As estrelas aparecem como trilhos curvos na foto, indicando que a exposição do filme foi maior que o tempo de rotação da Terra. Calculando a fração da órbita percorrida pelas estrelas na foto, é possível estimar o tempo de exposição.

1. Movimento Circular e Uniforme (MCU)
Temos um movimento circular uniforme quando um
móvel descreve uma circunferência com velocidade de
módulo constante, como um carro movendo-se em
uma pista circular, enquanto seu velocímetro indicar o
mesmo valor da velocidade. Muitos dos satélites
artificiais que gravitam em torno da Terra apresentam
trajetórias aproximadamente circulares. O movimento
da Terra em torno do Sol pode, também ser
considerado praticamente como circular uniforme.
No movimento circular uniforme o corpo passa, de tempos em tempos, por
um mesmo ponto da trajetória, com a mesma velocidade. Em outras
palavras, o movimento se repete em dado intervalo de tempo. Por
isto, dizemos que o movimento circular uniforme é um movimento
periódico.
O tempo necessário para o móvel percorrer uma volta completa, chama-se
período do movimento. O inverso do período, isto é, o número de voltas
percorridas na unidade de tempo se denomina freqüência do movimento.

2. Desafio:
Suponha que a órbita da Terra ao redor do Sol seja um
círculo de raio 1UA (unidade astrônomica: 1UA = 1,496
x108 km). a) Calcule a velocidade da Terra ao redor do
Sol em km/s, b) Calcule a velocidade angular da Terra
ao redor do Sol em rad/s, c) Calcule a frequência
orbital da Terra ao redor do Sol em Hz. Adote p = 3.

3. Subsídios Matemáticos
a) Comprimento de uma circunferência de raio R.
R
C = 2.p.R

4. Subsídios Matemáticos
b) Radiano:
Um radiano é o ângulo central que enxerga um arco de
circunferência de comprimento igual ao do raio (R)
L =R.f
L – comprimento do arco
R – raio da circunferência
f - ângulo em radianos
R
L
f
Se o ângulo f for 360°, ou seja, uma volta, teremos L = C = 2pR:
f= L / R = 2.p.R / R = 2.p radianos (rad), portanto:
360° - 2.p rad (uma volta)
180° - p rad (meia volta)

5. Voltemos para o MCU
DS
Df
R
Velocidade linear (V)
• V = DS / DT
Função horária
• S = So + V.t (M.U.)
Velocidade angular (w)
• w = Df / DT
Função horária
• f = fo + w.t (M.C.U.)
lembrando que DS = R.Df, temos:
V = R.Df / DT
Relação entre velocidade angular
e velocidade linear:
V = w . R
A
B
V
V

6.  Período (T):
- intervalo de tempo correspondente a uma volta completa
 Frequência (F):
- número de voltas por unidade de tempo
F = n / Dt (Hertz = Hz)
n – número de voltas
Dt – Tempo em segundos
Nota: Para n = 1 volta, temos Dt = T e Df = 2p
F = 1/T (1/s = Hz)
w= Df/Dt (rad/s)
w = 2p / T
w = 2pF
1rpm = uma rotação por minuto = 1/60s = (1/60) Hz

7. A lua e a aceleração centrípeta.
R
a
V1
V2
V.Dt a
V1
V2
DV
Para a velocidade V, de tangência, constante,
assim como a distância ao centro, R, num
curto intervalo de tempo, por semelhança
de triângulos, temos:
V.Dt / R = DV / V
V.V / R = DV / Dt
V² / R = acp
a
R
R
V.Dt
acp = V² / R = w2.R (m/s²)

8. Resumindo:
DS = R.Df
DS – comprimento do arco
R – raio da circunferência
Df – variação do ângulo em radianos
R
DS
Df
Velocidade linear (V)
• V = DS / DT
• S = So + V.t (M.U.)
Velocidade angular (w)
• w = Df / DT
• f = fo + w.t (M.C.U.)
Relação entre velocidade angular
e velocidade linear:
V = w . R
F = 1/T (1/s = Hz)
w= Df/Dt (rad/s)
w = 2p / T
w = 2pF
acp = v2/R = w2R (m/s²)

