CONTROLE LINEAR I  Parte A – Sistemas Contínuos no TempoPROF. DR. EDVALDO ASSUNÇÃOPROF. DR. MARCELO C. M. TEIXEIRA        ...
AGRADECIMENTOS     Os autores desejam agradecer ao aluno Pierre Goebel, que em uma tardede verão decidiu digitar toda apos...
Índice1- Introdução                                                                   5.2- Classificação e linearização de...
6- Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal                                           79.7- Estabilidade de Sistemas Dinâmicos...
11- Sinais de Perturbação (ou ruído) em Sistemas de Controle           155.12-Método do Lugar das Raízes (Root-Locus)     ...
1-Introdução      A engenharia diz respeito ao conhecimento e ao controle de materiais e forças danatureza para o benefíci...
deslocamento, ii)uma caldeira cujas entradas são ar e combustível e a saída é a temperaturada água, iii) um automóvel cuja...
Neste caso temos que o sistema de controle é uma conexão série de três outrossistemas: HOMEM-CHAVE-AQUECEDOR. Esta configu...
3a estratégia: controle automático usando um bimetal.     O bimetal é composto de dois metais com coeficientes de dilataçã...
fechada.             O esquema genérico de um sistema de malha fechada é:        2oExemplo: sistema de controle biológico,...
2-Classificação e Linearização de Sistemas      As equações diferenciais dos movimentos dos principais processos utilizado...
Definição: um sistema é dito linear em termos da sua excitação u(t) (entrada) e sua resposta(saída) se o princípio de supe...
seguinte combinação linear:u(t)= u1(t)+u2(t), no sistema y(t)=au(t):        Para u1(t) tem-se y1(t)=a u1(t)             ...
y1 t   b                        u1(t)  y1(t)= a u1(t)+b então u1 t                          (1)                    ...
tf    Sol.:          u (t)= u1(t)  y1   u1 (t )dt                   (1)                                           0    ...
du (t )     tf                                               y (t )  10u (t )  22                        3 u (t )dt   ...
logo                                n                            m                                  m                     ...
2. SLVT: considere o exemplo do foguete lançador de nave espacial. O combustível é     consumido durante o percurso e, por...
ponto de equilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno doequilíbrio. Entretanto, se o sistema op...
f ( x)                               y  f ( x) P.O.               ( x  xo )                                           ...
Obs.: Se o cálculo de yo, m1, m2, ... , mn não for possível de ser realizado devido à ocorrênciade divisão por zero, diz-s...
g ( )                 g ( )                           mgl cos( ) e           mgl cos(0)  mgl (3)                  ...
Exercício: Repita o exemplo anterior para que g()=0,1cos(), e  o        . Use o MATLAB para                          ...
R=100        Faça o gráfico (interpretação geométrica)Sol.:                                                       P     ...
distância de 2mm.       Na figura a força de atração é dada por:                                                          ...
Exemplo: supondo o seguinte sistema não-linear:        sendo y  2 x(t )  x 2 (t ) (que é não-linear).Linearize em torno...
OBS. No ponto de equilíbrio, o sistema permanece nele se colocado nele (derivadas nulas) etodas as variáveis são constante...
A equação (3) é linear, não importando quão grande o ângulo o seja. A realimentaçãoproporciona um torque Tc baseado na med...
3-Transformada de Laplace (revisão)      A capacidade de obter aproximações lineares de sistemas físicos permite ao projet...
OBS.: É suposto que os capacitores estão descarregados e os indutores tem corrente nula noinstante inicial t=0s.      A te...
Pares de Transformadas de Laplace                        f (t )                                F (s)1         Impulso unit...
1                                                                              1        18                                ...
b                                       b                                                         vdu  u  v            ...
z1  1        Neste exemplo temos:                                    P1  25. Teorema do valor final (t+∞) – T.V.F.   ...
1.5                       1                    0.5              f()                       0               t               ...
A função impulso é o caso limite da função pulso de área unitária:                      1Neste caso a área é A=  a  1 e ...
3.3-Transformada Inversa        A idéia é encontrarutilizando a expansão de funções em frações parciais e então utilizar a...
5s  3Exemplo: F ( s )                              , determine f(t).                      ( s  1)( s  2)( s  3)Sol.: ...
Ar  ( s  si ) r F ( s ) s  s                                                                                        i  ...
logo                                                       ( s  2)  s                                               A2 ...
Já sabemos calcular C1:                                                                  1                                ...
sExemplo: Determine f(t) se F(s)=                                   s 1Sol.: Neste caso, P(s)=s e Q(s)=s+1 e logo grau (P...
Expansão em Frações parciais usando o MATLAB      O exemplo abaixo foi retirado do Ogata (4ºed.):Considere a seguinte funç...
Expanda a seguinte B(s)/A(s) em frações parciais com MATLAB:                                           B( s ) s 2  2 s  ...
Assim, o computador apresentará o num/den, como se segue:                                                       s ^ 2  2s...
A tensão sobre o capacitor é vc(t). Suponha que o capacitor esteja descarregadoinicialmente, ou seja:                     ...
 dv c (t )                                           L{v(t)}=RCL                    +L{vc(t)}                         ...
R1=R2=1Ω                                                                               C=10-3F      A chave é fechada em t...
4-Função de Transferência4.1–Definição      A função de transferência de um sistema de equações diferenciais lineares inva...
Neste caso, o torque é: T(t)=L.F(t). Aplicando a segunda lei de Newton ao presentesistema e observando que não há nenhum a...
 (s)        1                                                         G (s)                                            ...
                                                                                     aoY ( s )  a1 sY ( s )  y (0  ...
