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Prof. Emerson Mazulo 
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APRESENTAÇÃO 
Prezados concurseiros(as), 
Meu nome é Emerson Mazulo. Sou Mestre em Administração pela Universidade Estácio de Sá. Atuo na Administração Pública Federal há mais de 10 anos exercendo funções como Gestor Financeiro, Gestor de Licitações e Contratos e Gestor de Custos no âmbito do Ministério da Defesa. Já atuei como professor universitário de Estatística, Matemática Financeira, Contabilidade Geral, Contabilidade de Custos, Contabilidade Pública, Controle Interno, Auditoria, Planejamento Tributário, Orçamento Público e Gestão Pública. Sou Bacharel em Ciências Militares, ênfase em Administração pela Academia Militar das Agulhas Negras (AMAN). Sou ex-aluno do Instituto Militar de Engenharia (IME). Possuo Pós-graduação em Finanças Públicas pela Universidade Cândido Mendes. Possuo MBA em Gestão Financeira, Controladoria e Auditoria pela Fundação Getúlio Vargas (FGV). Possuo Pós-graduação em Logística pelo Ministério da Defesa. 
Aqui no Canal dos Concursos sou responsável pela produção de cursos para os seguintes concursos: 
- ICMS/SP; 
- ICMS/RJ 
- BNDES; 
- AFC/STN; 
- AFT; 
- AFRFB. 
Feita essa apresentação, vamos ao nosso curso. 
O curso é destinado a detalhar o conteúdo de Raciocínio Lógico- Quantitativo por meio da teoria e de questões da CESPE, que tradicionalmente produz as provas da PRF, e outras bancas importantes (CESGRANRIO, ESAF, FCC, FGV etc.), que possam nos auxiliar no entendimento dos assuntos. 
As aulas se iniciam com as resoluções das questões do assunto específico e, ao final da aula, são listadas as questões, com gabarito, permitindo a todos que testem seu desempenho, antes e/ou após a aula. 
O curso será composto de 6 aulas (esta e mais 5) e será disponibilizado com a seguinte divisão:
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Aula 0 
Demonstrativa – Resolução de questões 
Aula 1 
Noções de Probabilidade 
Aula 2 
Noções de Estatística 
Aula 3 
Números inteiros, racionais e reais. Problemas de contagem. Sistema legal de Medidas. Razões e proporções; divisão proporcional. Regras de três simples e composta. Porcentagens. Raciocínio lógico: problemas aritméticos. 
Aula 4 
Equações e inequações de 1º e 2º graus. Sistemas lineares. Funções. Gráficos. 
Aula 5 
Sequências numéricas. Progressão aritmética e geométrica. 
Nesta Aula Demonstrativa comento algumas questões recentes, para que observem a didática e o nível de aprofundamento utilizado na resolução das questões. 
Ao final de cada aula, serão resolvidas questões das bancas atinentes à matéria abordada em cada aula. 
Aconselho que, após a aula, todos testem os conhecimentos obtidos com os comentários. Para isso, ao final da aula estão as questões que foram objeto de comentário e o gabarito. 
Por fim, desejo sucesso a todos rumo à almejada aprovação.
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Questões Comentadas 
Texto para as questões de 1 e 2 
Ficou pior para quem bebe 
O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as apreensões subirão, no mínimo, 10%. Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 155.000 CNHs por ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra esses resultados nos últimos anos (fonte: DENATRAN).
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1. (CESPE – PRF – 2008) Para que a média de CNHs suspensas ou cassadas, de 2003 a 2008, atinja o valor previsto de 170.000, será necessário que, em 2008, a quantidade de CNHs suspensas ou cassadas seja um número 
A) inferior a 180.000. 
B) superior a 180.000 e inferior a 200.000. 
C) superior a 200.000 e inferior a 220.000. 
D) superior a 220.000 e inferior a 240.000. 
E) superior a 240.000. 
Comentários: 
Assunto: Média 
A questão está interessada nas CNHs suspensas ou cassadas, dessa forma vamos utilizar a 2ª coluna da tabela. 
Observando a tabela, percebemos que, para o ano de 2008, os dados vão de janeiro a junho, logo faltam os dados relativos aos meses de julho a dezembro para abranger o ano de 2008 todo. 
O enunciado pede qual deve ser esse valor que falta para obtermos uma média de 170.000 CNHs suspensas ou cassadas. 
A média (para rol de dados) é obtida somando-se todos os elementos e dividindo pela quantidade de elementos. 
A fórmula para cálculo da média para rol de dados é: 
Como queremos que a média seja 170.000 temos que: 
= 170.000
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Vamos chamar de “y” o número de carteiras cassadas no ano de 2008. 
Para descobrir o valor do somatório, em vez de somarmos os valores da tabela, podemos fazer por subtração e excluir o valor de 2008. 
