Estatística básica, medidas de centralidade

1. Estatística Básica
AULA Nº. 1
Medidas de
Centralização
Professor: Fábio Mendes

2. Definições Importantes
• Noções de Estatística
• Podemos entender a Estatística como sendo
o método de estudo de comportamento
coletivo, cujas conclusões são traduzidas
em resultados numéricos. Podemos,
intuitivamente, dizer que:
• Estatística é uma forma de traduzir o
comportamento coletivo em números.

3. Universo Estatístico ou População
Estatística
• Conjunto formado por todos os elementos que
possam oferecer dados pertinentes ao assunto em
questão.
• Exemplo 1: Um partido político quer saber a
tendência do eleitorado quanto a preferência entre
dois candidatos à Presidência da República. O
Universo Estatístico é o conjunto de todos
os eleitores brasileiros.

4. AMOSTRA
• É um subconjunto da população estatística.
• Quando o Universo Estatístico é muito
vasto ou quando não é possível coletar
dados de todos os seus elementos, retira-se
desse universo um subconjunto chamado
amostra. Os dados são coletados dessa
amostra .

5. Exemplo 2
• “Numa pesquisa para saber a intenção de votos
para presidente da república, foram ouvidas 400
pessoas...”
• Esse grupo de 400 pessoas é uma amostra.
• Cada pessoa ouvida nessa pesquisa é uma
unidade estatística.
• Cada informação numérica obtida nessa pesquisa é
um dado estatístico.

6. ROL
• É toda seqüência de dados numéricos colocados
em ordem não decrescente ou não crescente.
• Exemplo 3: Os 5 alunos de uma amostra
apresentam as seguintes notas de matemática:
• 6; 4; 8; 7; 8
• O rol desses resultados é :
• (4; 6; 7; 8; 8 ) ou (8; 8; 7; 6; 4 ).

7. Frequências
• Frequência absoluta(F):
• É o número de vezes que um determinado
valor é observado na amostra.
• Frequência total(Ft):
• É a soma de todas as frequências absolutas.

8. Frequência Relativa(Fr)
%100FouF:quocienteoÉ rr 
tt F
F
F
F

9. Exemplo 3
• Numa turma foram registradas as idades de
todos os 25 alunos. Qual a freqüência
absoluta e a freqüência relativa do número
de alunos de 14 anos:

10. 5 2 2 3 4
3 3 3 1 2
4 4 2 3 8
6 1 24 9 5
1 13 1 3 1
4

11. Irmãos Frequência
absoluta
Frequência
Relativa
1 5 5/26=0,1923=1
9,23%
2 4 4/26=0,1538=
3 6
4 4
5 2
6 1
8 1
9 1
13 1
24 1

12. • Resposta: F = 5 e Fr = 20%

13. Medidas de Centralização
• Média Aritmética Simples: Considere a
seguinte situação:
• A tabela a seguir mostra as notas de
matemática de um aluno em um
determinado ano:

14. Bimestre Nota
1º Bimestre 3,5
2º Bimestre 7,5
3º Bimestre 9,0
4º Bimestre 6,0

15. A média aritmética dessas notas é
dada por:
5,6
4
26
4
695,75,3


x

16. • Obs.: Ter média 6,5 significa dizer que,
apesar de ele ter obtido notas mais altas ou
mais baixas em outros bimestres, a soma
das notas (26) é a mesma que ele alcançaria
se tivesse obtido nota 6,5 em todos os
bimestres.