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  1. 1. CONTROLE LINEAR I Parte A – Sistemas Contínuos no TempoPROF. DR. EDVALDO ASSUNÇÃOPROF. DR. MARCELO C. M. TEIXEIRA -2010-
  2. 2. AGRADECIMENTOS Os autores desejam agradecer ao aluno Pierre Goebel, que em uma tardede verão decidiu digitar toda apostila de forma voluntária e com o prazer deproporcionar uma leitura agradável aos demais alunos. Muito obrigado Pierre! 1
  3. 3. Índice1- Introdução 5.2- Classificação e linearização de Sistemas 10. 2.1- Sistemas Lineares 10. 2.2- Linearização 17. 2.3- Linearização Envolvendo Equações Diferenciais 24. 2.4- Linearização Exata por Realimentação 26.3-Transformada de Laplace (revisão) 28. 3.1- Definição 28. Tabela de Transformadas de Laplace 30. 3.2- Propriedades das Transformadas de Laplace 31. 3.3- Transformada Inversa 36. 3.4- Resolução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo 44.4- Função de Transferência 48. 4.1 - Definição 48. 4.2- Função de Transferência de Circuitos com A.O 56. 4.2.1- Função de Transferência do A.O. Integrador 57. 4.3- Simulação com o MATLAB 59. 4.4- Função de Transferência de um Sistema Rotacional Mecânico 63. 4.5- Função de Transferência de um Motor de Corrente Contínua (CC) 64.5- Diagrama de Blocos 66. 5.1- O Detector de Erros 66. 5.2- Função de Transferência de Malha Fechada 66. 5.3- Manipulação no Diagrama de Blocos 67. 5.4- Algumas Regras Úteis 69. Tabela das Principais Regras para Redução de Diagrama de Blocos 71. 5.5- Simplificação de Diagrama de Blocos com o MATLAB 77. 2
  4. 4. 6- Modelo em Diagrama de Fluxo de Sinal 79.7- Estabilidade de Sistemas Dinâmicos 85. 7.1- O Conceito de Estabilidade 85. 7.2- O Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 95. 7.3- Estabilidade Relativa 103. 7.4- Exemplos Completos de Projeto 105.8- Resposta Transitória de Sistemas de 1a e 2a ordem 113. 8.1- Introdução 113. 8.2- Resposta Transitória de Sistema de 1a ordem (devido a entrada degrau) 113. 8.2.1- Exemplo 113. 8.2.2- Caso Genérico 115. 8.3- Resposta Transitória de sistemas de 2a ordem (devido a uma entrada degrau) . 117. 8.3.1- Exemplo 117. 8.3.2- Caso Genérico 119. Variação de P.O. em função de  124. 8.3.3- Resposta Transitória X Localização dos Pólos no Plano s 126. 8.3.4- Resposta ao Degrau de Sistemas de Ordem Superior 131. 8.4- Resposta Transitório Usando o MATLAB 134. 8.5- Índices de Desempenho ITA, ISE, IAE 136.9- Erros de Regime (regime permanente) 139. 9.1- Introdução 139. 9.2- Exemplos de Erro de Regime 139. 9.3- Erros de Regime 141. Tabela de Erros de Regime 146.10- Sensibilidade de Sistemas de Controle a Variação de Parâmetros 150. 10.1- Introdução 150. 10.2- Generalização 152. 3
  5. 5. 11- Sinais de Perturbação (ou ruído) em Sistemas de Controle 155.12-Método do Lugar das Raízes (Root-Locus) 162.APÊNDICE A – Laboratório 1 – Curso e Lista de Exercícios do MATLAB 206.APÊNDICE B – Laboratório 2 – Introdução à Robótica 222.APÊNDICE C – Laboratório 3 – Controle de Motor CC 226.APÊNDICE D – Laboratório 4 – Resposta Transitória de Sistemas Dinâmicos e Erros de Regime Permanente 230.APÊNDICE E – Bibliografia Básica e Critério de Avaliação 238.APÊNDICE F – Alguns Artigos Científicos Publicados pelos Professores Marcelo C. M. Teixeira e Edvaldo Assunção 239. 4
  6. 6. 1-Introdução A engenharia diz respeito ao conhecimento e ao controle de materiais e forças danatureza para o benefício da humanidade. Dizem respeito aos engenheiros de sistemas decontrole o conhecimento e controle de segmentos à sua volta, chamados de sistemas, com afinalidade de dotar a sociedade de produtos úteis e econômicos. Os objetivos duplos deconhecimento e controle são complementares, uma vez que o controle efetivo de sistemasrequer que os sistemas sejam compreendidos e modelados. Além disso, a engenharia decontrole deve considerar muitas vezes o controle de sistemas mal conhecidos, como sistemasde processos químicos. O presente desafio ao engenheiro de controle é a modelagem e ocontrole de sistemas modernos, complexos e interligados, como sistemas de controle detráfego, processos químicos, sistemas robóticos e automação industrial e controla-los embenefício da sociedade. Um sistema de controle é uma interconexão de componentes formando umaconfiguração de sistemas que produzirá uma resposta desejada do sistema. A base paraanálise de um sistema é formada pelos fundamentos fornecidos pela teoria dos sistemaslineares, que supõe uma relação de causa e efeito para os componentes de um sistema. Apresentamos a seguir uma definição de sistema. Sistema: é qualquer coisa que interage com o meio ambiente, recebendo desteinformações ou ações chamadas entradas ou excitações e reagindo sobre ele dando umaresposta ou saída. Isto está sintetizado na figura abaixo: Geralmente, u(t) e y(t) são relacionados matematicamente através de uma equaçãodiferencial. Exemplos de sistemas: i) um avião cuja entrada é o combustível e a saída é seu 5
  7. 7. deslocamento, ii)uma caldeira cujas entradas são ar e combustível e a saída é a temperaturada água, iii) um automóvel cuja entrada é o ângulo do acelerador e a saída é a velocidade doautomóvel, iv) o rastreador solar cuja entrada é a posição relativa do sol e a saída é a posiçãoangular das placas conversoras de energia solar. O modelo matemático de um sistema é muito importante (fundamental) para o projeto decontrole automático. O modelo de um sistema é a relação entre a entrada u(t) e a saída y(t) dosistema. O modelo pode ser obtido usando-se leis físicas, por exemplo, leis de Newton, leis deKirchoff, etc. Ou então usando-se metodologias experimentais, com por exemplo respostastransitórias, respostas em freqüência etc. Controle de um sistema significa como agir sobre um sistema de modo a obter umresultado arbitrariamente especificado. Um fundamento básico da teoria de controle é o uso da realimentação. Através deexemplos, iremos introduzir o conceito de realimentação.1o Exemplo: Considere o seguinte problema no qual o homem deseja aquecer o interior deum prédio, tendo em vista que a temperatura externa é 0ºC. Para isto ele dispõe de umaquecedor e um termômetro para leitura da temperatura interna da sala. O objetivo decontrole é manter a temperatura da sala em Ts=22ºC, mesmo na ocorrência de algunseventos: abrir a porta, desligar o fogão etc. E que ele possa dormir.1a estratégia: o homem fecha a chave e então vai dormir. O sistema de controle pode seresquematizado no seguinte diagrama: 6
