Semelhança de triângulos

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Semelhança de triângulos

  1. 1. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 1. INTRODUÇÃO: ⇒ A palavra semelhante significa: ☞ Observe os triângulos ABC e RST da figura: R A 6cm 7cm 3cm 3,5cm B 4cm C S 8cm T ☎ Comparando esses dois triângulos, dá para percebermos que eles têm a mesma forma, sendo um deles uma ampliação ou uma redução do outro. Em geometria, dizemos que eles são triângulos semelhantes. Assim: ☞ Dois triângulos são semelhantes quando têm: ♣ Os ângulos respectivamente congruentes; ♣ Os lados correspondentes (são os lados opostos ao mesmo ângulo) proporcionais; ☞ A razão de semelhança do menor triângulo para o maior é: ou seja (Razão de semelhança) ☞ Se a razão de semelhança de dois triângulos é igual a 1, os triângulos são congruentes. Exemplo 1: Determine x e y, sabendo-se que os triângulos são semelhantes . R A 6 y 3 4 B 5 C S x T Solução: ⇒ Os triângulos são semelhantes: 2. TEOREMA FUNDAMENTAL DA SEMELHANÇA: ⇒ Se uma reta paralela a um dos lados de um triângulo intercepta os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro. A D E B C ☞ Como é paralelo a , temos: ☞ Portanto, os triângulos ADE e ABC são semelhantes, o que implica:        .,, formamesmaatêmsejaouforma arelaçãoemparecidogeometriaem parecidogeralem       RTaparaleloéAC STaparaleloéBC RSaparaleloéAB 7 5,3 8 4 6 3  2 1 8 3 24 243 3 6 4 10 3 30 303 3 6 5   yyy y xxx x DE BC                   entescorrespondCE entescorrespondBD comumAA
  2. 2. Exemplo 1: Na figura, temos . Qual o valor de x. A x 12 D E B C y Solução: ⇒ Cálculo de x: ⇒ Cálculo de y: 3. CASO PARTICULAR DE SEMELHANÇA: ⇒ Se dois triângulos possuem dois ângulos correspondentes congruentes, então eles são semelhantes. A R B C S T Os terceiros ângulos semelhante Serão obrigatoriamente congruentes Então: Dois ângulos congruentes Triângulos semelhantes Lados proporcionais Exemplo 1: Calcular x: D 6 A 4 E C x 3 B Solução: ☞ Temos que: EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. (FRANCO) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta. Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa. Resp: 20, 5 metros 2. (FRANCO) Um edifício projeta uma sombra de 30 m, ao mesmo tempo que um poste de 12 m projeta uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício e o poste são perpendiculares ao solo ? Resp: 90 m 3. (FRANCO) Calcule o valor de x. a) AC AE BC DE AB AD  BCDE //     8 6 48 486 481218184812 612.4.12 12 6124       xxx xxxx xx x x 24 12 288 1618.12 1612 612    yy y y RSTABCSBeRA       EDCABC retoEA vpoCC          .. 8243 4 6 3  xx x
  3. 3. 16 x 3 3 3 3 Resp: 8 b) 6 x x 8 Resp: T E S T E S 1. (FRANCO) Os lados de um triângulo medem, respectivamente, 7,9 e 14dm. Qual é o perímetro do triângulo semelhante ao dado cujo lado maior é de 21dm? a) 45dm b) 55dm c) 60dm d) 75dm 2. (FRANCO) Na figura ao lado, os triângulos são semelhantes. Então, o valor de x é: A a) 8 b) 10 c) 12 D d) 16 15 18 10 x B E F C 3. (FRANCO) Na figura ao lado os segmentos e são paralelos. Quanto mede o segmento ? B a) 136 b) 163 D c) 204 136 d) 306 50 A C 75 E 4. (FRANCO) Seja paralelo a . Qual o valor de ? B a) 2 E b) 3 15 c) 4 d) 5 4 A C D 12 5. (FRANCO) Seja paralelo a . Então, o lado mede: A a) 4 4 b) 6 10 E c) 8 D d) 12 B 20 C 6. (FRANCO) Na figura ao lado, . Então, o valor de x é: B a) 3 x b) 6 c) 9 D d) 4, 5 3 C A 12 4 7. (FRANCO) Na figura ao lado, o valor de x é: a) 12 b) 16 c) 18 4 8 d) 12,5 x 2 3 8. (FRANCO) O perímetro do triângulo ABC é: A a) 13,25m b) 14,50m 3m 3,5m c) 14,55m d) 15,75m M N 7 24 AB CD AE EC AB EC DE BC DE CDAB //
  4. 4. 4m 1,5m B C 9. (FRANCO) A medida, em metros, do segmento da figura abaixo é : C a) 4 3 b) 6 A 4 2 c) 8 B d) 10 D 10. (FRANCO) Na figura abaixo, , e . Se , a soma em centímetros é igual a: a) 8 D E b) 10 c) 8,5 C d) 9,5 A B 11. (FRANCO) Na figura abaixo a medida de x vale: A a) 11,25 10 b) 11,75 c) 12,25 15 d) 12,75 15 x B C 20 12. (FRANCO) Dada a figura, sendo o segmento PQ paralelo ao segmento AB e a medida do segmento AC igual a 16, calcular x e y. A a) e x b) e Q c) e y d) e 3 5 B P C 13. (FRANCO) A sombra de uma árvore mede 4,5m. À mesma hora, a sombra de um bastão de 0,6m, mantido na vertical, mede 0,4m. A altura da árvore é: a) 3m b) 5m c) 4,8m d) 6,75m 14. (FRANCO) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chão plano, mede 12m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão vertical de 1m de altura mede 0,6m. A altura do poste é: a) 12m b) 20m c) 72m d) 7,2m 15. (FRANCO) Certa noite, uma moça de 1,50m de altura estava a 2m de distância de um poste de 4m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de: a) 1,20m b) 1,80m c) 2,40m d) 3,20m G A B A R I T O 1. A 6. C 11. A 2. C 7. C 12. A 3. C 8. D 13. D 4. D 9. B 14. B 5. C 10. C 15. A AD cmAC 4 cmCE 3 cmBC 5 DEAB // ABDC  6x 10y 2x 5y 3x 5y 7x 9y

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