9. Resolvendo o desafio.
R =1UA
DS = 2.p.R
DT = T = 1 ano = 365 dias.24h.60min.60s
DT = T = 31536000 s
1UA = 1,496.108 km
a) V=? km/s
b) w=? rad/s
c) F=? Hz
Velocidade linear (V)
• V = DS / DT
• V = w . R
• F = 1 / T
a) V = 2.3.1,496.108 / 31536000
V =30 km/s
b) w = V / R = 30 / 1,496.108
w = 2.10-7 rad/s
c) F = 1 / 31536000 = 3.10-8Hz

10. Mais um pouco de movimento circular.
Acoplamento de polias (transmissão de movimento circular)

11. Mais um pouco de movimento circular.
Acoplamento de polias
Velocidade linear (V)
• V = DS / DT
Velocidade angular (w)
• w = Df / DT = 2.p/T = 2.p.F
lembrando que DS = R.Df, temos:
V = R.Df / DT
Relação entre velocidade angular
e velocidade linear:
V = w . R = 2.p.F.R
F1 = F2
F1.R1= F2.R2

12. Exemplos
1)UEMS Uma correia acopla dois cilindros de raios R1 = 20 cm e R2 =
100 cm, conforme a figura. Supondo que o cilindro menor tenha uma
freqüência de rotação F1 = 150 Hz. A freqüência de rotação do cilindro
maior, é de:
R1 = 20cm
R2 = 100cm
F1 = 150 Hz
F2 =?
V = w.R
w = 2.p.F
V1 = V2
w1.R1 = w2.R2
2.p.F1.R1 = 2.p.F2.R2
150.20 = F2.100
F2 =30 Hz

13. Exemplos
2) Fatec-SP Duas polias, ligadas por uma correia, executam movimentos circulares
solidários e seus raios medem 20 cm e 8,0 cm, respectivamente. Sabendo-se que a
polia maior completa 8 voltas a cada 2 segundos, o número de voltas que a menor
completará a cada um segundo será:
R1 = 20cm
R2 = 8cm
F1 = 8/2 = 4 Hz
F2 =?
V = w.R
w = 2.p.F
V1 = V2
w1.R1 = w2.R2
2.p.F1.R1 = 2.p.F2.R2
4.20 = F2.8
F2 =10 Hz
a polia menor completará
10 voltas a cada 1 s.

14. Exemplos
3) Enem As bicicletas possuem uma corrente que liga
uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos
pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda
traseira, como mostra a figura. O número de voltas
dadas pela roda traseira a cada pedalada depende do
tamanho relativo destas coroas. Em que opção abaixo a
roda traseira dá o maior número de voltas por pedalada?

15. Exemplos
4) Enem Quando se dá uma pedalada na bicicleta abaixo
(isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma
volta completa), qual é a distância aproximada
percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento
de um círculo de raio R é igual a 2.p.R, onde p = 3?
raio da roda traseira = 40cm
raio da coroa traseira = 5cm
raio da coroa dianteira = 15cm
Enquanto a coroa dianteira dá uma volta,
a coroa traseira dá três voltas, pois esta é três
vezes menor. Em consequência do acoplamento
existente entre a roda e a coroa traseiras, ambas
darão o mesmo número de voltas. Sendo assim,
temos:
para uma volta da coroa dianteira a roda traseira
dará três voltas, assim:
C = 2.p.R.3, onde R é o raio da roda traseira
C = 2.3.40.3 = 720cm = 7,2m

16. 5)Unicamp-SP O gráfico abaixo representa, em função do tempo, a altura em
relação ao chão de um ponto localizado na borda de uma das rodas de um automóvel
em movimento. Aproxime pi = 3,1. Considere uma volta completa da roda e
determine:
a) a velocidade angular da roda;
b) a componente vertical da velocidade média do ponto em relação ao chão;
c) a componente horizontal da velocidade média do ponto em relação ao chão.
Exemplos
0,6m
a) Velocidade angular (w)
• w = Df / DT
w = 2.p / 0,1
w = 2.3,1.10
w = 62 rad/s
b) Vm = DS / DT
Vm = 0 – 0 / 0,1 = 0 m/s
c) V = w . R
V = 62.0,3
V = 18,6 m/s

17. Desafio: Observando a fotografia (abaixo) do céu noturno, determine o tempo
de exposição do filme fotográfico.Para isso, leve em conta que uma volta completa,
que seria um arco completo de 360°,corresponde a 24 horas.