Universidade Aberta do Nordeste e Ensino à Distância são marcas registradas da Fundação Demócrito Rocha. É proibida a dupl...
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Proporção                                                                          Exemplo de aplicação                   ...
Somando os numeradores e denominadores da propor-           Assim, o neto mais velho receberá 0,2 milhão (200 mil         ...
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Considere que a escala de tempo fornecida seja subs-                                                                      ...
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Solução: Observe que C = 6000, t = 6 meses e i = 1%                     2                                                 ...
ser desperdiçada. O momento, segundo Dilma, é ideal                     alunos de seus campus conforme indicado na tabelap...
de água por dia para atender suas necessidades          apenas a água é retirada, até que a participação da      de consum...
Água de coco               R$ 3,00            R$ 3,00          13.	 A Lei de Boyle-Mariotte (enunciada por Robet Boyle    ...
A.	40%.		             B.	 41%.                                     mas será depositado nessa conta corrente apenasC.	45%.	...
em 2009 foi 3,6. Admitindo um aumento percentu-           Como exemplo, considere a velocidade de um mó-      al cumulativ...
O gráfico intercepta o eixo y no ponto de ordenada   Raiz da função3, esse valor é o coeficiente linear.                  ...
Nesse caso, temos a função afim dada pela lei f(x) = ax,                                                             com a...
O POVO NO ENEM 2012 Fasc 02
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  • Joaozim,
    muito legal sua iniciativa em disponibilizar os fascículos.

    Você já tem o fasc 05, fasc 06 fasc 07 e fasc 08?

    poderia disponibilizá-los também.
    abraços.
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O POVO NO ENEM 2012 Fasc 02

  1. 1. Universidade Aberta do Nordeste e Ensino à Distância são marcas registradas da Fundação Demócrito Rocha. É proibida a duplicação ou reprodução desse fascículo. Cópia não autorizada é crime. Matemática e suas Tecnologias Matemática Adriano Aquino, Carlos Mattos, Márcio Rebouças e Samyo Praciano 02 O TUcIaTão G R A ubli ç r p e Esta pode s da. n ão ializa erc e: com o sit on ível n m.br/ Disp w.fdr.co 12 w w em20 en
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  3. 3. Prezado(a) Leitor(a), de matemática aplicados no as e explora conhecimentos área de Matemática e suas Tecnologi s, porcentagem, juros e Este fascículo contempla a ínio sobre razões, proporçõe stões contex tualizadas que exigem dom rar o conhecimento cotidiano por meio de que nessa área, além de aprimo rcitará suas hab ilidades e suas competências problema em função afim. Assim, você exe ndezas e solucionar situações- qual é necessária para expressar a relação entre gra da linguagem matemática, a seu dia a dia. Bom estudo! Razões e ProporçõesConsidere que, no ano de 2010, o faturamento de umaempresa tenha sido de R$ 200.000,00 e que, em 2011,tenha sido de R$ 500.000,00. Poderíamos compararessas duas grandezas, subtraindo-as e dizendo que ofaturamento de 2011 é maior que o de 2010 em R$300.000,00. Entretanto, a diferença não dá uma ideiarelativa do crescimento do faturamento. Para obter essa ideia, podemos dividir os valores dosfaturamentos: 500000 = 2,5 . Desta maneira, dizemos 200000 Fonte: www.mundogeografico.sites.uol.com.brque as vendas de 2011 equivalem a duas vezes e meia asvendas de 2010 ou, ainda, que o crescimento foi de uma O mapa acima foi feito na escala 1:100000, ou seja,vez e meia do faturamento de 2010. Essa comparação é a cada 1 cm no desenho, temos 100000 cm ou 1km dedenominada razão. comprimento real. A distância entre os pontos A e B é de 5,5 cm no desenho, o que equivale a 5,5 km de distânciaRazão real. Observe que como a escala é uma razão, segue que Dados dois números a e b, com , define-se quanto maior é o denominador (distância real) menor érazão de a para b ou, simplesmente, razão entre a e b, a escala. anessa ordem, ao quociente que também pode ser 2. Densidade Demográfica é a razão entre o número b de habitantes e a área do território ocupado por elesindicado por a : b, em que o número a é denominadoantecedente e o número b é denominado consequente. número de habitantes Densidade Demográfica =As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de área do territórioespécies diferentes (por exemplo, densidade demográ- A maneira como uma população está distribuída emfica) ou de mesma espécie (por exemplo, escala) sendo determinado território e as transformações que essa dis-expressas numa mesma unidade. tribuição sofre no decorrer do tempo são importantes para evidenciar problemas e contradições socioeconômi-Exemplos cas. Por exemplo, segundo dados do IBGE, o Brasil em1. Escala é a razão entre o comprimento no desenho e 2010 possuía 190.732.694 habitantes em uma área de o comprimento real correspondente. 8.514.215,3 km², ou seja, uma densidade demográfica comprimento no desenho de 22,40 habitantes por quilômetro quadrado.E = comprimento real Universidade Aberta do Nordeste 27
  4. 4. Proporção Exemplo de aplicação Num bar, suco de tangerina é uma mistura de xaropeDefine-se proporção a uma igualdade de duas ou mais com água na razão de 1 parte de xarope para 2 de águarazões. Dizemos que os números a, b, c e d, com e refresco de tangerina é uma mistura de xarope com água na razão de 1 para 5. Juntando um copo de suco a ce , formam uma proporção quando = ou a : com um de refresco, obtemos uma mistura de xarope b d com água na razão deb = c : d, em que a e d são os extremos enquanto b e csão os meios. Por exemplo, os números 2, 4, 6 e 12 for- A. 1 para 3. B. 2 para 5. 2 6mam, nessa ordem, uma proporção, pois = , isto é, C. 3 para 5. 4 12 D. 5 para 13. 1 E. 6 para 17.os resultados das duas frações são iguais a , sendo esse 2resultado denominado constante de proporcionalidade. Solução: No suco, a quantidade de xarope é de 1 parte num total de 3 partes, enquanto a quantidade de água representa 2 partes num total de 3 partes. O refresco é constituído de 1 parte de xarope num total de 6 partes ePropriedades: de 5 partes de água num total de 6 partes. Misturando- -se 1 copo de suco com 1 copo de refresco, temos1. a = c ⇔ a ⋅ d = b ⋅ c 1 1 2+1 b d copo + copo copo xarope 3 6 6 3 1 2 6 = = = = (por exemplo, = ⇔ 2 ⋅ 9 = 3 ⋅ 6 ). água 2 5 4 +5 9 3 3 9 copo + copo copo 3 6 6 a c a +b c +d Assim, a proporção é de 1 parte de xarope para 3 partes2. = ⇔ = b d b d de água. (por exemplo, 3 = 6 ⇔ 3 + 2 = 6 + 4 ). Resposta: a 2 4 2 4 a c a +b c +d Números Diretamente Proporcionais3. = ⇔ = b d a c Dizemos que os números (x1, x2, ..., xn) são diretamente 3 6 3+2 6+4 proporcionais aos números (y1, y2, ..., yn), quando pode- (por exemplo, = ⇔ = ). mos estabelecer uma proporção direta entre esses valo- 2 4 3 6 x1 x2 x a c a −b c −d res, ou seja, = =…= n .4. = ⇔ = y1 y2 yn b d b d 5 10 5 − 3 10 − 6 (por exemplo, = ⇔ = ). Exemplo de aplicação 3 6 3 6 Três sócios resolveram abrir uma pizzaria. O primeiro in- a c a −b c −d vestiu 30 mil reais, o segundo investiu 40 mil reais e o5. = ⇔ = b d a c terceiro 50 mil reais. Após 1 ano de funcionamento, a 5 10 5 − 3 10 − 6 pizzaria deu um lucro de 24 mil reais. Se esse lucro for (por exemplo, = ⇔ = ). distribuído de forma que a quantia recebida seja direta- 3 6 5 10 mente proporcional ao valor investido. Quanto cada um a c a +c a −c recebeu?6. = = = b d b +d b −d Solução: Indicando por a, b e c as quantias recebidas 6 4 6+4 6-4 (por exemplo, = = = ). por cada um dos sócios, temos: 9 6 9+6 9-6 a b c a + b + c = 24 e = = . 30 40 5028
