calculo de concreto armado

1. ESCOLA DE ENGENHARIAR DA UFMG
DEPARTAMENTODEENGENHARIA DE ESTRUTURAS – DEEs
CONCRETO ARMADO I
Prof. Ney Amorim Silva
Março de 2005

2. Para todo professor de concreto é uma tarefa gratificante escrever sobre o assunto de sua aula,
principalmente nesse momento de mudança de norma em que existe uma carência natural de
livros e apostilas contemplando as mudanças da nova NB 1, NBR-6118 de Março de 2003.
Essa é a terceira edição da apostila destinada aos alunos do curso de graduação em
Engenharia Civil, disciplina Concreto Armado I. Peço a gentileza que me informem todos os
erros encontrados para serem consertados edições posteriores.
Os capítulos de flexão simples e fissuração seguem as mesmas formulações das apostilas do
Professor José de Miranda Tepedino, de saudosa memória, adaptadas para as mudanças
inseridas pela nova norma. No caso da flexão simples essa adaptação foi feita pelo Pof
Sebastião Salvador Real Pereira e já utilizada pelos alunos desde o segundo semestre de 2003.
Nesses capítulos os trechos entre “aspas”, quando não referenciados de forma diferente, são
transcrições das suas apostilas originais.
Para o curso completo de Concreto Armado I, essa apostila deve ser complementada com a
apostila de Domínios de Deformação, do Professor. José Celso da Cunha, além naturalmente
das notas de aula.
Gostaria de agradecer a todos os professores de concreto do DEEs, que me ajudaram na troca
de idéias e nas correções, e com certeza continuarão a contribuir nas próximas edições desta
apostila.
Março de 2005

3. Índice
ASSUNTOS Página
Capítulo 1 – Materiais 01
Capítulo 2 – Flexão Normal Simples 29
Capítulo 3 – Laje 55
Capítulo 4 – Controle da Fissuração 94
Capítulo 5 – Cisalhamento 113
Capítulo 6 – Verificação da Aderência 141

4. Capítulo I – MATERIAIS
I.1 – Histórico
O material composto concreto armado surgiu há mais de 150 anos e se transformou neste
período no material de construção mais utilizado no mundo, devido principalmente ao seu
ótimo desempenho, economia e facilidade de produção. Abaixo são citadas algumas datas
históricas, em termos do aparecimento e desenvolvimento do concreto armado e protendido,
conforme Rusch(1981).
1824 – O empreiteiro escocês Josef ASPDIM desenvolveu um processo industrial para
fabricação do cimento portland, assim chamado devido à semelhança com a cor das pedras
calcáreas encontradas na ilha de Portland.
1849/1855 – O francês Joseph Louiz LAMBOT desenvolveu no sul da França, onde passava
suas férias de verão, um barco fabricado com o novo material, argamassa de cimento e areia
entremeados por fios de arame. O processo de fabricação era totalmente empírico e acreditando
estar revolucionando a industria naval, patenteou o novo produto, apresentando-o na feira
internacional de Paris em 1855.
1861 – O paisagista e horticultor francês Joseph MONIER foi na realidade o único a se
interessar pela descoberta de seu compatriota Lambot, vendo neste produto a solução para os
seus problemas de confinamento de plantas exóticas tropicais durante o inverno parisiense. O
ambiente quente e úmido da estufa era favorável ao apodrecimento precoce dos vasos feitos até
então de madeira. O novo produto além de bem mais durável apresentava uma característica
peculiar: se o barco era feito para não permitir a entrada de água seguramente não permitiria
também a sua saída, o que se encaixava perfeitamente à busca de Monier, que a partir desta
data começou a produzir vasos de flores com argamassa de cimento e areia, reforçadas com
uma malha de aço. Monier além de ser bastante competente como paisagista, possuía um forte
tino comercial e viu no novo produto grandes possibilidades passando a divulgar o concreto
inicialmente na França e posteriormente na Alemanha e em toda a Europa. Ele é considerado
por muitos como o pai do concreto armado. Em 1865 construiu nos arredores de Paris uma
ponte de concreto armado com 16,5 m de vão por 4m de largura.
1867 – Monier recebe sua primeira patente para vasos de flores de concreto com armaduras de
aço. Nos anos seguintes consegue novas patentes para tubos, lajes e pontes. Construções
construídas de forma empírica mostram que o inventor não possuía uma noção clara da função
estrutural das armaduras de aço no concreto.
1877 – O advogado americano Thaddeus HYATT publicou sobre seus ensaios com
construções de concreto armado. Hyatt já reconhecia claramente o efeito da aderência aço-
concreto, da função estrutural das armaduras, assim como da sua perfeita localização na peça
de concreto.
1

