"Linguagem, Lógica e a Natureza da Matemática", palestra ministrada no IV Congresso da Associação de Linguagem & Direito - Linguagem & Direito: rios sem discurso?", de 28 a 30/09/2016, na UNICAP, em Recife.

1. Linguagem, Lógica e a
Natureza da Matemática
Ruy J.G.B. de Queiroz
Centro de Informática da UFPE
IV Congresso da ALIDI, UNICAP, Recife, Set/2016

2. Linguagem versus
“Realidade”
• “O mundo é a totalidade
de fatos, não de coisas”
• “Os limites de minha
linguagem significam os
limites de meu mundo”
• “Sobre o que não podemos
falar, devemos passar em
silêncio”
Ludwig Wittgenstein (1889-
1951)

3. Lógica: Ciência da Argumentação,
Princípios da Racionalidade
• Aristóteles (380a.C.– 322
a.C.): o que há por trás do
raciocínio dedutivo
• Leibniz (1646-1716):
linguagem simbólica visando
objetividade
• Frege (1848-1925): tratamento
matemático a argumentos

4. “Toda Filosofia é uma Crítica
da Linguagem”
• “Escreví um livro chamado
Tractatus Logico-
Philosophicus contendo todo
o meu trabalho dos últimos 6
anos. Acredito que resolví
nossos problemas finalmente.
Isso pode parecer arrogante,
mas não consigo
evitar.” (1919)

5. Filosofia como
Crítica da Linguagem
• Fritz Mauthner (1849-1923)
• Wittgenstein: “Toda filosofia é ‘crítica da
linguagem’. (Todavia, não no sentido de
Mauthner)” (Tractatus, 4.0031)
• Linguagem como Spielregel.
• “Linguagem nada mais é do que seu
uso.”
• “Se eu quiser ascender à crítica da
linguagem, que é a mais importante
ocupação da humanidade pensante,
então devo destruir a linguagem por trás
de mim e em mim, passo a passo: tenho
que destruir todos os degraus da
escada enquanto estou escalando-
a.” (B. i. 2)

6. Bertrand Russell (1872-1970) (co-
autor do “Principia Mathematica”)
• “O Tractatus Logico-Philosophicus do
Sr. Wittgenstein, se chega ou não a
revelar a verdade última sobre os
assuntos de que trata, certamente
merece, pela sua amplitude e o alcance
e profundidade, ser considerada um
evento importante no mundo filosófico.
A partir dos princípios do Simbolismo e
as relações que são necessárias entre
palavras e coisas em qualquer idioma,
o trabalho aplica o resultado desta
busca a vários departamentos da
filosofia tradicional, mostrando em cada
caso como a filosofia tradicional e as
soluções tradicionais surgem da
ignorância dos princípios do
Simbolismo e como resultado do mau
uso da linguagem.” (Maio, 1922)

7. Família Wittgenstein em
Viena
• Karl Wittgenstein: 2o mais rico do
Império Áustro- Húngaro (atrás dos
Rotschilds). Dono da Siderúrgica Krupp
• Klimt pintou Gretl (irmã)
• Ravel compôs peça (mão
esquerda) para Paul
• Brahms, Mahler e Strauss
freqüentavam a casa
• 1919: renúncia à herança

8. Professor primário, Jardineiro,
Arquiteto (1919-1928)

9. Palestra em Viena (Março/1928):
“Matemática, Ciência e Linguagem”
• Leis do Intuicionismo (1906):
1. Matemática é alingüística
2. Há objetos da
Matemática que são
criados, e não
descobertos.
(Sequencias de escolha)

10. Luitzen E. J. Brouwer
(1881-1966) e o Intuicionismo
• Matemática também como um
ato de criação, e não apenas de
descoberta. Objetos matemáticos
como construções mentais.
• A concepção de espaço não é
a priori, embora a de tempo o
seja.
• Controvertido, porém
respeitado: ajudou a criar a
Topologia.
• Na Universidade aos 16.

11. Livro Azul (1930)
• “As perguntas ‘O que é
comprimento?’, ‘O que é
significado?’, ‘O que é o
número 1?’, etc., produzem
em nós uma cãibra mental.
• Sentimos que não podemos
apontar para nada em
resposta a elas, e mesmo
assim deveríamos apontar
para algo.”

12. Santo Agostinho e o
Aprendizado de Linguagem
• “Quando Santo Agostinho fala sobre o aprendizado de
linguagem ele fala sobre como associar nomes a coisas,
ou entender os nomes das coisas.
• Nomear aqui aparece como os fundamentos,a base e
tudo o que diz respeito a linguagem.
• Nessa visão de linguagem encontramos as raízes da
seguinte idéia: Toda palavra tem um significado. Esse
significado está correlacionado com a palavra. É o objeto
para o qual a palavra aponta.”

13. Jogos de Linguagem
• “Vou chamar o todo,consistindo de linguagem e as ações
nas quais ela está entrelaçada, de ‘jogo de linguagem’.”
• “A palavra ‘jogo-de-linguagem’ é usada aqui para
enfatizar o fato de que falar numa linguagem é parte de
uma atividade, ou uma forma de vida.”
• “Quando penso através da linguagem, não existem
‘significados’ passando pela minha mente em conjunto
com as expressões verbais: a linguagem é em si mesma o
veículo do pensamento”. (Não há linguagem privada).