Dessa forma: 
Somatório = Número de CNHs cassadas ou suspensas de 2003 a 2007 + Número de CNHs cassadas ou suspensas em 2008 (y) 
Número de CNHs cassadas ou suspensas de 2003 a 2007 = 853.900 – 64.500 = 789.400 
Com isso o Somatório é 789.400 (de 2003 a 2007) + y (2008) 
Lembrando também que o número de dados é igual a 6. Ou seja: 
n = 6 
Substituindo temos: 
170.000 = ⇒ 
789.400 + y = 170.000 x 6 ⇒ 
y = 1.020.000 – 789.400 ⇒ 
y = 230.600 
Gabarito: Letra D
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2. (CESPE – PRF – 2008) Suponha que, em 2006, nenhuma CNH tenha sofrido simultaneamente as penalidades de suspensão e de cassação e que, nesse mesmo ano, para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram cassadas. Nessa situação, é correto afirmar que a diferença entre o número de CNHs suspensas e o número de CNHs cassadas é 
A) inferior a 24.000. 
B) superior a 24.000 e inferior a 25.000. 
C) superior a 25.000 e inferior a 26.000. 
D) superior a 26.000 e inferior a 27.000. 
E) superior a 27.000. 
Comentários: 
Assunto: Interpretação de tabelas 
A questão quer saber a diferença entre o número de CNHs suspensas e o número de CNHs cassadas. 
É fornecida a seguinte relação: 
“Para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram cassadas.” 
Chamando de S o número CNHs suspensas e de C o número CNHs cassadas, temos a relação: 
5S = 3C 
Observando a tabela, temos que, para o ano de 2006, o número de carteiras suspensas e cassadas é 98.800. 
Ou seja:
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S + C = 98.900 
Com isso podemos montar o seguinte sistema: 
Pela expressão temos que: 
C = 
Substituindo na 2ª expressão: 
S + = 98.800 ⇒ 
= 98.800 ⇒ 
S = 37.050 
Substituindo na 1ª expressão temos: 
C = 
C = 61.750 
Logo a diferença será: 
C – S = 61.750 – 37.050 ⇒
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C – S = 24.700 
Gabarito: Letra B 
3. (CESGRANRIO - Escrituário - BB – 2012) 
Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a reciclagem de lixo em algumas regiões do planeta. Baseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano? 
(A) 9,08 
(B) 10,92 
(C) 12,60 
(D) 21,68
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(E) 24,80 
Comentários: 
Assunto: Gráficos 
A questão nos fornece um gráfico e nos pede para calcular a diferença entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano. 
Observando os gráficos verificamos que: 
a) o gráfico da produção está em milhões de toneladas por ano; 
b) o gráfico da reciclagem está porcentagem da produção. 
Como queremos a diferença entre as reciclagens entre China e EUA, vamos calcular cada uma das quantidades recicladas. 
Quantidade de lixo reclicado pelos EUA: 
34% de 228 = x 228 = = 80,92 
Quantidade de lixo reclicado pela China: 
30% de 300 = x 300 = = 90 
Subtraindo o maior valor pelo menos valor (para não obtermos valor negativo) temos que: 
Diferença = 90 – 80,92 = 9,08
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Gabarito: Letra A 
4. (FCC - Técnico - 2012) Na escola de Natália há aula em três períodos: manhã, tarde e noite. Com base nos dados que aparecem no gráfico a seguir, determine quantos alunos frequentam o período da tarde. 
(A) 450. 
(B) 460. 
(C) 470. 
(D) 480. 
Comentário: 
Assunto: Gráficos
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Analisando o gráfico, percebemos que existem valores absolutos e em porcentagem. 
Para iniciar a questão temos que ter em mente que o percentual total sempre é 100%. 
Dessa forma o somatório dos alunos da noite, tarde e manhã é 100% ou 1, pois correspondem à totalidade. 
Os períodos da tarde e da manhã estão em porcentagem do total. 
Chamando o total de alunos de “T”, temos: 
300 + 40% T + 35% T = 100% T ⇒ 
300 + T + T = T ⇒ 
300 + 0,4T + 0,35T = T ⇒ 
300 = T – 0,4T – 0,35T ⇒ 
300 = T – 0,75T ⇒ 
300 = 0,25T 
T= 
T = 1200 
A questão quer saber quantos alunos frequentam o turno da tarde. 
Logo: 
Tarde = 40% T = 40% de 1200 = x 1200 = 480
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Gabarito: Letra D 
5. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2010) Em uma pesquisa de preços de determinado produto, foram obtidos os valores, em reais, de uma amostra aleatória colhida em 6 estabelecimentos que o comercializam. 
Estabelecimento 
Preço 
P 
5,00 
Q 
8,00 
R 
6,00 
S 
6,00 
T 
4,00 
U 
7,00 
A variância dessa amostra é 
(A) 1,50 
(B) 1,75 
(C) 2,00 
(D) 2,25 
(E) 2,50 
Comentários: 
Assunto: Medidas de Dispersão 
Na resolução de questão sobre variância devemos tentar para o que está sendo pedido: variância populacional ou amostral, pois as fórmulas diferem quanto ao denominador. 
A fórmula para cálculo da variância amostral é:
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Onde: 
= cada uma das observações registradas 
= média da amostra 
= número de observações 
A questão nos fornece os valores de , que corresponde aos preços, e o valor de n, que é a quantidade de dados. 
Como temos um total de 7 observações, temos que n = 7. 
Então só nos falta calcular a média. 
A média (para rol de dados) é obtida somando-se todos os elementos e dividindo pela quantidade de elementos. 
