1) O documento apresenta três exemplos de sistemas de controle adaptativo com ganho programado. O primeiro exemplo trata de um atuador não linear, o segundo de um tanque com área variável e o terceiro de controle de concentração com fluxo variável. 2) Nos exemplos do tanque e da concentração, parâmetros do controlador PI como ganho e tempo de integração são determinados em função de variáveis de processo como nível, área ou fluxo para manter o desempenho. 3) Simulações confirmam que o ganho programado melhora o

1. Instituto Federal do Pará
Campus Belém
Professor: André Maurício Damasceno Ferreira
Graduação em Engenharia de Controle e Automação
Disciplina: Controle Adaptativo
Trabalho de Controle Adaptativo:
Exemplos do Capítulo 9 do Livro Adaptive Control escrito por Karl J.
Astrom & Bjorn Wittenmark
Pedro Barata Piquia Junior
2010310025
Belém – PA
2016

2. EXEMPLO 9.1 ATUADOR NÃO LINEAR
Considere o sistema com uma válvula no exemplo 1.4. A não-linearidade é assumida ser:
v = f(u) = u4
u ≥ 0
deixe 𝑓 -1
ser uma aproximação da inversa da característica da válvula. Para compensar a não
linearidade, a saída do controlador é alimentado através dessa função antes de se aplicada
para a válvula (veja figura 1).
Figura 1: compensação de um atuador não linear usando uma aproximação inversa.
Isso dá a seguinte relação:
v = f(u) = f(𝑓 -1
(c))
onde c é a saída do controlador PI. A função f(𝑓 -1
(c)) deveria ter menos variação no ganho do
que f. se 𝑓 -1
é a inversa exata, então v = c.

3. Figura 2: simulação do exemplo 9.1 com válvula não linear e usando uma aproximação da
característica da válvula.
A figura 1 mostra a modificação do sistema para os três tipos de sinal de referência usados e a
figura 2 mostra as mudanças no sinal de referência em três condições de operações diferentes
quando a aproximação da inversa da característica da válvula é usada entre o controlador e a
válvula. Existe um melhoramento considerável no desempenho do sistema em malha fechada.
Pelo melhoramento da inversa é possível fazer o processo também mais insensível ara a não
linearidade da válvula.
O resultado do controlador nesse exemplo é não linear e não deveria ser considerado como
ganho programado. Não existe nenhuma medida em qualquer ponto de operação fora da
saída controlador. Em outras situações a não linearidade é determinada das medidas de
muitas variáveis. Entretanto, um controlador de ganho programado deveria conter medidas de
uma variável que é relacionada para o ponto de operação do processo.

4. EXEMPLO 9.2 SISTEMA DE UM TANQUE
Considere um tanque na qual a seção transversal A varia com a altura h. o modelo é:
V = 𝐴(𝜏)
𝑕
0
𝑑𝜏
𝑑𝑉
𝑑𝑡
= A(h)
𝑑𝑕
𝑑𝑡
= qi - a 2𝑕𝑔
Onde V é o volume, qi é o fluxo de entrada e a é a seção transversal da saída do cano.
Deixe qi ser a entrada e deixe h ser a saída do sistema. O modelo linearizado em um
ponto de operação, q0
in e h0
, é dado pela função de transferência.
G(s) =
𝛽
𝑠+ 𝛼
Onde
β =
1
𝐴(𝑕0)
α =
𝑞0𝑖𝑛
2𝐴 𝑕0 𝑕0
um bom controle PI do tanque é dado por
u(t) = K 𝑒 𝑡 +
1
𝑇𝑖
𝑒 𝜏 𝑑𝜏
Esta equação será melhor representada na imagem abaixo
Figura 3: implantação do controlador PI
Onde
K =
2𝜁𝜔− 𝛼
𝛽
E
Ti =
2𝜁𝜔− 𝛼
𝜔²

5. Isso dá um sistema em malha fechada com freqüência natural ω e amortecimento
relativo ζ. Introduzindo a expressão para alpha e beta obtemos o seguinte ganho
programado
K = 2ζωA(h0
) – q0
/2h0
Ti =
2𝜁
𝜔
- q0
in/(2ª(h0
)h0
ω²
Os valores numéricos são freqüentemente de um jeito que α << 2ζω. A programação
pode então ser simplificada para
K = 2ζωA(h0
)
Ti =
2𝜁
𝜔
Nesse caso é portanto suficiente fazer um ganho proporcional para a seção (α)
transversal do tanque.
Figura 4 : representação do sistema do tanque utilizado neste exemplo
Para este exemplo foi considerado 4 condições para se obter um ganho programado para
cada situação, na tabela abaixo será determinado com detalhes os valores:
condições área altura vazão β α Ganho Kp Ti w
1 2 0.5 5 0.5 2.5 3.6 2.222 0.9
2 4 1.5 10 0.25 0.83 7.2 2.222 0.9
3 6 3 20 0.16 0.55 10.8 2.222 0.9
4 8 4.5 30 0.12 0.41 14.4 2.222 0.9
Tabela 1: determinação dos parâmetros utilizados na simulação
Obs: como o sistema é de primeira ordem foi considerado um ζ = 1.

