Exercícios Mecânica vetorial para Engenheiros

Mecânica II.
Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br
Mecânica II
Parte II
Análise vetorial: Movimento curvilíneo de um ponto material, derivadas vetoriais,
movimentos de projeteis.
Referências:
[1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, Mecânica, 4ª ed., LTC – Livros
Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1996.
[2] P. A. Tripler, Física, vol 1, Guanabara Dois., Rio de Janeiro, 1978.
[3] F. P. Beer, E R. Johnston Jr., Mecânica Vetorial para Engenheiros, Cinemática e Dinâmica,
ed. 5º, Makron Books editora, Rio de Janeiro, 1991.
[4] J. L. Meriam, L. G. Kraige, Mecânica Dinâmica, 4ª ed., LTC – Livros Técnicos e Científicos
Editora S. A., Rio de Janeiro, 1999.
[5] George Arfken, Mathematical Methods for Physics, 3ed., Academic Press, Inc. San Diego,
1985.
Movimento curvilíneo de um ponto material. (Coordenadas cartesianas)
Quando um ponto descola-se em uma curva, dizemos que está em movimento curvilíneo.
Vetor posição r .
Vetor posição em termos dos vetores unitários cartesianos i , j e k , isto é, ∣i∣=∣j∣=∣k∣ .
Observe que estas são linearmente independentes e formam uma base para o espaço cartesiano.
r=x iy jz k
∣r∣=r=x i y jz k⋅x iy jz k
r=x
2
y
2
z
2
Velocidade de um ponto material (coordenadas retangulares).
v=˙r= lim
 t0
r
t
=
d r
dt
˙r=
d
dt
x i y jz k =
dx
dt
i
dy
dt
j
dz
dt
k= ˙x i ˙y j ˙z k
v=lim
t 0
 s
t
=
ds
dt
= lim
t0
∣r∣
t
=
∣lim
t 0
r
t ∣=
∣d r
dt ∣=∣˙r∣
v= ˙x
2
 ˙y
2
˙z
2
Obs.: sempre que temos derivadas temporais podemos usar a nomenclatura ˙x=
dx
dt
,
¨xi=
d
2
xi
dt
2
,onde xi é uma variável qualquer de um sistema de coordenas.
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Mecânica II.
Aceleração de um ponto material (coordenadas retangulares).
a= ˙v= lim
 t 0
v
t
=
d v
dt
=
d
2
r
dt
2
¨r=
d
dt
˙x i ˙y j ˙z k =
d ˙x
dt
i
d ˙y
dt
j
d ˙z
dt
k= ¨x i ÿ j ¨z k
a=¨r=
d v
dt
=
d
2
r
dt
2
a=∣¨r∣= ¨x
2
 ÿ
2
 ÿ
2
Movimento relativo.
Seja S e S ' dois referenciais com movimento relativo entre si. Observe a figura abaixo:
Posição relativa r A/ B
r B=rArB / A
Velocidade relativa vA/B
d
dt
rB=
d
dt
rArB/A
˙r B=˙r A˙r B/A⇒vB=vAvB/ A
Aceleração relativa aA/B
¨r B=¨r A¨r B/A⇒aB=aAaB/A
Exercícios.
1. Dispara-se um projétil de uma colina de
150 m de altura, com uma velocidade inicial
de 180 m/s , num ângulo de 30º com a
horizontal. Desprezando-se a resistência do ar,
determinar (a) distância horizontal da arma ao
ponto onde o projétil atinge o solo, (b) a altura
máxima que o projétil alcança em relação ao
solo.
Resposta:
Consideremos separadamente o movimento
vertical e horizontal.
(a) Movimento vertical (direção y ).
y0=150 m , ˙y0=v cosθ=180cos30ºm/s 
y=y0 ˙y0 t
1
2
g t
2
0=2y02 ˙y0 tg t2
⇒ t=
−2 ˙y0±2 ˙y0 
2
−4g 2y0 
2g
t=19,9 s tempo de queda da bala.
Movimento na horizontal (direção x).
x0=0, ˙x0=vsen =180sen30ºm/s
x=x0 ˙x0 t ⇒ x=3,10 km
(b) Elevação máxima
Quando a elevação é máxima temos um ponto
de retorno da variável y , sendo que ˙y=0 ,
assim, temos:
˙y= ˙y0g t ⇒0= ˙y0g t ⇒t=
− ˙y0
g
y=y0 ˙y0 t
1
2
g t
2
⇒
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Mecânica II.
ymax=y0−˙y0
˙y0
g

