Este documento apresenta uma comparação entre o uso de testes t de Student e análise de variância (ANOVA) para comparar médias em diferentes situações. Inclui exemplos de como aplicar o teste t de Student para comparar o QI médio de loiras e morenas, e de crianças bem versus mal nutridas. Também apresenta um exemplo de uso da ANOVA para comparar a produção média de leite de vacas alimentadas com diferentes rações.

1. 0
Associação Diocesana de Ensino e Cultura de Caruaru
FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE CARUARU
Reconhecida pelo Decreto 6399 de 15.01.69 D.O. 17-01-69
CURSO: ADMINISTRAÇÃO
Prof. Wellington Marinho Falcão
AULA 10

2. 1
COMPARAÇÃO ENTRE MÉDIAS E ANÁLISE DE
VARIÂNCIA
Primeiramente vamos comparar duas médias cujas amostras sejam
grandes n1 ≥ 30 e n2 ≥ 30, casuais, independentes e as variáveis
de interesse forem, no mínimo, de 3º nível.
A fórmula para o caso acima é:
‫ݐ‬଴ =
‫ݔ‬ଵതതത − ‫ݔ‬ଶതതത
ට
‫ݏ‬ଶ(‫ݔ‬ଵ)
݊ଵ
+
‫ݏ‬ଶ(‫ݔ‬ଶ)
݊ଶ
GLIB = n1 + n2 – 2
H0: µ1 = µ2
Ha: µ1 ≠ µ2
Outra condição necessária é a de que as variâncias possam ser
consideradas iguais e que as diferenças verificadas se devam ao
acaso, tendo na população-mãe, distribuição normal.
Vejamos um exemplo:
1º) Alcebíades deseja provar que o QI das loiras é tão alto quanto o
das morenas, por isso, ele pega uma amostra aleatória de 31 loiras
e uma outra de 31 morenas, coletando os seguintes QIs:
X1 = QI das loiras

3. 2
90 125 85 95 140 150
145 100 110 105 125 125
95 105 95 120 130 105
90 110 115 135 75 85
105 125 60 140 100 130
145 125 65 130 75 110
125 100 120 120 85 85
105 90 100 95
130 90 85 100
x1 = QI das loiras x2 = QI das morenas
As estatísticas para as loiras são:
n1 = 31
‫ݔ‬ҧ1 = 104,6774
s²(x1) = 399,8925
As estatísticas para as morenas são:
n2 = 31
‫ݔ‬ҧ2 = 107,2581
s²(x2) = 546,3978
Parto da hipótese probanda (H0) de que os QIs médios são iguais e
que a ligeira superioridade em prol das morenas se deve ao acaso.
Calculando t0, para aceitarmos H0 precisamos que:
- tc ˂ t0 ˂ tc
‫ݐ‬଴ =
ଵ଴ସ,଺଻଻ସିଵ଴଻,ଶହ଼ଵ
ට
యవవ,ఴవ
యభ
ା
ఱరల,ర
యభ
= - 0,45

4. 3
Para α = 5% com 6º0 graus de liberdade. GLIB = 31+ 31 -2 = 60
Te mos tc = 2
Como -2 ˂ -0,45 ˂ 2 aceito H0, isto é, loiras e morenas, em média,
têm o mesmo QI
Nota:
Se pelo menos umas das amostras for menor que 30, a fórmula
será:
‫ݐ‬଴ =
‫ݔ‬ଵതതത − ‫ݔ‬ଶതതത
ඨ൬
∑ ‫ݔ‬ଵ
ଶ
+ ∑ ‫ݔ‬ଶ
ଶ
(݊ଵ + ݊ଶ − 2)
൰ ቀ
݊ଵ + ݊ଶ
݊ଵ‫݊ݔ‬ଶ
ቁ
GLIB = n1 + n2 – 2
H0: µ1 = µ2
Ha: µ1 ≠ µ2
2º) Queremos comparar o QI médio de um grupo de crianças bem
nutridas (n1 =6) com o de um outro grupo de crianças mal nutridas
(n2 =8)
BEM NUTRIDAS MAL NUTRIDAS
X1 X1 - ܺത= x1 X1² X2 X2 - ܺത= x2 X2²
115 -2,67 7,11 98 0,25 0,06
118 0,33 0,11 89 -8,75 76,56
116 -1,67 2,78 96 -1,75 3,06
110 -7,67 58,78 102 4,25 18,06
125 7,33 53,78 100 2,25 5,06
122 4,33 18,78 100 2,25 5,06
‫ݔ‬ଵതതത = 117,6667 ෍ ‫ݔ‬ଵ
ଶ
=141,33 102 4,25 18,06
95 -2,75 7,56
‫ݔ‬ଶതതത = 97,75 ෍ ‫ݔ‬ଶ
ଶ
=133,50

