PoliKalc: A Criação de um objeto de aprendizagem para o ensino e a aprendizagem de cálculos aritméticos no ensino fundamental

1
EVERALDO GOMES LEANDRO
POLIKALC: A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE
APRENDIZAGEM PARA O ENSINO DE
CÁLCULOS ARITMÉTICOS NO ENSINO
FUNDAMENTAL
LAVRAS - MG
2014

2
POLIKALC: A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM
PARA O ENSINO DE CÁLCULOS ARITMÉTICOS NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Trabalho de Conclusão de
Curso apresentado ao
Colegiado do Curso de
Matemática, para a
obtenção do título de
Licenciado em
Matemática.
Orientadora
Dra. AMANDA CASTRO OLIVEIRA
Coorientadora
Esp. STEFÂNIA EFIGÊNIA IZÁ
LAVRAS – MG
2014

3
POLIKALC: A CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE APRENDIZAGEM
PARA O ENSINO DE CÁLCULOS ARITMÉTICOS NO ENSINO
FUNDAMENTAL
Trabalho de Conclusão de
Curso apresentado ao
Colegiado do Curso de
Matemática, para a
obtenção do título de
Licenciado em
Matemática.
Aprovada em 12 de Fevereiro de 2014.
Dr. Ronei Ximenes Martins UFLA
Dra. Rosana Maria Mendes UFLA
Ma. Silvia Maria Medeiros Caporale UFLA
Dra. Amanda Castro Oliveira
Orientadora
_______________________________________________
LAVRAS – MG
2014

4
Aos meus pais Dalva e João, por possibilitarem a realização desse sonho.
Aos meus irmãos Lilian e Eder por sempre estarem ao meu lado.
Aos(às) professores(as) do Departamento de Ciências Exatas da UFLA, em
especial a minha orientadora Amanda Castro Oliveira pela amizade,
orientação, paciência e confiança.
À minha coorientadora Stefânia Efigênia Izá pela amizade e por ser reflexo
para mim de uma profissional competente e realizada.
Ao amigo Antônio José de Lima Batista por compartilhar seus
conhecimentos e contribuir para o êxito dessa pesquisa.
A todos(as) meus(minhas) amigos(as) que torceram por mim ao longo desse
caminhar.
DEDICO

5
AGRADECIMENTOS
Aos meus pais João e Dalva por todo amor e carinho dados a mim,
acreditando nos meus sonhos e dando todo o apoio nessa trajetória.
Aos meus irmãos Eder e Lilian e meu cunhado Daniel por estarem sempre ao
meu lado, serem exemplos e amigos.
Aos meus sobrinhos Davi e Lívia por inundarem nossa família de alegria.
À minha avó Terezinha que sempre teve grande consideração por mim e por
ser uma mulher guerreira.
À toda minha família por estarem sempre presentes.
Às minhas orientadoras Amanda e Stefânia por depositarem confiança em
mim e a esse trabalho e por serem amigas desde o primeiro momento que as
conheci.
Aos professores do Departamento de Ciências Exatas, em especial as
professoras Ana Claudia Pereira, Sílvia Caporale e Rosana Mendes e ao
professor José Antônio por proporcionarem inúmeras oportunidades e
momentos formativos.
Ao professor Ronei Ximenes Martins pelas contribuições feitas a esse
trabalho.
Aos integrantes do Grupo de Pesquisa “Relações entre filosofia e educação
para a sexualidade na contemporaneidade: a problemática da formação
docente” e em especial a professora Claudia Maria Ribeiro por ser uma
pessoa especial no meu processo formativo.
Aos amigos e amigas que conheci no CEFET-MG, em especial ao Isaac,
Sandra, Camila e Thaís por todo esse tempo de amizade mesmo que
separados.
Às minhas amigas do Curso de Licenciatura em Matemática, em especial a
Maria, Andreia e Marina por viverem comigo os momentos mais especiais.
Ao grupo do PIBID da Matemática, em especial aos amigos e amigas
Camila, Dayana, Simone, Rodrigo, Irís, Nilvana, Paola, Anderson, Lívia,
Karine, Juliana, Daniela, Lorraini e Lilian e a professora Zilda Altomare
pelos ricos momentos de formação.
À galera do vôlei, Mônica, Thayna, Pedro, Válter, Luciana, Eryck, Imara,
Marciel, Josilene e Náthaly pelos momentos divertidos que passamos juntos.
Aos amigos e amigas do coração Antônio Lima, Jesimar, Rivaney Felix,
Rodrigo Benta, Rodrigo Fisgo, Mateus Silva, Ullisses Vargas, Christianne
Rocha, Mariane Pinheiro, Lismara e Wagner Souza por serem especiais em
minha vida.
Aos amigos e amigas de diversas partes do mundo que conheci no
intercâmbio, em especial a Lariane dos Santos, Henrique, Herko, Almaa,
Daniel, Ale Sanchez, Chris Töpfer, Kari, Sofie, Denise Sosa, Melisa,
Elizabeth Martinez, Valeria Cazares, Anthony Darquey, Justine Couallier,
Arnaud Nano e Brenda Hernandez por proporcionarem momentos re-copados.

6
“Está pelo menos equivocado o educador matemático que não percebe
que há muito mais na sua missão de educador do que ensinar a fazer
continhas ou a resolver equações e problemas absolutamente
artificiais, mesmo que, muitas vezes, tenha a aparência de estar se
referindo a fatos reais” (D’AMBROSIO, 2005, p.46).

7
RESUMO
Percebendo a importância de se trabalhar nas aulas de Matemática,
principalmente nas séries iniciais, com os diferentes tipos de cálculos
aritméticos surge o desafio desse trabalho exposto pela pergunta diretriz:
“Como utilizar Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para uma
mudança de prática de ensino de cálculos aritméticos no ensino fundamental
em uma perspectiva Construcionista?” Para responder tal questionamento o
presente trabalho de conclusão de curso teve por objetivo: criar um Objeto
de Aprendizagem (OA) na perspectiva Construcionista para ser utilizado no
ensino de cálculos aritméticos (mentais, com calculadora, com algoritmo:
exatos e aproximados). A abordagem metodológica alicerçou-se na pesquisa
qualitativa e para a criação do Objeto de Aprendizagem foi utilizada a
metodologia de concepção e desenvolvimento de aplicações educacionais.
Ao final da pesquisa, como resultado e produto final, foi criada a PoliKalc:
um OA para o ensino a aprendizagem de cálculos aritméticos. Através da
trajetória de trabalho, pudemos perceber que é possível ensinar e aprender
cálculos aritméticos com a mediação das TICs para a construção de saberes
necessários à inclusão dos aprendizes na Sociedade de Informação. Para isso
há que se ter materiais que auxiliem o professor no ensino desses conteúdos.
Assim, a PoliKalc vem com o desafio de ser um desses materiais.
Palavras-chave: Educação Matemática. Tecnologias de Informação e
Comunicação. Ensino e aprendizagem de cálculos aritméticos. Objeto de
Aprendizagem. PoliKalc.

8
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 Relações entre os cálculos segundo o NCTM............ 20
Figura 2 Espiral de Aprendizagem............................................ 35
Figura 3 Fases de Elaboração da PoliKalc................................ 38
Figura 4 Macroestrutura da PoliKalc........................................ 43
Figura 5 Interface tela inicial.....................................................44
Figura 6 Interfaces de alguns botões......................................... 45
Figura 7 Tipos de estrutura ...................................................... 45
Figura 8 Software para elaboração das imagens da PoliKalc...48
Figura 9 Protótipo da Kalc Exata.............................................. 49
Figura 10 Interface Kalc Exata................................................... 50
Figura 11 Bloco de Anotações.................................................... 53
Figura 12 Interface Kalc Quebrada............................................. 53
Figura 13 Interface Kalc Aproximada........................................ 56
Figura 14 Caixa de Aproximações..............................................57
Figura 15 Interface Kalc Mental................................................. 58

9
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 Dimensões para criação de ambientes de aprendizagem
versus PoliKalc.................................................................................. 32
Quadro 2 Conteúdos organizados na PoliKalc........................... 41
Quadro 3 Ações Realizadas pela calculadora no decorrer da
operacionalização............................................................................... 51

10
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ............................................................................ 11
2 As Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para o Ensino
e a Aprendizagem de Matemática .............................................................. 14
3 O ensino e a aprendizagem de cálculos mentais, exatos, aproximados
e com calculadora ..................................................................................... 21
3.1 Cálculo Mental: “Conta de cabeça” ou uma possibilidade para o
início do ensino e da aprendizagem de cálculos na educação básica? ......... 22
3.2 Os Cálculos Exatos e Aproximados ............................................... 27
3.3 Cálculos com Calculadoras: (In)verdades e possibilidades para o
ensino e a aprendizagem da Matemática .................................................... 27
4 PERCURSO METODOLÓGICO .................................................. 32
5 METODOLOGIA DE CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE
APRENDIZAGEM (OA) .......................................................................... 34
5.1 As três primeiras fases de elaboração da PoliKalc: Concepção do
Projeto, Planejamento e Implementação .................................................... 40
5.1.1 A Concepção do Projeto ................................................................ 42
5.1.2 O Planejamento ............................................................................. 45
5.1.3 A Implementação ............................................................................. 53
5.1.3.1 A Kalc Exata ................................................................................. 56
5.1.3.2 A Kalc Quebrada ........................................................................... 60
5.1.3.3 A Kalc Aproximada ....................................................................... 62
5.1.3.4 A Kalc Mental ............................................................................... 65
5.2 Quarta fase de elaboração da PoliKalc: Avaliação do Software ...... 70
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................... 73
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................... 75
ANEXOS .................................................................................................. 79

11
1 INTRODUÇÃO
A ideia da discussão sobre Tecnologias de Informação e
Comunicação (TICs), ensino de cálculos aritméticos e calculadoras em aulas
de Matemática e posteriormente a criação de um software para o ensino e a
aprendizagem de cálculos surgiu devido a dois momentos formativos
vivenciados por mim1 na graduação.
O primeiro se refere aos dois módulos do curso de extensão “A
utilização das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) no processo
de formação docente de licenciados e professores que participavam do
Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência
(PIBID/Matemática)” que tinha por objetivo
oferecer subsídios teórico-metodológicos, em função da
formação de licenciandos e professores que participam
do grupo PIBID/Matemática da UFLA, buscando a
utilização das TICs nos processos de ensinar e aprender
Matemática (MENDES, 2013, p.75).
Esses módulos que ocorreram durante 2011 e 2012 nos
proporcionaram questionamentos acerca das tecnologias para o ensino e a
aprendizagem da Matemática, modificaram nossas concepções em relação as
TICs e possibilitaram a experimentação de algumas dessas tecnologias em
salas de aula do Ensino Fundamental em escolas públicas da cidade de
Lavras - MG.
O segundo momento formativo, que impulsionou a ideia de
elaboração dessa pesquisa e da construção de um software, ocorreu durante
2012 e foi quando participei do Programa Institucional Voluntário de
Iniciação Científica (PIVIC/UFLA) com a pesquisa “Fracasso Escolar em
Matemática: Descobrindo Possibilidades de Superação”.
Tal projeto teve como intuito pesquisar e entender os porquês dos
estudantes, de um sexto ano de uma escola municipal da cidade de Lavras -
1 A primeira pessoa do singular, quando utilizada, refere-se ao pesquisador. Quando
utilizada a terceira pessoa do plural refere-se ao pesquisador e suas orientadoras.