5. 1878 - Monier consegue novas patentes fundamentais que dão origem a introdução do concreto
armado em outros países.
1884 – Duas firmas alemãs FREYTAG & HEISDCHUCH e MARSTENSTEIN &
JOSSEAUX , compram de Monier os direitos de patente para o sul da Alemanha e reservam-
se o direito de revenda para toda a Alemanha.
1886 – As duas firmas alemãs cedem o direito de revenda ao engenheiro G. A WAISS, que
funda em Berlim uma empresa para construções de concreto segundo o “Sistema Monier”.
Realiza ensaios em “Construções Monier” e mostra através de provas de carga as vantagens
econômicas de colocação de barras de aço no concreto, publicando estes resultados em 1887.
Nesta mesma publicação o construtor oficial Mathias KOENEN, enviado aos ensaios pelo
governo Prussiano, desenvolve baseado nos ensaios, um método de dimensionamento empírico
para alguns tipos de “Construções Monier”, mostrando que conhecia claramente o efeito
estrutural das armaduras de aço. Deste modo passa a existir uma base tecnicamente correta
para o cálculo das armaduras de aço.
1888 – O alemão DOHRING consegue uma patente segunda a qual lajes e vigas de pequeno
porte tem sua resistência aumentada através da protensão da armadura, constituída de fios de
aço. Surge assim provavelmente pela primeira vez a idéia da protensão deliberada.
1900 – A construção de concreto armado ainda se caracterizava pela coexistência de sistemas
distintos, geralmente patenteados. O alemão E. MORSH desenvolve a teoria iniciada por
Koenen e a sustenta através de inúmeros ensaios realizados sobre a incumbência da firma
WAISS & FREITAG, a qual pertencia. Os conceitos desenvolvidos por Morsh e publicados
em 1902 constituem ao longo do tempo e em quase todo o mundo os fundamentos da teoria de
dimensionamento de peças de concreto armado.
1906 – O alemão LABES concluiu que a segurança contra abertura de fissuras conduzia a
peças antieconômicas. Koenen propôs em 1907 o uso de armaduras previamente distendidas.
Foram realizados ensaios em vigas protendidas relatadas por BACH em 1910. Os ensaios
mostraram que os efeitos danosos da fissuração eram eliminados com a protensão. Entretanto
Koenen e Morsh reconheceram já em 1912 uma perda razoável de protensão devido à retração
e deformação lenta do concreto.
2

6. 1928 - O francês FREYSSINET já havia usado a protensão em 1924. Entretanto só em 1928 é
o primeiro engenheiro projetista a reconhecer a importância bem maior da protensão na
construção civil. Estuda as perdas devido a retração e deformação lenta do concreto e registra
várias patentes sobre o sistema Freyssinet de protensão. É considerado o pai do concreto
protendido.
I.2 – Viabilidade do concreto armado
As três propriedades abaixo em conjunto é que viabilizam o material concreto armado:
• Aderência aço-concreto – esta talvez seja a mais importante das propriedades uma vez que
é a responsável pela transferência das tensões de tração não absorvidas pelo concreto para
as barras da armadura, garantindo assim o perfeito funcionamento conjunto dos dois
materiais.
• Coeficiente de dilatação térmica do aço e do concreto são praticamente iguais – esta
propriedade garante que para variações normais de temperatura, excetuada a situação
extrema de incêndio, não haverá acréscimo de tensão capaz de comprometer a perfeita
aderência aço-concreto.
• Proteção da armadura contra a corrosão – Esta proteção que está intimamente relacionada
com a durabilidade do concreto armado acontece de duas formas distintas: a proteção física
e a proteção química. A primeira é garantida quando se atende os requisitos de cobrimento
mínimo preconizado pela NBR 6118(2003) que protege de forma direta as armaduras das
intempéries. A proteção química ocorre devido a presença da cal no processo químico de
produção do concreto, que envolve a barra de aço dentro do concreto, criando uma camada
passivadora cujo ph se situa acima de 13, criando condições inibidoras da corrosão.
Quando a frente de carbonatação, que acontece devido a presença de gás carbônico (CO2)
do ar e porosidade do concreto, atinge as barras da armação essa camada é despassivada
pela reação química do (CO2) com a cal, produzindo ácidos que abaixam o ph desta
camada para níveis iguais ou inferiores a 11,5 , criando condições favoráveis para o
processo eletro-químico da corrosão se iniciar. A corrosão pode acontecer
independentemente da carbonatação, na presença de cloretos (íons cloro Cl-
), ou sulfatos
(S--
).
3