1
2
g− ˙y0
g 
2
=y0−
˙y0
2
2g
ymax=413 m
Outro método mais direto seria pela equação de
Torricelli.
˙y
2
= ˙y0
2
2gy−y0 ⇒0= ˙y0
2
2gymax− y0 
ymax=y0−
˙y0
2
2g
=413 m
2. Um automóvel A está trafegando para leste
com uma velocidade constante de 25 km/h .
Quando passa pelo cruzamento ilustrado na
figura, um automóvel B , que estava parado a
30 m ao norte dirige-se para o sul com uma
aceleração constante de 1,2 m/ s
2
. Determine
a posição, velocidade e aceleração de B
relativos à A 5,0 s após A passar pelo
cruzamento.
Resposta:
Escolhemos a origem no cruzamento das duas
ruas com os sentidos, para leste e norte.
Movimento do automóvel A .
xA=0, ˙xA=6,94 m/s , xA=x0A ˙x t=6,94t
Para t=5 s , temos: xA=6,94t=34,7 m
Movimento do automóvel B .
aB=1,3 m/ s
2
, ˙yB= ˙y0BaB t=−1,2t ,
yB=y0B ˙y0 t
1
2
aB t
2
=30−
1
2
1,2t
2
Para t=5 s , temos ˙yB=6 m/s , yB=15 m
Movimento relativo de B em relação à A .
Determinando o triangulo correspondente à
equação vetorial rB=r Ar B/A , obteremos o
modulo, direção e sentido do vetor B em
relação à A .
rA/ B=37,8 m⇒=23,4º
Procedendo de forma análoga temos:
vA/B=9,17 m/ s⇒=40,8º
aA/ B=1,2 m/s
2

