SlideShare uma empresa Scribd logo
1 de 8
Baixar para ler offline
Torre de Hanoi:jogando com a Matemática
                              Rufino, Elzimar de O. ∗
                                18 de maio de 2011


                                         Resumo
            As idéias principais deste artigo foram escritas em abril de 2006. Nosso
       objetivo aqui é mostrar como o jogo Torre de Hanoi pode ser utilizado
       como ferramenta valiosa em algumas situações do Ensino da Matemática,
       como por exemplo no estudo de exponenciais, funções exponenciais, loga-
       rítimos, progressão geométrica, função maior inteiro, indução matemática,
       etc.


       1     Um pouco de história
       O jogo tem origem em um mito indiano segundo o qual o centro do mundo
       encontra-se sob a cúpula de um templo situado em Benares, na Índia. Neste
       centro haveria uma placa de latão onde estariam fixados três pinos de dia-
       mente. Ao criar o mundo o deus Brahma teria colocado em um desses pinos
       sessenta e quatro discos de ouro, apoiados um sobre o outro de diâmetros
       decrescentes, estando o maior junto à placa e o menor no topo da pilha. Esta
       seria a Torre do Brahma. Segundo as leis imutáveis criadas por ele, os sacer-
       dotes teriam sido incubidos de transferir a pilha de discos para um dos out-
       ros pinos, trabalhando desde então, dia e noite sem sessar. Segundo o mito
       a vida decorrerá durante a realização de tal tarefa de transferência e, antes
       que os sacerdotes consigam levar a cabo a missão que receberam, o templo
       transformar-se-á em pó e o mundo desaparecerá, com um estrondo de trovão.
       No mundo ocidental o jogo foi inventado, a partir do mito pelo Matemático
       francês Edouard Lucas (4 de abril de 1842- 3 de outubro de 1891). A figura
       abaixo mostra uma Torre de Hanoi confeccionada em madeira.
   ∗
   Professor do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima. Licenciado
em Matemática-UFRR, Especialista em Matemática-UFRR e Mestre em Matemática-UFAM.

                                            1
Figura 1: Torre de Hanoi

2    O objetivo e as regras
O objetivo principal do jogo é transladar a Torre de um pino para um dos
outros dois. As regras são simples: deve-se movimentar um disco de cada
vez, sendo que um disco qualquer nunca pode sobrepor outro de diâmetro
menor. Deve-se fazer a translação com um número mínimo de movimentos.


3    Algumas idéias sugestivas
O professor dispondo de várias Torres apresenta o jogo aos seus alunos
instigando-os a jogar começando com poucos discos e fazer anotações do
número de movimentos em uma tabela. Após jogarem bastante, provavel-
mente determinarão a tabela abaixo:

             número de discos      número de movimentos
                    1                        1
                    2                        3
                    3                        7
                    4                       15
                    5                       31

       Tabela 1: Número de discos e número de movimentos.

    A partir daí muitas idéias podem surgir dependendo da criatividade e
curiosidade dos participantes. Por exemplo, olhando a segunda coluna da
tabela acima como uma sequência pode-se perceber certa propriedade ou
uma lei de formação. Surgem então as seguintes perguntas:
   1- Que característica pode-se perceber na sequência (de cima para baixo)
formada pelos elementos da segunda coluna na tabela 1?

                                    2
Uma resposta esperada : cada elemento é o dobro do anterior mais
uma unidade.
    2- Como podemos representar essa propriedade matematicamente?
   3- Que propriedade ou relação existe entre o número de discos e o re-
spectivo número de movimentos?
   4- Dada uma quantidade de discos, como garantir que o número de
movimentos dado na tabela 1 é o número mínimo de movimentos?
    Vamos dar atenção agora à pergunta 2. Como expressar matemática-
mente a frase:cada elemento da sequência é o dobro do anterior mais
uma unidade. Surge a necessidade de se utilizar uma notação matemática
para cada termo, ou seja, para o primeiro, segundo, e assim por diante.
    Depois de verificadas as idéias dos alunos e os prós e contras, o professor
pode sugerir a notação utilizada na tabela abaixo.

                           termo        notação
                          primeiro        a1
                          segundo    a2 = 2a1 + 1
                          terceiro   a3 = 2a2 + 1
                           quarto    a4 = 2a3 + 1
                           quinto    a5 = 2a4 + 1

    De um modo geral, dado um número natural n temos an = 2an−1 + 1.
É claro que esta propriedade está apenas sendo conjecturada e a rigor teria
de ser demonstrada.