7. I.3 – Vantagens do concreto armado
• Economia – é a vantagem que juntamente com a segunda a seguir, transformaram o
concreto em um século e meio no material para construção mais usado no mundo.
• Adaptação a qualquer tipo de forma ou fôrma e facilidade de execução – a produção do
concreto não requer mão de obra especializada e com relativa facilidade se consegue
qualquer tipo de forma propiciada por uma fôrma de madeira.
• Estrutura monolítica – (monos – única, litos – pedra) esta propriedade garante à estrutura
de concreto armado uma grande reserva de segurança devido ao alto grau de
hiperestaticidade propiciado pelas ligações bastante rígidas das peças de concreto. Além
disso quando a peça está submetida a um esforço maior que a sua capacidade elástica
resistente, a mesma ao plastificar, promove uma redistribuição de esforços, transferindo às
peças adjacentes a responsabilidade de absorver os mesmos.
• Manutenção e conservação praticamente nulas – a idéia que a estrutura de concreto armado
é eterna não é mais aceita no meio técnico, uma nova mentalidade associa à qualidade de
execução do concreto, em todas as suas etapas, um programa preventivo de manutenção e
conservação. Naturalmente quando comparado com outros materiais de construção esta
manutenção e conservação acontecem em uma escala bem menor, sem prejuízo no entanto
da vida útil das obras de concreto armado.
• Resistência a efeitos térmicos-atmosféricos e a desgaste mecânicos.
I.4 – Desvantagens do concreto armado
• Peso próprio – a maior desvantagem do concreto armado é seguramente o seu grande peso
próprio que limita a sua utilização para grandes vãos, onde o concreto protendido ou
mesmo a estrutura metálica passam a ser econômica e tecnicamente mais viáveis. A sua
massa específica é dada pela NBR 6118(2003) como 2500 Kg/m3
;
• Dificuldade de reformas e demolições (hoje amenizada com tecnologias avançadas e
equipamentos modernos que facilitam as reformas e demolições);
• Baixo grau de proteção térmica – embora resista normalmente à ação do fogo a estrutura de
concreto necessita de dispositivos complementares como telhados e isolamentos térmicos
para proporcionar um conforto térmico adequado a construção.
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8. • Fissuração – a fissuração que é um fenômeno inevitável nas peças de concreto armado
tracionadas, devido ao baixo grau de resistência à tração do concreto, foi por muitas
décadas considerado uma desvantagem do material. Já a partir do final da década de
setenta, este fenômeno passou a ser controlado, baseado numa redistribuição das bitolas da
armadura de tração, em novos valores de cobrimentos mínimos e até mesmo na diminuição
das tensões de serviço das armaduras, pelo acréscimo das mesmas. Cabe salientar que a
fissuração não foi eliminada, apenas controlada para valores de aberturas máximas na face
do concreto de tal forma a não comprometer a vida útil do concreto armado.
I.5 - Concreto
I.5.1 – Propriedades mecânicas do concreto
Resistência à compressão
A resistência mecânica do concreto a compressão devido a sua função estrutural assumida no
material composto concreto armado é a principal propriedade mecânica do material concreto a
ser analisada e estudada. Esta propriedade é obtida através de ensaios de compressão simples
realizados em corpos de provas (CPs), com dimensões e procedimentos previamente
estabelecidos em normas nacionais e estrangeiras.
A resistência a compressão depende basicamente de dois fatores: a forma do corpo de prova e a
duração do ensaio. O problema da forma é resolvido estabelecendo-se um corpo de prova
cilíndrico padronizado, com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura, que é recomendado pela
maioria das normas do mundo, inclusive as brasileiras.
Em outros paises, como por exemplo, a Alemanha, adota-se um corpo de prova cúbico de
aresta 20 cm, que para um mesmo tipo de concreto fornece resistência a compressão
ligeiramente superior ao obtido pelo cilíndrico. Isto se deve a sua forma, onde o efeito do atrito
entre as faces do corpo de prova carregadas e os pratos da máquina de ensaio, confina de forma
mais efetiva o CP cúbico que o cilíndrico, devido a uma maior restrição ao deslocamento
transversal das faces carregadas.
Adota-se neste caso um fator redutor igual a 0,85 , que quando aplicado ao CP cúbico
transforma seus resultados em valores equivalentes aos do CP cilíndrico, podendo assim ser
usada a vasta bibliografia alemã sobre o assunto.
5

9. Normalmente o ensaio de compressão em corpos de prova é de curta duração e sabe-se a partir
dos ensaios realizados pelo alemão Rusch, que este valor é ligeiramente superior ao obtido
quando o ensaio é de longa duração. Isto se deve a microfissuração interna do concreto, que se
processa mesmo no concreto descarregado, e que no ensaio de longa duração tem seu efeito
ampliado devido a interligação entre as microfissuras, diminuindo assim a capacidade
resistente do CP a compressão. Uma vez que grande parcela do carregamento que atua em uma
estrutura é de longa duração deve-se corrigir os resultados do ensaio de curta duração por um
fator, denominado coeficiente de Rusch, igual a 0,85.
Resistência característica do concreto a compressão (fck)
Quando os resultados dos ensaios a compressão de um determinado número de CPs são
colocados em um gráfico, onde nas abscissas são marcadas as resistências obtidas e nas
ordenadas a freqüência com que as mesmas ocorrem, o gráfico final obedece a uma curva
normal de distribuição de freqüência, ou curva de Gauss.
Observa-se neste gráfico que a resistência que apresenta a maior freqüência de ocorrência é a
resistência média fcj, aos “j” dias, e que o valor eqüidistante entre a resistência média e os
pontos de inflexão da curva é o desvio-padrão “s” (ver fig. 1.1), cujos valores são dados
respectivamente por:
n
f
f
ci
cj
∑= (1.1)
( )
1n
ff
s
2
cjci
−
−
=
∑ (1.2)
onde n é o número de CPs e fci é a resistência à compressão de cada CP “i”.
6