  8. 8. Neste caso temos que o sistema de controle é uma conexão série de três outrossistemas: HOMEM-CHAVE-AQUECEDOR. Esta configuração é chamada de sistema demalha aberta. O resultado é que a temperatura da sala irá crescer indefinidamente se o aquecedorestiver super dimensionado e Ts>>22ºC. Essa estratégia falhou. Neste caso:2a estratégia: o homem lê o termômetro e usa a seguinte tática: Se Ts22ºC ele liga a chave Se Ts>22ºC ele desliga a chave Neste caso teremos: Neste caso o homem não terá altas temperaturas, esta estratégia é melhor que a 1ºporém, o homem não dormirá. O diagrama de blocos deste sistema de controle é: 7
  9. 9. 3a estratégia: controle automático usando um bimetal. O bimetal é composto de dois metais com coeficientes de dilatação térmica diferentes. O diagrama de blocos deste sistema de controle é: Note que este é um sistema de malha fechada. Esta é a melhor tática pois o homem poderá dormir e a temperatura da sala serámantida em Ts22ºC. Fator de sucesso: a decisão é tomada após a comparação entre o que queremos e orealmente temos, ou seja, existe realimentação. Neste caso foi usado um sistema de malha 8
  10. 10. fechada. O esquema genérico de um sistema de malha fechada é: 2oExemplo: sistema de controle biológico, consistindo de um ser humano que tenta apanhar um objeto. O sistema de malha aberta tem as seguintes vantagens: i.) Simples construção;ii.) Mais barato que a malha fechada;iii.) Conveniente quando a saída é de difícil acesso ou economicamente não disponível. E ter as seguintes desvantagens: i.) Distúrbios e variações na calibração acarretam erros e a saída pode ser diferente da desejada;ii.) Para manter a qualidade na saída é necessária uma recalibração periódica;iii.) Inviável para sistemas instáveis 9
  11. 11. 2-Classificação e Linearização de Sistemas As equações diferenciais dos movimentos dos principais processos utilizados emsistemas de controle são não-lineares. Tanto análise quanto projeto de sistemas de controlesão mais simples para sistemas lineares do que para sistemas não-lineares. Linearização é oprocesso de encontrar um modelo linear que seja uma boa aproximação do sistema não-linearem questão. A mais de 100 anos, Lyapunov provou que se o modelo linear, obtido através deprocesso de linearização de um modelo não-linear, é válido em uma região em torno do pontode operação e se é estável, então existe uma região contendo o ponto de operação na qual osistema não-linear é estável. Então, para projetar um sistema de controle para um sistemanão-linear, pode-se seguramente obter uma aproximação linear deste modelo, em torno doponto de operação, e então projetar um controlador usando a teoria de controle linear, e usá-lo para controlar o sistema não-linear que se obterá um sistema estável nas vizinhanças doponto de equilíbrio (ou ponto de operação). Técnicas modernas de projeto de controladoresFuzzy usando LMIs para sistemas não-lineares permitem que o sistema trabalhe em torno devários pontos de operação e ainda garante-se não apenas a estabilidade do sistema não-linear controlado mas também o seu desempenho temporal. Antes de apresentar o processo de linearização, se faz necessário estudar o princípio dasuperposição útil na classificação de um sistema, verifica-se se um sistema é ou não sistemalinear.2.1-Sistemas Lineares Seja o sistema abaixo, com condições iniciais nulas, I.C.=0, em um sistema físico istoequivale a dizer que o sistema não possui energia armazenada em t=0 ( o sistema estará emrepouso). Suponha que a entrada u(t)= u1(t) gera a saída y(t)=y1(t) e que a entrada u(t)=u2(t) geraa saída y(t)=y2(t), ou seja: 10
  12. 12. Definição: um sistema é dito linear em termos da sua excitação u(t) (entrada) e sua resposta(saída) se o princípio de superposição for “respeitado” pelo sistema.Princípio de Superposição Se a entrada u(t)= u1(t) gera a saída y(t)=y1(t), se a entrada u(t)=u2(t) gera a saíday(t)=y2(t) e se aplicarmos no sistema uma combinação linear das entradas u1(t) e u2(t), ouseja, u(t)=u1(t)+u2(t) a saída y(t) será a mesma combinação linear das saídas y1(t) e y2(t),ou seja, y(t)=y1(t)+y2(t),   e . Desta forma, para verificar se um sistema é linear aplica-se o Princípio da Superposição.Exemplo 1: Verifique se o sistema y(t)=au(t) é linear ou não. Uma interpretação gráfica deste sistema é:Sol: Para verificar se o sistema é linear, utilizaremos o princípio da superposição, supondo aexistência de duas entradas distintas, u(t)= u1(t) e u(t)=u2(t), e em seguida aplicando a 11
  13. 13. seguinte combinação linear:u(t)= u1(t)+u2(t), no sistema y(t)=au(t): Para u1(t) tem-se y1(t)=a u1(t) (1) Para u2(t) tem-se y2(t)=a u2(t) (2) Para u(t)= u1(t)+u2(t) tem-se y(t)=a[u1(t)+u2(t)] Ainda, y(t)= au1(t)+au2(t) (3) Substituindo (1) e (2) em (3) tem-se: y(t)= y1(t)+ y2(t) Portanto o princípio da superposição foi respeitado, logo o sistema em questão é linear.Exemplo 2: verifique se o sistema dado por y(t)= a u(t)+b é linear ou não. , a0 e b0Graficamente:Sol.: 12