12
MG, aparentemente não terem consolidado alguns conceitos e saberes
matemáticos do campo aritmético. Seguimos o viés das pesquisas sobre
fracasso escolar, afetividade e cognição no ensino e na aprendizagem da
Matemática e os estudos sobre cálculo mental para entender tal
problemática.
Nas aulas de Matemática que acompanhei, os cálculos eram
ensinados e avaliados exclusivamente na forma escrita e exata e os alunos
chegaram ao 6º Ano com um saber tímido sobre estratégias para se calcular e
estimar valores. Assim, nos deparamos com uma das possíveis situações que
podem contribuir com o fracasso escolar em Matemática desses estudantes:
A inexistência de estratégias de cálculo.
Desses dois momentos de formação vivenciados e percebendo que,
por diversos motivos, os professores não estavam ensinando os diferentes
tipos de cálculos, dentre eles a falta de materiais voltados para o ensino e a
aprendizagem de cálculos, passa a existir a ideia de conciliar tecnologia com
ensino de cálculos aritméticos. Assim, surge a motivação de criação de um
Objeto de Aprendizagem para o ensino de cálculos aritméticos: A PoliKalc.
Deste modo, a pergunta que norteou nossas pesquisas, reflexões e
discussões foi: “Como utilizar Tecnologias de Informação e
Comunicação (TICs) para uma mudança de prática de ensino de
cálculos aritméticos no ensino fundamental em uma perspectiva
Construcionista?”
Para responder tal questionamento elencamos um objetivo: criar um
Objeto de Aprendizagem (AO) na perspectiva Construcionista para ser
utilizado no ensino de cálculos aritméticos (mentais, com calculadora, com
algoritmo: exatos e aproximados).
O presente relato foi organizado para descrever as etapas da pesquisa
e concepção da PoliKalc. A seguir apresentaremos como essas etapas foram
organizadas.
No capítulo 2, “As Tecnologias de Informação e Comunicação
(TICs) para o Ensino e a Aprendizagem de Matemática”, para dar

13
suporte para a criação do Objeto de Aprendizagem, discutiremos as
tecnologias da Sociedade de Informação, apoiaremos e trataremos a ideia da
existência de softwares livres, discutiremos quem são os sujeitos que se
relacionam com as tecnologias e por fim compreenderemos como pode se
dar a aprendizagem mediada com tecnologias.
No Capítulo 3, “O ensino e a aprendizagem de cálculos mentais,
exatos, aproximados e com calculadora”, abordaremos a importância do
ensino e da aprendizagem dos diversos tipos de cálculos aritméticos,
aclarando-os, e apontaremos como está acontecendo o ensino e a
aprendizagem de cada tipo de cálculo aritmético.
No Capítulo 4, “Percurso Metodológico”, dissertaremos sobre os
caminhos escolhidos e percorridos na elaboração desse trabalho de
conclusão de curso e no capítulo 5 “Metodologia de Criação de um Objeto
de Aprendizagem (OA)” justificaremos o processo de criação da PoliKalc e
entenderemos tal software.
Este trabalho de conclusão de curso, vislumbra contribuir, criando
um objeto de aprendizagem, com a perspectiva de entendimento de como os
sujeitos aprendem imersos em uma sociedade que acorda com o despertar de
celulares, passa o dia-a-dia em redes sociais, conectados, utiliza calculadoras
para ir ao mercado e dorme ouvindo músicas nos seus MP3, 4, 5, 6...
Boa Leitura.

14
2 As Tecnologias de Informação e Comunicação (TICs) para o
Ensino e a Aprendizagem de Matemática
Para compreendermos em qual contexto se inserirá o Objeto de
Aprendizagem2 criado por nós, foi necessário entender a sociedade na qual
será inserido, os sujeitos que os utilizarão e em qual perspectiva de ensino e
aprendizagem da Matemática estará alicerçado. Assim, este capítulo foi
pensado para que houvesse essas discussões que também deram suporte para
criação do nosso objeto de aprendizagem.
O termo tecnologia provém do grego e seu significado está
intrinsecamente ligado ao conhecimento de uma técnica. No dicionário
Houaiss Online3, tecnologia é a “teoria geral e/ou estudo sistemático sobre
técnicas, processos, métodos, meios e instrumentos de um ou mais ofícios ou
domínios da atividade humana”. Em diferentes momentos históricos,
diversas técnicas foram criadas para responder às necessidades dos seres
humanos. O conhecimento dessas técnicas e o ensino para os seus
descendentes foi o que possibilitou o desenvolvimento de uma determinada
sociedade. Para Ponte (2000, p. 64):
Todas as épocas têm as suas técnicas próprias que se
afirmam como produto e também como fator de
mudança social. Assim, os utensílios de pedra, o
domínio do fogo e a linguagem constituem as
tecnologias fundamentais que, para muitos autores,
estão indissociavelmente ligadas ao desenvolvimento da
espécie humana há muitos milhares de anos.
Deste modo, podemos dizer que apagadores, quadros-negros, lápis e
outros instrumentos utilizados em salas de aula são tecnologias, mas de qual
época? Da atual com certeza (BORBA; PENTEADO, 2003), pois são
utilizadas no cotidiano pelos alunos e professores, mas estamos interessados
nesse trabalho em discutir as mídias provenientes da atual e denominada
2 Trataremos adiante do significado do termo.
3 Dicionário disponível no endereço <http://200.241.192.6/cgi-bin/
houaissnetb.dll/frame>. Acessado em: 09 de Ago. de 2013.

15
Sociedade de Informação4 que podem possibilitar o desenvolvimento de
trabalhos em aulas de Matemática nas escolas.
Assim, para que processos de aprendizagem, com aparatos
tecnológicos da Sociedade de Informação, possam ocorrer faz-se necessário
um ambiente apropriado. Este deve ter características construtivistas, por
entender que o aluno é o centro de sua própria aprendizagem e, por se tratar
da utilização de tecnologias, de aspectos construcionistas (PAPERT, 2008)
por meio do qual o sujeito constrói conhecimentos usando a tecnologia.
A teoria Construcionista está intimamente ligada ao Construtivismo
tanto quanto seus teóricos principais. Jean Piaget (1896 - 1980) influenciou
Seymour Papert (1928 - hoje) em sua teorização. A Epistemologia Genética
Piagetiana5 tenta “explicar a forma como o conhecimento é adquirido pelo
sujeito. Piaget nunca se preocupou com a transposição de suas teorias para a
sala de aula” (ROSA, 2011, p. 15). Já Papert, que estudou com Piaget em
Genebra na Suíça, teve tal preocupação e sua perspectiva “era considerar o
uso da matemática para entender como as crianças podem aprender e pensar”
(CAMPOS, 2008, p. 79). Assim, surge o Construcionismo que tem como
ideia principal propor uma nova abordagem do uso de tecnologias na
educação, tendo como:
Principal fundamento a utilização do computador para a
concretização das construções internas do indivíduo,
que, consequentemente, torna-se matéria-prima para
novas construções internas. Essas construções, por sua
vez, geram novas concretizações. Sendo assim, esse
movimento torna-se continuo entre o concreto e o
abstrato (CAMPOS, 2008, p. 95)
4 Alguns autores entre eles Maltempi (2005) conceituam a sociedade atual como
uma Sociedade do Conhecimento, já outros como Castells (2005), Ponte (2000),
Mendes (2013) a denominam como Sociedade de Informação. Nesse trabalho
utilizaremos a terminologia de Sociedade de Informação.
5 Teoria apresentada por Jean Piaget que objetiva entender a Gênese do
Conhecimento, ou seja, os processos que acorrem com o sujeito e que possibilitam a
construção do conhecimento.

16
Deste modo, percebe-se que o uso, de computadores e calculadoras6,
pode ser pensado e estar alinhado com a ideia de construção do
conhecimento. Por outro lado, quem são os sujeitos que constroem esses
conhecimentos?
Em relação ao uso de tecnologias, Prensky (2001) propõe uma
divisão das pessoas com base nas gerações tecnológicas e cunha os termos
nativo digital e imigrante digital que expressam essa divisão. Com base em
Prensky, Palfrey e Gasser (2011) utilizam o termo nativo digital para
caracterizar os sujeitos nascidos, dentro da Sociedade de Informação na
chamada era digital, após 1980 e os que não nasceram, mas estão imersos
nessa sociedade, denominaram de imigrante digital. O sujeito considerado
nativo digital possui algumas características, como:
uma identidade virtual, pois passam a maior parte do
tempo conectados através das redes sociais, blogs, jogos
online, em meio às inovações tecnológicas. Nesses
espaços socializam, se expressam criativamente e
compartilham ideias e novidades. Desse modo, muitos
nativos digitais não distinguem o online do offline
(SANTOS et AL, 2001, p.15845).
Deste modo, acreditamos que os nativos se interessam por meios de
aprendizagens, com uso de tecnologias, por exemplo, que podem se
distinguir da forma como o professor aprendeu.
Palfrey e Gasser (2013, p.13) consideram que os imigrantes têm
menos familiaridade com o meio digital. A intimidade dos nativos digitais
com as inovações tecnologias é considerável quando comparada a dos
imigrantes digitais.
Há também o grupo de pessoas denominadas de “colonizadores
digitais” (SANTOS et al., 2011) que se caracteriza por serem mais velhos,
6 Concordamos com a ideia de Van de Walle (2009, p.130) de que “o termo
tecnologia no contexto de Matemática Escolar se refere principalmente às
calculadoras de qualquer tipo e aos computadores, incluindo o acesso a internet e
outros recursos disponíveis”, assim ao longo desse texto os termos computadores e
calculadoras estarão se referindo a diversos tipos de tecnologias voltadas para o
ensino de Matemática, dado que grande quantidade de tecnologias utilizadas nas
escolas são disponibilizadas em computadores e calculadoras.

17
também estarem conectados e contribuirem para o avanço tecnológico, mas
interagem com a tecnologia de forma diversa dos nativos.
Coloca-se nesse contexto as relações entre o professor, o saber e o
aluno e deste modo, acreditamos que os professores necessitam atentar para
seu papel enquanto educadores exposta por D’Ambrosio (2005, p. 45)
quando argumenta que:
Nossa missão de educadores tem como prioridade
absoluta obter paz nas gerações futuras. Não podemos
nos esquecer de que essas gerações viverão num
ambiente multicultural, suas relações serão
interculturais e seu dia-a-dia será impregnado de
tecnologia.
Acreditamos que essa impregnação tecnológica necessita ser levada
em conta pelo educador matemático que, por sua vez, pode inserir em suas
aulas tecnologias que se relacionem com a aprendizagem e o ensino de
Matemática para que os estudantes entendam/façam Matemática tanto
quanto dominem as tecnologias.
Entendemos também que não são quaisquer tipos de softwares que
podem ser inseridos em diversas escolas, por conta de seus preços. Assim,
dentre as tecnologias disponíveis, acreditamos que a proposta do software
livre pode possibilitar maior acesso de usuários às tecnologias de informação
e comunicação.
Software livre, por sua vez, se refere a “liberdade de usuários
executarem, copiarem, distribuírem, estudarem, modificarem e
aperfeiçoarem o software.” (PSL BRASIL, 2013). Isso quer dizer que os
códigos fonte dos softwares são abertos, podendo assim, serem modificados
por qualquer pessoa que entenda da linguagem de programação utilizada,
além do usuário ou instituição (no nosso caso a escola) realizar as ações
expostas acima.
Nessa perspectiva, estamos de acordo com Borba e Penteado (2003,
p.17) de que a inserção da informática e de outras mídias na educação deve
ser justificada de duas formas: o direito ao acesso e a alfabetização

18
tecnológica. O direito ao acesso, argumentam esses autores, pode ser visto
como projeto social que tem por finalidade a democratização das
tecnologias. Por outro lado
O acesso à informática deve ser visto como um direito
e, portanto, nas escolas públicas e particulares o
estudante deve poder usufruir de uma educação que no
momento atual inclua, no mínimo, uma “alfabetização
tecnológica”. Tal alfabetização deve ser vista não como
um Curso de Informática, mas, sim, como um aprender
a ler essa nova mídia. Assim, o computador deve estar
inserido em atividades essenciais, tais como aprender a
ler, escrever, compreender textos, entender gráficos,
contar, desenvolver noções espaciais etc. (BORBA;
PENTEADO, 2003, p.17).
Assim, nossa proposta de criação de um software livre está alinhada
com o direito ao acesso e pode vir a ser utilizado para uma alfabetização
tecnológica. Acreditamos que o software livre é um dos caminhos possíveis
para a problemática da inserção de tecnologias nas escolas e quando
defendemos isso estamos pensando nas possibilidades de instalação, copia e
distribuição que tais softwares disponibilizam sem que nos esbarremos em
direitos autorais e uso ilegal de programas. Assim nossa proposta de criação
da PoliKalc vem no sentido de ser um software livre abrangendo as quatro
liberdades (PSL BRASIL, 2013) do usuário desse tipo de software que são:
 A liberdade de executar o programa para qualquer propósito;
 Liberdade de estudar como o programa funciona, e adaptá-lo
para as suas necessidades. Acesso ao código-fonte é um pré-requisito
para esta liberdade;
 A liberdade de redistribuir cópias de modo que você possa
ajudar ao seu próximo;
 E a liberdade de aperfeiçoar o programa, e liberar os seus
aperfeiçoamentos, de modo que toda a comunidade se
beneficie. Acesso ao código-fonte é um pré-requisito para esta
liberdade;