10. Frequência
Do lote de CPs ensaiados a resistência a ser utilizada nos cálculos é baseada em considerações
probabilísticas, considerando-se em âmbito mundial: a resistência característica (fck) do lote
de concreto ensaiado aquela abaixo da qual só corresponde um total de 5% dos resultados
obtidos (ou seja um valor com 95% de probabilidade de ocorrência)(ver fig. 1.2).
5% 95%
fck
Frequência
Figura 1.2 – Resistência característica do concreto à compressão
s s
Freq,max
Resist. média fcj Resistência do concreto fc
Figura 1.1 – Curva normal de distribuição de freqüências
(Curva de Gauss)
7

11. Para um quantil de 5% obtem-se a partir da curva de Gauss:
fck = fcj – 1,65 s (1.3)
A partir de resultados de ensaios feitos em um grande número de obras e em todo o mundo
percebe-se que o desvio-padrão “s” é principalmente dependente da qualidade de execução e
não da resistência do concreto. A NBR-12655(1996) que trata do preparo, controle e
recebimento do concreto, define baseada na sua expressão (2.3) que o cálculo da resistência
de dosagem deve ser feito segundo a equação:
fcj = fck + 1,65 sd (1.4)
onde sd representa o desvio-padrão de dosagem.
De acordo com a NBR-12655(1996) o cálculo da resistência de dosagem do concreto
depende, entre outras variáveis, da condição de preparo do concreto, definida a seguir:
• Condição A (aplicável às classes C10 até C80): o cimento e o os agregados são medidos
em massa, a água de amassamento é medida em massa ou volume com dispositivo
dosador e corrigida em função da umidade dos agregados;
• Condição B
• Aplicável às classes C10 até C25 - o cimento é medido em massa, a água de amassamento
é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em massa
combinada com volume, de acordo com o exposto em 6.2.3;
• Aplicável às classes C10 até C20 - o cimento é medido em massa, a água de amassamento
é medida em volume mediante dispositivo dosador e os agregados medidos em volume. A
umidade do agregado miúdo é determinada pelo menos três vezes durante o serviço do
mesmo turno de concretagem. O volume de agregado é corrigido através da curva de
inchamento estabelecida especificamente para o material utilizado;
• Condição C (aplicável apenas aos concretos de classe C10 e C15): o cimento é medido
em massa, os agregados são medidos em volume, a água de amassamento é medida em
8

12. Ainda de acordo com a NBR-12655(1996), no início da obra ou em qualquer outra
circunstância em que não se conheça o valor do desvio-padrão sd, deve-se adotar para o
cálculo da resistência de dosagem os valores apresentados na tabela 1.1, de acordo com a
condição de preparo, que deve ser mantida permanentemente durante a construção. Mesmo
quando o desvio-padrão seja conhecido, em nenhum caso o mesmo pode ser adotado menor
que 2,0 MPa.
Tabela 1.1 – Desvio- padrão a ser adotado em função da
condição de preparo do concreto
Condição Desvio-padrão
MPa
A 4,0
B 5,5
C1)
7,0
1)
Para condição de preparo C, e enquanto não se conhece o desvio-padrão, exige-se para os
concretos de classe C15 um consumo mínimo de 350 Kg de cimento por metro cúbico.
Módulo de elasticidade longitudinal
O módulo de elasticidade longitudinal para um ponto qualquer do diagrama σxε (tensão x
deformação) é obtido pela derivada dσ/dε no ponto considerado, que representa a inclinação
da tangente à curva no ponto..De todos os módulos tangentes possíveis o seu valor na origem
tem grande interesse, uma vez que as tensões de serviço na estrutura não devem superar a
40% da tensão de ruptura do concreto, e neste trecho inicial o diagrama σxε é praticamente
linear. De acordo com o item 8.2.8 da NBR-6118(2003) o módulo de elasticidade ou módulo
de deformação tangente inicial é dado por:
Eci = 5600 (fck)1/2
(1.5)
9

