Controle de sistemas em tempo contínuo: fundamentos e aplicações

Controle de Sistemas em Tempo Cont´ınuo
.
Alberto Luiz Serpa
2007
Esta apostila foi escrita com base nas notas de aulas utilizadas na dis-
ciplina de Controle de Sistemas Mecânicos que ministrei para os cursos de
gradua¸cão em Engenharia de Controle e Automa¸cão e Engenharia Mecânica
da UNICAMP nos últimos anos. Este material representa um guia de estudos
e não tem o objetivo de substituir os bons livros adotados como bibliografia
da disciplina.
Com o surgimento da ferramenta de Internet para ensino aberto da UNI-
CAMP, o meu interesse em ter material didático digitado passou a ser maior
pela facilidade de poder disponibilizar este material aos alunos. Além disso,
acredito que será mais fácil atualizar e melhorar continuamente este material.
Esta versão foi atualizada em fevereiro de 2009.
Prof. Dr. Alberto Luiz Serpa - 2009 1

Sumário
1 Introdu¸cão 6
2 Entradas Padronizadas 8
2.1 Degrau Unitário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Rampa unitária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.3 Parábola unitária . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Fun¸cão Senoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Fun¸cão impulso unitário (Delta de Dirac) . . . . . . . . . . . . 10
2.6 Fun¸cão porta ou pulso unitário (Gate) . . . . . . . . . . . . . 10
2.7 Fun¸cão série de potências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3 Transformada de Laplace 11
3.1 Propriedades da Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Linearidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.2 Diferencia¸cão real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.3 Integra¸cão real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1.4 Teorema do valor final . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.5 Teorema do valor inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1.6 Transla¸cão real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.7 Fun¸cões periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.1.8 Diferencia¸cão Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.9 Integra¸cão Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.10 Transla¸cão Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.11 Convolu¸cão Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2 Transformada inversa de Laplace - método da expansão em
fra¸cões parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Diagrama de blocos 30
4.1 Montagem direta de diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . 31
4.2 Montagem em série de digramas de blocos . . . . . . . . . . . 32
4.3 Montagem em paralelo de diagramas de blocos . . . . . . . . . 33
5 Modelagem de alguns sistemas lineares 34
5.1 Sistemas massa-mola-amortecedor de um grau de liberdade . . 34
5.2 Sistema mecânico torcional de um grau de liberdade . . . . . . 35
5.3 Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4 Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.5 Sistema massa-mola-amortecedor com 2 graus de liberdade . . 40
6 Lineariza¸cão 42

7 Formas padronizadas de sistemas com parâmetros concen-
trados 44
7.1 Sistema de ordem zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.2 Sistema de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8 Fun¸cão de Transferência 50
8.1 Resposta ao impulso e convolu¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2 Matriz de transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
9 Critérios de Desempenho 55
9.1 Sistemas de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
9.2 Sistema de segunda ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
10 Estabilidade de sistemas lineares 63
10.1 Estabilidade para entrada nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
10.2 Estabilidade BIBO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
11 Resposta em frequência 68
11.1 Rela¸cão de amplitude e ângulo de fase . . . . . . . . . . . . . 68
11.2 Resposta em freqüência de um sistema de primeira ordem . . . 70
11.3 Resposta em freqüência de um sistema de segunda ordem . . . 70
11.4 Resposta em freqüência de um integrador puro . . . . . . . . . 71
11.5 Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
11.5.1 Diagramas de Bode para o integrador puro . . . . . . . 71
11.5.2 Diarama de Bode de sistemas de primeira ordem . . . . 72
11.5.3 Diagramas de Bode para sistemas de primeira ordem
em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
11.5.4 Diagrama de Bode de sistemas de segunda ordem . . . 75
11.6 Banda de passagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.7 Algumas caracter´ısticas em freqüência de sistemas de segunda
ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
11.8 Diagrama de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
11.8.1 Diagrama de Nyquist de sistemas de primeira ordem . 80
11.8.2 Diagrama de Nyquist para sistemas de segunda ordem 81
12 Sistemas de n´ıvel de tanques - introdu¸cão à malha fechada 84
12.1 Sistema de um tanque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12.2 Modelo instrumentado do sistema do tanque . . . . . . . . . . 86
12.3 Sistema de dois tanques independentes . . . . . . . . . . . . . 90
12.4 Sistema de dois tanques interligados . . . . . . . . . . . . . . . 91

12.5 Inclusão do controlador automático . . . . . . . . . . . . . . . 93
12.6 Análise do sistema controlado sujeito à distúrbios . . . . . . . 95
13 Malha fechada e malha aberta 98
14 Análise de erro estacionário 99
14.1 Erro estacionário em realimenta¸cão unitária . . . . . . . . . . 99
14.2 Erro estacionário em realimenta¸cão não unitária . . . . . . . . 104
15 Lugar das ra´ızes 105
16 Critério de estabilidade de Nyquist 110
16.1 Princ´ıpio do argumento de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 111
17 Análise de estabilidade relativa 117
17.1 Margens de ganho e de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
17.2 Margens de estabilidade no diagrama de Nyquist . . . . . . . . 123
18 Aproxima¸cões para sistemas de segunda ordem 125
19 Controladores clássicos 126
19.1 A¸cão de controle de duas posi¸cões (liga ou desliga) . . . . . . . 127
19.2 A¸cão de controle proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
19.3 A¸cão de controle integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
19.4 A¸cão de controle proporcional-integral . . . . . . . . . . . . . 133
19.5 A¸cão proporcional-derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
19.6 A¸cão de controle proporcional-integral-derivativo . . . . . . . . 139
19.7 Efeito f´ısico das constantes kp e kd em sistemas de segunda
ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
19.8 Controle PID - Método Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . . . . 145
19.9 Projeto PID anal´ıtico na freqüência . . . . . . . . . . . . . . . 148
19.10Projeto PID com base no lugar das ra´ızes . . . . . . . . . . . . 152
19.11Controlador em avan¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
19.12Compensa¸cão em atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
19.13Projeto avan¸co-atraso anal´ıtico na freqüência . . . . . . . . . . 174
19.14Projeto avan¸co-atraso com base no lugar das ra´ızes . . . . . . 179
20 Modelo de estados 183
20.1 Representa¸cão no espa¸co de estados de equa¸cões diferenciais
sem derivadas na excita¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
20.2 Representa¸cão de sistemas com derivadas na excita¸cão . . . . 187
20.3 Representa¸cões canônicas no espa¸co de estados . . . . . . . . . 189

20.3.1 Forma canônica controlável . . . . . . . . . . . . . . . 189
20.3.2 Forma canônica observável . . . . . . . . . . . . . . . . 189
20.4 Autovalores da matriz An×n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
20.5 Rela¸cão entre fun¸cões de transferência e modelo de estado . . 191
20.6 Solu¸cão das equa¸cões de estado - sistemas invariantes no tempo193
20.6.1 Solu¸cão da equa¸cão homogênea . . . . . . . . . . . . . 193
20.7 Matriz de transi¸cão de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
20.8 Solu¸cão das equa¸cões de estado não homogêneas . . . . . . . . 195
21 Realimenta¸cão de estados 197
21.1 Caso de regulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
21.2 Fórmula de Ackermann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
21.3 Caso de rastreador - entrada degrau . . . . . . . . . . . . . . . 205
22 Realimenta¸cão da sa´ıda e observadores de estado 216
22.1 Malha fechada com observador - regulador . . . . . . . . . . . 218
22.2 Aloca¸cão de pólos do observador . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
22.3 Fun¸cão de transferência equivalente para regulador . . . . . . 220
22.4 Malha fechada com observador - rastreador . . . . . . . . . . . 221
23 Bibliografia 231
A Variáveis-fun¸cões complexas 232
B Equa¸cões diferenciais 234
B.1 Solu¸cão da equa¸cão homogênea . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
B.2 Determina¸cão da solu¸cão homogênea da equa¸cão diferencial . . 235
B.3 Solu¸cão particular da equa¸cão diferencial . . . . . . . . . . . . 236
B.4 Solu¸cão completa da equa¸cão diferencial . . . . . . . . . . . . 237
C Exerc´ıcios - em prepara¸cão 238
C.1 Exerc´ıcios relacionados à se¸cão 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 238

1 Introdu¸cão
Apresentam-se a seguir algumas defini¸cões básicas.
Um sistema associa uma fun¸cão de entrada x(t) a uma fun¸cão de sa´ıda
y(t). Se o sistema recebe uma a¸cão, apresentará uma resposta associada,
conforme ilustrado na Figura 1.
x(t) y(t)
Sistema
(Excita¸cão-Entrada) (Resposta-Sa´ıda)
Figura 1: Representa¸cão de um sistema na forma de diagrama de blocos.
Um modelo caracteriza uma representa¸cão dos aspectos essenciais de um
sistema de forma utilizável.
Controlar significa atuar sobre um dado sistema de modo a atingir resul-
tados de acordo com um objetivo previamente estabelecido. Usualmente o
sistema a ser controlado é chamado de planta, ou ainda, de processo.
O controlador, ou também chamado de compensador, é um sub-sistema
que tem a fun¸cão de controlar a planta.
Em um sistema em malha aberta a sa´ıda do sistema não tem efeito na
a¸cão do controle, ou seja, não existe medi¸cão da sa´ıda nem realimenta¸cão,
Figura 2. O desempenho de um sistema de malha aberta depende de uma
boa calibra¸cão.
Entrada
Controlador
Atua¸cão Sa´ıda
Planta
Figura 2: Sistema em malha aberta.
Um exemplo de sistema em malha aberta é o disparo de um projétil
(problema de bal´ıstica convencional). Após o tiro, o resultado esperado não
poderá ser corrigido.
Em um sistema em malha fechada o sinal de sa´ıda possui um efeito direto
na a¸cão de controle (sistemas de controle realimentados), Figura 3. A malha
fechada implica no uso de realimenta¸cão com o objetivo de reduzir o erro do
sistema.
Os elementos básicos de um sistema de controle em malha fechada são: a
planta, o controlador, o atuador e o elemento de medida (sensor).

Entrada Erro Atua¸cão
−
Controlador
Sa´ıda
Planta
Elemento de medida
Figura 3: Sistema em malha fechada.
Alguns exemplos de sistemas em malha fechada são:
• Ato de dirigir um carro. A pista representa o objetivo a ser seguido, o
carro representa a planta, a sa´ıda é a posi¸cão do carro, o elemento de
medida é a visão do motorista, a a¸cão de controle é feita de acordo com
a habilidade do motorista em fun¸cão do erro entre a posi¸cão do carro
e a posi¸cão determinada pela pista, e a atua¸cão é feita pelos bra¸cos do
motorista sobre a planta através do volante do carro.
• Sucessivos disparos de projéteis. A cada tiro, o resultado pode ser veri-
ficado pelo atirador e uma compensa¸cão pode ser feita para o próximo
tiro visando acertar o alvo. Neste caso, nota-se o uso da resposta para
fins de reduzir o erro do sistema, caracterizando a realimenta¸cão.
• Sistema de ar-condicionado ou refrigerador. A temperatura especifi-
cada é verificada pelo sensor do equipamento, que liga ou desliga con-
forme o erro encontrado, buscando manter a temperatura constante
conforme a especifica¸cão desejada.
Verifica-se que a realimenta¸cão negativa é caracterizada pela determina¸cão
do erro entre a entrada desejada e a sa´ıda do sistema. A atua¸cão é feita com
base nesta diferen¸ca.
A realimenta¸cão positiva é indesejável nos sistemas de controle pois adi-
ciona “energia” ao sistema levando à instabilidade.
Um regulador tem como objetivo manter a sa´ıda do sistema em um valor
constante. Por exemplo, um sistema de refrigera¸cão que mantém constante
a temperatura de um ambiente.
Um rastreador tem como objetivo seguir uma entrada variável. Por exem-
plo, um sistema robotizado que segue uma certa trajetória em um processo
de soldagem.

2 Entradas Padronizadas
As entradas padronizadas são utilizadas na análise de desempenho dos sis-
temas. Em geral, a entrada real é desconhecida e são definidos alguns
parâmetros para avaliar o desempenho dos sistemas de forma objetiva e ho-
mogênea.
As entradas padronizadas constituem uma boa maneira de prever o de-
sempenho do sistema e permitem realizar compara¸cões de sistemas.
As principais entradas padronizadas são apresentadas a seguir.
2.1 Degrau Unitário
A entrada degrau unitário, usualmente denotada por u(t), é definida como
u(t) =
1 se t > 0
0 se t ≤ 0
,
e está representada graficamente na Figura 4.
1
t
u(t)
Figura 4: Degrau unitário.
Um degrau unitário com transla¸cão é dado por:
u(t − T) =
1 se t > T,
0 se t ≤ T,
e está representado na Figura 5.
2.2 Rampa unitária
A rampa unitária, usualmente denotada por r(t), é definida como:
r(t) = tu(t) =
t se t > 0,
0 se t ≤ 0,
e está ilustrada na Figura 6.

tT
u(t − T)
Figura 5: Degrau unitário com transla¸cão.
t
r(t)
45o
Figura 6: Rampa unitária.