19
Outro ponto que nos fez querer que o código fosse aberto é a
possibilidade de colaboração de outros programadores e pesquisadores
interessados em dar suas contribuições para a PoliKalc, pois temos
consciência de nossas próprias limitações tanto no que diz respeito as
técnicas de programação como as limitações dos conhecimentos em relação
ao ensino e a aprendizagem dos diversos tipos de cálculos.
Deste modo, percebemos também a importância da inserção de
tecnologia para a aprendizagem Matemática em sala de aula, observamos
que o ensino da Matemática como o das outras ciências está sofrendo
processos de transformação. Essas mudanças, sugeridas pelos Parâmetros
Curriculares Nacionais - PCNs (BRASIL, 1998, p.43), apontam que:
As tecnologias, em suas diferentes formas e usos,
constituem um dos principais agentes de transformação
da sociedade, pelas modificações que exercem nos
meios de produção e por suas conseqüências no
cotidiano das pessoas.
Nessa linha de raciocínio, os PCNs nos mostram a importância da
tecnologia para os processos de ensino e aprendizagem da Matemática e
enumeram quatro contribuições para se repensar tais processos, são elas:
 Relativiza a importância do cálculo mecânico e da simples manipulação
simbólica, uma vez que por meio de instrumentos esses cálculos podem ser
realizados de modo mais rápido e eficiente;
 Evidencia para os alunos a importância do papel da linguagem gráfica e de
novas formas de representação, permitindo novas estratégias de abordagem
de variados problemas;
 Possibilita o desenvolvimento, nos alunos, de um crescente interesse pela
realização de projetos e atividades de investigação e exploração como parte
fundamental de sua aprendizagem;
 Permite que os alunos construam uma visão mais completa da verdadeira
natureza da atividade matemática e desenvolvam atitudes positivas diante
de seu estudo. (BRASIL, 1998, p.43).
Desta forma e entendendo que “a humanidade está envolvida pela
tecnologia” (SKOVSMOSE, 2001, p.77), defendemos que tecnologias
devem ser formuladas/criadas para que possam auxiliar no ensino e na
aprendizagem da Matemática em seus diferentes campos como a geometria,
a álgebra e, no nosso foco de trabalho, os diversos tipos de cálculos

20
aritméticos. Assim, no próximo capítulo discutiremos o ensino e a
aprendizagem do nosso foco trabalho.

21
3 O ensino e a aprendizagem de cálculos mentais, exatos,
aproximados e com calculadora
Algumas pesquisas (GOMES, 2007; MEGID, 2009) apontam a
importância das construções de estratégias de cálculos para o
desenvolvimento de conceitos matemáticos pelos estudantes. Outras
(FONTES, 2010; GUIMARÃES; FREITAS, 1997; PARRA, 1996;) se
concentram em analisar e refletir sobre o valor, o ensino e/ou a
aprendizagem dos cálculos aritméticos nos anos iniciais do ensino
fundamental.
Nos Parâmetros Curriculares Nacionais – PCN (BRASIL, 1998) e
em toda sua extensão é focalizado o papel basilar da compreensão e
apropriação dos diversos tipos de cálculos - o mental e o escrito, com
calculadora, o exato e o aproximado - em todos os anos do ensino
fundamental. O NCTM (National Council of Teachers of Mathematics), por
sua vez, elaborou um esquema (Figura 1) para a compreensão das relações
entre os cálculos:
Figura 1 Relações entre os Cálculos segundo NCTM (apud FONTES, 2010)

22
Por meio do esquema apresentado, suponhamos que exista um
problema a ser resolvido e para resolvê-lo um sujeito necessita fazer um
cálculo. Dependendo do problema em questão faz-se uso de um cálculo
exato ou aproximado. Se exato, pode-se utilizar estratégias de cálculo
mental, algoritmo (utilizando-se da escrita) e/ou uso de
calculadora/computador. Por outro lado, se o cálculo requerido for
aproximado utiliza-se a estimativa por meio de algoritmo, cálculo mental ou
a calculadora/computador.
Neste contexto, percebe-se a necessidade de inserção nas salas de
aulas de Matemática de práticas de ensino que integrem os cálculos, mas que
também seja um projeto contínuo do professor de Matemática.
Por outro lado, autoras como Parra (1996) e Fontes (2010)
constataram que os cálculos nos anos iniciais são basicamente ensinados na
forma escrita e exata por meio de algoritmos pré-estabelecidos, assim
intervenções que se proponham a ampliar tais práticas como a defendida
nessa pesquisa por meio da criação de um objeto de aprendizagem,
contribuem para um novo entendimento em relação ao ensino e a
aprendizagem de cálculos.
Nesse capítulo pretendemos: caracterizar o ensino e a aprendizagem
dos diversos tipos de cálculo (mental, com calculadora, com algoritmo:
exatos ou aproximados) e justificar a importância da inserção e do ensino de
diferentes estratégias de cálculo em aulas de Matemática utilizando as
tecnologias de informação e comunicação.
3.1 Cálculo Mental: “Conta de cabeça” ou uma possibilidade para o
início do ensino e da aprendizagem de cálculos na educação básica?
À entrada do auditório, umas mocinhas da Universidade encarregam-se
da venda dos livros de Torrente. Escolho uma meia dúzia deles e
fico à espera de que me façam as contas e digam quanto tenho que

23
pagar. Seis livros, seis parcelas de uma soma simples, nenhuma delas
com mais de dois dígitos.
A primeira tentativa falhou, a segunda não foi melhor. Eu olhava,
assombrado, o modo como a rapariga ia somando, dizia sete mais
seis, treze, e vai um, escrevia 3 na soma, 1 ao lado, e prosseguia,
adicionando por escrito os que iam aos que estavam, como, nos
velhos tempos, um estudante da primeira classe antes de aprender a
usar a memória.
Uma colega explicou-me com um sorriso envergonhado: “É que falta
a máquina.” Diante daquela florida e ignorante juventude, senti-me,
de súbito, infinitamente sábio em aritméticas: pedi o papel e o
lápis e, com um ar de triunfo condescendente, rematei a soma num
instante,mentalmente. As pobres pequenas ficaram esmagadas,
confusas, como se, tendo-lhes faltado os fósforos no meio da selva,
lhes tivesse aparecido um selvagem com dois pauzinhos secos e a arte
de fazer lume sem calculadora.
(SARAMAGO, 1997)
Os primeiros indícios de introdução do cálculo mental nos currículos
brasileiros datam de 1891 e são encontrados em documentos do Colégio
Pedro II. Tal colégio era referência e modelo para outras escolas brasileiras
até as primeiras três décadas do século XX7 e a concepção de educação
estava direcionada para os exames preparatórios para os estudos superiores
(GOMES, 2007).
Passados mais de 100 anos, as concepções e o entendimento em
relação ao cálculo mental não tiveram grandes mudanças. Quando nos
referimos ao cálculo mental, uma das primeiras ideias que nos vem em
mente é a ideia de “fazer conta de cabeça”. Tal pensamento não está errado,
mas incompleto. Fontes (2010, p. 219), se referindo a concepção que alguns
de seus sujeitos de pesquisa tinham em relação ao cálculo mental, afirma
que:
As crianças não precisam pensar em cálculo mental
somente de cabeça, podem escrever as etapas do cálculo
mental para registrar as etapas do seu pensamento,
podem voltar e conferir como pensaram e mostrar esse
caminho aos outros colegas.
7 Em 1931 surge a Reforma Francisco Campos que se torna parâmetro para as
escolas da época.

24
Outro ponto que necessita estar claro em relação ao cálculo mental é
a corriqueira confusão existente quando um sujeito resolve uma operação
utilizando um algoritmo 8 mentalmente, algumas vezes escrevendo até a
conta armada no ar com os dedos das mãos. Essa ação não é considerada
cálculo mental.
Não existe também a dicotomia entre cálculo escrito e cálculo
mental, uma vez que o cálculo mental pode ser realizado com o apoio de
“lápis e papel”, assim:
cada vez mais a criança poderá elaborar estratégias
observáveis e passíveis de conferência, para torná-la
cada vez mais independente desses objetos e
aproximando-se cada vez mais do cálculo sem tais
recursos concretos (FONTES, 2010, p.32).
O cálculo mental algumas vezes é relacionado também com rapidez
de resolução. Não necessariamente isso pode ocorrer. Essa concepção de
rapidez se dá por entender que em situações cotidianas, como ir a um
supermercado, o cálculo exigido mentalmente deve ser rápido e não exato.
Assim, surge outro equivoco: a confusão entre cálculo mental e aproximado.
Pode-se perceber pelo esquema do NCTM (Figura 1) que há sim
uma relação entre os cálculos mentais e aproximados, bem como com o
cálculo exato. Suponhamos a seguinte situação: “Pedrinho vai com sua mãe
em uma feira no dia de domingo. Ela compra 5 tomates por R$ 3,00, 10
laranjas por R$ 5,00 e algumas peras por R$ 7,00. Depois disso, ela pede
para Pedrinho fazer a conta de quanto ela deve pagar ao dono da banca de
frutas”.
Podemos observar por essa situação que uma das formas de
resolução que poderia surgir seria Pedrinho somar os três valores, achando
uma resposta exata. O cálculo mental entraria nessa situação a partir do
8 Entendemos por algoritmo “uma série finita de regras a serem aplicadas em uma
ordem determinada a um número finito de dados para chegar com certeza (quer
dizer, sem indeterminação ou ambiguidades) e em um número finito de etapas, a
determinado resultado, e isso independentemente dos dados” (Bouvier, apud Parra
(1996, p.189)).

25
momento em que ele escolheria uma estratégia para encontrar a solução.
Pedrinho poderia pensar o seguinte: Primeiramente somaria 7 com 3,
encontrando R$10,00 e depois aumentaria 5, encontrando o resulta exato de
R$ 15,00. Mas, se os preços fossem R$ 3,75, R$ 5,92 e R$ 7,05
respectivamente. Pedrinho poderia dar uma resposta exata utilizando
estratégias de cálculo mental ou dar uma resposta aproximada utilizando ou
não essas mesmas estratégias de cálculo mental.
Assim, entendemos que uma definição única de cálculo mental se
torna difícil de ser elaborada, como acredita Parra (1996, p.186) quando
afirma que “‘cálculo mental’ é uma expressão que pode ter muitos
significados, dividindo opiniões, provocando dúvidas e expectativas”. Mas,
necessitamos nesse trabalho de uma conceituação sobre cálculo mental,
possibilitando assim a criação de uma perspectiva didática9 . Assim, nos
apoiamos nessa mesma autora quando cita que cálculo mental é:
um conjunto de procedimentos em que, uma vez
analisados os dados a serem tratados, estes se articulam,
sem recorrer a um algoritmo pré-estabelecido para obter
resultados exatos ou aproximados (PARRA, 1996,
p.189).
Deste modo, continuando suas argumentações, Fontes (2010) e Parra
(1996) ao longo de seus escritos nos mostram algumas vantagens da
aprendizagem de estratégias de cálculo mental que indicamos a seguir:
 As aprendizagens no campo do cálculo mental influem na
capacidade de resolver problemas;
 Aumento do conhecimento no campo numérico;
 Habilita para uma maneira de construção do conhecimento que
fornece uma melhor relação do aluno com a Matemática;
 Aumenta a capacidade de iniciativa do aluno;
 Desenvolve o pensamento flexível;
9 Parra (1996) argumenta que deve-se definir o significado de cálculo mental por
uma finalidade prática, para que, a partir daí, possa-se tecer argumentos que
justifiquem o ensino do cálculo mental na escola. Assim, necessita-se pautar uma
nova perspectiva de ensino diferente da anterior, que focava-se em cálculos exatos e
escritos. Tal perspectiva didática inclui o “fornecimento de orientações para o
trabalho e a discussão entre professores, assim como sugestões para o tratamento do
cálculo mental na aula” (PARRA, 1996, p. 187).