  14. 14. y1 t   b u1(t)  y1(t)= a u1(t)+b então u1 t   (1) a y 2 t   b u2(t)  y2(t)= a u2(t)+b então u 2 t   (2) ase u (t)= u1(t)+u2(t)  y(t)=a[u1(t)+u2(t)]+b (3)Substituindo (1) e (2) em (3) tem-se:   y1 (t )  b    y 2 (t )  b   y (t )  a   b  a a ainda, y(t)= y1(t)+ y2(t)+b(1--) (4) (4) será igual a y(t)= y1(t)+ y2(t) se e somente se b=0 ou (1--)=0  =1- Mas no enunciado foi suposto que b0. A expressão =1- restringe os valores de  e  e para que seja linear é necessário quey(t)= y1(t)+ y2(t),   e   , portanto não é linear.Resumo: dos exemplos 1 e 2 conclui-se que:Exemplo 3: Mostre que o sistema chamado integrador eletrônico é linear. (a saída é igual à integral da entrada)Obs.: O circuito eletrônico que implementa o integrador utiliza um amplificador operacional(A.O.) é dado abaixo: 13
  15. 15. tf Sol.: u (t)= u1(t)  y1   u1 (t )dt (1) 0 tf u(t)= u2(t)  y 2   u 2 (t )dt (2) 0 u(t)= u1(t)+u2(t)  y (t )   [ u1 (t )   u 2 (t )]dt ou ainda, devido as propriedades lineares da integral: tf tf y (t )    u1 (t )dt    u 2 (t )dt 0 0 Substituindo (1) e (2) em (3) tem-se y(t)= y1(t)+ y2(t) logo, o sistema é linear. Exercícios:1. O sistema y(t)= u2(t) é linear? d2. O sistema y (t )  u (t ) , que é um derivador, é linear? dt3. O sistema y (t )  cos(u (t )) é linear? 14. O sistema y (t )  , u(t)0 é linear? u (t )5. O sistema y (t )  u (t ) é linear? tf du (t )6. O sistema y (t )  5 u (t )dt  2 é linear? 0 dt7. O sistema y (t )  u (t ) é linear? 18. O sistema y (t )  2 é linear? u (t )9. O sistema que é um controlador industrial conhecido como controlador PID é o seguinte: 14
  16. 16. du (t ) tf y (t )  10u (t )  22  3 u (t )dt dt 0 Ele é linear?Exemplo 4: Os sistemas dinâmicos de interesse neste curso, podem ser expressos porequações diferenciais da forma: n m  a (t ) y (t )   b (t )u i 0 i i j 0 j j (t ) (1) . 1 Demonstrar para integrador: y (t )  u (t ) RCsendo que: yi(t) denota a i-éssima derivada de y(t) uj(t) denota a j-éssima derivada de u(t)Demonstre que este sistema é linear.Sol.: Suponha que para a entrada u(t)= u1(t) a solução de (1) proporciona y(t)=y1(t) e que parau(t)= u2(t)  y(t)= y2(t), assim tem-se: n m u1(t)   ai (t ) y1 (t )   b j (t )u1 (t ) i j i 0 j 0 n m u2(t)   a (t ) y (t )   b (t )u i 0 i i 2 j 0 j 2 j (t ) Para u(t)= u1(t)+u2(t), como  e  são constantes então uj(t)= u1j(t)+u2j(t), então: n m  a (t ) y (t )   b (t )[u i 0 i i j 0 j 1 j (t )  u 2j (t )]ou ainda, n m m  ai (t ) y i (t )    b j (t )u1j (t )    b j (t )u2j (t ) i 0 j 0 j 0 n n  a (t ) y (t ) i 0 i i 1  a (t ) y (t ) i 0 i i 2 15
  17. 17. logo n m m  a (t ) y (t )    a (t ) y i 0 i i j 0 i 1 j (t )    ai (t ) y 2j (t ) j 0 ou n m  ai (t ) y i (t )   ai (t )[ y1j (t )   y2j (t )] i 0 j 0 de onde conclui-se que yi(t)= y1i(t)+ y2i(t) logo o sistema é linear. Obs.: Se ai(t) e bj(t), em (1), são constantes, para i=1, 2, ..., n e j=1, 2, ..., m; então o sistema é dito linear e invariante no tempo (SLIT). Se ai(t) e bj(t), em (1), variam com o tempo, i=1, 2, ..., m; então o sistema é dito linear variante no tempo (SLVT). Exemplos: 1. SLIT: considere a esfera de um levitador magnético, cuja ação da força da gravidade tenhasido quase compensada pela força magnética oriunda de uma bobina principal. Neste caso tem-se: Sendo F a força resultante: força magnética menos força da gravidade.  1 y (t )  u (t ) m Adotando u(t)=F(t), de (1) tem-se n l  a (t ) y (t )   b (t )u i 0 i i j 0 j j (t ) para n=2 e l=0 temos Portanto este é um SLIT. 16
  18. 18. 2. SLVT: considere o exemplo do foguete lançador de nave espacial. O combustível é consumido durante o percurso e, portanto a massa total do sistema varia ao longo do tempo.Seja ur(t) a força resultante, ou seja:u r (t )  f (t )  f g (t )  f a (t ) (3)Substituindo (2) e (3) em (1) temos: d d du r (t )  (m(t ).v(t ))  m(t ).v(t )  m(t ). v(t ) dt dt dtou ainda,Exercício: Descreva 5 sistema que sejam SLIT e 5 que sejam SLVT. Não se esqueça demostrar qual é a entrada do sistema e qual é a saída.Exercício: Suponha que o sistema de deslocamento de um trem de metrô seja linear.Sabendo-se que o trem se move utilizando energia elétrica, entre uma estação e a próximaele é SLIT ou SLVT? E entre as duas estações extremas da linha?2.2-Linearização Na engenharia de controle, uma operação normal do sistema pode ser em torno do 17
  19. 19. ponto de equilíbrio, e os sinais podem ser considerados pequenos sinais em torno doequilíbrio. Entretanto, se o sistema operar em torno de um ponto de equilíbrio e se os sinaisenvolvidos forem pequenos, então é possível aproximar o sistema não-linear por um sistemalinear. Este sistema linear é equivalente ao sistema não-linear considerado dentro de umconjunto limitado de operações. O processo de linearização apresentado a seguir tem como base o desenvolvimento dafunção não-linear em uma série de Taylor em torno de um ponto de operação e a retençãosomente do termo linear. A linearização de um sistema não-linear supõe que o sistema operará próximo de umponto de operação (P.O.), também chamado de ponto de equilíbrio.Considere que o sistema:opera próximo ao ponto de operação (P.O.):Expandindo y=f(x) em uma série de Taylor em torno deste ponto, teremos: f ( x)  2 f ( x) y  f ( x)  f ( x) P.O.  ( x  xo )  ( x  xo ) 2     (1) x P.O. x 2! P.O. 2sendo: P.O.=(xo,yo), que é o ponto de operação do sistema. A suposição de que o sistema não-linear irá operar em torno do P.O., implica que xficará próximo de xo, logo (x-xo) será pequeno e quando elevado a 2, 3, ... será menor ainda,portanto: ( x  xo ) 2 ( x  xo ) 3 0 ,  0 ,   (2) 2! 3! Substituindo (2) em (1) tem-se: 18