3. O movimento de um ponto material é dado
pelas equações x=2t
2
−4t e
y=2t−12
−4t−1 , onde x e y são dados
em metros e t em segundos. Determinar (a) o
mínimo valor da velocidade escalar do ponto e
(b) o instante, a posição e a direção da
velocidade correspondente.
4. Um ponto material descreve uma elipse de
equação: r=Acos t i Bsen t j . Mostre
que a aceleração (a) aponta para a origem e (b)
é proporcional a r .
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Mecânica II.
5. As equações dadas definem o movimento de
um ponto material: r=2t12
i2t1−2
j ,
onde r é dado em metros e t em segundos.
Mostrar que a trajetória do ponto é o segmento
de hipérbole mostrado na figura abaixo e
determinar a aceleração quando (a) 0=t e (b)
st 5= .
6. O movimento vibratório de um ponto
material é definido pela equação
r=4sint i−cos2t  j , onde r é dado
em metros e t em segundos. (a) Determinar a
velocidade e a aceleração em t=1 s e (b)
mostre que a trajetória limita-se a um arco de
parábola:
7. O movimento tridimensional de um ponto
material é definido por
r=Rsen t ict jRcost  k . Determinar
os módulos da velocidade e da aceleração do
ponto (A curva descrita pelo ponto é um
hélice).
8. Um jogador de handebol atira uma bola do
ponto A , com velocidade horizontal v0 . A
distância d vale 6,1 m . Determine (a) o valor
de v0 para o qual a bola atingira o vértice C e
(b) o intervalo de valores de v0 para os quais a
bola atingira a região BCD .
9. Descarrega-se areia do ponto A de uma
esteira horizontal, com velocidade inicial v0 .
Determine o intervalo de valores de v0 para os
quais a areia entrara no tubo vertical.
10. Uma bomba localiza-se na barreira de uma
plataforma. O bocal A expele uma água a uma
velocidade inicial de 7,6 m/ s formando um
ângulo de 50º com a vertical. Determine o
intervalo de alturas h para as quais a água
atinge a abertura BC .
11. Considerando-se que a esteira se move com
velocidade constante v0 , (a) determinar o
valor mínimo de v0 para o qual a areia pode
ser depositada em B . Determina também o
correspondente valor de  .
12. Os instrumentos de um avião indicam que
ele está se movendo para o norte com
velocidade de 500 km/h , em relação ao ar.
Simultaneamente, um radar terrestre indica que
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o avião se move com velocidade de 530 km/h
numa direção que faz um ângulo de 5º voltado
para o leste. Determina a magnitude e a direção
da velocidade do ar.
13. Dispara-se um projétil com velocidade
inicial v0 , a um ângulo de 20º com a
horizontal. Determine v0 para o projétil atingir
(a) B (b) C.
14. Num dado instante, a peça A tem
velocidade de 16 mm/s e uma aceleração de
24 mm/ s
2
, ambas para baixo. Determina (a)
velocidade do bloco B e (b) sua aceleração,
no mesmo instante.
15. Um jogador atira uma bola com velocidade
v0=15 m/s , de um ponto A localizado a
1,5 m do solo. Sabendo-se que o pé direito do
ginásio de esportes mede 6,0 m , determine a
máxima altura do ponto B que pode ser
atingida pela bola.
16. Dois aviões A e B coando a uma mesma
altitude; o avião A está voando para o leste a
uma velocidade constante de 900 km/h ,
enquanto B está coando para sudoeste a uma
velocidade constante de 600 km/h .
Determine a mudança de posição de B
relativamente a A, que ocorre durante um
intervala de 2 min .
17. No instante t=0 , a cunha A põe-se em
movimento em movimento para a direita, com
aceleração constante de 100 mm/ s
2
e o bloco
B, por sua vez, põe-se em movimento ao longo
da cunha, indo para a esquerda com uma
aceleração de 150 mm/ s
2
relativamente a
cunha. Determine (a) a aceleração do bloco B e
(b) sua velocidade no instante t=4 s .
18. Esguicha-se água de A com velocidade
inicial de 12 m/ s , atingindo-se uma série de
pás em B. Sabendo-se que as pás se movem
para baixo com velocidade constante de
1,5 m/ s , determine a velocidade e a
aceleração em relação à pá em B.
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Movimento curvilíneo de um ponto material (Coordenadas generalizadas).
Um pouco de calculo vetorial:
Seja A um vetor de um espaço vetorial qualquer, com a seguinte restrição:
A⋅A=constante
Seja q uma coordenada do espaço que define A : temos:
d
dq
 A⋅A=0⇒
d A
dq
⋅A
A⋅d A
dq
=2 A⋅
d A
dq
=0
⇒ A⋅
d A
dq
=0⇔ A⊥
d A
dq
Logo para qualquer vetor de norma constante tem sua derivada em relação em relação a
uma de suas coordenadas como um vetor perpendicular ao mesmo.
Seja eqi
um vetor unitário, eqi
⋅eqj
=ij  onde ij={1 se i= j
0 se i≠ j
, na direção da coordenada
qi , assim temos
eqi
⋅eqi
=1⇒
d
dq j
eqi
⋅eqi
=0⇒ eqi
⋅
d eqi
dq j

