Exercícios Mecânica vetorial para Engenheiros

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Exercícios Mecânica vetorial para Engenheiros

  1. 1. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br Mecânica II Parte II Análise vetorial: Movimento curvilíneo de um ponto material, derivadas vetoriais, movimentos de projeteis. Referências: [1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker, Fundamentos de Física, Mecânica, 4ª ed., LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1996. [2] P. A. Tripler, Física, vol 1, Guanabara Dois., Rio de Janeiro, 1978. [3] F. P. Beer, E R. Johnston Jr., Mecânica Vetorial para Engenheiros, Cinemática e Dinâmica, ed. 5º, Makron Books editora, Rio de Janeiro, 1991. [4] J. L. Meriam, L. G. Kraige, Mecânica Dinâmica, 4ª ed., LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S. A., Rio de Janeiro, 1999. [5] George Arfken, Mathematical Methods for Physics, 3ed., Academic Press, Inc. San Diego, 1985. Movimento curvilíneo de um ponto material. (Coordenadas cartesianas) Quando um ponto descola-se em uma curva, dizemos que está em movimento curvilíneo. Vetor posição r . Vetor posição em termos dos vetores unitários cartesianos i , j e k , isto é, ∣i∣=∣j∣=∣k∣ . Observe que estas são linearmente independentes e formam uma base para o espaço cartesiano. r=x iy jz k ∣r∣=r=x i y jz k⋅x iy jz k r=x 2 y 2 z 2 Velocidade de um ponto material (coordenadas retangulares). v=˙r= lim  t0 r t = d r dt ˙r= d dt x i y jz k = dx dt i dy dt j dz dt k= ˙x i ˙y j ˙z k v=lim t 0  s t = ds dt = lim t0 ∣r∣ t = ∣lim t 0 r t ∣= ∣d r dt ∣=∣˙r∣ v= ˙x 2  ˙y 2 ˙z 2 Obs.: sempre que temos derivadas temporais podemos usar a nomenclatura ˙x= dx dt , ¨xi= d 2 xi dt 2 ,onde xi é uma variável qualquer de um sistema de coordenas. Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 1 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
  2. 2. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br Aceleração de um ponto material (coordenadas retangulares). a= ˙v= lim  t 0 v t = d v dt = d 2 r dt 2 ¨r= d dt ˙x i ˙y j ˙z k = d ˙x dt i d ˙y dt j d ˙z dt k= ¨x i ¨y j ¨z k a=¨r= d v dt = d 2 r dt 2 a=∣¨r∣= ¨x 2  ¨y 2  ¨y 2 Movimento relativo. Seja S e S ' dois referenciais com movimento relativo entre si. Observe a figura abaixo: Posição relativa r A/ B r B=rArB / A Velocidade relativa vA/B d dt rB= d dt rArB/A ˙r B=˙r A˙r B/A⇒vB=vAvB/ A Aceleração relativa aA/B ¨r B=¨r A¨r B/A⇒aB=aAaB/A Exercícios. 1. Dispara-se um projétil de uma colina de 150 m de altura, com uma velocidade inicial de 180 m/s , num ângulo de 30º com a horizontal. Desprezando-se a resistência do ar, determinar (a) distância horizontal da arma ao ponto onde o projétil atinge o solo, (b) a altura máxima que o projétil alcança em relação ao solo. Resposta: Consideremos separadamente o movimento vertical e horizontal. (a) Movimento vertical (direção y ). y0=150 m , ˙y0=v cosθ=180cos30ºm/s  y=y0 ˙y0 t 1 2 g t 2 0=2y02 ˙y0 tg t2 ⇒ t= −2 ˙y0±2 ˙y0  2 −4g 2y0  2g t=19,9 s tempo de queda da bala. Movimento na horizontal (direção x). x0=0, ˙x0=vsen =180sen30ºm/s x=x0 ˙x0 t ⇒ x=3,10 km (b) Elevação máxima Quando a elevação é máxima temos um ponto de retorno da variável y , sendo que ˙y=0 , assim, temos: ˙y= ˙y0g t ⇒0= ˙y0g t ⇒t= − ˙y0 g y=y0 ˙y0 t 1 2 g t 2 ⇒ Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 2 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
