Cálculo de viga pré-moldada de ponte rolante

UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
SETOR DE ESTRUTURAS
Cálculo de uma viga
de ponte rolante
pré-fabricada protendida
CIV 457 – Concreto Protendido
Trabalho Final
Professor
Gustavo de Souza Veríssimo
Aluno
José Carlos Lopes Ribeiro
Viçosa - MG
Setembro / 2000

Trabalho Final de CIV457
Página 1
Conteúdo
1. DESCRIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL..................................................................................................3
1.1 NOME DO ELEMENTO ...........................................................................................................................................3
1.2 FUNÇÃO E RELAÇÃO COM OUTROS ELEMENTOS DO SISTEMA................................................................................3
1.3 DADOS DA SEÇÃO TRANSVERSAL E SEÇÃO LONGITUDINAL...................................................................................3
1.4 AÇÕES SOBRE O ELEMENTO..................................................................................................................................4
2. DESCRIÇÃO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO E MONTAGEM................................................................4
2.1 TIPO DE PROTENSÃO UTILIZADO ...........................................................................................................................4
2.2 POSICIONAMENTO DA ARMADURA E PRÉ-TRAÇÃO................................................................................................4
2.3 LANÇAMENTO E ADENSAMENTO DO CONCRETO...................................................................................................4
2.4 CURA DO CONCRETO............................................................................................................................................5
2.5 TRANSPORTE INTERNO À FÁBRICA........................................................................................................................5
2.6 ESTOCAGEM.........................................................................................................................................................5
2.7 TRANSPORTE EXTERNO À FÁBRICA.......................................................................................................................5
2.8 MONTAGEM E FIXAÇÃO DOS ELEMENTOS .............................................................................................................6
3. MATERIAIS..............................................................................................................................................................6
3.1 CONCRETO...........................................................................................................................................................6
3.2 AÇO DE PROTENSÃO (ARMADURA ATIVA) ............................................................................................................6
4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E MECÂNICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL ..............................7
4.1 CARACTERÍSTICAS DA SEÇÃO DE CONCRETO........................................................................................................7
4.2 CARACTERÍSTICAS DA SEÇÃO HOMOGENEIZADA (A SER ATUALIZADA APÓS O CÁLCULO DA ARMADURA).............7
5. CÁLCULO DOS ESFORÇOS E TENSÕES DE REFERÊNCIA.........................................................................8
5.1 ESFORÇOS DEVIDO AO PESO PRÓPRIO ...................................................................................................................8
5.2 ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS..............................................................................................................10
5.3 TENSÕES DEVIDO AO PESO PRÓPRIO ...................................................................................................................12
5.4 TENSÕES DEVIDO À CARGA MÓVEL: ...................................................................................................................12
6. CÁLCULO DA FORÇA DE PROTENSÃO E DA ARMADURA ATIVA........................................................13
6.1 COMBINAÇÕES QUASE PERMANENTES (ESTADO LIMITE DE DESCOMPRESSÃO)....................................................13
6.2 COMBINAÇÕES FREQÜENTES (ESTADO LIMITE DE FORMAÇÃO DE FISSURAS).......................................................13
6.3 TENSÕES NO ESTADO EM VAZIO ........................................................................................................................14
6.4 TENSÕES NO ESTADO EM SERVIÇO.....................................................................................................................14
6.5 VERIFICAÇÃO DO CONCRETO .............................................................................................................................14
6.6 CÁLCULO DA ARMADURA ATIVA .......................................................................................................................15
6.7 CÁLCULO DAS PERDAS.......................................................................................................................................15
7. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO................................................................................................................20
7.1 ESTADO LIMITE DE DESCOMPRESSÃO ................................................................................................................20
7.2 ESTADO LIMITE DE FORMAÇÃO DE FISSURAS.....................................................................................................20
7.3 ESTADO LIMITE DE COMPRESSÃO EXCESSIVA....................................................................................................20
7.4 ESTADO LIMITE DE DEFORMAÇÃO EXCESSIVA...................................................................................................21
8. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS ..........................................................................................................................22
8.1 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA OU ALONGAMENTO PLÁSTICO EXCESSIVO .............................................22
8.2 VERIFICAÇÃO SIMPLIFICADA DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO DE RUPTURA NO ATO DA PROTENSÃO......................23
8.3 ESTADO LIMITE ÚLTIMO DEVIDO A SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS......................................................................24
9. DETALHAMENTO................................................................................................................................................26
9.1 LONGITUDINAL...................................................................................................................................................26
9.2 SEÇÃO TRANSVERSAL........................................................................................................................................27
9.3 QUADRO DE FERROS ..........................................................................................................................................28
9.4 CONSUMO DE CONCRETO...................................................................................................................................28

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Cálculo de uma Viga de Ponte Rolante Pré-Fabricada Protendida
ponte rolante - capacidade 7 tf
0,0
7000
5000
4660
FIGURA 1 - Esquema do galpão
Etapas do projeto:
1. Descrição do elemento estrutural
2. Descrição do processo de fabricação e montagem
3. Materiais
4. Características geométricas e mecânicas da seção transversal
5. Cálculo de esforços e tensões de referência
6. Cálculo da força de protensão e da armadura ativa
7. Verificação de tensões nas seções mais solicitadas - Estados Limites de Utilização
8. Verificação das tensões ao longo do vão
9. Estados Limites Últimos - solicitações normais
10.Estados Limites Últimos - solicitações tangenciais
11.Especificações e detalhes construtivos

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1. DESCRIÇÃO DO ELEMENTO ESTRUTURAL
1.1 Nome do elemento
Viga pré-moldada para apoio de ponte rolante.
1.2 Função e relação com outros elementos do sistema
Serve de apoio para os trilhos de uma ponte rolante em um galpão que será utilizado como laboratório
de estruturas. A viga em questão se apoia em consolos engastados nos pilares conforme mostrado na
FIGURA 1.
1.3 Dados da seção transversal e seção longitudinal
- seção transversal:
40,0 cm
6,77,36,7 7,312,0
40,0 cm
10,0
10,0
95,0
47,5
5,0
22,5
6,0 6,0
cg
20
(a) (b)
FIGURA 2 - Seção transversal da viga.
Observações:
1. Em alguns pontos a seção transversal possui furos para fixação da ponte rolante, como mostra a
FIGURA 2a.
2. Para o cálculo do peso próprio, utiliza-se a seção transversal da FIGURA 2b e para o cálculo das
características geométricas da seção, considera-se a seção transversal da FIGURA 2a.

