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Dinâmica
Professora Adelaide Jesus
Unidade de Aprendizagem 4
Física I

Física I Dinâmica UA 4
Tópicos
Prof. Adelaide Jesus - FCTUNL Pág. 2 de 34
Unidade de Aprendizagem
Índice de Tópicos:
Conversão do Momento Linear
Interacções Fundamentais
Leis de Newton
Índice
Forças de Ligação
Forças de Atrito
Peso
Equivalência dos Referenciais de Inércia
Movimento Relativo
Movimento Relativo de Rotação
Terra como Referencial não-inercial

Tópicos
Leis de Newton
Leis de Newton
1ª Lei – Uma partícula (livre) tem,
relativamente a um referencial de
inércia, um movimento uniforme.
2ª Lei – Para um referencial de
inércia,a resultante das forças
aplicadas numa partícula é igual à
taxa de variação no tempo do seu
momento linear.
3ª Lei – A força que a partícula 1
exerce sobre a partícula 2 é igual
em valor e de sentido oposto à
que a partícula 2 exerce sobre a
partícula 1.
Conservação do
momento linear
dt
p
d
F
linear
momento
p





a
m
dt
v
d
m
F





m – massa constante
1ª Lei Define referenciais de inércia
2ª Lei Define força
3ª Lei Acção - Reacção

Tópicos
Conservação do momento linear
O conjunto das três leis corresponde ao princípio de conservação
do momento linear aplicado a uma partícula ou um sistema de
duas partículas.
21
12
F
F




dt
p
d
dt
p
d 2
1



 0
2
1 

dt
p
d
dt
p
d


0
)
( 2
1

 p
p
dt
d 
 te
C
p
p
p






 2
1
1 2
12
F

21
F

3ª Lei
Conservação do Momento Linear

Tópicos
Interacções Fundamentais
• Gravitacional (massa gravitacional)
• Electromagnética (carga)
• Forte (estabilidade nuclear e dos nucleões)
• Fraca (protãoneutrão e neutrão protão;
radioactividade)
12
2
12
2
1
12 r
e
r
m
m
G
F




12
2
12
2
1
12 r
e
r
q
q
k
F



Cargas em
repouso
Força gravitacional que a partícula de massa
gravitacional 1 exerce sobre outra de massa
gravitacional 2, quando se encontram à distância
r12. O versor tem a direcção da linha que passa
pelas duas partículas e o sentido de 1 para 2.
Como as massas são positivas esta força tem
sempre o sentido oposto ao versor, sendo portanto
uma força atractiva.
G é a constante gravitacional.
A força entre duas partículas carregadas em
repouso tem uma expressão semelhante à
gravitacional, mas como as cargas podem ser
positivas ou negativas a força pode ser repulsiva
ou atractiva.

Tópicos
Peso
Chamamos peso à força
gravitacional exercida pela
Terra sobre objectos à sua
superfície.
Peso

Tópicos
Peso
Como todos os objectos sujeitos a
esta força têm a mesma
aceleração, a razão das massas
de inércia entre dois objectos é
igual à razão entre as suas
massas gravitacionais, pelo que
com uma escolha apropriada de
unidades e padrões podemos dizer
que a massa de inércia e a massa
gravitacional de um dado objecto
são iguais.
r
e
R
M
m
G
P
T
T


2
1
1


g
m
P


1
1
'

r
e
R
M
m
G
P
T
T


2
2
2


g
m
P


2
2
'

2
1
2
1
'
'
m
m
m
m
 '
m
m
r
e
R
M
G
g
T
T


2


Peso

Tópicos
P

N

0

P
N


Normal ou Reacção normal
P

T

0

P
T


Tensão
A segunda lei de Newton implica a existência das forças de ligação.

Tópicos
Exercício
q
P

T

Pn
Pt
l
m
m = 3,0 kg
q = 30°
l = 40 cm
at = ?
at max = ?
a
m
F



Ft = mat
Fn = man
Pt= mat
T- Pn = man
Psenq = mat
T- Pcosq = man
mat = mgsenq
at = gsenq
at = 9,8 0,5 = 4,9 m/s2
at max = g q = 90°

Tópicos
Forças de Atrito
F

a
F

Fae
2
1
1 2 Fae
F

a
F
 N

Forças de Atrito
Se fizermos aumentar
continuamente o valor da
força aplicada F, a força de
atrito vai aumentando
também, igualando-se a F,
até que esta atinja o valor
máximo da força de atrito,
ou seja o valor da força de
atrito estático, Fae.