  3. 3. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br ymax=y0−˙y0 ˙y0 g  1 2 g− ˙y0 g  2 =y0− ˙y0 2 2g ymax=413 m Outro método mais direto seria pela equação de Torricelli. ˙y 2 = ˙y0 2 2gy−y0 ⇒0= ˙y0 2 2gymax− y0  ymax=y0− ˙y0 2 2g =413 m 2. Um automóvel A está trafegando para leste com uma velocidade constante de 25 km/h . Quando passa pelo cruzamento ilustrado na figura, um automóvel B , que estava parado a 30 m ao norte dirige-se para o sul com uma aceleração constante de 1,2 m/ s 2 . Determine a posição, velocidade e aceleração de B relativos à A 5,0 s após A passar pelo cruzamento. Resposta: Escolhemos a origem no cruzamento das duas ruas com os sentidos, para leste e norte. Movimento do automóvel A . xA=0, ˙xA=6,94 m/s , xA=x0A ˙x t=6,94t Para t=5 s , temos: xA=6,94t=34,7 m Movimento do automóvel B . aB=1,3 m/ s 2 , ˙yB= ˙y0BaB t=−1,2t , yB=y0B ˙y0 t 1 2 aB t 2 =30− 1 2 1,2t 2 Para t=5 s , temos ˙yB=6 m/s , yB=15 m Movimento relativo de B em relação à A . Determinando o triangulo correspondente à equação vetorial rB=r Ar B/A , obteremos o modulo, direção e sentido do vetor B em relação à A . rA/ B=37,8 m⇒=23,4º Procedendo de forma análoga temos: vA/B=9,17 m/ s⇒=40,8º aA/ B=1,2 m/s 2  3. O movimento de um ponto material é dado pelas equações x=2t 2 −4t e y=2t−12 −4t−1 , onde x e y são dados em metros e t em segundos. Determinar (a) o mínimo valor da velocidade escalar do ponto e (b) o instante, a posição e a direção da velocidade correspondente. 4. Um ponto material descreve uma elipse de equação: r=Acos t i Bsen t j . Mostre que a aceleração (a) aponta para a origem e (b) é proporcional a r . Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 3 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
  4. 4. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br 5. As equações dadas definem o movimento de um ponto material: r=2t12 i2t1−2 j , onde r é dado em metros e t em segundos. Mostrar que a trajetória do ponto é o segmento de hipérbole mostrado na figura abaixo e determinar a aceleração quando (a) 0=t e (b) st 5= . 6. O movimento vibratório de um ponto material é definido pela equação r=4sint i−cos2t  j , onde r é dado em metros e t em segundos. (a) Determinar a velocidade e a aceleração em t=1 s e (b) mostre que a trajetória limita-se a um arco de parábola: 7. O movimento tridimensional de um ponto material é definido por r=Rsen t ict jRcost  k . Determinar os módulos da velocidade e da aceleração do ponto (A curva descrita pelo ponto é um hélice). 8. Um jogador de handebol atira uma bola do ponto A , com velocidade horizontal v0 . A distância d vale 6,1 m . Determine (a) o valor de v0 para o qual a bola atingira o vértice C e (b) o intervalo de valores de v0 para os quais a bola atingira a região BCD . 