4     O número mínimo de movimentos
Manipulando os dados da primeira tabela , pode-se fazê-los perceber uma
função que determina o número mínimo de movimentos ao se jogar com
uma Torre com n discos. Vamos enunciar esse resultado e demonstrá-lo
formalmente. Porém, antes vamos ver dois lemas.

    Lema 1-Para qualquer n, o jogo tem solução.
    Prova: (Indução Matemática) Para n=1, obviamente o jogo tem solução.
Suponha que o jogo tenha solução para n = k discos, vamos mostrar que
possui solução para n = (k + 1) discos. Em uma Torre com n = (k + 1)
discos, a hipótese de indução nos diz que podemos transladar os k primeiros
discos para um dos dois pinos livres. Após feito isso, o (k + 1)−ésimo

                                      3
disco pode ser então transladado para o pino que ainda está livre. Usando
novamente a hipótese de indução podemos transladar os primeiros k discos
para cima do (k + 1)−ésimo disco e então o jogo estará solucionado.

   Lema 2-Acrescentando um disco ao jogo com uma Torre de n discos o
número de movimentos duplica mais uma unidade.
      Prova: É uma consequência do procedimento descrito na prova do Lema
1.
    Teorema- O número mínimo de movimentos ao se jogar com uma Torre
de n discos é dada pela função

                      f : N → N tal que f (n) = 2n − 1


    Prova: Seja f : N → N a função que determina a solução mínima para
um jogo com n discos garantida pelos Lemas 1 e 2. Pelo Lema 2, devemos
ter
                        f (n + 1) = 2f (n) + 1                      (1)
      ou ainda
                             f (n) = 2f (n − 1) + 1                          (2)
      Na equação (2) substituindo-se , n por n − 1, n − 2, n − 3, ..., 1, obtemos


f (n − 1) = 2f (n − 2) + 1, f (n − 2) = 2f (n − 3) + 1, , ..., f (1) = 1.

      Consequentemente, por sucessivas substituições (recorrência), resulta
que


                 f (n) = 2[2f (n − 2) + 1] + 1
                       = 22 f (n − 2) + 1 + 2
                       = 22 [2f (n − 3) + 1] + 1 + 2
                       = 23 f (n − 3) + 1 + 2 + 22
                       .
                       .
                       .
                       = 2n−1 f (1) + 1 + 2 + 22 + ... + 2n−2
                                  1 · 2n−1 − 1
                       = 2n−1 +
                                      2−1
                           n−1
                       = 2     − 1.


                                        4
a1 q n −1
   Note que utilizamos a fórmula Sn =       q−1       da soma dos n termos de
uma Progressão Geométrica.
   Vamos obter a expressão f (n) = 2n − 1 do número mínimo de movi-
mentos utiliando um outro olhar. Começaremos com uma
   Proposição- O número mínimo de movimentos realizados pelo disco
menor d1 em um jogo com n discos é dado pela expressão

                              gn (1) = 2n−1 .                             (3)


   Prova: (Indução matemática) Para n = 1 a proposição é válida visto
que, gn (1) = 1 = 21−1 .
   Suponhamos que a proposição seja válida para n = k, e vamos mostrar
que continua válida para n = k + 1. Devemos mostrar então a seguinte
implicação:

               gk (1) = 2k−1 ⇒ gk+1 (1) = 2(k+1)−1 = 2k .
    Veja que podemos transferir a Torre com k + 1 discos em três etapas
básicas:
    Etapa 1- Transferimos a Torre com k discos.
    Etapa 2- Transferimos a o disco dk+1 para o pino livre.
    Etapa 3- Transferimos a Torre com k discos para onde está o disco dk+1 .
    Assim, pela hipótese de indução, na etapa 1, o número mínimo de movi-
mentos do disco d1 é gk (1) = 2k−1 . Usando novamente a hipótese de in-
dução,o disco d1 se movimentará novamente na etapa 3, no mínimo, 2k−1
vezes. Portanto, ao transferirmos a Torre com k + 1 discos teremos movi-
mentado o disco d1 não menos que 2·2k−1 vezes, ou seja, gk+1 = 2·2k−1 =
2k como queríamos mostrar.
   Corolário- O número mínimo de movimentos realizados pelo disco di
em uma Torre com n discos é dado pela fórmula gn (i) = 2n−i .
    Prova- Observe que em um jogo com n discos, ao se transferir os i − 1
primeiros discos não se movimenta o disco di . Só apartir daí o disco di irá
se movimentar e imediatamente após cada um de seus movimentos os i − 1
primeiros discos irão sobrepô-lo (consequência da regra do jogo). Sendo
assim, para efeito de contagem, o disco di pode ser considerado o disco d1
em uma Torre com n − (i − 1) movimentos. Então devemos ter

                gn (i) = gn−(i−1) (1) = 2n−(i−1)−1 = 2i−1 .