  20. 20. f ( x) y  f ( x) P.O.  ( x  xo ) x P.O.ou que é um sistema linear (vide exemplo 1)Interpretação geométrica Se tivermos uma função de várias variáveis: y (t )  f ( x1 , x2,  , xn ) e P.O. ( x10 , x20 ,   , xno , yo )a expansão em série de Taylor desprezando-se potências maiores que 1 é dada por:ou ainda, que é um  y  m1x1  m2 x2    mn xn sistema linear 19
  21. 21. Obs.: Se o cálculo de yo, m1, m2, ... , mn não for possível de ser realizado devido à ocorrênciade divisão por zero, diz-se que o sistema não é linearizável em torno do P.O. em questão.Exemplo: Linearize a função que corresponde ao momento (torque) que a massa m faz comrelação ao ponto “P” do pêndulo simples abaixo. Linearizar em torno do ponto de operação = 0. O momento é: I=F.r, sendo r=lsen() e F=mg Logo I=mglsen ()então g()=mglsen() Note que g() é não-linear, pois =1  sen(1) =2  sen(2) se =1+2 sen(1+2)  sen1+sen2 é não-linear Neste caso, o ponto de operação é =0. Expandindo na série de Taylor, temos: g ( ) g ( )  g ( )  0  (  0) (1)   0mas, g ( )  0  mglsen (0)  0 ( 2)e 20
  22. 22. g ( ) g ( )  mgl cos( ) e  mgl cos(0)  mgl (3)    0logo, substituindo (2) e (3) em (1) tem-se: g()=mglque é um modelo linear.   A figura a seguir mostra que para    o sistema linearizado é uma boa 4 4aproximação do sistema não-linear. Este gráfico for feito com a utilização do MATLAB. PROGRAMA EM MATLAB teta=[-pi:0.03:pi*1.01]; teta2=[-0.96:0.1:0.98]; gteta=sin(teta); linear=teta2; %axes plot(teta,gteta,k,teta2,linear,k,... [-4 4],[0 0],k,[0 0],[-1 1],k,... [-pi/4 -pi/4],[-0.63 -1],-.,[pi/4 pi/4],[0.88 -1],-.) grid 21
  23. 23. Exercício: Repita o exemplo anterior para que g()=0,1cos(), e  o  . Use o MATLAB para 2desenhar os gráficos da função não-linear e a linearizada.Exemplo: Linearize a função P(i)=ri2 em torno do P.O. : io=1A. 22
  24. 24. R=100 Faça o gráfico (interpretação geométrica)Sol.: P P  P i 1  (i  io ) o i io 1mas, P ri 2 P Pi  r .12  r  e  2r.1 o 1 i i i io 1logo P=r+2r(i-1) ou P-r=2r(i-1) iou PP=2ri mas r=100  P=200iInterpretação geométrica:Exercício: Uma área tecnológica de grande importância atualmente são as pesquisas para odesenvolvimento de micro e macro sistemas. A teoria de controle é fundamental para o seuavanço tecnológico. Considere o micro levitador dado na figura abaixo. O atuador é construídode PZT com um imã permanente na ponta. A bola é de material ferromagnético e tem 23
  25. 25. distância de 2mm. Na figura a força de atração é dada por: k f ( x)  x2sendo k=4,98x10-8N/m2. Linearize o sistema no ponto de operação xo=1mm, considere como saída de interessey(x)=f(x). É possível linearizar este sistema em torno do ponto xo=0mm?Exercício: Linearize as funções abaixo em torno P.O :xo=1.a)y(x)=5x+2b) y ( x)  3 x  1c)y(x)=2x32.3-Linearização Envolvendo Equações Diferenciais. No método de linearização mostrado, as funções não envolvem funções diferenciaisneste caso, é necessário calcular o ponto de operação do sistema que é um ponto deequilíbrio (P.E.), que é obtido supondo que o sistema esteja em equilíbrio e, portanto não estávariando ao longo do tempo, ou seja, todas as derivadas são nulas. Depois, expande-se osistema em função das variáveis e suas derivadas:  g   g g ( x, x )  g P . E .   ( x  x PE )  ( x  x PE ) x x P. E . P. E . 24
  26. 26. Exemplo: supondo o seguinte sistema não-linear: sendo y  2 x(t )  x 2 (t ) (que é não-linear).Linearize em torno do ponto de equilíbrio (P.E.).Sol.: É necessário primeiramente determinar o P.E., para isso supõe-se todas derivadas nulas: y (t )  0 tem-se:    X E (t)  2 e Y E (t)  0 0=2xE(t)-xE2(t)  ou   X E (t)  0 e Y E (t)  0 Neste caso,   g ( x, y )   y (t )  2 x(t )  x 2 (t )  0 O modelo linear é:  g   g g ( x, y )  g   ( y  y PE )  ( x  x PE ) P. E . y x P. E . P. E .ou seja, adotando-se P.E.: XE=2 teremos:      g ( x , y )    y  2 x   y   2 x pois g ( x, y )  0 25
  27. 27. OBS. No ponto de equilíbrio, o sistema permanece nele se colocado nele (derivadas nulas) etodas as variáveis são constantes.2.4-Linearização Exata por Realimentação Linearização por realimentação é obtida subtraindo-se os termos não-lineares dasequações do sistema e adicionando-o ao controle.Exemplo: Considere o pêndulo que possui o torque de entrada Tc (controle) agindo no eixo derotação   TC  mgl sen( )  I  sendo I momento de inércia em torno do eixo, neste caso: I=ml2.Suponha que o ângulo  possa ser medido, projete Tc() tal que o sistema tenha linearizaçãoexata.Sol.: A equação diferencial é:  ml2  +mglsen()=Tc() (1)Se escolher o torque Tc() como, Tc()=mglsen()+u (2)e substituindo (2) em (1)tem-se:  ml2  =u (3)que é um sistema linear O esquema é: 26
  28. 28. A equação (3) é linear, não importando quão grande o ângulo o seja. A realimentaçãoproporciona um torque Tc baseado na medida de  tal que o sistema realimentado seja linear.Exercício: Linearize o seguinte sistema na forma exata 27
  29. 29. 3-Transformada de Laplace (revisão) A capacidade de obter aproximações lineares de sistemas físicos permite ao projetistade sistemas de controle o uso de Transforma de Laplace. O método da transformada deLaplace substitui a solução mais difícil de equações diferenciais pela solução mais fácil deequações algébricas Como os sistemas de controle são altamente complexos e largamente interconectados,o uso da Transformada de Laplace permite a manipulação de equações algébricas ao invézde equações diferenciais. Então os sistemas dinâmicos são modelados por equaçõesdiferenciais, primeiramente aplica-se a Transformada de Laplace, depois projeta-se ocontrolador no domínio ’s’ e finalmente implanta-se o controlador e analisa-se o resultadoobtido no domínio do tempo.OBS.:Nesse curso a maioria das transformadas L{.} e L-1{.} serão utilizadas diretamentedas tabelas.3.1-Definição: a transformada de Laplace da Função f(t) é dada por:  L  f (t )  0 f (t )  e  st dt  F ( s )sendo que o ‘s’ é uma variável complexa que não depende de t, s=+jw.Exemplo: Uma função que será muito utilizada neste curso é a função degrau. Iremos calcularsua Transformada de Laplace. Um exemplo da função degrau é o fechamento da chave “S” nocircuito abaixo: 28
