1. O documento apresenta uma introdução sobre racioncínio em situações incertas, abordando lógica fuzzy e redes bayesianas. 2. A lógica fuzzy permite graus de verdadeiro e falso, ao contrário da lógica clássica, e pode ser usada para descrever conjuntos complexos de forma quantitativa. 3. O documento explica conceitos básicos da lógica fuzzy como grau de pertinência, funções de pertinência e conjuntos fuzzy, e apresenta exemplos de sua aplicação.

1. Introdu¸˜o
ca
Racioc´ em Situa¸˜es Incertas
ınio co
Abordagens:
L´gica Fuzzy e Redes Bayesianas
o
Fl´vio Vin´
a ıcius Cruzeiro Martins
Universidade Federal de Ouro Preto
9 de abril de 2010
Racioc´
ınio em Situa¸˜es Incertas
co 09/04/2010

2. Introdu¸˜o
ca
Sum´rio
a
1 Breve Introdu¸˜o
ca
2 L´gica Fuzzy
o
Defini¸˜es
co
Exemplos
3 Redes Bayesianas
Defini¸˜es
co
Exemplos
Racioc´
ınio em Situa¸˜es Incertas
co 09/04/2010

3. Introdu¸˜o
ca
Inteligˆncia Computacional
e
Racioc´
ınio em Situa¸˜es Incertas
co 09/04/2010

4. L´gica Fuzzy
o
Parte I
L´gica Fuzzy
o
Racioc´
ınio em Situa¸˜es Incertas
co 09/04/2010

5. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Duas suposi¸˜es essenciais para o uso da l´gica formal
co o
tradicional:
Pertinˆncia a conjuntos.
e
Um elemento pertence a um determinado conjunto ou ao seu
complemento.
a lei do meio exclu´
ıdo.
Um elemento n˜o pode pertencer a um conjunto e ao seu
a
complemento.
Racioc´
ınio em Situa¸˜es Incertas
co 09/04/2010

6. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Desta maneira ´ f´cil descrever conjuntos para:
e a
n´meros pares;
u
cidades que s˜o capitais;
a
carros esportes;
n´meros ´
u ımpares;
...
Racioc´
ınio em Situa¸˜es Incertas
co 09/04/2010

7. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Problemas da L´gica Cl´ssica
o a
Como descrever os conjuntos:
grandes cidades da Am´rica do Sul;
e
baixa temperatura;
alta taxa de infla¸˜o;
ca
pequeno erro de aproxima¸˜o;
ca
...
Racioc´
ınio em Situa¸˜es Incertas
co 09/04/2010

8. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Problemas da L´gica Cl´ssica
o a
Problema da Dicotomia:
“Uma semente n˜o constitui uma pilha, nem duas
a
sementes, nem trˆs... por outro lado, se eu agregar
e
100 milh˜es de sementes, elas constituir˜o uma pilha.
o a
Qual ´ o n´mero que determina este limite para ser
e u
uma pilha? Posso ent˜o dizer que 325.647 sementes
a
n˜o constituem uma pilha, mas 325.648
a
constituem?” [Borel, 1950]
Racioc´
ınio em Situa¸˜es Incertas
co 09/04/2010

9. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Quebra os paradigmas da l´gica tradicional.
o
Imita¸˜o do pensamento humano que ´ nebuloso por natureza.
ca e
Teoria formulada em 1965, por Lofti Zadeh.
Figura: Conjunto Fuzzy
Racioc´
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10. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
A L´gica Fuzzy permite v´rios graus de verdadeiro e falso.
o a
Pensem em um controle de ar condicionado...
Racioc´
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11. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy - Defini¸˜es
o co
Grau de pertinˆncia:
e
Um elemento pertence a um conjunto em uma escala que varia
entre zero e um. [0, 1]
Fun¸˜o de pertinˆncia:
ca e
Fun¸˜o que informa o grau de pertinˆncia de um elemento em
ca e
rela¸˜o a um conjunto.
ca
Racioc´
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12. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Racioc´
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co 09/04/2010

13. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Vari´veis lingu´
a ısticas:
Expressas em linguagem natural, por´m tratadas de forma
e
num´rica. (temperatura, press˜o, altura...)
e a
Termos lingu´
ısticos:
Caracterizam a vari´vel lingu´
a ıstica. (Muito alto, alto, m´dio,
e
baixo, muito baixo)
Racioc´
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14. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Racioc´
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co 09/04/2010

15. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Conjunto fuzzy:
Modelam o comportamento das vari´veis linguisticas e seus
a
respectivos termos lingu´
ısticos.
Formatos: triangular, trapezoidal, gaussiano, rampa...
Racioc´
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16. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Exemplos - Conjunto Fuzzy
Representa¸˜o por conjuntos Fuzzy para “inteiros pequenos”.
ca
Racioc´
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17. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Exemplos - Conjunto Fuzzy
Representa¸˜o por conjuntos Fuzzy para “alturas de homens”.
ca
Racioc´
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18. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Opera¸oes B´sicas
c˜ a
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19. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Racioc´
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20. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Racioc´
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21. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Processo B´sico
a
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22. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Regras
se A ent˜o B
a
A ´ chamado antecedente ou premissa.
e
B ´ chamado consequente ou conclus˜o.
e a
Exemplos:
se Pedro e Tem muni¸˜o ent˜o Atira
ca a
se Longe ent˜o Faz Nada
a
Diferente da l´gica booleana, A ter´ valores no intervalo [0, 1].
o a
As regras s˜o disparadas com um certo grau!
a
Ap´s a aplica¸˜o de todas as regras, pode-se ter diferentes
o ca
graus para as conclus˜es.
o
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23. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Inferˆncia Nebulosa
e
Para cada regra:
Para cada Antecedente, calcular o seu grau.
Calcular a Conclus˜o.
a
Combinar os resultados para determinar o conjunto Fuzzy.
(Fuzzy Association Matrix - FAM)
Desejada uma sa´ (num´rica) fazer a defuzzifica¸˜o.
ıda e ca
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24. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Exemplo
Temos um lan¸ador de granadas, e queremos saber quando ele
c
´ util, de forma a escolhˆ-lo e us´-lo na hora certa.
e´ e a
Vari´veis:
a
Antecedentes:
Distˆncia para o alvo.
a
Quantidade de muni¸˜o.
ca
Conclus˜o:
a
Utilidade.
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25. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Racioc´
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26. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Exemplo (cont.) - Regras:
Lan¸ador de granadas ´ mais util a m´dia distˆncia. Perto
c e ´ e a
pode me matar.
se longe e carregada ent˜o serve
a
se longe e ok ent˜o inutil
a
se longe e baixa ent˜o inutil
a
se medio e carregada ent˜o util
a
se medio e ok ent˜o util
a
se medio e baixa ent˜o serve
a
se perto e carregada ent˜o inutil
a
se perto e ok ent˜o inutil
a
se perto e baixa ent˜o inutil
a
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27. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Exemplo (cont.) - Inferˆncia:
e
200 pixels de distˆncia com 8 granadas...
a