2.3 Parábola unitária
A parábola unitária é definida como:
x(t) =
1
2
t2
u(t) =
1
2
t2
se t > 0,
0 se t ≤ 0,
e está ilustrada na Figura 7.
t
x(t)
Figura 7: Parábola unitária.
2.4 Fun¸cão Senoidal
A fun¸cão senoidal de amplitude A, freqüência w e ângulo de fase ϕ, é dada
por:
x(t) = Asen(wt + ϕ).
2.5 Fun¸cão impulso unitário (Delta de Dirac)
O impulso unitário δ(t) é definido como:
δ(t) = 0 para t = 0, e
+∞
−∞
δ(t)dt = 1,
ou seja, possui dura¸cão nula, amplitude infinita e área unitária, e sua repre-
senta¸cão gráfica usual é a da Figura 8.
2.6 Fun¸cão porta ou pulso unitário (Gate)
O pulso unitário é definido como a diferen¸ca entre um degrau unitário e outro
degrau unitário transladado, ou seja,
g(t) = u(t) − u(t − T),

t
δ(t)
Figura 8: Impulso unitário.
cujo resultado é mostrado na Figura 9.
t
g(t)
T
1
Figura 9: Pulso unitário.
2.7 Fun¸cão série de potências
A série de potências é definida como:
x(t) =
a0 + a1t + a2t2
+ ... se t > 0,
0 se t ≤ 0.
3 Transformada de Laplace
A transformada de Laplace é um método para resolver equa¸cões diferenciais
lineares no qual as opera¸cões como diferencia¸cão e integra¸cão são substitu´ıdas

por opera¸cões algébricas no plano complexo. A componente transitória e a
de regime permanente podem ser obtidas simultaneamente. Além disso, a
transformada de Laplace é fundamental para a análise de sistemas via fun¸cões
de transferência.
A transformada de Laplace de uma fun¸cão f(t) é definida por
F(s) = L [f(t)] =
∞
0
f(t)e−st
dt, com s = σ + jw.
A transformada inversa de Laplace é dada por
f(t) = L−1
F(s) =
1
2πj
σ+j∞
σ−j∞
F(s)est
ds, t > 0.
A integral de Laplace existirá/convergirá se σ0 é escolhido de forma que
lim
t→∞
e−σ0t
f(t) = 0, (1)
onde σ0 é chamado de abscissa de convergência.
Para a maioria das fun¸cões é poss´ıvel adotar um valor de σ0 positivo
e suficientemente grande tal que a equa¸cão (1) é satisfeita. Isso sempre
será verdadeiro para exponenciais positivas ou para fun¸cões que crescem a
uma taxa menor que uma exponencial. Existem fun¸cões onde isso não será
satisfeito para nenhum valor de σ0, por exemplo, et2
, que por sorte aparecem
raramente nos problemas de engenharia.
Exemplo: Calcular L[f(t)] para f(t) = e−at
, a = b + jc.
F(s) = L e−at
=
∞
0
e−at
e−st
dt =
=
∞
0
e−(s+a)t
dt =
−1
s + a
e−(s+a)t
∞
0
=
−1
s + a
[0 − 1] =
1
s + a
.
A abscissa de convergência é determinada por
lim
t→∞
e−σ0t
e−at
= lim
t→∞
e−(σ0+b+jc)t
= lim
t→∞
e−(σ0+b)t
e−jct
,
e para que este limite convirja a zero, então σ0 + b > 0, ou σ0 > −b.
Exemplo: Calcular L[f(t)] para f(t) = cos(wt).
É poss´ıvel escrever que
cos(wt) =
1
2
ejwt
+ e−jwt
.

Logo,
L[f(t)] =
1
2
L[ejwt
] + L[e−jwt
] =
1
2
1
s − jw
+
1
s + jw
=
s
s2 + w2
.
lim
t→∞
e−σ0t 1
2
e−jwt
+ e−jwt
= 0, se σ0 > 0.
Exemplo: Calcular L[u(t)] para o degrau unitário u(t).
u(t) =
0 se t ≤ 0,
1 = e0t
se t > 0.
Logo,
U(s) = L[u(t)] =
1
s + 0
=
1
s
, σ0 > 0.
Exemplo: Calcular L[δ(t)] para o impulso unitário δ(t).
Seja a fun¸cão f(t) mostrada na Figura 10 e definida por
f(t) =



0 se t < 0,
1
t0
se 0 ≤ t ≤ t0,
0 se t0 < t.
f(t)
t
1
t0
t0
Figura 10: Representa¸cão do impulso unitário, t0 → 0.
O impulso unitário pode ser representado como:
δ(t) = lim
t0→0
f(t).

Assim,
L[δ(t)] = L lim
t0→0
f(t) =
∞
0
lim
t0→0
f(t)e−st
dt =
= lim
t0→0
∞
0
f(t)e−st
dt = lim
t0→0
t0
0
1
t0
e−st
dt =
= lim
t0→0
1
t0
−1
s
e−st
t0
0
= lim
t0→0
1 − e−st0
st0
.
Aplicando a regra de L’Hopital tem-se que
lim
t0→0
1 − e−st0
st0
= lim
t0→0
s e−st0
s
= 1.
Portanto,
L[δ(t)] = 1.
3.1 Propriedades da Transformada de Laplace
3.1.1 Linearidade
A transformada de Laplace é um operador linear, ou seja,
L[α1f1 + α2f2] = α1L(f1) + α2L(f2).
Prova:
L[α1f1 + α2f2] =
∞
0
(α1f1 + α2f2)e−st
dt =
∞
0
α1f1e−st
dt +
∞
0
α2f2e−st
dt = α1L[f1] + α2L[f2].
3.1.2 Diferencia¸cão real
Se
L[f(t)] = F(s),
então,
L
df
dt
= sF(s) − f(0).
Prova:
L
df
dt
=
∞
0
df
dt
e−st
dt =
∞
0
e−st
df.

Integrando por partes, udv = uv − vdu, com u = e−st
, dv = df,
du = −se−st
dt e v = f(t), tem-se,
∞
0
udv = e−st
f(t)|∞
0 −
∞
0
f(t)(−s)e−st
dt =
= e−st
f(t)|∞
0 +
∞
0
f(t)s e−st
dt = 0 − f(0) + sF(s).
Portanto,
L
df
dt
= sF(s) − f(0).
Generalizando, tem-se:
L
dn
f(t)
dtn
= sn
F(s) −
n−1
i=0
sn−i−1 di
f
dti
t=0
.
Prova:
Seja g = df
dt
. Logo,
L
dg
dt
= sG(s) − g(0) = sL[g(t)] − g(0) =
= sL
df
dt
− g(0) = s(sF(s) − f(0)) −
df
dt t=0
=
= s2
F(s) − sf(0) −
df
dt t=0
.
Seja h = dg
dt
. Logo,
L
dh
dt
= sH(s) − h(0) = sL[h(t)] − h(0) =
= sL
dg
dt
− h(0) = s(sG(s) − g(0)) − h(0) =
= s2
G(s) − sg(0) − h(0) = s2
L[g(t)] − sg(0) − h(0) =
= s2
L
df
dt
− s
df
dt t=0
−
d2
f
dt2
t=0
=
= s2
(sF(s) − f(0)) − s
df
dt t=0
−
d2
f
dt2
t=0
=

= s3
F(s) − s2
f(0) − s
df
dt t=0
−
d2
f
dt2
t=0
.
Pode-se continuar assim por diante para derivadas de ordem n.
Se todas as condi¸cões iniciais são nulas tem-se que:
L
dn
f(t)
dtn
= sn
F(s).
Note que derivar no tempo corresponde a multiplicar por s no dom´ınio
de Laplace quando as condi¸cões iniciais são nulas.
3.1.3 Integra¸cão real
Se L[f(t)] = F(s), então,
L f(t)dt =
1
s
F(s) +
1
s
f(t)dt
t=0
Quando todas as condi¸cões iniciais são nulas tem-se que:
L f(t)dt =
F(s)
s
.
Prova:
L f(t)dt =
∞
0
f(t)dt
u
e−st
dt
dv
Definindo-se u = f(t)dt e dv = e−st
dt tem-se que v = e−st
−s
, o que permite
fazer uma integra¸cão por partes ( udv = uv − vdu). Logo,
∞
0
f(t)dt e−st
dt =
e−st
−s
f(t)dt
∞
0
−
∞
0
e−st
−s
f(t)dt =
=
1
s
f(t)dt
t=0
+
1
s
∞
0
f(t)e−st
dt =
=
1
s
F(s) +
1
s
f(t)dt
t=0
= L f(t)dt .
Note que integrar no tempo corresponde a dividir por s no dom´ınio de
Laplace quando as condi¸cões iniciais são nulas.

3.1.4 Teorema do valor final
Se L[f(t)] = F(s) e existirem
L
df
dt
, lim
t→∞
f(t) e lim
s→0
sF(s),
então,
lim
t→∞
f(t) = lim
s→0
sF(s).
Prova:
L
df
dt
= sF(s) − f(0) ⇒ L
df
dt
+ f(0) = sF(s),
lim
s→0
sF(s) = lim
s→0
L
df
dt
+ f(0) = lim
s→0
L
df
dt
+ f(0) =
= lim
s→0
∞
0
df
dt
e−st
dt + f(0) =
∞
0
lim
s→0
e−st
df + f(0) =
∞
0
df + f(0) = f(∞) − f(0) + f(0) = f(∞) = lim
t→∞
f(t).
3.1.5 Teorema do valor inicial
Se L[f(t)] = F(s) e existirem
L
df
dt
e lim
s→∞
sF(s),
então,
lim
t→0+
f(t) = lim
s→∞
sF(s).
Prova:
lim
s→∞
sF(s) = lim
s→∞
L
df
dt
+ f(0) = lim
s→∞
L
df
dt
+ f(0) =
= lim
s→∞
∞
0
df
dt
e−st
dt + f(0) =
∞
0
lim
s→∞
e−st
df + f(0) = f(0) = lim
t→0+
f(t).

f(t) f(t − T)u(t − T)
tT
Figura 11: Representa¸cão da transla¸cão de f(t).
3.1.6 Transla¸cão real
Seja F(s) = L[f(t)], então,
L[f(t − T)u(t − T)] = e−sT
F(s).
Prova:
L [f(t − T)u(t − T)] =
∞
0
f(t − T)u(t − T)e−st
dt =
=
∞
T
f(t − T)u(t − T)e−st
dt =
∞
0
f(τ)u(τ)e−s(τ+T)
dτ =
= e−sT
∞
0
f(τ)u(τ)e−sτ
dτ = e−sT
F(s),
onde τ = t − T e dτ = dt.
t
T
τ
Figura 12: Representa¸cão dos eixos t e τ.
3.1.7 Fun¸cões periódicas
Para f(t) uma fun¸cão periódica de per´ıodo T tem-se que
L[f(t)] =
1
1 − e−sT
F1(s),

onde F1(s) = L[f1(t)] e f1(t) é o primeiro per´ıodo de f(t).
Prova:
f(t) = f1(t)u(t) + f1(t − T)u(t − T) + f1(t − 2T)u(t − 2T) + . . . ,
F(s) = L[f(t)] = L[f1(t)u(t)]+L[f1(t−T)u(t−T)]+L[f1(t−2T)u(t−2T)]+. . .
Mas
L[f1(t)u(t)] = F1(s),
L[f1(t − T)u(t − T)] = e−sT
F1(s),
L[f1(t − 2T)u(t − 2T)] = e−s2T
F1(s),
e conseqüentemente,
F(s) = F1(s) + e−sT
F1(s) + e−2sT
F1(s) + . . . = (1 + e−sT
+ e−2sT
+ . . .)F1(s).
Como T > 0 tem-se que e−sT
= 1
esT < 1. A seqüência 1, 1
esT , 1
e2sT , ..., é
uma PG de razão 1
esT , cuja soma é 1
1−e−sT . Logo,
F(s) =
1
1 − e−sT
F1(s).
Verifica-se que o fato de s ser complexo não altera o resultado da PG, ou
seja,
1
esT
=
1
e(a+jb)T
=
1
eaT ejbT
,
onde eaT
> 1 e ejbT
é periódico e limitado.
3.1.8 Diferencia¸cão Complexa
Se L[f(t)] = F(s) então
−
dF(s)
ds
= L[tf(t)].
Prova:
−
dF(s)
ds
= −
d
ds
∞
0
f(t)e−st
dt = −
∞
0
d
ds
f(t)e−st
dt =
= −
∞
0
f(t) −te−st
dt =
∞
0
tf(t)e−st
dt = L[tf(t)].

3.1.9 Integra¸cão Complexa
Se L[f(t)] = F(s), e existe ∞
s F(s)ds, então,
L
f(t)
t
=
∞
s
F(s)ds.
Prova:
∞
s
F(s)ds =
∞
s
∞
0
f(t)e−st
dtds =
∞
0
f(t)
∞
s
e−st
ds dt =
=
∞
0
f(t)
−e−st
t
∞
s
dt =
∞
0
f(t)
t
e−st
dt = L
f(t)
t
.
3.1.10 Transla¸cão Complexa
Se L[f(t)] = F(s), então,
F(s + a) = L[e−at
f(t)].
Prova:
L[e−at
f(t)] =
∞
0
e−at
f(t)e−st
dt =
=
∞
0
f(t)e−(a+s)t
dt =
∞
0
f(t)e−¯st
dt = F(¯s) = F(s + a).
3.1.11 Convolu¸cão Real
Define-se a convolu¸cão entre f(t) e g(t) como
h(t) = f(t) ∗ g(t) =
t
0
f(τ)g(t − τ)dτ.
Se L[f(t)] = F(s) e L[g(t)] = G(s), então,
L[f(t) ∗ g(t)] = F(s)G(s).
Prova:
t
0
f(τ)g(t − τ)dτ =
∞
0
f(τ)g(t − τ)u(t − τ)dτ,
pois
u(t − τ) = u(−(τ − t)) =
1 se −(τ − t) > 0 ou τ < t,
0 se −(τ − t) ≤ 0 ou τ ≥ t.

t τ
Figura 13: Representa¸cão de u(t − τ).
Seja H(s) = L[h(t)]. Logo, escreve-se:
H(s) = L[h(t)] =
∞
0
∞
0
f(τ)g(t − τ)u(t − τ)dτ e−st
dt =
=
∞
0
f(τ)
∞
0
g(t − τ)u(t − τ)e−st
dt dτ =
=
∞
0
f(τ) e−sτ
G(s) dτ = G(s)
∞
0
f(τ)e−sτ
dτ = G(s)F(s).
No caso de sistemas antecipativos e entradas para t < 0, deve-se estender
os limites de integra¸cão, ou seja, h(t) = f(t) ∗ g(t) = ∞
−∞ f(τ)g(t − τ)dτ.
Contudo, esta situa¸cão não é coberta neste material.
Exemplo: Calcular a transformada de Laplace da fun¸cão dente de serra,
como ilustrada na Figura 14.
O primeiro per´ıdo desta fun¸cão pode ser constru´ıdo através da soma de
três termos conforme mostrado na Figura 14, ou ainda,
f1(t) =
A
T
[tu(t) − (t − T)u(t − T) − Tu(t − T)] .
Aplicando a transformada de Laplace a cada um destes termos tem-se:
L[tu(t)] = L u(t)dt =
1
s
U(s) + 0 =
1
s
1
s
=
1
s2
,
L[(t − T)u(t − T)] = e−sT 1
s2
,
L[Tu(t − T)] = Te−sT 1
s
.
Portanto, a transformada de Laplace do primeiro per´ıodo da fun¸cão é:
F1(s) =
A
T
1
s2
−
e−sT
s2
−
Te−sT
s
.

t
ttt
T
TTT
A
A A
f1(t)
f1(t)
−−
A
T
tu(t) A
T
(t − T)u(t − T) Au(t − T)
Figura 14: Dente de serra.
Aplicando a propriedade de fun¸cões periódicas tem-se para o dente de
serra:
F(s) =
1
1 − e−sT
F1(s) =
A
Ts2
1 − (1 − Ts)e−sT
1 − e−sT
.
3.2 Transformada inversa de Laplace - método da ex-
pansão em fra¸cões parciais
Este método aplica-se quando X(s) é uma fun¸cão racional (quociente de dois
polinômios em s), ou seja,
X(s) =
Q(s)
P(s)
,
onde Q(s) possui ordem m e P(s) possui ordem n, com m < n.
As principais etapas do método são:
1. Desenvolver Q(s)
P (s)
em fra¸cões parciais na forma
X(s) =
Q(s)
P(s)
=
c1
r1(s)
+
c2
r2(s)
+ . . . +
cn
rn(s)
,
onde ri(s) são polinômios de grau 1 ou 2. Deve-se encontrar as ra´ızes
de P(s) (polinômio na forma fatorada).

