Este documento fornece as soluções para três questões de uma prova pré-olímpica. A primeira questão trata de escolher a alternativa correta entre várias opções. As questões 2 e 3 abordam o cálculo da área de uma região e a identificação de um padrão em uma sequência de setas, respectivamente, fornecendo as etapas da solução para cada uma.

1. SOLUC¸˜OES
XXIX OPM - 10.11.2010 - Pr´e-Olimp´ıadas - 5o
Quest˜ao 1:
cada opc¸ ˜ao correcta: 4 pontos
cada opc¸ ˜ao errada: -1 ponto
Quest˜oes 2, 3: 10 pontos cada
Sugest˜oes para a resoluc¸ ˜ao dos problemas
1. (a) Opc¸ ˜ao C.
(b) Opc¸ ˜ao D.
(c) Opc¸ ˜ao C.
(d) Opc¸ ˜ao D.
(e) Opc¸ ˜ao C.
2. Soluc¸ ˜ao 1: A ´area da regi˜ao assinalada ´e igual `a ´area do rectˆangulo [ADHG] menos a ´area do rectˆangulo
[BCFE].
A B C D
E F
G H
Os lados do rectˆangulo [ADHG] medem 40m e 17m, logo a ´area de [ADHG] mede 40 × 17 = 680m2.
Os lados do rectˆangulo [BCFE] medem 40−2×11 = 18m e 17−11 = 6m, logo a ´area de [BCFE] mede
18 × 6 = 108m2.
Portanto, a ´area da regi˜ao assinalada mede 680 − 108 = 572m2.
Soluc¸ ˜ao 2: A ´area da regi˜ao assinalada ´e igual `a soma das ´areas dos rectˆangulo [ABEI], [CDJF] e [IJHG].
A B C D
E F
G H
I J
Os lados do rectˆangulo [ABEI] medem 11m e 17−11 = 6m, logo a ´area de [ABEI] mede 11×6 = 66m2.
Da mesma forma se conclui que a ´area de [CDJF] mede 66m2.
Os lados do rectˆangulo [IJHG] medem 40m e 11m, logo a ´area de [IJHG] mede 40 × 11 = 440m2.
Portanto, a ´area da regi˜ao assinalada mede 66 + 66 + 440 = 572m2.
3. Existem cinco tipos de setas e cada tipo repete-se de cinco em cinco setas. Ora 1001 = 200 × 5 + 1, logo
a seta na ´ultima posic¸ ˜ao ´e do mesmo tipo da seta na primeira posic¸ ˜ao. Portanto, a sequˆencia termina com a
seta .
spm