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  1. 1. Notas de aula para o curso de F´ ısica 3 Fernando T. Brandt (professor), Alessandro M. Marques, Bertha M. Cuadros-Melgar, Edgar R. R. Sanabria, Luciano B. de Lemos e Manuel A. Espinoza (monitores) 27 de setembro de 2000 1 Primeira aula 1.1 Intera¸oes fundamentais da natureza c˜ As intera¸oes entre os constituintes mais elementares da mat´ria, conhecidos c˜ e at´ o presente, podem ser classificadas em 4 tipos (em ordem crescente da e intensidade da intera¸ao) c˜ • Gravitacional • Nuclear fraca • Eletromagn´tica e • Nuclear forte As intera¸oes nucleares operam somente na escala microsc´pica (nuclear c˜ o e sub-nuclear), decaindo muito rapidamente para grandes distˆncias. Fe- a nˆmenos macrosc´picos no dom´ o o ınio da f´ısica cl´ssica, podem ser estudados a levando-se em conta somente as intera¸oes gravitacional e eletromagn´tica. c˜ e Embora estas duas intera¸oes possuam certas semelhan¸as qualitativas for- c˜ c mais, do ponto de vista quantitativo elas diferem em v´rias ordens de gran- a deza. De fato, considerando a intera¸ao entre, por exemplo, dois el´trons, c˜ e Atra¸ao gravitacional c˜ 1 = . Repuls˜o el´trica a e 4, 17 × 1042 1
  2. 2. + + - - + - Figura 1: Tipos de cargas Apesar desta gigantesca diferen¸a, os efeitos da intera¸ao gravitacional c c˜ nos parecem mais percept´ ıveis do que a intera¸ao eletromagn´tica. Isto ocorre c˜ e porque a for¸a el´trica pode ser tanto atrativa como repulsiva. J´ a gravita¸ao c e a c˜ atua em todos os corpos materiais (na verdade, em qualquer forma de energia) sempre de maneira atrativa. Entretanto, este mascaramento da intera¸ao c˜ eletromagn´tica, relativamente a gravitacional, desaparece totalmente (na e ` verdade ele se inverte) quando consideramos efeitos n˜o est´ticos, como a a a intera¸ao da mat´ria com ondas eletromagn´ticas. c˜ e e 1.2 Carga el´trica e A existˆncia de atra¸ao e repuls˜o foi descrita pela primeira vez em ter- e c˜ a mos de cargas el´tricas por Charles Fran¸ois de Cisternay du Fay em 1773. e c Investigando-se a eletriza¸ao por atrito concluiu-se que existem dois tipos de c˜ carga: carga positiva e carga negativa, como mostra a figura 1. 1.2.1 Conserva¸˜o da carga ca Normalmente um corpo ´ neutro por ter quantidades iguais de cargas positi- e vas e negativas. Quando o objeto I transfere carga de um dado sinal para o objeto II, o objeto I fica carregado com carga de mesmo valor absoluto, mas de sinal contr´rio. Esta hip´tese, formulada pela primeira vez por Benjamin a o Franklin, ´ considerada a primeira formula¸ao da lei de conserva¸ao de carga e c˜ c˜ el´trica. e 2
  3. 3. 1.2.2 Quantiza¸˜o da carga ca Em diversos problemas que ser˜o abordados neste curso, assumiremos a a existˆncia de cargas distribu´ e ıdas continuamente no espa¸o, do mesmo modo c como ocorre com a massa de um corpo. Isto pode ser considerado somente uma boa aproxima¸ao para diversos problemas macrosc´picos. De fato, sa- c˜ o bemos que todos os objetos diretamente observados na natureza possuem cargas que s˜o m´ ltiplos inteiros da carga do el´tron a u e e = 1, 602177 × 10−19 C, onde a unidade de carga C, o coulomb, ser´ definida mais adiante. Este fato a experimental foi observado pela primeira vez por Millikan em 1909. 1.3 A Lei de Coulomb A primeira constata¸ao de que a intera¸ao entre cargas el´tricas obedece a c˜ c˜ e ` lei de for¸a c 1 F ∝ 2, (1) r onde r ´ a distˆncia entre as cargas e F ´ o m´dulo da for¸a, foi feita por e a e o c Priestley em 1766. Priestley observou que um recipiente met´lico carregado, a n˜o possui cargas na superf´ interna, 1 , n˜o exercendo for¸as sobre uma a ıcie a c carga colocada dentro dele. A partir deste fato experimental, pode-se dedu- zir matematicamente a validade de (1) O mesmo tipo de dedu¸ao pode ser c˜ feita na gravita¸ao, para mostrar que dentro de uma cavidade n˜o h´ for¸a c˜ a a c gravitacional. Medidas diretas da lei (1) foram realizadas em 1785 por Coulomb, utili- zando um aparato denominado balan¸a de tor¸ao. Medidas modernas mos- c c˜ tram que supondo uma lei dada por 1 F ∝ , (2) r 2+ ent˜o | | < 3 × 10−16 [6]. a O resultado completo obtido por Coulomb pode ser expresso como q1 q2 F2 1 = k r12 , ˆ (r12 )2 3
  4. 4. F 12 r F21 12 q1 q2 r 12 Figura 2: For¸a entre duas cargas c onde a nota¸ao est´ explicada na figura 2. Um outro fato experimental ´ a c˜ a e validade da terceira lei de Newton, F2 1 = − F1 2 . 1.3.1 Sistema de unidades No sistema MKSA a carga el´trica ´ medida em unidades de coulomb (C) e e e a constante de Coulomb k ´ dada por e k = 8, 9875 × 109 N · m2 /C 2 ´ E conveniente definir tamb´m a constante de permissividade do v´cuo, 0 e a dada por 1 0 = (3) 4πk A unidade de carga C ´ definida em termos da unidade de corrente, o amp`re, e e A; em um segundo, a quantidade de carga que atravessa uma se¸ao transversal c˜ de um fio, por onde flui uma corrente de 1 A ´ 1 C. e 1.4 Princ´ ıpio de superposi¸˜o ca Em situa¸oes mais gerais, quanto existem mais de duas cargas no v´cuo, a c˜ a experiˆncia mostra que vale o princ´pio de superposi¸ao, ou seja, a for¸a sobre e ı c˜ c cada carga ´ a soma vetorial das suas intera¸oes com cada uma das outras e c˜ cargas. Portanto, qj Fi = Fi j = kqi r , ˆ 2 ji (4) j=i j=i (rji ) 1´ E por esta raz˜o que as pessoas dentro de um avi˜o que atravessa uma tempestade, a a n˜o morrem eletrocutadas! a 4