  30. 30. OBS.: É suposto que os capacitores estão descarregados e os indutores tem corrente nula noinstante inicial t=0s. A tensão v(t) é do tipo degrau de amplitude A, pois  0, t0 (1) v(t)=  A, t0sendo que a chave é fechada no instante t=0, graficamente: Aplicando-se a Transformada de Laplace v(t) tem-se  V(s)=L{v(t)}=  0 v(t )  e  st dt ( 2) Substituindo-se (1) em (2) tem-se     e  st A V ( s)    st A  e dt  A   lim e  st  e  s0 0 s 0  s t  A V ( s )  s A tabela a seguir mostra na linha 2 a transformada de Laplace de degrau unitário(A=1):L{1(t)}=1/s 29
  31. 31. Pares de Transformadas de Laplace f (t ) F (s)1 Impulso unitário  (t ) 1 12 Degrau unitário l (t ) s t 13 s2 t n 1 14  n  1, 2,3,...  n  1! sn tn  n  1, 2,3,... n!5 s n 1 e  at 16 sa te at 17 ( s  a)2 1 1 t n 1e  at  n  1, 2,3,...8  n  1! ( s  a)n t n e  at  n  1, 2,3,... n!9 ( s  a) n 1 sen t 10 (s   2 ) 2 cos t s11 (s   2 ) 2 senh t 12 (s   2 ) 2 cosh t s13 (s   2 ) 2 1 114 a 1  e at  s( s  a) 1 115 ba  e at  ebt  ( s  a)  s  b  116 ba  bebt  ae at  s ( s  a)  s  b  1  1  bt  1 1  a  b  be  ae    at17 ab   s(s  a)  s  b  30
  32. 32. 1 1 18 a2 1  eat  ate at  s(s  a)2 1 1 19 a2  at  1  eat  s ( s  a) 2 e  at sent  20 s  a  2 2 e  at cos t ( s  a) 21 s  a  2 2 n n 2 22 e nt senn 1   2 t 1  2 s 2  2n s  n 2 23 1  e nt    cos  n 1   2 t     n n 1   2  sen  n 1   2 t     n2 1 s  2n s  n s 2 2   As regras 22 e 23 são válidas para 0<  <1. Esta tabela reúne as principais transformadas utilizadas neste curso. Note quegenericamente F(s) é a razão entre dois polinômios: n( s) s m  bm s m1  ...  b1 F (s)   d ( s ) s n  an s n1  ...  a13.2. Propriedades das Transformadas de Laplace Suponha que L{f(t)}=F(s)1. L{f1(t)+f2(t)}=F1(s)+F2(s) (Linearidade) Prova:  L{f1(t)+f2(t)}=  [f1 (t )  f 2 (t )]e  st dt  0    f 1 (t ) e  st dt    f 2 (t )  e  st dt    F1 ( s)    F2 ( s ) 0 0 d 2. L  f (t )  sF ( s )  f (0)  dt  Prova: d   d  L  f (t )   f (t )e  st dt   e  st df (t )  dt  0 dt 0 31
  33. 33. b b  vdu  u  v   udv b Lembrete: a a aIntegrando por partes,temos: v  e  st  dv   se  st dt   du  df (t )  u  f (t )logo    0 e  st df (t )  f (t )e  st 0  0 f (t )(  se  st )dt   f (t )  e  st  s   f (t )  e  st dt    f (t )e  st  0 0      f (0)  sF ( s ) d2  d3. L  2 f (t )  s 2 F ( s )  sf (0)  f (t )  dt  dt t 0 Prova: d2  d  d  PROP.2  d  d L  2 f (t )  L   f (t )   s L  f (t )  f (t ) =  dt   dt  dt   dt  dt t 0 PROP. 2  ssF ( s )  f (0)  d d f (t )  s 2 F ( s )  sf (0)  f (t ) dt t 0 dt t 0  dn  n d k 14. L  n f (t )  s n F ( s )   s n k  k 1 f (t )  dt  k 1 dt t 0Obs.: foi visto na tabela das transformadas de Laplace que genericamente F(s) é compostopela divisão de dois polinômios em ‘s’, ou seja: n( s ) F (s)  d (s) s 1 n( s )  s  1Exemplo: F ( s )   s  2 d ( s)  s  2 As raízes do numerador são chamadas de ”zeros” e as raízes do denominador sãochamadas de pólos. 32
  34. 34. z1  1 Neste exemplo temos: P1  25. Teorema do valor final (t+∞) – T.V.F. Se os pólos de sF(s) possuem parte real negativa,ou seja Re{pi}<0,então: lim f (t )  lim s  F ( s ) t   s 0Obs.: mais adiante neste curso,veremos que um sistema que tem todos os pólos com partereal negativa,é dito estável. 1Exemplo: Sabendo que L{f(t)}=F(s)= , determine o valor de f (t ) t  (também chamado s ( s  1)de valor de regime permanente). 1 1Sol.: Neste caso, sF ( s )  s  s ( s  1) s  1que possui apenas um pólo:P1=-1. Como P1<0, pode-se aplicar o T.V.F. : 1 lim f (t )  lim s  F ( s )  lim 1 t   s 0 s 0 s 1  f ()  1 Para simples verificação, segundo a tabela na pg. 30, linha 14, tem-se:  1  t -1    1 e f (t )  L  s ( s  1)  tlogo f (t ) t   (1  e ) t   1 que é o mesmo resultado obtido aplicando-se o T.V.F.Obs.: o T.V.F. permite obter o valor de regime de um sistema tendo-se apenas a suatransformada de Laplace (F(s)), sem a necessidade do conhecimento da função temporal(f(t)). Ou seja, o T.V.F. é útil para determinar o valor de regime de f(t), conhecendo-se apenasF(s).Exemplo: f(t)=sen(t) 33
  35. 35. 1.5 1 0.5 f() 0 t -0.5 -1 -1.5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 t Note que t+∞ f(t) não tem um único valor. 1 Segundo a tabela: L{f(t)}= , linha 10 s 1 2 1 Para s.F(s)= s  , os pólos são P1,2=±j s 1 2 Logo Re{P1, P2}=0 e não pode-se aplicar o T.V.F. Se erroneamente aplicarmos o T.V.F. teremos: slim f (t )  lim s  F ( s )  lim  0 , porém, a senóide não tende a zero quando t+∞.t  s 0 s 0 s2  1O erro foi aplicar o T.V.F. sendo que os pólos não são negativos (parte real).Exemplo: Determinar a transformada de Laplace da função impulso, (t). Uma idéia deentrada impulsiva é o choque do taco de “baseball” com a bola, o choque tem uma grandeintensidade e curtíssima duração. 0 p/ t  0  A função (t) é dada por:  (t )     p/ t  0 e    (t )dt  1Graficamente 34
  36. 36. A função impulso é o caso limite da função pulso de área unitária: 1Neste caso a área é A=  a  1 e lim (t )   (t ) a a 0Sol.:  0  0L{(t)}=   (t )e  st dt     (t )e  st dt    0dt     (t )e  st dt , para 0- <t<0+ tem-se que 0 0 0 0 -ste neste intervalo é 1.logo 0 L{(t)}=    (t )dt  1 (Vide linha 1 da tabela, p.30) 0Exercício: Calcule a transformada de Laplace de um sinal u(t) de controle típico de umsistema automático digital, ou seja controle por computador. 1Exercício: Seja F ( s )  , qual é o valor de f (t ) t  ? s ( s  1)( s  2) 1Exercício: Seja F ( s )  , é possível aplicar o teorema do valor final? s ( s  4 s  4) 2 2 35