A fórmula para cálculo da média para rol de dados é: 
Substituindo os dados na fórmula temos: 
= ⇒ 
= ⇒ 
= 6 
Obtido o valor da média da amostra, vamos ao cálculo da variância amostral. 
Substituindo os dados na fórmula da variância amostral temos:
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⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
Gabarito: Letra C 
Considere os dados a seguir para responder à questão 6. 
Em uma amostra de cinco residências de uma determinada rua, registram-se os seguintes números de moradores em cada uma: 
Casa A 
Casa B 
Casa C 
Casa D 
Casa E 
3 
6 
2 
7 
2 
6. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2008) A variância amostral é 
(A) 5,8 
(B) 5,5 
(C) 5,1
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(D) 4,8 
(E) 4,4 
Comentários: 
Assunto: Medidas de Dispersão 
Na resolução de questão sobre variância devemos tentar para o que está sendo pedido: variância populacional ou amostral, pois as fórmulas diferem quanto ao denominador. 
A fórmula para cálculo da variância amostral é: 
Onde: 
= cada uma das observações registradas 
= média da amostra 
= número de observações 
A questão nos fornece os valores de , que corresponde aos preços, e o valor de n, que é a quantidade de dados. 
Como temos um total de 7 observações, temos que n = 7. 
Então só nos falta calcular a média. 
A média (para rol de dados) é obtida somando-se todos os elementos e dividindo pela quantidade de elementos. 
A fórmula para cálculo da média para rol de dados é: 
Substituindo os dados na fórmula temos:
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= ⇒ 
= ⇒ 
= 4 
Obtido o valor da média da amostra, vamos ao cálculo da variância amostral. 
Substituindo os dados na fórmula da variância amostral temos: 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
⇒ 
Gabarito: Letra B
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7. (CESGRANRIO - TRANSPETRO - 2012) A média aritmética das notas dos 110 aprovados em um concurso foi 6,08. Mas os candidatos do sexo masculino saíram-se melhor: a média aritmética das notas obtidas pelos homens foi 6,6, enquanto a média das mulheres foi 5,5. Quantos homens foram aprovados nesse concurso? 
(A) 52 
(B) 54 
(C) 56 
(D) 58 
(E) 62 
Comentários: 
Assunto: Média Aritmética 
A média, para um rol de dados, é obtida através da fórmula: 
Onde: 
Σ = somatório 
Xi = valores observados 
n = total das frequências (observações) 
A questão nos informa que: 
a) média aritmética das notas dos 110 aprovados em um concurso foi 6,08, ou seja:
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= 6,08 
Fazendo: 
h = número de homens 
m = número de mulheres 
Temos que: 
h + m = 110 
b) a média aritmética das notas obtidas pelos homens foi 6,6, enquanto a média das mulheres foi 5,5, ou seja: 
= 6,6 
= 5,5 
Pela definição temos que: 
e 
Sabemos também que: 
= = 6,08 ⇒
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= 6,08 ⇒ 
= 6,08 x 110 ⇒ 
= 668,80 (1ª expressão) 
Sabemos também que: 
= 6,6 ⇒ 
= 6,6h 
e 
= 5,5 ⇒ 
= 5,5m 
Substituindo os dados na 1ª expressão temos: 
= 668,80 ⇒ 
6,6h + 5,5m = 668,80 (2ª expressão) 
Sabemos que: 
h + m = 110 ⇒ 
m = 110 - h
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Substituindo na 2ª expressão temos: 
6,6h + 5,5 (110 - h) = 668,8 ⇒ 
6,6h + 605 - 5,5h = 668,8 ⇒ 
1,1h = 668,8 - 605 ⇒ 
1,1h = 63,8 ⇒ 
h = ⇒ 
h = 58 
Gabarito: Letra D 
8. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) A média aritmética de 4 números é obtida somando-se os 4 números e dividindo-se essa soma por 4. Se acrescentarmos uma unidade a cada um desses quatro números, a média aritmética aumentará de quantas unidades? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5
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Comentários: 
Assunto: Propriedades da Média 
A questão trata de uma das propriedades da média. 
As propriedades são: 
I) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k), a sua MÉDIA fica MULTIPLICADA OU DIVIDIDA pela constante. 
II) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X), a sua MÉDIA fica ACRESCIDA OU DIMINUÍDA dessa constante. 
Cabe destacar que, embora não sejam objeto desta aula, as propriedades da variância, que é uma medida de dispersão. 
I) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k), a sua VARIÂNCIA fica multiplicada ou dividida pelo QUADRADO da constante. 
II) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X), a sua VARIÂNCIA fica INALTERADA, pois a variância de uma constante é igual a zero. 
Dessa forma, concluímos que se adicionarmos uma unidade, ou seja, somarmos 1, a média aritmética também fica acrescida em uma unidade. 
Gabarito: Letra A
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9. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) “Temporada 2010/2011 de cruzeiros no Brasil já programa 1.676 escalas, com 850 mil passageiros, diz a Brasilcruise, que reúne 20 portos turísticos. (...) Búzios é o principal destino, com previsão de receber meio milhão de visitantes a bordo de 254 cruzeiros.” (Jornal O Globo, 20 jul. 2010) 
Considerando-se que as previsões da Brasilcruise se confirmem, Búzios receberá, por cruzeiro, um número médio de visitantes que está entre 
(A) 100 e 500 
(B) 500 e 900 
(C) 900 e 1.300 
(D) 1.300 e 1.700 
(E) 1.700 e 2.100 
Comentários: 
Assunto: Média 
A questão nos fornece várias informações, porém devemos nos ater ao que é pedido. 