                                     5
Por exemplo, jogando com uma Torre com 7 discos, a quantidade mín-
ima de movimentos realizados pelo d3 será

                           g7 (3) = 27−3 = 24 = 16.

    O interessante é que

                      (gn (n), gn (n − 1), ..., gn (2), gn (1))

é uma progressão geométrica de razão q = 2. Isso significa que um disco
de certo diâmetro movimenta-se o dobro de vezes que um disco de diâmetro
imediatamente maior.
    De acordo com o que vimos acima podemos obter a expresão f (n) que
determina o número mínimo de movimentos em um jogo com n discos
somando-se o número mínimo de movimentos de cada disco.Então
                 n
                                 1 · (2n − 1)
                      gn (i) =                = 2n − 1 = f (n).
                                     2−1
                i=1

    Corolário( do Corolário anterior)-Acrescentando um disco jogo, a quan-
tidade mínima de movimentos do disco di duplica.
    Prova: gn+1 (i) = 2n+1−i = 2 · 2n−i = 2gn (i).


5     Explorando o tempo
Uma idéia interessante é fazer uma estimativa do tempo gasto para o término
do jogo. Suponha que um jogador gaste um segundo para cada movimento.
O tempo gasto obviamente será f (n) segundos.
    Na mesma situação acima suponha que um jogador dispunha de 50 min-
utos. Ele poderá transferir uma Torre com no máximo quantos discos?
    Se os alunos observarem que 50 minutos equivalem a 3000 segundos,
tentarão (creio eu!) encontrar o maior valor de n tal que 2n − 1 = 3000 ou
2n − 1 esteja o mai próximo pssível de 3000. Verificarão, por exaustão, que
n = 11 e o tempo gasto será 2047 segundos.
    Para uso posterior vamos ver a definição da função maior inteiro.
   Definição- O maior inteiro de um número real x, denotado por x , é o
maior inteiro que é menor ou igual a x.
   Exemplos: 11, 56 = 11, −11, 56 = −12.
   A título de curiosidade apresentamos um gráfico desta função.Veja a
figura 2.

                                         6
Figura 2: Gráfico da função maior inteiro com x ∈ [−3, 3]

   O seguinte resultado nos dá uma estimativa do número de discos que se
pode movimentar dispondo-se de um um tempo pré-determinado.
    Teorema- Suponha que um jogador demore um segundo para movimen-
tar cada disco e que este dispõe de x segundos para jogar. Então, ele poderá
                                                 (x+1)
movimentar no máximo uma Torre com n = log2             discos.
    Prova: Como o número mínimo de movimentos é f (n) = 2n − 1 e
leva-se um segundo para movimentar cada disco, procuramos um n tal que
2n − 1 = x, ou esteja o mais próximo possível de x pela esquerda.
                                                       (x+1)
    Seja r ∈ R tal que 2r = x + 1, ou seja, r = log2         . Basta tomar
n= r .
    Os alunos logo perceberão que a tarefa de jogar com muitos discos é
ilusória. Jogando com 12 discos nas condições do teorema, o tempo gasto
seria mais de uma hora e imaginem que para um jogo com 64 discos se-
riam necessários 184447440737095511615 segundos, o que equivale a um
tempinho de cerca de 6 bilhões de séculos.
    Como se vê, acreditando ou não no mito, ainda terímos a existência de
nosso mundinho por muito tempo.


6    Idéias para vencer o jogo
Aqui usaremos a notação (i, j) para representar a transferência do disco di
para o pino j e Tn para uma Torre com n discos. Podemos considerar os
pinos 1, 2 e 3 da esquerda para a direita. Abaixo temos a sequência de
jogadas para um jogo com três discos, onde a Torre é transferida para o pino
2.


      (1, 2) → (2, 3) → (1, 3) → (3, 2) → (1, 1) → (2, 2) → (1, 2).


                                     7
Note que para transferir a Torre com 3 discos para o pino j devemos
começar movimentando o disco d1 para o pino j.
    Considere agora uma Torre com n discos. Ao transferir T3 estará lib-
erado um pino para a transferência de d4 . Transfira d4 e translade T3 para
onde está d4 , resultando aí T4 . Estará liberado um pino para a transferência
de d5 . Transfira d5 e transfira T4 para onde está d5 observando o processo
anterior. Continuando, sempre estará liberado um pino para a transferên-
cia de di . Transfira di e em seguida Ti−1 para onde está di . O jogo estará
terminado quando i = n.
    Para realizar o procedimento descrito anteriormente é necessário estar
atento para a paridade de i:
    Se i for par e deseja-se transferir Ti para o pino j, o procedimento
inicial deverá ser (1, k) onde k = j. Se i for ímpar, o procedimento inicial
deverá ser (1, j).
    Para considerações mais rigorosas a respeito de um algorítimo vencedor
sugerimos ao leitor consultar [1].
    Com um pouco de esforço muitas outras situações matemáticas podem
ser exploradas com o auxílio do jogo Torre de Hanoi.