2. Calcular as constantes ci, i = 1, . . ., n.
3. Obter a transformada inversa de cada fra¸cão parcial, que são fun¸cões
mais simples.
Exemplo: Caso de ra´ızes simples. Seja
X(s) =
a + bs
(s − µ1)(s − µ2)
; µ1 = µ2.
Pode-se escrever X(s) da seguinte forma:
X(s) =
a + bs
(s − µ1)(s − µ2)
=
c1
s − µ1
+
c2
s − µ2
onde c1 e c2 são constantes que devem ser determinadas.
Multiplicando-se por s − µ1 tem-se:
(s − µ1)X(s) =
a + bs
s − µ2
= c1 + (s − µ1)
c2
s − µ2
.
Fazendo s = µ1, pois s pode assumir qualquer valor, tem-se
(s − µ1)X(s)|s=µ1
= c1 =
a + bµ1
µ1 − µ2
.
De forma análoga
c2 = (s − µ2)X(s)|s=µ2
=
a + bµ2
µ2 − µ1
.
Logo,
X(s) =
a + bµ1
µ1 − µ2
1
s − µ1
+
a + bµ2
µ2 − µ1
1
s − µ2
.
A anti-transformada de cada fra¸cão parcial pode ser calculada, ou seja,
f(t) = L−1
[X(s)] =
a + bµ1
µ1 − µ2
eµ1t
+
a + bµ2
µ2 − µ1
eµ2t
.
Portanto, para n ra´ızes simples tem-se que:
ci = (s − µi)X(s)|s=µi
, i = 1, 2, . . ., n.

Exemplo: Ra´ızes Múltiplas. Seja
X(s) =
a + bs
(s − µ1)2(s − µ2)
,
com µ1 de multiplicidade 2.
A expansão em fra¸cões parciais torna-se
X(s) =
a + bs
(s − µ1)2(s − µ2)
=
c1
(s − µ1)2
+
c2
(s − µ1)
+
c3
(s − µ2)
. (2)
Multiplicando por (s − µ1)2
obtém-se
(s − µ1)2
X(s) =
a + bs
s − µ2
= c1 + (s − µ1)c2 +
(s − µ1)2
s − µ2
c3, (3)
e fazendo s = µ1, tem-se que
c1 =
a + bµ1
µ1 − µ2
.
Derivando a equa¸cão (3) com rela¸cão a s e fazendo s = µ1 obtém-se c2,
ou seja,
c2 =
d
ds
(s − µ1)2
X(s)
s=µ1
=
d
ds
a + bs
s − µ2 s=µ1
=
−µ2b − a
(µ1 − µ2)2
.
Portanto, para q ra´ızes reais e iguais, s = µi, tem-se
cp =
1
(p − 1)!
dp−1
dsp−1
[(s − µi)q
X(s)]
s=µi
, p = 1, . . . , q.
Multiplicando a equa¸cão (2) por s − µ2 e fazendo s = µ2 tem-se
a + bs
(s − µ1)2
s=µ2
= c3 ⇒ c3 =
a + bµ2
(µ2 − µ1)2
.
A anti-transformada de cada fra¸cão parcial pode ser calculada como
L−1 1
(s − µi)q
=
1
(q − 1)!
tq−1
eµit
.
Exemplo: Determinar a transformada de Laplace de uma equa¸cão de se-
gunda ordem
ÿ + 2ξwn ˙y + w2
ny(t) = γw2
nf(t),

com as seguintes condi¸cões iniciais y(0) = y0 e ˙y(0) = v0.
Pode-se escrever
L[y(t)] = Y (s), L[ ˙y(t)] = sY (s) − y0 e L[ÿ(t)] = s2
Y (s) − sy0 − v0.
Consequentemente
(s2
+ 2ξwns + w2
n)Y (s) − (s + 2ξwn)y0 − v0 = γw2
nF(s),
ou ainda
Y (s) =
1
s2 + 2ξwns + w2
n
γw2
nF(s) + v0 + (s + 2ξwn)y0 ,
onde cada termo desta equa¸cão pode ser analizado de forma independente
devido ao sistema ser linear.
Com condi¸cões iniciais nulas, y0 = 0 e v0 = 0, tem-se
Y (s) =
γw2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
F(s) = G(s)F(s),
onde
G(s) =
γw2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
é a fun¸cão de transferência que relaciona a entrada à sa´ıda do sistema e que
pressupõe condi¸cões iniciais nulas, ou seja,
Y (s) = G(s)F(s).
Exemplo: Seja um sistema de primeira ordem descrito por
a1
dy
dt
+ a0y = b0x ⇒ τ
dy
dt
+ y = γx(t).
onde
τ =
a1
a0
e γ =
b0
a0
com a condi¸cão inicial y(0) = 0.
Aplicando a transformada de Laplace, tem-se que
L τ
dy
dt
+ y = L[γx(t)] ⇒ τsY (s) + Y (s) = γX(s)
onde L[y(t)] = Y (s) e L[x(t)] = X(s).

É poss´ıvel escrever que
Y (s) =
γ
τs + 1
X(s),
com a seguinte fun¸cão de transferência:
G(s) =
γ
τs + 1
.
Considere os casos das entradas apresentadas a seguir.
1. Seja x(t) = u(t) uma entrada do tipo de degrau unitário. Logo tem-se
que
X(s) = L[u(t)] =
1
s
e a transformada de Laplace da equa¸cão do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) =
γ
τs + 1
1
s
.
Deseja-se determinar a resposta temporal y(t) através da expansão em
fra¸cões parciais, ou seja,
Y (s) =
γ
τ
s + 1
τ
1
s
=
c1
s + 1
τ
+
c2
s
. (4)
Multiplicando (4) por s + 1
τ
tem-se
γ
τs
= c1 + (s +
1
τ
)
c2
s
,
e fazendo s = −1
τ
, pois a equa¸cão deve ser válida para qualquer s,
tem-se
γ
τ(−1
τ
)
= c1 + 0 ⇒ c1 = −γ.
Multiplicando (4) por s e calculando-se para s = 0 tem-se,
γ
τ
s + 1
τ
=
c1
s + 1
τ
s + c2 ⇒ c2 = γ.
Logo,
Y (s) =
γ
s
−
γ
s + 1
τ
.
Fazendo a anti-transformada de Laplace tem-se:
L−1
γ
1
s
−
1
s + 1
τ
= γ(1 − e− 1
τ
t
) = y(t), t ≥ 0.

2. Seja x(t) = δ(t) um impulso unitário. A transformada de Laplace do
impulso unitário é
X(s) = L[δ(t)] = 1.
e a transformada de Laplace da equa¸cão do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) = G(s) =
γ
τ
s + 1
τ
.
A resposta ao impulso pode ser encontrada através da transformada
inversa, ou seja,
y(t) = L−1
γ
τ
s + 1
τ
=
γ
τ
e− t
τ , t ≥ 0,
cuja representa¸cão gráfica está na Figura 15.
t
y(t)γ
τ
Figura 15: Resposta ao impulso de um sistema de primeira ordem.
3. Seja x(t) = tu(t) uma rampa unitária. A transformada de Laplace da
rampa unitária é
X(s) = L[tu(t)] =
1
s2
,
e a transformada da equa¸cão da resposta do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) =
γ
τ
s + 1
τ
1
s2
=
c1
s2
+
c2
s
+
c3
s + 1
τ
. (5)
As constantes da expansão em fra¸cões parciais podem então ser calcu-
ladas. Multiplicando (5) por s + 1
τ
e fazendo s = −1
τ
tem-se
c3 =
γ
τ
s2
s=− 1
τ
=
γ
τ
−
τ
1
2
= γτ.

Multiplicando (5) por s2
tem-se
γ
τ
s + 1
τ
= c1 + sc2 + s2 c3
s + 1
τ
, (6)
e fazendo s = 0, tem-se
c1 =
γ
τ
s + 1
τ s=0
= γ.
Derivando (6) com rela¸cão a s obtém-se
−γ
τ
(s + 1
τ
)2
= c2 +
d
ds
s2 c3
s + 1
τ
,
e fazendo s = 0 obtém-se
c2 =
−γ
τ
(1
τ
)2
= −γτ.
Logo, a transformada de Laplace na forma de fra¸cões parciais é
Y (s) =
γτ
s + 1
τ
+
γ
s2
−
γτ
s
,
cuja anti-transformada será dada por
y(t) = L−1
[Y (s)] ⇒ y(t) = γ τe− t
τ + t − τ , t ≥ 0.
A resposta temporal é ilustrada na Figura 16.
τ t
y(t)
γ
resposta
entrada
Figura 16: Resposta à rampa unitária de sistema de primeira ordem.

4. Seja uma entrada senoidal na forma x(t) = senwt. A transformada de
Laplace de x(t) é
X(s) = L[senwt] =
w
s2 + w2
,
e a transformada da equa¸cão da resposta do sistema de primeira ordem
torna-se
Y (s) =
γ
τ
s + 1
τ
w
s2 + w2
.
Como s2
+ w2
= (s + jw)(s − jw) é poss´ıvel escrever que
γ
τ
s + 1
τ
w
s2 + w2
=
c1
s + 1
τ
+
c2
s + jw
+
c3
s − jw
. (7)
As constantes das fra¸cões parciais podem ser calculadas, ou seja,
c1 =
γ
τ
w
s2 + w2
s=− 1
τ
=
γ
τ
w
(−1
τ
)2 + w2
=
γwτ
1 + w2τ2
,
c2 =
γ
τ
s + 1
τ
w
s − jw s=−jw
=
γ w
τ
(−jw + 1
τ
)(−2jw)
,
c3 =
γ w
τ
(s + 1
τ
)(s + jw) s=jw
=
γ w
τ
(jw + 1
τ
)(2jw)
.
A transformada de Laplace na forma de fra¸cões parciais torna-se:
Y (s) = γ wτ
1+w2τ2
1
s+ 1
τ
+
+
w
τ
(−jw+ 1
τ
)(−2jw)
1
s+jw
+
w
τ
(jw+ 1
τ
)(2jw)
1
(s−jw)
.
A anti-transformada de Laplace pode ser agora determinada,
y(t) = L−1
[Y (s)].
Para cada um dos termos tem-se:
L−1
γ
wτ
1 + w2τ2
1
s + 1
τ
= γ
wτ
1 + w2τ2
e− t
τ ,
L−1
γ
w
τ
(−jw + 1
τ
)(−2jw)
1
s + jw
= γ
w
τ
(−jw + 1
τ
)(−2jw)
e−jwt
,

L−1
γ
w
τ
(jw + 1
τ
)(2jw)
1
s − jw
= γ
w
τ
(jw + 1
τ
)(2jw)
ejwt
.
As fórmulas de Euler, ejt
= cost + jsent e e−jt
= cost − jsent, podem
ser empregadas de forma que
y(t) = γ wτ
1+w2τ2 e− t
τ +
+
w
τ
(−jw+ 1
τ
)(−2jw)
(coswt − jsenwt)+
+
w
τ
(jw+ 1
τ
)(2jw)
(coswt + jsenwt) ,
ou ainda,
y(t) = γ
wτ
1 + w2τ2
e− t
τ − coswt +
1
τw
senwt , t ≥ 0.
4 Diagrama de blocos
É poss´ıvel representar sistemas através de diagramas de blocos. Os s´ımbolos
básicos são o integrador, o somador e o multiplicador e estão mostrados na
Figura 17.
x(t)x(t)
y(0)
y(t)y(t)y(t)
k
x1(t)
x2(t)
xn(t)
Integrador
Somador
Multiplicador
Figura 17: Simbologia para diagramas de blocos.
O integrador executa a seguinte opera¸cão:
y(t) =
t
0
x(τ)dτ + y(0).
O somador executa:
y(t) = x1(t) + x2(t) + . . . + xn(t).
O multiplicador executa:
y(t) = kx(t).

4.1 Montagem direta de diagramas de blocos
As equa¸cões diferencias que representam sistemas lineares usuais podem ser
representadas com o uso dos diagramas de blocos.
Exemplo: Considere a equa¸cão diferencial
d3
y
dt3
+ 8
d2
y
dt2
+ 37
dy
dt
+ 50y = u(t).
Esta equa¸cão pode ser reescrita na forma
d3
y
dt3
= −8
d2
y
dt2
− 37
dy
dt
− 50y + u(t), (8)
que permite a montagem direta do diagrama de blocos da Figura 18.
u(t) y(t)
−50
−37
−8
˙yÿd3y
dt3
Figura 18: Diagrama de blocos correspondente à equa¸cão (8).
Exemplo: Seja uma outra equa¸cão diferencial que se deseja representar
na forma de diagrama de blocos:
d3
y
dt3
+ 8
d2
y
dt2
+ 37
dy
dt
+ 50y = 3
du
dt
+ 5u(t). (9)
Esta equa¸cão pode ser escrita no dom´ınio de Laplace como
(s3
+ 8s2
+ 37s + 50)
D(s)
Y = (3s + 5)
N(s)
U,
ou também,
D(s)X = U, X =
Y
N(s)
.