  5. 5. 1.5 O Campo Consideremos a equa¸ao (4) aplicada a for¸a sentida por uma carga q 0 , devida c˜ ` c a N cargas q1 · · · qN ` N qj F = q0 k r, ˆ 2 j (5) j=1 (rj ) onde rj ´ a distˆncia desde a carga qj at´ o ponto do espa¸o onde se encontra e a e c a carga q0 e rj ´ o vetor unit´rio apontando na dire¸ao da linha que une ˆ e a c˜ as cargas qj e q0 , no sentido de qj para q0 . Esta equa¸ao pode ser escrita c˜ formalmente como N F = q0 Ej = q0 E, (6) j=1 onde N N qj E= Ej = k r. ˆ 2 j j=1 j=1 (rj ) A grandeza E ´ denominada campo el´trico e est´ definida em todos os pontos e e a do espa¸o. Para que possamos observar, ou seja, medir, o campo el´trico E, c e ´ preciso posicionar uma carga em um determinado ponto do espa¸o, medir e c a for¸a sentida por esta carga e calcular a raz˜o c a F . q0 Estamos supondo uma situa¸ao idealizada, onde a carga q0 n˜o altera o c˜ a campo produzido pelas outras cargas. A id´ia de se introduzir campos na f´ e ısica constitui um passo importante para uma descri¸ao onde as intera¸oes s˜o entendidas sem a introdu¸ao de c˜ c˜ a c˜ a¸ao a distˆncia. Na presente descri¸ao, a intera¸ao entre duas cargas se d´ c˜ ` a c˜ c˜ a em duas etapas. Primeiro a carga q1 cria o campo E, e em seguida, a carga q2 interage com o campo E. Este detalhamento, que por enquanto parece um luxo desnecess´rio, ´ de fundamental importˆncia em problemas dependentes a e a do tempo, tendo em vista que os sinais eletromagn´ticos propagam-se, no e v´cuo, com a velocidade da luz a c = 2, 99792458 × 108 m/s 5
  6. 6. E1 y E P E2 r θ θ + x q1 q2 2a Figura 3: Dipolo el´trico e 1.6 Campo de um dipolo Um dos exemplos mais simples do campo el´trico de mais de uma carga ´ o e e caso do chamado dipolo el´trico, mostrado na figura 3. e Um dipolo el´trico nada mais ´ do que duas cargas de sinais opostos e e separadas por uma certa distˆncia, que aqui vale 2a. Supondo que as duas a cargas se encontram sobre o eixo x, ambas a uma distˆncia a da origem, ` a vamos calcular o campo el´trico devido a elas em um ponto que se encontra e ` sobre o eixo y. Supondo tamb´m que as duas cargas tenham m´dulos iguais, e o |q1 | = |q2 | = q ent˜o a q |E 1 | = | E 2 | = k 2 . r Note que, devido a geometria do problema e a condi¸ao acima, as componen- ` ` c˜ tes y de E1 e E2 s˜o iguais em m´dulo mas com sentidos opostos e portanto a o a componente y da resultante E1 + E2 ´ nula. A componente x ´ dada por e e q a 2kaq 2kaq E1x + E2x = |E1 | cos θ + |E2 | cos θ = 2k = 3 = r 2r r (y 2 + a2 )3/2 Uma situa¸ao de especial interesse ´ quando a separa¸ao entre as cargas ´ c˜ e c˜ e 6
  7. 7. ∆q i ^ ri P ∆Ei Figura 4: Distribuic˜o continua de carga a muito menor que a distˆncia at´ o ponto de observa¸ao P a e c˜ y a. Neste caso, podemos desprezar a no denominador da equa¸ao anterior, ob- c˜ tendo p E1x + E2x = k 3 , y na qual p ≡ 2qa (7) ´ o chamado momento de dipolo. e Situa¸oes de interesse f´sico e tecnol´gico onde aparece o momento de c˜ ı o dipolo ocorrem tanto em sistemas atˆmicos como em antenas. o 2 Segunda aula 2.1 Campo de uma distribui¸˜o cont´ ca ınua de cargas Em v´rias situa¸oes de interesse pr´tico, podemos desprezar a granularidade a c˜ a da carga el´trica e calcular o campo el´trico, assumindo a continuidade da e e distribui¸ao. Este procedimento envolve os seguintes passos: c˜ • Dividimos o volume em peda¸os ∆Vi , cada um possuindo carga ∆qi , c conforme a figura 4. 7
  8. 8. • Calculamos o campo el´trico produzido por ∆qi no ponto P , e ∆qi ∆E i = k ri ˆ (ri )2 • Usamos o princ´ ıpio de superposi¸ao para calcular o campo total em P c˜ ∆qi E = lim ∆Ei = k lim ri ˆ ∆qi →0 i ∆qi →0 i (ri )2 Ap´s tomarmos o limite indicado nas express˜es acima, obtemos a se- o o guinte express˜o para o campo a dq E=k r, ˆ V r2 onde V denota a regi˜o onde a distribui¸ao de cargas ´ n˜o nula. a c˜ e a ´ conveniente distinguirmos os seguintes tipos de distribui¸oes de cargas: E c˜ dq • Carga distribu´ em um volume V com densidade ρ = ıda dV . dq • Carga distribu´ em uma superf´ A com densidade σ = ıda ıcie dA dq • Carga distribu´ em ao longo de uma linha l com densidade λ = ıda dl . Veremos a seguir alguns exemplos simples de distribui¸oes cont´ c˜ ınuas. 2.2 Campo de um bast˜o carregado a Consideremos um bast˜o de comprimento l possuindo carga Q, positiva, a uniformemente distribu´da. Vamos calcular o campo el´trico em um ponto ı e P , localizado a uma distˆncia d da extremidade esquerda do bast˜o, como a a mostra a figura 5. O elemento de comprimento dx possui carga Q dq = λdx; λ= . l Cada elemento de carga dq produz um campo el´trico em P , apontando e sempre no sentido negativo do eixo x. De acordo com a lei de Coulomb, dq dx dE = −ˆ 2 = −ˆ ik ikλ 2 , x x 8
  9. 9. y l P   ¡   ¤ ¥   ¡ ¢ ¤ ¥ ¢£ ¢£ ¢£ ¢£ x E ¦ § ¦ § dx d Figura 5: Bast˜o carregado a onde ˆ ´ o versor na dire¸ao x. O campo el´trico total em P ´ dado pela i e c˜ e e superposi¸ao dos campos infinitesimais c˜ d+l dx 1 1 kQ E = −ˆ i dE = ˆ ikλ 2 = −ˆ ikλ − = −ˆ i d x d d+l d (d + l) Note que para d l Q |E| ≈ k , d2 que ´ o campo de uma carga puntiforme. e Para um fio de comprimento infinito, ou seja, l d, mas com densidade λ finita, 1 |E| ≈ kλ . d 2.3 Campo de um anel carregado Consideremos um anel uniformemente carregado, possuindo carga total Q, positiva. Queremos determinar o campo el´trico em um ponto P , que est´ e a a uma distˆncia z do plano do anel, situado no eixo do anel, conforme a a figura 6. Note que a soma vetorial das componentes do campo el´trico or- e togonais ao eixo z ´ nula. De fato, para cada elemento de carga dq, existe e outro, diametralmente aposto, produzindo uma componente ortogonal com sinal oposto. Esta equivalˆncia entre os elementos de cargas diametralmente e opostos ´ denominada uma simetria do sistema; uma simetria nada mais ´ do e e que uma equivalˆncia, neste caso geom´trica, entre uma parte de um sistema e e e sua contra-parte reversa, neste caso o ponto oposto em rela¸ao ao centro do c˜ 9