Referências
 [1] Silva,Gentil Lopes. Novas Sequências Aritméticas e Geométri-
     cas.THESAURUS-DF, 2000.
 [2] MACHADO, Nilson José. Matemática e Educação: Alegorias e Temas
     Afins. Cortez, São Paulo,2001.
 [3] HEFEZ, Abramo. Elementos de Aritmática. Sociedade Brasileira de
     Matemática, Rio de Janeiro,2005.




                                      8

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Manual básico de xadrez
Manual básico de xadrezManual básico de xadrez
Manual básico de xadrezPaulo Henrique
 
Exercícios de Estmulação
Exercícios de EstmulaçãoExercícios de Estmulação
Exercícios de EstmulaçãoHelena13dias
 
Resolução da lista de exercícios i
Resolução da lista de exercícios iResolução da lista de exercícios i
Resolução da lista de exercícios iluisresponde
 
2ª lista de exercícios 7º ano - linguagem algébrica
2ª lista de exercícios   7º ano - linguagem algébrica2ª lista de exercícios   7º ano - linguagem algébrica
2ª lista de exercícios 7º ano - linguagem algébricaAlessandra Dias
 
Apostila Geometria Espacial -2013
Apostila  Geometria Espacial -2013Apostila  Geometria Espacial -2013
Apostila Geometria Espacial -2013Fundação CECIERJ
 
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)Lista de exercícios extra campos numéricos (1)
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)Jcraujonunes
 
NBR 10844/1989
NBR 10844/1989NBR 10844/1989
NBR 10844/1989UNIFIA
 
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas (63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas wilkerfilipel
 
Exercícios notação cientifica e unidades- blog
Exercícios  notação cientifica e unidades- blogExercícios  notação cientifica e unidades- blog
Exercícios notação cientifica e unidades- blogmarileiabonetti
 
PROVA DOS NOVES FORA
PROVA DOS NOVES FORAPROVA DOS NOVES FORA
PROVA DOS NOVES FORAJonasblog
 
1º Ano - Aula 04 - Intervalos Reais - Resolução de exercícios (parte 2).pptx
1º Ano - Aula 04 - Intervalos Reais - Resolução de exercícios (parte 2).pptx1º Ano - Aula 04 - Intervalos Reais - Resolução de exercícios (parte 2).pptx
1º Ano - Aula 04 - Intervalos Reais - Resolução de exercícios (parte 2).pptxAdamWallisson1
 
Exercícios de proporcionalidade
Exercícios de proporcionalidadeExercícios de proporcionalidade
Exercícios de proporcionalidadealdaalves
 
Lista expressões algébricas
Lista expressões algébricasLista expressões algébricas
Lista expressões algébricasFlaber Bertochi
 
Apostila sobre Controle Digital
Apostila sobre Controle DigitalApostila sobre Controle Digital
Apostila sobre Controle DigitalFernando Passold
 
Progressão aritmética exercícios
Progressão aritmética exercíciosProgressão aritmética exercícios
Progressão aritmética exercícioslucienejade
 
Regras expressoes numericas
Regras expressoes numericasRegras expressoes numericas
Regras expressoes numericasAna Maria Silva
 
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométrica
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométricaExercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométrica
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométricaDiego Oliveira
 

Mais procurados (20)

Manual básico de xadrez
Manual básico de xadrezManual básico de xadrez
Manual básico de xadrez
 
Exercícios de Estmulação
Exercícios de EstmulaçãoExercícios de Estmulação
Exercícios de Estmulação
 
Resolução da lista de exercícios i
Resolução da lista de exercícios iResolução da lista de exercícios i
Resolução da lista de exercícios i
 
2ª lista de exercícios 7º ano - linguagem algébrica
2ª lista de exercícios   7º ano - linguagem algébrica2ª lista de exercícios   7º ano - linguagem algébrica
2ª lista de exercícios 7º ano - linguagem algébrica
 
Situação problemas ideia de função.gabarito
Situação problemas   ideia de função.gabaritoSituação problemas   ideia de função.gabarito
Situação problemas ideia de função.gabarito
 
Apostila Geometria Espacial -2013
Apostila  Geometria Espacial -2013Apostila  Geometria Espacial -2013
Apostila Geometria Espacial -2013
 