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15,0 m
FIGURA 3 - Seção longitudinal da viga.
1.4 Ações sobre o elemento
• carga permanente: peso próprio
• carga acidental: carga móvel da ponte rolante
A carga máxima por roda da ponte rolante considerada é de 69 kN e a distância mínima entre rodas é de
3,6 m conforme esquema abaixo:
3600 mm
69 kN 69 kN
FIGURA 4 - Trem tipo.
2. DESCRIÇÃO DO PROCESSO DE FABRICAÇÃO E MONTAGEM
2.1 Tipo de protensão utilizado
Para a produção de elementos pré-moldados em pistas de protensão utiliza-se protensão com
aderência inicial.
Será utilizada protensão limitada, uma vez que a viga está sujeita a cargas móveis; a utilização de
protensão completa levaria a situações críticas de "estado em vazio". Essa medida está em acordo
com a NBR 7197 que permite protensão limitada em ambiente pouco agressivo.
2.2 Posicionamento da armadura e pré-tração
Os fios ou cordoalhas de aço especial são posicionados (normalmente próximos à face inferior da
peça), e estirados com o auxílio de macacos hidráulicos. As peças são então concretadas
2.3 Lançamento e adensamento do concreto
O lançamento e adensamento do concreto é feito através de carros vibratórios. Pode-se utilizar
vibradores de imersão com diâmetro de 60 mm.

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2.4 Cura do concreto
Será utilizada cura a vapor à pressão atmosférica. As peças recém-concretadas são envoltas em
lonas plásticas e injeta-se vapor no interior da lona.
A cura a vapor é efetuada em 3 etapas:
1
a
.) eleva-se a temperatura a uma taxa de 25 °C/hora, até se atingir um patamar de 80 °C;
2
a
.) a temperatura é mantida constante por um período em torno de 15 horas;
3
a
.) o desaquecimento do ambiente é feito também de modo gradativo.
Com a cura a vapor e uso de cimento ARI (Alta Resistência Inicial) o concreto chega a atingir, em um
período de 24 horas, a cerca de 75% da resistência aos 28 dias de cura normal.
2.5 Transporte interno à fábrica
O transporte interno à fábrica é feito através de pontes rolantes, içando-se a peça em pontos
estratégicos de forma a não provocar esforços diferentes daqueles previstos no projeto. Como a viga
é projetada para trabalhar biapoiada, deve ser içada pelas extremidades.
situação de serviço transporte
FIGURA 5 - Transporte interno à fábrica
2.6 Estocagem
A estocagem pode ser feita utilizando-se travessas como suporte e que deverão estar posicionadas
como os apoios da peça em serviço.
FIGURA 6 - Estocagem
2.7 Transporte externo à fábrica
O transporte externo à fábrica é feito através de carretas, respeitando-se as recomendações do item
2.5 quanto ao içamento.

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2.8 Montagem e fixação dos elementos
Na montagem deve-se respeitar também as recomendações do item 2.5. As vigas devem ficar
apoiadas sobre aparelhos de neoprene sobre os consolos.
3. MATERIAIS
3.1 Concreto
⇒ Resistência à compressão aos 28 dias e aos j dias de idade
Utiliza-se concretos com fck mais elevado devido aos seguintes fatores:
• a introdução da protensão pode causar tensões prévias muito elevadas;
• redução das dimensões das peças diminuindo seu peso próprio;
• maior módulo de deformação, o que implica em menor deformação lenta, menor retração e
menores perdas de protensão.
Valor adotado: fck = 30 MPa
Na data da protensão, devido à cura a vapor e ao uso de cimento ARI, pode-se considerar que o
concreto atingiu 75% da resistência aos 28 dias de idade.
fck = 0,75 × 30 = 22,5 MPa
⇒ Resistência à tração aos 28 dias e aos j dias de idade
NBR 6118: ftk = 0,06 fck + 0,7 (em MPa), se fck > 18,0 MPa
ftk = 0,06 × 30 + 0,7 = 2,5 MPa
Na data da protensão: ftkj = 0,75 ftk
ftkj = 0,75 × 2,5 = 1,875 MPa
⇒ Módulo de deformação longitudinal
E fc ck= × +0 9 21000 35, .
E =c28 0 9 21000 300 35 345926 8= × + =, . . , kgf / cm 34.592,68 MPa2
E =cj = × + =0 9 21000 225 35 304 753 3, . . , kgf / cm 30.475,33 MPa2
3.2 Aço de protensão (armadura ativa)
⇒ tipo CP 190 RB (catálogo Belgo Mineira anexo)
fptk = 190 kN/cm2
fpyk = 171 kN/cm2
⇒ forma de apresentação e cuidados com a estocagem
As cordoalhas são fornecidas em rolos com as seguintes dimensões:
diâmetro interno = 760 mm
diâmetro externo = 1.270 mm
Estocar em área coberta, ventilada e sobre piso de cimento ou tablado de madeira; em outras
situações cobrir com lona plástica. Estocagem máxima = 2 alturas.