  10. 10. dE dE P dE r θ z dq a y x Figura 6: Anel carregado anel. Simetrias s˜o muito uteis pois costumam facilitar bastante a solu¸ao a ´ c˜ de problemas mais complicados. As componentes paralelas ao eixo z s˜o dadas por a dq z dE|| = z k ˆ 2 cos θ = z kdq 3 . ˆ r r Note que a grandeza rz3 assume sempre o mesmo valor quando percorremos os pontos do anel. Logo, z z z z E|| = dE|| = z k ˆ ˆ dq = z k 3 dq = k Q = z kQ ˆ (8) r 3 r r 3 (a2 + z 2 )3/2 Para z a a express˜o acima comporta-se como a kQ E|| ≈ z ˆ , z2 que ´ o campo de uma carga puntiforme. e 10
  11. 11. P                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ r                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡         ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ R   ¡   ¡   ¡ ¡ ¡ ¡         ¡   ¡   ¡ ¡ ¡ ¡         ¡   ¡   ¡   ¡   ¡   ¡ y                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡                   ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ x Figura 7: Disco carregado 2.4 Campo de um disco carregado Consideremos agora um disco uniformemente carregado possuindo carga total Q, conforme a figura 7. Queremos calcular o campo el´trico em um ponto e P situado no eixo do disco, a uma distˆncia z do plano do disco. Utilizando a o princ´pio de superposi¸ao, o campo produzido em P ´ a soma (integral) ı c˜ e dos campos produzidos por an´is de raio r, com r variando entre 0 e R. De e acordo com a equa¸ao (8), c˜ z dE|| = z k ˆ dq, (9) (r 2 + z 2 )3/2 onde dq ´ a carga contida em um anel infinitesimal de raio r e espessura dr. e Ou seja, dq = σdA = σ2π r dr. (10) Substituindo (10) em (9) e integrando, teremos R rdr z z ˆ E|| = z 2π k σ z = z 2π k σ ˆ −√ 2 . (11) 0 (r 2 + z 2 )3/2 |z| R + z2 11
  12. 12. E + + + + + + + + + + + + + + + E Figura 8: Plano infinito carregado Nas proximidades do disco, z R, o segundo termo em (11) pode ser desprezado. Neste caso, teremos z σ E|| ≈ z 2π k σ ˆ =z ˆ sinal(z), (12) |z| 20 aqui usamos a equa¸ao (3). A fun¸ao sinal(z) ´ definida como c˜ c˜ e −1 se z < 0 , sinal(z) = (13) 1 se z > 0 . Este limite nos d´ o campo el´trico de uma plano infinito carregado, como a e est´ ilustrado na figura 8. a 3 Terceira aula 3.1 Linhas de campo Nos exemplos vistos anteriormente, o campo el´trico foi calculado em um e unico ponto P do espa¸o. Antes de partirmos para o c´lculo em pontos ar- ´ c a bitr´rios, ´ conveniente que tenhamos uma visualiza¸ao qualitativa do campo a e c˜ el´trico. Esta visualiza¸ao pode ser feita introduzindo-se as chamadas linhas e c˜ de campo. Na figura 9 foram desenhadas algumas destas linhas, possuindo as seguintes propriedades: 12
  13. 13. E Figura 9: Linhas de campo • As linhas s˜o tangentes, em cada ponto, a dire¸ao do campo el´trico a ` c˜ e neste ponto. • A intensidade do campo ´ proporcional ao n´mero de linhas por uni- e u dade de area de uma superf´ perpendicular as linhas. ´ ıcie ` Na figura 10 est˜o representadas as linhas as linhas de campo de uma a carga puntiforme positiva e de uma carga puntiforme negativa negativa. As linhas do campo de um dipolo est˜o representadas na figura 11. a 3.1.1 Consistˆncia com a Lei de Coulomb e Podemos verificar que a visualiza¸ao em termos de linhas de for¸a ´ consis- c˜ c e tente com a lei de Coulomb. Para isso, devemos notar que, por simetria, a intensidade do campo deve ser a mesma em todos os pontos de uma superf´cie ı esf´rica de raio r. Sendo N o n´ mero de linhas que originam-se na carga, e u ent˜o o n´mero de linhas por unidade de area da superf´ esf´rica ´ a u ´ ıcie e e N . 4π r 2 De acordo com a visualiza¸ao em termos de linhas de for¸a, c˜ c N E∝ , 4π r 2 o que est´ de acordo com a lei de Coulomb. a 13
  14. 14. + − Figura 10: Linhas do campo de uma carga puntiforme + _ Figura 11: Linhas do campo de um dipolo 14
  15. 15. 3.2 Fluxo e Lei de Gauss 3.2.1 Fluxo De acordo com a no¸ao qualitativa de linhas de campo, vista na se¸ao 3.1, a c˜ c˜ intensidade do campo el´trico ´ proporcional ao n´mero de linhas que atra- e e u vessam uma superf´cie ortogonal as linhas. Para estudarmos, de maneira ı ` quantitativa, as rela¸oes entre a intensidade do campo e superf´ c˜ ıcies quaisquer, vamos agora introduzir a grandeza Φ, denominada fluxo do campo el´trico e atrav´s de uma superf´cie. Vejamos inicialmente dois exemplos simples. e ı • Campo uniforme E atravessando uma superf´ ortogonal de area A ıcie ´ Φ = EA • Campo uniforme E atravessando uma superf´ ıcie, cuja normal forma um angulo θ com a dire¸ao do campo ˆ c˜ Φ = EA cos θ = E · A, (14) onde A ≡ An; n ´ o vetor unit´rio normal a superf´ ˆe a ` ıcie. Em situa¸oes mais gerais, o campo ´ n˜o uniforme, e a superf´ pode c˜ e a ıcie ter uma forma qualquer, como ilustra a figura 12. Em pequenas regi˜es dao superf´ ıcie, podemos utilizar a express˜o (14). Devemos subdividir a superf´ a ıcie em pequenos elementos de area ∆Ai . Para cada um destes elementos, teremos ´ um fluxo elementar dado por Φi = Ei · ∆Ai = Ei ∆Ai cos θi . Somando todos os elementos de area e tomando o limite ∆Ai → 0, teremos ´ a seguinte express˜o para o fluxo total atrav´s de uma superf´cie arbitr´ria a e ı a Φ = lim E i · ∆A i = E · dA ∆Ai →0 superf´ ıcie Um caso de especial interesse ´ quando a superf´ sobre a qual esta- e ıcie mos integrando, ´ fechada. Uma superf´ fechada divide o espa¸o em uma e ıcie c regi˜o interna e uma regi˜o externa a superf´ a a ` ıcie. Um exemplo deste tipo de superf´ ıcie, denominada superf´cie gaussiana, ´ mostrado na figura 13. Neste ı e 15
  16. 16. ∆ Ai θ Ei Ej θ ∆ Aj Figura 12: Fluxo atrav´s de uma superficie gen´rica e e ∆ Ai θ Ei Figura 13: Superf´ gaussiana ıcie 16