O enunciado pede o número médio de visitantes por cruzeiro em Búzios. 
São fornecidas as seguintes informações: 
“Búzios é o principal destino, com previsão de receber meio milhão de visitantes a bordo de 254 cruzeiros.” 
Ou seja: 
Número de visitantes = 500.000 
Número de cruzeiros = 254
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Dessa forma, podemos obter o número médio de habitantes por cruzeiro dividindo o número de visitantes pelo número de cruzeiros. 
Logo: 
Média = ⇒ 
Média = 1968,5 
Gabarito: Letra E
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QUESTÕES COMENTADAS 
Texto para as questões de 1 e 2 
Ficou pior para quem bebe 
O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as apreensões subirão, no mínimo, 10%. Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 155.000 CNHs por ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra esses resultados nos últimos anos (fonte: DENATRAN).
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1. (CESPE – PRF – 2008) Para que a média de CNHs suspensas ou cassadas, de 2003 a 2008, atinja o valor previsto de 170.000, será necessário que, em 2008, a quantidade de CNHs suspensas ou cassadas seja um número 
A) inferior a 180.000. 
B) superior a 180.000 e inferior a 200.000. 
C) superior a 200.000 e inferior a 220.000. 
D) superior a 220.000 e inferior a 240.000. 
E) superior a 240.000. 
2. (CESPE – PRF – 2008) Suponha que, em 2006, nenhuma CNH tenha sofrido simultaneamente as penalidades de suspensão e de cassação e que, nesse mesmo ano, para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram cassadas. Nessa situação, é correto afirmar que a diferença entre o número de CNHs suspensas e o número de CNHs cassadas é 
A) inferior a 24.000. 
B) superior a 24.000 e inferior a 25.000. 
C) superior a 25.000 e inferior a 26.000. 
D) superior a 26.000 e inferior a 27.000. 
E) superior a 27.000.
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3. (CESGRANRIO - Escrituário - BB – 2012) 
Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a reciclagem de lixo em algumas regiões do planeta. Baseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano? 
(A) 9,08 
(B) 10,92 
(C) 12,60 
(D) 21,68 
(E) 24,80
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4. (FCC - Técnico - 2012) Na escola de Natália há aula em três períodos: manhã, tarde e noite. Com base nos dados que aparecem no gráfico a seguir, determine quantos alunos frequentam o período da tarde. 
(A) 450. 
(B) 460. 
(C) 470. 
(D) 480. 
5. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2010) Em uma pesquisa de preços de determinado produto, foram obtidos os valores, em reais, de uma amostra aleatória colhida em 6 estabelecimentos que o comercializam. 
Estabelecimento 
Preço 
P 
5,00 
Q 
8,00 
R 
6,00 
S 
6,00 
T 
4,00 
U 
7,00
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A variância dessa amostra é 
(A) 1,50 
(B) 1,75 
(C) 2,00 
(D) 2,25 
(E) 2,50 
Considere os dados a seguir para responder à questão 6. 
Em uma amostra de cinco residências de uma determinada rua, registram-se os seguintes números de moradores em cada uma: 
Casa A 
Casa B 
Casa C 
Casa D 
Casa E 
3 
6 
2 
7 
2 
6. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2008) A variância amostral é 
(A) 5,8 
(B) 5,5 
(C) 5,1 
(D) 4,8 
(E) 4,4
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7. (CESGRANRIO - TRANSPETRO - 2012) A média aritmética das notas dos 110 aprovados em um concurso foi 6,08. Mas os candidatos do sexo masculino saíram-se melhor: a média aritmética das notas obtidas pelos homens foi 6,6, enquanto a média das mulheres foi 5,5. Quantos homens foram aprovados nesse concurso? 