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4. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS E MECÂNICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL
4.1 Características da seção de concreto
área líquida: Ac = 1.994 cm2
(descontados os furos dos trilhos)
momento de inércia: I = 2.030.289 cm4
centro de gravidade: ycg = 46,40 cm (a partir da borda inferior)
4.2 Características da seção homogeneizada (a ser atualizada após o cálculo da armadura)
A rigor, a avaliação das tensões e deformações numa peça estrutural composta por dois materiais
com propriedades físicas diferentes deve ser feita a partir da compatibilização dos materiais.
Nos casos de estruturas de concreto armado ou protendido e estruturas mistas, deve-se transformar
um dos materiais em uma porção equivalente do outro. Por exemplo, no caso de vigas mistas, a mesa
de concreto é transformada numa porção fictícia equivalente de aço.
No caso de peças de concreto armado/protendido, usualmente converte-se a armadura numa
porção equivalente de concreto.
A transformação da armadura numa quantidade equivalente de concreto é feita multiplicando-se a
área de aço Ap pela relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, αe = Ep / Ec .
Como Ep, em geral, é maior que Ec , ao se multiplicar Ap × αe tem-se um aumento da seção
transversal. Se a armadura ativa é excêntrica, o baricentro da seção homogeneizada se desloca da
posição original em direção ao baricentro da armadura ativa. Isso resulta na diminuição das tensões,
uma vez que
A
N
=σ e
W
M
=σ
Conclui-se, então, que utilizar as propriedades originais da seção (sem efetuar a homogeneização) é
um procedimento conservador e aceitável, uma vez que o aumento da seção em geral é pouco
significativo. Neste caso, obtém-se tensões ou pouco maiores nos bordos da seção, o que,
eventualmente, pode levar ao dimensionamento de mais armadura e, ou, de um concreto mais
resistente.
A NBR7197 recomenda usar αe = 15 para praticamente todas as verificações dos estados limites de
utilização (não é feita nenhuma recomendação com relação aos estados limites últimos).
Supondo Ap = 4,0 cm2
Ac_liq = Ac - Ap = 1.994 - 4,0 = 1.990 cm2
Aci = Ac_liq + αp Ap = Ac + ( αp - 1 ) Ap
αp
p
c
E
E
= = =
195000 00
30 475 33
6 40
. ,
. ,
,
Neste projeto, optou-se por utilizar αe = 6,40 , a favor da segurança, em detrimento do valor αe = 15
recomendado pela NBR7197.
Aci = 1.994 + (6,40 - 1)×4,0 = 2.015,60 cm2

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Cálculo do centro de gravidade e do momento de inércia para a área homogeneizada.
CG
CGh ∆y
yp
y1 y2
y
A y A y
A A
c p p
c p
2
1
=
+
+
. .
y2
1994 46 4 4 0 5 0
1994 4 0
=
× + ×
+
. , , ,
. ,
y2 = 46,32 cm
∆y = 0,08 cm
Jh1 =J + (αp - 1) Ap . (y1 - yp)2
Jh1 = 2.030.289 + (6,4-1)×4,0×(46,4-5,0)2
Jh1 = 2.067.311 cm4
Jh =Jh1 + Aci (∆y)2
Jh = 2.067.311 + 2015,6×(0,08)2
Jh = 2.067.324 cm4
Jh1 = momento de inércia em relação a CG
Jh = momento de inércia em relação a CGh
5. CÁLCULO DOS ESFORÇOS E TENSÕES DE REFERÊNCIA
O vão da viga será dividido em 10 partes iguais e as tensões serão avaliadas em 5 seções, uma vez
que a viga é simétrica.
150
s1 s2 s3 s4 s5
300
450
600
750 cm
5.1 Esforços devido ao peso próprio
Área da seção transversal: Ac = 2259 cm2
g = 25 kN/m3
× 0,2259 m2
= 5,6475 kN/m
15,00 m
g = 5,6475 kN/m

Página 9
Reações de apoio devido ao peso próprio:
Va = Vb = 5,6475 × 15 / 2 = 42,356 kN
Momento fletor devido ao peso próprio:
Mgs1 = 42,356 × 1,5 - 5,6475(1,5)2
/ 2 = 57,181 kN.m
Mgs2 = 42,356 × 3,0 - 5,6475(3,0)2
/ 2 = 101,654 kN.m
Mgs3 = 42,356 × 4,5 - 5,6475(4,5)2
/ 2 = 133,421 kN.m
Mgs4 = 42,356 × 6,0 - 5,6475(6,0)2
/ 2 = 152,481 kN.m
Mgs5 = 42,356 × 7,5 - 5,6475(7,5)2
/ 2 = 158,834 kN.m
Força cortante devido ao peso próprio:
Vgs1 = 42,356 - 5,6475 × 1,5 = 33,885 kN
Vgs2 = 42,356 - 5,6475 × 3,0 = 25,414 kN
Vgs3 = 42,356 - 5,6475 × 4,5 = 16,942 kN
Vgs4 = 42,356 - 5,6475 × 6,0 = 8,471 kN
Vgs5 = 42,356 - 5,6475 × 7,5 = 0,0 kN
Diagramas de esforços devido ao peso próprio
s1 s2 s3 s4 s5
57,181
101,654
133,421
152,481 158,834
42,356
33,885
25,414
16,942
8,471
DMF
DEC
(kN.m)
(kN)

Página 10
5.2 Esforços devido às cargas móveis
Cargas admissíveis para apoio de ponte rolante:
3,60 m
69 kN 69 kN
Linhas de influência para os momentos:
a b
L
δ
δ =
a b
L
s1 s2 s3 s4 s5
1,35 0,99
L.I.Ms1
2,40 1,68
L.I.Ms2
3,15
2,07
L.I.Ms3
3,60
2,16
L.I.Ms4
3,75
1,95
L.I.Ms5
3,6 m
3,6 m
3,6 m
3,6 m
3,6 m

Página 11
Momento fletor devido à carga móvel:
Mqs1 = 69 (1,35+0,99) = 161,46 kN.m
Mqs2 = 69 (2,40+1,68) = 281,52 kN.m
Mqs3 = 69 (3,15+2,07) = 360,18 kN.m
Mqs4 = 69 (3,60+2,16) = 397,44 kN.m
Mqs5 = 69 (3,75+1,95) = 393,30 kN.m
Linhas de influência para os esforços cortantes:
a b
L
∆1
2∆
∆1 =
a
L
∆2 =
b
L
s1 s2 s3 s4 s5
0,90
0,66
L.I.Qs1
3,6 m
0,10
0,80
0,56
L.I.Qs2
0,20
0,70
0,46
L.I.Qs3
0,30
0,60
0,36
L.I.Qs4
0,40
0,50 0,26
L.I.Qs5
0,50