17. Média Aritmética Ponderada
• Suponha que, em cada bimestre, os “pesos”
sejam:
• 1º bimestre: Peso 1
• 2º bimestre: Peso 2
• 3º bimestre: peso 3
• 4º bimestre: peso 4

18. Logo, a média aritmética ponderada é:
95,6
4321
463925,715,3



pM

19. Note que se as notas ocorressem de
forma invertida, ou seja,
Bimestre Nota
1º Bimestre 6,0
2º Bimestre 9,0
3º Bimestre 7,5
4º Bimestre 3,5

20. A média ponderada seria:
05,6
4321
45,335,72916



pM
anterior.médiaaquemenorseja,ou
maiores.pesostem
provasúltimasasporqueocorreIsso

21. • Analisando as situações anteriores de
maneira bem simples, é como se toda
avaliação durante o ano tivesse nota
máxima 10,0. Desse total, o 1º bimestre vale
1,0; o 2º bimestre vale 2,0; o 3º bimestre
vale 3,0 e o 4º bimestre vale 4,0.

22. Considere agora, a seguinte situação:
• Cinco baldes contêm 4 litros de água cada
um, três outros 2 litros de água, cada um e,
ainda, dois outros contém 5 litros de água,
cada um. Se toda essa água fosse distribuída
igualmente em cada um dos baldes, com
quantos litros ficaria cada um?

23. Solução:
• A quantidade de litros que ficaria em cada
balde é a média aritmética ponderada:
l
lll
xp 6,3
235
2.53254





24. Resp: Cada balde teria 3,6 litros de água.
• Ou seja, a quantidade, em litros, de água em
cada balde é chamada de média ponderada
dos valores 4 litros, 2 litros e 5 litros, com
pesos 5; 3 e 2.
• Resumindo o “peso” é o número de vezes
que o valor se repete.

25. Situação 1
Os salários de 5 pessoas que trabalham em uma empresa são:
R$700,00 ; R$800,00 ; R$900,00 ; R$1.000,00 e R$5.600,00. O salário
médio dessas 5 pessoas é:
•1) Considere as seguintes situações:

26. 00,800.1
5
000.9
5
600.5000.1900800700



x

27. Parece lógico que, neste caso, a média aritmética não é a melhor
medida de centralização para representar esse conjunto de dados,
pois a maioria dos salários é bem menor que R$1.800,00. Em algumas
situações a mediana é um número mais representativo. A mediana é o
termo central do rol*. Logo, escrevendo o rol* dos dados numéricos
dessa situação, temos:
(700; 800; 900; 1000; 5600)
Logo, o termo central desse rol* é “900”. Então a mediana é igual a
900.
(Rol: É toda seqüência de dados numéricos colocados em ordem crescente(ou não
decrescente) ou decrescente(ou não crescente))

28. Situação 2:
Se acrescentarmos à lista o salário de R$1.000,00 de outro
funcionário, ficaríamos com um número par de dados numéricos:
(700; 800; 900;1000;1000; 5600)
Nesse caso, a mediana seria a média aritmética dos termos centrais:
Logo a mediana é dada por:
00,950
2
1000900


mediana

29. Podemos interpretar esse resultado da seguinte maneira:
Metade dos funcionários ganha menos de R$950,00 e a outra metade
mais de R$950,00.

30. Note que a média aritmética desses valores é:

31. 66,666.1
6
000.10
6
600.5000.1000.1900800700



x

32. ou seja, bem superior ao salário da maioria dos funcionários.

33. Generalizando:
Se n é ímpar, a mediana é o termo central do rol.
Se n é par, a mediana é a média aritmética dos termos centrais do rol

34. MODA
Definição: Em uma amostra cujas freqüências dos elementos não são
todas iguais, chama-se moda, que se indica por , todo elemento de
maior freqüência possível.
EX: Na lista de salários do exemplo anterior:
(700; 800; 900;1000;1000; 5600)
O salário que aparece com maior frequência é o de R$1.000,00. Logo a
Moda=R$1.000,00 ou o
“salário modal” é de R$1.000,00.
oM