d eqi
dq j
⋅eqi
=2 eqi
⋅
d eqi
dqj
=0⇔eqi
⊥
d eqi
dqj
Logo podemos definir eq j
como o vetor unitário que orienta a coordenada q j da forma:
eq j
=
1
k
d eqi
dqj
.
onde k=
∣d eqi
dq j
∣ é conhecido como curvatura da curva.
Sendo o espaço tridimensional devemos ter um trio de vetores unitários que orientam os
vetores nesse espaço. Assim devemos obter vetor unitário na direção eqk
que orienta a terceira
coordenada, chamemos de coordenada qk . Esse vetor deve ser construído de tal forma que forme
um conjunto linearmente independente com eqi
e eqj
. Podemos construir esse vetor kqeˆ da
forma:
jik qqq eee ˆˆˆ ×=
Observe que
∣eqk
∣=∣eqi
×eq j
∣=∣eqi
∣∣eq j
∣sen
2 =1
Esta é uma receita básica para criação de um espaço vetorial tridimensional qualquer.
Movimento curvilíneo de um ponto material em um plano.
Seja um ponto material em um movimento plano dado por:
r=r s ,t
Assim se desejamos calcular a velocidade do ponto material temos:
v= ˙r=
d r
dt
=
ds
dt
d r
ds
=v et , com et=
d r
ds
onde et é o vetor unitário na direção tangencial ao vetor deslocamento. Observe que o vetor
d r
ds
é unitário.
Calculando a aceleração temos:
a= ˙v=
d v
dt
=
d
dt
v et=˙v etv ˙et=˙v etv
ds
dt
d et
ds
=˙v etv
2 d et
ds
=˙v et
v
2

en , com en=
1

d et
ds
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Mecânica II.
a=˙v et
v
2

en
onde =∣d et
ds ∣ é a curvatura da curva r=r s ,t . Os vetores et e en formam um plano que
contem o vetor aceleração da partícula. Este plano recebe o nome de plano osculador.
O modulo da aceleração a=∣a∣=
˙v
2
v2
 
2
.
Exercícios.
1. Para atravessar uma depressão seguida de
uma elevação na estrada, o motorista de um
carro aplica os freios para produzir uma
desaceleração uniforme. Sua velocidade é de
100 km/h no ponto A da depressão e de
50 km/h no ponto C no topo da elevação,
que se encontra 120 m de A ao longo da
pista. Se os passageiros do carro
experimentam uma desaceleração total de
3 m/ s
2
em A e se o raio de curvatura da
elevação em C é de 150 m , calcule (a) o
raio de curvatura  em A , (b) a aceleração
no ponto de inflexão B e (c) a aceleração
total em C .
Resposta
vA=100 km/h=27,8 m/s
smhkmvC 89,1350 ==
Calculo da desaceleração uniforme ao longo
da trajetória:
∫vdv=∫at ds⇒
1
2
vC
2
−vA
2
=at s
at=
1
2s
vC
2
−vA
2
=−2,41 m/s2
(a) Condição em A
a
2
=at
2
an
2
⇒an
2
=a
2
−at
2
=3
2
−2,41
2
=3,19
an
2
=3,19⇒an=1,785 m/ s2
an=
v
2

⇒=
v
2
an
=
27,8
2
1,785
=432 m
(b) Condição em B
Uma vez que o raio de curvatura é infinito em
um ponto de reflexão, pode-se facilmente
calcular an=0 e:
a=at=−2,41 m/s
2
(c) Condição em C
an=
v
2

⇒an=
13,89
2
150
=1,286 m/ s
2
a=an enat et=−1,286 en2,41et m/s
2

a=an
2
at
2
=2,73 m/s
2
2. Um carro a uma velocidade constante v0
encontra-se numa rampa circular de um trevo,
movendo-se no sentido de A para B . O
odômetro do carro indica uma distância de
0,6 km entre o ponto A e o ponto B .
Determine v0 para que a componente normal da
aceleração seja 0,08 g .
Resposta:
=0.6⇒≈191 m
an=
v0
2