  17. 17. caso, convenciona-se que o vetor n aponta no sentido da regi˜o interna para ˆ a a regi˜o externa. O fluxo atrav´s de uma superf´ fechada ´ ent˜o dado por a e ıcie e a Φc = E · dA = En dA, ˆ onde En = E · n ˆ ˆ ´ a componente do campo el´trico na dire¸ao da normal a superf´ e e c˜ ` ıcie. Estude o exemplo 24.1 do livro texto [5]. 3.2.2 Lei de Gauss Consideremos o campo el´trico de uma carga puntiforme. De acordo com a e lei de Coulomb, em um ponto localizado a uma distˆncia r da origem, a q r ˆ E= . 4π 0 r 2 Imaginemos agora uma superf´ gaussiana arbitr´ria, abrangendo uma regi˜o ıcie a a qualquer do espa¸o. O fluxo de E atrav´s de um elemento de area dA = ndA c e ´ ˆ desta superf´ imagin´ria ´ ıcie a e q dA cos θ dΦ = , (15) 4π 0 r2 onde usamos n · r = cos θ. ˆ ˆ Digress˜o sobre ˆngulo s´lido a a o Na figura 14 ∆A ´ o elemento de area de uma superf´ qualquer, ∆Σ e e ´ ıcie ∆Ω s˜o elementos de area de esferas de raio r e de raio 1, respectivamente. a ´ A grandeza ∆Ω ´ o elemento de angulo s´lido subentendido pelo elemento e ˆ o de superf´ ∆A. Note que ıcie ∆Σ ∆A cos θ ∆Ω = 2 = r r2 Portanto, somar sobre ∆A cos θ , r2 ´ o mesmo que somar sobre ∆Ω. Devemos agora considerar duas possibili- e dades. 17
  18. 18. ∆A ∆Σ 1 ∆Ω P O r θ θ r n ˆ Figura 14: Angulo S´lido o • A origem O est´ dentro da superf´cie gaussiana. Neste caso, a ı dΩ = 4π (O interno), (16) onde usamos o resultado para a area de uma superf´ esf´rica de raio ´ ıcie e unit´rio. a • A origem O est´ fora da superf´cie gaussiana. Neste caso, os elementos a ı de angulo s´lido cancelam-se mutuamente, resultando em ˆ o dΩ = 0 (O externo). (17) Fim da Digress˜o sobre ˆngulo s´lido a a o A equa¸ao (15) pode agora ser expressa como c˜ q dΦ = dΩ, (18) 4π 0 ´ onde dΩ ´ o angulo s´lido subentendido por dA, visto da posi¸ao da carga q. E e ˆ o c˜ importante notar que o fluxo do campo proporcional ao angulo s´lido, ´ uma ˆ o e 18
  19. 19. consequˆncia direta da lei do inverso quadrado da distˆncia. A mesma forma e a seria obtida se estiv´ssemos considerando o fluxo do campo gravitacional e newtoniano, produzido por uma massa puntiforme. Utilizando as equa¸oes (16) e (17), teremos para o fluxo total, c˜  q  se a carga q estiver dentro de A q   0 Φ= dΩ = 4π 0   0 se a carga q estiver fora de A  Uma distribui¸ao qualquer de cargas pode ser decomposta em elementos c˜ de cargas, cada um comportando-se como uma carga puntiforme. O princ´ ıpio de superposi¸ao nos d´ o campo resultante como a soma dos campos pro- c˜ a duzidos por cada elemento de carga. Assim, obtemos a Lei de Gauss na forma qin E · dA = , (19) 0 onde qin ´ a carga contida dentro da superf´ A. e ıcie A Lei de Gauss est´ expressa na equa¸ao (19) na forma integral. Esta a c˜ ´ uma das quatro equa¸oes de Maxwell do eletromagnetismo. Veremos que e c˜ existe uma forma equivalente em termos de uma equa¸ao diferencial, e que c˜ esta lei permanece v´lida mesmo quando as distribui¸oes de cargas n˜o s˜o a c˜ a a est´ticas, ou seja, quando as cargas possuem um movimento qualquer. a H´ uma interessante analogia entre as linhas de campo el´trico e linhas a e de velocidade de um fluido. Cargas positivas (negativas) s˜o an´logas as a a ` ´ fontes (sorvedouros) de um fluido. E por esta raz˜o que as cargas el´tricas a e s˜o consideradas como fontes do campo eletrost´tico [4]. a a 4 Quarta aula 4.1 Exemplos simples de aplica¸oes da Lei de Gauss c˜ A lei de Gauss n˜o ´ somente uma forma elegante de expressar os fenˆmenos a e o ´ eletrost´ticos. E tamb´m uma ferramenta util para o c´lculo do campo de a e ´ a distribui¸oes de cargas possuindo elementos de simetria. De maneira geral, c˜ sempre que for poss´ identificar uma superf´cie gaussiana tal que o campo ıvel ı el´trico tenha o mesmo valor em todos os seus pontos, ent˜o o c´lculo do e a a fluxo torna-se elementar Φ= E · dA = EA, (20) 19
  20. 20. onde E ´ a intensidade do campo e A ´ a area da superf´ e e ´ ıcie. Note que E pode ser positivo ou negativo, dependendo se as linhas de campo est˜o entrando a ou saindo da superf´ıcie. Vejamos alguns exemplos. 4.1.1 Campo de uma carga puntiforme Devemos determinar a superf´ ıcie gaussiana tal que o fluxo do campo de uma carga puntiforme adquira a forma simples dada por (20). O campo produzido por uma carga puntiforme deve possuir simetria esf´rica. Ou seja, e sua intensidade n˜o varia quando percorremos a superf´ de uma esfera a ıcie imagin´ria de raio r, a qual possui area a ´ A = 4π r 2 Portanto, utilizando a rela¸ao (20), teremos c˜ Φ = E4π r 2 . Finalmente, aplicando a lei de Gauss dada por (19), teremos q E= 4π 0 r 2 4.1.2 Campo de uma esfera isolante possuindo densidade de carga uniforme e raio a. Novamente temos uma configura¸ao possuindo simetria esf´rica. Ou seja, o c˜ e fluxo do campo el´trico a uma distˆncia r do centro da esfera ´ e ` a e Φ = E4π r 2 . Para r > a, toda a carga da esfera est´ contida no interior da superf´ a ıcie gaussiana. Logo, de acordo com a lei de Gauss, Q E= ; r > a, 4π 0 r 2 onde Q ´ a carga total da esfera. e Para r < a, a carga que est´ contida no interior da superf´ gaussiana ´ a ıcie e 4 q = ρ πr 3 , 3 20
  21. 21. Figura 15: Soluc˜o do problema (24.63) do Serway a onde ρ ´ a densidade uniforme de carga da esfera isolante, e Q ρ= 4 . (21) 3 πa3 Aplicando a lei de Gauss, q 1 Qr 3 Q E= 2 = 3 2 = 3 r; r < a. 0 4πr a 4π 0 r a 4π 0 Note que nos pontos internos a esfera o campo varia linearmente com r, ` tendendo a zero quando r → 0. ` Como uma aplica¸ao deste resultado, vamos fazer o problema (24.63) do c˜ livro texto [5]. A solu¸ao gr´fica deste problema ´ mostrada na figura 15. c˜ a e 4.1.3 Campo de uma casca esf´rica delgada e Consideremos uma casca esf´rica delgada, possuindo raio a e uma carga Q e uniformemente distribu´ sobre sua superf´ ıda ıcie. Novamente temos uma si- metria esf´rica. Para pontos externos a casca esf´rica, imaginamos uma e ` e superf´ gaussiana possuindo raio r > a. Aplicando a lei de Gauss, teremos ıcie Q E= ; r > a. (22) 4π 0 r 2 21