Uso o lan¸ador de granadas?
c
Inferˆncia:
e
Regra 1: se longe e carregada ent˜o serve
a
longe = 0.33, carregada = 0 : (0.33 AND 0) = 0
Portanto, serve = 0
Regra 2: se longe e ok ent˜o inutil
a
longe = 0.33, ok = 0.78 : (0.33 AND 0.78) = 0.33
Portanto, inutil = 0.33
...
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28. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
FAM - Fuzzy Association Matrix
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29. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Considera-se apenas as regras “disparadas”.
O valor obtido pode ser considerado como um n´ de
ıvel
confidˆncia daquele resultado
e
´
Util = 0.67
Serve = 0.2
In´til = 0.33
u
Max das duas que disparam. Pode usar m´
ınimo, a soma ou
alguma m´dia.
e
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30. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Exemplo (cont.) - Resultados Graficamente
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31. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Exemplo (cont.) - Combinando Conclus˜es
o
Racioc´
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32. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Exemplo (cont.) - Defuzzifica¸˜o
ca
Processo de obter um resultado “num´rico” partir do
e
conjunto Fuzzy.
V´rios M´todos:
a e
MOM (Meam of Maximum) - M´dia dos M´ximos.
e a
Centr´ide.
o
MaxAv - Mediana.
Centro das somas.
Etc...
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33. L´gica Cl´ssica
o a
L´gica Fuzzy
o
L´gica Fuzzy
o
Exemplo (cont.) - Defuzzifica¸˜o
ca
Centr´ide
o
O m´todo mais preciso mas tamb´m o mais complexo de
e e
calcular.
Computa-se o centr´ide (centro de massa) do conjunto.
o
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34. Redes Bayesianas
Parte II
Redes Bayesianas
Racioc´
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35. Redes Bayesianas
Introdu¸˜o
ca
Conhecimento com incerteza:
Exemplo: sistema de diagn´stico odontol´gico.
o o
Regra de diagn´stico:
o
∀p sintoma (p,dor de dente) ⇒ doen¸a (p,c´rie)
c a
A doen¸a (causa do sintoma) pode ser outra.
c
Regra causal:
∀p doen¸a (p,c´rie) ⇒ sintoma (p,dor de dente)
c a
H´ circunstˆncias em que a doen¸a n˜o provoca o sintoma.
a a c a
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36. Redes Bayesianas
Teoria da Probabilidade
Associa `s senten¸as um grau de cren¸a num´rico entre 0 e 1
a c c e
Contudo, cada senten¸a ou ´ verdadeira ou ´ falsa.
c e e
Grau de cren¸a(probabilidade):
c
a priori(incondicional): calculado antes do agente receber
percep¸˜es
co
Ex. P(c´rie = true) = P(c´rie) = 0.5
a a
condicional: calculado de acordo com as evidˆncias dispon´
e ıveis
evidˆncias: percep¸oes que o agente recebeu at´ agora
e c˜ e
Ex: P(c´rie|dor de dente)= 0.8 P(c´rie|¬dor de dente)= 0.3
a a
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37. Redes Bayesianas
Probabilidade Condicional
Probabilidade condicional (a posteriori) de A dado que B
ocorreu ´ definida por:
e
P(A ∧ B)
P(A|B) =
P(B)
para P(B) > 0
Probabilidade condicional:
possibilita inferˆncia sobre uma proposi¸˜o desconhecida A
e ca
dada a evidˆncia B.
e
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38. Redes Bayesianas
Regra de Bayes
Equa¸˜o para o Teorema de Bayes:
ca
P(B/A)P(A)
P(A/B) =
P(B)
Pode-se estender esta express˜o para o caso em que a
a
dependˆncia condicional est´ associada a mais de uma
e a
evidˆncia pr´via:
e e
P(B/A, E )P(A/E )
P(A/B, E ) =
P(B/E )
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39. Redes Bayesianas
Aplica¸˜o da Regra de Bayes - Diagn´stico M´dico
ca o e
Seja M = doen¸a meningite, S = rigidez no pesco¸o.
c c
Um Doutor sabe:
P(S/M) = 0.5