(A) 52 
(B) 54 
(C) 56 
(D) 58 
(E) 62 
8. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) A média aritmética de 4 números é obtida somando-se os 4 números e dividindo-se essa soma por 4. Se acrescentarmos uma unidade a cada um desses quatro números, a média aritmética aumentará de quantas unidades? 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5
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9. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) “Temporada 2010/2011 de cruzeiros no Brasil já programa 1.676 escalas, com 850 mil passageiros, diz a Brasilcruise, que reúne 20 portos turísticos. (...) Búzios é o principal destino, com previsão de receber meio milhão de visitantes a bordo de 254 cruzeiros.” (Jornal O Globo, 20 jul. 2010) 
Considerando-se que as previsões da Brasilcruise se confirmem, Búzios receberá, por cruzeiro, um número médio de visitantes que está entre 
(A) 100 e 500 
(B) 500 e 900 
(C) 900 e 1.300 
(D) 1.300 e 1.700 
(E) 1.700 e 2.100
CURSO EM PDF – Matemática – PRF 
Prof. Emerson Mazulo 
www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf31 
GABARITO 
01 - D 02 - B 03 - A 04 - D 05 - C 06 - B 07 - D 
08 - A 
09 - E

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  • 1. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf1 APRESENTAÇÃO Prezados concurseiros(as), Meu nome é Emerson Mazulo. Sou Mestre em Administração pela Universidade Estácio de Sá. Atuo na Administração Pública Federal há mais de 10 anos exercendo funções como Gestor Financeiro, Gestor de Licitações e Contratos e Gestor de Custos no âmbito do Ministério da Defesa. Já atuei como professor universitário de Estatística, Matemática Financeira, Contabilidade Geral, Contabilidade de Custos, Contabilidade Pública, Controle Interno, Auditoria, Planejamento Tributário, Orçamento Público e Gestão Pública. Sou Bacharel em Ciências Militares, ênfase em Administração pela Academia Militar das Agulhas Negras (AMAN). Sou ex-aluno do Instituto Militar de Engenharia (IME). Possuo Pós-graduação em Finanças Públicas pela Universidade Cândido Mendes. Possuo MBA em Gestão Financeira, Controladoria e Auditoria pela Fundação Getúlio Vargas (FGV). Possuo Pós-graduação em Logística pelo Ministério da Defesa. Aqui no Canal dos Concursos sou responsável pela produção de cursos para os seguintes concursos: - ICMS/SP; - ICMS/RJ - BNDES; - AFC/STN; - AFT; - AFRFB. Feita essa apresentação, vamos ao nosso curso. O curso é destinado a detalhar o conteúdo de Raciocínio Lógico- Quantitativo por meio da teoria e de questões da CESPE, que tradicionalmente produz as provas da PRF, e outras bancas importantes (CESGRANRIO, ESAF, FCC, FGV etc.), que possam nos auxiliar no entendimento dos assuntos. As aulas se iniciam com as resoluções das questões do assunto específico e, ao final da aula, são listadas as questões, com gabarito, permitindo a todos que testem seu desempenho, antes e/ou após a aula. O curso será composto de 6 aulas (esta e mais 5) e será disponibilizado com a seguinte divisão:
  • 2. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf2 Aula 0 Demonstrativa – Resolução de questões Aula 1 Noções de Probabilidade Aula 2 Noções de Estatística Aula 3 Números inteiros, racionais e reais. Problemas de contagem. Sistema legal de Medidas. Razões e proporções; divisão proporcional. Regras de três simples e composta. Porcentagens. Raciocínio lógico: problemas aritméticos. Aula 4 Equações e inequações de 1º e 2º graus. Sistemas lineares. Funções. Gráficos. Aula 5 Sequências numéricas. Progressão aritmética e geométrica. Nesta Aula Demonstrativa comento algumas questões recentes, para que observem a didática e o nível de aprofundamento utilizado na resolução das questões. Ao final de cada aula, serão resolvidas questões das bancas atinentes à matéria abordada em cada aula. Aconselho que, após a aula, todos testem os conhecimentos obtidos com os comentários. Para isso, ao final da aula estão as questões que foram objeto de comentário e o gabarito. Por fim, desejo sucesso a todos rumo à almejada aprovação.
  • 3. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf3 Questões Comentadas Texto para as questões de 1 e 2 Ficou pior para quem bebe O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as apreensões subirão, no mínimo, 10%. Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 155.000 CNHs por ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra esses resultados nos últimos anos (fonte: DENATRAN).
  • 4. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf4 1. (CESPE – PRF – 2008) Para que a média de CNHs suspensas ou cassadas, de 2003 a 2008, atinja o valor previsto de 170.000, será necessário que, em 2008, a quantidade de CNHs suspensas ou cassadas seja um número A) inferior a 180.000. B) superior a 180.000 e inferior a 200.000. C) superior a 200.000 e inferior a 220.000. D) superior a 220.000 e inferior a 240.000. E) superior a 240.000. Comentários: Assunto: Média A questão está interessada nas CNHs suspensas ou cassadas, dessa forma vamos utilizar a 2ª coluna da tabela. Observando a tabela, percebemos que, para o ano de 2008, os dados vão de janeiro a junho, logo faltam os dados relativos aos meses de julho a dezembro para abranger o ano de 2008 todo. O enunciado pede qual deve ser esse valor que falta para obtermos uma média de 170.000 CNHs suspensas ou cassadas. A média (para rol de dados) é obtida somando-se todos os elementos e dividindo pela quantidade de elementos. A fórmula para cálculo da média para rol de dados é: Como queremos que a média seja 170.000 temos que: = 170.000
