O documento descreve os principais tipos de controladores clássicos, incluindo controladores de duas posições, proporcionais, integrais, proporcional-integrais, proporcional-derivativos e proporcional-integral-derivativos. Além disso, explica brevemente os controladores on-off, proporcionais, integrais, proporcional-integrativo, proporcional-derivativo e proporcional-integral-derivativo.

1. Projeto de sistemas de controle
Os controladores clássicos encontrados na literatura podem ser classificados
como:
• Controladores de duas posições (ou on-off ).
• Controladores proporcionais.
• Controladores integrais.
• Controladores proporcional-integrais.
• Controladores proporcional-derivativos.
• Controladores proporcional-integral-derivativos.
Os controladores também podem ser classificados de acordo com a espécie de
energia empregada na operação: controladores pneumáticos, controladores
hidráulicos ou controladores elétricos.
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2. Controlador On-Off
• O elemento atuante possui apenas duas posições fixas.
• Controle relativamente simples e barato.
• u(t): sinal na saı́da do controlador; e(t): sinal de erro atuante.
• u(t) permanece em um valor máximo ou em um valor mı́nimo, conforme
e(t) seja positivo ou negativo:
u(t) =
U1, para e(t) 0
U2, para e(t) 0
onde U1 e U2 são constantes. U2 é normalmente zero ou −U1.
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3. • Geralmente, os controladores on-off são dispositivos elétricos.
• Costumam-se usar válvulas operadas por solenóides elétricos.
• Um intervalo diferencial faz com que u(t) mantenha seu valor atual até que
e(t) tenha variado ligeiramente acima de zero.
• Com isso, evita-se operações muito frequentes do controle on-off.
• Um exemplo do uso desse controlador é para controle de vazão.
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4. • Observando-se a curva tı́pica do sistema, percebe-se que as oscilações dimi-
nuem ao se reduzir o intervalo diferencial.
• No entanto, o número de comutações por minuto aumenta, o que reduz a
vida útil do componente.
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5. Controlador Proporcional
• A relação entre a saı́da do controlador u(t) e o sinal de erro atuante é dada
por:
u(t) = Kp e(t) ⇒ Gp(s) =
U(s)
E(s)
= Kp
onde Kp é denominado ganho proporcional.
• O controle proporcional tem a vantagem de ser de simples implementação.
• O aumento do ganho proporcional acelera a resposta, pois, quanto maior o
erro, maior será o termo proporcional de compensação.
• O aumento do ganho proporcional tende a diminuir os erros em regime
permanente.
• Valores altos de Kp ajudam a reduzir os efeitos dos distúrbios e a sensibili-
dade à variação de parâmetros na planta.
• Porém, não rejeita completamente distúrbios e erros em estado estacionário
geralmente irão persistir.
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6. • O aumento excessivo do ganho pode levar o sistema em malha fechada à
instabilidade e amplificação indesejada de ruı́dos de medidas presentes no
sistema.
• Esse controlador é essencialmente um amplificador com ganho ajustável.
• A função de transferência é dada por:
Gp(s) =
V0(s)
Vi (s)
=
R4
R3
R2
R1
.
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7. Controlador Integrativo
• Ação de controle u(t) é dada pela integral do erro:
u(t) = Ki
t
Z
0
e(t) dt ⇒ Gi (s) =
U(s)
E(s)
=
Ki
s
• As suas vantagens incluem redução ou eliminação de erros em estado esta-
cionário (aumenta o tipo do sistema).
• A função de transferência é dada por:
Gi (s) =
V0(s)
Vi (s)
=
R4
R3
1
R1C2s
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8. Controlador Proporcional-Integrativo (PI)
• A ação de controle PI é dada por:
u(t) = Kp e(t) + Ki
t
Z
0
e(t) dt
⇒ Gpi (s) =
U(s)
E(s)
= Kp +
Ki
s
= Kp
1 +
1
Ti s
onde Ki = Kp/Ti.
• Ti , tempo integrativo (ou reset time), é o tempo para que a saı́da do
integrador atinja o valor Kp para uma entrada unitária.
• A ação integral acelera o movimento do processo em direção ao set-point,
eliminando (ou diminuindo) o erro residual que ocorre com controlador pu-
ramente proporcional.