  5. 5. Somando os numeradores e denominadores da propor- Assim, o neto mais velho receberá 0,2 milhão (200 mil a b c a+b+c 24 1 reais), o neto do meio receberá 0,4 milhão (400 mil reais)ção, obtemos: = = = = = . 30 40 50 30 + 40 +50 120 5 e o neto mais novo receberá 0,5 milhão (500 mil reais).Daí: Observações a 1  30 = 5 1. Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais  a = 6 quando os valores da primeira grandeza e os valores b 1   = ⇔ b = 8 . da segunda grandeza são diretamente proporcio-  40 5 c = 10 nais. Assim, quando o valor (absoluto) de uma gran- c 1   50 = 5  deza aumenta (ou diminui) sendo multiplicada por uma constante k, o valor (absoluto) correspondenteAssim, o primeiro sócio receberá 6 mil reais, o segundo da outra grandeza aumenta (ou diminui) sendo mul-sócio receberá 8 mil reais e o terceiro sócio receberá 10 tiplicada pela mesma constante k.mil reais. 2. Duas grandezas são ditas inversamente proporcio- nais quando os valores da primeira grandeza e os valores da segunda grandeza são inversamente pro-Números Inversamente Proporcionais porcionais. Assim, quando o valor (absoluto) de umaDizemos que os números (x1, x2, ..., xn) são inversamente grandeza aumenta (ou diminui) sendo multiplicadaproporcionais aos números (y1, y2, ..., yn), quando po- por uma constante k, o valor (absoluto) correspon-demos estabelecer uma proporção entre os valores da dente da outra grandeza diminui (ou aumenta) sen-primeira sequência e os inversos dos valores da segunda do dividida pela mesma constante k.sequência, ou seja, x1 x2 x Exemplos = =…= n ⇔ x1 × y1 = x2 × y2 =…= xn × yn 1. Velocidade e distância percorrida são grandezas di- 1 1 1 retamente proporcionais, para um mesmo intervalo y1 y2 yn . de tempo. Observe o caso em que é medido o des- locamento de quatro móveis com velocidades dife-Exemplo de aplicação rentes durante duas horas:Uma senhora deseja dividir sua fortuna, que é de R$ Velocidade (km/h) 10 20 30 401.100.000,00 entre seus netos, de maneira inversamen- Deslocamento (km) 30 60 90 120te proporcional às idades desses netos. Sabendo que as Podemos observar que os valores da velocidade e doidades dos netos são 10, 5 e 4, qual a quantia recebida deslocamento formam uma proporção direta:por neto? 10 20 30 40Solução: Indicando por x, y e z os valores recebidos por = = = 30 60 90 120 .neto, temos: Observe que da velocidade 10 para a velocidade 30, x y z a grandeza foi multiplicada por 3, enquanto a dis-x + y + z = 11 e = = , 1 1 1. tância correspondente foi de 30 para 90, ou seja, 10 5 4 também multiplicada por 3.Somando os numeradores e denominadores da propor- 2 Velocidade e tempo gasto são grandezas inversamen-ção, obtemos: te proporcionais, para uma mesma distância. Observe x y z x+y+z 1,1 o caso em que é medido o deslocamento de qua- = = = = = 2. 1 1 1 1 1 1 11 tro móveis com velocidades diferentes para percorrer + +10 5 4 10 5 4 20 uma distância de 200 km: Velocidade (km/h) 10 20 40 50Daí: Tempo (h) 20 10 5 410x = 2 x = 0,2  Podemos observar que os valores da velocidade e do5y = 2 ⇔  y = 0,4 . deslocamento formam uma proporção inversa:4z = 2 z = 0,5  10 ⋅ 20 = 20 ⋅ 20 = 40 ⋅ 5 = 50 ⋅ 4 Universidade Aberta do Nordeste 29
  6. 6. Observe que, da velocidade 10 para a velocidade Assim, os cinco pintores levariam 48 horas para pintar 40, a grandeza foi multiplicada por 4, enquanto o a casa. tempo correspondente foi de 20 para 5, ou seja, foi dividida por 4. Regra de Três CompostaRegra de Três Simples Quando tratarmos de mais de duas grandezas, podemos proceder de maneira idêntica à regra de três simples,Dadas duas grandezas e conhecendo 2 medidas de uma porém vamos adotar o seguinte procedimento:grandeza e 1 medida da outra, podemos calcular a quarta •• escolher uma das grandezas e comparar com as ou-medida estabelecendo uma proporção entre esses valores. tras, verificando se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais;Exemplo de aplicação •• isolar a fração obtida da grandeza que foi usadaSe 3 cachorros comem 5 quilos de ração, então 12 ca- para comparação no primeiro membro e no segun-chorros comem quantos quilos de ração? do membro colocamos o produto das frações obti-Solução: O número de cachorros e a quantidade de das das outras grandezas, com o cuidado de inverterração são grandezas diretamente proporcionais, pois, as frações que são de grandezas inversamente pro-quanto mais cachorros, mais ração será consumida. Va- porcionais à grandeza escolhida para comparação.mos representar que são diretamente proporcionais porduas setas com mesmo sentido. Exemplo de aplicação Cinco pessoas comem doze quilos de feijão em quatro ↑ (Nº de cachorros) ↑ (Qde de ração) semanas, em quanto tempo dez pessoas comem trinta 3 5 quilos de feijão? 12 x Solução: Vamos escolher o número de pessoas para comparar com as outras grandezas. Quanto mais pes-Estabelecendo a proporção, temos: soas, mais feijão será consumido, portanto a quantidade 3 5 de feijão e o número de pessoas são diretamente pro- = ⇔ 3x = 60 ⇔ x = 20 12 x . porcionais. Quanto mais pessoas, menos tempo irá durar o feijão, portanto o número de pessoas e o tempo sãoAssim, os 12 cachorros comem 20 quilos de ração. duas grandezas inversamente proporcionais.Exemplo de aplicaçãoQuatro pintores demoram 60 horas para pintar umacasa, quantas horas cinco pintores levariam para pintar ↑ (Nº de pessoas) ↑ (Qde de feijão) ↓ ( Tempo)a mesma casa? 5 12 4Solução: O número de pintores e a quantidade de horas 10 30 tsão grandezas inversamente proporcionais, pois, quan-do aumentamos o número de pintores, vamos precisar Estabelecendo a proporção, temos:de menos horas para executar o mesmo serviço. Vamosrepresentar as grandezas inversamente proporcionais 5 12 t = ⋅ ⇔ 120t = 600 ⇔ t = 5por duas setas com sentidos contrários. 10 30 4 . ↑ (Nº de pintores) ↓ (Qde de horas) Assim, dez pessoas comendo trinta quilos de feijão pre- 4 60 cisarão de cinco semanas. 5 x Questão comentada (Enem/2011) A resistência das vigas de dado comprimento éEstabelecendo a proporção, invertendo uma das frações, diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da al-temos: tura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade 4 x k varia de acordo com o material utilizado na sua construção. = ⇔ 5x = 240 ⇔ x = 48 5 60 .30