  • 5. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf5 Vamos chamar de “y” o número de carteiras cassadas no ano de 2008. Para descobrir o valor do somatório, em vez de somarmos os valores da tabela, podemos fazer por subtração e excluir o valor de 2008. Dessa forma: Somatório = Número de CNHs cassadas ou suspensas de 2003 a 2007 + Número de CNHs cassadas ou suspensas em 2008 (y) Número de CNHs cassadas ou suspensas de 2003 a 2007 = 853.900 – 64.500 = 789.400 Com isso o Somatório é 789.400 (de 2003 a 2007) + y (2008) Lembrando também que o número de dados é igual a 6. Ou seja: n = 6 Substituindo temos: 170.000 = ⇒ 789.400 + y = 170.000 x 6 ⇒ y = 1.020.000 – 789.400 ⇒ y = 230.600 Gabarito: Letra D
  • 6. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf6 2. (CESPE – PRF – 2008) Suponha que, em 2006, nenhuma CNH tenha sofrido simultaneamente as penalidades de suspensão e de cassação e que, nesse mesmo ano, para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram cassadas. Nessa situação, é correto afirmar que a diferença entre o número de CNHs suspensas e o número de CNHs cassadas é A) inferior a 24.000. B) superior a 24.000 e inferior a 25.000. C) superior a 25.000 e inferior a 26.000. D) superior a 26.000 e inferior a 27.000. E) superior a 27.000. Comentários: Assunto: Interpretação de tabelas A questão quer saber a diferença entre o número de CNHs suspensas e o número de CNHs cassadas. É fornecida a seguinte relação: “Para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram cassadas.” Chamando de S o número CNHs suspensas e de C o número CNHs cassadas, temos a relação: 5S = 3C Observando a tabela, temos que, para o ano de 2006, o número de carteiras suspensas e cassadas é 98.800. Ou seja:
  • 7. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf7 S + C = 98.900 Com isso podemos montar o seguinte sistema: Pela expressão temos que: C = Substituindo na 2ª expressão: S + = 98.800 ⇒ = 98.800 ⇒ S = 37.050 Substituindo na 1ª expressão temos: C = C = 61.750 Logo a diferença será: C – S = 61.750 – 37.050 ⇒
  • 8. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf8 C – S = 24.700 Gabarito: Letra B 3. (CESGRANRIO - Escrituário - BB – 2012) Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a reciclagem de lixo em algumas regiões do planeta. Baseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano? (A) 9,08 (B) 10,92 (C) 12,60 (D) 21,68
  • 9. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf9 (E) 24,80 Comentários: Assunto: Gráficos A questão nos fornece um gráfico e nos pede para calcular a diferença entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano. Observando os gráficos verificamos que: a) o gráfico da produção está em milhões de toneladas por ano; b) o gráfico da reciclagem está porcentagem da produção. Como queremos a diferença entre as reciclagens entre China e EUA, vamos calcular cada uma das quantidades recicladas. Quantidade de lixo reclicado pelos EUA: 34% de 228 = x 228 = = 80,92 Quantidade de lixo reclicado pela China: 30% de 300 = x 300 = = 90 Subtraindo o maior valor pelo menos valor (para não obtermos valor negativo) temos que: Diferença = 90 – 80,92 = 9,08
  • 10. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf10 Gabarito: Letra A 4. (FCC - Técnico - 2012) Na escola de Natália há aula em três períodos: manhã, tarde e noite. Com base nos dados que aparecem no gráfico a seguir, determine quantos alunos frequentam o período da tarde. (A) 450. (B) 460. (C) 470. (D) 480. Comentário: Assunto: Gráficos
  • 11. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf11 Analisando o gráfico, percebemos que existem valores absolutos e em porcentagem. Para iniciar a questão temos que ter em mente que o percentual total sempre é 100%. Dessa forma o somatório dos alunos da noite, tarde e manhã é 100% ou 1, pois correspondem à totalidade. Os períodos da tarde e da manhã estão em porcentagem do total. Chamando o total de alunos de “T”, temos: 300 + 40% T + 35% T = 100% T ⇒ 300 + T + T = T ⇒ 300 + 0,4T + 0,35T = T ⇒ 300 = T – 0,4T – 0,35T ⇒ 300 = T – 0,75T ⇒ 300 = 0,25T T= T = 1200 A questão quer saber quantos alunos frequentam o turno da tarde. Logo: Tarde = 40% T = 40% de 1200 = x 1200 = 480
  • 12. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf12 Gabarito: Letra D 5. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2010) Em uma pesquisa de preços de determinado produto, foram obtidos os valores, em reais, de uma amostra aleatória colhida em 6 estabelecimentos que o comercializam. Estabelecimento Preço P 5,00 Q 8,00 R 6,00 S 6,00 T 4,00 U 7,00 A variância dessa amostra é (A) 1,50 (B) 1,75 (C) 2,00 (D) 2,25 (E) 2,50 Comentários: Assunto: Medidas de Dispersão Na resolução de questão sobre variância devemos tentar para o que está sendo pedido: variância populacional ou amostral, pois as fórmulas diferem quanto ao denominador. A fórmula para cálculo da variância amostral é:
  • 13. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf13 Onde: = cada uma das observações registradas = média da amostra = número de observações A questão nos fornece os valores de , que corresponde aos preços, e o valor de n, que é a quantidade de dados. Como temos um total de 7 observações, temos que n = 7. Então só nos falta calcular a média. A média (para rol de dados) é obtida somando-se todos os elementos e dividindo pela quantidade de elementos. A fórmula para cálculo da média para rol de dados é: Substituindo os dados na fórmula temos: = ⇒ = ⇒ = 6 Obtido o valor da média da amostra, vamos ao cálculo da variância amostral. Substituindo os dados na fórmula da variância amostral temos:
  • 14. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf14 ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Gabarito: Letra C Considere os dados a seguir para responder à questão 6. Em uma amostra de cinco residências de uma determinada rua, registram-se os seguintes números de moradores em cada uma: Casa A Casa B Casa C Casa D Casa E 3 6 2 7 2 6. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2008) A variância amostral é (A) 5,8 (B) 5,5 (C) 5,1