• Como o termo integral isolado acumula erros do passado, valores elevados
para Ki provocam o efeito colateral de aumento no sobressinal. O sistema
se torna menos estável.
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9. • A função de transferência do controlador PI abaixo é dada por:
Gpi (s) =
V0(s)
Vi (s)
=
R4
R3
R2
R1
R2C2s + 1
R2C2s
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10. • Para ajustar Kp e Ki separadamente, pode-se usar a configuração abaixo.
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11. Controlador Proporcional-Derivativo (PD)
• A ação de controle PD é dada por:
u(t) = Kpe(t) + Kd
de(t)
dt
⇒ Gpd (s) =
U(s)
E(s)
= Kp + Kd s = Kp (1 + Td s)
onde Kd = KpTd, sendo Td chamado de tempo derivativo.
• Note que este tipo de função de transferência implica em um ganho que
cresce com o aumento da frequência. O sistema fica extremamente sensı́vel
a ruı́dos de alta frequência.
• A ação derivativa dá-se, geralmente, com a introdução de um polo em alta
frequência, o que limita o ganho em alta frequência, tal que
Gpd (s) = Kp
1 +
Td s
1 + γTds
onde γ é uma contante positiva com valor tı́pico de γ = 0, 1. O diferenciador
é então aproximado por um integrador no ramo de realimentação.
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12. • A ação derivativa depende da taxa de variação do erro.
• O controle PD melhora o amortecimento, reduz o máximo sobressinal e
diminui o tempo de assentamento.
• O controle PD pode amplificar o ruı́do de alta frequência.
• Geralmente, necessita de um valor de capacitor relativamente alto.
• A ação derivativa também é conhecida como ação antecipatória ou ação
preditiva, pois a derivada de uma função está relacionada com a tendência
de variação desta função.
• Dessa forma, a aplicação de um sinal proporcional à derivada do sinal de
erro consiste em agir de acordo com a tendência de evolução desse sinal.
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13. • Opondo-se a todas as variações, a ação derivativa tem um grande efeito
estabilizante no controle, mas ela não melhora o erro em regime.
• O tempo derivativo Td é o intervalo de tempo que a ação de controle
derivativa antecede a ação de controle proporcional.
• O termo derivativo não atua quando não existe variação do erro, logo ele
não pode ser usado isoladamente.
• Se o erro em regime estacionário for constante, o termo derivativo não
interfere nesse erro.
• A função de transferência do controlador PD abaixo é dada por:
Gpd (s) =
R4
R3
R2
R1
(R1C1s + 1)
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14. • Para ajustar Kp e Kd separadamente, pode-se usar a configuração abaixo.
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15. Controlador Proporcional-Integrativo-Derivativo (PID)
• Soma de três termos: um termo proporcional ao erro, um termo proporcional
a integral do erro e um termo proporcional a derivada do erro.
• Um projeto PID completo envolve um compromisso entre os três parâmetros
a serem sintonizados.
• A ação de controle PID é dada por:
u(t) = Kpe(t) + Ki
t
Z
0
e(t) dt + Kd
de(t)
dt
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16. ⇒
U(s)
E(s)
= Kp +
Ki
s
+ Kd s = Kp
1 +
1
Ti s
+ Td s
= Kp
1 + Ti s + Ti Td s2
Ti s
• A função de transferência do controlador PID abaixo é dada por:
Gpid (s) =
R4
R3
R2
R1
(R1C1s + 1) (R2C2s + 1)
R2C2s
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17. • Para se ajustar Kp, Ki e Kd separadamente, pode-se usar a configuração
abaixo.
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18. A figura a seguir ilustra as ações P, PD e PID de controle sobre uma sistema
cuja função de transferência é dada por G(s) = 1/(5s2
+ 6s + 1).
Pode-se observar que o termo derivativo causa uma redução nas oscilações
e que o termo integrativo reduz o erro a zero, mas causa um aumento nas
oscilações.
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19. Implementação PID
• Note que o PID é uma estratégia, uma metodologia, que pode ser
implementada usando diversos equipamentos ou tecnologias
distintas. Portanto PID não é exclusivo de um unico equipamento ou
tecnologia.