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)Lista de exercícios extra campos numéricos (1)
Lista de exercícios extra campos numéricos (1)
 
NBR 10844/1989
NBR 10844/1989NBR 10844/1989
NBR 10844/1989
 
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas (63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas
(63 alíneas) Exercicios resolvidos sobre logaritmos e equações logaritmicas
 
Comparar radicais
Comparar radicaisComparar radicais
Comparar radicais
 
Prova números inteiros - 7° ano
Prova números inteiros  - 7° anoProva números inteiros  - 7° ano
Prova números inteiros - 7° ano
 
Exercícios notação cientifica e unidades- blog
Exercícios  notação cientifica e unidades- blogExercícios  notação cientifica e unidades- blog
Exercícios notação cientifica e unidades- blog
 
PROVA DOS NOVES FORA
PROVA DOS NOVES FORAPROVA DOS NOVES FORA
PROVA DOS NOVES FORA
 
1º Ano - Aula 04 - Intervalos Reais - Resolução de exercícios (parte 2).pptx
1º Ano - Aula 04 - Intervalos Reais - Resolução de exercícios (parte 2).pptx1º Ano - Aula 04 - Intervalos Reais - Resolução de exercícios (parte 2).pptx
1º Ano - Aula 04 - Intervalos Reais - Resolução de exercícios (parte 2).pptx
 
Exercícios de proporcionalidade
Exercícios de proporcionalidadeExercícios de proporcionalidade
Exercícios de proporcionalidade
 
Lista expressões algébricas
Lista expressões algébricasLista expressões algébricas
Lista expressões algébricas
 
Apostila sobre Controle Digital
Apostila sobre Controle DigitalApostila sobre Controle Digital
Apostila sobre Controle Digital
 
Progressão aritmética exercícios
Progressão aritmética exercíciosProgressão aritmética exercícios
Progressão aritmética exercícios
 
Regras expressoes numericas
Regras expressoes numericasRegras expressoes numericas
Regras expressoes numericas
 
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométrica
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométricaExercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométrica
Exercícios Resolvidos: Integração por substituição trigonométrica
 

Semelhante a Torre de Hanoi: jogando com a Matemática

Semelhante a Torre de Hanoi: jogando com a Matemática (20)

Torre de Hanói
Torre de Hanói Torre de Hanói
Torre de Hanói
 
Torre de hanoi_obm
Torre de hanoi_obmTorre de hanoi_obm
Torre de hanoi_obm
 
Torre de hanoi
Torre de hanoiTorre de hanoi
Torre de hanoi
 
Torre de Hanoi
Torre de HanoiTorre de Hanoi
Torre de Hanoi
 
Coment obf nivel3_3fase
Coment obf nivel3_3faseComent obf nivel3_3fase
Coment obf nivel3_3fase
 
Exercicios resolvidos
Exercicios resolvidosExercicios resolvidos
Exercicios resolvidos
 
Aula 1 a 15 vol1
Aula 1 a 15 vol1Aula 1 a 15 vol1
Aula 1 a 15 vol1
 
3ee+gab
3ee+gab3ee+gab
3ee+gab
 
45681
4568145681
45681
 
Aula N02
Aula N02Aula N02
Aula N02
 
SucessõEs 4
SucessõEs 4SucessõEs 4
SucessõEs 4
 
Apostila de potenciacao 001
Apostila de potenciacao  001Apostila de potenciacao  001
Apostila de potenciacao 001
 
FUNÇÕES GERADORAS
FUNÇÕES GERADORASFUNÇÕES GERADORAS
FUNÇÕES GERADORAS
 
Lista 3 - Bases Matemáticas - Indução
Lista 3  - Bases Matemáticas - InduçãoLista 3  - Bases Matemáticas - Indução
Lista 3 - Bases Matemáticas - Indução
 
94204719 teoria-dos-numeros
94204719 teoria-dos-numeros94204719 teoria-dos-numeros
94204719 teoria-dos-numeros
 
Lista de exercícios 1
Lista de exercícios 1Lista de exercícios 1
Lista de exercícios 1
 
Matemática - Módulo 02
Matemática - Módulo 02Matemática - Módulo 02
Matemática - Módulo 02
 
Apostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadasApostila 2 calculo i derivadas
Apostila 2 calculo i derivadas
 
Lista de Exercícios - Integrais duplas em coordenadas polares
Lista de Exercícios - Integrais duplas em coordenadas polaresLista de Exercícios - Integrais duplas em coordenadas polares
Lista de Exercícios - Integrais duplas em coordenadas polares
 