7. Figura 5: comportamento do sistema para cada condição estabelecida
O exemplo 9.2 ilustra que isso pode as vezes ser suficiente para medir uma ou duas
variáveis no processo e usá-los como entradas para o ganho programado. As vezes, não
é fácil como neste exemplo determinar os parâmetros do controlador como função das
variáveis medidas. O desenvolvimento do controlador deve então ser refeito para
diferentes pontos de trabalho do processo. Alguns cuidados devem ser tomados se o
sinal medido for ruidoso. Eles podem ter um filtro próprio antes deles serem usados
como variáveis programadas.
EXEMPLO 9.3 CONTROLE DE CONCENTRAÇÃO
Considere o controle de concentração do problema 1.5. o processo é descrito pela
equação (1.3). assuma que é interessante manipular a concentração © do tanque , pela
mudança na concentração de entrada, cin. Para um fluxo fixo a dinâmica pode ser
descrita pela função de transferência:
G(s) =
1
1+𝑠𝑇
𝑒−𝑠𝜏
Onde
T = Vm/q τ = Vd/q
Se τ< T, então isso é certo determinar um controlador PI que desempenha bem quando
q é constante. Entretanto, é difícil encontrar valores universais dos parâmetros do
controlador que vá funcionar bem para grandes faixas de q. isso é ilustrado no exemplo
1.5, a resposta do sinal de entrada para um controlador de ganho fixo para fluxos
variados. Desde que o processo tenha um tempo de atraso, é natural procurar
controladores de tempo amostrado. Amostra do modelo com período de amostragem
h = Vd/(dq), onde d é um integrador, temos
c(kh + h) = ac(kh) + (1-a)u(kh – dh)

8. onde
a = 𝑒−𝑞𝑕/𝑉𝑚
= 𝑒−𝑉𝑑/(𝑉𝑚∗𝑑)
perceba que o modelo de tempo amostrado tem somente um parâmetro, α, que não
depende de q, um controlador de ganho constante pode facilmente se desenvolvido para
o sistema de tempo amostrado.
O ganho programado é realizado simplesmente tendo um controlador com parâmetros
constantes, na qual a faixa de amostra é inversamente proporcional para a faixa de
fluxo. Isso dará a mesma resposta, independente do fluxo,na procura do instante e
amostra, mas a acomodação vai ser escalada em tempo, a figura a seguir mostra a
concentração de saída e o sinal de controle para 3 diferentes fluxos. Ara implementar
esse controlador de ganho programado, é necessário medir não somente a concentração
mas também o fluxo. Erros na medida do fluxo vão resultar em ruídos no período de
amostra. Para evitar isso, é necessário filtrar a medida do fluxo.
O método de acomodação de Ziegler-Nichols é baseado em um modelo com tempo de
atraso e um sistema de primeira ordem. Os ganhos proporcionais e integrais serão
calculados da seguinte maneira:
Kc = 0.9τ/T = 0.9Vd/Vm;
Ti = 3τ = 3Vd/q
Que é, o tempo de integração é inversamente proporcional ao fluxo q. isso é o mesmo
efeito quando é obtido com um controlador de tempo discreto no momento que o
período é inversamente proporcional a q.
Os exemplos anteriores foram possíveis determinar o ganho programado exatamente. O
comportamento do sistema em malha fechada não depende da condição de operação.
Em outros casos é possível obter somente relações aproximadas para diferentes
condições de operação para criar uma tabela. É também necessário interpolar entre o
valor da tabela para obter um comportamento suave do sistema em malha fechada. Isso
pode levar ara cálculos extensivos e simulações antes do ganho programado ser obtido
completamente.
O ganho programado é usualmente obtido através de simulações de um modelo de
processo, mas isso e também possível para construir uma tabela de ganho online. Isso
pode ser feito pelo uso de um auto-regulador ou um controlador adaptativo. O sistema
adaptativo é usado para obter os parâmetros para diferentes pontos de operação. Os
parâmetros são então armazenados para depois ser usado quando o sistema retorna para
o mesmo ponto de operação ou regiões próximas.

9. PROBLEMAS
9.1 Simule o sistema do tanque no exemplo 9.2. Deixe a área do tanque variar desse
modo:
A(h) = A0 + h²
Além disso, assuma que a = 0.1A0
a) Estude o comportamento do sistema em malha fechada quando o ganho
programado completo é usado e quando o ganho modificado é usado
A partir desses novos parâmetros foram encontrados os seguintes valores
condições área altura vazão β α Ganho Kp Ti w
1 2 0.5 5 0.5 0.2 3.6 2.222 0.9
2 4 1.5 10 0.23 0.2 7.65 2.222 0.9
3 6 3 20 0.07 0.2 23.85 2.222 0.9
4 8 4.5 30 0.03 0.2 60.3 2.222 0.9
Tabela 2: determinação dos novos parâmetros utilizados na simulação

10. Figura 6: comportamento do sistema para as novas condições
Esse novo sistema diferente da versão anterior se tornou mais estável,
independente da variação da seção transversal o sistema consegue manter um
bom tempo de acomodação, no exemplo 9.2, dependendo da seção transversal e
do fluxo de entrada, a acomodação do sistema muda drasticamente (vide figura
5) .
b) Estude a sensibilidade do sistema para mudanças nos parâmetros do
processo.

11. Figura 7: comportamento do sistema para mudanças no fluxo de entrada
Pode se observar que o controlador de ganho programado obtém um ótimo
desempenho, mantendo a capacidade de “rastrear” o sinal de referência mesmo
mediante a mudanças bruscas na referência.
c) Estude a sensibilidade em malha fechada para ruídos na medida do nível.
Para este exemplo foi inserido um ruído branco (média zero e covariância de
0.1)
Figura 8: comportamento do sistema para inserção de ruídos na medições
Podemos observar que mediante a incerteza na medição, o que é bastante
comum no mundo real, o controlador é capaz de manter sua estabilidade
garantindo um rastreamento imediato mesmo com mudanças repentinas de
referência.