9. Descarrega-se areia do ponto A de uma esteira horizontal, com velocidade inicial v0 . Determine o intervalo de valores de v0 para os quais a areia entrara no tubo vertical. 10. Uma bomba localiza-se na barreira de uma plataforma. O bocal A expele uma água a uma velocidade inicial de 7,6 m/ s formando um ângulo de 50º com a vertical. Determine o intervalo de alturas h para as quais a água atinge a abertura BC . 11. Considerando-se que a esteira se move com velocidade constante v0 , (a) determinar o valor mínimo de v0 para o qual a areia pode ser depositada em B . Determina também o correspondente valor de  . 12. Os instrumentos de um avião indicam que ele está se movendo para o norte com velocidade de 500 km/h , em relação ao ar. Simultaneamente, um radar terrestre indica que Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 4 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
  5. 5. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br o avião se move com velocidade de 530 km/h numa direção que faz um ângulo de 5º voltado para o leste. Determina a magnitude e a direção da velocidade do ar. 13. Dispara-se um projétil com velocidade inicial v0 , a um ângulo de 20º com a horizontal. Determine v0 para o projétil atingir (a) B (b) C. 14. Num dado instante, a peça A tem velocidade de 16 mm/s e uma aceleração de 24 mm/ s 2 , ambas para baixo. Determina (a) velocidade do bloco B e (b) sua aceleração, no mesmo instante. 15. Um jogador atira uma bola com velocidade v0=15 m/s , de um ponto A localizado a 1,5 m do solo. Sabendo-se que o pé direito do ginásio de esportes mede 6,0 m , determine a máxima altura do ponto B que pode ser atingida pela bola. 16. Dois aviões A e B coando a uma mesma altitude; o avião A está voando para o leste a uma velocidade constante de 900 km/h , enquanto B está coando para sudoeste a uma velocidade constante de 600 km/h . Determine a mudança de posição de B relativamente a A, que ocorre durante um intervala de 2 min . 17. No instante t=0 , a cunha A põe-se em movimento em movimento para a direita, com aceleração constante de 100 mm/ s 2 e o bloco B, por sua vez, põe-se em movimento ao longo da cunha, indo para a esquerda com uma aceleração de 150 mm/ s 2 relativamente a cunha. Determine (a) a aceleração do bloco B e (b) sua velocidade no instante t=4 s . 18. Esguicha-se água de A com velocidade inicial de 12 m/ s , atingindo-se uma série de pás em B. Sabendo-se que as pás se movem para baixo com velocidade constante de 1,5 m/ s , determine a velocidade e a aceleração em relação à pá em B. Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 5 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
  6. 6. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br Movimento curvilíneo de um ponto material (Coordenadas generalizadas). Um pouco de calculo vetorial: Seja A um vetor de um espaço vetorial qualquer, com a seguinte restrição: A⋅A=constante Seja q uma coordenada do espaço que define A : temos: d dq  A⋅A=0⇒ d A dq ⋅A A⋅d A dq =2 A⋅ d A dq =0 ⇒ A⋅ d A dq =0⇔ A⊥ d A dq Logo para qualquer vetor de norma constante tem sua derivada em relação em relação a uma de suas coordenadas