13. com Eci e fck dados em MPa.
O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto,
principalmente para determinação dos esforços solicitantes e verificação dos estados limites
de serviço, deve ser calculado por:
Ecs = 0,85 Eci (1.6)
Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal
De acordo com o item 8.2.9 da NBR-6118(2003) para tensões de compressão inferiores a
0,5.fc e para tensões de tração inferiores a fct, o coeficiente de Poisson e o módulo de
elasticidade transversal são dados respectivamente por:
ν = 0,2 (1.7)
Gc = 0,4 Ecs (1.8)
Diagramas tensão-deformação (σxε)
Conforme o item 8.2.10 da NBR-6118(2003) o diagrama σxε na compressão para tensões
inferiores a 0,5 fc pode ser adotado como linear e as tensões calculadas com a lei de Hooke,
com o módulo de elasticidade igual ao secante Ecs.
Para os estados limites últimos o diagrama σxε na compressão é dado pela figura (1.3) abaixo,
onde se nota dois trechos distintos, o primeiro curvo segundo uma parábola de segundo grau,
com deformações inferiores a 0,2%, e o segundo constante, com deformações variando de
0,2% a 0,35%. Para o trecho curvo a tensão no concreto é dada por:
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
2
c
cdc
0,002
ε
110,85fσ (1.9)
10

14. fck
0,85fcd
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−=
2
c
cdc
0,002
ε
110,85fσ
Na equação (1.9) fcd representa a resistência de cálculo do concreto dada no item 12.3.3 da
NBR-6118(2003).
Na tração o diagrama σxε é bilinear conforme a figura (1.4) abaixo:
2‰ 3,5‰ εc
Figura 1.3 – Diagramas tensão-deformação do concreto na compressão
Eci
σct
fct
0,9fct
0,15‰ εct
Figura 1.4 – Diagrama tensão-deformação bi-linear do concreto à tração
11

15. Resistência à tração
Conforme o item 8.2.5 da NBR-6118(2003) a resistência a tração direta do concreto (fct) é
dado por:
fct = 0,9 fct,st (1.10)
ou
fct = 0,7 fct,f (1.11)
onde fct,st é a resistência a tração indireta e fct,f é a resistência a tração na flexão. Na falta
desses valores pode-se obter a resistência média a tração dada por:
fct,m = 0,3 (fck)2/3
(MPa) (1.12)
Os valores inferior e superior para a resistência característica a tração (fctk) são dados por:
fctk,inf = 0,7 fct,m (1.13a)
fctk,sup = 1,3 fct,m (1.13b)
I.5.2 – Características reológicas do concreto
Segundo o dicionário Aurélio reologia é “parte da física que investiga as propriedades e o
comportamento mecânico dos corpos deformáveis que não são nem sólidos nem líquidos”.
Retração (shrinkage)
A retração no concreto é uma deformação independente do carregamento (e, portanto, de
direção, sendo, pois, uma deformação volumétrica) que ocorre devido à perda de parte da
água dissociada quimicamente do processo de produção do concreto, quando este “seca” em
contato com o ar.
A deformação específica de retração do concreto εcs pode ser calculada conforme indica o
anexo A da NBR 6118(2003). Na grande maioria dos casos, permite-se que ela seja calculada
simplificadamente através da tabela 1.2. Esta tabela fornece o valor característico superior da
12

16. deformação específica de retração entre os instantes to e t∞, εcs(t∞, to), em função da umidade
relativa do ar e da espessura equivalente ou fictícia em , dada por:
em = (2 Ac) /u (1.14)
onde Ac é a área da seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a atmosfera.
Os valores dessa tabela são relativos a temperaturas do concreto entre 10 o
C e 20 o
C,
podendo-se, entretanto, admitir temperaturas entre 0 o
C e 40 o
C. Esses valores são válidos
para concretos plásticos e de cimento Portland comum.
Nos casos correntes das obras de concreto armado, em função da restrição à retração do
concreto, imposta pela armadura, satisfazendo o mínimo especificado na NBR-6118(2003), o
valor de εcs(t∞, to) pode ser adotado igual a –15x10-5
. Esse valor admite elementos estruturais
de dimensões usuais, entre 10 cm e 100 cm sujeitos a umidade ambiente não inferior a 75%.
O valor característico inferior da retração do concreto é considerado nulo.
Fluência (creep)
A fluência é uma deformação que depende do carregamento e é caracterizada pelo aumento
da deformação imediata ou inicial, mesmo quando se mantém constante a tensão aplicada.
Devido a esta deformação imediata ocorrerá uma redução de volume da peça, provocando
este fato uma expulsão de água quimicamente inerte, de camadas mais internas para regiões
superficiais da peça, onde a mesma já tenha se evaporado. Isto desencadeia um processo, ao
longo do tempo, análogo ao da retração, verificando-se desta forma um crescimento da
deformação inicial, até um valor máximo no tempo infinito, mesmo sob tensão constante.
Da mesma forma que na retração, as deformações decorrentes da fluência do concreto podem
ser calculadas conforme indicado no anexo A da NBR-6118(2003). Nos casos em que a
tensão σc(to) não varia significativamente, permite-se que essas deformações sejam calculadas
simplificadamente pela expressão:
13

17. ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+=
∞
∞
(28)E
)t(t
)(tE
1
)(tσ)tε(t
ci
0,
0ci
0c0,
ϕ
(1.15)
onde: - εc(t∞, to) é a deformação específica total do concreto entre os instantes to e t∞;
- σc(to) é a tensão no concreto devida ao carregamento aplicado em to;
- ϕ(t∞, to) é o limite para o qual tende o coeficiente de fluência provocado por
carregamento aplicado em to.
O valor de ϕ(t∞, to) pode ser calculado por interpolação da tabela 1.2. Esta tabela fornece o
valor característico superior do coeficiente de fluência ϕ(t∞, to). O seu valor característico
inferior é considerado nulo.
Tabela 1.2 - Valores característicos superiores da
deformação especifica de retração εcs(t∞,to) e do
coeficiente de fluência ϕ(t∞,to)
Umidade Ambiente
%
40 55 75 90
Espessura fictícia
2 Ac/u (cm)
20 60 20 60 20 60 20 60
ϕ(t∞, to)
to
dias
5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1
30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6
60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4
εcs(t∞, to)
%o
5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09
30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09
60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09
I.6 – Aço de armadura passiva
Armadura passiva é a armadura usada nas peças de concreto armado.
14

18. I.6.1 – Categoria
Nos projetos de estruturas de concreto armado deve ser utilizado aço classificado pela
NBR-7480(1996) nas categorias CA-25, CA-50 e CA-60, em que CA significa concreto
armado e o número representa o valor característico da resistência de escoamento do aço em
kN/cm2
. Os valores nominais dos diâmetros, das seções transversais e da massa por metro são
os estabelecidos pela NBR-7480(1996), cujos valores mais usados estão na tabela 1.3.
Tabela 1.3 – Valores nominais para fios e barras de aço
Diâmetro nominal
(mm)
Massa
Nominal
(kg/m)
Área nominal
da seção
(cm2
)Fios Barras
5,0 5,0 0,154 0,196
6,0 0,222 0,283
6,3 0,245 0,312
6,4 0,253 0,322
7,0 0,302 0,385
8,0 8,0 0,395 0,503
9,5 0,558 0,709
10,0 10,0 0,617 0,785
- 12,5 0,963 1,227
- 16 1,578 2,011
- 20,0 2,466 3,142
- 22,0 2,984 3,801
- 25,0 3,853 4,909
- 32,0 6,313 8,042
- 40,0 9,865 12,566
15

19. I.6.2 – Tipo de superfície
Os fios e barras podem ser lisos ou providos de saliências ou mossas. Para cada categoria de
aço, o coeficiente de conformação superficial mínimo, ηb , deve atender ao indicado na
NBR-6118(2003).
Para os efeitos desta norma, a conformação superficial é medida pelo coeficiente η1 , cujo
valor está relacionado ao coeficiente de conformação superficial ηb , como estabelecido na
tabela 1.3, conforme tabela 8.2 da NBR-6118.
.
Tabela 1.3 - Relação entre η1 e ηb
Tipo de Barra
Coeficiente de conformação superficial
ηb η1
Lisa (CA-25) 1 1
Entalhada (CA-60) 1.2 1.4
Alta aderência (CA-50) ≥ 1,5 2.25
Para a massa específica do aço da armadura passiva pode ser adotado o valor 7850 kg/m3
. O
valor do coeficiente de dilatação térmica, para intervalos de temperatura entre 20 o
C e 150 o
C
pode ser adotado como 10-5
/ o
C. O módulo de elasticidade, na falta de ensaios ou valores
fornecidos pelo fabricante, pode ser admitido igual a 210 GPa.
I.6.3 – Diagrama tensão-deformação
O diagrama tensão-deformação do aço, os valores característicos da resistência ao escoamento
fyk , da resistência a tração fstk e da deformação última de ruptura εuk devem ser obtidos de
ensaios de tração realizados segundo a NBR-6152. O valor de fyk para os aços sem patamar de
escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2 ‰.
Para cálculo nos estados limites de serviço e último pode-se utilizar o diagrama tensão-
deformação simplificado mostrado na figura (1.5) abaixo, para os aços com ou sem patamar
de escoamento.
16