  7. 7. Considere que a escala de tempo fornecida seja subs- tituída por um ano de referência, no qual a evolução química é identificada como 1º de janeiro à zero hora e a era dos dinossauros como dia 31 de dezembro às 23 h 59 min e 59,99 s. Desse modo, nesse ano de referência, a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera atingiu 10% no A. 1º bimestre. B. 2º bimestre.Considerando-se S como a resistência, a representação C. 2º trimestre. D. 3º trimestre.algébrica que exprime essa relação é E. 4º trimestre.A. S = k ⋅ b ⋅ d .B. S = b ⋅ d 2 . 2. O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasoli-C. S = k ⋅ b ⋅ d 2 na ou o álcool nos veículos automotores. Nas grandes cidades, essa possibilidade tem sido explorada, princi-D. S = k ⋅ b palmente, pelos táxis, que recuperam em um tempo d2 relativamente curto o investimento feito com a con- 2E. S = k ⋅ d versão por meio da economia proporcionada pelo b uso do gás natural. Atualmente, a conversão paraSolução: A resistência S é diretamente proporcional à gás natural do motor de um automóvel que utilizalargura b e ao quadrado da altura d, ou seja, dividindo S a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolinapor b e por d2 obtemos uma constante: permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,80, enquanto um metro cúbico de GNV permite percor- S rer cerca de 12 km e custa R$ 1,80. Desse modo, b = k ⇔ S ⋅ 1 = k ⇔ S = k ⋅ b ⋅d 2 um taxista que percorra 6000 km por mês recupera o d2 b d2 . investimento da conversão em aproximadamenteResposta: C. A. 2 meses. B. 4 meses. C. 6 meses. D. 8 meses.Para aprender mais! E. 10 meses.1. A figura a seguir mostra a porcentagem de oxigênio (O2) presente na atmosfera, ao longo de 4,5 bilhões Leia mais! de anos, desde a formação da Terra até a era dos O número (letra grega que se pronuncia “fi”), apesar dinossauros. de não ser tão conhecido, tem um significado muito in- teressante. Durante anos, o homem procurou a beleza perfeita, a proporção ideal. Os gregos criaram, então, o retângulo de ouro. Era um retângulo, do qual havia proporções (do lado maior dividido pelo lado menor) e, a partir dessa proporção, tudo era construído. Assim, eles fizeram o Parthernon (proporção do retângulo que forma a face central e lateral). A profundidade dividida pelo comprimento ou altura, tudo seguia uma propor- ção ideal de 1,618. Os egípcios fizeram o mesmo com as pirâmides, cada pedra era 1,618 menor do que a pedra de baixo, a de baixo era 1,618 maior que a de cima, que era 1,618 maior que a da 3ª fileira e assim por diante.Disponível em: <http://www.universia.com.br/MIT/10/1018J/PDF/lec02hand2003. Durante milênios, a arquitetura clássica grega preva- pdf>. Acesso em: 1º mar.2009 leceu. O retângulo de ouro era padrão, mas, depois de Universidade Aberta do Nordeste 31
  8. 8. muito tempo, veio a construção gótica com formas arre- obras. Mas Da Vinci foi ainda mais longe; como cien-dondadas, que não utilizavam retângulo de ouro grego. tista, pegava cadáveres para medir a proporção do seuMas, em 1200, Leonardo Fibonacci um matemático que corpo e descobriu que nenhuma outra coisa obedeceestudava o crescimento das populações de coelhos criou tanto à Divina proporção quanto o corpo huma-aquela que é provavelmente a mais famosa sequência no... obra-prima Divina.matemática: a Série de Fibonacci. A partir de 2 coelhos,Fibonacci foi contando como eles aumentavam a partir Exemplosda reprodução de várias gerações e chegou a uma sequên- 1. Meça sua altura e depois divida pela altura do seucia em que um número é igual a soma dos dois números umbigo até o chão; o resultado é 1,618.anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ... 2. Meça seu braço inteiro e depois divida pelo tamanho 1 do seu cotovelo até o dedo; o resultado é 1,618. 1 3. Meça seu dedo, ele inteiro dividido pela dobra cen- 1+1=2 tral até a ponta ou da dobra central até a ponta 1+2=3 dividido pela segunda dobra; o resultado é 1,618. 2+3=5 4. Meça sua perna inteira e divida pelo tamanho do 3+5=8 seu joelho até o chão; o resultado é 1,618. 5 + 8 = 13 5. A altura do seu crânio dividido pelo tamanho da sua 8 + 13 = 21 mandíbula até o alto da cabeça; o resultado é 1,618; 13 + 21 = 34 6. Da sua cintura até a cabeça e depois só o tórax; o e assim por diante. resultado é 1,618. (Considere erros de medida da régua ou fita métrica que não são objetos acurados Aí entra a primeira “coincidência”: proporção de de medição.)crescimento média da série é 1,618. Os números variam, 7. Cada osso do corpo humano é regido pela Divinaum pouco acima às vezes, um pouco abaixo, mas a mé- Proporção. Seria Deus, usando seu conceito maiordia é 1,618, exatamente a proporção das pirâmides do de beleza em sua maior criação feita à sua imagemEgito e do retângulo de ouro dos gregos. Então, essa e semelhança?descoberta de Fibonacci abriu uma nova ideia de tal pro- Coelhos, abelhas, caramujos, constelações, girassóis,porção que os cientistas começaram a estudar a natu- árvores, arte e o homem; coisas teoricamente diferentes,reza em termos matemáticos e começaram a descobrir todas ligadas numa proporção em comum. Então, atécoisas fantásticas: hoje, essa é considerada a mais perfeita das proporções.•• a proporção de abelhas fêmeas em comparação com abelhas machos numa colmeia é de 1,618;•• a proporção em que aumenta o tamanho das espi- Porcentagem rais de um caracol é de 1,618;•• a proporção em que aumenta o diâmetro das espi- Qualquer razão de denominador 100 é chamada de rais sementes de um girassol é de 1,618; razão centesimal, taxa percentual ou simplesmente•• a proporção em que se diminuem as folhas de uma porcentagem. árvore à medida que subimos de altura é de 1,618. Exemplos E não só na Terra se encontra tal proporção. Nasgaláxias, as estrelas se distribuem em torno de um as- 3 1. = 3% .tro principal numa espiral obedecendo à proporção de 1001,618 também. Por isso, o número ficou conhecido 3 15 2. = = 15% .como a DIVINA PROPORÇÃO. Porque os historiadores 20 100descrevem que foi a beleza perfeita que Deus teria esco- 3 42, 86lhido para fazer o mundo. 3. ≅ 0, 4286 = = 42, 86% . Bom, por volta de 1500, com o Renascentismo, a 7 100cultura clássica voltou à moda. Michelangelo e, princi- Observe, no terceiro exemplo, que, para transfor-palmente, Leonardo da Vinci, grandes amantes da cul- marmos um número escrito na forma decimal para por-tura pagã, colocaram esta proporção natural em suas centagem, basta multiplicarmos o número por 100%.32