como um vetor perpendicular ao mesmo. Seja eqi um vetor unitário, eqi ⋅eqj =ij  onde ij={1 se i= j 0 se i≠ j , na direção da coordenada qi , assim temos eqi ⋅eqi =1⇒ d dq j eqi ⋅eqi =0⇒ eqi ⋅ d eqi dq j  d eqi dq j ⋅eqi =2 eqi ⋅ d eqi dqj =0⇔eqi ⊥ d eqi dqj Logo podemos definir eq j como o vetor unitário que orienta a coordenada q j da forma: eq j = 1 k d eqi dqj . onde k= ∣d eqi dq j ∣ é conhecido como curvatura da curva. Sendo o espaço tridimensional devemos ter um trio de vetores unitários que orientam os vetores nesse espaço. Assim devemos obter vetor unitário na direção eqk que orienta a terceira coordenada, chamemos de coordenada qk . Esse vetor deve ser construído de tal forma que forme um conjunto linearmente independente com eqi e eqj . Podemos construir esse vetor kqeˆ da forma: jik qqq eee ˆˆˆ ×= Observe que ∣eqk ∣=∣eqi ×eq j ∣=∣eqi ∣∣eq j ∣sen 2 =1 Esta é uma receita básica para criação de um espaço vetorial tridimensional qualquer. Movimento curvilíneo de um ponto material em um plano. Seja um ponto material em um movimento plano dado por: r=r s ,t Assim se desejamos calcular a velocidade do ponto material temos: v= ˙r= d r dt = ds dt d r ds =v et , com et= d r ds onde et é o vetor unitário na direção tangencial ao vetor deslocamento. Observe que o vetor d r ds é unitário. Calculando a aceleração temos: a= ˙v= d v dt = d dt v et=˙v etv ˙et=˙v etv ds dt d et ds =˙v etv 2 d et ds =˙v et v 2  en , com en= 1  d et ds Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 6 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
  7. 7. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br a=˙v et v 2  en onde =∣d et ds ∣ é a curvatura da curva r=r s ,t . Os vetores et e en formam um plano que contem o vetor aceleração da partícula. Este plano recebe o nome de plano osculador. O modulo da aceleração a=∣a∣= ˙v 2 v2   2 . Exercícios. 1. Para atravessar uma depressão seguida de uma elevação na estrada, o motorista de um carro aplica os freios para produzir uma desaceleração uniforme. Sua velocidade é de 100 km/h no ponto A da depressão e de 50 km/h no ponto C no topo da elevação, que se encontra 120 m de A ao longo da pista. Se os passageiros do carro experimentam uma desaceleração total de 3 m/ s 2 em A e se o raio de curvatura da elevação em C é de 150 m , calcule (a) o raio de curvatura  em A , (b) a aceleração no ponto de inflexão B e (c) a aceleração total em C . Resposta vA=100 km/h=27,8 m/s smhkmvC 89,1350 == Calculo da desaceleração uniforme ao longo da trajetória: ∫vdv=∫at ds⇒ 1 2 vC 2 −vA 2 =at s at= 1 2s vC 2 −vA 2 =−2,41 m/s2 (a) Condição em A a 2 =at 2 an 2 ⇒an 2 =a 2 −at 2 =3 2 −2,41 2 =3,19 an 2 =3,19⇒an=1,785 m/ s2 an= v 2  ⇒= v 2 an = 27,8 2 1,785 =432 m (b) Condição em B Uma vez que o raio de curvatura é infinito em um ponto de reflexão, pode-se facilmente calcular an=0 e: a=at=−2,41 m/s 2 (c) Condição em C an= v 2  ⇒an= 13,89 2 150 =1,286 m/ s 2 a=an enat et=−1,286 en2,41et m/s 2  a=an 2 at 2 =2,73 m/s 2 2. Um carro a uma velocidade constante v0 encontra-se numa rampa circular de um trevo, movendo-se no sentido de A para B . O odômetro do carro indica uma distância de 0,6 km entre o ponto A e o ponto B . Determine v0 para que a componente normal da aceleração seja 0,08 g . Resposta: =0.6⇒≈191 m an= v0 2  ¿⇒v0 2 =an=191⋅0.08g≈150 ⇒v0=12,25 m/ s 3. Uma fita de computador move-se sobre dois tambores, a uma velocidade v0 . A componente normal da aceleração da porção da fita em Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 7 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