Tarefa10
Tarefa10 Tarefa10
Tarefa10
 

Torre de Hanoi: jogando com a Matemática

  • 1. Torre de Hanoi:jogando com a Matemática Rufino, Elzimar de O. ∗ 18 de maio de 2011 Resumo As idéias principais deste artigo foram escritas em abril de 2006. Nosso objetivo aqui é mostrar como o jogo Torre de Hanoi pode ser utilizado como ferramenta valiosa em algumas situações do Ensino da Matemática, como por exemplo no estudo de exponenciais, funções exponenciais, loga- rítimos, progressão geométrica, função maior inteiro, indução matemática, etc. 1 Um pouco de história O jogo tem origem em um mito indiano segundo o qual o centro do mundo encontra-se sob a cúpula de um templo situado em Benares, na Índia. Neste centro haveria uma placa de latão onde estariam fixados três pinos de dia- mente. Ao criar o mundo o deus Brahma teria colocado em um desses pinos sessenta e quatro discos de ouro, apoiados um sobre o outro de diâmetros decrescentes, estando o maior junto à placa e o menor no topo da pilha. Esta seria a Torre do Brahma. Segundo as leis imutáveis criadas por ele, os sacer- dotes teriam sido incubidos de transferir a pilha de discos para um dos out- ros pinos, trabalhando desde então, dia e noite sem sessar. Segundo o mito a vida decorrerá durante a realização de tal tarefa de transferência e, antes que os sacerdotes consigam levar a cabo a missão que receberam, o templo transformar-se-á em pó e o mundo desaparecerá, com um estrondo de trovão. No mundo ocidental o jogo foi inventado, a partir do mito pelo Matemático francês Edouard Lucas (4 de abril de 1842- 3 de outubro de 1891). A figura abaixo mostra uma Torre de Hanoi confeccionada em madeira. ∗ Professor do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Roraima. Licenciado em Matemática-UFRR, Especialista em Matemática-UFRR e Mestre em Matemática-UFAM. 1
  • 2. Figura 1: Torre de Hanoi 2 O objetivo e as regras O objetivo principal do jogo é transladar a Torre de um pino para um dos outros dois. As regras são simples: deve-se movimentar um disco de cada vez, sendo que um disco qualquer nunca pode sobrepor outro de diâmetro menor. Deve-se fazer a translação com um número mínimo de movimentos. 3 Algumas idéias sugestivas O professor dispondo de várias Torres apresenta o jogo aos seus alunos instigando-os a jogar começando com poucos discos e fazer anotações do número de movimentos em uma tabela. Após jogarem bastante, provavel- mente determinarão a tabela abaixo: número de discos número de movimentos 1 1 2 3 3 7 4 15 5 31 Tabela 1: Número de discos e número de movimentos. A partir daí muitas idéias podem surgir dependendo da criatividade e curiosidade dos participantes. Por exemplo, olhando a segunda coluna da tabela acima como uma sequência pode-se perceber certa propriedade ou uma lei de formação. Surgem então as seguintes perguntas: 1- Que característica pode-se perceber na sequência (de cima para baixo) formada pelos elementos da segunda coluna na tabela 1? 2
  • 3. Uma resposta esperada : cada elemento é o dobro do anterior mais uma unidade. 2- Como podemos representar essa propriedade matematicamente? 3- Que propriedade ou relação existe entre o número de discos e o re- spectivo número de movimentos? 4- Dada uma quantidade de discos, como garantir que o número de movimentos dado na tabela 1 é o número mínimo de movimentos? Vamos dar atenção agora à pergunta 2. Como expressar matemática- mente a frase:cada elemento da sequência é o dobro do anterior mais uma unidade. Surge a necessidade de se utilizar uma notação matemática para cada termo, ou seja, para o primeiro, segundo, e assim por diante. Depois de verificadas as idéias dos alunos e os prós e contras, o professor pode sugerir a notação utilizada na tabela abaixo. termo notação primeiro a1 segundo a2 = 2a1 + 1 terceiro a3 = 2a2 + 1 quarto a4 = 2a3 + 1 quinto a5 = 2a4 + 1 De um modo geral, dado um número natural n temos an = 2an−1 + 1. É claro que esta propriedade está apenas sendo conjecturada e a rigor teria de ser demonstrada. 4 O número mínimo de movimentos Manipulando os dados da primeira tabela , pode-se fazê-los perceber uma função que determina o número mínimo de movimentos ao se jogar com uma Torre com n discos. Vamos enunciar esse resultado e demonstrá-lo formalmente. Porém, antes vamos ver dois lemas. Lema 1-Para qualquer n, o jogo tem solução. Prova: (Indução Matemática) Para n=1, obviamente o jogo tem solução. Suponha que o jogo tenha solução para n = k discos, vamos mostrar que possui solução para n = (k + 1) discos. Em uma Torre com n = (k + 1) discos, a hipótese de indução nos diz que podemos transladar os k primeiros discos para um dos dois pinos livres. Após feito isso, o (k + 1)−ésimo 3