  37. 37. 3.3-Transformada Inversa A idéia é encontrarutilizando a expansão de funções em frações parciais e então utilizar a tabela para encontrarf(t). P( s) Seja: F ( s )  Q(s)sendo que P(s) e Q(s) são polinômios e grau (Q(s))≥grau(P(s)). Polinômio Q(s) é da forma: Q( s )  s n  a1 s n1  ...  an , sendo ai  , i={1, 2, ..., n} que pode ser expresso na forma: Q( s )  ( s  s1 )( s  s 2 )...( s  s n 1 )( s  s n )sendo: si, i=1, 2, ..., n as raízes de Q(s).1ºCaso: Se o polinômio do denominador: Q( s )  ( s  s1 )( s  s 2 )...( s  s n 1 )( s  s n )possuir somente raízes distintas ou seja, sisj, i,j=1, 2, ...,n , ijentão fazemos a expansão: P( s) k k k F (s)   1  2  ...  n Q( s ) s  s1 s  s 2 s  snsendo:ki=(s+si). F ( s ) s  s , i=1, 2, ..., n i 36
  38. 38. 5s  3Exemplo: F ( s )  , determine f(t). ( s  1)( s  2)( s  3)Sol.: Neste caso, P(s)=5s+3 e Q(s)=(s+1)(s+2)(s+3)temos: P( s ) k k k F (s)   1  2  3 Q(s) s  1 s  2 s  3 e ki=(s+si) F ( s ) s  s ilogo (5s  3) 2 k1  ( s  1)     1 ( s  1)( s  2)( s  3) s 1 2 (5s  3) k 2  ( s  2)   7 ( s  1)( s  2)( s  3) s 2 (5s  3) k 3  ( s  3)   6 ( s  1)( s  2)( s  3) s 3então 1 7 6 F (s)     s 1 s  2 s  3 Finalmente, usando a linha 6 da tabela, tem-se: L-1{F(s)}=-e-t+7e-2t-6e-3t , t≥02ºCaso: Se o polinômio do denominador: Q( s )  ( s  s1 )( s  s 2 )...( s  s n 1 )( s  s n )possuir raízes não distintas, ou seja, se a raiz si tiver multiplicidade ‘r’, teremos: N (s) k k  A1 A2 Ar  k kF (s)   1  ...  i 1     ...  r   i 1  ...  n sendo: Q( s ) s  s1 s  si 1  ( s  si ) ( s  s1 ) 2 ( s  si )  s  si 1 s  sn 37
  39. 39. Ar  ( s  si ) r F ( s ) s  s i Ar 1  d ds  ( s  si ) r F ( s )  s   si    A1  1 d r 1 (r  1)! ds r 1  ( s  si ) r F ( s )  s   si 1Exemplo: Se F ( s )  , determine f(t). s ( s  1) 3 ( s  2)Sol.: a raiz s=-1 tem multiplicidade r=3, logo, k1 k2 A1 A2 A3 F (s)      s ( s  2) ( s  1) ( s  1) 2 ( s  1) 3neste caso: 1 1 k1  s F ( s ) s 0  s   ( s  1) ( s  2) s 3 s 0 2 1 1 k 2  ( s  2) F ( s ) s 0  ( s  2)   ( s  1) ( s  2) s 3 s  2 2 1 1 Façamos: G ( s )  ( s  1) 3  F ( s )  ( s  1) 3   s ( s  1) ( s  2) s ( s  2) 3então, A3  G ( s ) s  1  1 d A2  G (s) ; ds s  1mas d ds G ( s)  d 1 ds  s ( s  2) 1  2   ( s  2)  s s ( s  2) 2 (1) 38
  40. 40. logo  ( s  2)  s A2  0 s 2 ( s  2) 2 s  1 1 d2A3  G(s) que é obtida derivando-se (1) (3  1)! ds 2 s  1então 1 d  2s  2  A3    1 2 ds  s 2 ( s  2) 2  s 1  finalmente: 1 1 1 1 F (s)  2  2   s s  2 s  1 ( s  1) 3 Segundo as linhas 2, 6 e 8 da tabela (P.26) tem-se: 1 1 1 f (t ) 1(t )*  e 2t  e t  t 2 e t , t≥0 2 2 2*função degrau unitário 1Exercício: Dado F ( s )  , calcule f(t). ( s  1)( s  2) 23ºCaso: Se o polinômio do denominador tem raízes complexas distintas. Vamos ilustrar o método através de um exemplo. 1Exemplo: Determine a L-1{.} de F(s)= s ( s  s  1) 2Sol.: Neste caso, as raízes do denominador são: s1  0 1 3 s 2,3    j (raízes complexas conjugadas) 2 2 Neste caso é mais interessante usar a componente relativo ás raízes complexas, naforma polinomial, ou seja: 1 C C s  C3 F (s)   1  22 (1) s ( s  s  1) s s  s  1 2 39
  41. 41. Já sabemos calcular C1: 1 C1  s  1 s ( s  s  1) s0 2 Para que (1) seja satisfeita é necessário que: 1 1 C s  C3   22 s ( s  s  1) s s  s  1 2ou ainda: 1 s 2  s  1  C 2 s 2  C3 s  , logo s ( s 2  s  1) s ( s 2  s  1) 1  (C 2  1) s 2  (C3  1)  1  C 2  1  0 e C3  1  0então C2=-1 e C3=-1 Assim: 1 ( s  1) 1 s 1 F (s)   2   2 s s  s 1 s s  s 1ou 1 1 s  1 2 2 F (s)   2 s  1 3 s     2 4 Que das linhas 20 e 21 da tabela (P. 27) temos:  t  3  1 2  3  t f (t )  1(t )  e 2  t cos e sen t   4   3  4   Importante: P( s) Se em algum dos casos anteriores, com F ( s )  , com grau (Q(s))=grau (P(s)) então Q(s )faça primeiro a divisão: R( s)e depois proceda a expansão em frações parciais de . Q( s) 40
  42. 42. sExemplo: Determine f(t) se F(s)= s 1Sol.: Neste caso, P(s)=s e Q(s)=s+1 e logo grau (P(s)=1 e grau (Q(s))=1, então é necessáriofazer: (1)  F (s)  1   L{F(s)}=(t)-e-t s 1Obs.: se grau (Q(s))=grau(P(s)) então aparecerá (sempre) uma componente impulsiva ((t))em f(t).O gráfico de f(t) do exemplo anterior é: 41
  43. 43. Expansão em Frações parciais usando o MATLAB O exemplo abaixo foi retirado do Ogata (4ºed.):Considere a seguinte função B ( s ) 2 s 3  5 s 2  3s  6  A( s ) s 3  6 s 2  11s  6Para essa função num = [2 5 3 6] den = [1 6 11 6]O comando [r,p,k] = residue(num,den)apresenta o seguinte resultado: [r,p,k]=residue(num,den) r= -6,0000 -4,0000 3,0000 p= -3,0000 -20000 -1,0000 k= 2Essa é a representação em MATLAB da seguinte expansão em parciais de B(s)/A(s): B( s ) 2s 3  5s 2  3s  6  A( s ) s 3  6s 2  11s  6 6 4 3    2 s  3 s  2 s 1 Para encontrar L-1{.} basta usar a tabela. Para sistemas que tenham pólos com multiplicidade, deve-se observar a seqüência de re p no MATLAB. 42
  44. 44. Expanda a seguinte B(s)/A(s) em frações parciais com MATLAB: B( s ) s 2  2 s  3 s 2  2s  3   3 A( s) ( s  1) 3 s  3s 2  3s  1Para essa função, temos: num = [0 1 2 3] den = [1 3 3 1]O comando [r,p,k]=residue(num,den)apresenta o resultado mostrado adiante. É a respresentação em MATLAB da seguinte expressão em fraçõesparciais de B(s)/A(s): B( s ) 1 0 2    A( s) s  1 ( s  1) ( s  1)3 2 num = [0 1 2 3]; den = [1 3 3 1]; [r,p,k] = residue(num,den) r= 1,0000 0,0000 2,0000 p= -1,0000 -1,0000 -1,0000 k= 0Note que o termo direito k é zero.Para obter a função original B(s)/A(s) a partir de r, p e k, insira o seguinteprograma no computador: num,den = residue(r,p,k); printsys(num,den,s) 43