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Força Cortante devido à carga móvel:
Vqs1 = 69 (0,90+0,66) = 107,64 kN
Vqs2 = 69 (0,80+0,56) = 93,84 kN
Vqs3 = 69 (0,70+0,46) = 80,04 kN
Vqs4 = 69 (0,60+0,36) = 66,24 kN
Vqs5 = 69 (0,50+0,26) = 52,44 kN
Vq_apoio = 69 (1,00+0,76) = 121,44 kN
5.3 Tensões devido ao peso próprio
Bordo inferior (i):
W
J
yi
h
i
= = =
2 067 325
46 32
44 63137
. .
,
. , cm3
Bordo superior (s):
3
cm65,467.42
68,48
325.067.2
−=
−
==
s
h
s
y
J
W
Na seção mais solicitada:
σgi
gmax
i
M
W
= =
×
=
158 834 10
44 631 37
0 356
2
,
. ,
,
kN.cm
cm
kN / cm3
2
σgs
gmax
s
M
W
= =
×
−
= −
158 834 10
42 467 65
0 374
2
,
. ,
,
kN.cm
cm
kN / cm3
2
5.4 Tensões devido à carga móvel:
Teste para determinar a seção crítica:
Na seção S4:
Mgs4 + Mqs4 = 152,48 + 397,44 = 549,92 kN.m
Na seção S5:
Mgs5 + Mqs5 = 158,83 + 393,30 = 552,13 kN.m
seção crítica ⇒ S5
σqi
qmax
i
M
W
= =
×
=
393 30 10
44 631 37
0 881
2
,
. ,
,
kN.cm
cm
kN / cm3
2
σqs
qmax
s
M
W
= =
×
−
= −
393 30 10
42 467 65
0 926
2
,
. ,
,
kN.cm
cm
kN / cm3
2

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6. CÁLCULO DA FORÇA DE PROTENSÃO E DA ARMADURA ATIVA
Considerando que será utilizada protensão limitada com aderência inicial (pré-tração), optou-se por
tentar utilizar um cabo de protensão reto, com uma excentricidade igual à adotada na figura do item 4.2:
yp = 5 cm. Daí temos:
ep = y2 – yp = 46,32 – 5,00 ∴ ep = 41,32 cm (do eixo baricêntrico para o bordo inferior)
Cálculo das tensões devido à protensão:
114,209765,42467
32,41
60,2015
1
65,42467
32,41
60,2015
∞
∞
∞∞∞∞
=





+
−
⋅=
⋅
+
−
=
⋅
+=
P
P
PP
Ws
epP
Aci
P
psσ
266,70337,44631
32,41
60,2015
1
37,44631
32,41
60,2015
∞
∞
∞∞∞∞
−=





−
−
⋅=
⋅
−
−
=
⋅
+=
P
P
PP
Wi
epP
Aci
P
piσ
6.1 Combinações quase permanentes (estado limite de descompressão)
ctMqpg σσψσσ ≤⋅++ 2 (a carga da ponte não é quase permanente)
0≤+ pg σσ
gp σσ −≤
0,356
-0,374
(g) (p)
2097,114
P∞
703,266
- P∞
+ = (g+p)
0,0
0,0
• kNP
P
36,205356,0
266,703
≥∴−≤− ∞
∞
(p/ não haver tensões de tração no bordo inferior)
• kNP
P
32,784374,0
114,2097
≤∴≤ ∞
∞
(p/ não haver tensões de tração no bordo superior)
6.2 Combinações freqüentes (estado limite de formação de fissuras)
ctkqpg f⋅≤⋅++ 2,11 σψσσ
25,02,16,0 ⋅≤⋅++ qpg σσσ
+0,356
-0,374
(g) (p)
2097,114
P∞
703,266
- P∞
+ = (1,2 fctk)
+0,3000,6 . 0,881
-0,6 . 0,926
(0,6 g)+

Página 14
• kNP
P
13,411300,0881,06,0356,0
266,703
≥∴+⋅−−≤− ∞
∞
• kNP
P
34,1320300,0926,06,0374,0
114,2097
≤∴−⋅+≤ ∞
∞
Assim, adotou-se o valor de P∞∞∞∞ = 411, 13 kN.
As tensões introduzidas no concreto por uma força de protensão de 411,13 kN são:
2
/196,0
114,2097
13,411
114,2097
cmkN
P
ps +=== ∞
σ
2
/585,0
266,703
13,411
266,703
cmkN
P
pi −=−=−= ∞
σ
6.3 Tensões no Estado em Vazio
0,356
-0,374
(g) (p)+ = (vazio)
-0,178
-0,229
+0,196
-0,585
6.4 Tensões no Estado em Serviço
+0,356
-0,374
(g) (p)+ = (serviço)
+0,3000,6 . 0,881
-0,6 . 0,926
(0,6 g)+
+0,196
-0,585
-0,734
6.5 Verificação do Concreto
No instante da protensão (tempo = j dias), a viga estará no estado em vazio, sendo que as maiores
tensões de compressão e tração ocorrerão no apoio (devido somente à protensão). Daí:
22
/225,02,1/196,0 cmkNfcmkN jctkct +=⋅≤+=σ → Ok!
22
/575,125,27,07,0/585,0 cmkNfcmkN jckcc −=⋅−=⋅≥−=σ → Ok!
No estado em serviço (tempo = 28 dias), as tensões geradas na viga são dadas por:
2
28
2
/300,02,1/300,0 cmkNfcmkN ctkct +=⋅≤+=σ → Ok!
2
28
2
/100,200,37,07,0/734,0 cmkNfcmkN ckcc −=⋅−=⋅≥−=σ → Ok!

Página 15
6.6 Cálculo da Armadura Ativa
Com P∞ = 411,13 kN, para pré-tração com aço RB e admitindo-se 20% de perdas, temos:
•




=⋅=⋅
=⋅=⋅
≤
!2
2
/90,15317190,090,0
/90,15319081,081,0
cmkNf
cmkNf
pyk
ptk
piσ
• kN
perdas
P
Pi 91,513
20,01
13,411
1
=
−
=
−
= ∞
•
2
339,3
90,153
91,513
cm
Pi
A
pi
p ===
σ
Designação Bitola (mm) Área (cm²) n n x Apefet Folga (%)
CP 190 RB 9,5 9.5 0.548 7 3.836 14.88
CP 190 RB 11 11 0.742 5 3.710 11.11
CP 190 RB 12,7 12.7 0.987 4 3.948 18.24
CP 190 RB 15,2 15.2 1.400 3 4.200 25.79
Adotou-se 5 φ 11,0 → Apefet = 3,710 cm²
• kNAPi pip 97,57090,153710,3 =⋅=⋅= σ
• 28,0
97,570
13,411
11 =−=−= ∞
Pi
P
Folga → Folga = 28 %
6.7 Cálculo das Perdas
6.7.1 Perdas por Acomodação da Ancoragem
Considerando-se que numa pista de protensão com o sistema de pré-tração é mais econômico e
prático protender e ancorar só de um lado, tem-se:
δ = 6 mm
L = 15,0 m + 2 * 1,0 m (1m de folga em cada extremidade da viga para facilitar o manuseio das formas)
L = 17,0 m
2
/882,6
0,17
006,0
19500 cmkN
L
Ep
LEp
p
p
cp =⋅=⋅=∆→=
∆
→=
δ
σ
δσ
εε
0447,0
90,153
882,6
==
∆
pi
p
σ
σ
∴∴∴∴ Perdas = 4,47 %
6.7.2 Perdas por Deformação Imediata do Concreto
( ) ( ) kNPerdasPP io 94,4900447,0191,5131 =−⋅=−⋅=
2
22
/154,4
2067324
32,4194,490
6,2015
94,490
4,6 cmkN
J
eP
Aci
P
h
poo
ep =