20. Fig. 1.5 – Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras
passivas
Es
σs
εs
εyd 10‰
I.7 – Definições da NBR 6118(2003)
Concreto estrutural – termo que se refere ao espectro completo das aplicações do concreto
como material estrutural
Elementos de concreto simples estrutural – elementos estruturais produzidos com concreto
sem nenhuma armadura, ou quando a possui é em quantidades inferiores aos mínimos
estabelecidos nesta norma.
Elementos de concreto armado – elementos estruturais produzidos com concreto cujo
comportamento estrutural depende da perfeita aderência aço-concreto e onde não se aplicam
deformações iniciais nas armaduras.
Elementos de concreto protendido – elementos estruturais produzidos com concreto onde
parte da armadura é previamente alongada por equipamentos especiais de protensão com a
finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os deslocamentos da
estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU( estado
limite último).
17

21. Armadura passiva – qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de
protensão, ou seja, armadura utilizada no concreto armado.
Armadura ativa (de protensão) – armadura constituída por barras, fios isolados ou
cordoalhas, destinada a produzir forças de protensão, isto é, armaduras com pré-alongamento
inicial.
Estados limites
• Estado limite último (ELU) – estado limite relacionado ao colapso, ou a qualquer outra
forma de ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura.
1. estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como
corpo rígido;
2. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no
seu todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais;
3. estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura no
seu todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem;
4. estado limite último provocado por solicitações dinâmicas;
5. estado limite último de colapso progressivo;
6. outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos
especiais.
• Estados limites de serviço (ELS)
1. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F) – estado que se inicia a formação
de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão máxima
de tração na seção transversal for igual a fct,f , já definida anteriormente como a
resistência característica à tração do concreto na flexão.
2. Estado limite de abertura das fissuras (ELS-W) – estado em que as fissuras se
apresentam com aberturas iguais aos m´ximos estabelecidos nesta norma.
3. Estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) – estado em que as
deformações atingem os limites estabelecidos para utilização normal especificados
nesta norma.
4. Estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE) – estado em que as vibrações
atingem os limites estabelecidos para utilização normal da construção.
18

22. I.8 – Ações
Na análise estrutural deve ser considerada a influência de todas as ações que possam produzir
efeitos significativos para a segurança da estrutura em exame, levando-se em conta os
possíveis estados limites últimos e os de serviços. As ações são classificadas conforme a
NBR-8681(2003) em permanente, variáveis e excepcionais.
I.8.1 – Ações permanentes
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a
vida da construção. As ações permanentes devem ser consideradas com seus valores
representativos mais desfavoráveis para a segurança.
I.8.1.1 – Ações permanentes diretas
As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio e pelos pesos dos elementos
construtivos fixos e das instalações permanentes.
• Peso próprio
• Peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes NBR 6120(1980)
• Empuxos permanentes
I.8.1.2 – Ações permanentes indiretas
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por retração e
fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e protensão.
• Retração do concreto
• Fluência do concreto
• Deslocamentos de apoio
• Imperfeições geométricas
1. Imperfeições globais
2. Imperfeições locais
• Momento mínimo
• Protensão
19

23. I.8.2 – Ações variáveis
I.8.2.1 – Ações variáveis diretas
As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso da
construção, pela ação do vento e da chuva.
• Cargas acidentais previstas para o uso da construção
• Ação do vento
• Ação da água
• Ações variáveis durante a construção
I.8.2.2 – Ações variáveis indiretas
• Variações uniformes de temperatura
• Variações não uniformes de temperatura
• Ações dinâmicas
I.8.3 – Ações excepcionais
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos não
podem ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações excepcionais com os
valores definidos, em caso particular, por Normas Brasileiras específicas.
I.8.4 – Valores das ações
I.8.4.1 – Valores característicos
Os valores característicos Fk das ações são estabelecidos na NBR-6118 (2003) em função da
variabilidade de suas intensidades.
Para as ações permanentes Fgk , os valores característicos devem ser adotados iguais aos
valores médios das respectivas distribuições de probabilidade, sejam valores característicos
superiores ou inferiores. Esses valores são aqui definidos ou em normas específicas, como a
NBR-6118(2003).
20

24. Os valores característicos das ações variáveis Fqk , estabelecidos por consenso em Normas
Brasileiras específicas, correspondem a valores que têm de 25% a 35% de probabilidade de
serem ultrapassados no sentido desfavorável, durante um período de 50 anos. Esses valores
são aqui definidos ou em normas específicas, como a NBR-6118(2003).
I.8.4.2 – Valores representativos
As ações são quantificadas por seus valores representativos, que podem ser:
1. os valores característicos conforme definido acima;
2. valores convencionais excepcionais, que são os valores arbitrados para as ações
excepcionais;
3. valores reduzidos, em função da combinação de ações, tais como:
• verificações de estados limites últimos, quando a ação considerada se combina
com a ação principal.Os valores reduzidos são determinados a partir da expressão
ψoFk , que considera muito baixa a probabilidade de ocorrência simultânea dos
valores característicos de duas ou mais ações variáveis de naturezas diferentes;
• verificação de estados limites de serviço. Estes valores reduzidos são determinados
a partir de ψ1Fk , que estima um valor freqüente e ψ2Fk , que estima valor quase
permanente, de uma ação que acompanha a ação principal.
I.8.4.3 – Valores de cálculo
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos,
multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf definidos a seguir.
I.8.5 – Coeficientes de ponderação das ações
As ações devem ser majoradas pelo coeficiente γf dado por:
γf = γf1 . γf2 . γf3 (1.16)
onde:
21