  • 4. disco pode ser então transladado para o pino que ainda está livre. Usando novamente a hipótese de indução podemos transladar os primeiros k discos para cima do (k + 1)−ésimo disco e então o jogo estará solucionado. Lema 2-Acrescentando um disco ao jogo com uma Torre de n discos o número de movimentos duplica mais uma unidade. Prova: É uma consequência do procedimento descrito na prova do Lema 1. Teorema- O número mínimo de movimentos ao se jogar com uma Torre de n discos é dada pela função f : N → N tal que f (n) = 2n − 1 Prova: Seja f : N → N a função que determina a solução mínima para um jogo com n discos garantida pelos Lemas 1 e 2. Pelo Lema 2, devemos ter f (n + 1) = 2f (n) + 1 (1) ou ainda f (n) = 2f (n − 1) + 1 (2) Na equação (2) substituindo-se , n por n − 1, n − 2, n − 3, ..., 1, obtemos f (n − 1) = 2f (n − 2) + 1, f (n − 2) = 2f (n − 3) + 1, , ..., f (1) = 1. Consequentemente, por sucessivas substituições (recorrência), resulta que f (n) = 2[2f (n − 2) + 1] + 1 = 22 f (n − 2) + 1 + 2 = 22 [2f (n − 3) + 1] + 1 + 2 = 23 f (n − 3) + 1 + 2 + 22 . . . = 2n−1 f (1) + 1 + 2 + 22 + ... + 2n−2 1 · 2n−1 − 1 = 2n−1 + 2−1 n−1 = 2 − 1. 4
  • 5. a1 q n −1 Note que utilizamos a fórmula Sn = q−1 da soma dos n termos de uma Progressão Geométrica. Vamos obter a expressão f (n) = 2n − 1 do número mínimo de movi- mentos utiliando um outro olhar. Começaremos com uma Proposição- O número mínimo de movimentos realizados pelo disco menor d1 em um jogo com n discos é dado pela expressão gn (1) = 2n−1 . (3) Prova: (Indução matemática) Para n = 1 a proposição é válida visto que, gn (1) = 1 = 21−1 . Suponhamos que a proposição seja válida para n = k, e vamos mostrar que continua válida para n = k + 1. Devemos mostrar então a seguinte implicação: gk (1) = 2k−1 ⇒ gk+1 (1) = 2(k+1)−1 = 2k . Veja que podemos transferir a Torre com k + 1 discos em três etapas básicas: Etapa 1- Transferimos a Torre com k discos. Etapa 2- Transferimos a o disco dk+1 para o pino livre. Etapa 3- Transferimos a Torre com k discos para onde está o disco dk+1 . Assim, pela hipótese de indução, na etapa 1, o número mínimo de movi- mentos do disco d1 é gk (1) = 2k−1 . Usando novamente a hipótese de in- dução,o disco d1 se movimentará novamente na etapa 3, no mínimo, 2k−1 vezes. Portanto, ao transferirmos a Torre com k + 1 discos teremos movi- mentado o disco d1 não menos que 2·2k−1 vezes, ou seja, gk+1 = 2·2k−1 = 2k como queríamos mostrar. Corolário- O número mínimo de movimentos realizados pelo disco di em uma Torre com n discos é dado pela fórmula gn (i) = 2n−i . Prova- Observe que em um jogo com n discos, ao se transferir os i − 1 primeiros discos não se movimenta o disco di . Só apartir daí o disco di irá se movimentar e imediatamente após cada um de seus movimentos os i − 1 primeiros discos irão sobrepô-lo (consequência da regra do jogo). Sendo assim, para efeito de contagem, o disco di pode ser considerado o disco d1 em uma Torre com n − (i − 1) movimentos. Então devemos ter gn (i) = gn−(i−1) (1) = 2n−(i−1)−1 = 2i−1 . 5