26
 Promove o sentido do número e a compreensão do sistema decimal;
 Encoraja a criatividade;
 Permite liberdade e flexibilidade na escolha do processo de solução
e;
 Amplia o conceito de valor posicional de número.
Com o passar do tempo, enquanto as relações e o repertório de
cálculo vão se expandindo surge espaço para a memorização. Assim, alguns
cálculos como, por exemplo, 1 + 1 e 10x10 são rapidamente realizados por
estarem memorizados. Esse processo proporciona o aprendizado de
conceitos mais sofisticados e abstratos, fato que a aprendizagem apenas do
algoritmo seja ela da divisão, subtração, multiplicação ou adição não
proporcionam.
Em relação aos algoritmos aprendidos na escola, Fontes (2010)
acredita que deveriam ser ensinados pelos professores mais tardiamente. O
algoritmo permite encontrar as soluções facilmente, mas podem dificultar o
processo de compreensão das relações numéricas. Assim,
Quando se ‘atropela’ a aprendizagem com o ensino de
algoritmos antes do domínio do cálculo, não se trabalha
sua lógica, somente sua sequência e regras e, por se
tratar de um conhecimento não questionado, apenas
memorizado, unilateral, pode bloquear o raciocínio, não
permitindo que se realize o estabelecimento de relações,
a principal característica do cálculo mental. (FONTES,
2010, p. 36)
Portanto, esquecer ou inverter a ideia de que o ensino deve partir de
onde o aluno está, pode comprometer a aprendizagem. Aproveitar a vivência
que o estudante teve antes de chegar a idade escolar (LORENZATO, 2006)
tanto quanto inseri-las em sala de aula oferecendo oportunidades “de
resolver problemas em contextos práticos” (CARRAHER; CARRAHER;
SCHLIEMANN, 2006, p. 82) pode ser um dos pontos para o ensino e a
aprendizagem da Matemática com compreensão. No capítulo 5 mostraremos
as estratégias de cálculo mental escolhidas para serem inseridas na PoliKalc.

27
3.2 Os Cálculos Exatos e Aproximados
Os cálculos exatos perpassam todos os anos escolares e são
necessários em diferentes conteúdos da Matemática. São ensinados
basicamente por meio de algoritmos e na forma escrita. Isso já não acontece
com os cálculos aproximados, deixados de lado e julgados como um tipo de
cálculo menor, que não tem utilidade.
Em sociedade, ao contrário, os cálculos exatos, tanto quanto os
aproximados têm diversas utilidades. Assim, é aconselhável que estejam nos
mesmos patamares quando um professor planeja ensinar as operações
básicas.
Livros didáticos (IMENES; LELLIS, 2006; LOPES, 2006) abordam
os diversos tipos de cálculo de maneira diferente de livros mais antigos.
Imenes e Lellis (2006), por exemplo, em seus livros, de sexto ao nono ano,
da coleção “Matemática para todos” traz os cálculos exatos e aproximados
contextualizados juntamente com propostas de ensino utilizando
calculadoras e o cálculo mental.
Percebemos também por meio dos livros didáticos que a maneira de
abordar e/ou inserir os cálculos ao longo do tempo sofre mudanças. Lopes
(1994) em seu livro didático “Matemática Atual” da oitava série (hoje nono
ano) não insere a calculadora como instrumento para aprendizagem de
cálculos, 12 anos depois, Lopes (2006) na coleção “Matemática hoje é feita
assim” aborda atividades voltadas para o uso da calculadora, bem como trata
os outros tipos de cálculos (exatos e aproximados) de maneira
contextualizada.
3.3 Cálculos com Calculadoras: (In)verdades e possibilidades para o
ensino e a aprendizagem da Matemática

28
O Rodrigo não entendia por que precisava aprender matemática, já
que a sua minicalculadora faria todas as contas por ele, pelo resto da
vida, e então a professora resolveu contar uma história. Contou a
história do Supercomputador.
Um dia disse a professora, todos os computadores do mundo serão
unificados num único sistema, e o centro do sistema será em alguma
cidade do Japão. Todas as casas do mundo, todos os lugares do
mundo terão terminais do Supercomputador. As pessoas usarão o
Supercomputador para compras, para recados, para reservas de
avião, para consultas sentimentais. Para tudo.
Ninguém mais precisará de relógios individuais, de livros ou de
calculadoras portáteis. Não precisará mais nem estudar. Tudo que
alguém quiser saber sobre qualquer coisa estará na memória do
Supercomputador, ao alcance de qualquer um. Em milésimos de
segundo a resposta à consulta estará na tela mais próxima. E haverá
bilhões de telas espalhadas por onde o homem estiver, desde
lavatórios públicos até estações espaciais. Bastará ao homem apertar
um botão para ter a informação que quiser.
Um dia, um garoto perguntará ao pai:
_Pai, quanto é dois mais dois?
_Não pergunte a mim – dirá o pai -, pergunte a Ele.
E o garoto digitará os botões apropriados e num milésimo de segundo
a resposta aparecerá na tela. E então o garoto dirá:
_Como é que sei que a resposta é certa?
_Porque Ele disse que é certa – responderá o pai.
_E se Ele estiver errado?
_Ele nunca erra.
_ Mas se estiver?
_Sempre podemos contar nos dedos.
_O quê?
_Contar nos dedos, como faziam os antigos. Levante dois dedos.
Agora mais dois. Viu? Um, dois, três, quatro. O computador está
certo.
_Mas, pai, e 362 vezes 17? Não dá para contar nos dedos. A não ser
reunindo muita gente e usando os dedos das mãos e dos pés. Como
saber se a resposta d’Ele está certa?
Aí o pai suspirou e disse:
_Jamais saberemos...
O Rodrigo gostou da história, mas disse que, quando ninguém mais
soubesse matemática e não pudesse pôr o Computador à prova, então
não faria diferença se o Computador estava certo ou não, já que a sua
resposta seria a única disponível e, portanto, a certa, mesmo que
estivesse errada, e...
Aí foi a vez da professora suspirar.
(VERÍSSIMO, 2001, p. 25)
As calculadoras bem como outras tecnologias não podem ser
observadas como as redentoras do ensino e da aprendizagem da Matemática,

29
mas também não podem ser vistas como o mal que assola a aprendizagem
dessa disciplina escolar.
Dentro dos discursos existentes acerca dos malefícios dos cálculos
com calculadoras em aulas de Matemática estão alguns que abordaremos e
que entendemos que estão equivocados por se respaldarem em
juízos/avaliações superficiais dessa tecnologia.
Uma das primeiras ideias que surgem é que a calculadora
impossibilitará o aprendizado dos conceitos de número, sistema decimal e
suas operações. Mas, as (im)possibilidades do aprendizado desses conceitos
vão muito além da utilização ou não dessa mídia. Se pensarmos que uma
mídia influência/atrapalha no aprendizado de algum conceito, podemos fazer
a mesma analogia para o lápis e o papel, justificando que tais materiais (que
são tecnologias) são espécies de “muletas” para a construção de
conhecimento. Mas isso não acontece, e concordamos também que:
sempre há uma dada mídia envolvida na produção de
conhecimento. Dessa forma, essa dependência sempre
existirá e estará bastante relacionada ao contexto
educacional em que nos encontremos. (BORBA;
PENTEADO, 2003, P. 13).
Van de Walle (2009, p.131) defende que é mais importante
argumentar ou resolver problemas do que o desempenho nas tediosas
operações a mão que não envolve o pensar e, assim deve-se ter em mente
também que:
a calculadora não opera por si mesma e que os alunos
precisam decidir o que realizarão com o auxilio desse
recurso e, assim, essa ferramenta não restringe a
autonomia dos alunos em decidirem quais os
procedimentos que adotarão para a resolução de
determinado problema. (SELVA; BORBA, p.11, 2010)
Deste modo, também é equivocado o argumento de que os
estudantes ficariam dependentes das calculadoras e se tornariam preguiçosos
na medida em que, dependendo do planejamento do professor, a calculadora
se torna um instrumento no qual os estudantes podem interpretar dados,

30
decidir a melhor maneira de resolver um problema e entender os resultados
que aparecem no visor por exemplo.
Para Van de Walle (2009) há também a concepção de que os
estudantes “devem aprender o ‘modo real’ antes de usar calculadoras”. Mas,
tal autor argumenta que, lápis, papel, regras e fórmulas para se calcular, que
são considerados modos reais, contribuem pouco para a compreensão. Outro
fator determinante é que as calculadoras são rotineiras no dia-a-dia, assim
constituem um “modo real” e legítimo para se calcular.
Os computadores e as calculadoras perpassam as atividades
cotidianas das pessoas. Assim, “é importante não pensar em tecnologia como
um fardo extra adicionado à lista de coisas que você – professor – já realiza
em sua sala de aula” (VAN DE WALLE, 2009, p.130). Acreditamos que tais
mídias devem estar a disposição de estudantes e professores quando forem
necessárias, por entendermos que há benefícios a serem observados, tais
como: a possibilidade de desenvolvimento de conceitos, trabalho com a
exercitação, fortalecimento da resolução de problemas e economia de tempo.
Em relação ao desenvolvimento de conceitos utilizando a
calculadora, Van de Walle (2009, p. 131), cita um exemplo: Peguemos
796/42 = 18,95348. A tarefa consiste em determinar o resto inteiro dessa
divisão. Assim acreditamos que, deste modo, o conceito de divisão está
sendo desenvolvido e tal tarefa constitui-se um problema que pode ser
resolvido de diferentes formas.
A resolução de problemas por sua vez constitui a base do ensino de
Matemática atualmente, pois “a maioria, senão todos, dos conceitos e
procedimentos matemáticos podem ser ensinados melhor através da
resolução de problemas” (VAN DE WALLE, 2009, p. 57). Todavia, existem
alguns problemas que requerem cálculos que podem distrair a atenção do
sujeito do significado do problema em questão. Assim, a calculadora se
insere como material de apoio para a resolução do problema.
Há também a possibilidade que reside em exercitar/treinar por meio
da calculadora. Por exemplo, coloca-se 5 + 7 na calculadora. O exercício

31
será apertar diversas vezes a tecla = acrescentando, a cada vez que
pressionada, sete unidades. O objetivo é o sujeito descobrir qual será o
resultado que aparecerá no visor antes de apertar a tecla de igualdade. Outra
possibilidade é descobrir as funções das memórias M+, M- E MRC e
planejar atividades a partir dessas funções.
Ciente de todas essas possibilidades, Van de Walle (2009, p. 132)
acredita que “as calculadoras devem estar nas escrivaninhas dos estudantes a
toda hora desde a educação infantil até o ensino médio”. Mas, surgem
impedimentos. Entre eles: A viabilidade, da pluralidade de estudantes e
escolas brasileiras, de terem acesso a essa tecnologia e a formação dos
professores para trabalharem com calculadoras.
Deste modo, nosso OA, a PoliKalc, é um software que pode ser
instalada nos computadores. Assim, todos os custos referentes aos aparatos
físicos que compõem uma calculadora comum, na PoliKalc são inexistentes.
Nos próximos capítulos será discutido a metodologia dessa pesquisa bem
como a metodologia de construção de um objeto de aprendizagem.