  22. 22. Note que para pontos externos a distribui¸ao de cargas, os campos dados por ` c˜ (21) e (22) comportam-se como se toda a carga estivesse concentrada num unico ponto na origem. ´ Para pontos internos a casca esf´rica, a carga no interior da superf´ ` e ıcie gaussiana imagin´ria ´ nula. Logo, a e E = 0; r < a. 4.1.4 Distribui¸˜o de cargas com simetria cil´ ca ındrica Certas distribui¸oes de carga exibem simetria cil´ndrica, ou seja, podemos c˜ ı antecipar que o campo produzido por estas distribui¸oes tem a mesma inten- c˜ sidade em todos os pontos pertencentes a uma superf´cie cil´ndcdrica ima- ` ı ı gin´ria. Podemos decompor o fluxo total atrav´s do cilindro como a e Φ= En dA = ˆ En1 dA − ˆ En1 dA + En2 (2πrl), ˆ ˆ (23) topo base onde r ´ o raio do cilindro, l ´ sua altura e os vetores unit´rios n1 e n2 e e a ˆ ˆ s˜o mutuamente ortogonais apontando para cima e para fora da superf´ a ıcie lateral, respectivamente. Suponhamos a distribui¸ao de cargas seja um fio de comprimento infinito, c˜ uniformemente carregado com densidade linear de carga λ. Por simetria, as linhas de campo s˜o direcionadas radialmente, de modo que En1 = 0 e a ˆ En2 = E, sendo E a intensidade do campo. Usando a lei de Gauss, e a ˆ express˜o (23) teremos a qin 1 λ En 2 = ˆ = , (24) 0 (2πrl) 2π 0 r onde usamos qin = λl. 4.1.5 Plano uniformemente carregado Neste caso, podemos antecipar que o campo el´trico E ter´ o mesmo valor e a em todos os pontos dos planos paralelos ao plano da distribui¸ao de cargas, c˜ sendo paralelo a normal exterior de dois planos quaisquer que contenham ` o plano de cargas entre eles (sanduiche). Constru´ımos ent˜o uma superf´ a ıcie gaussiana, adicionando quatro planos de maneira a formar um paralelep´pedo. ı O fluxo atrav´s das 4 faces laterais do paralelep´ e ıpedo ´ nulo, j´ que o campo e a 22
  23. 23. ´ ortogonal a normal destes 4 planos. Como o vetor E tem sentidos opostos e ` acima e abaixo do plano de cargas, ent˜o a Φ = EA + EA = 2EA Usando a lei de Gauss, qin σ E= = , 2A 0 20 onde usamos qin = σA. Note que j´ hav´ a ıamos obtido este resultado (veja a equa¸ao (12)), a partir do limite de pequenas distˆncias do campo do disco c˜ a uniformemente carregado. Note tambem que este campo n˜o depende do a ponto do espa¸o; ´ um campo uniforme. c e 4.1.6 Equil´ ıbrio no campo eletrost´tico a A lei de Gauss tamb´m permite a demonstra¸ao de certas propriedades gerais e c˜ em eletrost´tica. Uma destas propriedades diz respeito a n˜o existˆncia de a ` a e pontos de equil´brio est´vel em um campo eletrost´tico. Um ponto P0 ´ de ı a a e equil´ ıbrio est´vel se, ao deslocarmos uma carga q0 em qualquer dire¸ao, a a c˜ partir do ponto P0 , as for¸as eletrost´ticas tender˜o a puxar a carga q0 de c a a volta para o ponto P0 . Para que isto ocorra, as linhas de campo el´trico e devem todas convergir para o ponto P0 . Mas, neste caso, o fluxo do campo atrav´s de uma pequena superf´ gaussiana, contendo o ponto P0 em seu e ıcie interior, ser´ n˜o nulo. De acordo com a lei de Gauss, isto n˜o ´ poss´vel, a a a e ı uma vez que n˜o existe uma carga q (fonte do campo el´trico) em P0 . a e 5 Quinta aula 5.1 Condutores As cargas el´tricas (el´trons) podem se mover no interior de um meio condu- e e tor, mas n˜o podem escapar espontaneamente deste meio. Na eletrost´tica, a a estamos descrevendo situa¸oes onde as cargas encontram-se em repouso. Ad- c˜ mitindo que as cargas ja se deslocaram para uma configura¸ao de equil´brio c˜ ı −16 (em um bom condutor, o equil´ ıbrio ´ atingido em cerca de 10 s), n˜o pode e a haver campo el´trico no interior do condutor, pois, se houvesse, as cargas e ainda estariam se movendo sob a a¸ao deste campo. Logo, no equil´brio c˜ ı eletrost´tico, a 23
  24. 24. Figura 16: Condutor Carregado o campo el´trico ´ nulo no interior do condutor. e e A figura 16 mostra um condutor carregado, ou seja, n˜o neutro, onde a a linha tracejada em vermelho representa uma superf´ gaussiana cujo interior ıcie cont´m o volume interno do condutor. Uma vez que, no equil´ e ıbrio, o campo el´trico ´ nulo no interior do condutor, ent˜o o fluxo do campo atrav´s da e e a e superf´ gaussiana ´ nulo. Logo, de acordo com a lei de Gauss, n˜o h´ ıcie e a a cargas no interior do condutor. Do ponto de vista macrosc´pico, a solu¸ao o c˜ de equil´brio eletrost´tico ´ tal que ı a e a carga localiza-se na superf´ ıcie do condutor. Na parte externa do condutor, existe um campo el´trico produzido pelas e cargas superficiais. Como estas cargas n˜o possuem movimento ao longo da a superf´ do condutor (solu¸ao est´tica), ent˜o ıcie c˜ a a a componente do campo tangencial ` superf´ a ıcie externa do condutor deve ser nula Para determinar a componente normal a superf´ ` ıcie, constru´ ımos uma su- perf´ gaussiana em forma de caixa cil´ ıcie ındrica como mostra a figura 17 Na face lateral da caixa cil´ ındrica o fluxo do campo ´ nulo, pois n˜o existe e a componente tangencial. Na base do cilindro, que est´ dentro do condutor, o a campo el´trico ´ nulo. Logo, s´ h´ fluxo atrav´s do topo do cilindro, e este e e o a e fluxo ´ dado por e Φ = EdA, onde dA ´ a area do topo do cilindro, que ´ idˆntica a area de se¸ao do e ´ e e ` ´ c˜ 24