  • 15. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf15 (D) 4,8 (E) 4,4 Comentários: Assunto: Medidas de Dispersão Na resolução de questão sobre variância devemos tentar para o que está sendo pedido: variância populacional ou amostral, pois as fórmulas diferem quanto ao denominador. A fórmula para cálculo da variância amostral é: Onde: = cada uma das observações registradas = média da amostra = número de observações A questão nos fornece os valores de , que corresponde aos preços, e o valor de n, que é a quantidade de dados. Como temos um total de 7 observações, temos que n = 7. Então só nos falta calcular a média. A média (para rol de dados) é obtida somando-se todos os elementos e dividindo pela quantidade de elementos. A fórmula para cálculo da média para rol de dados é: Substituindo os dados na fórmula temos:
  • 16. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf16 = ⇒ = ⇒ = 4 Obtido o valor da média da amostra, vamos ao cálculo da variância amostral. Substituindo os dados na fórmula da variância amostral temos: ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ Gabarito: Letra B
  • 17. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf17 7. (CESGRANRIO - TRANSPETRO - 2012) A média aritmética das notas dos 110 aprovados em um concurso foi 6,08. Mas os candidatos do sexo masculino saíram-se melhor: a média aritmética das notas obtidas pelos homens foi 6,6, enquanto a média das mulheres foi 5,5. Quantos homens foram aprovados nesse concurso? (A) 52 (B) 54 (C) 56 (D) 58 (E) 62 Comentários: Assunto: Média Aritmética A média, para um rol de dados, é obtida através da fórmula: Onde: Σ = somatório Xi = valores observados n = total das frequências (observações) A questão nos informa que: a) média aritmética das notas dos 110 aprovados em um concurso foi 6,08, ou seja:
  • 18. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf18 = 6,08 Fazendo: h = número de homens m = número de mulheres Temos que: h + m = 110 b) a média aritmética das notas obtidas pelos homens foi 6,6, enquanto a média das mulheres foi 5,5, ou seja: = 6,6 = 5,5 Pela definição temos que: e Sabemos também que: = = 6,08 ⇒
  • 19. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf19 = 6,08 ⇒ = 6,08 x 110 ⇒ = 668,80 (1ª expressão) Sabemos também que: = 6,6 ⇒ = 6,6h e = 5,5 ⇒ = 5,5m Substituindo os dados na 1ª expressão temos: = 668,80 ⇒ 6,6h + 5,5m = 668,80 (2ª expressão) Sabemos que: h + m = 110 ⇒ m = 110 - h
  • 20. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf20 Substituindo na 2ª expressão temos: 6,6h + 5,5 (110 - h) = 668,8 ⇒ 6,6h + 605 - 5,5h = 668,8 ⇒ 1,1h = 668,8 - 605 ⇒ 1,1h = 63,8 ⇒ h = ⇒ h = 58 Gabarito: Letra D 8. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) A média aritmética de 4 números é obtida somando-se os 4 números e dividindo-se essa soma por 4. Se acrescentarmos uma unidade a cada um desses quatro números, a média aritmética aumentará de quantas unidades? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
  • 21. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf21 Comentários: Assunto: Propriedades da Média A questão trata de uma das propriedades da média. As propriedades são: I) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k), a sua MÉDIA fica MULTIPLICADA OU DIVIDIDA pela constante. II) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X), a sua MÉDIA fica ACRESCIDA OU DIMINUÍDA dessa constante. Cabe destacar que, embora não sejam objeto desta aula, as propriedades da variância, que é uma medida de dispersão. I) Quando multiplicamos ou dividimos todos os valores de uma variável (X) por uma constante (k), a sua VARIÂNCIA fica multiplicada ou dividida pelo QUADRADO da constante. II) Quando somamos ou subtraímos uma constante (k) a todos os valores de uma variável (X), a sua VARIÂNCIA fica INALTERADA, pois a variância de uma constante é igual a zero. Dessa forma, concluímos que se adicionarmos uma unidade, ou seja, somarmos 1, a média aritmética também fica acrescida em uma unidade. Gabarito: Letra A
  • 22. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf22 9. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) “Temporada 2010/2011 de cruzeiros no Brasil já programa 1.676 escalas, com 850 mil passageiros, diz a Brasilcruise, que reúne 20 portos turísticos. (...) Búzios é o principal destino, com previsão de receber meio milhão de visitantes a bordo de 254 cruzeiros.” (Jornal O Globo, 20 jul. 2010) Considerando-se que as previsões da Brasilcruise se confirmem, Búzios receberá, por cruzeiro, um número médio de visitantes que está entre (A) 100 e 500 (B) 500 e 900 (C) 900 e 1.300 (D) 1.300 e 1.700 (E) 1.700 e 2.100 Comentários: Assunto: Média A questão nos fornece várias informações, porém devemos nos ater ao que é pedido. O enunciado pede o número médio de visitantes por cruzeiro em Búzios. São fornecidas as seguintes informações: “Búzios é o principal destino, com previsão de receber meio milhão de visitantes a bordo de 254 cruzeiros.” Ou seja: Número de visitantes = 500.000 Número de cruzeiros = 254
  • 23. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf23 Dessa forma, podemos obter o número médio de habitantes por cruzeiro dividindo o número de visitantes pelo número de cruzeiros. Logo: Média = ⇒ Média = 1968,5 Gabarito: Letra E
  • 24. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf24 QUESTÕES COMENTADAS Texto para as questões de 1 e 2 Ficou pior para quem bebe O governo ainda espera a consolidação dos dados do primeiro mês de aplicação da Lei Seca para avaliar seu impacto sobre a cassação de CNHs. As primeiras projeções indicam, porém, que as apreensões subirão, no mínimo, 10%. Antes da vigência da Lei Seca, eram suspensas ou cassadas, em média, aproximadamente 155.000 CNHs por ano. Se as previsões estiverem corretas, a média anual deve subir para próximo de 170.000. A tabela a seguir mostra esses resultados nos últimos anos (fonte: DENATRAN).