 ⋅
−−⋅=







 ⋅
−−⋅=∆ ασ
027,0
90,153
154,4
==
∆
pi
p
σ
σ
∴∴∴∴ Perdas = 2,70 %

Página 16
6.7.3 Perdas por Atrito
No sistema de protensão na qual se utiliza pré-tração com cabos retilíneos, não se tem perdas de
protensão por atrito.
Total das perdas imediatas: 4,47 + 2,70 = 7,17 %
( ) ( ) kNPerdasPP io 06,4770717,0191,5131 =−⋅=−⋅=
6.7.4 Perdas por Retração do Concreto
Dados Adotados:
- umidade relativa do ar: U = 60 %
- temperatura média anual: T = 22
o
C
- abatimento do tronco de cone: slump = 8 cm
- tempo inicial: to = 7 dias
- tempo final: tf = 3000 dias (aproximadamente 8 anos)
- perímetro em contato com o ar: uar = 304,14 cm
- área da seção transversal: A = 1994,0 cm²
- retração → α = 1
•
44
2
4
2
1 1001982,410
1590
60
484
60
16,610
1590484
16,6 −−−
⋅−=⋅





+−=⋅





+−−=
UU
sε
• Para U ≤ 90% →
( ) ( )
165,111 601,08,71,08,7
=+=+= ⋅+−⋅+−
ee U
γ
• mcm
u
Ac
h
ar
fic 15276,0276,15
14,304
19942
165,1
2
==
⋅
⋅=
⋅
⋅= γ
• 951,0
15276,0321,0
15276,0233,0
321,0
233,0
2 =
⋅+
⋅+
=
⋅+
⋅+
=
fic
fic
s
h
h
ε
•
44
21 108228,3951,01001982,4 −−
∞ ⋅−=⋅⋅−=⋅= sscs εεε
692,88,03958488169
353,828,649658575
365,397,408,85,2
640,228,4220282116
)15276,0(40
234
23
3
23
=+⋅−⋅+⋅+⋅−=
=−⋅+⋅+⋅−=
=+⋅−⋅=
=−⋅+⋅−⋅=
===
hhhhE
hhhD
hhC
hhhB
mhhA fic
Idade Fictícia do Concreto:
• diast
T
t ofico 467,77
30
1022
1
30
10
=⋅
+
⋅=⋅
+
⋅= α
• diast
T
t fficf 32003000
30
1022
1
30
10
=⋅
+
⋅=⋅
+
⋅= α
Sendo:

Página 17
( )
E
t
D
t
C
t
t
B
t
A
t
ts
+





⋅+





⋅+











⋅+





⋅+





=
100100100
100100100
23
23
β
temos:
• ( ) 127,0
692,8
100
467,7
353,82
100
467,7
365,39
100
467,7
100
467,7
640,22
100
467,7
40
100
467,7
23
23
=
+





⋅+





⋅+











+





⋅+





=ficos tβ
• ( ) 983,0
692,8
100
3200
353,82
100
3200
365,39
100
3200
100
3200
640,22
100
3200
40
100
3200
23
23
=
+





⋅+





⋅+











+





⋅+





=ficfs tβ
A deformação do concreto pela retração é dada por:
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 44
0 10272,3127,0983,0108228,3, −−
∞ ⋅−=−⋅⋅−=−⋅= tttt sscsocs ββεε
Daí:
• ( ) 24
/381,610272,319500, cmkNttEp ocsps =⋅⋅=⋅−=∆ −
εσ
• 0415,0
90,153
381,6
==
∆
pi
p
σ
σ
∴∴∴∴ Perdas = 4,15 %
6.7.5 Perdas devido à Fluência do Concreto
Dados Adotados:
- fluência com cimento ARI → α = 3
Idade Fictícia do Concreto:
• diast
T
t ofico 4,227
30
1022
3
30
10
=⋅
+
⋅=⋅
+
⋅= α
• diast
T
t fficf 96003000
30
1022
3
30
10
=⋅
+
⋅=⋅
+
⋅= α
•
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
2845,0
614,22404,229
424,224,229
18,0
61409
429
18,0 =





+⋅+⋅
+⋅⋅
−⋅=





+⋅+⋅
+⋅⋅
−⋅=
oo
oo
a
tt
tt
φ
• Para U ≤ 90% → 35,260035,045,4035,045,41 =⋅−=⋅−= Ucφ
• 624,1
15276,020,0
15276,042,0
20,0
42,0
2 =
+
+
=
+
+
=
fic
fic
c
h
h
φ
• 8164,3624,135,221 =⋅=⋅=∞ ccf φφφ
• 4,0=∞dφ