(a) PID Novus (b) PID ABB
(c) PID Matlab com
DAQ
Figura: Imagens de distintas implementações PID
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20. Integrador Antiwindup
• Pode ocorrer na prática que a faixa dinâmica de um atuador seja limitada.
• É preciso limitar os sinais de controle aplicados ao processo dentro uma
faixa de operação especificada.
• O sinal de entrada do processo deve ser limitado dentro desta faixa de
operação, quando apresenta-se saturação.
• Quando um integrador é utilizado, um fenômeno denominado windup pode
ocorrer. O integrador mantem-se integrando muito embora sua saı́da
tenha atingido o seu sinal maximo (ou seja a saida está saturada).
Figura: Sistema realimentado, com saturação.
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21. Integrador Antiwindup
• Suponha que um elevado sinal de referência faça com que uc(t) sature em
umax. O integrador continuará integrando o erro e(t), fazendo com que
uc(t) continue crescendo.
• Nesse caso, o aumento em uc(t) não influencia em nada pois já estamos
operando no limite umax. A saı́da do integrador pode ficar muito elevada,
se a saturação demorar um perı́odo longo. Como a integral do erro vai de
0 a t, o erro acumulado pode gerar um grande sobresinal na resposta do
sistema.
• Idealmente, o integrador deveria ser desligado assim que a saı́da do
atuador saturar.
• Uma solução possı́vel de controle PI neste caso chama-se PI com
antiwindup.
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22. Integrador Antiwindup
Figura: Modificação do Integrador: usando antiwindup.
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23. Sintonia de Controladores PID
• Objetivo: Determinar Kp, Ki e Kd de modo a satisfazer
especificações de projeto.
Os efeitos independentes dos ganhos Kp, Ki e Kd na resposta de malha fechada
do sistema são resumidos na Tabela seguinte:
tr MO ts ess Estabilidade
↑ Kp Decresce Aumenta Aumenta pouco Decresce Degrada
↑ Ki Decr. Pouco Aumenta Aumenta Decr. Muito Degrada
↑ Kd Decr. Pouco Decresce Decresce Influi Pouco Melhora
Figura: Controle PID de uma planta.
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24. Sintonia de Controladores PID
• Por que PID? Pois PID apresenta muitas vantagens. Além disso, a maior
parte dos controladores industriais empregam esquemas de controle
baseados em PID.
• Usualmente, os controladores PID na indústria são ajustados
empiricamente (tentativa-erro).
• Métodos de sintonia automática vêm sendo desenvolvidas e algumas
implementações industriais de controlador PID têm a capacidade de
efetuar a sintonia automática on-line.
• Regras empı́ricas são propostas na literatura e permitem ajustar os
parâmetros do PID sem conhecimento do modelo matemático da planta.
• Tais regras fornecem estimativas dos valores dos parâmetros do
controlador e proporcionam um ponto de partida para uma sintonia mais
fina, caso necessária.
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25. Métodos Baseados na Curva de Reação
• Baseados na resposta experimental da planta (em malha aberta) ao sinal
de excitação em degrau.
Figura: Resposta ao degrau unitário de uma planta.
• Caso a planta não possua integradores nem polos complexos, a resposta ao
degrau pode ter o aspecto de um“S”(curva de reação). Os métodos
baseados na curva de reação se aplicam somente em plantas com resposta
ao degrau que tenham esse aspecto.
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26. Métodos Baseados na Curva de Reação
A curva em“S”pode ser caracterizada pelo ganho estático K, pelo atraso L e
a constante de tempo T. A função de transferência pode ser aproximada por
um sistema de primeira ordem com atraso de transporte. A função de
transferência e−Ls
corresponde a um atraso no tempo. Daı́ o nome atraso de
transporte (ou tempo morto).
Y (s)
R(s)
=
K e−Ls
Ts + 1
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27. Métodos Baseados na Curva de Reação
A seguir são apresentadas três formas distintas de se obter K, L e T. Na
primeira forma, desenha-se uma linha tangente ao ponto de inflexão e
determina-se a intersecção desta linha com c(t) = 0 e c(t) = K. T é dado
pela distância AC, enquanto que L representa a intersecção da linha traçada
com o eixo t. A inclinação da reta é P = K
T , como mostrado na Figura.