  8. 8. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br contato com o tambor B é 122 m/ s 2 . Determinar (a) a velocidade v0 e (b) a componente normal da aceleração da porção da fita em contato como o tambor A . 4. Um ônibus parte do repouso descrevendo uma circunferência de 250 m de raio. Sua aceleração at constante é igual a 0,6 m/ s 2 . Determinar (a) o tempo necessário para que o módulo da aceleração total do ônibus atinja 0,75 m/ s 2 . Determinar (b) também à distância percorrida nesse tempo. Resposta: at=0,6 m/ s 2 , r=250 m , v0=0, a t=?=0,75 m/s 2 , st=?=? (a) a2 =at 2 an 2 ⇒an= v 2 r =a2 −at 2 v=r a2 −at 2 v=v0at t ⇒r a2 −at=at t ⇒t= r a2 −at 2 at (b) s=v0 t 1 2 at t2 ⇒s= 1 2 r a2 −at 2 at 5. A velocidade inicial do jato d’água na figura é 7,62 m/ s . Determine o raio de curvatura do jato (a) na saída A e (b) no seu ponto de máxima. 6. Um trem entra em uma seção curva horizontal dos trilhos a uma velocidade de 100 km/h , e diminui a velocidade com uma desaceleração constante para 50 km/h em 12 s . Um acelerômetro montado dentro do trem grava a aceleração horizontal de 2 2 sm quando o trem já está há 6 s na curva. Calcule o raio de curvatura  dos trilhos nesse instante. 7. Um satélite irá se manter em orbita circular em torno da Terra, desde que a componente normal de sua aceleração seja igual a g R/r2 , onde g=9,81 m/ s 2 , R=6,37⋅10 3 km e r distância entre o satélite e o centro da Terra. Determine a altitude de um satélite para que ele possa orbitar a uma velocidade de 2,65⋅10 4 km/ h . 7. A velocidade de um carro aumenta uniformemente com o tempo de 50 km/h em A para 100 km/h em B durante 10 s . O raio de curvatura da elevação em A é de 40 km . Se o módulo da aceleração total do centro de massa do carro é o mesmo em B e em A , determine o raio de curvatura B da depressão na estrado em B . O centro de massa do carro está a 0,6 m da estrada. Resposta: B=163,0 m 8. O carro C aumenta sua velocidade a uma taxa constante de 1,5 m/ s 2 conforme percorre a curva mostrada. Se o módulo da aceleração total do carro é 2,5 m/s 2 no ponto A , onde o raio de curvatura é de 200 m , determine a velocidade v do carro nesse ponto. Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 8 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