O diagrama de blocos de D(s)X = U já foi constru´ıdo anteriormente,
bastando substituir y por x na Figura 18.
Como Y = N(s)X, ou seja,
Y = (3s + 5)X ⇒ y(t) = 3
dx
dt
+ 5x,
e os valores de x estão dispon´ıveis no diagrama de blocos, é poss´ıvel incluir
os termos relacionados a N(s) conforme na Figura 19.
u(t) y(t)
−50
−37
−8
3
5
x(t)˙x¨xd3x
dt3
Figura 19: Diagrama de blocos correspondente à equa¸cão (9).
4.2 Montagem em série de digramas de blocos
Uma fun¸cão G(s) representativa de um sistema pode ser fatorada na forma
G(s) = G1(s)G2(s) . . .Gm(s).
Neste caso, o sistema pode ser visto com uma série de subsistemas. Para
evitar a necessidade de um “diferenciador”, os subsistemas devem ser esco-
lhidos adequadamente, de forma que o grau do numerador não exceda o grau
do denominador em cada subsistema.

Exemplo: Seja o sistema
G(s) =
3s + 5
s3 + 8s2 + 37s + 50
=
1
s + 2
G1(s)
3s + 5
s2 + 6s + 25
G2(s)
,
que permite a constru¸cão do diagrama de blocos da Figura 20, onde os sub-
sistemas G1(s) e G2(s) foram colocados em série.
u(t) y(t)
−2 −6
−25
5
3
Figura 20: Diagrama de blocos de dois sistemas concatenados em série.
4.3 Montagem em paralelo de diagramas de blocos
Neste caso a fun¸cão G(s) do sistema é expandida em fra¸cões parciais na forma
G(s) = G1(s) + G2(s) + . . . + Gm(s),
onde Gi(s) representa usualmente sistemas de primeira ordem ou sistemas
de segunda ordem.
Exemplo: Seja
G(s) =
3s + 5
s3 + 8s2 + 37s + 50
=
−1
17
s + 2
G1(s)
+
s
17
+ 55
17
s2 + 6s + 25
G2(s)
,
cujo diagrama de blocos na forma paralela está representado agora na Figura
21. Nota-se que
Y = G(s)U = (G1(s) + G2(s)) U = G1(s)U + G2(s)U.

u(t)
y(t)
−2
−6
−25
55
17
1
17
−1
17
Figura 21: Diagrama de blocos com subsistemas em paralelo.
5 Modelagem de alguns sistemas lineares
5.1 Sistemas massa-mola-amortecedor de um grau de
liberdade
A Figura 22 apresenta um sistema massa-mola-amortecedor de um grau de
liberdade para o qual é aplicada uma for¸ca u(t) e considerada como resposta
o deslocamento y(t). Os parâmetros do sistema são: massa m, rigidez da
mola k e constante de amortecimento viscoso c.
Aplicando a segunda Lei de Newton, obtém-se a equa¸cão diferencial do
movimento, ou seja,
u − ky − c ˙y = mÿ ⇒ mÿ + c ˙y + ky = u(t).
Dividindo-se pela massa m e levando para o dom´ınio de Laplace, a equa¸cão
torna-se
s2
+
c
m
s +
k
m
Y =
1
m
U.
Portanto, o polinômio caracter´ıstico é
s2
+
c
m
s +
k
m
= 0,

k c
m
uu
ky c ˙y
y, ˙y, ÿ
Figura 22: Sistema massa-mola-amortecedor e diagrama de corpo livre.
que possui duas ra´ızes, que podem ser reais simples, reais duplas ou um par
complexo conjugado.
A equa¸cão diferencial do sistema pode ser escrita como
ÿ =
1
m
u −
c
m
˙y −
k
m
y,
que permite a constru¸cão direta do diagrama de blocos da Figura 23.
y1
m
u
k
m
c
m
ÿ ˙y
− −
Figura 23: Diagrama de blocos do sistema massa-mola-amortecedor de um
grau de liberdade.
5.2 Sistema mecânico torcional de um grau de liber-
dade
O sistema torcional de um grau de liberdade da Figura 24 é formado por
uma inércia J, uma mola torcional de rigidez k e um amortecimento viscoso

c. O torque aplicado é m(t) e o deslocamento angular θ(t).
k
c
J
θ
θ
m(t)m(t)
c ˙θ kθ
Figura 24: Sistema torcional de um grau de liberdade.
A equa¸cão diferencial que descreve o movimento do sistema pode ser
obtida pela aplica¸cão da Lei de Newton, ou seja,
m(t) − kθ − c ˙θ = J ¨θ ⇒ J ¨θ + c ˙θ + kθ = m(t).
No dom´ınio de Laplace escreve-se que
s2
+
c
J
s +
k
J
Θ =
1
J
M,
cuja equa¸cão caracter´ıstica é
s2
+
c
J
s +
k
J
= 0.
O diagrama de blocos correspondente a este sistema é apresentado na
Figura 25.
5.3 Circuito RC
Seja um circuito RC (resistor R e capacitor C em série) ilustrado na Figura
26, tendo como entrada uma tensão v(t) e como sa´ıda a tensão no capacitor
vC(t).
Os comportamentos do resistor e do capacitor são descritos por:
vR = RiR, iC = C
dvC
dt
,

θ1
J
m
k
J
c
J
¨θ ˙θ
− −
Figura 25: Diagrama de blocos do sistema torcional de um grau de liberdade.
v(t)
vC(t)
++
−
−
i(t)
R
C
∼
Figura 26: Circuito RC.

ou ainda no dom´ınio de Laplace:
VR = RIR, IC = CsVC.
Neste caso iR = iC pois os componentes estão em série.
Aplicando a lei das malhas de Kirchhoff, obtém-se a equa¸cão
v = vR + vC ⇒ V = RCsVC + VC,
ou ainda,
s +
1
RC
VC =
1
RC
V.
Pode-se representar este sistema na forma de uma fun¸cão de transferência
como:
VC = G(s)V =
1
RC
s + 1
RC
V.
Verifica-se que este sistema é de primeira ordem e que
˙vC =
1
RC
v −
1
RC
vC,
o que permite a constru¸cão direta do diagrama de blocos da Figura 27.
vCv ˙vC
−
1
RC
1
RC
Figura 27: Diagrama de blocos do circuito RC.
5.4 Circuito RLC
Seja um circuito formado por um resistor R, um indutor L e um capacitor
C em série com uma tensão v(t) de entrada e tendo como sa´ıda a tensão no
capacitor vC(t), conforme esquematizado na Figura 28.
As leis que governam os componentes do circuito são:
vR = RiR, iC = C
dvC
dt
, vL = L
diL
dt
.

v(t)
vC(t)
+
+
−
−
i(t)
R
C
∼
L
Figura 28: Circuito RLC.
ou no dom´ınio de Laplace:
VR = RIR, IC = CsVC VL = LsIL.
Como os componentes estão em série, todos apresentam a mesma cor-
rente, ou seja, iR = iL = iC = i.
Deseja-se escrever a rela¸cão entre a entrada v(t) e a sa´ıda vC(t). Con-
seqüentemente,
VR = RI = RCsVC,
VL = LsI = Ls(CsVC) = LCs2
VC.
Aplicando-se a lei de malhas escreve-se
v = vR + vL + vC,
e substituindo as tensões calculadas para cada componente tem-se
V = RCsVC + LCs2
VC + VC,
s2
+
R
L
s +
1
LC
VC =
1
LC
V.
A fun¸cão de transferência neste caso é
G(s) =
1
LC
s2 + R
L
s + 1
LC
.
A equa¸cão diferencial correspondente ao sistema VC(t) = G(s)V (t) pode
ser escrita como
¨vC =
1
LC
v −
R
L
˙vC −
1
LC
vC
que permite diretamente a representa¸cão na forma de diagrama de blocos da
Figura 29.

vC1
LC
v
1
LC
R
L
¨vC ˙vC
− −
Figura 29: Diagrama de blocos para um circuito RLC.
5.5 Sistema massa-mola-amortecedor com 2 graus de
liberdade
Seja o sistema massa-mola-amoretecedor de dois graus de liberdade repre-
sentado na Figura 30.
Aplicando a lei de Newton escreve-se para cada massa:
k2(y2 − y1) + c2( ˙y2 − ˙y1) − k1y1 − c1 ˙y1 + u1(t) = m1 ÿ1,
−k2(y2 − y1) − c2( ˙y2 − ˙y1) + u2(t) = m2 ÿ2.
Estas equa¸cões podem ser escritas na forma matricial como:
m1 0
0 m2
M
ÿ1
ÿ2
ÿ
+
(c1 + c2) −c2
−c2 c2
C
˙y1
˙y2
˙y
+
+
(k1 + k2) −k2
−k2 k2
K
y1
y2
y
=
u1(t)
u2(t)
u
,
ou também
Mÿ + C ˙y + Ky = u(t),
onde M é a matriz de massa, C é a matriz de amortecimento, K é a matriz de
rigidez, y é vetor deslocamento, ˙y é o vetor velocidade, ÿ é o vetor acelera¸cão
e u(t) é o vetor de excita¸cão (for¸cas externas aplicadas).

k1
k2
c1
c2
m1
m1
m2
m2
y1
y2
u1(t)
u1(t)
u2(t)
u2(t)
k1y1 c1 ˙y1
k2(y2 − y1) c2( ˙y2 − ˙y1)
y2 > y1
Figura 30: Sistema massa-mola-amortecedor de dois graus de liberdade e
diagramas de corpo livre.

6 Lineariza¸cão
Muitos problemas possuem termos não lineares e que dificultam a análise.
Uma forma de simplificar estes problemas é empregar uma lineariza¸cão, que
embora seja uma aproxima¸cão, normalmente permite a análise do problema.
O aspecto central da lineariza¸cão é a aplica¸cão da série de Taylor, tomando-
se até o termo linear. Seja a Figura 31 em que f(x) é uma fun¸cão não linear
e se deseja determinar uma aproxima¸cão y(x) para f(x) em torno do ponto
x0.
f, y
f(x)
y(x)
xxo
Figura 31: Lineariza¸cão.
A fun¸cão f(x) pode ser expandida em série de Taylor como
f(x) = f(x0) +
df
dx x0
(x − x0)
1!
+
d2
f
dx2
x0
(x − x0)2
2!
+ ...
Tomando apenas o primeiro e o segundo termos tem-se
f(x) ≈ y(x) = f(x0) +
df
dx x0
(x − x0),
em torno do ponto x0, que é uma aproxima¸cão linearizada para f(x).
Exemplo: Seja um tanque conforme a mostrado na Figura 32 no qual a
vazão de sa´ıda depende de forma não linear do n´ıvel de l´ıquido no tanque.
Neste problema tem-se que: Fi é a vazão que entra no tanque, F é a
vazão que sai do tanque, h é a altura do n´ıvel de l´ıquido no tanque, e A é a
área da se¸cão transversal do tanque.

F
h
Fi
Figura 32: Esquema do tanque.
A vazão de sa´ıda depende da altura do n´ıvel de l´ıquido do tanque por
F = β
√
h.
A equa¸cão diferencial (não linear) para a varia¸cão da altura h no tanque
é
A
dh
dt
= Fi − F ⇒ A
dh
dt
+ β
√
h = Fi.
A lineariza¸cão deve ser conduzida para o termo não linear correspondente
à fun¸cão f(h) =
√
h. Assim,
f(h) ≈ f(h0) +
d(
√
h)
dh h0
(h − h0) = h0 +
1
2
h
−1
2
0 (h − h0).
Substituindo o resultado da lineariza¸cão na equa¸cão diferencial tem-se
A
dh
dt
+ β h0 +
1
2
√
h0
(h − h0) = Fi,
A
dh
dt
+ β
h
2
√
h0
= Fi − β
√
h0
2
,
que agora é uma equa¸cão direfencial linear.
Os erros envolvidos na lineariza¸cão aumentam à medida em que se distância
do ponto em torno do qual a fun¸cão foi linearizada. No caso deste exemplo,
a aproxima¸cão será válida em torno do n´ıvel h0.

7 Formas padronizadas de sistemas com parâmetros
concentrados
7.1 Sistema de ordem zero
Um sistema de ordem zero é descrito por uma equa¸cão diferencial de ordem
zero, ou seja, por uma equa¸cão algébrica do tipo
a0y = b0x,
ou também
y = γx, γ =
b0
a0
,
onde γ é a sensibilidade estática.
Um sistema de ordem zero é instantâneo, sem atraso ou distor¸cão. Um
sistema que pode ser considerado sistema de ordem zero é o termopar (trans-
duz temperatura em voltagem instantâneamente, e pode ser linearizado num
dado intervalo).
7.2 Sistema de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem é descrito por uma equa¸cão diferencial de
primeira ordem como
a1
dy
dt
+ a0y = b0x,
ou no dom´ınio de Laplace,
(a1s + a0)Y = b0X.
Define-se τ = a1
a0
como a constante de tempo e γ = b0
a0
o ganho ou sensi-
bilidade estática. Logo,
(τs + 1)Y = γX.
A equa¸cão homogênea é
τ ˙y + y = 0
e a equa¸cão caracter´ıstica é τs + 1 = 0 cuja raiz é s = −1
τ
.
A solu¸cão homogênea da equa¸cão diferencial é do tipo
yh(t) = Ae
−t
τ .
Seja a condi¸cão inicial y(0) = y0. Logo,
yh(t) = y0e
−t
τ .

Para y0 = 0 e t = τ, tem-se
y(τ) = y0e−1
= 0.3678y0 ⇒
y(τ)
y0
= 0.3678.
Observa-se que a constante de tempo τ fornece uma medida da velocidade
que a resposta do sistema tende a zero. Nota-se que decorrido o tempo τ,
a redu¸cão percentual da resposta natural é aproximadamente 37% do valor
inicial y0, como ilustrado na Figura 33.
yh(t)
tτ
y0
0.3678y0
Figura 33: Resposta homogênea de um sistema de primeira ordem, τ > 0.
Seja o caso em que a entrada é um degrau unitário u(t). Neste caso, a
equa¸cão diferencial do sistema é
τ ˙y + y = γu(t).
A solu¸cão particular é do tipo:
yp(t) = C,
pois o degrau é uma constante para t > 0.
A solu¸cão completa será a soma da solu¸cão homogênea e da solu¸cão par-
ticular:
y(t) = Ae
−t
τ + C.
Seja o caso particular da condi¸cão inicial y(0) = 0. Logo,
y(0) = 0 = Ae0
+ C = A + C ⇒ A = −C,
e conseqüentemente,
y(t) = C(1 − e
−t
τ )
É poss´ıvel calcular a seguinte derivada
˙y(t) = C
1
τ
e
−t
τ .