32
4 PERCURSO METODOLÓGICO
Entendemos que esse trabalho de conclusão de curso está alicerçado
em duas dimensões. Na dimensão de pesquisa o trabalho se organizou com
abordagem qualitativa. No que se refere à forma de obtenção dos dados e
compreensão do fenômeno estudado, no caso, o uso de TIC como vetor de
mudança da prática de ensino de cálculo aritmético, utilizamos a pesquisa
bibliográfica. Ela também foi utilizada como fonte para a construção dos
conceitos chave do referencial teórico e para identificar referências que
dessem base para a concepção da PoliKalc.
Na dimensão de desenvolvimento tecnológico, para a construção da
PoliKalc acrescentou-se a metodologia de construção/concepção de “Objetos
de Aprendizagem/ Desenvolvimento de Aplicações Educacionais”.
A metodologia de pesquisa qualitativa, por sua vez, foca o subjetivo,
tenta entender os processos que se colocam em um determinado período não
se atentando meramente em números, dados estatísticos ou mensurações.
Bicudo (2010, p.106) acrescenta que:
O qualitativo engloba a ideia do subjetivo, passível de
expor sensações e opiniões. O significado atribuído a
essa concepção de pesquisa também engloba noções a
respeito de percepções de diferenças e semelhanças de
aspectos comparáveis de experiência, como, por
exemplo, da vermelhidão do vermelho, etc.
Essa pesquisa, quando almeja reflexionar sobre tecnologias em aulas
de matemática, cálculos, calculadora e a construir um software respalda-se
no qualitativo no momento em que toda a discussão proveniente é subjetiva
e que:
envolve uma postura interpretativa e naturalística diante
do mundo. Isso significa que os pesquisadores desse
campo estudam as coisas em seus contextos naturais,
tentando entender ou interpretar os fenômenos em
termos dos sentidos que as pessoas lhes atribuem
(FLICK, 2009, p.16).

33
Outro ponto está presente no caráter temporal incluso na pesquisa: a
atual sociedade da informação, mas que não objetiva o levantamento
estatístico acerca das tecnologias em salas de aula ou a quantificação de
professores que trabalham com cálculo mental em uma determinada
localidade dentro dessa temporalidade, por exemplo.
Para a criação PoliKalc, contamos com o pesquisador, suas duas
orientadoras e os conhecimentos de um programador para que as ideias
elaboradas pudessem sair do papel. Compreendemos que a união entre
diferentes sujeitos com conhecimentos distintos foi o que possibilitou a
construção da PoliKalc, o que não teria acontecido sem essa parceria.
O pesquisador por sua vez teve o papel de transmitir as ideias,
discutidas com suas orientadoras, para o programador poder elaborar o
software.
Após a elaboração do OA, o pesquisador se encarregou de descrever
o software, bem como, reflexionar sobre seu desenvolvimento e sobre o
ensino de cálculos aritméticos com tecnologias, mostrando algumas das
possibilidades de uso.

34
5 METODOLOGIA DE CRIAÇÃO DE UM OBJETO DE
APRENDIZAGEM (OA)
O ensino de cálculos mentais, exatos e aproximados, quando
existentes, se dá por meio de materiais concretos (ábacos, material dourado,
etc.) ou na utilização de papel e lápis. A PoliKalc se insere nesse contexto
com o desafio de entrelaçar tecnologia com o ensino de cálculos.
Nesse sentido, entendemos que a criação de um material desse tipo
requer uma metodologia para elaboração de Objetos de Aprendizagem (OA).
O termo “Objeto de Aprendizagem” foi apresentado primeiramente por
Wayne Hodgins em 1992. Por sua vez Wiley (2000) citado por Reis (2010,
24) define OA como sendo “qualquer recurso digital que pode ser reusado
para dar suporte à aprendizagem.”
Assim, encontramos um caminho ao estudar a dissertação de Reis
(2010) que abordou o processo de construção de OA em Cálculo Diferencial
e Integral durante uma atividade de design.
Reis (2010, p.26) afirma que “em relação ao planejamento e à
construção de Objetos de Aprendizagem não existe um modo que seja
considerado ideal”. Complementa mostrando que são elaborados, em sua
maioria, por equipes de trabalho interdisciplinares, contendo professores e
licenciandos de diferentes áreas, programadores, designers, desenhistas,
dentre outros.
Durante o processo de criação do OA nos deparamos com a
metodologia de “concepção e desenvolvimento de aplicações
educacionais” 10 exposta por Amante e Morgado (2001) trazida na
dissertação de Reis (2010) e percebemos que era a metodologia que
utilizamos para a criação da PoliKalc.
10 Entendemos que a terminologia “Objeto de Aprendizagem” é mais ampla do que
“Aplicação Educacional”. Nesse trabalho utilizaremos as duas formas para nos
referirmos a PoliKalc.

35
Segundo Reis (2010) mesmo com as diferentes dinâmicas de
trabalho para a criação de um OA, alguns autores, entre eles Amante e
Morgado (2001), delimitam fases para a criação de tais objetos.
Assim, nos debruçamos no trabalho de Amante e Morgado (2001)
para compreender a metodologia de implementação de software que
estávamos utilizando, mas que não sabíamos de sua existência na literatura.
Tais autoras sugerem quatro fases para a construção de aplicações
educacionais: A Concepção do Projeto, a Planejamento, a Implementação e a
Avaliação.11
Para a implementação da PoliKalc levamos em conta três aspectos
fundamentadores que acreditamos ser relevantes na criação de softwares
voltados para o ensino, são eles: O Construcionismo, A Espiral da
Aprendizagem e a Aprendizagem Significativa.
Em primeiro lugar, observamos as cinco dimensões do
construcionismo e da criação de ambientes de aprendizagem utilizando
tecnologias. Concordamos que um ambiente propício para aprendizagem
exige muito mais do que o estudante e um computador/software e que:
é preciso um ambiente acolhedor que propicie a
motivação do aprendiz a continuar aprendendo, um
ambiente que seja rico em materiais de referência, que
incentive a discussão e a descoberta e que respeite as
características específicas de cada um (MALTEMPI,
2004, p.266).
Na elaboração da PoliKalc, entendemos que se tornou importante
observar as cinco dimensões da criação de ambientes de aprendizagem
construcionistas para que o software esteja em sintonia com o ambiente que
deseja-se criar.
As cinco dimensões trazidas por Papert, elucidadas na pesquisa de
Maltempi (2004), são denominadas: dimensão pragmática, sintônica,
sintática, semântica e social. No Quadro 1 segue as principais características
de cada dimensão e como elas se relacionam com a PoliKalc.
11 As primeiras três fases serão detalhadas na seção 5.1 desse capítulo e a quarta fase
na seção 5.2.

36
Quadro 1 Dimensões para criação de ambientes de aprendizagem versus PoliKalc
Dimensão Características Relação com a
PoliKalc
Pragmática
Refere-se a sensação
que o sujeito tem de
estar aprendendo algo
que pode ser utilizado
de imediato e não em
um futuro distante.
Perceber que algo
aprendido é útil. Traz
uma sensação de
praticidade e poder,
incentivando a busca
pelo saber.
O aprendizado de
cálculos é utilizado
corriqueiramente em
atividades do dia-a-dia,
logo os aprendizados
com a PoliKalc serão
utilizados de imediato.
Sintônica
Está relacionada com o
aprendizado
contextualizado.
Fortalece a relação
aprendiz-objeto.
Aprender cálculos
exatos, aproximados,
mentais com um objeto
(calculadora) presente
no meio social. A
contextualização se dá
por meio do
planejamento de
atividades com a
PoliKalc.
Sintática
Possibilita ao sujeito o
fácil acesso aos
elementos básicos que
compõem o ambiente
de aprendizagem e
progredir na
manipulação desses.
"O ideal seria que os
materiais usados
pudessem ser
acessados sem nenhum
pré-requisito e que
também oferecessem
um escopo de
O software proposto foi
pensado para ser de
fácil manipulação, sua
utilização tem poucos
pré-requisitos e o
desenvolvimento de
conceitos por meio do
software dependerá dos
planejamentos que
surgirem.

37
desenvolvimento
ilimitado" (p.267)12.
Semântica
"Refere-se à
importância de o
aprendiz manipular
elementos que
carregam significados
que fazem sentido para
ele, em vez de
formalismos e
símbolos” (p.268).
A PoliKalc foi
planejada com o intuito
de ser um desses
elementos que
carregam significado
no qual sua utilização
preze pelo conhecer
com compreensão.
Social
"Aborda a integração
da atividade com as
relações pessoais e com
a cultura do ambiente
no qual ela se encontra.
O ideal é criar
ambientes de
aprendizagem que
utilizem materiais
valorizados
culturalmente" (p.268)
As calculadoras,
softwares e
computadores são
elementos culturais da
sociedade atual, sendo
valorizados
culturalmente. Assim, a
PoliKalc vai ao
encontro da dimensão
social na criação de um
ambiente de
aprendizagem
construcionista.
Maltempi (2004) argumenta ainda que a ideia de construção de
produtos está diretamente ligada ao Construcionismo. Ao construir produtos
o sujeito pode mostrar os resultados a outras pessoas, explicitando as ideias
que foram surgindo.
Na Polikalc, o produto resultante dependerá dos planejamentos dos
professores, e da manipulação das diferentes calculadoras, pois se tratando
de um software a principio já programado o planejamento definirá o
resultado de uma atividade.
O segundo ponto fundamentador na elaboração da PoliKalc foi a
espiral de aprendizagem (VALENTE, 1993). Valente denomina esse ciclo
em seus trabalhos a partir de 2004. Quando se trabalha com tecnologias que
12 Citações extraídas de Maltempi (2004).

38
tornam o sujeito construtor do seu próprio conhecimento a espiral de
aprendizagem surge por meio da relação sujeito-software.
O primeiro ciclo da espiral é definido por Valente (1993) como
descrição-execução-reflexão-depuração. Corroboramos com a ideia de que
softwares que possibilitam tal espiral fazem com que o sujeito se torne mais
autônomo e ativo, assim tentamos fazer com que a PoliKalc, de certa forma,
pudesse proporcionar uma espiral de aprendizagem. Na imagem (Figura 2) é
representada a espiral de aprendizagem adaptada de Maltempi (2004).
Figura 2 Espiral de Aprendizagem baseado em Maltempi (2004).
A descrição é entendida como sendo a ação que o sujeito realiza no
momento em que passa as suas ideias para o software. Na PoliKalc, essa
ação dependerá de qual calculadora o sujeito estará utilizando e do
planejamento do professor.

39
O OA realiza então o segundo momento do ciclo, a execução dos
comandos, mostrando na tela ou caixa de texto/diálogo, dependendo da
calculadora, o resultado.
Em seguida o sujeito faz uma reflexão sobre os dados mostrados
pela PoliKalc partindo para uma comparação com o que havia planejado.
Tomemos como exemplo a Kalc Mental: O sujeito digitou a operação 9 + 7
na calculadora. No momento em que apertar a tecla de igualdade é a vez da
Kalc Mental executar os comandos. Suponhamos que a calculadora mostre o
resultado 16 no visor, e na caixa de diálogo sugira uma solução onde se
decomponha o 7 em 1 + 6, some primeiro 9 + 1 obtendo 10 e depois
acrescente as 6 unidades restantes chegando ao valor de 16.
O sujeito, na fase de reflexão, poderá questionar se não há outra
estratégia de cálculo mental que possa ser utilizada ou que seria utilizada por
ele. Há duas situações que podem ocorrer: A estratégia mostrada pela Kalc
Mental foi a esperada pelo sujeito ou o resultado fornecido não corresponde
ao esperado, assim o estudante necessita depurar a solução dada pela Kalc,
identificando as possíveis falhas (se houver) partindo assim para um novo
ciclo de descrição.
Enfatizamos durante todo esse trabalho de conclusão de curso que
dependerá, em certa medida, do planejamento do professor o êxito da
PoliKalc. Temos consciência que não podemos prever as ideias de trabalho
que podem surgir a partir do software. Deste modo, os exemplos dados ao
longo dessa pesquisa são genéricos e não podem ser pensados como única
maneira de utilização da calculadora, cabendo ao professor, mediador da
aprendizagem, ter a motivação e criatividade de criar problemas e exercícios
com a PoliKalc.
Entendemos também que a aprendizagem construída por meio da
PoliKalc pode ser significativa. Deste modo, o terceiro ponto que
fundamenta a criação do OA em questão é o conceito de Aprendizagem
Significativa.

