 2º) LAL (Lado Ângulo Lado)
Dois lados homólogos proporcionais e os
ângulos formados por esses lados são
congruentes.

34. 3º) AA (Ângulo, Ângulo)
Dois ângulos correspondentes congruentes.

35. Ângulos correspondentes
congruentes
Definição
Lados homólogos
proporcionias
Apresentam razão
característica
de semelhança
Triângulos
semelhantes Paralela a um lado que cruza
Teorema
os outros lados determina
Fundamental
dois triângulos semelhantes
LLL
Casos de
LAL
semelhança
AA

36. Tente fazer sozinho
ˆ 40o ,
7) Se, num triângulo ABC, temos B
AB = 4cm e BC = 6cm e, num triângulo FDE,
ˆ
ocorre D 40o , DF=2cm e DE=3cm.
Qual o caso de congruência entre os triângulos
ABC e FDE?

37. Tente fazer sozinho
ˆ 40o ,
7) Se, num triângulo ABC, temos B
AB = 4cm e BC = 6cm e, num triângulo FDE,
ˆ
ocorre D 40o , DF=2cm e DE=3cm.
Qual o caso de semelhança entre os triângulos
ABC e FDE?

38. Solução
ˆ
B 40o
ˆ
D 40o
4
2 AB = 4cm
6 Dados
DF = 2cm
3 BC = 6cm
DE = 3cm
O que se pede: caso de congruência

39. Solução
4
B D
2
6
4 6
2
3 2 3
Logo, o caso de semelhança é LAL.

40. Tente fazer sozinho
7) (Unesp 2004) Um observador situado num
ponto O, localizado na margem de um rio,
precisa determinar sua distância até um ponto
P, localizado na outra margem, sem atravessar
o rio. Para isso marca, com estacas, outros
pontos do lado da margem em que se
Encontra,de tal forma que P, O e B estão
alinhados entre si e P, A e C também.

41. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m,
BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura.
A distância, em metros, do observador em O
até o ponto P, é:
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50

42. Tente fazer sozinho
7) (Unesp 2004) Um observador situado num
ponto O, localizado na margem de um rio,
precisa determinar sua distância até um ponto
P, localizado na outra margem, sem atravessar
o rio. Para isso marca, com estacas, outros
pontos do lado da margem em que se
Encontra,de tal forma que P, O e B estão
alinhados entre si e P, A e C também.

43. Além disso, OA é paralelo a BC, OA = 25 m,
BC = 40 m e OB = 30 m, conforme figura.
A distância, em metros, do observador em O
até o ponto P, é:
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50

44. Solução
25 x
40 30 x
5 25 x
8 40 30 x
8 x 150 5 x
3 x 150
x 50 LetraE

45. Bibliografia
 IEZZI, Gelson et al. Matemática:Ciência e
Aplicações. 4ed. SP:Atual Editora, 2006.
 Klick Educação, site:
http://www.klickeducacao.com.br/materia/20
/display/0,5912,POR-20-92-963-,00.html
 Bianchini, Edwaldo: Matemática, Editora
Moderna, 6ª edição, 2006.