Substituindo y(t) e ˙y(t) na equa¸cão diferencial tem-se:
τC
1
τ
e
−t
τ + C(1 − e
−t
τ ) = γ ⇒ C = γ,
e portanto a solu¸cão da equa¸cão diferencial é
y(t) = γ(1 − e
−t
τ ),
cuja representa¸cão gráfica está na Figura 34.
y(t)
tτ
0.6321γ
γ
Figura 34: Solu¸cão completa de sistema de primeira ordem.
Verifica-se que para t = τ tem-se
y(τ)
γ
= 1 − e−1
= 0.6321,
ou seja, para um tempo igual a τ o sistema atingiu aproximadamente 63%
da resposta de regime.
Um exemplo de sistema de primeira ordem é o modelo linearizado do
enchimento do tanque dado por
A
dh
dt
+ β
h
2
√
h0
= Fi − β
√
h0
2
.
Um outro exemplo é o circuito RC descrito por
RC ˙y + y = u(t),
com τ = RC e γ = 1.

7.3 Sistema de segunda ordem
Um sistema de segunda ordem é descrito por uma equa¸cão diferencial de
segunda ordem como
a2 ÿ + a1 ˙y + a0y(t) = b0x(t) ou ÿ +
a1
a2
˙y +
a0
a2
y =
b0
a2
x(t).
Esta equa¸cão de segunda ordem pode ser escrita no dom´ınio de Laplace
em uma forma padronizada como
(s2
+ 2ξwns + w2
n)Y = γw2
nX,
onde
wn =
a0
a2
,
é a freqüência natural,
ξ =
a1
2
√
a0a2
,
é o fator de amortecimento, e
γ =
b0
a0
é o ganho estático. Note que o ganho estático é o fator que multiplicado
pela amplitude da entrada resulta no valor de regime (desconsiderando-se os
efeitos dinâmicos de ˙y e ÿ).
A resposta natural do sistema é baseada na equa¸cão homogênea, cuja
equa¸cão caracter´ıstica é:
s2
+ 2ξwns + w2
n = 0.
As ra´ızes da equa¸cão caracter´ıstica são s1,2 = −ξwn ± wn
√
ξ2 − 1, cuja
natureza depende do valor de ξ. Os casos poss´ıveis são analisados a seguir.
Amortecimento subcr´ıtico/sistema sub-amortecido, ξ < 1
No caso de sistema sub-amortecido, ξ < 1, as ra´ızes são complexas conjugadas
e podem ser escritas como
s1,2 = −ξwn ± jwn 1 − ξ2 = σ ± jwd,
onde σ = −ξwn é a parte real e wd = wn
√
1 − ξ2 é a parte imaginária
(caracterizando a freqüência natural amortecida). Estas ra´ızes podem ser
representadas no plano complexo como na Figura 35.

wn = cte
ξ = cte
s1
s2
φ
wn
−ξwn
wn
√
1 − ξ2
−wn
√
1 − ξ2
σ (real)
jw (imaginário)
Figura 35: Representa¸cão de um par complexo conjugado no plano complexo.
Nesta representa¸cão verifica-se que wn é o raio do c´ırculo e cosφ = ξ.
Observa-se que as ra´ızes s1 e s2 caminham sobre o c´ırculo em fun¸cão do valor
de ξ.
A solu¸cão homogênea de um sistema de segunda ordem é do tipo
yh(t) = A1es1t
+ A2es2t
= e−ξwnt
(A1ejwdt
+ A2e−jwdt
) = Ae−ξwnt
sen(wdt + φ),
que caracteriza uma resposta oscilatória com freqüência wd.
Considere uma entrada do tipo degrau unitário, u(t). A solu¸cão particular
será do tipo
yp = C para t ≥ 0.
Logo, ˙yp = 0 e ÿp = 0. Substituindo-se na equa¸cão do sistema, tem-se,
w2
nC = γw2
n ⇒ C = γ.
A solu¸cão completa do sistema é a soma da solu¸cão particular e da solu¸cão
homogênea:
y(t) = γ + Ae−ξwnt
sen(wdt + φ),
onde A e φ são determinados através das condi¸cões iniciais.
Verifica-se da Figura 35 que:
senφ = 1 − ξ2, cos φ = ξ e tan φ =
√
1 − ξ2
ξ
.
No caso em que y(0) = 0 e ˙y(0) = 0 (condi¸cões iniciais nulas) tem-se
y(0) = γ + Asenφ = 0 ⇒ A =
−γ
√
1 − ξ2
,

˙y(0) = A(−ξwn)senφ + Awdcosφ = 0 ⇒ tan φ =
wd
ξwn
=
√
1 − ξ2
ξ
.
Sistema criticamente amortecido, ξ = 1
No caso criticamente amortecido, ξ = 1, as ra´ızes são reais e iguais e estão
sobre o eixo real no plano complexo, ou seja,
s1 = s2 = −ξwn = −wn.
A solu¸cão transitória (homogênea) é
yh(t) = A1e−wnt
+ A2te−wnt
,
que representa um movimento que não oscila.
Considerando a entrada um degrau unitário, a solu¸cão completa é da
forma
y(t) = γ + A1e−wnt
+ A2te−wnt
.
Com as condi¸cões iniciais nulas, y(0) = 0 e ˙y(0) = 0, tem-se
y(0) = 0 = γ + A1 ⇒ A1 = −γ,
˙y(0) = 0 = A1(−wn) + A2 ⇒ A2 = −γwn.
Sistema super-amortecido, ξ > 1
No caso de um sistema super-amortecido, ξ > 1, as ra´ızes são reais e distintas,
ou seja,
s1 = wn −ξ + ξ2 − 1 =
−1
τ1
,
s2 = wn −ξ − ξ2 − 1 =
−1
τ2
.
A resposta transitória (solu¸cão da equa¸cão homogênea) é
y(t) = A1e
−t
τ1 + A2e
−t
τ2 ,
e a solu¸cão completa, considerando a entrada degrau unitário, é
y(t) = γ + A1e
−t
τ1 + A2e
−t
τ2 .
Quando as condi¸cões iniciais são nulas, y(0) = 0 e ˙y(0) = 0, tem-se
A1 =
−γτ1
τ1 − τ2
e A2 =
γτ2
τ1 − τ2
.
Verifica-se que o caso super-amortecido apresenta uma resposta sem caráter
oscilatório como esperado.

Movimento harmônico simples, sistema não amortecido, ξ = 0
No caso sem amortecimento, as ra´ızes são complexas conjugadas com parte
real nula, ou seja, estão sobre o eixo imaginário. Neste caso, o sistema
apresentará uma resposta transitória sem decaimento, caracterizando o mo-
vimento harmônico simples, ou seja, wd = wn, φ = 0 e yh(t) = Asen(wnt).
8 Fun¸cão de Transferência
Seja um sistema que estabelece uma rela¸cão entre entrada e sa´ıda esquema-
tizada na Figura 36.
f(t) y(t)
(entrada) (sa´ıda)
sistema
Figura 36: Rela¸cão entre entrada e sa´ıda.
Este sistema pode ser descrito por uma equa¸cão diferencial do tipo
an
dn
y
dtn
+ an−1
dn−1
y
dtn−1
+ . . . + a1
dy
dt
+ a0y(t) = b0f(t).
Se as condi¸cões iniciais são nulas, y(0) = ˙y(0) = . . . = yn−1
(0) = 0, tem-se
através da transformada de Laplace, que
Y (s)
F(s)
= G(s) =
b0
ansn + an−1sn−1 + . . . + a1s + a0
,
ou ainda
Y (s) = G(s)F(s)
onde G(s) é uma fun¸cão de transferência e o sistema pode ser representado
conforme esquematizado na Figura 37.
F(s) Y (s)
G(s)
Figura 37: Rela¸cão entrada-sa´ıda no dom´ınio de Laplace.

Caso o sistema possua duas entradas tem-se que
an
dn
y
dtn
+ an−1
dn−1
y
dtn−1
+ . . . + a1
dy
dt
+ a0y(t) = b1f1(t) + b2f2(t),
cuja representa¸cão está na Figura 38.
f1(t)
f2(t)
y(t)
sistema
Figura 38: Representa¸cão de um sistema com duas entradas e uma sa´ıda.
Considerando condi¸cões iniciais nulas e aplicando a transformada de La-
place tem-se que
(ansn
+ an−1sn−1
+ . . . + a1s + a0)Y (s) = b1F1(s) + b2F2(s),
Y (s) =
b1
ansn
+ an−1sn−1
+ . . . + a1s + a0
G1(s)
F1(s)+
b2
ansn
+ an−1sn−1
+ . . . + a1s + a0
G2(s)
F2(s),
ou ainda
Y (s) = G1(s)F1(s) + G2(s)F2(s),
onde G1(s) e G2(s) são as fun¸cões de transferância que relacionam cada
entrada à sa´ıda, conforme esquematizado na Figura 39.
F1(s)
F2(s)
G1(s)
G2(s)
Y (s)
Figura 39: Representa¸cão de um sistema com duas entradas e uma sa´ıda.
Para sistemas com múltiplas entradas e múltiplas sa´ıdas, define-se a ma-
triz de transferência como a matriz formada pelas rela¸cões entre cada entrada
e cada sa´ıda, considerando-se nulas todas as entradas exceto a entrada em
questão, e com todas as condi¸cões iniciais nulas.

8.1 Resposta ao impulso e convolu¸cão
Seja um sistema representado por
Y (s) = G(s)X(s),
onde G(s) é a fun¸cão de transferência.
Sabe-se que a multiplica¸cão no dom´ınio de Laplace é equivalente à con-
volu¸cão no dom´ınio do tempo. Portanto,
y(t) =
t
0
x(τ)g(t − τ)dτ =
t
0
g(τ)x(t − τ)dτ,
com g(t) = 0 e x(t) = 0 para t < 0.
Seja uma entrada do tipo impulso unitário, x(t) = δ(t), com condi¸cões
iniciais nulas. Logo, X(s) = L[δ(t)] = 1, e então
Y (s) = G(s).
Logo,
y(t) = L−1
[G(s)] = g(t),
é a resposta ao impulso, ou seja, a transformada de Laplace da resposta ao
impulso de um sistema fornece a respectiva fun¸cão de transferência.
Na prática, é poss´ıvel aproximar uma fun¸cão impulso por uma fun¸cão
pulso de amplitude grande e de dura¸cão pequena cuja área seja unitária
conforme mostrado na Figura 10. Nota-se que quando t0 → 0 o pulso tende ao
impulso. Portanto, a resposta de um sistema a um pulso de grande amplitude
e de pequena dura¸cão (área unitária) tende à resposta do impulso do sistema.
8.2 Matriz de transferência
O conceito de matriz de transferência é aplicável ao caso de sistemas com
múltiplas entradas e múltiplas sa´ıdas.
Considere um sistema com m entradas e n sa´ıdas. As m entradas carac-
terizam o vetor de entrada. As n sa´ıdas caracterizam o vetor de sa´ıda.
Seja, por exemplo, um sistema com duas entradas e duas sa´ıdas conforme
esquematizado na Figura 40.
A rela¸cão entre as sa´ıdas e as entradas é dada por
Y1(s) = G11(s)X1(s) + G12(s)X2(s),
Y2(s) = G21(s)X1(s) + G22(s)X2(s).

X1(s)
X2(s)
Y1(s)
Y2(s)
G11
G12
G21
G22
Figura 40: Representa¸cão de sistema com duas entradas e duas sa´ıdas.
Escrevendo na forma matricial tem-se que
Y1(s)
Y2(s)
=
G11(s) G12(s)
G21(s) G22(s)
X1(s)
X2(s)
,
sendo que Gij(s) é a fun¸cão de transferência relacionando a i-ésima sa´ıda
com a j-ésima entrada.
Generalizando, para m entradas e n sa´ıdas, tem-se
Y(s)n×1 = G(s)n×mX(s)m×1
onde Y(s)n×1 é a transformada de Laplace do vetor de sa´ıda, G(s)n×m é a
matriz de transferência e X(s)m×1 é a transformada de Laplace do vetor de
entrada.
Exemplo: Considere o sistema da Figura 41 inicialmente em repouso.
Sejam as for¸cas u1(t) e u2(t) as entradas e sejam as posi¸cões y1(t) e y2(t)
as sa´ıdas.
As equa¸cões do movimento podem ser escritas, ou seja, para a massa m1
tem-se
m1 ÿ1 = c( ˙y2 − ˙y1) − k1y1 + u1(t),
m1 ÿ1 + c( ˙y1 − ˙y2) + k1y1 = u1(t),
e para a massa m2 tem-se
m2 ÿ2 = −c( ˙y2 − ˙y1) − k2y2 + u2(t),

k1
k2
c
m1
m1
m2
m2
y1
y2
u1(t)
u1(t)
u2(t)
u2(t)
k1x1
k2x2c( ˙x2 − ˙x1)
c( ˙x2 − ˙x1)
Figura 41: Sistema massa-mola-amortecedor de dois graus de liberdade.
m2 ÿ2 + c( ˙y2 − ˙y1) + k2y2 = u2(t).
Aplicando a transformada de Laplace às duas equa¸cões do movimento e
considerando condi¸cões iniciais nulas tem-se
(m1s2
+ cs + k1)Y1(s) − csY2(s) = U1(s),
(m2s2
+ cs + k2)Y2(s) − csY1(s) = U2(s).
Matricialmente pode-se escrever que
m1s2
+ cs + k1 −cs
−cs m2s2
+ cs + k2
G−1
Y1(s)
Y2(s)
=
U1(s)
U2(s)
.
Portanto,
Y1(s)
Y2(s)
= G(s)
U1(s)
U2(s)
,
onde
G(s) =
1
(m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs + k2) − c2s2
m2s2
+ cs + k2 cs
cs m1s2
+ cs + k1
,
é a matriz de transferência, neste caso 2 × 2.

