O documento discute a Lei de Benford, que estabelece que em muitos conjuntos de dados reais, os primeiros dígitos não são igualmente distribuídos, com o dígito 1 aparecendo com mais frequência. Ele apresenta exemplos mostrando que a distribuição dos primeiros dígitos em sequências como Fibonacci e dados do governo seguem este padrão, enquanto números naturais não.
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proposta curricular para educação de jovens e adultos- Língua portuguesa- anos finais do ensino fundamental (6º ao 9º ano). Planejamento de unidades letivas para professores da EJA da disciplina língua portuguesa- pode ser trabalhado nos dois segmentos - proposta para trabalhar com alunos da EJA com a disciplina língua portuguesa.Sugestão de proposta curricular da disciplina português para turmas de educação de jovens e adultos - ensino fundamental. A proposta curricular da EJa lingua portuguesa traz sugestões para professores dos anos finais (6º ao 9º ano), sabendo que essa modalidade deve ser trabalhada com metodologias diversificadas para que o aluno não desista de estudar.
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Slides Lição 11, CPAD, A Realidade Bíblica do Inferno, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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livro em pdf para professores da educação de jovens e adultos dos anos iniciais ( alfabetização e 1º ano)- material excelente para quem trabalha com turmas de eja. Material para quem dar aula na educação de jovens e adultos . excelente material para professores
Slides Lição 10, Central Gospel, A Batalha Do Armagedom, 1Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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Slides Lição 9, Betel, Ordenança para uma vida de santificação, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
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Egito antigo resumo - aula de história.pdfsthefanydesr
O Egito Antigo foi formado a partir da mistura de diversos povos, a população era dividida em vários clãs, que se organizavam em comunidades chamadas nomos. Estes funcionavam como se fossem pequenos Estados independentes.
Por volta de 3500 a.C., os nomos se uniram formando dois reinos: o Baixo Egito, ao Norte e o Alto Egito, ao Sul. Posteriormente, em 3200 a.C., os dois reinos foram unificados por Menés, rei do alto Egito, que tornou-se o primeiro faraó, criando a primeira dinastia que deu origem ao Estado egípcio.
Começava um longo período de esplendor da civilização egípcia, também conhecida como a era dos grandes faraós.
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - AlfabetinhoMateusTavares54
Quer aprender inglês e espanhol de um jeito divertido? Aqui você encontra atividades legais para imprimir e usar. É só imprimir e começar a brincar enquanto aprende!
Atividades de Inglês e Espanhol para Imprimir - Alfabetinho
Lei de Benford
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LEI DE BENFORD
Digamos que tenhamos que analisar um conjunto de números e analisaremos usando o primeiro
dígito de cada número. Por exemplo, analisando o primeiro dígito de cada número da sequência
de 1 a 99 quantos números 1 aparecerão, quantos números 2, quantos 3 e assim até o número 9.
Com qual probabilidade aparecerá cada número?
Com certeza você já concluiu que cada número aparece 11 vezes, portanto com probabilidade
igual para cada primeiro dígito. Até 999 por exemplo, teremos a mesma probabilidade com
cada dígito aparecendo 111 vezes, até 100 teremos o dígito 1 aparecendo 11,2% o mesmo
acontecendo com a sequência até 1000, até 10000 e assim por diante.
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Dadas as afirmações acimas, outra pergunta pode ser feita e provavelmente responderá
facilmente: se analisarmos outros conjuntos de números pelo primeiro dígito assim como foi
feito de 1 a 99, continuaremos com probabilidade igual para cada dígito? Vamos analisar outra
sequência, a sequência de Fibonacci. A sequência de Fibonacci é 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
onde o próximo termo é sempre a soma dos dois anteriores, usando o Excel analisei os 400
primeiros números dessa sequência e os resultados são completamente diferentes dos obtidos
usando os 99 primeiros números naturais.
Dos 400 primeiros números analisados o dígito 1 apareceu mais vezes 29,75% e o dígito 9,
menos vezes 4,5%.
Primeiro dígito Percentual
1 29,75%
2 17,50%
3 12,75%
4 9,25%
5 8,00%
6 6,75%
7 5,75%
8 5,25%
9 4,50%
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Nos dois casos foram analisadas duas sequências, a dos números naturais e a de Fibonacci e se
analisarmos uma distribuição qualquer, o que teríamos? Um gráfico parecido com o primeiro,
com o segundo ou um terceiro tipo. Para análise escolhi uma lista de valores de contratos
firmado entre o governo do Estado e empresas terceirizadas, disponível no portal da
transparência.
Foram 7000 valores de contratos analisados e o percentual de distribuição do primeiro dígito é
muito próximo dos valores encontrados na sequência de Fibonacci.
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Essas duas últimas distribuições encontradas tende a manter esse padrão para diversos tipos de
distribuição aleatória, como PIB, população, densidade demográfica, área territorial, dados da
CVM, (Comissão de Valores Mobiliários) lista de compras de supermercados, taxa de
mortalidade, comprimentos de rios, eleições entres outros. Existe uma lei matemática que
sustenta essa tese, a Lei de Benford conhecida também como lei do primeiro dígito, definida
em escala logarítmica.
Frank Benford definiu que a probabilidade de cada dígito aparecer numa distribuição aleatória
é: log (1 + 1/d), com d igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
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Comparações:
Trabalho dos alunos
Tabelar e criar gráficos com a probabilidade de distribuição do primeiro dígito referente a
população, área territorial, densidade demográfica e PIB dos municípios de vários estados
brasileiros. Os dados utilizados foram retirados do site do IBGE Cidades.
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PIB dos municípios de Santa Catarina
PIB dos municípios de Minas Gerais
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Valor Real
Valor Esperado
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Pontos importantes, a lei de Benford não é aplicável a qualquer conjunto numérico, por
exemplo, para os números primos, para os números naturais, para jogos de loterias entre outros.
É uma lei matemática, não jurídica, ou seja, a constatação de fraude usando a lei de Benford
não justifica prisão ou condenação, mas abre procedentes para análise, para investigação.
Veja o vídeo com um exemplo de análise nas eleições de 2010 nos municípios de Minas Gerais.