O documento discute a relação entre linguagem, lógica e realidade segundo diferentes filósofos e lógicos como Wittgenstein, Brouwer e Martin-Löf. Apresenta o desenvolvimento da lógica simbólica e da interpretação funcional da dedução lógica, culminando na formulação recente de "provas de igualdade" como "caminhos" na teoria dos tipos.

1. Lógica, Linguagem e a
“Realidade”
Lançamento do Livro “The Functional
Interpretation of Logical Deduction”
(World Sci., Oct 2011)
Ruy J.G.B. de Queiroz

2. Linguagem versus “Realidade”
• “O mundo é a totalidade
de fatos, não de coisas”
• “Os limites de minha
linguagem significam os
limites de meu mundo”
• “Sobre o que não
podemos falar, devemos
passar em silêncio”
Ludwig Wittgenstein (1889-
1951)

3. Lógica: Ciência da Argumentação,
Princípios da Racionalidade
• Aristóteles (380 a.C. –
322 a.C.): o que há por
trás do raciocínio
dedutivo
• Leibniz (1646-1716):
linguagem simbólica
visando objetividade
• Frege (1848-1925):
tratamento matemático
a argumentos

4. “Toda Filosofia é uma
Crítica da Linguagem”
• “Escreví um livro
chamado Tractatus
Logico-Philosophicus
contendo todo o meu
trabalho dos últimos 6
anos. Acredito que
resolví nossos
problemas finalmente.
Isso pode parecer
arrogante, mas não
consigo evitar.” (1919)

5. Bertrand Russell (1872-1970)
(co-autor do “Principia Mathematica”)
• “Ele foi talvez o
exemplo mais perfeito
que conhecí de gênio
como tradicionalmente
concebido, apaixonado,
profundo, intenso, e
dominador. Ele tinha
uma espécie de pureza
que nunca conheci
igualada exceto por
G.E.Moore.”(1959)

6. Família Wittgenstein em Viena
• Karl Wittgenstein: 2o mais
rico do Império Áustro-
Húngaro (atrás dos
Rotschilds). Dono da
Siderúrgica Krupp
• Klimt pintou Gretl
• Ravel compôs peça (mão
esquerda) para Paul
• Brahms, Mahler e Strauss
freqüentavam a casa
• 1919: renúncia à herança

7. Professor primário, Jardineiro,
Arquiteto (1919-1928)

8. Palestra em Viena (Março/1928):
“Matemática, Ciência e Linguagem”
Leis do Intuicionismo
(1906):
1. Matemática é
alingüística
2. Há objetos da
Matemática que são
criados, e não
descobertos

9. Luitzen E. J. Brouwer (1881-1966)
e o Intuicionismo
• Matemática também
como um ato de criação,
e não apenas de
descoberta
• A concepção de espaço
não é a priori, embora a
de tempo o seja
• Controvertido, porém
respeitado: ajudou a criar
a Topologia
• Na Universidade aos 16

10. Livro Azul (1930)
• “As perguntas ‘O que é
comprimento?’, ‘O que é
significado?’, ‘O que é o
número 1?’, etc.,
produzem em nós uma
cãimbra mental.
• Sentimos que não
podemos apontar para
nada em resposta a elas,
e mesmo assim
deveríamos apontar para
algo.”

11. Santo Agostinho e o
Aprendizado de Linguagem
• “Quando Santo Agostinho fala sobre o
aprendizado de linguagem ele fala sobre como
associar nomes a coisas, ou entender os nomes
das coisas.
• Nomear aqui aparece como os fundamentos, a
base e tudo o que diz respeito a linguagem.
• Nessa visão de linguagem encontramos as raízes
da seguinte idéia: Toda palavra tem um
significado. Esse significado está correlacionado
com a palavra. É o objeto para o qual a palavra
aponta.”

12. Jogos de Linguagem
• “Vou chamar o todo, consistindo de linguagem e
as ações nas quais ela está entrelaçada, de ‘jogo
de linguagem’.”
• “A palavra ‘jogo-de-linguagem’ é usada aqui para
enfatizar o fato de que falar numa linguagem é
parte de uma atividade, ou uma forma de vida.”
• “Quando penso através da linguagem, não
existem ‘significados’ passando pela minha
mente em conjunto com as expressões verbais: a
linguagem é em si mesma o veículo do
pensamento”. (Não há linguagem privada).

13. Gramática Filosófica (1933)
• “Qualquer
interpretação ainda fica
pendurada no ar
juntamente com o que
ela interpreta, e não
pode lhe dar suporte.
• Interpretações por si só
não determinam
significado.”

14. Investigações Filosóficas (1945)
• “Para uma ampla classe
de casos—embora não
para todos—nos quais
empregamos a palavra
‘significado’ ela pode ser
definida assim: o
significado de uma
palavra é seu uso na
linguagem”
• “Filosofia é uma batalha
contra o enfeitiçamento
de nossa inteligência por
meio da linguagem”.