14. Significado como
“Condições de Verdade”
• Alfred Teitelbaum/Tarski
(1901-1983) é mais conhecido
por seu trabalho em teoria dos
modelos, metamatemática, e
lógica algébrica.
• Em 1933 publicou artigo sobre
“uma definição de ‘verdade’
em linguagens formalizadas”,
usando “condições de
verdade”, via a distinção entre
linguagem e metalinguagem.
Dá suporte teórico à “teoria da
correspondência”.

15. Incompletude
• Kurt Gödel (1906-1978), ficou
conhecido por seu trabalho no uso de
lógica e teoria dos conjuntos para
entender os fundamentos da
matemática.
• 1930:
1. “Qualquer formalização da
Aritmética ou é inconsistente ou
é incompleta.”
2. “Nenhuma teoria formalizada
pode provar sua própria
consistência.”
3. “Nem toda verdade aritmética é
demonstrável.”

16. Gramática Filosófica (1933)
• “Qualquer interpretação ainda
fica pendurada no ar
juntamente com o que ela
interpreta, e não pode lhe dar
suporte.
• Interpretações por si só não
determinam significado.”

17. Investigações Filosóficas
(1945)
• “Para uma ampla classe de
casos—embora não para
todos—nos quais
empregamos a palavra
‘significado’ ela pode ser
definida assim: o significado
de uma palavra é seu uso na
linguagem”
• “Filosofia é uma batalha contra
o enfeitiçamento de nossa
inteligência por meio da
linguagem”.

18. Significado como
“Condições de Prova”
• Arend Heyting (1898-1980),
discípulo de Brouwer, é mais
conhecido pela chamada
“interpretação de Brouwer-
Heyting-Kolmogorov” da
linguagem da matemática.
• Em 1930 publica artigo
definindo o significado de
proposições matemática por
suas “condições de prova”.

19. Fundamentos da
Matemática (1941-4)
• “Eu disse uma vez: ‘Se você
quiser saber o que uma
proposição matemática diz,
olhe para o que sua
demonstração prova’
• Agora,será que não há tanto
veracidade quanto falsidade
nisso?”

20. Intuicionismo como
Verificacionismo
• Michael Dummett (1925-2011),
conhecido por seu trabalho sobre
verdade e significado e suas
implicações para os debates entre
realismo e anti-realismo, um termo
que ele ajudou a popularizar.
• Retomada do Intuicionismo, porém
com base no paradigma
“significado é uso” de Wittgenstein
• O significado de um enunciado
matemático é determinado pelo
que conta como uma prova dele.
(1977)

21. Teoria Verificacionista do
Significado
• Dag Prawitz (1936-), mais
conhecido por seu trabalho em
teoria da prova e os fundamentos
da dedução natural.
• Teoria do Significado baseada na
idéia de que o modo de provar
um enunciado determina seu
significado
• Junta-se a Dummett para
reformular o Intuicionismo sem o
exoticismo de Brouwer
(“Matemática é alingüística”).

22. Dummett, 1977
• “the meaning of each [logical] constant is to be
given by specifying, for any sentence in which that
constant is the main operator, what is to count as a
proof of that sentence, it being assumed that we
already know what is to count as a proof of any of
the constituents.”

23. Prawitz, 1977
• “As pointed out by Dummett, this whole way of arguing with its
stress on communication and the role of the language of
mathematics is inspired by ideas of Wittgenstein and is very
different from Brouwer's rather solipsistic view of mathematics as a
languageless activity. Nevertheless, as it seems, it constitutes the
best possible argument for some of Brouwer's conclusions.”
• I have furthermore argued that the rejection of the platonistic
theory of meaning depends, in order to be conclusive, on the
development of an adequate theory of meaning along the lines
suggested in the above discussion of the principles concerning
meaning and use. Even if such a Wittgensteinian theory did not
lead to the rejection of classical logic, it would be of great interest
in itself.”

24. Semântica Baseada em
Jogo ou Diálogo
• Paul Lorenzen (1915-1994),
Jaakko Hintikka (1929-2015)
• Significado de uma sentença
na linguagem da matemática
definido pela forma de
interação, ao invés de suas
“condições de verdade”.
• Dialogue Semantics versus
Game-Theoretical Semantics

25. Significado e
Conseqüências
• “Será que você vai achar que estou louco se eu der a
seguinte sugestão: o enunciado ‘todo x tem a propriedade
P’ só tem significado quando estabelecemos que ‘a’ tem a
propriedade P, qualquer que seja esse elemento
‘a’?” (Carta a Russell em 1912)
• “A questão não é ‘O que estou fazendo quando . . .?’ (pois
isso poderia apenas ser uma questão psicológica) – mas
sim, ‘Que significado o enunciado tem, o que pode ser
deduzido dele, que conseqüências ele tem?’ (1947-1948)