40
Fernandes (2013, p.2) argumenta que “pensada para o contexto
escolar, a teoria de Ausubel leva em conta a história do sujeito e ressalta o
papel dos docentes na proposição de situações que favoreçam a
aprendizagem”.
Concordamos que quando tratamos dos diferentes tipos de cálculos
estamos recorrendo aos conhecimentos prévios dos estudantes. Suas
experiências são necessárias para que, por exemplo, se crie estratégias para
se calcular. Não é diferente quando propomos a utilização da PoliKalc para o
ensino de cálculos aritméticos, pois estamos pensando em um sujeito que
traz uma bagagem de conhecimentos que possibilita a construção de novos
conceitos.
Fernandes (2013) aponta ainda que há duas condições para que a
aprendizagem significativa ocorra, são elas: o conteúdo a ser ensinado deve
ser potencialmente revelador e o estudante precisa ter disposição para
relacionar o material de maneira consistente e não arbitrária. Gostaríamos
que essas ações ocorressem na utilização da PoliKalc, mas tais condições
depende dos agentes envolvidos no processo de ensino e de aprendizagem.
Abaixo mostramos as fases de elaboração do OA e como este se relaciona
com os três pontos (aprendizagem significativa, Construcionismo e espiral
de aprendizagem) fundamentadores elencados por nós.
5.1 As três primeiras fases de elaboração da PoliKalc: Concepção do
Projeto, Planejamento e Implementação
Para a construção da PoliKalc seguimos a metodologia de concepção
de aplicações educativas definida por Amante e Morgado (2001). As
referidas autoras dividem a elaboração de aplicações educativas em quatro

41
fases: (1) Concepção do Projeto; (2) Planejamento13; (3) Implementação; (4)
Avaliação.
A primeira fase “Concepção do projeto” objetiva elaborar a ideia
inicial definindo a aplicação que se deseja desenvolver. O “Planejamento”
diz respeito a toda sistematização prévia de construção da
aplicação/software, criando em muitos casos, o que as autoras denominam
de “storyboard” ou “guião de autor”14.
A terceira fase, “Implementação”, é a elaboração propriamente dita,
utiliza-se do “guião” como ponto de partida. Por sua vez, a quarta fase,
“Avaliação”, fixa-se na testagem do produto observando se o software
apresenta as características técnicas, funcionais, didáticas e de design que
foram imaginados que teria. A ilustração abaixo (Figura 3) mostra as quatro
fases e suas subdivisões observadas na elaboração da PoliKalc. Trataremos
de cada uma delas nos próximos itens.
13 Estamos utilizando o termo planejamento para designar o termo português
planificação utilizado pelas autoras.
14 Storyboard ou guião do autor são termos utilizados para designar um guia
detalhado para a elaboração de objetos de aprendizagem/aplicações educacionais.
Termos também muito utilizados na industria cinematográfica.

42
Figura 3 Fases de elaboração da PoliKalc
5.1.1 A Concepção do Projeto
Amante e Morgado (2001) sugerem na primeira fase de Concepção
de Projeto sete etapas: Ideia Inicial e Definição do Tema, Definição da
Equipe, Delimitação dos Conteúdos, Especificação dos Objetivos
Pedagógicos da Aplicação, Caracterização do Público Alvo, Definição do
Tipo de Aplicação, Previsão dos Contextos ou Contextos de Utilização do
Programa.
Na primeira etapa as autoras identificam que deve deixar clara a
ideia inicial, delimitar o tema da aplicação/software, indagar sobre a
pertinência da elaboração da aplicação educacional sobre o assunto e
analisar as reais possibilidades da sua concretização.
Nossa ideia inicial foi delimitada na criação de um software que
abrangesse o tema “Ensino de Cálculos Aritméticos”, assim decidimos por

43
um Objeto de Aprendizagem que agregasse quatro calculadoras que
denominamos de Kalc Exata, Aproximada, Quebrada e Mental.
Indagamo-nos durante todo o processo sobre a pertinência de tal
software e concordamos que, apesar de ter sido um desafio a conciliação de
tecnologia com ensino de cálculos, a contribuição que pode vir a existir na
utilização da PoliKalc é relevante e as reais possibilidades de concretização
só puderam existir com a definição da equipe de trabalho, assim passamos
para a segunda etapa da concepção do projeto: Definição da Equipe.
A equipe em questão foi formada pelo pesquisador, sua orientadora,
professora da UFLA e ligada a área de Educação Matemática, sua
coorientadora professora de Matemática da educação básica e mestranda em
Educação e um programador, formado em Ciência da Computação, que
desenvolveu o software. A dinâmica de trabalho constituiu-se em discussões
do pesquisador com as orientadoras sobre o software. Tais discussões e
delineamentos eram discutidos com o programador observando as
possibilidades de elaboração. Assim, o pesquisador durante o processo, fazia
uma ponte entre os membros dessa pesquisa.
A terceira fase se constituiu na delimitação dos conteúdos.
Entendemos que a PoliKalc foi pensada objetivando principalmente os
conteúdos ligados aos cálculos exatos, aproximados, mentais e com
calculadora, mas concordamos que possibilitará trabalhos que visem o
entendimento das operações básicas (adição, subtração, multiplicação e
divisão) e do sistema de numeração decimal.
A especificação dos objetivos pedagógicos da aplicação, quarta fase
da elaboração do projeto, se concentra no ensino e na aprendizagem de
cálculos. Alguns objetivos pedagógicos adjacentes foram observados por
nós, como as questões éticas que devem estar presentes em um software
pensadas em relação a multiplicidade de sujeitos que podem vir a utilizar a
PoliKalc e a faixa etária dos possíveis usuários organizando assim, o design
e a escrita de maneira compreensível e motivadora para tais sujeitos.

44
Deste modo, tentamos caracterizar o público alvo, quinta fase da
elaboração do projeto. O ensino de cálculos se concentra nos primeiros anos
do ensino fundamental, assim pensamos em uma software voltado para
sujeitos de uma faixa etária majoritariamente de 6 aos 13 anos de idade.
Amante e Morgado (2001, p.131) colocam algumas perguntas para serem
pensadas nessa caracterização:
 Quais os conhecimentos já adquiridos sobre o assunto?
 Quais os interesses/motivações do grupo?
 Têm, ou não, familiaridade com a utilização do computador?
 Que atitudes denotam face às novas tecnologias? e
 Trata-se de um público homogêneo ou muito diferenciado?
Entendemos que se trata de um público heterogêneo, não sabendo ao
certo quais características os sujeitos, que se depararem com a PoliKalc,
terão, nem sobre seus interesses, motivações e atitude perante novas
tecnologias.
Assim, chegamos a quinta fase da elaboração do projeto, Definição
do tipo de Aplicação. Amante e Morgado (2001, p. 131) acreditam que
“convêm desde logo concretizar o tipo de produto que se pretende
desenvolver, sem prejuízo de redefinições posteriores”.
Definimos como produto um Objeto de Aprendizagem que além de
trazer informações sobre os cálculos, demonstra alguns
procedimentos/métodos de cálculos mentais e aproximados, fornece uma
interação sujeito-software através da caixa de texto/diálogo, provê um bloco
de anotações possibilitando feedbacks para o professor e para o estudante e
seu design está pensando para dar ludicidade ao trabalho.
Por último, há de se prever o contexto em que o software estará
inserido. Acreditamos que as escolas serão o contexto de maior
preponderância na utilização da PoliKalc.

45
5.1.2 O Planejamento
Amante e Morgado (2001, p.132) argumentam que a:
[...] segunda fase consubstancia-se na elaboração do
storyboard. Trata-se agora de concretizar vários dos
aspectos pensados na primeira fase através de um
conjunto de procedimentos que conduzirão ao
desenvolvimento do storyboard, instrumento
fundamental não só na fase de Planejamento, como em
todo o processo.
Tal fase se constitui em cinco etapas, são elas: Seleção e
Organização dos Conteúdos, Definição da Macroestrutura da Aplicação,
Desenho da Interface15 (definição da estrutura e dos mecanismos básicos,
definição dos mecanismos orientadores da navegação, definição do design
básico dos “ecrãs”16), elaboração do storyboard, Discussão e Reajuste do
Projeto.
Na primeira etapa, Seleção e Organização dos Conteúdos, “é
chegado o momento de serem definidos critérios de relevância e
estabelecidos os limites sobre a quantidade de informações que os diferentes
tópicos podem comportar” (AMANTE e MORGADO, 2001, p. 33). No
Quadro 2 é mostrado o esquema elaborado para a definição dos conteúdos
selecionados para cada tela da PoliKalc.
Quadro 2 Conteúdos Organizados na PoliKalc
Tela Textos Imagens Botões
Imagem de um
Panda apoiado
em bambus
descansando,
Exata.
Quebrada.
Aproximada.
15 Tais autoras colocam a palavra Interface no masculino, nesse trabalho é utilizada
no feminino seguindo as normas brasileiras de concordância nominal.
16 Grafia portuguesa para a palavra tela. Logo, lê-se “definição do design básico das
telas”.

46
Inicial Não há olhando para os
botões da
Calculadora. No
canto superior
escrito
“PoliKalc”.
Mental.
Informações.
Créditos.
Kalc Exata
Texto
explicando o que
é a Kalc Exata.
Panda apontando
para o quadro de
textos com um
pedaço de
bambu. Quadro
de texto em
formato de
bambu.
Setas da caixa de
texto.
Casinha para
voltar para tela
inicial.
Bloco de
Anotações.
Kalc Quebrada
Texto
explicando o que
é a Kalc
Quebrada.
Panda apontando
para o quadro de
textos com um
pedaço de
bambu. Quadro
de texto em
formato de
bambu.
Setas da caixa de
texto.
Casinha para
voltar para tela
inicial.
Quebrar teclas.
Consertar teclas.
Bloco de
Anotações.
Kalc
Aproximada
Texto
explicando o que
é a Kalc
Aproximada.
Aproximações
feitas pelo
software.
Panda apontando
para o quadro de
textos com um
pedaço de
bambu. Quadro
de texto em
formato de
bambu.
Setas da caixa de
texto.
Casinha para
voltar para tela
inicial.
Caixa de
Aproximações.
Bloco de
Anotações.
Kalc Mental
Texto
explicando o que
é a Kalc Mental.
Estratégias de
cálculo mental
Panda apontando
para o quadro de
textos com um
pedaço de
bambu. Quadro
de texto em
Setas da caixa de
texto.
Casinha para
voltar para tela
inicial.
Bloco de

47
feitas pelo
software.
formato de
bambu.
Anotações.
Informações
Textos
explicando as
calculadoras.
Interfaces das
telas.
A PoliKalc.
Kalc Exata.
Kalc Quebrada.
Kalc
Aproximada.
Kalc Mental.
Créditos
Informações
sobre a equipe
de trabalho.
Desenvolvedores.
A definição da Macroestrutura da aplicação, segunda etapa da
Planejamento, se torna um elemento que objetiva dar uma visão de como as
diferentes telas se relacionam e de como o software está pensado. Assim,
para maior entendimento dos textos, imagens e botões (conteúdos
selecionados e organizados), que foram sendo escolhidos para compor cada
tela da PoliKalc, abaixo (Figura 4) segue o fluxograma17 da macroestrutura
do software.
17 Amante e Morgado (2001) argumentam que os fluxogramas são amplamente
utilizados para definir o esqueleto ou estrutura geral do software.

48
Figura 4 Macroestrutura da PoliKalc
A terceira etapa foi a definição das Interfaces da PoliKalc. Para
Amante e Morgado (2001) essa fase é de importância fundamental e dela
pode depender, em grande medida, a qualidade do objeto de aprendizagem.
O interface é não só responsável pela estruturação do
ambiente de aprendizagem, dado que define os acessos
à informação, como pela relação que o sujeito
estabelece com o programa – as suas características
funcionais bem como as visuais podem, ou não,
proporcionar uma relação de empatia com o programa
(AMANTE; MORGADO, 2001, p.133).
Tais autoras complementam que, em linhas gerais, as interfaces
devem ser amigáveis e devem permitir a fácil interação do sujeito com o
computador/software sem, contudo, necessitar de conhecimentos específicos
para manipulá-lo. Mostraremos as interfaces das calculadoras quando
estivermos explicando seus funcionamentos nas seção 5.1.3.1 a 5.1.3.4.
Abaixo (Figura 5) encontra-se a interface da tela inicial da PoliKalc.