  • 6. Por exemplo, jogando com uma Torre com 7 discos, a quantidade mín- ima de movimentos realizados pelo d3 será g7 (3) = 27−3 = 24 = 16. O interessante é que (gn (n), gn (n − 1), ..., gn (2), gn (1)) é uma progressão geométrica de razão q = 2. Isso significa que um disco de certo diâmetro movimenta-se o dobro de vezes que um disco de diâmetro imediatamente maior. De acordo com o que vimos acima podemos obter a expresão f (n) que determina o número mínimo de movimentos em um jogo com n discos somando-se o número mínimo de movimentos de cada disco.Então n 1 · (2n − 1) gn (i) = = 2n − 1 = f (n). 2−1 i=1 Corolário( do Corolário anterior)-Acrescentando um disco jogo, a quan- tidade mínima de movimentos do disco di duplica. Prova: gn+1 (i) = 2n+1−i = 2 · 2n−i = 2gn (i). 5 Explorando o tempo Uma idéia interessante é fazer uma estimativa do tempo gasto para o término do jogo. Suponha que um jogador gaste um segundo para cada movimento. O tempo gasto obviamente será f (n) segundos. Na mesma situação acima suponha que um jogador dispunha de 50 min- utos. Ele poderá transferir uma Torre com no máximo quantos discos? Se os alunos observarem que 50 minutos equivalem a 3000 segundos, tentarão (creio eu!) encontrar o maior valor de n tal que 2n − 1 = 3000 ou 2n − 1 esteja o mai próximo pssível de 3000. Verificarão, por exaustão, que n = 11 e o tempo gasto será 2047 segundos. Para uso posterior vamos ver a definição da função maior inteiro. Definição- O maior inteiro de um número real x, denotado por x , é o maior inteiro que é menor ou igual a x. Exemplos: 11, 56 = 11, −11, 56 = −12. A título de curiosidade apresentamos um gráfico desta função.Veja a figura 2. 6
  • 7. Figura 2: Gráfico da função maior inteiro com x ∈ [−3, 3] O seguinte resultado nos dá uma estimativa do número de discos que se pode movimentar dispondo-se de um um tempo pré-determinado. Teorema- Suponha que um jogador demore um segundo para movimen- tar cada disco e que este dispõe de x segundos para jogar. Então, ele poderá (x+1) movimentar no máximo uma Torre com n = log2 discos. Prova: Como o número mínimo de movimentos é f (n) = 2n − 1 e leva-se um segundo para movimentar cada disco, procuramos um n tal que 2n − 1 = x, ou esteja o mais próximo possível de x pela esquerda. (x+1) Seja r ∈ R tal que 2r = x + 1, ou seja, r = log2 . Basta tomar n= r . Os alunos logo perceberão que a tarefa de jogar com muitos discos é ilusória. Jogando com 12 discos nas condições do teorema, o tempo gasto seria mais de uma hora e imaginem que para um jogo com 64 discos se- riam necessários 184447440737095511615 segundos, o que equivale a um tempinho de cerca de 6 bilhões de séculos. Como se vê, acreditando ou não no mito, ainda terímos a existência de nosso mundinho por muito tempo. 6 Idéias para vencer o jogo Aqui usaremos a notação (i, j) para representar a transferência do disco di para o pino j e Tn para uma Torre com n discos. Podemos considerar os pinos 1, 2 e 3 da esquerda para a direita. Abaixo temos a sequência de jogadas para um jogo com três discos, onde a Torre é transferida para o pino 2. (1, 2) → (2, 3) → (1, 3) → (3, 2) → (1, 1) → (2, 2) → (1, 2). 7
  • 8. Note que para transferir a Torre com 3 discos para o pino j devemos começar movimentando o disco d1 para o pino j. Considere agora uma Torre com n discos. Ao transferir T3 estará lib- erado um pino para a transferência de d4 . Transfira d4 e translade T3 para onde está d4 , resultando aí T4 . Estará liberado um pino para a transferência de d5 . Transfira d5 e transfira T4 para onde está d5 observando o processo anterior. Continuando, sempre estará liberado um pino para a transferên- cia de di . Transfira di e em seguida Ti−1 para onde está di . O jogo estará terminado quando i = n. Para realizar o procedimento descrito anteriormente é necessário estar atento para a paridade de i: Se i for par e deseja-se transferir Ti para o pino j, o procedimento inicial deverá ser (1, k) onde k = j. Se i for ímpar, o procedimento inicial deverá ser (1, j). Para considerações mais rigorosas a respeito de um algorítimo vencedor sugerimos ao leitor consultar [1]. Com um pouco de esforço muitas outras situações matemáticas podem ser exploradas com o auxílio do jogo Torre de Hanoi. Referências [1] Silva,Gentil Lopes. Novas Sequências Aritméticas e Geométri- cas.THESAURUS-DF, 2000. [2] MACHADO, Nilson José. Matemática e Educação: Alegorias e Temas Afins. Cortez, São Paulo,2001. [3] HEFEZ, Abramo. Elementos de Aritmática. Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro,2005. 8