Secções normais (Geodesia I, UEM-DMI-CIG, IM)

1. Curso de Licenciatura em Ciências de Informação Geográfica
Geodesia I
I. M. Matavele
Secções normais no elipsóide
Faculdade de Ciências – UEM, Campus Universitário
DMI – Sala C1/C5
Fevereiro 2019 – Junho 2019
3ª feira – 07:00-08:30, 5ª feira – 08:35-11:40 (Laboral)
3ª feira – 17:00-18:30, 5ª feira – 18:35-21:40 (Pós-Laboral)
Maputo, Av. Julius Nyerere, C.P. 254

2. Introdução
 Secções normais no elipsóide
 Secções normais reciprocas
 Ângulo formado por duas seções normais recíprocas
 Comprimento de arcos de meridiano

3. Frase Famosa
"Se sofreu uma injustiça, console-se; a verdadeira
infelicidade é cometê-la."
[ Demócrito ]

4. Secções normais no elipsóide
©Zanetti, 2007
 Por um ponto P’ sobre a superfície do elipsóide de revolução
é possível conduzir infinitos planos que contém a normal à
superfície.

5. Secções normais no elipsóide
©Zanetti, 2007
 Qualquer plano que contém a normal e portanto seja
perpendicular ao plano tangente ao elipsóide nesse ponto é
chamado de plano normal.

6. Secções normais no elipsóide
©Zanetti, 2007
 A curva resultante da interseção de um plano normal com a
superfície elipsoidal chama-se secção normal.

7. Secções normais no elipsóide
©Zanetti, 2007
 Em cada ponto existem duas secções normais principais que
são mutuamente perpendiculares, cujas curvaturas nesse
ponto são, uma máxima e uma mínima.

8. Secções normais no elipsóide
©Zanetti, 2007
 Um ponto P’ sobre a superfície de um elipsóide de revolução
possui as secções normais principais chamadas de secção
normal meridiana e secção normal primeiro vertical.

9. Secções normais recíprocas
©Zanetti, 2007
 As normais relativas a dois pontos de uma superfície esférica
convergem no centro da esfera, sendo portanto coplanares.
 O mesmo não acontece com dois pontos quaisquer da
superfície elipsoidal.

10. Secções normais recíprocas
©Zanetti, 2007
 Sejam dois pontos 𝑃1 e 𝑃2 sobre a superfície de um elipsóide
de revolução, com latitudes 𝜑1 e 𝜑2 tal que 𝜑1 < 𝜑2 e as
longitudes 𝜆1 e 𝜆2 sejam diferentes.

11. Secções normais recíprocas
©Zanetti, 2007
 As normais à superfície elipsoidal de cada ponto interceptam
o eixo Z em dois pontos diferentes 𝑛1 e 𝑛2.

12. Secções normais recíprocas
©Zanetti, 2007
 Os segmentos de reta definidos por 𝑃1𝑛1 = 𝑁1 e 𝑃2𝑛2 = 𝑁2
são as grandes normais (ou raios de curvatura da secção
primeiro vertical) dos pontos 𝑃1 e 𝑃2.

13. Secções normais recíprocas
©Zanetti, 2007
 A secção normal resultante da intersecção do plano que
contém a normal em 𝑃1 e o ponto 𝑃2, com o elipsóide de
revolução, é dita “secção normal direta” em relação a 𝑃1, ou
“secção normal recíproca” em relação em relação a 𝑃2,
indicada por uma seta no sentido de 𝑃2.

14. Secções normais recíprocas
©Zanetti, 2007
 A secção normal resultante da intersecção do plano que
contém a normal em 𝑃2 e o ponto 𝑃1, com o elipsóide de
revolução, é dita “secção normal direta” em relação a 𝑃2, ou
“secção normal recíproca” em relação em relação a 𝑃1 ,
indicada por uma seta no sentido de 𝑃1.

15. Secções normais recíprocas
©Zanetti, 2007
 Para identificar a secção normal direta de um ponto 𝑃1 para
um ponto 𝑃2 toma-se como referência o ponto que estiver
mais ao Sul. A secção direta do ponto mais ao Sul é a curva
mais ao Sul.

16. Secções normais recíprocas
©Zanetti, 2007
 Existem alguns casos particulares em que as normais se
interceptam, ou seja, são coplanares:
a) Quando os dois pontos 𝑃1 e 𝑃2 possuem a mesma latitude,
situando-se portanto no mesmo paralelo.

17. Secções normais recíprocas
©Zanetti, 2007
 Existem alguns casos particulares em que as normais se
interceptam, ou seja, são coplanares:
b) Quando os dois pontos 𝑃1 e 𝑃2 possuem a mesma longitude,
situando-se, portanto, no mesmo meridiano.

18. Ângulo formado por duas secções normais recíprocas
©Zanetti, 2007
 Dois pontos 𝑃1 e 𝑃2 com coordenadas elipsoidais diferentes
sobre a superfície de um elipsóide de revolução definem duas
secções normais recíprocas.
 O ângulo formado pelas secções normais recíprocas é obtido
pela equação:

19. Ângulo formado por duas seções normais recíprocas
©Zanetti, 2007
 Como a diferença entre os ângulos 𝜃1 e 𝜃2 formados pelas
duas seções normais recíprocas em 𝑃1 e 𝑃2, respetivamente, é
muito pequena, 𝜃1 e 𝜃2 são considerados iguais, o que não
compromete a precisão dos resultados em cálculos
geodésicos, como por exemplo, o transporte de coordenadas.