Tópicos
Forças de Atrito
Para iniciar o movimento F=Fae
F= Fac
Para manter o movimento a
velocidade constante
N
F e
ae 
 N
F c
ac 

e
c 
 
ae
F

ac
F

FORÇA DE ATRITO ESTÁTICO
FORÇA DE ATRITO CINÉTICO
N
Fae


 N
Fac



Forças de Atrito

Tópicos
Origem da força de atrito? Forças intermoleculares superficiais
Não deveria depender da Depende da área de contacto real
da área de contacto?
Forças de Atrito

Tópicos
N

N
 N

Atrito a favor do
movimento ??? FUTURO
Forças de Atrito
Numa superfície real
(imagem de microscópio
de nível atómico no
canto esquerdo) quanto
maior for a compressão
(igual em valor a N)
maior o contacto entre
superfícies.

Tópicos
Exercício
m = 200kg
me = 0,08
mc = 0,05.
t = 0 
F (Newton) t (segundo)
Em que instante é que o bloco inicia o seu movimento?
Calcule a aceleração do bloco em função do tempo.
Qual a distância percorrida até ao instante t= 10 s?
Faça g = 10 m/s2
F

P

N

a
F

x
e
t
F


200

Forças de Atrito

Tópicos
Exercício (resolução)
No arranque:
N-P = 0
F-Fae = 0
F = emg
200 t = 0,08200 10
t = 0,8 s
No movimento:
N-P = 0
F-Fac = ma
F – cmg = ma
200 t - 0,05200 10 = 200 a
a = t – 0,5 para t  0,8s
a = 0 para t < 0,8s
Forças de Atrito

Tópicos


 t
t
dt
a
v
v
0
0


 t
t
dt
v
x
x
0
0
t = t0
v0 = 0
x0 = 0
t’ = t - 0,8
t = 10  t’ = 9,2 s
a = t – 0,5 para t  0,8s
a = 0 para t < 0,8s
'
3
,
0
2
'
'
3
,
0
'
'
'
2
'
0
'
0
'
0
t
t
v
dt
dt
t
dt
a
v t
t
t



 



a = t’ + 0,3 para t’  0
2
3
2
'
15
,
0
6
'
'
'
3
,
0
'
'
2
1
' '
0
'
0
'
0
t
t
x
dt
t
dt
t
dt
v
x t
t
t




 


x(t’ = 9,2 s) = 142,5 m
Exercício (resolução)
Forças de Atrito

Tópicos
Forças de Atrito
Sólido Transferência de momento linear Fluido
Força resistente ao movimento
Baixa velocidade Regime laminar
(Movimento do fluido em camadas
caracterizado pela viscosidade h)
h depende da temperatura e em geral também da velocidade; para fluidos
Newtonianos é independente da velocidade
Regime de velocidade é caracterizado pelo número de Reynolds
h

Dv
N 
Re
v – velocidade do sólido
r – densidade do fluido
D – diâmetro efectivo
Forças de Atrito

Tópicos
Forças de Atrito
h

Dv
N 
Re
v – velocidade do sólido
r – densidade do fluido
D – diâmetro efectivo
Re
N > 103 Regime turbulento
Re
N < 103 Regime laminar
Re
N < 0,1 v
k
FR


h


Em geral v
v
k
F n
R


h


Forças de Atrito

Tópicos
Forças de Atrito
a
m
F
I
P R







ma
F
I
P R



ma
v
k
g
m
mg f


 h
dt
dv
m
v
k
g
m
m f


 h
)
(
dt
dv
v
m
k
g
m
m
m f


 h
)
(
dt
dv
cv
b 

dt
b
cv
dv 







t
t
v
dt
b
cv
dv
v
0
0
t0 = 0 v0 = 0
t
b
cv
c
v



0
)
ln(
1
ct
b
b
cv 



 )
ln(
)
ln(
ct
b
b
cv 


 )
(
ln
ct
e
b
b
cv 


 )
(
)
e
(1
c
b
v ct



Forças de Atrito

Tópicos
)
e
(1
c
b
v ct



h


h k
g
V
k
g
m
m f
f
)
(
)
( 




c
b
vlim
c
b
t
v vlim é tanto menor quanto maior for:
A densidade e viscosidade do fluido
A área transversal do sólido
(capitulo)

Tópicos
Exercício
Velocidade limite de um paraquedista; será que FR = khv?
m = 70 kg
mf = 0
k = 3pD D = 8 m
h = 1,81 10-5 kg m-1s-1 s
m
k
g
m
m f
/
10
1
,
5
10
81
,
1
24
10
70
)
(
5
5










h
lim
v
Conclusão : FR  khv
(capitulo)

Tópicos
Exercício (continuação)
ma
F
I
P R



Ar regime
turbulento ma
F
P R


2
2
1 Av
C
F ar
R









 0
,
1
4
,
0
C
A – área transversal
2
2
1
0
Av
C
mg
a
ar




A
Cρ
2mg
v
ar
lim

(capitulo)