Conseqüentemente,
y1(t) = L−1 (m2s2
+ cs + k2)U1(s) + csU2(s)
(m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs + k2) − c2s2
,
y2(t) = L−1 csU1(s) + (m1s2
+ cs + k1)U2(s)
(m1s2 + cs + k1)(m2s2 + cs + k2) − c2s2
.
9 Critérios de Desempenho
Esta se¸cão apresenta os principais parâmetros de desempenho no tempo de
sistemas de primeira e de segunda ordem.
9.1 Sistemas de Primeira Ordem
Seja um sistema de primeira ordem dado por
a1
dy
dt
+ a0y(t) = b0f(t) ou τ
dy
dt
+ y = γf(t),
onde τ = a1
a0
é a constante de tempo e γ = b0
a0
é a sensibilidade estática.
A transformada de Laplace correspondente é
τsY (s) + Y (s) = γF(s),
e a respectiva fun¸cão de transferência é
Y (s)
F(s)
=
γ
τs + 1
.
1. A resposta ao impulso deste sistema é
g(t) =
γ
τ
e− t
τ ,
que se encontra ilustrada na Figura 42.
2. A resposta ao degrau, ou resposta indicial, de um sistema de primeira
ordem é
y(t) = γ(1 − e− t
τ ),
que se encontra ilustrada na Figura 43 para dois valores de constante
de tempo (τ1 > τ2) e na Figura 44 para dois valores da sensibilidade
estática γ1 > γ2.

t
γ
τ
(sistema est´avel)
Figura 42: Resposta ao impulso de sistema de primeira ordem, τ > 0.
t
τ1τ2
Figura 43: Sistema de primeira ordem - resposta ao degrau - τ1 > τ2.
tτ
γ1
γ2
0, 63γ1
0, 63γ2
y(t)
Figura 44: Sistema de primeira ordem - resposta ao degrau - γ1 > γ2.

tτ
y(t)
∆(t)
Figura 45: Sistema de primeira ordem - resposta à rampa unitária.
3. A resposta à rampa unitária é dada por
y(t) = γ(τe− t
τ + t − τ),
e está representada na Figura 45.
A diferen¸ca entre a rampa e a resposta do sistema é dada por
∆(t) = γt − y(t) = γτ(1 − e− t
τ ),
e o erro estacionário é
lim
t→∞
∆(t) = γτ.
9.2 Sistema de segunda ordem
Seja um sistema de segunda ordem na forma padronizada
d2
y
dt2
+ 2ξwn
dy
dt
+ w2
ny = γw2
nf(t),
onde wn é a freqüência natural, ξ é o fator de amortecimento e γ é o ganho
estático.
A fun¸cão de transferência correspondente é
Y (s)
F(s)
= G(s) =
γw2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
.
As ra´ızes da equa¸cão caracter´ıstica são
s1,2 = −ξwn ± wn ξ2 − 1
wd
,
e os três casos importantes de resposta natural podem ser analisados em
fun¸cão do valor de ξ, i.e.,

• ξ > 1: sistema superamortecido, comportamento não oscilatório, cuja
resposta ao impulso é
y(t) = C1es1t
+ C2es2t
.
• 0 < ξ < 1: sistema sub-amortecido, comportamento oscilatório durante
o transitório, cuja resposta ao impulso é
y(t) = C1e−ξwnt
(senwdt + φ).
• ξ = 1: sistema criticamente amortecido, não oscilatório, cuja resposta
ao impulso é
y(t) = (C1 + C2t)e−ξwnt
.
O comportamento de um sistema de segunda ordem sub-amortecido é
normalmente analisado em termos da resposta ao degrau através de alguns
parâmetros que permitem uma adequada compara¸cão. Estes parâmetros são
brevemente descritos a seguir e ilustrados na Figura 46.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Resposta ao degrau unitário
Amplitude
Tempo (s)
tp te
ts
yp
γ
eest
Figura 46: Sistema de segunda ordem - principais parâmetros de desempenho
na resposta ao degrau.

1. O valor de regime, γ, é o valor da resposta do sistema para um tempo
grande, ou seja,
γ = lim
t→∞
y(t).
Note que o valor de regime corresponde ao ganho estático do sistema
se a entrada for um degrau unitário.
2. O erro estacionário, eest, é a diferen¸ca entre o valor da entrada e o valor
de regime. No caso da entrada degrau, tem-se que:
eest = 1 − γ.
3. O tempo de subida, ts, é o tempo para a resposta passar, por exemplo,
de 10% do valor de regime para 90% do valor de regime.
4. O tempo para o pico máximo, tp, é o tempo para a resposta atingir o
primeiro pico da sobre-eleva¸cão (overshoot).
5. O percentual de sobre-sinal, pss, representa o valor do pico em rela¸cão
ao valor de regime de forma percentual, ou seja,
pss = 100
yp − γ
γ
.
A resposta ao degrau é
y(t) = γ 1 −
e−ξwnt
√
1 − ξ2
sen(wdt + φ) ,
O pico da curva de resposta pode ser determinado por
dy
dt
= 0 ⇒ ξwnsen(wdt + φ) = wdcos(wdt + φ),
ou ainda
tan(wdt + φ) =
wd
ξwn
=
√
1 − ξ2
ξ
= tanφ,
para wdt = kπ, k = 0, 1, 2, . . .. O primeiro pico ocorre para wdtp = π,
e então, tp = π
wd
e cosφ = ξ.
Substituindo este resultado na equa¸cão da resposta ao degrau tem-se
que
yp = y(tp) = γ

1 −
e
−ξwn
π
wd
√
1 − ξ2
sen wd
π
wd
+ φ

 =

= γ


1 −
e
−ξπ
√
1−ξ2
√
1 − ξ2
sen(π + φ)


 =
= γ


1 −
e
−ξπ
√
1−ξ2
√
1 − ξ2
(senπ
0
cosφ + senφ cosπ
−1
)


 =
= γ


1 −
e
−ξπ
√
1−ξ2
√
1 − ξ2
(−senφ)


 = γ 1 + e
−ξπ
√
1−ξ2
.
Logo, o pss será dado por:
pss = 100
γ 1 + e
−ξ π√
1−ξ2
− γ
γ
= 100e
−ξπ
√
1−ξ2
.
Conseqüentemente pode-se escrever que
ξ =
ln100
pss
π2 + ln100
pss
2
.
Nota-se que o pss é uma medida do fator de amortecimento, ou seja,
dado ξ tem-se o pss e vice-versa. Verifica-se que pss|ξ=0 = 100% e
pss|ξ=1 = 0%.
6. Constante de tempo de um sistema de segunda ordem
As curvas que limitam a resposta de um sistema são chamadas de en-
voltórias e estão ilustradas na Figura 47.
As equa¸cões das envoltórias são determinadas em fun¸cão dos pontos
cr´ıticos de y(t) e são dadas por:
ev(t) = γ 1 ±
e−ξwnt
√
1 − ξ2
.
Considerando a envoltória superior, nota-se que:
ev(t)|t=0 = γ 1 +
1
√
1 − ξ2
,
ev(t)|t= 1
ξwn
= γ 1 +
e−1
√
1 − ξ2
.

envoltória
valor de regime (γ)
y(t)
τ t
Figura 47: Curvas envoltórias.
Define-se a constante de tempo, τ, do sistema de segunda ordem como
τ =
1
ξwn
,
pois
ev(τ) − γ
ev(0) − γ
=
e−1
1
= 0.3678,
que corresponde ao decaimento da envoltória com rela¸cão ao valor de
regime γ de forma semelhante ao caso de um sistema de primeira ordem.
7. O tempo de estabiliza¸cão é o tempo para o sistema apresentar x% de
erro com rela¸cão ao valor de regime.
O tempo de estabiliza¸cão a 5% é dado por:
γ 1 + e− t
τ
√
1−ξ2
− γ
γ
≤ 0.05 ⇒
e− t
τ
√
1 − ξ2
≤ 0.05 ⇒ e− t
τ ≤ 0.05 1 − ξ2.
É poss´ıvel calcular o tempo de estabiliza¸cão para alguns valores de ξ.
• para ξ = 0.1:
e− t
τ ≤ 0.05 × 0.995 ⇒
t
τ
= 3.00.
• para ξ = 0.5:
e− t
τ ≤ 0.05 × 0.866 ⇒
t
τ
= 3.14.

• para ξ = 0.7:
e− t
τ ≤ 0.05 × 0.714 ⇒
t
τ
= 3.33.
Portanto, uma aproxima¸cão usual é que
te5% ≈ 3.2τ =
3.2
ξwn
.
Da mesma forma que foi feito para 5% pode-se fazer para 2% e obter
que
te2% ≈ 4τ =
4
ξwn
.
8. Decremento logar´ıtmico.
Seja uma senóide amortecida correspondente à resposta do sistema,
y(t) = Ae−ξwnt
(senwdt + φ),
como mostrada na Figura 48.
t2
y1
y2
t1
y(t)
t
Figura 48: Senóide amortecida.
O per´ıodo é dado por T = t2 − t1 e é sabido que sen(wdt1 + φ) =
sen(wdt2 + φ).
A rela¸cão entre duas amplitudes consecutivas é
y1
y2
=
Ae−ξwnt1
Ae−ξwnt2
= eξwnT
= e
ξwn( 2π
wd
)
= e
2πξ
√
1−ξ2
.
O decremento logaritmico, δl, é definido como
δl = ln
y1
y2
=
2πξ
√
1 − ξ2
.
Nota-se que δl é uma medida do amortecimento do sistema. Para ξ <<
1 tem-se a aproxima¸cão que δl ≈ 2πξ.

10 Estabilidade de sistemas lineares
Um sistema é considerado estável se sua resposta não cresce de forma ili-
mitada para qualquer condi¸cão inicial (resposta natural) ou para qualquer
entrada limitada. A análise baseada na resposta natural caracteriza o que se
chama de estabilidade de entrada nula e a análise baseada em uma entrada
limitada caracteriza a estabilidade BIBO (bounded input - bounded output).
10.1 Estabilidade para entrada nula
Seja uma fun¸cão de transferência dada por
Y (s)
F(s)
= G(s) =
Q(s)
P(s)
,
onde Q(s) e P(s) são polinômios que representam o numerador e o denomi-
nador respectivamente.
Estes polinômios são tais que o grau de Q(s) é menor ou igual ao grau de
P(s), caracterizando os sistemas não antecipativos.
Considerando que não existam cancelamentos entre fatores do numerador
e do denominador, as ra´ızes de Q(s) são denominadas de zeros de G(s), e as
ra´ızes de P(s) são os pólos G(s). Os pólos de G(s) são os pontos singulares
de G(s).
Caso existam fatores comuns no numerador e denominar, aten¸cão é re-
querida como no exemplo de
G(s) =
(s − 1)
(s − 1)(s + 2)
,
em que se tem apenas apenas um pólo que é −2. Note que não há singulari-
dade para s = 1.
Seja uma fun¸cão de transferência, sem cancelamentos entre o numerador
e o denominador, escrita na forma
G(s) =
Q(s)
(s − p1)(s − p2)(s − p3)m(s − p4)(s − p∗
4)(s − p5)(s − p6)(s − p∗
6)
,
cujos pólos estão representados na Figura 49.
Os pólos deste sistema podem ser classificados como a seguir.
1. Pólos reais e distintos de multiplicidade 1 e não nulos (p1 e p2).

imaginário
real
pólos estáveis pólos instáveis
p1 p2p3
p4
p∗
4
p5
p6
p∗
6
Figura 49: Localiza¸cão t´ıpica dos pólos no plano complexo.
A contribui¸cão destes pólos na anti-transformada de Laplace gera os
termos ilustrados na Figura 50, que podem ser verificados via expansão
em fra¸cões parciais, ou seja,
C1ep1t
+ C2ep2t
.
O pólo p2 > 0 contribui para uma situa¸cão de instabilidade.
tt
y(t)y(t)
C1ep1t
C2ep2t
Figura 50: Contribui¸cão na resposta de pólos reais e distintos e não nulos.
2. Pólos reais múltiplos (p3).
A anti-transformada de Laplace gera termos do seguinte tipo:
C1 + C2t +
C3
2!
t2
+ . . . +
Cm
(m − 1)!
tm−1
a(t)
ep3t
= a(t)ep3t
.

Três situa¸cões podem ocorrer em fun¸cão da posi¸cão do pólo p3:
• se p3 > 0, então a(t)ep3t
→ ±∞, quando t → ∞.
• Se p3 = 0, então a(t)ep3t
= a(t) → ±∞, quando t → ∞.
• Se p3 < 0, então a(t)ep3t
→ 0, quando t → ∞.
Nota-se que se p3 ≥ 0 tem-se uma situa¸cão de instabilidade.
3. Pólo simples na origem (p5).
A anti-transformada, neste caso, é uma constante como ilustrado na
Figura 51, que caracteriza uma resposta marginalmente estável (não
decresce).
t
y(t)
Figura 51: Anti-transformada correspondente a um pólo simples na origem.
4. Pólos complexos conjugados (pares (p4,p∗
4) e (p6,p∗
6)).
Neste caso, é poss´ıvel escrever que
C
(s − p4)(s − p∗
4)
=
D
(s2 + b2)
.
A anti-transformada de Laplace é do tipo:
eat
sen(bt + φ)
onde a é a parte real dos pólos. Nota-se que se a > 0 tem-se uma
situa¸cão instável.
Para o caso particular em que a = 0, ou seja, pólos complexos conjuga-
dos sobre o eixo imaginário, tem-se resposta senoidal sem decaimento,
Figura 53, que caracteriza uma resposta marginalmente estável.

tt
y(t)y(t)
a < 0 a > 0
Figura 52: Efeito de p´olos compolexos conjugados.
t
y(t)
Figura 53: Efeito de p´olo com parte real nula.

Da análise anterior, é poss´ıvel concluir que:
• Pólos com parte real negativa, isto é, localizados no semi-plano es-
querdo do plano complexo, contribuem com resposta estável.
• Pólos com parte real positiva, isto é, localizados no semi-plano direito
do plano complexo, contribuem com resposta crescente com o tempo
ou instável.
• Pólos simples com parte real nula, isto é, sobre o eixo imaginário, con-
tribuem com resposta constante ou senoidal.
• Pólos múltiplos na origem ou sobre o eixo imaginário acarretam insta-
bilidade.
Uma avalia¸cão da estabilidade natural pode ser feita também através da
resposta ao impulso. Lembrando que Y (s) = G(s)F(s) e que se F(s) = 1,
ou seja, f(t) = δ(t) um impulso unitário, então,
L−1
[Y (s)] = L−1
[G(s)] = y(t),
onde y(t) é a resposta ao impulso do sistema, e que permite verificar a ins-
tabilidade se esta crescer de forma ilimitada.
Exemplo: Discutir a estabilidade do sistema G1(s) = 1
s
.
Este sistema possui um pólo simples na origem, caracterizando uma res-
posta natural marginalmente estável. A resposta ao impulso deste sistema é
um degrau u(t), que é limitada.
s2+100
.
Este sistema possui pólos complexos conjugados sobre o eixo imaginário,
caracterizando uma resposta senoidal marginalmente estável. A resposta ao
impulso deste sistema é 100sen(10t)u(t), que é limitada.
s2 .
Este sistema possui pólos múltiplos na origem, e é portanto instável. A
resposta ao impulso deste sistema é tu(t), que cresce de forma ilimitada.
10.2 Estabilidade BIBO
O conceito de estabilidade BIBO (bounded input - bounded output) estabe-
lece que o sistema é estável se a resposta permanece limitada para qualquer
entrada limitada.