  25. 25. E Figura 17: Superf´ gaussiana para o condutor ıcie cilindro com a superf´ do condutor. Portanto, usando a Lei de Gauss, ıcie dqin σ E= = , 0 dA 0 dq onde usamos σ = dA . Estude o exemplo (24.7) do livro texto. 5.2 Potencial Eletrost´tico a Sabemos que uma part´ ıcula carregada, possuindo carga q0 , sob a a¸ao de um c˜ campo eletrost´tico ser´ acelerada por uma for¸a a a c F = q0 E. Em consequˆncia, a energia cin´tica ser´ aumentada ou diminu´ e e a ıda. De onde vem a energia adquirida ou perdida pela part´ ıcula? A resposta a esta quest˜o ` a nos leva a introduzir o conceito de energia na descri¸ao dos fenˆmenos ele- c˜ o tromagn´ticos. e 5.2.1 Campos conservativos A figura 18 [1] ilustra o movimento de uma carga q0 , na presen¸a do campo c eletrost´tico produzido por outra carga q. O trabalho realizado sobre a carga a 25
  26. 26. q0 , num deslocamento infinitesimal ds ´ e dW = q0 E · ds. Consideremos inicialmente o trecho 1 → 2. A varia¸ao da energia cin´tica c˜ e da carga q0 neste trecho ´ e 2 2 ˆ r · ds 2 dr 1 1 T2 − T 1 = q0 E · ds = kq0 q = kq0 q = −kq0 q − . 1 1 r2 1 r 2 r2 r1 Suponhamos agora que a carga q0 percorra todo o trajeto mostrado na figura 18, retornando ao ponto 1 de partida. Caso sua energia cin´tica fosse, por e exemplo, maior que a inicial, ter´ ıamos uma forma de produzir energia do nada! Sabemos que isto n˜o ´ poss´ a e ıvel, pois n˜o existe um moto perp´tuo. a e Portanto, devemos ser capazes de demonstrar que o trabalho realizado ao longo de qualquer trajet´ria fechada ´ nulo o e (Caso uma determinada trajet´ria resultasse em um trabalho negativo o (diminuindo a energia cin´tica da carga q0 ), poder´ e ıamos inverter o sentido da trajet´ria obtendo assim um ganho de energia cin´tica.) o e Vamos primeiro mostrar que o trabalho ´ de fato nulo para a trajet´ria e o simples mostrada na figura 18. Note que, nos trechos 2 → 3, 4 → 5, 6 → 7 e 8 → 1, a carga q0 desloca-se perpendicularmente a dire¸ao do campo radial E. Portanto, o trabalho ´ nulo ` c˜ e nestes trechos (dW = E · ds = 0). Nos trechos onde o trabalho ´ n˜o nulo e a temos 2 dr 1 1 W12 = kq0 q = −kq0 q − , 1 r2 r2 r1 4 dr 1 1 W34 = kq0 q 2 = −kq0 q − , 3 r r4 r3 6 dr 1 1 W56 = kq0 q 2 = −kq0 q − , 5 r r6 r5 8 dr 1 1 W78 = kq0 q 2 = −kq0 q − . 7 r r8 r7 26
  27. 27. 1 q0 8 2 7 q 5 3 6 4 Figura 18: Trajet´ria num campo conservativo o 27
  28. 28. O trabalho total ´ a soma dos trabalhos em cada trecho; e 1 1 1 1 1 1 1 1 W = −kq0 q − + − + − + − . r2 r1 r4 r3 r6 r5 r8 r7 Conclu´ ımos facilmente que W = 0, notando que r2 = r3 , r4 = r5 , r6 = r7 e r1 = r 8 . A curva utilizada na figura 18 pode parecer muito especial. Vamos agora verificar o que acontece em uma situa¸ao mais geral, como a mostrada na c˜ figura 19 (escolhemos uma for¸a repulsiva, mas o mesmo poderia ser deduzido c com uma for¸a atrativa). A amplia¸ao de um dos trechos da trajet´ria, c c˜ o mostra uma aproxima¸ao em termos de dente de serra. Estamos portanto c˜ reduzindo uma trajet´ria qualquer ao caso considerado na figura 18, onde j´ o a demonstramos que o trabalho ´ nulo quando percorremos o circuito fechado. e Tomando dentes suficientemente pequenos, como ´ mostrado na amplia¸ao e c˜ seguinte, tudo o que precisamos mostrar ´ que, para um dente qualquer, o e trabalho Wac ´ o mesmo que a soma dos trabalhos Wab e Wbc . No trecho e a → c o trabalho ´ e c Wca = F · ds = F s cos θ, a pois a for¸a ´ constante ao longo do trecho infinitesimal. No trecho horizontal, c e c Wab = F · ds = F x. a No trecho vertical Wbc = 0, visto que a for¸a ´ perpendicular ao deslocamento. c e Como s cos θ = x, conclu´ ımos que Wac = Wab + Wbc . Portanto, o trabalho ao longo de uma trajet´ria qualquer ´ o mesmo que o trabalho ao logo de o e uma trajet´ria em forma de dente de serra, que por sua vez ´ nula para um o e circuito fechado. For¸as possuindo a propriedade demonstrada acima, s˜o chamadas de c a for¸as conservativas. Note que esta propriedade ´ comum a qualquer for¸a c e ` c que dependa somente da distˆncia radial, ou seja, for¸as centrais. a c Uma consequˆncia imediata do anulamento do trabalho em um circuito e fechado ´ que o trabalho realizado entre dois pontos A e B quaisquer, n˜o e a depende do caminho entre A e B. Para mostrar isto, considere as duas trajet´ria exibidas na figura 20. Partindo do ponto A e percorrendo as duas o trajet´rias no sentido hor´rio, teremos o a AB BA Wvermelho + Wazul = 0. 28
  29. 29. q c F s y . θ . a x b Figura 19: Trajet´ria geral num campo conservativo o 29
  30. 30. A B Figura 20: Diferentes caminhos entre A e B 30
  31. 31. BA AB Como Wazul = −Wazul , obtemos AB AB Wvermelho = Wazul . Portanto, para calcular W AB , podemos escolher qualquer trajet´ria. Uma o trajet´ria conveniente ´ aquela mostrada em verde, na figura 20. No trecho o e semi-circular desta trajet´ria, sabemos que n˜o h´ trabalho realizado. No o a a trecho que vai de rA at´ rB , o trabalho ´ e e B dr 1 1 W AB = kq0 q 2 = −kq0 q − , (25) A r rB rA Esta propriedade pode ser equivalentemente expressa dizendo que o trabalho realizado por uma for¸a conservativa c s´ depende da posi¸˜o dos pontos inicial e final o ca No caso de um campo eletrost´tico produzido por uma distribui¸ao qual- a c˜ quer de cargas, podemos invocar o princ´pio de superposi¸ao, subdividindo a ı c˜ distribui¸ao de cargas em elementos de carga puntiforme, cada um dos quais c˜ produzindo um campo coulombiano, portanto conservativo. Naturalmente, a soma de campos conservativos ´ um campo conservativo. e 5.2.2 Diferen¸a de potencial eletrost´tico c a Consideremos dois pontos A e B de uma regi˜o do espa¸o onde existe um a c campo el´trico E e uma carga q0 que pode ocupar qualquer destes pontos. e Definimos a diferen¸a de energia potencial eletrost´tica deste sistema como c a B ∆U = UB − UA = −q0 E · ds. (26) A Note que ∆U ´ o trabalho realizado sobre q0 entre A e B, com sinal trocado. e Se imaginarmos um agente externo deslocando a carga q0 entre A e B, sem alterar sua energia cin´tica, ent˜o a equa¸ao (26) ´ idˆntica ao trabalho re- e a c˜ e e alizado pelo agente externo. Sabemos da se¸ao anterior que ∆U ´ de fato c˜ e uma grandeza que depende somente da posi¸ao dos pontos A e B. Podemos c˜ portanto utilizar qualquer caminho ligando os ponto A e B, para calcular a integral de linha na equa¸ao (26). c˜ Podemos tamb´m definir a grandeza, denominada diferen¸a de potencial e c entre os pontos A e B, como UB − U A B ∆V = =− E · ds. q0 A 31