  9. 9. Exemplos Por outro lado, caso um número seja multiplicado por1. 0, 23 = 0, 23 ⋅ 100% = 23% . 0,6, sofrerá uma decréscimo de 0,4 em relação a 1 (valor inicial), multiplicando 0,4 por 100%, concluímos que o2. 0,3214 = 0,3214 ⋅ 100% = 32,14% . decréscimo foi de 40%.Observação: Podemos calcular a porcentagem que umnúmero a representa de outro b, com , simples- Exemplos a 1 A temperatura de um corpo que é de 15° aumentoumente escrevendo a fração na forma de porcentagem. b 40% e, assim, a temperatura final do corpo será deExemplo: O número 9 representa 60% do número 15, 15° ⋅ (1 + 40%) = 15° ⋅ 1, 4 = 21° . 9 2. Uma pessoa comprou um computador depois = 0, 6 60% . = 15 R$ 1.200,00 com desconto de 15% e, as- sim, o preço final do computador será deVariação Percentual 1200 ⋅ (1 − 15%) = 1200 ⋅ 0, 85 = 1020 reais.Sendo V0 o valor inicial e V o valor final de uma grande-za, define-se variação percentual o número, escrito no Variações Percentuais Sucessivas V −V0 Considere i1, i2, ..., in como sendo as variações sucessivasformato de porcentagem, obtido pela razão , ou V0 de uma certa grandeza, para obter o valor final V deseja, Variação . uma grandeza, devemos multiplicar o valor inicial V0 por Valor inicial 1 mais cada taxa de variação, isto é: V = V0 ⋅ (1 + i 1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ … ⋅ (1 + i n ) .Exemplos1. O preço de uma mercadoria aumentou de R$ Exemplo de aplicação 13,00 para R$ 25,00. Observe que o aumento foi O preço de um livro é de R$ 60,00. Em dezembro, o preço de 12 reais, enquanto o aumento percentual foi de aumenta 20%; em janeiro, aumenta 10% e, em março, 25 − 13 12 diminui 30%. Qual o valor do preço desse livro em março? = = 0, 9231 = 92, 31% . 13 13 Solução: Aplicando dois acréscimos e um desconto su-2. Um comerciante comprou uma mercadoria por R$ cessivamente, obtemos: 200,00 e vendeu com 50% de lucro. Observe que o V = V0 ⋅ (1 + i 1 ) ⋅ (1 + i 2 ) ⋅ … ⋅ (1 + i n ) lucro do comerciante foi de 50%⋅ 200 = 100 reais e, portanto, o comerciante vendeu a mercadoria por 200 V = 60 ⋅ (1 + 20%) ⋅ (1 + 10%) ⋅ (1 − 30%) . + 100 = 300 reais, ou, ainda, o preço de venda foi de V = 60 ⋅ 1, 2 ⋅ 11⋅ 0, 7 , 200 + 50% ⋅ 200 = 200 ⋅ (1 + 50%) = 200 ⋅ 1,5 = 300 V = 55, 44 reais. Assim, o valor do preço desse livro em março será deObservação: Para obtermos o valor de uma grandeza 55,44 reais.após um acréscimo percentual, podemos multiplicar o Questão comentadavalor inicial por 1+i, em que i é o acréscimo percentual,caso seja um decréscimo, multiplicaremos por 1-i. (ENEM/2011) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. DepoisExemplos desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3.800,001. Acréscimo de 30% ⇒ x (1 + 30%) = x1,3. gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa apli-2. Acréscimo de 70% ⇒ x (1 + 70%) = x1,7. cou em ações corresponde ao valor de A. R$ 4.222,22. B. R$ 4.523,80.3. Decréscimo de 20% ⇒ x (1 - 20%) = x0,8. C. R$ 5.000,00. D. R$ 13.300,00.4. Decréscimo de 40% ⇒ x (1 - 40%) = x0,6. E. R$ 17.100,00. Podemos raciocinar de forma contrária, caso umnúmero seja multiplicado por 1,3, sofrerá um acrésci- Solução: No primeiro mês, perdeu 30% do total Cmo de 0,3 em relação a 1 (valor inicial), multiplicando investido, ficando com (1 − 30%) ⋅ C = 0, 7 ⋅ C . No0,3 por 100%, concluímos que o acréscimo foi de 30%. Universidade Aberta do Nordeste 33
  10. 10. segundo mês, recuperou 20% do que havia perdi- várias taxas. A primeira delas é a Taxa de Abertura de Cré-do, ou seja, 20% ⋅ (0, 3 ⋅ C ) = 0, 06 ⋅ C , ficando com dito (TAC), que pode variar, dependendo do lojista ou da0, 7 ⋅ C + 0, 06 ⋅ C = 0, 76 ⋅ C . Daí: instituição financeira, de R$ 400,00 até R$ 1.000,00. Além disso, há a taxa de juros, que, no mercado de au- 0, 76 ⋅ C = 3800 tomóveis, pode chegar a até 2,5% ao mês, dependen- 3800 . do do valor a ser financiado e idade do veículo. Quanto C = 0, 76 mais antigo, maior os juros. Há ainda impostos e o valor 380000 cobrado pelos bancos, por folha de boleto bancário emi- C = 76 tida, que pode chegar a R$ 4,50. Todas estas cobranças C = 5000 são legais e estão diluídas nas prestações. O problemaAssim, o valor investido no início foi de R$ 5.000,00. está na taxa de retorno, uma espécie de presente que as financeiras dão aos lojistas, à custa do consumidor,Resposta: C. incluídas nas parcelas. Apesar disso, não é proibida por lei. Mesmo assim, nós não reconhecemos a legalidadeAmpliando conhecimentos para o Enem dessa cobrança. A consideramos abusiva porque o con-1. Um fabricante de papel higiênico reduziu o compri- sumidor, às vezes, nem sabe que a está pagando. mento dos rolos de 40m para 30m. No entanto, o A taxa de retorno surgiu há vários anos, por sugestão das preço dos rolos de papel higiênico, para o consu- instituições financeiras. Elas lançaram aos revendedores midor, manteve-se constante. Nesse caso, é correto pelo menos dez tabelas de financiamentos diferentes, afirmar que, para o consumidor, o preço do metro que vão de R1 a R10. “R” significa retorno, e, quando de papel higiênico teve um aumento maior o “R”, maior é a comissão que os revendedoresA. inferior a 25%. de automóveis recebem das financeiras. É uma espécieB. igual a 25%. de presente, pelo lojista ter sugerido aquela instituiçãoC. superior a 25% e inferior a 30%. financeira ao consumidor para o fechamento do negó-D. igual a 30%. cio. Mecanismos de fidelização entre lojistas e financei-E. superior a 30%. ras devem existir, mas não é o consumidor que tem que pagar por isso.2. Em maio de cada ano, certa empresa reajusta os sa- O que deveria ser uma oportunidade de aumentar o vo- lários de seus funcionários pelo índice de aumento lume de negócios, passou a ser, para os lojistas, uma de preços ao consumidor, apurado no ano anterior. maneira fácil de ganho extra de dinheiro. Além de não Em 2001, esse índice foi de 6,2%. Com base nesses darem o desconto sugerido pelas financeiras nos auto- dados, pode-se estimar que um funcionário que, em móveis, ainda empurravam aos clientes as tabelas de fi- maio de 2001, recebia R$ 540,00, passou a receber, nanciamento com taxas de retorno. Qual é o critério uti- em maio de 2002, lizado para escolher entre a tabela R1 e a R10? Nenhum.A. R$ 573,48. B. R$ 575,20. O lojista usa a tabela de acordo com a cara do cliente, oC. R$ 577,28. D. R$ 580,34. carro e o valor que ele vai financiar. Se o vendedor perce-E. R$ 591,34. be que o comprador é pouco esclarecido e tem dinheiro para gastar, pode até lhe jogar uma tabela R10, da qualLeia mais! o cliente pode chegar a pagar até 14,4% a mais do que FINANCIAMENTO DE VEÍCULO o valor total do financiamento.Consumidor desavisado paga mais por um financiamento Fonte: http://www.caesp.orgde veículo. Nem a resolução 3517 do Banco Central conse-guiu disciplinar totalmente os valores extras que os consu- Jurosmidores pagam embutidos nas prestações, sem saber. Fundamentalmente, a Matemática Financeira estuda osMuitos lojistas ainda estão aproveitando-se da falta de procedimentos utilizados em pagamentos de emprésti-informação da maioria dos compradores para cobrar va- mos, bem como os métodos de análise de investimen-lores adicionais. Num financiamento, o consumidor paga tos em geral. Quando uma pessoa empresta a outra um34