Figura: Curva de resposta em forma de“S”
.
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28. Métodos Baseados na Curva de Reação
• A segunda forma consiste em determinar T tal que a resposta seja 0.63K,
que é representado pelo segmento AB da Figura. Se o processo é dado por
K e−Ls
Ts+1 , as duas formas resultam em resultados idênticos. A forma dois
costuma gerar melhores resultados.
• A terceira forma é denominada método de identificação de Broı́da. Broı́da
traçou a resposta do sistema de primeira ordem sobre a curva de ordem
superior obtida experimentalmente. Verificou que havia um intervalo
comum entre elas: um ponto A situado a 28% de ∆y e um ponto B
situado a 40% de ∆Y , como ilutrado na Figura.
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29. Método Broida
• Os valores de T e L são obtidos da seguinte forma:
⋆ Cálculo de T: T = 5.5 · (t2 − t1).
⋆ Cálculo de Lu: L = 2.8 · t1 − 1.8 · t2.
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30. Método 1 de Ziegler e Nichols:
• Ziegler e Nichols sugeriram escolher Kp, Ti e Td de acordo com a seguinte
tabela:
Controlador Kp Ti Td
P
T
KL
∞ 0
PI
0.9T
KL
L
0.3
0
PID
1.2T
KL
2L 0.5L
• O método Ziegler-Nichols considerou a forma de identificação curva“S”.
Os valores nesta tabela foram determinados de forma empı́rica. O
controlador PID sintonizado por esse método fornece
Gc(s) = Kp
1 +
1
Ti s
+ Td s
=
0.6
P
s + 1
L
2
s
, (1)
Controlador Z-N possui um polo na origem e zeros duplos em s = −1/L.
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31. Método de Cohen-Coon:
Controlador Kp Ti Td
P
T
KL
1 +
0, 35τ
1 − τ
∞ 0
PI
0.9T
KL
1 +
0.92τ
1 − τ
3.3 − 3τ
1 + 1.2τ
0
PID
1.35T
KL
1 +
0.18τ
1 − τ
2.5 − 2τ
1 − 0.39τ
L
0.37 − 0.37τ
1 − 0.81τ
L
τ = L/(L + T) .
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32. Método de Chien-Hrones-Reswick (CHR):
Chien, Hrones and Reswick (CHR) propuseram dois critérios de sintonia:
resposta mais rápida com 0% de ultrapassagem e resposta mais rápida com
20% de ultrapassagem.
Sobresinal 0% 20%
Controlador Kp Ti Td Kp Ti Td
P 0.3T
KL
0.7T
KL
PI 0.35T
KL 1.2T 0.6T
KL T
PID 0.6T
KL T 0.5L 0.95T
KL 1.4T 0.47L
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33. Exemplo
Considere um processo a ser controlado com a seguinte função de
transferência
G(s) =
1
(s + 0.5)(s + 1)(s + 1)(s + 2)
O sistema de controle engloba um controlador PID em série com a planta
(compensação em série) e realimentação unitária.
Utilize o método de sintonia de Ziegler-Nichols em malha aberta para obter
uma estimativa dos parâmetros de controlador PID.
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34. Figura: A resposta ao degrau de G(s).
Solução: Verifica-se que L = 1.3; T = 5.45; K = 1. Logo, segundo o método
de Ziegler e Nichols da curva de reação, tem-se que Kp = 5.03; Ti = 2.6;
Td = 0.65.
A função de transferência do controlador PID é dada por
Gc(s) = 3.27
(s + 0.7692)
2
s
(2)
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35. Figura: Reposta ao degrau do sistema em malha fechada.
Os valores Kp = 5.03; Ti = 2.6; Td = 0.65 geram resposta bastante
oscilatória. Note todavia que a regra permite se ter um ponto de partida
para, logo após, realizar-se uma sintonia fina.
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36. Métodos Baseados na Sensibilidade Limite
• Baseado na resposta em malha fechada do sistema de controle,
considerando, inicialmente, somente a ação proporcional Kp para levar o
sistema à condição de oscilação sustentada.