  32. 32. Note que esta grandeza depende somente das propriedades do campo el´trico. e Escolhendo arbitrariamente um ponto de referˆncia, P0 , onde V (P0 ) = 0, e teremos o potencial em qualquer ponto do espa¸o c P V (P ) = − E · ds. (27) P0 Frequentemente, o ponto P0 ´ tomado a uma distˆncia infinita das distri- e ` a bui¸oes de carga. c˜ 5.2.3 Cargas puntiformes Vimos que o trabalho realizado pela for¸a eletrost´tica de uma carga q sobre c a outra carga q0 ´ dado pela equa¸ao (25). Utilizando a defini¸ao geral de e c˜ c˜ diferen¸a potencial eletrost´tico, dada por (5.2.2), teremos c a B dr 1 1 VB − VA = −kq 2 = kq − , (28) A r rB rA Convencionando-se que o valor do potencial ´ zero em rA = ∞, podemos e falar em potencial em cada ponto produzido por uma carga puntiforme, como sendo dado por q V =k . r Note que este potencial n˜o muda de valor nos pontos de superf´ a ıcies esf´ricas e de raio r. Em geral, superf´ ıcies onde o potencial tem sempre o mesmo valor s˜o denominadas a Superf´ ıcies Equipotenciais Utilizando o princ´ ıpio de superposi¸ao, o potencial produzido por N car- c˜ gas puntiformes, q1 , · · · qN , ´ dado por e N qi V =k , i=1 ri onde o potencial, de cada carga, no infinito, foi posto igual a zero. ` 32
  33. 33. 5.2.4 Energia potencial de part´ ıculas carregadas Uma carga q1 est´ produzindo um potencial a q1 V1 = k r12 em um ponto que est´ a uma distˆncia r12 de q1 . Da defini¸ao de potencial, a a c˜ sabemos que o trabalho realizado por um agente externo para deslocar, sem acelera¸ao, uma segunda carga q2 , desde o infinito at´ a distˆncia r12 ´ c˜ e a e q 2 V1 . Este trabalho ´ definido como a energia potencial U do sistema de cargas. e Ou seja, q1 q2 U =k . r12 Para um sistema constitu´ de N cargas, devemos somar as energias poten- ıdo ciais associadas a cada par de cargas. Ou seja, qi qj U =k . i>j rij 5.2.5 Distribui¸oes cont´ c˜ ınuas de cargas Utilizando o princ´pio de superposi¸ao, o potencial de uma distribui¸ao con- ı c˜ c˜ t´ ınua ´ dado pela soma dos potenciais e dq dV = k r produzidos por elementos de carga dq. Ou seja, dq V =k . r Estamos convencionando que o potencial ´ nulo em pontos situados a uma e distˆncia infinita da distribui¸ao de cargas. a c˜ 33
  34. 34. P r’’ r φ r’d θ θ r ’ r ’ sen θ d φ d r’ Figura 21: Esfera uniformemente carregada 6 Sexta aula 6.1 Potencial de uma esfera uniformemente carregada A figura 21 mostra uma esfera possuindo carga total Q, uniformemente dis- tribu´da em todo o seu volume. ı Um elemento de carga dq = ρdv (o volume dv est´ mostrado na figura), a produz um potencial dq dv dV = k = kρ r r num ponto P situado a uma distˆncia r do centro da esfera. Tamb´m esta a e indicada na figura, a distˆncia r , que vai do centro da esfera at´ o volume a e dv. Podemos expressar r em termos de r e r , observando que r = (r senθ)2 + (r − r cos θ)2 = r 2 + r 2 − 2rr cos θ As dimens˜es do elemento de volume dv s˜o r senθdφ, r dθ e dr . Portanto, o a dv = (r senθdφ)(r dθ)(dr ). 34
  35. 35. O potencial total em P ´ obtido integrando em r , θ e φ e 2π π ρ senθ r 2R V =k dφ dθ dr √ . 0 0 0 r 2 + r 2 − 2rr cos θ Como a densidade de carga ρ ´ constante e o resto do integrando n˜o depende e a de φ, podemos imediatamente integrar em φ, resultando em π R ρ senθ r 2 V = kρ(2π) dθ dr √ . 0 0 r 2 + r 2 − 2rr cos θ Fazendo a mudan¸a de vari´vel c a senθdθ = −d(cos θ) = −du, teremos R r2 1 V = kρ(2π) du √ 2 dr . 0 −1 r + r 2 − 2rr u Fazendo uma segunda mudan¸a de vari´vel c a 2 x = r + r 2 − 2rr u; dx = −2rr du, teremos R (r−r )2 dx r 2 V = kρ(2π) dr √ 0 (r+r )2 (−2rr ) x kρ(2π) R = − r (|r − r | − |r + r |) dr r 0 Devemos agora distinguir duas situa¸oes: c˜ ponto P fora da distribui¸˜o de cargas ca Neste caso, |r − r | − |r + r | = −2r . Logo, kρ(4π) R3 kQ V = = (29) r 3 r ponto P dentro da distribui¸˜o de cargas ca Devemos, neste caso, separar a regi˜o de integra¸ao em duas partes. Uma, a c˜ de 0 at´ r, onde |r − r | − |r + r | = −2r . Outra, de r at´ R, onde |r − r | − e e |r + r | = −2r. Logo kρ(4π) r 3 R2 r 2 kQ r2 V = +r − = 3− 2 (30) r 3 2 2 2R R 35
  36. 36. s ds E θ Figura 22: Campo el´trico de uma carga teste e 6.2 C´lculo do campo el´trico a partir do potencial a e Consideremos uma carga teste q0 movendo-se ao longo da dire¸ao s, mostrada c˜ na figura 22. As linhas tracejadas representam superf´ıcies equipotenciais. Ao atravessar uma diferen¸a de potencial dV , ´ realizado um trabalho c e dW = −q0 dV = q0 E · ds = q0 E ds cos θ. Portanto, dV E cos θ = − . ds Ou seja, ∂V (Componente de E ao longo de s) = − ∂s O eixo s poderia ter sido escolhido ao longo de qualquer um dos 3 eixos x, 36