  9. 9. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br 9. O pino P da manivela PO conecta-se a ranhura horizontal na guia C que controla seu movimento sobre a haste vertical fixa. Determine a velocidade ˙y e a aceleração ¨y da guia C para um dado valor do ângulo  se (a) ˙= e ¨=0 (b) ˙=0 e ¨= . Resposta: (a) ˙y=r sen , ¨y=r  2 cos  (b) ˙y=0, ¨y=r sen  Movimento em coordenadas polares: Em um sistema de coordenadas polares r , temos como escrever a posição da partícula por r r , da forma: x=r cos , y=rsen  r=x iy j=r cos ir sen  j=rcos  isen  j=r r r=cos isen j Calculando a velocidade temos: v=˙r= d dt [r cos i sen j ]=˙r rr ˙−sen  icos j  v=˙r rr ˙  onde = d r d  =−sen  icos j . Observe também que r=− d θ d  , θ= d r d  Calculando a aceleração temos: a= ˙v= d dt  ˙r rr ˙θ θ=¨r r˙r d r dt θ d dt r ˙θr ˙θ d θ dt =¨r r˙r dθ dt d r dθ θ d dt r ˙θr ˙θ dθ dt d θ dθ a=¨r r˙r ˙θ θθ˙r ˙θr ¨θ−r ˙θ 2 r a= ¨r−r ˙θ 2 rr ¨θ2 ˙r ˙θ θ Tendo como módulos: v=˙r2 rθ 2 a= ¨r−r ˙θ2  2 r ¨θ2 ˙r ˙θ 2 Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 9 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
  10. 10. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br Movimento em coordenadas cilíndricas: Em movimentos cilíndricos temos: r=x i y jz k=r cos θ irsenθ jz k v=˙r=˙r rr ˙θ θ˙z k a= ¨r−r ˙θ 2  rr ¨θ2 ˙r ˙θ θ¨z k Tendo como módulos: v=˙r2 rθ 2 ˙z2 ( ) ( ) 2222 2 zrrrra  +++−= θθθ Exercícios. 1. O braço OA de 0,9 m comprimento gira ao redor de O e seu movimento está definido pela relação =0,15t 2 onde  e expresso em radianos e t em segundos. O curso B desliza ao longo do braço, sendo o seu deslocamento em relação a O dado por r=0,9−0,2t 2 , onde r está em metros e t em segundos. Determine a velocidade e a aceleração do curso B após ter girado por 30º . Resposta: =0,15t 2 rad ⇒ ˙=0,30t rad / s ⇒ ¨=0,30rad / s 2  r=0,9−0,2t 2 m⇒ ˙r=−0,4t m/ s ⇒ ¨r=−0,4m/ s 2  Velocidade: v=˙r rr ˙  v=−0,4t r0.90,2t 2 0.3t  v=−0,4t r0.27t0,6t 3   Aceleração: a= ¨r−r ˙ 2  rr ¨2 ˙r ˙  a=−0,4−0,9−0,2t 2 0,30t 2 r 0,9−0,2t 2 0,302−0,4t 0,30t   a=−0,4−0,081t 2 0,018t 4 r 0,27−0,06t 2 −0,24t 2  a=−0,4−0,081t 2 0,018t 4 r 0,27−0,30t 2   Para =30º =0,15t 2 = 30 180 =  6 ⇒t=1,867 s Assim: v=−0,747 r4,41  m/ s v=−0,747 2 4,41 2 =4,72m/ s a=−0,464 r−0,775  m/s 2  a=−0,464 2 −0,775 2 =0.903 m/ s 2  2. O movimento de um ponto material é definido por r=2bcos t  , =t , onde b e  são constantes positivas. Determine (a) a velocidade e a aceleração do ponto e (b) o raio de curvatura de sua trajetória. Que conclusão pode tirar sobre a trajetória do ponto material. 3. A trajetória de um ponto P é uma espiral de Arquimedes. As relações r=10t e =2 t definem o ponto P , onde r é expresso em metros e t em segundos. e  radianos. Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 10 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
  11. 11. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br Determine a velocidade e a aceleração do ponto, nos instantes (a) t=0 e (b) t=0,25 s 4. O pino B pode deslizar livremente pela abertura circular DE e também pela abertura feita na barra OC . A barra OC gira uniformemente a uma razão ˙ (a) Mostre que a aceleração de B tem módulo constante e (b) determine sua direção. Resposta, Usando a lei dos senos ou dos cosenos, temos: r=2bcos ⇒ ˙r=−2b ˙ sen⇒ ¨r=−2b ¨sen −2b ˙ 2 cos⇒ ¨r=−2b ˙ 2 cos  =˙t ⇒ ˙=˙⇒ ¨θ=0 a=¨r−r ˙ 2 rr ¨2 ˙r ˙ a=−2b ˙2 cos −2b ˙2 cosr−2⋅2b ˙2 sen   a=−4b ˙ 2 sen rcos  Porem sabemos que: r=cos  isen  j =−sen i cos j Assim temos: sen  rcos =j a=−4b ˙ 2 j ⇒a=4b ˙ 2 =const. 