¿⇒v0
2
=an=191⋅0.08g≈150
⇒v0=12,25 m/ s
3. Uma fita de computador move-se sobre dois
tambores, a uma velocidade v0 . A componente
normal da aceleração da porção da fita em
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Mecânica II.
contato com o tambor B é 122 m/ s
2
.
Determinar (a) a velocidade v0 e (b) a
componente normal da aceleração da porção
da fita em contato como o tambor A .
4. Um ônibus parte do repouso descrevendo
uma circunferência de 250 m de raio. Sua
aceleração at constante é igual a 0,6 m/ s
2
.
Determinar (a) o tempo necessário para que o
módulo da aceleração total do ônibus atinja
0,75 m/ s
2
. Determinar (b) também à
distância percorrida nesse tempo.
Resposta:
at=0,6 m/ s
2
, r=250 m , v0=0,
a t=?=0,75 m/s
2
, st=?=?
(a)
a2
=at
2
an
2
⇒an=
v
2
r
=a2
−at
2
v=r a2
−at
2
v=v0at t ⇒r a2
−at=at t
⇒t=
r a2
−at
2
at
(b) s=v0 t
1
2
at t2
⇒s=
1
2
r a2
−at
2
at
5. A velocidade inicial do jato d’água na
figura é 7,62 m/ s . Determine o raio de
curvatura do jato (a) na saída A e (b) no seu
ponto de máxima.
6. Um trem entra em uma seção curva
horizontal dos trilhos a uma velocidade de
100 km/h , e diminui a velocidade com uma
desaceleração constante para 50 km/h em
12 s . Um acelerômetro montado dentro do trem
grava a aceleração horizontal de 2
2 sm
quando o trem já está há 6 s na curva. Calcule
o raio de curvatura  dos trilhos nesse instante.
7. Um satélite irá se manter em orbita circular
em torno da Terra, desde que a componente
normal de sua aceleração seja igual a g R/r2
,
onde g=9,81 m/ s
2
, R=6,37⋅10
3
km e r
distância entre o satélite e o centro da Terra.
Determine a altitude de um satélite para que ele
possa orbitar a uma velocidade de
2,65⋅10
4
km/ h .
7. A velocidade de um carro aumenta
uniformemente com o tempo de 50 km/h em
A para 100 km/h em B durante 10 s . O raio
de curvatura da elevação em A é de 40 km . Se
o módulo da aceleração total do centro de massa
do carro é o mesmo em B e em A , determine o
raio de curvatura B da depressão na estrado em
B . O centro de massa do carro está a 0,6 m da
estrada.
Resposta: B=163,0 m
8. O carro C aumenta sua velocidade a uma
taxa constante de 1,5 m/ s
2
conforme percorre a
curva mostrada. Se o módulo da aceleração total
do carro é 2,5 m/s
2
no ponto A , onde o raio
de curvatura é de 200 m , determine a
velocidade v do carro nesse ponto.
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Mecânica II.
9. O pino P da manivela PO conecta-se a
ranhura horizontal na guia C que controla
seu movimento sobre a haste vertical fixa.
Determine a velocidade ˙y e a aceleração ÿ
da guia C para um dado valor do ângulo 
se (a) ˙= e ¨=0 (b) ˙=0 e ¨= .
Resposta: (a) ˙y=r sen , ÿ=r 
2
cos 
(b) ˙y=0, ÿ=r sen 
Movimento em coordenadas polares:
Em um sistema de coordenadas polares r , temos como escrever a posição da partícula
por r r , da forma:
x=r cos , y=rsen 
r=x iy j=r cos ir sen  j=rcos  isen  j=r r
r=cos isen j
Calculando a velocidade temos:
v=˙r=
d
dt
[r cos i sen j ]=˙r rr ˙−sen  icos j 
v=˙r rr ˙ 
onde =
d r
d 
=−sen  icos j .
Observe também que
r=−
d θ
d 
, θ=
d r
d 
Calculando a aceleração temos:
a= ˙v=
d
dt
 ˙r rr ˙θ θ=¨r r˙r
d r
dt
θ
d
dt
r ˙θr ˙θ
d θ
dt
=¨r r˙r
dθ
dt
d r
dθ
θ
d
dt
r ˙θr ˙θ
dθ
dt
d θ
dθ
a=¨r r˙r ˙θ θθ˙r ˙θr ¨θ−r ˙θ
2
r
a= ¨r−r ˙θ
2
rr ¨θ2 ˙r ˙θ θ
Tendo como módulos:
v=˙r2
rθ 2
a= ¨r−r ˙θ2