Página 18
• 9948,0
704,229600
204,229600
70
20
=
+−
+−
=
+−
+−
=
o
o
d
tt
tt
β
234,6612193135343319167579
099,349183109013200
357,4022332343060768
)15276,0(805,19411358835042
23
23
23
23
=+⋅+⋅−⋅=
=+⋅+⋅+⋅−=
=−⋅+⋅−⋅=
===+⋅+⋅−⋅=
hhhD
hhhC
hhhB
mhhhhhA fic
Sendo: ( )
DtCt
BtAt
tf
+⋅+
+⋅+
= 2
2
β
temos:
• ( ) 3527,0
234,66124,22099,3494,22
357,4024,22805,1944,22
2
2
=
+⋅+
+⋅+
=ficof tβ
• ( ) 9844,0
234,66129600099,3499600
357,4029600805,1949600
2
2
=
+⋅+
+⋅+
=ficff tβ
O coeficiente de fluência é dado por:
• ( ) ( ) ( )( ) ddofffao tttt βφββφφφ ⋅+−⋅+= ∞∞,
( ) ( ) 9948,04,03527,09844,08164,32845,0, ⋅+−⋅+=ottφ
( ) 093,3, =ottφ
Na altura correspondente aos cabos:
2
22
/631,0
2067324
32,4106,477
6,2015
06,477
cmkN
J
eP
Aci
P
h
poo
cPo =
⋅
−−=
⋅
−−=σ
2
/588,128
710,3
06,477
cmkN
Ap
Po
Po ===σ
2
2
/317,032,41
2067325
10834,158
cmkNe
J
M
p
h
g
cg =⋅
⋅
=⋅=σ
( ) ( ) 2
/756,6
2
093,3
1
588,128
631,0
4,61
631,0317,0093,34,6
2
11
cmkN
Po
cPo
cPocg
P −=






+⋅⋅−
−⋅⋅
=






+⋅⋅−
−⋅⋅
=∆
φ
σ
σ
α
σσφα
σ φ
0439,0
90,153
756,6
==
∆
pi
p
σ
σ φ
∴∴∴∴ Perdas = 4,39 %

Página 19
6.7.6 Perdas por Relaxação do Aço de Protensão
tempo inicial: to = 7 dias
tempo final: tf = 3000 dias
Aço de baixa relaxação: RB
%6,381,0
00,190
90,153
1000 =→== ψ
σ
ptk
pi
f
( ) ( ) 06835,0
1000
2473000
036,0
1000
,
15,015,0
0
10000 =




 ⋅−
⋅=




 −
⋅=
tt
tt ψψ
( ) ( ) 2
00Pr /519,1090,15306835,0,, cmkNtttt Pii =⋅=⋅=∆ σψσ
2,
PrPr /621,9
90,153
756,6381,6
1519,101 cmkN
Pi
sP
i =




 +
−⋅=




 ∆
−⋅∆=∆
+
σ
σ
σσ
φ
0625,0
90,153
621,9
==
∆
pi
pr
σ
σ
∴∴∴∴ Perdas = 6,25 %
6.7.7 Total de Perdas
Tipo de Perda Valor (%)
Ancoragem 4,47
Atrito dos Cabos 0,00
Deformação Imediata do Concreto 2,70
Retração do Concreto 4,15
Fluência do Concreto 4,39
Relaxação do Aço 6,25
Total de Perdas 21,96 %
A folga dada inicialmente, depois do ajuste das armaduras para 5φ11,0 mm foi de 28 %. Devido à
grande diferença (6,04 %), tentou-se recalcular as perdas através da adoção de uma folga menor, por volta
de 18 % (entre 19 e 28% de folga, sempre teremos 5φ11,0 mm como sendo a armadura mais econômica),
obtendo-se:
Perdas admitidas = 18%
Po = 501,38 kN
As = 3,258 cm
2
→ 6φ9,5 mm (Asefet = 3,288 cm
2
)
Folga obtida pelo ajuste das armaduras = 18,8 %
Novas perdas:
Tipo de Perda Valor (%)
Ancoragem 4,47
Atrito dos Cabos 0,00
Deformação Imediata do Concreto 2,63
Retração do Concreto 4,15
Fluência do Concreto 4,14
Relaxação do Aço 6,27
Total de Perdas 21,66 %
Como as perdas são maiores que a folga obtida, ao adotar-se esta solução não se terá no tempo
infinito a força de protensão necessária P∞. Daí, optou-se por manter a consideração inicial de 5φ11,0 mm,
com um total de perdas de 21,96 %.
( ) ( ) kNperdasPP i 58,4452196,0197,5701 =−⋅=−⋅=∞

Página 20
7. ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇÃO
Será feita uma reavaliação das tensões nas seções críticas da viga com relação aos estados
limites de utilização, tendo em vista a nova força de protensão calculada segundo as perdas já
verificadas.
2
/212,0
65,42467
32,4158,445
60,2015
58,445
cmkN
Ws
epP
Aci
P
ps +=
⋅
+
−
=
⋅
+= ∞∞
σ
2
/634,0
37,44631
32,4158,445
60,2015
58,445
cmkN
Wi
epP
Aci
P
pi −=
⋅
−
−
=
⋅
+= ∞∞
σ
7.1 Estado Limite de Descompressão
ctMqpg σσψσσ ≤⋅++ 2 (a carga da ponte não é quase permanente)
0≤+ pg σσ
0,356
-0,374
(g) (p)+ = (g+p)
-0,162
-0,278-0,634
+0,212
→→→→ Ok!
7.2 Estado Limite de Formação de Fissuras
ctkqpg f⋅≤⋅++ 2,11 σψσσ
2
/300,025,02,16,0 cmkNqpg +=⋅≤⋅++ σσσ
+0,356
-0,374
(g) (p)+ = (g+p+0,6q)
+0,2510,6 . 0,881
-0,6 . 0,926
(0,6 q)+
+0,212
-0,634
-0,718
→→→→ Ok!
7.3 Estado Limite de Compressão Excessiva
Este estado limite deve ser verificado na idade da protensão, e neste caso, na seção do apoio (onde
não haverá tensões devido ao peso próprio, pois não haverá momento fletor), sendo portanto a
tensão de compressão inserida na seção devido à força de protensão a maior possível.
• ( ) ( ) kNPerdasPiPa AtritoAncoragem 45,5450447,0197,5701 =−⋅=−⋅= +
•
2
/801,0
65,42467
32,4145,545
60,2015
45,545
cmkN
Ws
epP
Aci
P aa
cp −=
⋅
−
−
=
⋅
+=σ
•
22
/575,125,27,07,0/801,0 cmkNfcmkN jckcp −=⋅−=⋅≥−=σ →→→→ Ok!