A rela¸cão entre a resposta Y (s) e a entrada F(s) de um sistema pode ser
escrita como
Y (s) = G(s)F(s),
e usando a propriedade de convolu¸cão pode-se escrever que
y(t) = L−1
[G(s)F(s)] = g(t) ∗ f(t) =
t
0
g(τ)f(t − τ)dτ.
Se a entrada é limitada, então pode-se escrever que
|f(t)| ≤ M < ∞.
Para que a resposta seja limitada deseja-se que
|y(t)| =
t
0
g(τ)f(t − τ)dτ ≤
t
0
|g(τ)||f(t − τ)|dτ,
e conseqüentemente é poss´ıvel escrever que
|y(t)| ≤ M
t
0
|g(τ)|dτ.
Para que a resposta |y(t)| seja limitada, deve-se ter que
t
0
|g(τ)|dτ < ∞,
que significa que a resposta ao impulso do sistema deve ser limitada.
11 Resposta em frequência
11.1 Rela¸cão de amplitude e ângulo de fase
A resposta em regime de um sistema linear invariante no tempo a uma en-
trada senoidal é também de forma senoidal, com amplitude e fase distin-
tos da entrada e dependentes das caracter´ısticas dinâmicas do sistema e da
frequência de entrada.
Seja um sistema descrito por
Y (s)
F(s)
= G(s) =
Q(s)
P(s)
,
com Q(s) e P(s) polinômios s.

Seja uma entrada f(t) senoidal. Logo,
f(t) = Asenwt ⇒ F(s) = L[f(t)] =
Aw
s2 + w2
,
e consequentemente,
Y (s) = G(s)
Aw
s2 + w2
.
Uma expansão em fra¸cões parciais pode ser escrita como
Y (s) =
C1
(s − p1)
+
C2
(s − p2)
+ . . . +
Cn
s − pn
termos transitórios
+
K1
s + jw
+
K2
s − jw
termos de regime
.
Realizando a anti-transformada de Laplace tem-se
y(t) =
n
i=1
Ciepit
+ K1e−jwt
+ K2ejwt
onde a somatória pode ser desconsiderada pois representa os termos tran-
sitórios. Pressupõe-se que G(s) é estável.
Logo, a resposta de regime é
y(t) = K1e−jwt
+ K2ejwt
.
As constantes correspondentes são:
K1 = (s + jw)G(s)
Aw
(s + jw)(s − jw) s=−jw
= G(−jw)
Aw
−2jw
= G(−jw)
A
−2j
,
K2 = (s − jw)G(s)
Aw
(s + jw)(s − jw) s=jw
= G(jw)
A
2j
,
Pode-se escrever
G(jw) = |G(jw)|ejφ
, G(−jw) = |G(jw)|e−jφ
,
e
φ = G(jw) = tan−1 Im(G(jw))
Re(G(jw))
.
Consequentemente,
y(t) = −A
2j
|G(jw)|e−jφ
e−jwt
+ A
2j
|G(jw)|ejφ
ejwt
=
= A|G(jw)| ej(wt+φ)−e−j(wt+φ)
2j
=
= A|G(jw)|sen(wt + φ).

Nota: senα = ejα−e−jα
2j
e |a + jb| =
√
a2 + b2.
Portanto, se a entrada é
f(t) = Asenwt,
a sa´ıda será
y(t) = A|G(jw)|sen(wt + φ),
que representa uma resposta senoidal com outra amplitude e com uma defa-
sagem em rela¸cão à entrada.
A rela¸cão de amplitudes RA entre a resposta e a entrada é dada por
RA =
max y(t)
max f(t)
= |G(jw)|.
Alguns exemplos são apresentados a seguir.
11.2 Resposta em freqüência de um sistema de pri-
meira ordem
Seja
G(s) =
γ
τs + 1
.
Logo,
G(jw) =
γ
1 + jwτ
=
|γ|
√
1 + w2τ2
ejφ
,
φ = tan−1 −wτ
1
= −tan−1
(wτ).
A rela¸cão de amplitudes será dada por
RA =
|γ|
√
1 + w2τ2
.
11.3 Resposta em freqüência de um sistema de se-
gunda ordem
Seja
G(s) =
γw2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
.
Logo,
G(jw) =
γw2
n
−w2 + j(2ξwnw) + w2
n
,

|G(jw)| =
|γ|w2
n
[(w2
n − w2)2 + 4ξ2w2
nw2]
1
2
= RA,
φ = −tan−1 2ξwnw
(w2
n − w2)
.
11.4 Resposta em freqüência de um integrador puro
Seja
G(s) =
γ
s
,
então,
G(jw) =
γ
jw
= −j
γ
w
=
γ
w
e−jφ
,
e se verifica que
|G(jw)| =
γ
w
= RA, φ = tan−1
−γ
w
0
= −
π
2
.
11.5 Diagramas de Bode
Existem dois gráficos usuais para representar as caracter´ısticas de resposta
em freqüência de sistemas.
• Diagrama de amplitudes: plota as RA (em decibéis, dB) em fun¸cão de
w (escala log).
• Digrama de fases: plota as fases φ em fun¸cão de w em escala log.
Para isso define-se a rela¸cão de amplitudes em dB como
RAdB = 20 log RA.
São apresentados a seguir os diagramas de Bode de alguns sistemas t´ıpicos.
11.5.1 Diagramas de Bode para o integrador puro
A rela¸cão de amplitudes para o integrador puro permite escrever que
RAdB = 20 log
γ
w
= 20 log γ − 20 log w,
que é uma reta na escala dB-log do tipo
y = C − 20x,

cuja inclina¸cão é −20. Note que o para log w = 0 o cruzamento com o eixo
da rela¸cão de amplitude se dá para 20 log γ.
A fase é φ = −π
2
constante.
Os diagramas de Bode do integrador puro, G(s) = 1
s
, são mostrados na
Figura 54.
−20
−15
−10
−5
0
5
Magnitude(dB)
10
0
10
1
−91
−90.5
−90
−89.5
−89
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 54: Diagramas de Bode para G(s) = 1
s
.
11.5.2 Diarama de Bode de sistemas de primeira ordem
Seja um sistema de primeira ordem dado por
G(s) =
γ
τs + 1
com γ > 0.
A rela¸cão de amplitudes e o ângulo de fase são:
RA =
γ
√
1 + w2τ2
, φ = −tan−1
(wτ).
A rela¸cão de amplitudes em dB é
RAdB = 20 log
γ
√
1 + w2τ2
= 20 log γ − 10 log(1 + w2
τ2
).
É poss´ıvel conduzir a análise para dois casos.

1. “Baixas” freqüências: wτ << 1 ⇒ w << 1
τ
⇒ 1 + w2
τ2
≈ 1, então,
RAdB ≈ 20 log γ,
que representa uma constante de valor 20 log γ. Note que este é o valor
de partida do gráfico quando w = 0.
2. “Altas” freqüências: wτ >> 1 ⇒ w >> 1
τ
⇒ 1 + w2
τ2
≈ w2
τ2
, então,
RAdB ≈ 20 log γ − 10 log(wτ)2
= 20 log γ − 20 log(wτ),
RAdB ≈ 20 log γ − 20 log w − 20 log τ,
RAdB ≈ 20 log
γ
τ
− 20 log w,
que representa uma reta de inclina¸cão −20.
Em termos de fase, tem-se:
• para w = 0 ⇒ φ = −tan−1
(0) = 0,
• para w = 1
τ
⇒ φ = −tan(1
τ
τ) = −π
4
,
• para w → ∞ ⇒ φ = −tan(∞) = −π
2
,
como mostrado na Figura 55.
Como exemplo, os diagramas de Bode para G(s) = 1
s+1
estão mostrados
na Figura 55.
11.5.3 Diagramas de Bode para sistemas de primeira ordem em
série
Seja o sistema G(s) formado por vários sistemas de primeira ordem em série,
G(s) =
γ1
τ1s + 1
γ2
τ2s + 1
. . .
γn
τns + 1
.
A rela¸cão de amplitudes e a fase podem ser escritas como
RA = |G(jw)| =
γ1γ2 . . . γn
(1 + τ2
1 w2)(1 + τ2
2 w2) . . .(1 + τ2
nw2)
,
φ =
n
i=1
φi =
n
i=1
−tan−1
(wτi).

−40
−30
−20
−10
0
Magnitude(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
−90
−45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figura 55: Diagramas de amplitudes e fases - sistema de primeira ordem.
A rela¸cão de amplitudes em dB é dada por
RAdB =
n
i=1
20 log γi −
1
2
n
i=1
20 log(1 + τ2
i w2
) = RAi
dB,
que corresponde ao somatório da rela¸cão de amplitudes de cada sistema.
Exemplo: Sejam os sistemas de primeira ordem
G1(s) =
5
s + 1
e G2(s) =
2000
s + 100
,
e o sistema resultante do produto destes, G(s) = G1(s)G2(s).
As rela¸cões de amplitudes e as fases de dois sistemas de primeira ordem
podem ser somadas diretamente nos gráficos conforme na Figura 56.
Observa-se ainda que
lim
s→0
G(s) = lim
s→0
G1(s)G2(s) =
5
1
2000
100
= 100 = 40dB,
que corresponde ao valor para w → 0 no diagrama de bode. Note ainda que
o valor da resposta em freqüência para w → 0 coresponde ao ganho estático
do sistema.

−100
−50
0
50
Magnitude(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−180
−135
−90
−45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
G1(s)
G2(s)
G(s)
Figura 56: Diagramas de Bode de dois sistemas de primeira ordem em série.
Observa-se cada pólo simples contribui com uma queda de -20dB/década
no diagrama de Bode. Note que um zero irá alterar o sinal da inclina¸cão
da reta, contribuindo com um efeito de +20dB/década, assim como uma
contrinui¸cão positiva na fase, como ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplo: Sejam os sistemas de primeira ordem
G1(s) =
5
s + 1
e G2(s) =
s + 100
2000
,
e o sistema resultante do produto destes, G(s) = G1(s)G2(s).
As rela¸cões de amplitudes e as fases de dois sistemas de primeira ordem
podem ser somadas diretamente nos gráficos conforme na Figura 57.
11.5.4 Diagrama de Bode de sistemas de segunda ordem
A rela¸cão de amplitudes para um sistema de segunda ordem é
RA =
γ
[1 − ( w
wn
)2]2 + 4ξ2( w
wn
)2
,

−80
−60
−40
−20
0
20
Magnitude(dB)
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
−90
−45
0
45
90
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
G1(s)
G2(s)
G(s)
Figura 57: Diagramas de Bode de dois sistemas de primeira ordem em série.
e em dB tem-se
RAdB = 20 log γ − 10 log



1 −
w
wn
2 2
+ 4ξ2 w
wn
2



.
Dois casos em termos de faixas de freqüências podem ser analisados.
1. Ass´ıntota para baixas frequências (w << wn):
RAdB ≈ 20 log γ,
que representa um valor constante.
2. Ass´ıntota para altas frequências (w >> wn):
RAdB ≈ 20 log γ − 10 log
w
wn
4
= 20 log γ − 40 log
w
wn
=
= 20 log γ + 40 log wn − 40 log w = 20 log(γw2
n) − 40 log w,
que representa uma inclina¸cão de −40dB/década.

O ângulo de fase é dado por
φ = −tan−1 2ξwnw
w2
n − w2
,
e verifica-se que:
• para w = 0 ⇒ φ = 0,
• para w = wn ⇒ φ = −π
2
,
• para w → ∞ ⇒ φ = −π.
O diagrama de Bode do sistema de segunda ordem está representado na
Figura 58 para alguns valores de ξ.
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
Magnitude(dB)
10
−1
10
0
10
1
−180
−135
−90
−45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
ξ1 = 0.01
ξ2 = 0.2
ξ3 = 0.4
ξ4 = 0.7
Figura 58: Diagramas de Bode para vários valores de fator de amortecimento
de sistemas de segunda ordem.
Um caso particular de interesse é o de ξ = 0, ou seja, sistema sem amor-
tecimento. Neste caso, os diagramas de Bode são caracterizados por uma
singularidade na amplitude e uma mudan¸ca brusca de fase de 0◦
para −180◦
,
como já se observa a tendência para o caso de menor fator de amortecimento
ilustrado na Figura 58.

11.6 Banda de passagem
A banda de passagem, wb, é o valor de freqüência tal que a amplitude cai 3dB
em rela¸cão ao valor de correspondente ao ganho estático, conforme ilustrado
na Figura 59.
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
10
−1
10
0
10
1
0
5
10
15
20
25
30
Magnitude(dB)
3dB
wb
Figura 59: Banda de passagem.
11.7 Algumas caracter´ısticas em freqüência de siste-
mas de segunda ordem
A freqüência de ressonância, wr, em sistemas de segunda ordem corresponde
ao valor de freqüência em que ocorre a maior amplitude da resposta em
freqüência, e é dada por
wr = wn 1 − 2ξ2 para ξ <
√
2
2
.
Para esta freqüência tem-se o valor do pico da resposta, adicionado ao
valor do ganho estático, dado por
Mp =
1
2ξ
√
1 − ξ2
para ξ <
√
2
2
.

Exemplo: Dada a resposta em freqüência do sistema de segunda conforme
na Figura 60, determine a freqüência natural, fator de amortecimento e o
ganho estático.
10
−1
10
0
10
1
10
2
−180
−135
−90
−45
0
Phase(deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
−60
−40
−20
0
20
40
System: ps
Peak gain (dB): 24.8
At frequency (rad/sec): 1.81
Magnitude(dB)
Figura 60: Resposta em freqüência de sistema de segunda ordem.
A forma padrão do sistema de segunda ordem é
P(s) =
γw2
n
s2 + 2ξwns + w2
n
.
O ganho estático pode ser determinado fazendo-se
lim
s→0
P(s) = γ = 20dB = 10.
O pico da resposta é 24.8 dB. Logo, o valor adicional ao valor do ganho
estático é Mp = 4.8 dB = 1.7378, que permite calcular:
Mp =
1
2ξ
√
1 − ξ2
= 1.7378 ⇒ ξ = 0.30.
Da freqüência de ressonância, wr = 1.81rad/s, e do valor de ξ, tem-se
que
wr = wn
√
1 − 2 × 0.32 = 1.81rad/s ⇒ wn = 2rad/s.

