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Carregado porWellington Marinho Falcão
Estatística teorema do limite central (aula 3)
O documento explica o Teorema do Limite Central, que estabelece que a distribuição das médias amostrais tende a se aproximar de uma distribuição normal conforme o tamanho da amostra aumenta, mesmo que a população original não seja normalmente distribuída. Isso é ilustrado por meio de um exemplo com uma urna contendo bolas numeradas e o cálculo das médias de amostras retiradas dessa urna.
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- 1. 0 Associação Diocesana deEnsino e Cultura de Caruaru FACULDADE DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS DE CARUARU Reconhecida pelo Decreto 6399 de 15.01.69 D.O. 17-01-69 CURSO: ADMINISTRAÇÃO Prof. Wellington Marinho Falcão AULA 3
- 2. 1 TEOREMA DO LIMITECENTRAL Temos uma urna com uma bola nº 1, duas bolas nº 2, três bolas nº 3, duas bolas nº 4 e uma bola nº 5. Sua distribuição de probabilidade tomaria a seguinte forma: Tiremos do conjunto universo acima todas as amostras possíveis de 2 elementos. As amostras serão retiradas com reposição e tiremos as médias destas amostras. 1 2 2 3 3 3 4 4 5 1 1 1,5 1,5 2 2 2 2,5 2,5 3 2 1,5 2 2 2,5 2,5 2,5 3 3 3,5 2 1,5 2 2 2,5 2,5 2,5 3 3 3,5 3 2 2,5 2,5 3 3 3 3,5 3,5 4 3 2 2,5 2,5 3 3 3 3,5 3,5 4 3 2 2,5 2,5 3 3 3 3,5 3,5 4 4 2,5 3 3 3,5 3,5 3,5 4 4 4,5 4 2,5 3 3 3,5 3,5 3,5 4 4 4,5 5 3 3,5 3,5 4 4 4 4,5 4,5 5 FIG.2
- 3. 2 O conjunto devalores 1, 2, 3, 4 e 5 (as bolas da urna) forma o conjunto universo cuja distribuição se vê na FIG.1. O que fizemos para a FIG.2 foi construir uma nova distribuição com as 81 médias amostrais de tamanho n = 2, ou seja, é posível se retirar com reposição 81 amostras de 2 elementos do conjunto universo da FIG.1. Esta nova distribuição se chama distribuição das médias amostrais. Para a população N = 9 X = {1,2,3,4,5} A média µ será calculada da seguinte forma: Xi fi Xifi 1 1 1 µ = 2 2 4 3 3 9 4 2 8 5 1 5 Média µ = 3 E o desvio padrão σ para o conjunto universo ? σ = 9=∑ fi ∑ = 27fixi 3 9 27 == ∑ ∑ fi xifi 2 ² − ∑∑ N fixi N fixi
- 4. 3 Xi² fi fiXi 2 11 1 σ= 4 2 8 9 3 27 16 2 32 25 1 25 Agora calculemos a média e o desvio padrão para a distribuição das médias amostrais. Xi fi Xifi Xi² Xi²fi 1 1 1 1 1 1,5 4 6 2,25 9 2 10 20 4 40 2,5 16 40 6,25 100 3 19 57 9 171 3,5 16 56 12,25 196 4 10 40 16 160 4,5 4 18 20,25 81 5 1 5 25 25 = Perceba que a média da distribuição das médias amostrais é igual à média da distribuição do conjunto universo: µ = ∑ = 93²fixi 15,133,1 9 27 9 93 2 == − ∑ = 81fi ∑ = 243fixi ∑ = 783² fixi 3 81 243 == ∑ ∑ fi xifi X µ X µ X σX µ
- 5. 4 = Observe que sefizermos ,onde n é o tamanho da amostra, teremos: Pelo Teorema do Limite Central a distribuição das médias amostrais de amostras de tamanho n tem média igual à do conjunto universo e desvio padrão igual ao desvio padrão do conjunto universo dividido pela raiz quadrada do tamanho das amostras. A distribuição das médias amostrais tomaria a seguinte forma: FIG.3 Perceba a forma de sino acima (se ligarmos os pontos). Neste teorema a distribuição das média amostrais será normal mesmo que a distribuição do conjunto universo não o seja. 81,0 81 243 81 783 2 = − n σ 81,0 2 15,1 == n σ ,ou seja, n X σ σ = X σ
- 6. BIBLIOGRAFIA Introdução Ilustrada àEstatística – autor: Sérgio Francisco Costa – Editora Harbra Estatística e Introdução à Econometria – autor: Alexandre Sartoris – Editora Saraiva Estatística Aplicada à Gestão Empresarial – autor: Adriano Leal Bruni – Editora Atlas Estatística Fácil – autor Antônio Arnot Crespo – Editora Saraiva