Página 21
7.4 Estado Limite de Deformação Excessiva
7.4.1 Peso Próprio
g = 5,6475 kN/m (item 5.1)
cm
JE
Lg
h
g 521,0
206732427,3459
1500056475,0
384
5
384
5 44
=
⋅
⋅
⋅=
⋅
⋅
⋅=δ
7.4.2 Carga Acidental
q = 69 kN (ponte rolante)
a = 570 cm a = 570 cmb= 360 cm
q = 69 kN q = 69 kN
( ) ( ) cmaL
JE
aq
h
q 249,1570415003
206732427,345924
57069
43
24
2222
=⋅−⋅⋅
⋅⋅
⋅
=⋅−⋅⋅
⋅⋅
⋅
=δ
7.4.3 Protensão
ep = 41,32 cm
P∞ = 445,58 kN
mkNePM pP ⋅=⋅=⋅= ∞∞ 11,1844132,058,445
mkNp
Lp
M P /5463,6
0,15
11,1848
8 2
2
=
⋅
=→
⋅
=∞
cm
JE
Lp
h
p 603,0
206732427,3459
1500065463,0
384
5
384
5 44
=
⋅
⋅
⋅=
⋅
⋅
⋅=δ
7.4.4 Flecha Total
( ) 093,3, =ottφ
( ) ( )∑∑ ⋅+⋅+= qigi δψδφδ 1
( ) ( ) cm164,0249,14,0603,0521,0093,31 =⋅+−⋅+=δ
cm
L
LIM 500
300
1500
300
===δ
Como δ < δLIM então a viga não apresentará deformações excessivas.
→→→→ Ok!

Página 22
8. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
8.1 Estado Limite Último de Ruptura ou Alongamento Plástico Excessivo
Dados:
Ap = 3,710 cm
2
(5 φ 11,0 mm)
P∞ = 445,58 kN
8.1.1 Pré Alongamento
kNPPd p 58,44558,4450,1 =⋅=⋅= ∞γ
( ) 2
22
/589,0
2067324
32,4158,445
60,2015
58,445
cmkN
J
ePd
Aci
Pd
h
p
cPd =
⋅
+=
⋅
+=σ
kNApPdPn cPd 57,459589,0710,340,658,445 =⋅⋅+=⋅⋅+= σα
%635,0
19500710,3
57,459
=
⋅
=
⋅
=
EpAp
Pn
Pnε
8.1.2 Momento Fletor de Cálculo
Sendo a seção 5 a seção crítica, temos:
cmkNmkNMMMd qqgg ⋅=⋅=⋅+⋅=⋅+⋅= 8123232,81230,3935,1834,1584,1γγ
8.1.3 Cálculo da Armadura
Supondo que a linha neutra (componente y = 0,8 . x) está cortando a mesa logo abaixo dos furos
feitos para fixação dos trilhos (y entre 20,0 cm e 22,5 cm), temos:
( ) ( )20402062/203,1207,62 −⋅+⋅+⋅+⋅⋅= yAcc
266322668,04026640 −⋅=−⋅⋅=−⋅= xxyAcc
zRccMd ⋅=
( )xdAccMd cd ⋅−⋅⋅= 4,0σ
( ) ( )xxMd ⋅−−⋅⋅⋅−⋅= 4,03954,1/0,385,026632
( ) ( )xxMd ⋅−⋅−⋅= 4,0925,4842857,58
2
3143,230844,55564457481232 xx ⋅−⋅+−=
01258060844,55563143,23 2
=+⋅−⋅ xx ∴ cmx 34,25=
cmy 27,20= (entre 20 e 22,5 conforme a proposição inicial → Ok)
0,35%
x = 25,34 cm
pε
sε
90 cm
92 cm
34,259034,25
35,0
−
=
pε
→ %893,0=pε
%528,1893,0635,0 =+=pTε
34,259234,25
35,0
−
= sε
→ %921,0=sε
(Valor de εs está muito alto, próximo do limite de 1%, mas
contudo, está dentro do domínio III. A seção está
superdimensionada: uma pequena faixa de concreto resiste
à compressão oriunda do momento fletor).

Página 23
Segundo a tabela 2.1 da apostila “Estados Limites Últimos”, para εp = 1,528 %, temos:
εεεεp (%) σσσσp (kN/cm²)
1,5 157,00
1,528 157,28
1,6 158,00
2
/77,136
15,1
28,157
cmkN
s
p
pd ===
γ
σ
σ
kNAR ppdpt 42,507710,377,136 =⋅=⋅= σ
( ) kNfAR cdcccc 46,9924,1/0,385,026634,253285,0 =⋅⋅−⋅=⋅⋅=
Como Rcc > Rpt, a seção não está em equilíbrio. O equilíbrio será assegurado pela inserção da
componente devido à armadura passiva:
kNRRR ptccst 04,48542,50746,992 =−=−=
2
156,11
15,1/0,50
04,485
cm
f
R
A
yd
st
s ===
2
, 710,195120015,0%15,0 cmhbwA MINs =⋅⋅=⋅⋅=
Será utilizado As = 11,156 cm².
Bitola (mm) Área (cm²) n Asefet (cm²) Folga (%)
6.3 0.312 36 11.222 0.59
8 0.503 23 11.561 3.50
10 0.785 15 11.781 5.30
12.5 1.227 10 12.272 9.09
16 2.011 6 12.064 7.52
20 3.142 4 12.566 11.22
Adotou-se 6 φ 16,0 mm → Asefet = 12,064 cm²
(por motivos construtivos)
8.2 Verificação Simplificada do Estado Limite Último de Ruptura no Ato da Protensão
Segundo o item 2.2.9.1 da apostila “Estados Limites Últimos”, como:
• a tensão máxima de compressão na seção de concreto calculada em regime elástico linear não
ultrapassou 70% da resistência característica fckj prevista para a idade de aplicação da protensão
(item 7.3);
• a tensão máxima de tração no concreto nas seções transversais não ultrapassou 1,2 vezes a
resistência à tração correspondente ao valor fckj especificado (item 7.2); e
• há presença de armaduras de tração nas seções transversais onde ocorre tração no concreto,
calculada inclusive para um esforço muito maior (combinações normais últimas).
conclui-se que a segurança em relação ao estado limite último de ruptura no ato da protensão está
garantida.