  45. 45. Assim, o computador apresentará o num/den, como se segue: s ^ 2  2s  3 num/den= . s ^3  3s ^ 2  3s  1 Exemplo para sistemas com pólos complexos.Seja: 1F (s)  , pólos complexos s ( s  s  1) 2>>num=[1];>>den=[1 1 1 0];>>[r,p,k]=residue(num,den)r=-0.5000+0.2887i resíduos complexos-0.5000-0.2887ip=-0.5000+0.8660i-0.5000-0.8660ik=>>[num,den]=residue(r,p,k)>>>>pritsys(num,den,’s’)num/den=2.2204e  016 s ^ 2  2.2204e  016 s  1 1  s ^3  s ^ 2  1s s ^3  s ^ 2  1s  0,5  0,288  i  0,5  0,288i 1F (s)    s  0,5  0,8660i s  0,5  0,8660i s  s 1 1F (s)   s  s 1 s 23.4-Resolução de Equações Diferenciais Lineares e Invariantes no Tempo Considere o circuito abaixo 44
  46. 46. A tensão sobre o capacitor é vc(t). Suponha que o capacitor esteja descarregadoinicialmente, ou seja: vc (t ) t  0  0 ou vc (0)  0 Suponha que a chave seja fechada em t=0, ou seja Aque é a função degrau e L{v(t)}= . s Determine o comportamento da tensão no capacitor, vc(t), ao fechar a chave. dq dv (t ) dv (t )Sol.: para o capacitor tem-se: q=Cvc(t) ou C c  i (t )  C c dt dt dt Segundo as tensões na malha tem-se: v(t)=Ri(t)+vc(t)ouAssim: 45
  47. 47.  dv c (t )  L{v(t)}=RCL   +L{vc(t)}  dt então  RCsVC ( s )  vc (0)  VC ( s) A s  RCs  1 VC ( s )  VC ( s )  A A s s ( RCs  1)ou ainda: A RC k1 k2 VC ( s )     1  s 1 s s   s  RC  RC k1  s  VC ( s ) s 0  A  1  k2   s   VC ( s ) s  1   A  RC  RC A AVC ( s )   , segundo as linhas 1 e 6 da tabela, (pg. 30) s 1 s RC   -1  A    t t A   L     A  Ae RC 1  e RC   A  s s 1     RC Graficamente Exercício: Determine a evolução temporal de vc(t) e i(t) no circuito: 46
  48. 48. R1=R2=1Ω C=10-3F A chave é fechada em t=0s e vc(t)=0vExercício: Determine a evolução temporal de vc(t) e i(t) no circuito: R=1Ω C=10-3F L=0,2H Suponha que não tenha energia armazenada no circuito antes da chave se fechar, ouseja, vc(t)=0 e i(t)=0. Aplique o T.V.F. para determinar os valores de regime.Exercício: Resolva a seguinte equação diferencial:   x (t )  3 x(t )  2 x(t )  u (t )   0 t0sendo: x (0)  x(0)  x(0)  0 e u(t)=  1 t0 47
  49. 49. 4-Função de Transferência4.1–Definição A função de transferência de um sistema de equações diferenciais lineares invariante notempo é definida como a relação da Transformada de Laplace da saída (função resposta)para a transformada de Laplace da entrada (função excitação) sob a hipótese de que todas ascondições iniciais são nulas.tem-se: Y(s)=G(s).U(s)Exemplo: Considere o controle do satélite da figura a seguir, sendo que a entradacontroladora é o torque T(t) da turbina. A saída que deseja-se controlar é a posição angular(t) do satélite.  Admita que a velocidade de rotação  (t ) e a posição angular (t) são nulas em t=0, ou seja:  (0) =0 rad/s e (0)=0 rad (C.I. nulas). 48
  50. 50. Neste caso, o torque é: T(t)=L.F(t). Aplicando a segunda lei de Newton ao presentesistema e observando que não há nenhum atrito no ambiente dos satélites temos:  Momento     Aceleração   torques   de    Angular     Inércia     ou d 2 (t ) T (t )  J  (1) dt 2sendo que J é o momento de inércia do satélite. Nosso objetivo é encontrar a função detransferência que relaciona a entrada T(t) com a saída (t). Para isso, aplicamos atransformada de Laplace em (1):   (t )  2 L{T(t)}=JL  d 2   dt     T(s)= J  s 2 ( s )  s (t ) t 0   (t )   t 0   (s) 1  (s) T ( s )  Js 2 ( s )   2   G (s) T (s) Js T (s)Esquematicamente tem-se: 1logo, G(s)= que é a função de transferência do satélite. Js 2 Genericamente a função de transferência é definida como a relação entre a saída e aentrada do sistema, ou seja: 49
  51. 51.  (s) 1 G (s)   T (s) Js 2esquematicamente,Obs.: Note que a entrada utilizada foi T(t) e é qualquer (genérico). Desta forma G(s) nãodepende da entrada. O conceito de função de transferência será muito útil neste curso, com ela analisaremose projetaremos sistemas de controle automático.Exercício: Determine a função de transferência do circuito:sendo ve(t) a entrada e vc(t) a saída. Não se esqueça: C.I. nulas.Generalização Mostraremos, a seguir, uma generalização do conceito de função de transferência. Considere um sistema linear invariante no tempo (SLIT):  Y ( s )   y (t )e  st dt 0 Suponha que u(t)=0 para t<0 e que as condições iniciais são nulas:  ( n 1)  (m) y(0)= y (0)  ...  y (0)  0 e u (0  )  u (0  )  ...  u (0  )  0 O sistema é descrito pela equação diferencial:  ( n 1) ( n)  (m) a o y (t )  a1 y (t )  ...  a n 1 y (t )  y  bo u (t )  b1 u (t )  ...  bm u (t ) (1)Obs.: Já provamos no capitulo 2 (exemplo 4) que este sistema dinâmico é linear. Se ai e bisão constantes, então é SLIT. Aplicando a Transformada de Laplace em (1) temos: 50
  52. 52.     aoY ( s )  a1 sY ( s )  y (0  )  ...  s nY ( s )  s n 1 y (0  )  ...  y ( n 1)  boU ( s )  )  ...  b s  (2)  b1 sU ( s )  u (0  m m n 1  U ( s )  s u (0 )  ...  u o ( n 1)  ( n 1) Como: y (0  )  y (0  )  ...  y (0  )  0 e u(t)=0 para t<0 (logo todas as derivadas de u(t)são nulas para t<0), a equação (2) torna-se a o Y ( s)  a1 sY ( s)  ...  s nY ( s)  boU ( s)  b1 sU ( s )  ...  bm s mU ( s)ainda:    Y ( s ) ao  a1 s  ...  s n  U ( s ) bo  b1 s  ...  bm s m  (3) Porém a função de transferência é a relação entre a saída e a entrada do sistema, para Y ( s)determiná-la isolamos em (3): U (s) Y ( s ) bo  b1 s  ...  bm s m   G ( s ) (função de transferência genérica) U (s) ao  a1 s  ...  s nEsquematicamente temos:tem-se: Y(s)=G(s).U(s) Observe que a F.T. genérica é uma razão entre dois polinômios genéricos.Obs.:1. G(s) independe do valor da entrada, é uma característica do sistema.2. Se u(t)=(t) (impulso unitário), temos U(s)=1 logo Y ( s )  G ( s ).U ( s )  G ( s ).1  Y (s)  G (s) Portanto, a resposta Y(s) ao impulso de um sistema é matematicamente igual à funçãode transferência G(s) do sistema.3. A F.T. relaciona a entrada e a saída do sistema de uma forma geral. Como obter a Função de transferência 51

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