2
r ¨θ2 ˙r ˙θ
2
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Mecânica II.
Movimento em coordenadas cilíndricas:
Em movimentos cilíndricos temos:
r=x i y jz k=r cos θ irsenθ jz k
v=˙r=˙r rr ˙θ θ˙z k
a= ¨r−r ˙θ
2
 rr ¨θ2 ˙r ˙θ θ¨z k
Tendo como módulos:
v=˙r2
rθ 2
˙z2
( ) ( ) 2222
2 zrrrra  +++−= θθθ
Exercícios.
1. O braço OA de 0,9 m comprimento gira
ao redor de O e seu movimento está
definido pela relação =0,15t
2
onde  e
expresso em radianos e t em segundos. O
curso B desliza ao longo do braço, sendo o
seu deslocamento em relação a O dado por
r=0,9−0,2t
2
, onde r está em metros e t
em segundos. Determine a velocidade e a
aceleração do curso B após ter girado por
30º .
Resposta:
=0,15t
2
rad ⇒ ˙=0,30t rad / s
⇒ ¨=0,30rad / s
2

r=0,9−0,2t
2
m⇒ ˙r=−0,4t m/ s
⇒ ¨r=−0,4m/ s
2

Velocidade:
v=˙r rr ˙ 
v=−0,4t r0.90,2t
2
0.3t 
v=−0,4t r0.27t0,6t
3
 
Aceleração:
a= ¨r−r ˙
2
 rr ¨2 ˙r ˙ 
a=−0,4−0,9−0,2t
2
0,30t 2
r
0,9−0,2t
2
0,302−0,4t 0,30t  
a=−0,4−0,081t
2
0,018t
4
r
0,27−0,06t
2
−0,24t
2

a=−0,4−0,081t
2
0,018t
4
r
0,27−0,30t
2
 
Para =30º
=0,15t
2
=
30
180
=

6
⇒t=1,867 s
Assim:
v=−0,747 r4,41  m/ s
v=−0,747
2
4,41
2
=4,72m/ s
a=−0,464 r−0,775  m/s
2

a=−0,464
2
−0,775
2
=0.903 m/ s
2

2. O movimento de um ponto material é definido
por r=2bcos t  , =t , onde b e  são
constantes positivas. Determine (a) a velocidade
e a aceleração do ponto e (b) o raio de curvatura
de sua trajetória. Que conclusão pode tirar sobre
a trajetória do ponto material.
3. A trajetória de um ponto P é uma espiral de
Arquimedes. As relações r=10t e =2 t
definem o ponto P , onde r é expresso em
metros e t em segundos. e  radianos.
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Mecânica II.
Determine a velocidade e a aceleração do
ponto, nos instantes (a) t=0 e (b) t=0,25 s
4. O pino B pode deslizar livremente pela
abertura circular DE e também pela abertura
feita na barra OC . A barra OC gira
uniformemente a uma razão ˙ (a) Mostre
que a aceleração de B tem módulo constante
e (b) determine sua direção.
Resposta, Usando a lei dos senos ou dos
cosenos, temos:
r=2bcos ⇒ ˙r=−2b ˙ sen⇒
¨r=−2b ¨sen −2b ˙
2
cos⇒ ¨r=−2b ˙
2
cos 
=˙t ⇒ ˙=˙⇒ ¨θ=0
a=¨r−r ˙
2
rr ¨2 ˙r ˙
a=−2b ˙2
cos −2b ˙2
cosr−2⋅2b ˙2
sen  
a=−4b ˙
2
sen rcos 
Porem sabemos que:
r=cos  isen  j
=−sen i cos j
Assim temos:
sen  rcos =j
a=−4b ˙
2 j ⇒a=4b ˙
2
=const.
5. O movimento de um ponto material sobre
a superfície de um cone circular reto é
definido por R=ht tg  , =2t e z=ht ,
onde  é o ângulo do vértice do cone e h é
o avanço em altura que o ponto sofre em cada
volta completa. Determine os módulos da
velocidade e da aceleração do ponto, em função
do tempo t .
6. O movimento tridimensional de um ponto é
definido por R=A , =2t , e
z=Asen
2
2t  . Determine a (a) velocidade e a
(b) aceleração, em modulo.
v= ˙R erR ˙e˙z k
a= ¨R−R ˙
2
 erR ¨2 ˙R ˙ eθ ¨z k
2sen xcosx=sen 2x
Resposta
R=A⇒ ˙R=0, ¨R=0
=2t ⇒ ˙=2 , ¨=0
z=Asen
2
2t ⇒ ˙z=2A2sen 2t cos2t 
˙z=2A sen 4t ⇒ ¨z=8A 
2
cos 4t 
(a) v=2A e2Asen4t k
v=4A
2
4A
2
sin2
4t 
v=2A1sen2
4t 
(b) a= ¨R−R ˙θ
2
 erR ¨θ2 ˙R ˙θ eθ¨z k
v= ˙R erR ˙θ eθ ˙z k
v=0 er2A  eθ2Aπ sen 4t  k
a=A22
er8A 2
cos4t  k
( )kteAa r
ˆ)4cos(ˆ4 2
ππ +=