49
Figura 5 Interface tela inicial.
Por se tratar de um público alvo em sua grande maioria de crianças,
pensamos em interfaces coloridas, de fácil manipulação. Concordamos
também que “se as crianças realmente desejam aprender algo e têm a
oportunidade de aprender com o uso, elas fazem mesmo quando o ensino é
fraco” (PAPERT, 2008, p.135) e um software necessita ser pensado para que
a criança queira usar e nesse sentido o cuidado nas escolhas das interfaces é
primordial.
Amante e Morgado (2001) elencam três elementos que devem ser
pensados na elaboração de interfaces: Definição da estrutura e dos
mecanismos básicos de navegação, Definição dos mecanismos orientadores
da navegação e definição do design básico das telas.
A definição da estrutura e dos mecanismos básicos se referem a
Planejamento da estrutura de navegação e a criação dos botões e de como
eles se relacionaram. O fluxograma (Figura 4) da macroestrutura da PoliKalc
dá uma noção de como as calculadoras se relacionam por meio de botões do
tipo voltar e avançar. O Quadro 2, por sua vez mostra quais os botões
existentes em cada tela. Na ilustração abaixo (Figura 6) são mostradas as
interfaces de alguns botões elaborados.

50
Figura 6 Interfaces de alguns botões
Em relação a estrutura de navegação, Amante e Morgado (2001)
apontam em seus trabalhos os tipos existentes por meio do esquema abaixo
(Figura 7).

51
Figura 7 Tipos de estrutura trazidas por Amante e Morgado (2001)
Entendemos que a estrutura da PoliKalc, como observado na figura
7, tem mais aspectos do tipo hierárquico, pois cada item se relaciona com
outro em uma sequência ramificada com um núcleo central (tela inicial).
Assim, passamos para a definição dos mecanismos orientadores da
navegação e da definição do design básico das telas.
Os mecanismos orientadores são os que possibilitam a identificação
de qual tela o sujeito está utilizando em certo momento. Quando a estrutura é
não linear e tem dimensões consideráveis esses mecanismos se tornam
essenciais. Para a PoliKalc tais mecanismos não foram considerados por

52
entendermos que não há grande quantidade de telas e subseções e suas
dimensões não são grandes.
Por último, pensando ainda nas interfaces, para a definição do
design básico das telas, concebemos a princípio que o software deveria ter
no mínimo 5 telas, uma para a tela inicial, que possibilitasse a navegação
para as quatro demais telas, cada uma delas, referentes a uma das quatro
calculadoras (Kalc Exata, Quebrada, Aproximada, Mental). No final da
elaboração da PoliKalc surgiram mais algumas telas, como as dos blocos de
anotações, de informação e de créditos.
Das cinco etapas de Planejamento, chegamos à penúltima etapa
denominada de elaboração do storyboard. Amante e Morgado (2001)
argumentam que à medida que as etapas anteriores foram se concretizando
foi-se coletando informações para a criação de um guia para a programação:
o storyboard.
Nesse trabalho, tanto a fase de Planejamento quanto as fases de
concepção do projeto, implementação e avaliação não aconteceram em uma
sucessão linear. À medida que planificávamos, estávamos concebendo de
diferentes formas o projeto, implementando e avaliando o software
constantemente.
Deste modo, o storyboard da PoliKalc foi pensando quando as
quatro fases estavam em andamento. Amante e Morgado (2001, p.138)
sugestionam que, antes do início da implementação, o storyboard já deve
estar feito e que:
O storyboard é uma peça fundamental. A tentação de
conceber no ecrã sem utilizar este recurso é grande [...].
Contudo, não é demais sublinhar que a elaboração do
storyboard permite ganhar tempo muito tempo, pois
antecipa problemas que de outro modo só surgiriam no
decorrer da programação e que, para serem
solucionados, implicariam refazer grande parte do
trabalho.
Além disso, quando se trabalha em equipes multidisciplinares para
elaboração de objetos de aprendizagem/aplicações educacionais o

53
storyboard se insere como ferramenta de diálogo entre os membros da
equipe.
Sendo assim, o storyboard da PoliKalc, elaborado e discutido em
todo o processo com o programador da equipe, constitui-se primeiramente da
explicação da perspectiva de trabalho de criação de um objeto de
aprendizagem, tendo em vista as dimensões de criação de ambientes
construcionistas, pensada também na espiral de aprendizagem.
Em segundo lugar o storyboard conteve os esquemas elaborados
sobre os conteúdos que seriam organizados na PoliKalc (Quadro 2) e da
macroestrutura da PoliKalc (Figura 4).
Amante e Morgado (2001) citam ainda que há storyboards
complexos por meio dos quais são detalhadas ligações a estabelecer, redação
final dos textos a incluir, decisões relativas à estrutura final da aplicação etc.
Acreditamos que o storyboard da PoliKalc foi simples em comparação com
de outros softwares, mas o diálogo entre os membros da equipe de trabalho
deu-se durante todo o processo possibilitando o (re)planejamento constante
do objeto de aprendizagem em questão, o que constituiu-se a quinta etapa da
Planejamento: a discussão do projeto e seu reajustamento. Assim, chegamos
a terceira fase de elaboração da PoliKalc: Implementação.
5.1.3 A Implementação
A implementação teve início com a escolha do nome do software.
Decidimos pela escolha do nome “PoliKalc”. O prefixo “Poli” refere-se a
pluralidade/multiplicidade de calculadoras que tal software contempla. A
palavra “Kalc”, por sua vez, faz alusão a palavra calculadora.
A PoliKalc foi implementada na linguagem de programação Java,
uma plataforma que não é livre, mas na qual o programador conhecia a
linguagem. Tal linguagem permite ainda que a PoliKalc possa ser executada
em diferentes Sistemas Operacionais, como Windows e Linux.

54
As imagens presentes na PoliKalc foram feitas no software Inkscape
(Figura 8). O Inkscape é um software livre, cuja principal finalidade é lidar
com imagens vetoriais, não deixando que as imagens percam resolução ao
sofrerem transformações de redimensionamento ou rotação e possibilita a
construção de objetos com contornos bem definidos.
Figura 8 Software para elaboração das imagens da PoliKalc
Para colorir as imagens utilizamos o software livre GIMP (GNU
Image Manipulation Program), porque sua manipulação para colorir figuras
se tornou mais simples quando comparada ao Inkscape.
Amante e Morgado (2001, p. 140) apontam que “depois de escolhida
a ferramenta de programação a utilizar, iniciam-se as primeiras experiências
de mediatização18”. Assim partimos para as duas etapas de implementação:
(1) Elaboração de um Protótipo; (2) Desenvolvimento da Aplicação.
Inicialmente fizemos um protótipo da Kalc Exata (Figura 9) para que
pudéssemos ter estimativa de espaço, observar em quais locais os elementos
e botões se encontrariam, escolher quais cores, tamanho e tipo dos caracteres
seriam utilizados, experimentar efeitos etc.
18 Palavra portuguesa para midiatização.

55
A princípio utilizamos uma imagem de robô encontrada na internet
como personagem para o software. Mas, discutimos e chegamos a conclusão
que, o software deveria ser totalmente original, para que não esbarrássemos
em direitos autorais das imagens, quadros etc. Assim, concordamos em
elaborar todos as imagens, botões e quadros que aparecessem na PoliKalc.
Figura 9 Protótipo da Kalc Exata.
O protótipo em questão pode ser comparado com a interface final da
Kalc Exata (Figura 10). Feito o protótipo partimos para a segunda etapa de
implementação que se constituiu do desenvolvimento da aplicação
propriamente dita. Nas próximas seções é dissertado sobre o
desenvolvimento das calculadoras da PoliKalc, mostrando suas interfaces e
as ideias que foram surgindo para que se concretizasse um software para o
ensino e a aprendizagem dos diferentes tipos de cálculo.

56
5.1.3.1 A Kalc Exata
Figura 10 Interface Kalc Exata
A Kalc Exata foi planejada para ser uma calculadora comum, das
habitualmente encontradas no dia-a-dia. Ela contém as teclas dos números de
0 a 9 e das quatro operações básicas (adição, subtração, multiplicação e
divisão), além das teclas de memória (MRC, M+, M-).
Na PoliKalc optamos por colocar as memórias aditiva (M+),
subtrativa (M-) e a que retoma a memória e limpa (MRC – Memory Recall
and Clear). Alguns autores, entre eles Lopes (1997), em suas pesquisas traz
propostas de trabalho utilizando calculadoras e as teclas de memória para a
aprendizagem de determinados conteúdos matemáticos.19
19 Não foi elencado como objetivo desse trabalho de conclusão de curso criar,
abordar e/ou discutir atividades para o ensino e a aprendizagem de cálculos. Os
exemplos de atividades/planejamentos são meramente ilustrativos para melhor
explicação das funcionalidades das calculadoras da PoliKalc e são caminhos que
podem ser seguidos na elaboração de alguma aula e que foram observados por nós
na elaboração do software.

57
Para melhor compreender como se dará um possível trabalho
utilizando as teclas de memória tomemos o exemplo trazido por Lopes
(1997).
Há uma Liquidação e os preços de alguns produtos são: lápis – R$
0,30 cada; bloco de papel – R$ 0,75 cada; calculadora – R$ 1,20 cada.
Suponhamos que alguém necessite comprar 36 lápis, 15 blocos de papel e 18
calculadoras. Os cálculos necessários para encontrar o preço total a se pagar
seriam: 36 x 0,30 + 15 x 0,75 + 18 x 1,20.
Na resolução à mão, utilizando lápis e papel, Lopes (1997) expõe
que há o costume de se fazer quatro operações: 36 x 0,30 que dará o valor
gasto com os lápis, 15 x 0,75 valor gasto com os blocos de papel, 18 x 1,20
valor gasto com as calculadoras e por último a adição desses três valores
encontrados para chegar ao preço total a ser pago.
Utilizando a calculadora e as teclas de memória, tal operação se
concentra em digitar a seguinte sequência de teclas: 36 x 0,30 = M+ 15 X
0,75 = M+ 18 x 1,20 = M+ MRC. Abaixo é representada no quadro,
adaptada de Lopes (1997), as operações realizadas na/pela calculadora.
Quadro 3 Ações realizadas pela calculadora no decorrer da operacionalização
Tecla Visor Acumulado na
memória
O que a
calculadora está
fazendo
3
6
X
0
.
3
0
=
M+
1
5
3
36
36x
36x0
36x0.
36x0.3
36x0.30
10.8
0
1
15
0
0
0
0
0
0
0
0
10.8
10.8
10.8
Envia o valor
registrado no visor
para a memória

58
X
0
.
7
5
=
M+
1
8
X
1
.
2
0
=
M+
MRC
15x
15x0
15x0.
15x0.7
15x0.75
11.25
0
1
18
18x
18x1
18x1.
18x1.2
18x1.20
21.6
0
43.65
10.8
10.8
10.8
10.8
10.8
10.8
22.05
22.05
22.05
22.05
22.05
22.05
22.05
22.05
22.05
43.65
43.65
Soma o valor
11.25 registrado
no visor com 10.8
da memória
Soma 21.6
registrado no visor
com 22.05 da
memória e o MRC
exibe o valor
acumulado na
memória
O visor da PoliKalc comporta 12 posições para mostrar números e
símbolos, enquanto calculadoras comuns comportam 8 posições e científicas
ou financeiras comportam de 10 a 12 posições.
A PoliKalc é uma calculadora que arredonda, ao contrário de
algumas que truncam. Isso significa que se tentarmos obter o resultado da
fração 1/6, pensando nela como a divisão de dois termos, encontraremos o
resultado, de 12 posições, igual a 0.1666666667. Lopes (1997, p.3) acredita
que tarefas que explorem a calculadora, investigando-a, possibilitam:
[...] mergulhar os alunos (as) na introdução ou
aprofundamento de conceitos ou procedimentos tais
como: frações, números decimais, representações
numéricas, ideias de operações, dízimas, aproximações,
etc.
Assim, um planejamento voltado a conhecer as funcionalidades
básicas da calculadora pode ser significativo. Outro ponto presente na
PoliKalc é o que chamamos de caixa de criação de problemas, que tem por

59
objetivo possibilitar aos professores e alunos um espaço em que podem criar
seus problemas para serem resolvidos utilizando uma das calculadoras,
compartilhar com os estudantes e os estudantes compartilharem com seus
colegas os problemas elaborados.
Incluímos também em cada calculadora um bloco de anotações
(Figura 11). Esse bloco foi pensado para que os estudantes registrem seus
pensamentos e resoluções e para que o professor tenha um feedback da
atividade que está sendo aplicada.
Figura 11 Bloco de Anotações
O bloco de anotações foi feito exclusivamente para a PoliKalc.
Quando o estudante optar por salvar suas anotações, o software gerará um
arquivo, no formato “.kalc”, que pode ser armazenado em qualquer pasta do
computador. Quando o estudante ou o professor quiser retomar as anotações
salvas terá que selecionar a opção “carregar anotações” e buscá-las na pasta
do computador que foram salvas e então, a PoliKalc abrirá o arquivo.