• Inicialmente, assuma Ti = ∞ e Td = 0.
• Utilizando apenas a ação proporcional, aumente Kp de 0 a Kcr , no qual a
saı́da atinja uma oscilação sustentada, ou seja, o sistema equivalente
torne-se marginalmente estável.
• Se a saı́da não apresentar uma oscilação sustentada, então esse método
não se aplica, ou seja, o sistema deve ser capaz de instabilizar com o
aumento do ganho para que o método seja aplicado.
Figura: Sistema em malha fechada com controlador proporcional.
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37. Métodos Baseados na Sensibilidade Limite
Figura: Oscilação sustentada com perı́odo Pcr .
• Se a saı́da apresentar uma oscilação sustentada, então marque o valor Pcr .
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38. Método 2 de Ziegler e Nichols
Ziegler e Nichols sugeriram escolher Kp, Ti e Td de acordo com a seguinte
tabela:
Controlador Kp Ti Td
P 0.5 Kcr ∞ 0
PI 0.45 Kcr
Pcr
1.2 0
PID 0.6 Kcr 0.5 Pcr 0.125 Pcr
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39. Método 2 de Tyreus e Luyben
Tyreus e Luyblen propuseram uma tabale para o ajusta dos parâmetros dos
controladores PI e PID, baseados na sensibilidade limite.
Controlador Kp Ti Td
PI Kcr /3.2 2.2Pcr 0
PID Kcr /2.2 2.2Pcr Pcr /6.3
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40. Exercı́cio
Considere o sistema de controle acima. Considere
G(s) =
1
s(s + 1)(s + 5)
Aplique o 2o. metodo de Ziegler-Nichols para obter um controlador PID.
Solução: A função de transferência de malha fechada do sistema considerando
Ti = ∞ e Td = 0 é dado por
Y (s)
R(s)
=
GC (s)G(s)
1 + GC (s)G(s)
=
Kp
s(s + 1)(s + 5) + Kp
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41. O valor de Kp que leva o sistema a uma oscilação sustentada (Kcr ) pode ser
obtido pelo critério de Routh-Hurwitz.
s3
1 5
s2
6 Kp
s1 30 − Kp
6
s0
Kp
Como isso, Kcr = 30. A frequência de oscilação sustentada é encontrada
substituindo-se s = jω na equação caracterı́stica, ou seja,
(jω)3
+ 6(jω)2
+ 5(jω) + 30 = 0
⇒ 6 5 − ω2
+ jω 5 − ω2
= 0.
Logo, ω2
= 5 ⇒ ω =
√
5. Portanto,
Pcr =
2π
ω
=
2π
√
5
= 2, 8099.
Encontramos:



Kp = 0.6Kcr = 18
Ti = 0.5Pcr = 1.405
Td = 0.125Pcr = 0.35124
.
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42. A função de transferência do controlador PID é dada por
GC (s) = Kp
1 +
1
Ti s
+ Td s
= 18
1 +
1
1.405s
+ 0.35124s
=
6.3223 (s + 1.4235)2
s
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43. Sintonia Automática de Controladores
• A sintonia automática de controladores PID foi inicialmente proposta por
Åström e Hägglund. Hoje em dia, há vários controladores comerciais com
este recurso.
• A estrutura de um controlador com sintonia automática baseado em relé é
apresentado na figura.
Figura: Esquema de sintonia automática a relé.
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44. Sintonia Automática de Controladores
No método de oscilação a relé, uma oscilação com frequência adequada é
gerada pela não linearidade do dispositivo. Assumindo que o relé possui
amplitude h e que a oscilação na saı́da do processo possui amplitude a, a
oscilação sustentada na saı́da possui frequência crı́tica igual a ωcr e ganho
crı́tico dado por
Kcr =
4h
πa
(3)
Portanto, com Kcr e Pcr = 2π/ωcr é possı́vel fazer o ajuste dos parâmetros do
controlador através do segundo método de Ziegler e Nichols ou de qualquer
outro método baseado na sensibilidade limite.
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45. Dica de atividades
Dica
1. Fazer os Exercı́cios apresentados no livro K. OGATA,“Engenharia de
Controle Moderno”.
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