1. Geometria Espacial II
•Cones
•Pirâmides
•Esferas
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2. Cones
Conjuntosde todos os segmentos de reta
com uma extremidade em V e a outra em
ϒ

3. A base de um cone é
uma região de formato
circular com o raio de
medida R. A distância
do vértice ao centro da
base formando um
ângulo de 90º recebe o
nome de altura (h) do
cone. O comprimento
da face lateral é
denominado geratriz
(g) do cone.

4. Secção Meridiana
Chamamos secção meridiana do cone a
interseção do cone com um plano que
contém seu eixo:

5. Se o
triângulo
AVB for
eqüilátero,
o cone
também
será
eqüilátero:

6. Classificação dos Cones
Os cones podem ser divididos em:
 Reto- quando a sua  Eqüilátero- Cone
base é um círculo e eqüilátero é um cone
a reta que liga o circular reto, do qual
vértice superior a secção meridiana é
ao centro da um triângulo que
circunferência da sua denominamos cone
base eqüilátero. Observe:
 Oblíquo - quando não
é um cone reto, ou
seja, quando o eixo é
oblíquo ao plano da
base.

8. Áreas
Áreasda Base Pode ser calculada pela
expressão: Ab = πr2 (п = 3,14).
Área Lateral
Podemos calcular a área lateral do cone utilizando
a seguinte fórmula: AL = π.r.g
Área Total
Podemos utilizar a seguinte expressão:
At = πr (g+r)

10. Volume
O
volume do cone é calculado
multiplicando a área da base pela altura.


11. Exemplo:
Uma fábrica de doces e balas irá produzir
chocolates na forma de guarda-chuva,
com as seguintes medidas: 8 cm de altura
e 3 cm de raio de acordo com a ilustração.
Qual o volume utilizado na produção do
pirulito?
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12. Pirâmides

13. Elementos da pirâmide
Base: o polígono
convexo R
arestas da base: os
lados do polígono
arestas laterais: os
segmentos
faces laterais: os
triângulos VAB, VBC,
VCD, VDE, VEA
altura: distância h do
ponto V ao plano

14. Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção
ortogonal do vértice coincide com o centro
do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base
é regular, recebe o nome de pirâmide
regular. Ela pode ser triangular,
quadrangular, pentagonal etc., conforme
sua base seja, respectivamente, um
triângulo, um quadrilátero, um pentágono
etc.

16. Relação entre os elementos de
uma pirâmide regular
Toda pirâmide
triangular recebe o
nome de
tetraedro.Quando o
tetraedro possui
como faces
triângulos
eqüiláteros, ele
é denominado
regular (todas as
faces e arestas são
congruentes)

17. Em uma pirâmide regular como, por
exemplo temos que:
As faces laterais são triângulos isósceles e
congruentes.
As arestas laterais também são
congruentes e sua medida será indicada
por a
O segmento que une o vértice com o ponto
médio de qualquer lado da base é
chamado de apótema da pirâmide e sua
medida será indicada por m
o raio da circunferência circunscrita à base
da pirâmide regular será indicada por R

18. Áreas
Numa pirâmide, temos as seguintes
áreas:
Área lateral ( AL):(n.A), onde n:Lados A:
Face
Área da base ( AB): área do polígono
convexo ( base da pirâmide)
Área total (AT):A área total de uma
pirâmide é a soma da área da base com a
área lateral, isto é:
AT = AL +AB

19. Volume
O volume de uma pirâmide pode ser
obtido como um terço do produto da área
da base pela altura da pirâmide, isto é:
Volume = (1/3).A(base).h
O.B.S- A altura h da pirâmide pode ser
obtida pelo teorema de Pitágoras a2+b2=c2

20. Esfera
Considerando a rotação completa de um
semicírculo em torno de um eixo e, a
esfera é o sólido gerado por essa rotação.

21. Volume
Seu volume depende do tamanho do raio,
que é à distância do centro da esfera a
qualquer ponto da extremidade. A fórmula
matemática utilizada para determinar o
volume da esfera é a seguinte:
N=