  11. 11. valor monetário, durante certo tempo, essa quantia é fórmula, o prazo t deve estar expresso na mesma unida-denominada capital (ou principal) e é indicada por C. de de i, isto é, se a taxa i for definida em meses, o prazoO valor que o emprestador cobra pelo uso do dinheiro, virá também em meses. Além disso, embora a fórmulaou o valor pago pelo tomador do empréstimo é deno- tenha sido deduzida para t inteiro, ela é estendida tam-minado juros e indicado por J. A taxa de juros, indicada bém para qualquer prazo fracionário, por exemplo, 1por i (do inglês interest, que significa juros), é expressa 5 2como porcentagem do capital. ano ou ano. 12 Ela representa os juros numa certa unidade detempo, normalmente indicada da seguinte forma: ao Exemplo de aplicaçãodia (a.d.), ao mês (a.m.), ao ano (a.a.), etc. Assim, por Um capital de R$ 8.000,00 é aplicado a juros simples,exemplo, se o capital emprestado for R$ 8.000,00 e a à taxa de 2% a.m., durante 5 meses. Qual o valor dotaxa, 1,5% ao mês, os juros pagos no mês serão iguais a montante acumulado?1,5% sobre R$ 8.000,00, que equivale a 0, 015 ⋅ 8000 e,portanto, igual a R$ 120,00. De modo geral, os juros em Solução: Os juros da aplicação, em reais, são:cada período são determinados pelo produto do capital J = C ⋅ i ⋅tpela taxa, isto é: . J = 8000 ⋅ 0, 02 ⋅ 5 = 800 J = C ⋅ i (juros em cada período da taxa). O montante da aplicação, em reais, é: Se o pagamento do empréstimo for feito numa úni- M =C + Jca parcela, ao final do prazo do empréstimo, o tomador . M = 8000 + 800 = 8800pagará a soma do capital emprestado com o juro, queé denominado montante e indicado por M. No caso do Assim, o montante acumulado após 5 meses é 8.800 reais.empréstimo de R$ 8.000,00, durante 1 mês, à taxa de1,5% ao mês, o montante será igual a R$ 8.120,00. De Juros Compostosmodo geral, teremos: Juros Compostos é o regime de capitalização em que os M =C + J . juros são calculados sobre o montante do período ante- As operações de empréstimo são feitas geralmente rior. Nesse caso, os juros em cada período são variáveis.por intermédio de um banco que, de um lado, capta di- Considerando a taxa de juros constante igual a i, paranheiro de interessados em aplicar seus recursos e, de ou- obtermos o montante de cada período, vamos multipli-tro, empresta esse dinheiro aos tomadores interessados car o de cada período anterior por 1+i.no empréstimo. A captação é feita sob várias formas, Montantecomo cadernetas de poupança e certificados de depósi- Início Cto bancário (cada aplicação recebe uma taxa de acordocom o prazo e os riscos envolvidos). Os tomadores tam- Após 1 período C ⋅ (1 + i )bém podem obter financiamento sob diversas maneiras, C ⋅ (1 + i ) 2e as taxas cobradas dependem do prazo do empréstimo, Após 2 períodosdos custos do capital para o banco e do risco de não C ⋅ (1 + i ) 3pagamento por parte do tomador. Após 3 períodosJuros SimplesJuros Simples é o regime de capitalização em que os ju- C ⋅ (1 + i ) t Após t períodosros são calculados sobre o capital inicial. Nesse caso, ojuro em cada período de tempo (mês, ano, ...) é cons- Portanto, o montante será dado por M = C ⋅ (1 + i ) . ttante e igual ao produto C ⋅ i , passados três meses, porexemplo, os juros são 3 ⋅ C ⋅ i , mas, se considerarmos t Exemplo de aplicaçãoperíodos de tempo, os juros acumulados serão dados Quanto receberá de juros, no fim de um semestre, umapor: J = C ⋅ i ⋅ t . pessoa que investiu, a juros compostos, a quantia R$ Os juros simples são resultado do produto do capital 6.000,00, à taxa de 1% ao mês?pela taxa e pelo prazo da aplicação. Observe que, nessa Universidade Aberta do Nordeste 35
  12. 12. Solução: Observe que C = 6000, t = 6 meses e i = 1% 2 é, 118 ≅ 1 392 . Logo, a rentabilidade do investimento C é , ,(a.m.). Logo: 39,2%. Assim, essa pessoa deve escolher o investimento A, M = C ⋅ (1 + i ) pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades t anuais dos investimentos B e C. M = 6000 ⋅ (1 + 1%) 6 . Resposta: C. M = 6000 ⋅ 1, 016 ≅ 6369,12Daí: Para aprender mais! M =C + J 3. O preço à vista de uma mercadoria é R$ 130,00. O . comprador pode pagar 20% de entrada no ato da J = 6369,12 − 6000 = 369,12 compra e o restante em uma única parcela de R$Assim, a pessoa receberá R$ 369,12 de juros. 128,96, vencível em 3 meses. Admitindo-se o regi- me de juros simples comerciais, a taxa de juros men- sal cobrada na venda a prazo é deQuestão comentada(ENEM/2011) Considere que uma pessoa decida investir uma A. 5,2%. B. 8%.determinada quantia e que lhe sejam apresentadas três possi- C. 8,3%. D. 8,6%.bilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garan- E. 9,8%.tidas pelo período de um ano, conforme descritas:•• Investimento A: 3% ao mês 4. Em 1626, Peter Minuit comprou a ilha de Manhattan•• Investimento B: 36% ao ano (em Nova Iorque) dos índios em troca de objetos no•• Investimento C: 18% ao semestre valor de 24 dólares. (dados extraídos de: Zvi Bodie.As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o Finanças. Porto Alegre, 1999.) Se os índios tivessemvalor do período anterior. O quadro fornece algumas aproxi- recebido em dinheiro e aplicado esse valor a jurosmações para a análise das rentabilidades: compostos, à taxa de 8% ao ano, o valor do seun 1,03n montante em 2011, 385 anos depois, teria sido: (Dado: 1, 08385 = 7, 4 ⋅ 1015 )3 1,0936 1,194 A. mais de 1 trilhão de dólares. B. um valor entre 1 bilhão e 1 trilhão de dólares.9 1,305 C. um valor entre 1 milhão e 1 bilhão de dólares.12 1,426 D. um valor entre 1 mil e 1 milhão de dólares.Para escolher o investimento com a maior rentabilidade anual, E. menos de 1 mil dólares.essa pessoa deveráA. escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois Leia mais! as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%. A NOVA POUPANÇAB. escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilida- Determinada a reduzir os juros reais a 2% até o fim de seu des anuais são iguais a 39%. mandato, a presidente Dilma Rousseff não viu alternativaC. escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anu- senão mudar a remuneração das cadernetas de poupan- al é maior que as rentabilidades anuais dos investimen- ça. O rendimento fixo de 6,17% ao ano mais TR mostrou- tos B e C. -se um obstáculo à queda acentuada dos juros depoisD. escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e que a Selic ficou abaixo de um dígito. Na sexta-feira 4, de 18% do investimento C. o governo publicou a Medida Provisória 567 com a novaE. escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% fórmula de cálculo. As cadernetas agora passam a render ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos 70% da Selic mais TR. “Sei que a medida é ousada, mas investimentos A e B. precisa ser feita”, disse a presidenta Dilma ao ministroSolução: Para transformar uma taxa de 3% mensal para taxa da Fazenda, Guido Mantega, e ao presidente do Bancoanual, basta considerarmos 12 aumentos sucessivos, isto é, Central, Alexandre Tombini, ao bater o martelo. Na reu-1, 0312 ≅ 1, 426 . Logo, a rentabilidade do investimento A nião do Conselho Político, com líderes de partidos da baseé 42,6%. Para transformar uma taxa de 18% mensal para aliada, a presidenta explicou que, depois de dois anos,taxa anual, basta considerarmos 2 aumentos sucessivos, isto abriu-se uma janela de oportunidades que não poderia36