Página 24
8.3 Estado Limite Último Devido a Solicitações Tangenciais
Dados:
Comprimento da viga = 15,0 m
Protensão limitada – pré-tração
Cabos retos com excentricidade de ep = 41,32 cm
mkNePM pP ⋅=⋅=⋅= ∞∞ 11,1844132,058,445
Por ser uma viga longa, os esforços cisalhantes serão avaliados dividindo-se a mesma em 3
trechos, visando economia de armadura transversal, segundo o quadro abaixo:
Trechos (cm) Mg Mq Mp Vg Vq
1 ( 0 < x < 300) 0 0 -184,11 42,356 121,44
2 (300 < x < 750) 101,654 281,52 -184,11 25,414 93,84
8.3.1 Tensão Última do Concreto
Considerando que a armadura transversal estará a 90
o
, temos:


 =⋅=⋅
≤
MPa
MPafcd
wu
5,4
43,64,1/3030,030,0
τ ∴
2
/45,0 cmkNwu =τ
8.3.2 Trecho 1 (0 < x < 300 cm)
( ) ( ) kNVVVd qg 46,24144,1215,1356,424,15,14,1 =⋅+⋅=⋅+⋅=
( ) ( ) ( ) cmkNMMMMd qpg ⋅−=⋅+−⋅+⋅=⋅+⋅+⋅= 184110,05,111,1840,10,04,15,10,14,1
2
/219,0
9212
46,241
cmkN
db
Vd
w
wd =
⋅
=
⋅
=τ
Como wuwd ττ < , então o concreto da alma resiste às tensões cisalhantes !
( ) pp
i
qgfp eP
Aci
W
NPM ⋅⋅+⋅⋅+⋅= ∞+∞ γγγ0
( ) cmkNM ⋅=⋅⋅+⋅+⋅= 2545032,4158,4459,0
60,2015
37,44631
058,4459,00
30,03,0357,0
18411
25450
115,0115,0 1
max
0
1 =→>=





+⋅=





+⋅= ψψ
dM
M
2
1 /164,0643,13030,0 cmkNMPafckc ==⋅=⋅=ψτ
35,0
219,015,1
164,0219,015,1
15,1
15,1
=
⋅
−⋅
=
⋅
−⋅
=
wd
cwd
τ
ττ
η
02025,0
15,1/6092
46,24135,015,115,1
90
90
=
⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅⋅
=
yd
s
fd
Vd
s
A η
mcm
s
A
A s
sw /025,202025,0100100 2
90
90
=⋅=⋅=
mcmbA wMINs /68,11214,014,0 2
=⋅=⋅=
mcmAAA swMINssw /025,2 2
=⇒>

Página 25
Bitola (mm) Área (cm²) 2p nestribos Asefet (cm²) Folga (%) s (cm) Qtde
4.0 0.251 9 2.259 10.36 11.0 28
5.0 0.393 6 2.358 14.12 16.5 19
6.3 0.623 4 2.492 18.74 25.0 12
8.0 1.005 3 3.015 32.84 33.0 10
10.0 1.571 2 3.142 35.55 50.0 6
Adotou-se 12 φ 6,3 c. 25 cm
8.3.3 Trecho 2 (300 cm < x < 750 cm)
( ) ( ) kNVVVd qg 34,17684,935,1414,254,15,14,1 =⋅+⋅=⋅+⋅=
qpg MMMMd ⋅+⋅+⋅= 5,10,14,1
( ) ( ) ( ) cmkNMd ⋅=⋅+−⋅+⋅= 3804952,2815,111,1840,1654,1014,1
2
/160,0
9212
34,176
cmkN
db
Vd
w
wd =
⋅
=
⋅
=τ
Como wuwd ττ < , então o concreto da alma resiste às tensões cisalhantes !
( ) pp
i
qgfp eP
Aci
W
NPM ⋅⋅+⋅⋅+⋅= ∞+∞ γγγ0
( ) cmkNM ⋅=⋅⋅+⋅+⋅= 2545032,4158,4459,0
60,2015
37,44631
058,4459,00
25,03,0250,0
38049
25450
115,0115,0 1
max
0
1 =→<=





+⋅=





+⋅= ψψ
dM
M
2
1 /137,0369,13025,0 cmkNMPafckc ==⋅=⋅=ψτ
26,0
160,015,1
137,0160,015,1
15,1
15,1
=
⋅
−⋅
=
⋅
−⋅
=
wd
cwd
τ
ττ
η
0110,0
15,1/6092
34,17626,015,115,1
90
90
=
⋅
⋅⋅
=
⋅
⋅⋅
=
yd
s
fd
Vd
s
A η
mcm
s
A
A s
sw /100,10110,0100100 2
90
90
=⋅=⋅=
mcmbA wMINs /68,11214,014,0 2
=⋅=⋅=
mcmAAA MINsMINssw /680,1 2
=⇒<
Bitola (mm) Área (cm²) 2p nestribos Asefet (cm²) Folga (%) s (cm) Qtde
4.0 0.251 7 1.757 4.38 14.0 33
5.0 0.393 5 1.965 14.50 20.0 23
6.3 0.623 3 1.869 10.11 33.0 14
8.0 1.005 2 2.010 16.42 50.0 9
10.0 1.571 2 3.142 46.53 50.0 9
Adotou-se 14 φ 6,3 c. 33 cm

Página 26
9. DETALHAMENTO
9.1 Longitudinal

Página 27
9.2 Seção Transversal

Página 28
9.3 Quadro de Ferros
φφφφ Comprimento
Aço N
(mm)
Qtde
Unit (m) Total (m)
CA60B 1 6.3 52 1.12 58.24
CA60B 2 6.3 52 2.02 105.04
CA60B 3 6.3 52 0.96 49.92
CP190RB 4 11.0 5 15.00 75.00
CA50A 5 16.0 6 15.00 90.00
CA50A 6 8.0 4 15.00 60.00
Resumo de Aço
φφφφ Área Comp Peso
Aço
(mm) (cm²) (m) (kgf)
CA60B 6.3 0.312 213.20 52.2
CP190RB 11 0.742 75.00 43.7
CA50A 8 0.503 60.00 23.7
CA50A 16 2.011 90.00 142.1
Peso Total = 261.6 kgf
Peso Total + 10% = 287.7 kgf
Peso total de aço = 287,7 kgf
9.4 Consumo de Concreto
V = Ac . L = 1994,0 cm² x 15,0 m = 0,1994 x 15,0 m³ ≅ 3,00 m³
Volume de Concreto = 3,00 m³

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