  • 25. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf25 1. (CESPE – PRF – 2008) Para que a média de CNHs suspensas ou cassadas, de 2003 a 2008, atinja o valor previsto de 170.000, será necessário que, em 2008, a quantidade de CNHs suspensas ou cassadas seja um número A) inferior a 180.000. B) superior a 180.000 e inferior a 200.000. C) superior a 200.000 e inferior a 220.000. D) superior a 220.000 e inferior a 240.000. E) superior a 240.000. 2. (CESPE – PRF – 2008) Suponha que, em 2006, nenhuma CNH tenha sofrido simultaneamente as penalidades de suspensão e de cassação e que, nesse mesmo ano, para cada 5 CNHs suspensas, 3 eram cassadas. Nessa situação, é correto afirmar que a diferença entre o número de CNHs suspensas e o número de CNHs cassadas é A) inferior a 24.000. B) superior a 24.000 e inferior a 25.000. C) superior a 25.000 e inferior a 26.000. D) superior a 26.000 e inferior a 27.000. E) superior a 27.000.
  • 26. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf26 3. (CESGRANRIO - Escrituário - BB – 2012) Os gráficos acima apresentam dados sobre a produção e a reciclagem de lixo em algumas regiões do planeta. Baseando-se nos dados apresentados, qual é, em milhões de toneladas, a diferença entre as quantidades de lixo recicladas na China e nos EUA em um ano? (A) 9,08 (B) 10,92 (C) 12,60 (D) 21,68 (E) 24,80
  • 27. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf27 4. (FCC - Técnico - 2012) Na escola de Natália há aula em três períodos: manhã, tarde e noite. Com base nos dados que aparecem no gráfico a seguir, determine quantos alunos frequentam o período da tarde. (A) 450. (B) 460. (C) 470. (D) 480. 5. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2010) Em uma pesquisa de preços de determinado produto, foram obtidos os valores, em reais, de uma amostra aleatória colhida em 6 estabelecimentos que o comercializam. Estabelecimento Preço P 5,00 Q 8,00 R 6,00 S 6,00 T 4,00 U 7,00
  • 28. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf28 A variância dessa amostra é (A) 1,50 (B) 1,75 (C) 2,00 (D) 2,25 (E) 2,50 Considere os dados a seguir para responder à questão 6. Em uma amostra de cinco residências de uma determinada rua, registram-se os seguintes números de moradores em cada uma: Casa A Casa B Casa C Casa D Casa E 3 6 2 7 2 6. (CESGRANRIO – TÉCNICO – BNDES – 2008) A variância amostral é (A) 5,8 (B) 5,5 (C) 5,1 (D) 4,8 (E) 4,4
  • 29. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf29 7. (CESGRANRIO - TRANSPETRO - 2012) A média aritmética das notas dos 110 aprovados em um concurso foi 6,08. Mas os candidatos do sexo masculino saíram-se melhor: a média aritmética das notas obtidas pelos homens foi 6,6, enquanto a média das mulheres foi 5,5. Quantos homens foram aprovados nesse concurso? (A) 52 (B) 54 (C) 56 (D) 58 (E) 62 8. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) A média aritmética de 4 números é obtida somando-se os 4 números e dividindo-se essa soma por 4. Se acrescentarmos uma unidade a cada um desses quatro números, a média aritmética aumentará de quantas unidades? (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
  • 30. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf30 9. (CESGRANRIO – PROMIMP – 2010) “Temporada 2010/2011 de cruzeiros no Brasil já programa 1.676 escalas, com 850 mil passageiros, diz a Brasilcruise, que reúne 20 portos turísticos. (...) Búzios é o principal destino, com previsão de receber meio milhão de visitantes a bordo de 254 cruzeiros.” (Jornal O Globo, 20 jul. 2010) Considerando-se que as previsões da Brasilcruise se confirmem, Búzios receberá, por cruzeiro, um número médio de visitantes que está entre (A) 100 e 500 (B) 500 e 900 (C) 900 e 1.300 (D) 1.300 e 1.700 (E) 1.700 e 2.100
  • 31. CURSO EM PDF – Matemática – PRF Prof. Emerson Mazulo www.canaldosconcursos.com.br/curso_pdf31 GABARITO 01 - D 02 - B 03 - A 04 - D 05 - C 06 - B 07 - D 08 - A 09 - E