  13. 13. ser desperdiçada. O momento, segundo Dilma, é ideal alunos de seus campus conforme indicado na tabelapor três motivos: o cenário econômico favorece a redu- a seguir:ção de juros, sua popularidade recorde de 77% sustentareações negativas e a atenção da oposição está totalmen- Campus Número de Alunoste voltada para a CPI do Cachoeira. Com a nova regra A 2.200de reajuste, a poupança terá um gatilho. Sempre que a B 2.600Selic se igualar ou ficar abaixo de 8,5%, a remuneração C 5.200da caderneta será de 70% da Selic mais TR. Ao defendera mudança, Guido Mantega adiantou-se a possíveis críti- O valor recebido pelo campus B foicas: “Não há rompimento de contrato nem usurpação de A. R$ 37.400,00. B. R$ 42.500,00.direito.” Frisou também que as mudanças não são ime- C. R$ 44.200,00. D. R$ 52.000,00.diatas – hoje a Selic está em 9% –, que a liquidez conti- E. R$ 88.400,00.nuará diária e a poupança permanece isenta de Impostode Renda. O mais importante é que o novo cálculo só valepara os depósitos que forem feitos a partir de 4 de maio. 4. A hidrovia é o modelo de transporte menos onerosoAntes dessa data, todos os investimentos em poupanças que qualquer outra modalidade disponível no mun-estão preservados, com o rendimento tradicional. A me- do. Mas, no Brasil, onde há condições geográficasdida manteve a caderneta simples e acessível. Os novos bastante favoráveis a esse tipo de operação, os in-depósitos serão remunerados com base na Selic em vigor vestimentos no setor andam na contramão. O meiono dia do investimento, independentemente do valor, po- mais utilizado é o rodoviário, que chega a ser 20 ve-dendo ser R$ 10 ou R$ 100 mil. zes mais caro que o fluvial. Estudos indicam que, caso o Brasil cresça uma média de 5% durante três anos Fonte: www.istoe.com.br (09/07/2012) consecutivos, o país pode entrar em colapso logístico. Uma barcaça (unidade que compõe a embarcação) pode transportar até 1.500 toneladas em cargas. Na comparação com o transporte rodoviário, cada bar- caça equivale a 60 carretas, que podem transportar no máximo até 25 toneladas. “Nas hidrovias, não há pedágios, estradas esburacadas que causam danos à unidade de transporte e desperdício da carga, e o risco de roubo também é menor”, destaca Rocha. Quando o comparativo é com as ferrovias, o sistema hidroviário também é mais vantajoso. Cada barcaça pode substituir até 15 vagões, com capacidade para carregar até 100 toneladas. Considerando a degra- dação da malha ferroviária brasileira, abandonada há cerca de 50 anos, a hidrovia se mostra ainda mais viável, por não oferecer riscos. Fonte: http://www.revistaportuaria.com.br Uma empresa deseja transportar 30.000 toneladas de mi- nério de ferro, podendo usar o transporte marítimo ou o rodoviário, seria necessário, no mínimo, o equivalente a A. 20 barcaças. B. 25 barcaças. C. 60 carretas. D. 80 carretas.Ampliando conhecimentos para o Enem E. 100 carretas.3. Uma universidade recebeu do Governo Federal re- cursos financeiros no valor de R$ 170.000,00 para 5. Segundo a Organização Pan-Americana de Saú- serem divididos proporcionalmente ao número dos de (OPAS), cada indivíduo necessita de 189 litros Universidade Aberta do Nordeste 37
  14. 14. de água por dia para atender suas necessidades apenas a água é retirada, até que a participação da de consumo, para higiene e preparo de alimentos. água na massa de tomate se reduza a 20%. Após Além disso, cada pessoa necessita de 1.325 litros o processo de desidratação, a massa de tomate, em por ano só para beber. gramas, será de A. 200. B. 225. Tabela de Consumo C. 250. D. 275. consumo de água E. 300. Escovar os dentes com torneira cons- 15 litros/dia tantemente aberta por 5 minutos 9. A tabela a seguir foi utilizada para calcular o Impos- Escovar os dentes com torneira oca- 6 litros/dia to de Renda devido à Receita Federal nos meses de sionalmente fechada por 5 minutos janeiro a março de 2012.Escovando os dentes com a torneira ocasionalmente fe-chada por 8 minutos, pode-se, durante um ano, econo- Parcela amizar água suficiente para Base de cálculo Alíquota deduzir doA. 2 pessoas beberem. mensal em R$ % ImpostoB. 3 pessoas beberem. em R$C. 4 pessoas beberem. Até 1.499,15 - -D. 5 pessoas beberem. De 1.499,16 até 2.246,75 7,5 112,43E. 6 pessoas beberem. De 2.246,76 até 2.995,70 15,00 280,94 De 2.995,71 até 3.743,19 22,5 505,626. Um automóvel, modelo flex, consome 34 litros de Acima de 3.743,19 27,5 692,78 gasolina para percorrer 374 km. Quando se opta pelo uso do álcool, o automóvel consome 37 litros O Imposto de Renda devido por Alfredo, que presta ser- deste combustível para percorrer 259 km. Suponha viços a uma empresa, é calculado da seguinte maneira: que um litro de gasolina custe R$ 2,20. Qual deve toma-se por base de cálculo o seu salário bruto em reais, ser o preço do litro do álcool para que o custo do aplica-se a alíquota (porcentagem) e, do resultado deste quilômetro rodado por esse automóvel, usando so- produto, subtrai-se a parcela a deduzir. O salário líquido mente gasolina ou somente álcool como combustí- de Alfredo é calculado subtraindo-se do seu salário bru- vel, seja o mesmo? to o valor do Imposto de Renda devido. Em fevereiro de 2012, o salário bruto de Alfredo foi R$ 3.000,00, entãoA. R$ 1,00. B. R$ 1,10. seu salário líquido, nesse mês, foi deC. R$ 1,20. D. R$ 1,30.E. R$ 1,40. A. R$ 1.530,94. B. R$ 1.830,94. C. R$ 2.530,94. D. R$ 2.650,00. E. R$ 2.830,62.7. Uma fábrica produz 2000 peças em 2 dias de traba- lho, usando 6 máquinas iguais. No momento, duas máquinas estão quebradas, porém a fábrica recebeu 10. Com o início da temporada de turismo na ilha de Flo- uma encomenda de 6000 peças, então para atender rianópolis, observa-se uma alta de preços em vários essa encomenda, serão necessários produtos, principalmente no mês de janeiro. Veja na tabela as diferenças de preços de alguns produtosA. 5 dias de trabalho. observados no dia 30 de dezembro de 2007, emB. 6 dias de trabalho. comparação com os meses anteriores.C. 7 dias de trabalho.D. 8 dias de trabalho. Meses DezembroE. 9 dias de trabalho. Produtos anteriores de 2007 Cerveja R$ 3,00 R$ 7,008. Um quilograma de tomates é constituído por 80% Coquetel de frutas R$ 10,00 R$ 20,00 de água. Essa massa de tomate (polpa+H2O) é sub- Milho cozinho R$ 2,00 R$ 2,00 metida a um processo de desidratação, no qual38