  37. 37. y ou z. Neste caso, ter´ ıamos as componentes cartesianas do vetor campo el´trico dadas por e ∂V ∂V ∂V Ex = − , Ey = − , Ez = − . (31) ∂x ∂y ∂z 6.3 Potencial de um condutor carregado J´ sabemos que o campo el´trico ´ nulo no interior de um condutor. Usando- a e e se as equa¸oes (31), chega-se a conclus˜o de que c˜ ` a o potencial no interior do condutor ´ constante. e Como o campo el´trico ´ sempre normal a superf´cie do condutor, pode- e e ` ı mos facilmente deduzir que em dois pontos A e B quaisquer, na superf´ıcie do condutor, o potencial ´ o mesmo. De fato, e B VB − V A = − E · ds = 0. A Portanto, o condutor ´ uma regi˜o equipotencial e a A figura 23 mostra os gr´ficos do potencial e do campo el´trico de uma a e esfera condutora carregada. 6.4 Condutor possuindo uma cavidade - Blindagem A figura 24 mostra o corte de um condutor carregado possuindo uma cavi- dade, no interior da qual n˜o h´ carga l´ a a ıquida. Queremos determinar o campo el´trico no interior da cavidade e a distribui¸ao de cargas na superf´ in- e c˜ ıcie terna. Na figura 25 constru´ ımos uma superf´ (linha tracejada), passando ıcie pelo interior do meio condutor, e envolvendo toda a cavidade. Como E = 0 no condutor, a lei de Gauss nos d´ a qin E · da = 0 = . 0 Portanto, toda a informa¸ao que a lei de Gauss nos d´, ´ que a carga l´quida c˜ a e ı na superf´ da cavidade ´ nula. ıcie e Admitindo que as cargas teriam se distribu´ na superf´ da cavidade, ıdo ıcie como na figura 26 (sabemos que num condutor tal configura¸ao n˜o seria c˜ a est´vel), ter´ a ıamos um campo el´trico n˜o nulo no interior da cavidade. Mas e a 37
  38. 38. + + + + + + + + + R + + + + + + + V kQ R kQ r r E kQ r2 r Figura 23: Potencial e campo el´trico de uma esfera carregada e E=0 Q =0 Q= 0 E=? E=0 Figura 24: Condutor possuindo uma cavidade 38
  39. 39. Superficie gaussiana −− − ? + ++ Figura 25: Superf´ gaussiana envolvendo a cavidade ıcie - - - + ++ Γ Figura 26: Distribuic˜o de cargas na cavidade a 39
  40. 40. esta suposi¸ao nos leva a uma contradi¸ao, uma vez que a integral de linha c˜ ` c˜ do campo el´trico, ao longo da curva fechada Γ, indicada na figura, seria n˜o e a nula; E · ds = 0, Γ o que ´ um absurdo. Logo, e n˜o h´ campo el´trico no interior de uma cavidade de um condutor a a e ´ E por esta raz˜o que circuitos el´tricos sens´ a e ıveis (como a placa m˜e de um a computador) s˜o blindados por um gabinete met´lico. Note que se a lei de a a Gauss n˜o fosse verdadeira, a blindagem n˜o ocorreria, mesmo que o campo a a fosse conservativo. 7 S´tima aula e 7.1 Capacitores Capacitores s˜o utilizados em diversos dispositivos tais como: a • “Flash” de m´quina fotogr´fica. a a • Sintonizador de radio. • Filtros. • Capacitores microsc´picos em mem´ria RAM de computadores. o o Basicamente, um capacitor ´ um armazenador de energia potencial el´- e e trica. Um capacitor t´ ıpico ´ formado por dois condutores possuindo cargas e iguais e opostas (estas cargas podem ser fornecidas por uma bateria), sepa- rados por um isolante. De acordo com o princ´pio de superposi¸ao, a superposi¸˜o de duas con- ı c˜ ca figura¸oes idˆnticas a mostrada na figura 27 (mesma disposi¸ao geom´trica e c˜ e ` c˜ e mesmo isolante), ser´ uma nova configura¸ao possuindo o dobro da carga; o a c˜ campo el´trico ser´ dobrado em cada ponto do espa¸o, o que por sua vez far´ e a c a com que o trabalho para transportar uma carga teste seja tamb´m dobrado. e Portanto, conclu´ımos que o m´dulo da carga el´trica Q deve ser proporcional o e ao m´dulo da diferen¸a de potencial V , ou seja, o c Q = CV. 40
  41. 41. Condutor +Q -Q Condutor Isolante Bateria Figura 27: Capacitor 41
  42. 42. Q + + + + + + + + + + + + + + d + - - - - - - E - - - - - - - - - Figura 28: Capacitor de placas paralelas Note que a rela¸ao acima n˜o depende da validade da lei de Coulomb. Ela c˜ a ´ uma consequˆncia somente do princ´ e e ıpio de superposi¸ao e do fato de ser c˜ o campo el´trico um campo conservativo (deriv´vel de um potencial). A e a constante C ´ chamada de capacitˆncia e V ´ denominado voltagem. e a e A unidade de capacitˆncia ´ o farad. a e C [C] = = F. V Um capacitor t´ ıpico possui capacitˆncia variando entre 1µ F = 10−6 F at´ a e −12 1pF = 10 F . Como um exemplo, vamos calcular a capacitˆncia de uma esfera condu- a tora. Sabemos que a voltagem ´ V = kQ/R, onde R ´ o raio da esfera (o e e outro condutor ´ uma casa esf´rica met´lica a uma distˆncia praticamente e e a ` a infinita da esfera). Portanto, Q Q R C= = kQ = = 4π 0 R. (32) V R k Para uma esfera de 10 cm de raio, C = 4π 0 (0, 1) = 4π 8, 85 × 10−12 × 0, 1 = 11, 1 pF 7.1.1 Capacitor de placas paralelas O potencial entre as placas ´ e − V = E · ds. (33) + 42
  43. 43. y − + + + + + + + + − − − − − − − x Figura 29: Distorc˜o das linhas de campo nas bordas a Desconsiderando a pequena distor¸ao das linhas de campo nas proximidades c˜ das bordas (veja a figura 29), teremos  σˆ    i entre as placas. 0 E= (34)   0 em qualquer outro ponto.  Substituindo (34) em (33), teremos − σ d σd V = E · ds = dx = . (35) + 0 0 0 Portanto, Q 0Q 0A C= = = , V σd d onde utilizamos Q . σ= A Exerc´ıcio: Calcule a area das placas paralelas de um capacitor possuindo ´ capacitˆncia C = 1 F e distˆncia entre as placas de um mil´ a a ımetro. 43
  44. 44. b a +Q L −Q Figura 30: Capacitor Cil´ ındrico 7.1.2 Capacitor cil´ ındrico A figura 30 mostra um condutor cil´ ındrico de raio a, comprimento L b, e carga +Q, coaxial com uma casca cil´ ındrica de raio b > a, tamb´m e condutora, e possuindo carga −Q. Tomando superf´ ıcies gaussianas cil´ ındricas de comprimento l L, a lei de Gauss nos d´ a qin 1 λ  r= ˆ r ˆ para a < r < b   (2πrl) 2π 0 r   0 E= , (36)     0 em qualquer outro ponto. onde λ ´ a carga por unidade de comprimento do cilindro. O potencial ´ e e − λ b dr λ b V = E · ds = = ln . + 2π 0 a r 2π 0 a Portanto, a capacitˆncia ´ a e Q λL 2π 0 L C= = = b . V V ln a 7.1.3 Capacitor esf´rico e O capacitor esf´rico ´ constitu´ por uma esfera met´lica de raio a e carga e e ıdo a +Q, concˆntrica com uma casca esf´rica met´lica de raio b > a e carga e e a 44

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