35. Resumindo:
Na sequência de salários:
(700; 800; 900;1000;1000; 5600)
temos:
Salário médio:
Salário mediano=
Salário Modal = R$1.000,00
66,666.1
6
000.10
6
600.5000.1000.1900800700



x
00,950
2
1000900




36. Observações importantes sobre moda:
 Na amostra (3; 3; 4; 7; 7; 7; 9) a moda é

Na amostra (1;5; 7; 9; 9; 10; 10; 22)
Aqui temos duas modas:
e
( amostra bimodal)
 Na amostra (1; 3; 5; 7; 9) não apresenta moda, pois todos os
elementos tem a mesma frequência.
7oM
9oM 10oM

37. 2) Os salários dos funcionários de uma empresa estão distribuídos na
tabela abaixo:
Salário Frequência
R$400,00 5
R$600,00 2
R$1.000,00 2
R$5.000,00 1
O salário médio, o salário mediano e o salário modal são,
respectivamente:
A) R$1750,00; R$500,00 e R$500,00
B) R$1020,00; R$400,00 e R$500,00
C) R$1750,00; R$500,00 e R$400,00
D) R$1020,00; R$800,00 e R$400,00
E) R$1020,00; R$500,00 e R$400,00

38. OPÇÃO E

39. 3) ENEM 2009 – Prova cancelada

40. OPÇÃO B

41. 4)ENEM 2009(Prova Cancelada)

42. OPÇÃO C

43. 5) ENEM 2009(Cancelado)

44. Solução:
Média 4 : 4 alunos
Média 5 :10 alunos
Média 6 : 18 alunos
Média 7 : 16 alunos
Média 8 : 2 alunos
Total de alunos: 50 alunos
Alunos com média maior ou igual a 6 :
18+16+2 = 36 alunos
Percentual de aprovados:
%72%100
50
36


45. OPÇÃO E

46. 6) ENEM 2009(Cancelado)

47. Solução:
100 kg de milho 1000 litros/kg = 100.000 litros
100 kg de trigo 1500 litros/kg = 150.000 litros
100 kg de arroz 2500 litros/kg = 250.000 litros
100 kg de c.de.p 5000 litros/kg = 500.000 litros
600 kg de c.de.boi 17000 litros/kg=10.200.000 litros
Total de litros de água = 11.200.000 litros
Total de kg de alimentos = 1000 kg
Quantidade média de água por kg:
Opção B





kglitros
kg
litros
/200.11
1000
000.200.11


48. 7)
A tabela traz as idades, em anos, dos filhos de 5 mães.
Mãe Ana Márcia Cláudia Lúcia Heloísa
Idade
dos
filhos
7; 10;
12
11; 15 8; 10;
12
12; 14 9; 12;
15; 16;
18
A idade modal desses 15 filhos é inferior à idade média dos filhos de
Heloísa em ____ ano(s).
a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

49. Solução:
Ida
de
7 8 9 10 11 12 14 15 16 18
Fre
q.
1 1 1 2 1 4 1 2 1 1
Logo idade modal = 12 anos

50. Média dos filhos de Heloísa:
= = = anos
Logo é inferior em 14 – 12 = 2 anos
OPÇÃO C
5
181615129 
x
5
70 14

51. 8) ENEM CANCELADO

52. Cidades da Região Norte:
Belém(PA):2º
Boa Vista(RR): 1º
Macapá(AP): 1º
Manaus(AM): 2º
Palmas(TO): 1º
Porto Velho(RO):2º
Rio Branco(AC): 1º.

53. Frequência relativa = %8,42%100
7
3


54. OPÇÃO A

55. 9) ENEM Cancelado

56. Solução:
523 milhões/12 meses = 43,58... milhões por mês.
43,58... milhões por mês/ 180 mil trabalhadores=



3
6
10180
1058,43



4
6
1018
1058,43

18
4358
00,242

57. OPÇÃO: B

58. ENEM 2010

59. ENEM 2010

60. A)6
B)6,5
C) 7
D) 7,3
E) 8,5

61. OPÇÃO:
B

62. ENEM 2009

64. • OPÇÃO: D