Tópicos
Exercício (continuação)
m = 70 kg
C = 1
D = 8 m A = 16
ar = 1,2 kg/m3
Velocidade limite de um paraquedista ?
s
m
v
π
,
v
/
8
,
4
2
,
23
16
2
1
700
2
lim
lim





(capitulo)

Tópicos
Referenciais não-inerciais
REFERENCIAL
NÃO-INERCIAL
'
0
'
0
'
??
N
P
N
N
N
P
N
N
P
P
N












P

N
 '
N

a

ma
P
N
ma
N
P
a
m
N
P









REFERENCIAL
DE INÉRCIA

Tópicos
Referencial do Carrossel Referencial de Inércia
(capítulo)

Tópicos
Quando, abusivamente tentamos aplicar a segunda lei de Newton à
descrição da dinâmica em referenciais não-inerciais (elevador
acelerado, carrossel), temos necessidade de “inventar” forças
adicionais. Estas não correspondem a uma interacção entre corpos,
não são exercidas por nada, não obedecem a acção-reacção,
dependem da aceleração do referencial não-inercial. A mesma
descrição feita por observadores inerciais não necessita destas
forças. O observador exterior ao carrossel não vê o objecto livre a
ser “empurrado” para a periferia do carrossel, vê o objecto livre a
executar um movimento rectilíneo uniforme.
(capitulo)

Tópicos
'
SS
v

X
Y
Z
O
S
X’
Y’
Z’
O’
S’
P
r

'
r

b

b
r
r




 '
'
'
'
SS
v
v
v
dt
b
d
dt
r
d
dt
r
d 










dt
v
d
dt
v
d
dt
v
d SS'
'





(capitulo)

Tópicos
'
' ' SS
te
SS a
a
a
C
v









F
a
m


 '
' SS
a
m
F
a
m





S S’
(capítulo)
'
' a
a
C
v te
SS






 Equivalência dos Referenciais de Inércia
'
SS
a
m


Se o observador do referencial S’abusivamente tentar
aplicar a segundalei de Newton tem necessidade de falar
na força adicional igual a

Tópicos
Movimento Relativo
Exemplos de aplicação da composição de velocidades.
Movimento Relativo

Tópicos
Exercício
Um barco move-se com uma velocidade de 10 m/s relativa ao rio. Este move-se com uma velocidade de
5m/s paralela às suas margens. A que ângulo relativamente à velocidade do rio deve o condutor orientar o
leme do barco para atravessar o rio perpendicularmente às margens.
a) 120 b) 45 c) 90 d) 0
Movimento Relativo
'
' SS
v
v
v





r
br
b v
v
v





q


120
)
10
/
5
arccos(
180



q
q

Tópicos
Exercício
Considere que não há atrito entre os dois corpos e entre o
corpo2 e a mesa. Exerce-se a força representada na figura sobre
o corpo 2. Considere as massas dos corpos 1 e 2 iguais a m1 e
m2, respectivamente. Qual a expressão da velocidade do corpo
1 relativa ao corpo 2, em função do tempo?
Movimento Relativo
1
2 F
X
0
1
1

a
m
2
2
a
m
F 
2
2
1 0
m
F
a
a


2
2
1
12
m
F
a
a
a 



Relativo a um
referencial de inércia
t
m
F
v
2
12 


Tópicos
Movimento Relativo
'
SS
v

X
Y
Z
O
S
X’
Y’
Z’
O’
S’
P
r

'
r

b

b
r
r




 '
t
v
b
C
v SS
te
SS '
'







x = x’
y = y’+ vSS’t
z = z’

Tópicos
Movimento Relativo
A transformação de velocidades
deduzida entre dois referenciais de
inércia, a transformação de
Galileu, permite prever velocidades
superiores à da luz no vácuo, c.
Sendo esta a velocidade limite,
concluímos que a transformação
de Galileu não é inteiramente
válida. Na realidade só pode ser
aplicada para velocidades muito
inferiores a c.
b
r
r




 '
t
v
b
C
v SS
te
SS '
'







x = x’
y = y’+ vSS’t
z = z’

Tópicos
Unidades de Aprendizagem
Atalhos para outros documentos:
UA2 – Introdução à Física I
UA1 – Eng. Electrotécnica
UA3 - Cinemática
UA4 - Dinâmica
UA5 – Relatividade restrita
UA6 – Trabalho e Energia
UA7 – Conversão do momento angular
UA8 – Sistemas de partículas
UA10 – Oscilações
UA9 – Corpo rígido
UA11 - Fluidos
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