  15. 15. Água de coco R$ 3,00 R$ 3,00 13. A Lei de Boyle-Mariotte (enunciada por Robet Boyle e Edme Mariotte) diz que: “Sob temperatura cons- Tomate (Kg) R$ 0,95 R$ 2,49 tante (condições isotermas), o produto da pressão e Corvina (Kg) R$ 6,00 R$ 8,00 do volume de uma massa gasosa é constante, sen- Filé de peixe (Kg) R$ 8,00 R$ 10,00 do, portanto, inversamente proporcionais. Qualquer Sorteve artesanal R$ 4,50 R$ 5,00 aumento de pressão produz uma diminuição de vo- Gasolina (litro) R$ 2,49 R$ 2,60 lume e qualquer aumento de volume produz uma Álcool (litro) R$ 1,65 R$ 1,79 diminuição de pressão.” Aumentando a pressão do gás em 25%, o volume do gás diminuiráSegundo a tabela, o conjunto de produtos que tiveramaumento entre 10% e 110% é compreendido por A. 20%. B. 18%. C. 15%. D. 12%.A. cerveja, coquetel de frutas, corvina e filé de peixe. E. 10%.B. álcool, corvina, filé de peixe e sorvete artesanal.C. sorvete artesanal, coquetel de frutas, corvina e filé de peixe. 14. O crescimento anual das exportações de um país,D. sorvete artesanal, cerveja, coquetel de frutas e corvina. em um determinado ano, é medido tendo-se porE. filé de peixe, sorvete artesanal, coquetel de frutas e base o valor total das exportações do ano imediata- álcool. mente anterior. Considere um país em que o cresci- mento das exportações foi de 12% em 2008 e 8%11. A Suíça tem um dos mais altos IDH (Índice de Desen- em 2009. Em 2009, o valor das exportações, em re- volvimento Humano) do mundo. Sua área é 41.285 lação a 2007, foi maior em km² e sua população é de 7 milhões de habitantes. A. 8%. A tabela abaixo mostra a área degradada em km² da B. 12%. Floresta Amazônica. C. entre 12 % e 20 %. D. 20%. E. maior que 20%. 15. “Pão por quilo divide opiniões em Campinas” (Cor- reio Popular, 21/10/2006). Uma padaria de Campinas vendia pães por unidade, a um preço de R$ 0,20 por pãozinho de 50 g. Atualmente,Se a área degradada na Suíça fosse igual a média de a mesma padaria vende o pão por peso, cobrando R$km² degradados na Amazônia no período 2007-2009, 4,50 por quilograma do produto.o porcentual aproximado de natureza destruída nesse A taxa de variação percentual do preço do pãozinho provo-país seria de cada pela mudança de critério para o cálculo do preço foi deA. 25%. B. 30%. A. 10%. B. 12,5%.C. 35%. D. 40%. C. 15%. D. 17,5%.E. 45%. E. 20%.12. Define-se renda per capita de um país como a razão 16. Um determinado cidadão recebe um salário bruto de entre o produto interno bruto (PIB) e a população R$ 2.500,00 por mês e gasta cerca de R$ 1.800,00 economicamente ativa. Em certo país, o governo por mês com escola, supermercado, plano de saúde, pretende aumentar a renda per capita em 50%. Se, etc. Uma pesquisa recente mostrou que uma pessoa nesse período, a população economicamente ativa com esse perfil tem seu salário bruto tributado em aumentar em 20%, o acréscimo do PIB deverá ser de 13,3% e paga 31,5% de tributos sobre o valor dosA. 50%. B. 65%. produtos e serviços que consome. Nesse caso, o per-C. 80%. D. 95%. centual total do salário mensal gasto com tributos éE. 110%. de cerca de Universidade Aberta do Nordeste 39
  16. 16. A. 40%. B. 41%. mas será depositado nessa conta corrente apenasC. 45%. D. 36%. no dia 10/12. Maria está considerando duas opçõesE. 30% para pagar a prestação: 1. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros17. Há um ano, Bruno comprou uma casa por compostos de 2% ao dia sobre o saldo negativo em R$50.000,00. Para isso, tomou emprestados sua conta corrente, por dois dias. R$10.000,00 de Edson e R$10.000,00 de Carlos, 2. Pagar no dia 10. Nesse caso, ela deverá pagar uma prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, multa de 2% sobre o valor total da prestação. acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A Suponha que não haja outras movimentações em sua casa valorizou 3% durante esse período de um ano. conta corrente. Se escolher a opção 2, ela terá, em rela- Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou ção à opção 1 o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de A. desvantagem de 22,50 euros.A. R$ 400,00. B. R$ 500,00. B. vantagem de 22,50 euros.C. R$ 600,00. D. R$ 700,00. C. desvantagem de 21,52 euros.E. R$ 800,00. D. vantagem de 21,52 euros. E. não há diferença.18. Uma rede de lojas promove a venda de uma má- quina fotográfica digital pela seguinte oferta: “Leve 21. O mercado automotivo na América Latina crescerá, agora e pague daqui a três meses”. Caso o paga- no máximo, 2% em 2012. A estimativa é que, após mento seja à vista, a rede de lojas oferece ao con- esse período, ele voltará a expandir-se mais rapi- sumidor um desconto de 20%. Caso o consumidor damente, o que permitirá um crescimento médio prefira aproveitar a oferta, pagando no final do 3º de 5% nos próximos 5 anos. A afirmação foi feita mês a compra, a taxa anual de juros simples que pelo presidente da GM na América do Sul. Suas está sendo aplicada ao financiamento é de estimativas para as vendas, especificamente da GMA. 20%. B. 50%. na América Latina, são de 1,1 milhão de unidadesC. 80%. D. 100%. em 2012 e de chegar a 1,4 milhão de veículos porE. 120%. ano até 2015. (http://economia.estadao.com.br, 06.10.2011. Adaptado.)19. Sr. Marcelo quer dividir seu capital de R$ O A estimativa de que as vendas da GM, na América Lati- 30.000,00 em duas partes, uma a ser aplicada no na, chegarão a 1,4 milhão de unidades no ano de 2015 banco A, que paga juros simples à taxa de 0,5% ao pode ser considerada mês, e a outra no banco B, que também paga juros simples, mas à taxa de 0,8% ao mês. A aplicação A. otimista, pois, para isso, a taxa média de crescimen- no banco A é por dois anos e a aplicação no banco to anual das vendas para o período deveria ser maior B por dois anos e meio, os juros obtidos nas duas que 5%. aplicações são iguais, então, no banco A, foi apli- B. tímida, pois, para isso, a taxa média de crescimento cado o valor de anual das vendas para o período deveria ser menor que 5%.A. R$ 20.000,00. C. correta, pois, para isso, a taxa média de crescimentoB. R$ 21.000,00. anual das vendas para o período deveria ser igual a 5%.C. R$ 22.000,00. D. realista, pois, para isso, a taxa média de crescimentoD. R$ 23.000,00. anual das vendas para o período deveria ser menorE. R$ 24.000,00. ou igual a 5%. E. não matematicamente verificável, pois não são for-20. No próximo dia 8/12, Maria, que vive em Portugal, necidos dados suficientes para isto. terá um saldo de 2.300 euros, em sua conta corren- te, e uma prestação a pagar no valor de 3.500 eu- 22. A nota do Ceará no IDEB (Índice de Desenvolvimen- ros. O salário dela é suficiente para saldar a dívida, to da Educação Básica), relativa ao Ensino Médio,40