Uma outra forma de obter a freqüência natural é verificar a freqüência
que corresponde à fase de −90◦
, ou seja, wn = 2rad/s.
11.8 Diagrama de Nyquist
O diagrama de Nyquist é uma outra forma de representa¸cão da resposta em
frequência. É um gráfico do módulo de G(jw) pelo ângulo de fase de G(jw)
em coordenadas polares quando w varia, por exemplo, de zero a infinito.
11.8.1 Diagrama de Nyquist de sistemas de primeira ordem
Para um sistema de primeira ordem tem-se que
|G(jw)| =
|γ|
√
1 + w2τ2
, φ = −tan−1
(wτ).
Seja o caso particular em que γ = 1. Logo,
|G(jw)| =
1
√
1 + w2τ2
, φ = −tan−1
(wτ).
Calculando alguns valores tem-se:
• w = 0 ⇒ |G(0)| = 1, φ = −tan−1
(0) = 0,
• w = 1
τ
⇒ |G(j
τ
)| = 1√
1+1
= 1√
2
, φ = −tan−1
(1) = −45◦
,
• w → ∞ ⇒ |G(∞)| = 0, φ = −tan−1
(∞) = −90◦
,
que podem ser visualizados na Figura 61.
Nota-se que a curva do diagrama de Nyquist para este sistema é uma
circunferência, como pode ser verificado a seguir.
G(jw) =
1
1 + jwτ
=
1 − jwτ
12 + w2τ2
=
1
1 + w2τ2
parte real
−
wτ
1 + w2τ2
parte imaginária
j.
Definindo x e y como as partes real e imaginária, tem-se:
x =
1
1 + w2τ2
=
1
1 + a2
,
y =
−wτ
1 + w2τ2
=
−a
1 + a2
.
Verifica-se que
x −
1
2
2
+ y2
=
1
1 + a2
−
1
2
2
+
−a
1 + a2
2
=
1
2
2
,
ou seja, a equa¸cão de um c´ırculo com origem no ponto 1
2
, 0 e raio 1
2
.

a
b
c
Imaginário
Real
1
2
−45o
1√
2
Figura 61: Diagrama de Nyquist - sistema de primeira ordem.
11.8.2 Diagrama de Nyquist para sistemas de segunda ordem
A forma padrão de um sistema de segunda ordem permite escrever que
G(jw) =
γw2
n
(jw)2 + 2ξwn(jw) + w2
n
=
γ
1 + 2ξ(j w
wn
) + (j w
wn
)2
.
Seja o caso particular em que γ = 1. Logo,
lim
w→0
G(jw) = 1 0◦
, lim
w→∞
G(jw) = 0 − 180◦
.
Para w = wn, então,
G(jw) =
1
1 + 2ξj − 1
=
1
2ξj
,
que corresponde a um valor imaginário puro, e que permite determinar o
valor de ξ.
A situa¸cão de ressonância corresponde ao ponto onde ocorre o máximo
valor de |G(jw)|, ou seja máxima amplitute, e é o ponto cuja distância até a
origem é máxima no diagrama de Nyquist.
Para ξ > 1 grandes, o diagrama aproxima-se de uma circunferência, pois
o sistema tende a um sistema de primeira ordem, e uma das ra´ızes reais
predomina sobre a outra.
Exemplo: Seja o sistema dado por
G(s) =
1
s2 + 2s + 1
.
O diagrama de Nyquist correspondente está mostrado na Figura 62.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−3
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
Nyquist Diagram
Real Axis
ImaginaryAxis
wrwn
Figura 62: Diagrama de Nyquist para G(s) = 1
s2+2s+1
.

O ponto de cruzamento com o eixo imaginário corresponde à w = wn =
1rad/s e é −2.5j. Logo,
1
2ξj
= −2.5j ⇒ ξ = 0.2.
A máxima amplitude é 8.14dB e corresponde a uma freqüência de res-
sonância w = wr = 0.959rad/s.
Exemplo: Determinar o diagrama de Nyquist para
G(s) =
1
s(Ts + 1)
.
Calcula-se:
G(jw) =
1
jw(Tjw + 1)
=
−T
1 + w2T2
− j
1
(1 + w2T2)w
.
Logo,
lim
w→0
G(jw) = −T − j∞ = ∞ − 90◦
,
lim
w→∞
G(jw) = 0 − j × 0 = 0 − 180◦
.
O diagrama correspondente é apresentado na Figura 63.
Im
Re
w
w
0
0∞
−T
Figura 63: Diagrama de Nyquist.

12 Sistemas de n´ıvel de tanques - introdu¸cão
à malha fechada
12.1 Sistema de um tanque
Considere o tanque esquematizado na Figura 64, onde qe é a vazão de entrada,
qs é a vazão de sa´ıda, h é a altura do n´ıvel de l´ıquido e u é a variável que regula
a posi¸cão da válvula de entrada. O tanque possui área da se¸cão tranversal
A, de forma que o volume de l´ıquido é V = Ah. O problema de interesse é
manter o n´ıvel de l´ıquido em valores desejados.
qe
u
h
qs
Figura 64: Sistema de n´ıvel de tanque.
Este sistema pode ser representado na forma de diagrama de blocos con-
forme na Figura 65.
qe
qs
entradas
sa´ıda
processo
h
Figura 65: Problema do tanque na forma de diagrama de blocos.
Um modelo matemático deste sistema pode ser obtido através do princ´ıpio
da conserva¸cão da massa. A varia¸cão de volume no tanque é dada por
˙V (t) = qe(t) − qs(t).

Se a área do tanque é constante, tem-se que
˙V (t) = A˙h(t).
Dependendo to tipo de escoamento, laminar ou turbulento, é poss´ıvel
estabelecer uma rela¸cão entre a vazão na válvula de sa´ıda e o n´ıvel de l´ıquido
h(t). No caso de escoamento laminar, pode-se escrever que
qs(t) =
1
R
h(t),
onde R é uma constante restritiva, também chamada de “restri¸cão”. Nota-se
a analogia com a lei de Ohm para circuitos elétricos (potencial=resistência
× corrente).
Estas equa¸cões podem ser agrupadas, levando à:
A˙h(t) = qe(t) −
1
R
h(t) ⇒ RA˙h(t) + h(t) = Rqe(t),
que caracteriza uma equa¸cão diferencial de primeira ordem (sistema de pri-
meira ordem) que pode ser escrita na sua forma padrão como
τ ˙h(t) + h(t) = γqe(t),
onde τ = RA é a constante de tempo e γ = R é o ganho estático.
Aplicando a transformada de Laplace (condi¸cões iniciais nulas) chega-se
à fun¸cão de transferência:
(τs + 1)H(s) = γQe(s) ⇒ H(s) =
γ
τs + 1
Qe(s).
Este modelo do tanque permite estudar dois comportamentos f´ısicos de
interesse: o esvaziamento e o enchimento.
• Esvaziamento do tanque. Seja a condi¸cão homogênea em que a vazão
de entrada é nula, qe(t) = 0. A solu¸cão homogênea para este sistema
de primeira ordem é
hh(t) = C1e
−t
τ ,
com C1 = h(0) o n´ıvel inicial do tanque.
• Solu¸cão particular. Seja uma vazão de entrada constante qe(t) = η. A
solu¸cão particular é também uma constante, ou seja,
hp(t) = C2.

• Solu¸cão completa. A solu¸cão completa, que corresponde ao enchimento
do tanque, será dada por
h(t) = hh(t) + hp(t) = C1e
−t
τ + C2.
Considere como condi¸cão inicial que o tanque está vazio, h(0) = 0.
Logo,
h(0) = C1e
−0
τ + C2 = 0 ⇒ C1 = −C2 = C,
e portanto,
h(t) = C(1 − e
−t
τ ).
Substituindo este resultado na equa¸cão diferencial, determina-se que
C = γη, e consequentemente escreve-se a solu¸cão completa como
h(t) = γη(1 − e
−t
τ ).
12.2 Modelo instrumentado do sistema do tanque
O modelo desenvolvido anteriormente para o tanque precisa incorporar a
instrumenta¸cão necessária para permitir o posterior controle de n´ıvel.
Sejam alguns dados numéricos de interesse:
• área da se¸cão transversal do tanque: A = 4π m2
;
• curso máximo das válvulas: 25 mm;
• constante de restri¸cão: R = 140 s/m2
;
• máxima altura do tanque: 4 m.
Com base nestes valores, a equa¸cão diferencial do sistema é
1759˙h(t) + h(t) = 140qe(t).
Seja u(t) a posi¸cão da válvula de entrada que determina a vazão de en-
trada qe(t). Deseja-se controlar o n´ıvel do tanque através da vazão de entrada.
Um esquema do problema é mostrado na Figura 66. Verifica-se que uma
posi¸cão da válvula define uma vazão de entrada, que atuará no processo,
mudando o n´ıvel de l´ıquido, e este será medido através de um sensor. Desta,
forma fica estabelecida uma rela¸cão entre posi¸cão da válvula u(t) e a altura
h(t).
A estrutura do sensor está esquematizada na Figura 67. Dada uma altura
h(t) tem-se uma pressão p(t), que se relaciona a um valor de resistência

u(t) h(t)
atuador processo sensor
Figura 66: Rela¸cão entre deslocamento da válvula e n´ıvel do tanque.
h(t) Is(t)p(t) r(t)
primário transdutor condicionador
Figura 67: Estrutura do sensor - rela¸cão entre altura e corrente.
elétrica r(t), que por sua vez determina uma corrente de sa´ıda do sensor
Is(t).
A rela¸cão entre altura e pressão é dada por
p(t) = ρgh(t) =
1000 × 9.81
105
h(t) [bar],
onde se considerou que o l´ıquido é água.
Tendo em mente que a altura máxima do tanque é de 4m, verifica-se que
a pressão máxima a ser medida é de 0.3924 bar, valor este que permite a
escolha de um sensor adequado.
Os elementos de transdu¸cão e de condicionamento geralmente têm uma
faixa de opera¸cão até 20mA. Neste caso, calcula-se o respectivo ganho asso-
ciado, ou seja,
0.3924 bar ←→ 20mA ⇒
20mA
0.3924 bar
= 50.968,
de forma que se escreve a rela¸cão
Is(t) = 50.968p(t) = 50.968
9810
105
h(t) ⇒ Is(t) ∼= 5h(t).
A estrutura do atuador pode ser esquematizada conforme na Figura 68.
Uma válvula eletro-pneumática é adequada neste caso e transforma cor-
rente em pressão. Para uma faixa de opera¸cão de 0 até 20mA tem-se a sa´ıda
de 0 até 6 bar, caracterizando um ganho dado por
6 bar
20mA
= 0.3 bar/mA,
ou seja,
p(t) = 0.3Ie(t).

Ie(t) qe(t)p(t) u(t)
válvula conversor posi¸cão-vazão
Figura 68: Estrutura do atuador - rela¸cão entre corrente e vazão.
O conversor pressão-deslocamento está esquematizado na Figura 69. Verifica-
se, da condi¸cão de equil´ıbrio, que
p × Adiafragma = Kmola × u ⇒ u =
Adiafragma
Kmola
p,
ou em termos numéricos
u =
0.052
π
200000
p = 3.93 × 10−8
p.
Para uma pressão em bar e curso em mm escreve-se que
u(t) = 3.93p(t).
deslocamento u(t)
pressão p(t)
mola (200000N/m)
diafragma (φ100mm)
Figura 69: Esquema do conversor pressão-deslocamento.
O deslocamento da válvula está diretamente relacionado à vazão de en-
trada como ilustrado na Figura 70. O curso da válvula é de 25mm para uma

vazão de 10m3
/h. Portanto, pode-se escrever que
qe(t) =
10m3
/h
25mm
u(t) ⇒ qe(t) = 0.000111u(t),
para vazão em m3
/s e deslocamento em mm.
deslocamento u(t)
vazão qe(t)
Figura 70: Esquema da válvula deslocamento-vazão.
Conseqüentemente, é poss´ıvel relacionar a vazão de entrada à corrente,
ou seja,
qe(t) = 0.000111u(t) = 0.000111×3.93×p(t) = 0.000111×3.93×0.3×Ie(t),
qe(t) = 0.0001309Ie(t).
Com as rela¸cões desenvolvidas é poss´ıvel escrever a equa¸cão diferencial
do tanque em termos das correntes de entrada e de sa´ıda, ou seja,
τ
˙Is
5
+
Is
5
= γ × 0.0001309Ie(t),
1759
˙Is
5
+
Is
5
= 140 × 0.0001309Ie(t),
1759 ˙Is + Is = 0.09163Ie(t),
que corresponde ao modelo instrumentado do tanque. Note que as seguintes
rela¸cões são empregadas:
Is(t) ←→ h(t) e Ie(t) ←→ qe(t).

u(t)
qe1
qe1
qs2
h2
h2
h1
h1
planta 1 planta 2
qs1 = qe2
Figura 71: Esquema de dois tanques independentes.
12.3 Sistema de dois tanques independentes
Seja um sistema composto por dois tanques independentes conforme na Fi-
gura 71, cujo objetivo é controlar o n´ıvel h2.
Para o primeiro tanque é poss´ıvel escrever:
τ1
˙h1 + h1 = γ1qe1 ⇒ (τ1s + 1)H1 = γ1Qe1 ⇒ H1 =
γ1
τ1s + 1
Qe1.
Para o segundo tanque tem-se:
τ2
˙h2 + h2 = γ2qe2 ⇒ (τ2s + 1)H2 = γ2Qe2 ⇒ H2 =
γ2
τ2s + 1
Qe2.
A vazão de sa´ıda do primeiro tanque, que é a vazão de entrada do segundo
tanque, é:
qs1 =
1
R1
h1(t) = qe2 ⇒ Qe2 =
1
R
H1.
Substituindo este resultado na equa¸cão do n´ıvel do segundo tanque tem-
se:
H2 =
γ2
τ2s + 1
1
R1
H1 ,

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