5. 4
‫ݐ‬଴ =
ଵଵ଻,଺଻ିଽ଻,଻ହ
ටቀ
భరభ,యయషభయయ,ఱబ
లశఴషమ
ቁቀ
లశఴ
లೣఴ
ቁ
= 7,71 GLIB = n1 + n2 - 2 = 12 e α = 5%
tc = 2,18. Como t0 > tc, recuso H0 e aceito Ha, ou seja, alimentação
influi na inteligência.
Até agora estávamos comparando duas médias. E se quisermos
fazer comparações entre três ou mais méidas?
Usamos a Análise de Variância
Vejamos:
Um zootecnista quer comparar a produção diária de leite em função
de três tipos de ração (A, B e C) dadas às vacas leiteiras.
Escolhemos para o nosso experimento 15 vacas da mesma raça e
idade. Por sorteio estas são subdivididas em três grupos e cada
grupo será alimentado com uma ração diferente de maneira idêntica.
Para α = 5%
LITROSDELEITE
RAÇÕES
A B C
30 50 58
25 8 32
35 48 46
40 65 40
46 36 59
∑ 176 207 235
MÉDIAS 35,2 41,4 47
H0: µA = µB = µC
Ha: Há pelo menos uma diferença

6. 5
Utilizemos a seguinte técnica
XA XB XC ∑ XA² XB² XC² ∑
30 50 58 138 900 2.500 3.364 6.764
25 8 32 65 625 64 1.024 1.713
35 48 46 129 1.225 2.304 2.116 5.645
40 65 40 145 1.600 4.225 1.600 7.425
46 36 59 141 2.116 1.296 3.481 6.893
∑ 176 207 235 618 6.466 10.389 11.585 28.440
Ti T ∑∑X²
VT = ∑∑X² - ்²
௡భା௡మା௡య
= 28.440 –
଺ଵ଼²
ହାହାହ
= 2.978
VE = ∑ ቀ
்೔
మ
௡೔
ቁ -
்మ
௡భା௡మା௡య
=
ଵ଻଺మ
ହ
+
ଶ଴଻మ
ହ
+
ଶଷହమ
ହ
+
଺ଵ଼మ
ହାହାହ
= 348
VD = VT – VE = 2.878 – 348 = 2.630
Mas quem são VT, VE e VD?
VD são os somatórios dos quadrados das variações dentro de cada
grupo (A,B,C), ou seja, pegamos a produção de cada vaca do grupo
A, por exemplo, subtraímos da produção média de A (ܺ஺
തതതത=35,2) e
elevamos ao quadrado, idem para B e C. VD = 2.630 chama-se
somatório das variações dentro dos grupos.
VE é o somatório dos quadrados das diferenças entre a média geral
e as médias de cada grupo, sendo ܺ஺
തതതത= 35,2 e a diferença seria
35,2 – 41,2 que é média geral (618 / 15 = 41,2) desta diferneça se
eleva ao quadrado, idem para B e C,onde ao invés de se usar ܺ஺
തതതത,
usaria ܺ஻
തതതത e ܺ஼
തതതത respectivamente.
VT é a soma dos quadrados das diferenças entre a produção de
cada uma das 15 vacas e média geral (618 / 15 = 41,2).
Perceba que VT = VE + VD

7. 6
O detalhamento disto virá ...as soon as possible.
Precisamos saber os graus de liberdade de VT, VE e VD.
VT possui GLIB = total de vacas -1 = 15 -1 = 14
VE possui GLIB = total de grupos -1 = 3 -1 = 2
VD possui GLIB que é o número de elementos por grupo -1 vezes
o número de grupos = (5 -1) x 3 = 12
Perceba que GLIBVT = GLIBVE +GLIBVD 14 = 2 + 12
Façamos o quadro resumo:
GLIB
variância
estimada
F0
VE 348 2 348/2=174 174/219,17=0,79
VD 2.630 12 2.630/12=219,17
VT 2.978 14
Procuramos na tabela da Distribuição F de Snedecor para α = 5%
com 2 GLIB no numerador e 12 GLIB no denominador e achamos
Fc = 3,89
Se F0 > Fc rejeito Ho
Se F0 < Fc não rejeito H0
Como 0,79 < 3,89, não rejeito H0, ou seja, µA = µB = µC
Isto nos leva a concluir que a rações, e trocadas entre si é o mesmo
que trocar seis por meia dúzia.

8. 7

9. BIBLIOGRAFIA
Introdução Ilustrada à Estatística – autor: Sérgio Francisco Costa – Editora Harbra
Estatística e Introdução à Econometria – autor: Alexandre Sartoris – Editora Saraiva
Estatística Aplicada à Gestão Empresarial – autor: Adriano Leal Bruni – Editora Atlas
Estatística Fácil – autor Antônio Arnot Crespo – Editora Saraiva