)4(cos14 22
tAa ππ +=

7. O movimento tridimensional de um ponto é
definido por R=A1−e
−t
 , =2t , e
z=B1−e−t
 . Determine a (a) velocidade e (b)
a aceleração, em modulo, para t=0 e t ∞ .
Respostas:
R=A1−e
−t
⇒ ˙R=Ae
−t
, ¨R=−Ae
−t
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Mecânica II.
=2t ⇒ ˙=2, ¨=0
z=B1−e−t
⇒ ˙z= Be−t
, ¨z=−Be−t
(a) v= ˙R er R ˙θ eθ ˙z k
v=Ae−t
er2A1−e−t
eθBe−t k
v=A2
e−2t
4A2
2
1−e−t

2
B2
e−2t
Para t=0 v=A2
B2
Para t  ∞ v=2A  .
(b) a= ¨R−R ˙θ
2
 erR ¨θ2 ˙R ˙θ eθ¨z k
a=−Ae−t
4π2
1−e−t
er4π Ae−t
eθ−Be−t k
Para t=0 a=−Aer 4πA eθ−B k
a=A2
B2
16 A2
π2
Para ∞→t reAa
 2
4 π−= .
a=16 A2
π4
=4Aπ2
8. Um elétron sobre a ação de um campo
magnético espacialmente não uniforme o
movimento em um espiral hiperbólico
r =b , mostrado na figura abaixo.
Determine o modulo da velocidade em
termos de b ,  e ˙=
Respostas: r=
b
θ
˙r=−
b
2
˙=−
b
2
 ,
(a) v=˙r err ˙ e
v=
b
2
 err  e
v=
b2
4

2
r
2

2
=

2 b
2
r
2

4
v=

2
b2
b2
2
=
b
2
12
9. Um elétron sobre a ação de um campo
magnético espacialmente não uniforme o
movimento em um espiral r=r0e
b
, mostrado
na figura abaixo. Sabendo-se que ¨θ=0 .
Determine o modulo da aceleração em termos de
b , r e ˙=
Respostas: r=r0 eb 
˙r=r0 b ˙e
b
=r0 bωe
b
¨r=r0 b ˙eb
=r0 b2
2
eb 
a=r0 b2
2
eb
−r0 2
eb
er2r0 b2
eb
e
a=r0 2
eb
[b2
−1 er2b e]
a=2
r b2
−1
2
4b2
=2
r b4
−2b2
14b2
a=2
r b4
2b2
1=2
r b2
1
2
a=
2
r b
2
1
9. Uma partícula realiza um movimento
obedecendo a equação
rt =at−t ' costia t−t ' sent  j−bt−t '  j
onde a ,b , e t ' são constantes. (a) Esboce
um gráfico tridimensional xyz a trajetória da
partícula no intervalo de 0≤t≤t ' , (b) e calcule
o módulo de sua aceleração.
10. Uma partícula realiza um movimento
obedecendo a equação
r t =at cost iat sent  jbt k , onde e
a ,b e  são constantes. (a) Esboce um gráfico
tridimensional xyz a trajetória da partícula, (b)
e calcule o módulo de sua aceleração.
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