5. O movimento de um ponto material sobre a superfície de um cone circular reto é definido por R=ht tg  , =2t e z=ht , onde  é o ângulo do vértice do cone e h é o avanço em altura que o ponto sofre em cada volta completa. Determine os módulos da velocidade e da aceleração do ponto, em função do tempo t . 6. O movimento tridimensional de um ponto é definido por R=A , =2t , e z=Asen 2 2t  . Determine a (a) velocidade e a (b) aceleração, em modulo. v= ˙R erR ˙e˙z k a= ¨R−R ˙ 2  erR ¨2 ˙R ˙ eθ ¨z k 2sen xcosx=sen 2x Resposta R=A⇒ ˙R=0, ¨R=0 =2t ⇒ ˙=2 , ¨=0 z=Asen 2 2t ⇒ ˙z=2A2sen 2t cos2t  ˙z=2A sen 4t ⇒ ¨z=8A  2 cos 4t  (a) v=2A e2Asen4t k v=4A 2 4A 2 sin2 4t  v=2A1sen2 4t  (b) a= ¨R−R ˙θ 2  erR ¨θ2 ˙R ˙θ eθ¨z k v= ˙R erR ˙θ eθ ˙z k v=0 er2A  eθ2Aπ sen 4t  k a=A22 er8A 2 cos4t  k ( )kteAa r ˆ)4cos(ˆ4 2 ππ +=  )4(cos14 22 tAa ππ +=  7. O movimento tridimensional de um ponto é definido por R=A1−e −t  , =2t , e z=B1−e−t  . Determine a (a) velocidade e (b) a aceleração, em modulo, para t=0 e t ∞ . Respostas: R=A1−e −t ⇒ ˙R=Ae −t , ¨R=−Ae −t Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 11 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807
  12. 12. Mecânica II. Prof. João F. L. de Freitas. 2009.1 e-mail: joaoflf@upe.poli.br, site: www.joaoflf.poli.br =2t ⇒ ˙=2, ¨=0 z=B1−e−t ⇒ ˙z= Be−t , ¨z=−Be−t (a) v= ˙R er R ˙θ eθ ˙z k v=Ae−t er2A1−e−t eθBe−t k v=A2 e−2t 4A2 2 1−e−t  2 B2 e−2t Para t=0 v=A2 B2 Para t  ∞ v=2A  . (b) a= ¨R−R ˙θ 2  erR ¨θ2 ˙R ˙θ eθ¨z k a=−Ae−t 4π2 1−e−t er4π Ae−t eθ−Be−t k Para t=0 a=−Aer 4πA eθ−B k a=A2 B2 16 A2 π2 Para ∞→t reAa  2 4 π−= . a=16 A2 π4 =4Aπ2 8. Um elétron sobre a ação de um campo magnético espacialmente não uniforme o movimento em um espiral hiperbólico r =b , mostrado na figura abaixo. Determine o modulo da velocidade em termos de b ,  e ˙= Respostas: r= b θ ˙r=− b 2 ˙=− b 2  , (a) v=˙r err ˙ e v= b 2  err  e v= b2 4  2 r 2  2 =  2 b 2 r 2  4 v=  2 b2 b2 2 = b 2 12 9. Um elétron sobre a ação de um campo magnético espacialmente não uniforme o movimento em um espiral r=r0e b , mostrado na figura abaixo. Sabendo-se que ¨θ=0 . Determine o modulo da aceleração em termos de b , r e ˙= Respostas: r=r0 eb  ˙r=r0 b ˙e b =r0 bωe b ¨r=r0 b ˙eb =r0 b2 2 eb  a=r0 b2 2 eb −r0 2 eb er2r0 b2 eb e a=r0 2 eb [b2 −1 er2b e] a=2 r b2 −1 2 4b2 =2 r b4 −2b2 14b2 a=2 r b4 2b2 1=2 r b2 1 2 a= 2 r b 2 1 9. Uma partícula realiza um movimento obedecendo a equação rt =at−t ' costia t−t ' sent  j−bt−t '  j onde a ,b , e t ' são constantes. (a) Esboce um gráfico tridimensional xyz a trajetória da partícula no intervalo de 0≤t≤t ' , (b) e calcule o módulo de sua aceleração. 10. Uma partícula realiza um movimento obedecendo a equação r t =at cost iat sent  jbt k , onde e a ,b e  são constantes. (a) Esboce um gráfico tridimensional xyz a trajetória da partícula, (b) e calcule o módulo de sua aceleração. Escola Politécnica de Pernambuco – POLI 12 Rua Benfica, nº 445, Madalena, Recife/PE Fone PABX 81 2119-3855, Fax 81 2119-3895 / 2119-3807

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