Estatística teorema do limite central (aula 3)

1. 0
Associação Diocesana de Ensino e Cultura de Caruaru
FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE CARUARU
Reconhecida pelo Decreto 6399 de 15.01.69 D.O. 17-01-69
CURSO: ADMINISTRAÇÃO
Prof. Wellington Marinho Falcão
AULA 3

2. 1
TEOREMA DO LIMITE CENTRAL
Temos uma urna com uma bola nº 1, duas bolas nº 2, três bolas
nº 3, duas bolas nº 4 e uma bola nº 5.
Sua distribuição de probabilidade tomaria a seguinte forma:
Tiremos do conjunto universo acima todas as amostras possíveis
de 2 elementos. As amostras serão retiradas com reposição e
tiremos as médias destas amostras.
1 2 2 3 3 3 4 4 5
1 1 1,5 1,5 2 2 2 2,5 2,5 3
2 1,5 2 2 2,5 2,5 2,5 3 3 3,5
2 1,5 2 2 2,5 2,5 2,5 3 3 3,5
3 2 2,5 2,5 3 3 3 3,5 3,5 4
3 2 2,5 2,5 3 3 3 3,5 3,5 4
3 2 2,5 2,5 3 3 3 3,5 3,5 4
4 2,5 3 3 3,5 3,5 3,5 4 4 4,5
4 2,5 3 3 3,5 3,5 3,5 4 4 4,5
5 3 3,5 3,5 4 4 4 4,5 4,5 5
FIG.2

3. 2
O conjunto de valores 1, 2, 3, 4 e 5 (as bolas da urna) forma o
conjunto universo cuja distribuição se vê na FIG.1.
O que fizemos para a FIG.2 foi construir uma nova distribuição
com as 81 médias amostrais de tamanho n = 2, ou seja, é posível
se retirar com reposição 81 amostras de 2 elementos do conjunto
universo da FIG.1. Esta nova distribuição se chama distribuição das
médias amostrais.
Para a população
N = 9
X = {1,2,3,4,5}
A média µ será calculada da seguinte forma:
Xi fi Xifi
1 1 1 µ =
2 2 4
3 3 9
4 2 8
5 1 5
Média µ = 3
E o desvio padrão σ para o conjunto universo ?
σ =
9=∑ fi
∑ = 27fixi
3
9
27
==
∑
∑
fi
xifi
2
²








−
∑∑
N
fixi
N
fixi

4. 3
Xi² fi fiXi
2
1 1 1 σ=
4 2 8
9 3 27
16 2 32
25 1 25
Agora calculemos a média e o desvio padrão para a
distribuição das médias amostrais.
Xi fi Xifi Xi² Xi²fi
1 1 1 1 1
1,5 4 6 2,25 9
2 10 20 4 40
2,5 16 40 6,25 100
3 19 57 9 171
3,5 16 56 12,25 196
4 10 40 16 160
4,5 4 18 20,25 81
5 1 5 25 25
=
Perceba que a média da distribuição das médias amostrais é
igual à média da distribuição do conjunto universo: µ =
∑ = 93²fixi
15,133,1
9
27
9
93
2
==





−
∑ = 81fi
∑ = 243fixi
∑ = 783² fixi
3
81
243
==
∑
∑
fi
xifi
X
µ
X
µ
X
σX
µ

5. 4
=
Observe que se fizermos ,onde n é o tamanho da amostra,
teremos:
Pelo Teorema do Limite Central a distribuição das médias
amostrais de amostras de tamanho n tem média igual à do conjunto
universo e desvio padrão igual ao desvio padrão do conjunto
universo dividido pela raiz quadrada do tamanho das amostras.
A distribuição das médias amostrais tomaria a seguinte forma:
FIG.3
Perceba a forma de sino acima (se ligarmos os pontos). Neste
teorema a distribuição das média amostrais será normal mesmo
que a distribuição do conjunto universo não o seja.
81,0
81
243
81
783
2
=





−
n
σ
81,0
2
15,1
==
n
σ ,ou seja,
n
X
σ
σ =
X
σ

6. BIBLIOGRAFIA
Introdução Ilustrada à Estatística – autor: Sérgio Francisco Costa – Editora Harbra
Estatística e Introdução à Econometria – autor: Alexandre Sartoris – Editora Saraiva
Estatística Aplicada à Gestão Empresarial – autor: Adriano Leal Bruni – Editora Atlas
Estatística Fácil – autor Antônio Arnot Crespo – Editora Saraiva