60
5.1.3.2 A Kalc Quebrada
Figura 12 Interface Kalc Quebrada
A Kalc Quebrada tem todas as funcionalidades presentes na Kalc
Exata, com mais alguns incrementos e modificações.
As cores de uma calculadora em relação a outra foram modificadas
para que o software tenha cada tela com uma aparência diferente. Incluímos
dois botões, um em formato de martelo e outro com formato de uma chave
de boca. O primeiro botão tem a finalidade de quebrar as teclas da
calculadora. Quando essa ação acontece a tecla que foi quebrada modifica-se
e aparece trincada, inviabilizando sua utilização. Para que tal tecla possa ser
novamente utilizada, usa-se o botão em formato de chave de boca que
consertará a tecla que foi quebrada.
O objetivo da Kalc Quebrada está ligado a compreensão do Sistema
de Numeração Decimal, das operações básicas e das relações existentes entre
elas. Para entendermos o funcionamento da Kalc Quebrada, trazemos um
exemplo de atividade presente no trabalho de Fanizzi (2005) utilizando a
ideia de uma calculadora quebrada.

61
Suponhamos que se quebre a tecla 7 da Kalc Quebrada. Pensemos na
operação 740 x 26 e em como essa operação poderá ser resolvida?
Fanizzi (2005) nos mostra relatos de alguns de seus estudantes
quando perguntados como resolveriam tal operação. Um deles resolve o que
foi pedido da seguinte maneira:
740 = 640 + 100 → Cálculo mental
640 x 6 = 3840 → Calculadora
640 x 20 = 12800 → Calculadora
12800 + 3840 = 16640 → Calculadora
100 x 26 = 2600 → Cálculo Mental
16640 + 2600 = 19240 → Calculadora
Atentemo-nos a perceber que a calculadora é utilizada em
determinados passos, em outros é utilizado o cálculo mental, havendo assim,
ligação entre os dois tipos de cálculo. Nesse caso a calculadora foi utilizada
como elemento auxiliar para os cálculos mais robustos.
Outro ponto a ser destacado é a utilização da decomposição dos
números, em centenas, dezenas e unidades. Observe que o estudante
decompõe 740 em 640 + 100, assim não precisará utilizar a tecla 7, que está
quebrada, para a resolução da multiplicação. Fez o mesmo com o número 26,
decompondo-o em 20 dezenas e 6 unidades. Para a resolução, o estudante
utilizou a propriedade distributiva com os números decompostos e chegou ao
resultado.
Carraher, Carraher e Schliemann (2006) ao se referirem ao cálculo
mental convertido na forma oral, identificaram dois procedimentos, que
denominaram de heurísticas da decomposição e do agrupamento repetido.
No fragmento acima, o estudante utiliza da heurística da
decomposição que, entre suas utilidades, possibilita mostrar “o
conhecimento que a criança tem sobre o sistema de numeração decimal”
(CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006, p.59) e se caracteriza
por ser um processo de:

62
Resolução de problemas em que as crianças parecem
buscar formas de arredondar os números porque os
números redondos não apenas são relacionados ao
conhecimento memorizado com maior facilidade [...],
mas também porque eles ajudam a evitar a sobrecarga
que ocorreria no processamento mental dos dados se a
criança tivesse que operar simultaneamente sobre
centenas, dezenas e unidades (ibidem, p.59).
Outras atividades podem ser elaboradas a partir da Kalc Quebrada.
Como por exemplo, quebrar uma quantidade maior de teclas e pedir aos
estudantes que tentem encontrar alguns valores dados, utilizando apenas as
teclas que restaram.
As heurísticas de decomposição e agrupamento repetidos serão
retomadas e abordadas na Kalc Mental. O Agrupamento repetido, por sua
vez, é adequado para multiplicações e divisões.
5.1.3.3 A Kalc Aproximada
Figura 13 Interface Kalc Aproximada
Em muitas situações do dia-a-dia não é necessário conhecer o
resultado exato de algumas operações aritméticas. Basta conhecer uma
solução aproximada por meio de estimativas.

63
A Kalc Aproximada permitirá ao professor elaborar atividades e
aulas com foco no desenvolvimento de estratégias com os cálculos
aproximados.
A caixa de texto, que nas duas calculadoras anteriores se mantinha
estática se torna na Kalc Aproximada e posteriormente na Kalc Mental uma
caixa de diálogo.
A partir do momento em que digita-se uma operação e aperta-se a
tecla de igualdade, aparecerá o arredondamento que a calculadora está
programada para fazer (dependendo da seleção de arredondamento feito pelo
usuário). Por exemplo: Digita-se 23 x 19 na calculadora. Pensemos que no
problema em questão não é necessário encontrar a resposta exata, somente a
aproximada.
A Kalc Aproximada, por sua vez, está programada para fazer
arredondamentos, entre eles, um aonde os números 23 e 19 se transformam
em 20 unidades, chegando ao resultado de 400.
No visor dessa calculadora, aparecerá o resultado aproximado, e na
caixa de diálogo aparecerá para quais números foram arredondados os
números digitados inicialmente.
Nessa calculadora, o estudante deverá habilitar na Caixa de
Aproximações (Figura 14) o arredondamento que se deseja. Por exemplo,
dada a operação aritmética 2345 + 234,45, o estudante poderá, ao selecionar
uma opção na caixa, decidir se esses dois números serão arredondados em
relação a unidade de milhar, a centena, a dezena, a unidade, aos décimos etc.
Deste modo, as soluções variam de acordo com as escolhas feitas.

64
Figura 14 Caixa de Aproximações
Enfatizamos que as estimativas e os cálculos aproximados são
importantes instrumentos para o cálculo mental. Além disso, segundo Coll e
Teberosky (2000, p.114) existem características que fazem com que o
cálculo aproximado se diferencie do cálculo exato, entre elas estão:
 É realizado, em geral, mentalmente e de forma rápida. Há a
substituição dos números por outros mais fáceis de calcular;
 O resultado obtido não tem de ser o exato, mas
suficientemente próximo a ele;
 O resultado pode ser diferente dependendo da pessoa que
realiza o cálculo estimado.
Entendemos que quando o sujeito tem uma calculadora em mãos
raramente irá fazer contas aproximadas, mas a Kalc Aproximada, elaborada
por nós, foi pensada para fins didáticos. Assim, entendemos que a Kalc
Aproximada, pode acarretar em desdobramentos que auxiliem o
entendimento do cálculo aproximado e das estimativas, bem como vislumbra
aclarar a importância desse tipo de cálculo no dia-a-dia.

65
5.1.3.4 A Kalc Mental
Figura 15 Interface Kalc Mental
Nosso objetivo com essa calculadora, que denominamos de Kalc
Mental, é permitir que existam trabalhos iniciais com o cálculo mental nas
escolas. Temos em mente que as estratégias de cálculo mental variam de
pessoa para pessoa, para que elas possam criar suas próprias estratégias
entendemos que é importante que os aprendizes, principalmente nas séries
iniciais, tenham ciência da existência de diferentes formas para resolver as
operações. Deste modo, a Kalc Mental traz algumas das estratégias mais
utilizadas e que foram encontradas nos trabalhos de Carraher, Carraher e
Schliemann (2006) e Parra (1996).
Quando o estudante digita uma operação na calculadora e aperta a
tecla de igualdade aparecerá o resultado no visor e, na caixa de diálogo,
aparecerão sugestões de estratégias mentais de resolução. O número de
estratégias que aparecerão dependerá da operação utilizada.
Alguns desafios surgiram na programação de tal calculadora, por
exemplo: Como transformar estratégias de cálculo mental em algoritmos que
possam ser reproduzidos por um software?Como a Kalc Mental reconhecerá

66
qual estratégia conveniente a ser mostrada na caixa de diálogo? Quantas
estratégias serão mostradas dentro da vasta variedade existente?
Desses desafios, concordamos que o número de estratégias seria
limitado e que deveríamos criar categorias nas quais diferentes estratégias
estariam presentes. Assim, percebemos que as estratégias de cálculo mental
divergem dependendo da operação (adição, subtração, multiplicação ou
divisão).
Com isso, para a adição foram elencadas três estratégias de cálculo
que a Kalc Mental mostraria no quadro de diálogo: Decomposição e
Agrupamento (em centenas, dezenas, unidades e em seus múltiplos e
submúltiplos), reagrupamento em torno de um dobro e reagrupamento em
torno de 10, 100, 1000 etc.
A primeira estratégia consiste em dois passos. Primeiramente a
decomposição, que já foi abordada por nós na Kalc Quebrada, que na Kalc
Mental aparece com o objetivo de reduzir
Os números de tal forma que o problema passa a ter
zeros em uma ou mais das casas do sistema de
numeração. Pode-se obter esse resultado pela
decomposição direta do número em dois componentes,
um dos quais é um número redondo (por exemplo, 252
transforma-se em 200 e 52) (CARRAHER;
CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006, p.59).
Assim, por exemplo, tomemos uma operação: 252 + 39. A Kalc
Mental irá fazer a decomposição dos dois números (200 + 50 + 2) + (30 + 9).
A calculadora foi programada para que dê a maior quantidade de números
redondos possível. Após serem decompostos em centenas, dezenas, unidades
e/ou em seus múltiplos e submúltiplos os números serão agrupados.
O agrupamento, pensado para a Kalc Mental, foi proposital em dois
sentidos, em primeiro lugar porque a programação se tornaria mais fácil e,
em segundo lugar, porque é uma estratégia de agrupamento comumente
encontrada nas resoluções dos estudantes (PARRA, 1996; FONTES, 2010;
CARRAHER; CARRAHER; SCHLIEMANN, 2006).

67
A Kalc Mental agrupa, no primeiro momento, dezenas com
dezenas20, unidades com unidades e assim por diante. No exemplo citado a
calculadora agrupará 50 + 30 = 80, 9 + 2 = 11 e colocará na linha de baixo
da caixa de diálogo o 200 que não somou com nenhuma outra centena
juntamente com os resultados parciais encontrados, 80 e 11.
Após essas operações, aparecerá na caixa 200 + 80 + 11,
possibilitando, para o estudante, a observação de que a adição, entendida
como essas três parcelas, se torna, em certa medida, mais simples do que
somar diretamente 252 + 39.
Nas operações que envolvem adições, ainda aparecem na Kalc
Mental outras duas estratégias de cálculo mental: O reagrupamento em torno
de um dobro e o reagrupamento em torno de 10, 100, 1000 etc.
Parra (1996, p.215) acredita que, além da utilização de resultados
memorizados, pode-se resolver operações que envolvem somas por meio de
operações mais simples de serem feitas: “Por exemplo, dispor dos pares de
parcela que resultam em 10, permite aos alunos tratar diversos cálculos.
Assim, para fazer 8 + 6 muitas crianças pensam em (8 + 2) + 4.”
O reagrupamento em torno de 1, 10, 100 etc, consiste em encontrar
parcelas que resultem em números da forma 10x, onde x pertence aos
números inteiros. Por sua vez o reagrupamento em torno do dobro consiste
em: Dado uma soma, por exemplo 7 + 8, pensa-se em (7 + 7) + 1. Assim, na
Kalc Mental, quando a operação em questão consistir em adições,
aparecerão essas três possibilidades de estratégias de cálculo mental.
Para as operações que envolvam subtrações selecionamos três
estratégias que foram incluídas na Kalc Mental, são elas: decomposição e
agrupamento em unidades, dezenas, centenas etc, reagrupamento em torno
de números redondos, arredondamento.
20 Quando nos referimos em adições de dezenas com dezenas, estamos pensando em
quantidade de unidades, como os números 50 e 30, que podem converter-se em
quantidades de dezenas inteiras, no caso 5 e 3 dezenas respectivamente.

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