  17. 17. em 2009 foi 3,6. Admitindo um aumento percentu- Como exemplo, considere a velocidade de um mó- al cumulativo e constante desta nota, ao longo dos vel dada por v = vo + at, em que a velocidade inicial é de próximos 11 anos, para que, em 2020, a nota atinja 4m/s e a aceleração de 2m/s²: valor 6,0, é necessário que haja um aumento em v = 4 + 2t 5 t = 1s v = 6 m/s torno de: (Dado: 11 ≅ 1, 047 ) t = 2s v = 8 m/s 3A. 3,5% a.a. t = 5s v = 14 m/sB. 4,1% a.a. Observe que de t = 1s para t = 2s, a velocidade pas-C. 4,7% a.a. sou de 6m/s para 10 m/s . A taxa de variação da veloci-D. 5,2% a.a.E. 5,6% a.a. dade em relação ao tempo foi de ∆v = 10 − 8 = 2m / s ² . ∆t 2−1 De t = 2s para t = 5s, a velocidade aumen- Função Afim tou de 8 m/s para 14 m/s. A taxa de variação foi de ∆v 14 − 8João pegou um táxi que cobra uma parcela fixa, cha- = = 2m / s ² . ∆t 5−2mada de bandeirada, mais um valor que depende dadistância rodada. A tabela abaixo fornece esses valores. Note que a taxa de variação da função afim é cons- tante, igual ao coeficiente angular. Preço(R$) Bandeirada 5,00 Gráfico Quilômetro Rodado 2,00 O gráfico da função afim é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Para traçar o gráfico da função afim, basta atri- Para uma distância de 10Km, João terá pago buir dois valores a uma das grandezas para se obter os10 .R$2,00 = R$20,00 pela distância percorrida e mais valores da outra. Dessa maneira, obtemos dois pontosR$ 5,00 pela bandeirada, totalizando R$20,00 + R$ 5,00 que são suficientes para traçar a reta.= R$25,00. Ex: Construa o gráfico da função y = 2x + 3. Para uma determinada distância d (km), o valor gas- Para a construção do gráfico, podemos atribuirto V por João foi R$2,00 . d pela distância percorrida, qualquer valor ao x, no caso usaremos os valores 0 e 1.mais a bandeirada de R$ 5,00 resultando na expressão x =0 y = 2.0 + 3 = 3 Ponto (0,3)abaixo. x =1 y = 2.1 + 3 = 5 Ponto (1,5) V(d) = 2.d + 5, com V em reais. A expressão V = 2d + 5 é um exemplo de função Marcamos os pontos no plano cartesiano.afim, também conhecida como função do 1º grau. Chama-se função afim ou função do 1º grau qual-quer função real do tipo f(x) = ax + b, com a e b sendonúmeros reais e a ≠ 0. Na função y = f(x) = ax + b,o número a é chamadode coeficiente angular e b como coeficiente linear outermo independente . Ex:•• f(x) = 2x + 3, em que a = 2 e b = 3 Então, traçamos a reta passando pelos dois pontos.•• g(x) = – 3x + 5 em que a = – 3 e b = 5•• h(x) = 4x, em que a = 4 e b = 0Taxa de VariaçãoA taxa de variação ou taxa de crescimento é represen-tada pela razão entre as variações de duas grandezas. Universidade Aberta do Nordeste 41
  18. 18. O gráfico intercepta o eixo y no ponto de ordenada Raiz da função3, esse valor é o coeficiente linear. Zero ou raiz da função é o valor de x que anula a função, Na função y = ax + b, o valor b representa o ponto ou seja, o valor de x para o qual f(x) = 0.em que a reta intercepta o eixo y. f(x) = ax + b 0 = ax + b ax = – b x = – b/a O zero da função representa o ponto de ordenada zero, ou seja, o ponto em que o gráfico corta o eixo Ox. O coeficiente angular a representa a tangente doângulo que a reta forma com o eixo Ox, situado acimado eixo Ox e à direita da reta, como indicado abaixo. f(x) = ax + b Estudo do sinal Estudar o sinal da função é analisar o valor de y em cada a = tg ponto do gráfico, a parte do gráfico que está acima do Se a > 0 teremos tg >0, o que ocorre quando o ân- eixo x tem y positivo, enquanto a parte do gráfico quegulo é agudo, portanto a função será crescente. está abaixo do eixo x tem y negativo. Se a > 0, teremos: Se a < 0 teremos tg <0, o que ocorre quando oângulo é obtuso, portanto a função será decrescente.  b f(x) < 0 ⇒ x < − a   b f(x) = 0 ⇒ x = −  a  b f(x) > 0 ⇒ x > − a  Se a < 0, teremos:42
  19. 19. Nesse caso, temos a função afim dada pela lei f(x) = ax, com a real e diferente de zero. Ex: y = 3x, em que a = 3 e b = 0 Quando duas grandezas são relacionadas por uma função linear, dizemos que elas são diretamente propor- cionais, podendo, inclusive, usar regra de três. Ex: O valor arrecadado com a venda de um pro- duto depende da quantidade de unidades vendidas. A tabela abaixo apresenta alguns exemplos de arreca-  b f(x) < 0 ⇒ x > − a dação ou receita.   b Unidades vendidas Arrecadação (R$) f(x) = 0 ⇒ x = −  a 25 625  b 50 1250 f(x) > 0 ⇒ x < − a  75 1875 Ex: Um comerciante de camarão tem uma despesa 100 2500fixa de R$ 3.000,00, com aluguel, energia, etc. O comer-ciante compra o camarão por R$ 3,00 e vende por R$ 5,00 o Com base nos dados da tabela, a função que me-quilo. A partir de quantos quilos esse comerciante terá lhor descreve a arrecadação é ade vender para ter lucro? A. exponencial O lucro por quilo é de R$ 2,00, considerando que B. quadráticasão vendidos x quilos de camarão, o valor do lucro com C. lineara venda do camarão é de R$ 2,00.x. Descontando a des- D. logarítmicapesa fixa, temos: R = 2.x – 3000, em que R representa o resultado A razão entre os valores da arrecadação e o núme-financeiro. ro de unidades vendidas é constante, indicando que as Igualando a receita a zero, obtemos a raiz da função: grandezas são proporcionais. 0 = 2.x – 3000 arrecadaçao 625 1250 1875 2500 = = = = = 25 5 2x = 3000 quantidade vendida 25 50 75 100 x = 1500 Como as grandezas são proporcionais, a função que relaciona as duas grandezas é a linear. A função R = 2x – 3000 apresenta coeficiente an-gular (a = 2) positivo, portanto, a função é crescente.Fazendo o estudo do sinal temos, Questão Comentada 04. (ENEM-2011) O saldo de contratações no mercado for- mal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo re- gistrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano, houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando 880.605 trabalhadores com carteira assinada. Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado). Suponha que o incremento de trabalhadores no setor vare- jista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. O resultado será positivo, ou seja, terá lucro ao ven- Considerando-se que y e x representam, respectivamente, asder mais de 1500 quilos de camarão. quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim porFunção Linear diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses éUm caso particular de função afim é aquele em que b = 0. Universidade Aberta do Nordeste 43

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