P(M) = 1/50000
P(S) = 1/20
P(S/M)P(M) 0.5(1/50000)
P(M/S) = = = 0.002
P(S) 1/20
A probabilidade de uma pessoa ter meningite dado que ela est´
a
com rigidez no pesco¸o ´ 0,02% ou ainda 1 em 5000.
c e
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40. Redes Bayesianas
Representa¸˜o do Conhecimento com Incerteza
ca
Representa 3 tipos de conhecimento do dom´
ınio:
Rela¸˜es de independˆncia entre vari´veis aleat´rias.
co e a o
Probabilidades a priori de algumas vari´veis.
a
Probabilidades condicionais entre vari´veis dependentes.
a
Permite calcular eficientemente:
Probabilidades a posteriori de qualquer vari´vel aleat´ria
a o
(inferˆncia).
e
Conhecimento representado:
Pode ser aprendido a partir de exemplos.
Reutilizando parte dos mecanismos de racioc´
ınio.
Racioc´
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41. Redes Bayesianas
Estrutura das Redes Bayesianas
Uma Rede Bayesiana ´ um grafo ac´
e ıclico e dirigido onde:
Cada n´ da rede representa uma vari´vel aleat´ria
o a o
Um conjunto de liga¸˜es ou arcos dirigidos conectam pares de
co
n´s
o
cada n´ recebe arcos dos n´s que tem influˆncia direta sobre
o o e
ele (n´s pais).
o
Cada n´ possui uma tabela de probabilidade condicional
o
associada que quantifica os efeitos que os pais tˆm sobre ele
e
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42. Redes Bayesianas
Exemplo Alarme
Racioc´
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43. Redes Bayesianas
Exemplo Alarme
Calcular a probabilidade do evento que o alarme toca mas n˜o
a
houve assalto nem terremoto e que Jo˜o e Maria telefonaram.
a
P(J ∧ M ∧ A ∧ ¬R ∧ ¬T )
= P(J|A)P(M|A)P(A|¬R ∧ ¬T )P(¬R)P(¬T )
= 0.9x0.7x0.001x0.999x0.998
= 0.00062 ou 0.062%
Racioc´
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44. Redes Bayesianas
Engenharia do conhecimento para Redes Bayesianas
Escolher um conjunto de vari´veis relevantes que descrevam o
a
dom´ınio.
Ordem de inclus˜o dos n´s na rede:
a o
causas como “ra´ ızes” da rede
vari´veis que elas influenciam
a
folhas, que n˜o influenciam diretamente nenhuma outra
a
vari´vel.
a
Enquanto houver vari´veis a representar:
a
escolher uma vari´vel Xi e adicionar um n´ para ela na rede
a o
estabelecer Pais(Xi ) dentre os n´s que j´ est˜o na rede,
o a a
satisfazendo a propriedade de dependˆncia condicional
e
definir a tabela de probabilidade condicional para Xi
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45. Redes Bayesianas
Exemplo Alarme
Ordem: R T A J M
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46. Redes Bayesianas
Tipos de Inferˆncia em Redes Bayesianas
e
Causal (da causa para o efeito)
P(JohnCalls/Roubo) = 0, 86
Diagn´stico (do efeito para a causa)
o
P(Roubo/JohnCalls) = 0, 016
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47. Redes Bayesianas
Tipos de Inferˆncia em Redes Bayesianas
e
Intercausal (entre causas com um efeito comum)
P(Roubo/Alarme) = 0, 376
P(Roubo/Alarme ∧ Terremoto) = 0, 373
Mista (combinando duas ou mais das de cima)
P(Alarme/JohnCalls ∧ ¬Terremoto) = 0, 03
Este ´ um uso simultˆneo de inferˆncia causal e diagn´stico.
e a e o
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48. Redes Bayesianas
Conclus˜es - Redes Bayesianas
o
Possibilidade de trabalhar com dom´
ınios onde n˜o h´
a a
informa¸˜o suficiente.
ca
Racioc´ probabil´
ınio ıstico trata o grau de incerteza associado `
a
maioria dos dom´
ınios.
Combina conhecimento a priori com dados observados.
O impacto do conhecimento a priori (quando correto) ´ a
e
redu¸˜o da amostra de dados necess´rios.
ca a
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49. Redes Bayesianas
Fim
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