15. Fundamentos da Matemática (1941-4)
• “Eu disse uma vez: ‘Se
você quiser saber o que
uma proposição
matemática diz, olhe
para o que sua
demonstração prova’
• Agora, será que não há
tanto veracidade
quanto falsidade
nisso?”

16. Lógica Simbólica e Funcionalidade
Haskell Curry (1900-1982)
William Howard (1926-)
• Cada enunciado da
Matemática pode ser
visto como o conjunto
de suas provas
• “Interpretação
Funcional de Curry-
Howard” (1934, 1968)

17. Formalização da
Matemática Construtiva (1970’s)
Per Martin-Löf (1942-)
• “Matemática Construtiva
e Programação de
Computadores são
essencialmente a mesma
coisa”
• “Uma prova matemática é
um programa (de
computador)”
• “Teoria Intuicionística de
Tipos” (1972-1984)

18. Intuicionismo e Verificacionismo
Michael Dummett (1925-)
• Retomada do
Intuicionismo, porém com
base no paradigma
“significado é uso” de
Wittgenstein
• O significado de um
enunciado matemático é
determinado pelo que
conta como uma prova
dele. (1977)

19. Teoria Verificacionista do Significado
Dag Prawitz (1936-)
• Teoria do Significado
baseada na idéia de que o
modo de provar um
enunciado determina seu
significado
• Junta-se a Dummett para
reformular o
Intuicionismo sem o
exoticismo de Brouwer
(“Matemática é
alingüística”).

20. Semântica Baseada em
Jogo ou Diálogo
Jaakko Hintikka (1929-)
Paul Lorenzen (1915-
1994)
• Significado de uma
sentença na linguagem
da matemática definido
pela forma de
interação, ao invés de
condições de verdade

21. 13o Simpósio Wittgenstein 1988
(Kirchberg, Áustria)
Moderador de minha
apresentação: David
Pears (1921-2009):
tradutor do Tractatus
para o inglês, biógrafo,
e autor de vários livros
importantes

22. Significado e Conseqüências
• “Será que você vai achar que estou louco se eu
der a seguinte sugestão: o enunciado ‘todo x tem
a propriedade P’ só tem significado quando
estabelecemos que ‘a’ tem a propriedade P,
qualquer que seja esse elemento ‘a’?” (Carta a
Russell em 1912)
• “A questão não é ‘O que estou fazendo quando . .
.?’ (pois isso poderia apenas ser uma questão
psicológica) – mas sim, ‘Que significado o
enunciado tem, o que pode ser deduzido dele,
que conseqüências ele tem?’ (1947-1948)

23. Teoria de Tipos
“Significado-como-Uso”
• Tese de Doutorado,
Imperial College,
Fev/1990
• Reformulação da Teoria
de Martin-Löf, com base
no paradigma
“significado-como-uso”
de Wittgenstein,
alternativamente à
posição de Dummett e
Prawitz.

24. Sistemas Dedutivos Rotulados
• Dov Gabbay (1945-):
Dedução lógica envolve
uma combinação de
linguagem e meta-
linguagem
• Minha leitura: a teoria
de tipos “significado-
como-uso” seria uma
realização dessa idéia

25. Curso em Riga (Letônia)
• Mathieu Marion
(Québec): 25/05 a
10/06/2010, “Lógica:
De Verdade a Provas e
Jogos”: “Da numerosa
bibliografia, olharemos
unicamente para os
artigos filosóficos do
lógico Ruy de
Queiroz…”

26. Provas de Igualdade
Martin Hofmann (Munique)
Thomas Streicher
(Darmstadt)
• 1994: Modelo da Teoria
Intuicionística de Tipos de
Martin-Löf que refuta o
princípio da unicidade de
provas de igualdade
• 1994: Igualdade na
Dedução Rotulada

27. Provas de Igualdade: Ju
• Dissertação de
Mestrado (1995)
• 2o Lugar no concurso de
teses da Sociedade
Brasileira de
Computação
• 3 publicações
internacionais

28. Recentemente: Uma Ponte entre
Geometria, Lógica e Álgebra
Vladimir Voevodsky
(Princeton)
Steve Awodey (Carnegie-
Mellon)
• Fundamentos da
Matemática baseados no
Modelo de Hofmann &
Streicher (2005-presente)
• Um tipo é um espaço
topológico; elementos
são pontos; e provas de
igualdade entre pontos
são “caminhos”.

29. Desdobramentos Recentes
• Desde 1993 temos uma formulação de “prova
de igualdade” como “caminhos”.
• Na dissertação de Ju (1995) surgiram mais
detalhes técnicos que permitem a
aproximação com o trabalho de Hofmann e
Streicher, e com a linha de trabalho de
Voevodsky e Awodey denominada de
“Fundamentos Univalentes da Matemática”.