25. • γf1 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera a variabilidade das
ações
• γf2 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera a simultaneidade de
atuação das ações
• γf3 – parte do coeficiente de ponderação das ações γf , que considera os desvios gerados
nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações
I.8.5.1 – Coeficientes de ponderação das ações no ELU
Os valores-base são os apresentados na tabela 1.4 para γf1 . γf3 e na tabela 1.5 para γf2 .
Tabela 1.4 – Valores de γf1 . γf3
Combinações
de
ações
Ações
Permanentes
(g)
Variáveis
(q)
Protensão
(p)
Recalques de
apoio e
retração
D1)
F G T D F D F
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0
Especiais ou de
construção
1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 1,2 0,9 0 0
Onde:
D é desfavorável, F é favorável, G é geral e T é temporária.
1)
Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das
estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3.
I.8.5.2 – Coeficientes de ponderação no ELS
Em geral , o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado pela
expressão:
γf = γf2 (1.17)
onde γf2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (tab. 1.5)
• γf2 = 1 para combinações raras
• γf2 = ψ1 para combinações freqüentes
22

26. • γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes.
I.8.6 – Combinações de ações
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não
desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período
preestabelecido.
Tabela 1.5 – Valores do coeficiente γf2
Ações γf2
ψ0 ψ1
1)
ψ2
Cargas
acidentais
de edifícios
Locais em que não há predominância de
peso de equipamentos que permanecem
fixos por longos períodos de tempo,
nem de elevadas concentrações de
pessoas 2)
0,5 0,4 0,3
Locais em que há predominância de
pesos de equipamentos que
permanecem fixos por longos períodos
de tempo, ou de elevada concentração
de pessoas 3
)
0,7 0,6 0,4
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6
Vento
Pressão dinâmica do vento nas
estruturas em geral
0,6 0,3 0
Temperatura
Variações uniformes de temperatura em
relação à média anual local
0,6 0,5 0,3
1)
Para os valores ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, ver seção
23.
2)
Edifícios residenciais
3)
Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos
23

27. I.8.6.1 – Combinações últimas
1. Combinações últimas normais – Em cada combinação devem estar incluídas as ações
permanentes e a ação variável principal, com seus valores característicos e as demais
ações variáveis, consideradas secundárias, com seus valores reduzidos de combinação,
conforme NBR-8681(2003).
2. Combinações últimas especiais ou de construção – Em cada combinação devem estar
presentes as ações permanentes e a ação variável especial, quando existir, com seus
valores característicos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de
ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-
8681(2003)
3. Combinações últimas excepcionais - Em cada combinação devem estar presentes as
ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, com seus valores
representativos e as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de
ocorrência simultânea, com seus valores reduzidos de combinação, conforme NBR-
8681(2003). Nesse caso se enquadram, entre outras, sismo, incêndio e colapso
progressivo.
4. Combinações últimas usuais – para facilitar a visualização, essas combinações estão
listadas na tabela 11.3 da NBR-6118(2003)
I.8.6.2 – Combinações de serviço
São classificadas de acordo com sua permanência na estrutura como:
1. Quase permanente – podem atuar durante grande parte do período de vida da estrutura e
sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de deformações
excessivas (ELS-DEF);
2. Freqüentes – se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua
consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de
fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser
consideradas para verificações de ELS-DEF decorrentes de vento ou temperatura que
possam comprometer as vedações;
3. Raras – ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua consideração
pode ser necessária na verificação do estado limite de formação de fissuras.
24

28. 4. Combinações de serviço usuais – para facilitar a visualização, essas combinações estão
listadas na tabela 11.4 da NBR 6118(2003)
I.8.7 – Resistências
I.8.7.1 – Valores característicos
Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material , têm uma
determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a segurança.
Pode ser de interesse determinar a resistência característica inferior fk,inf e a superior fk,sup ,
que são respectivamente menor e maior que a resistência média fm . Para efeito da NBR-6118
(2003), a resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 5%
de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material.
I.8.7.2 – Valores de cálculo
1. Resistência de cálculo
A resistência de cálculo fd é dada pela expressão:
fd = fk / γm (1.18)
onde γm é o coeficiente de ponderação das resistências.
2. Resistência de cálculo do concreto
A resistência de cálculo do concreto fcd é obtida em duas situações distintas:
• quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias
fcd = fck / γc (1.19)
• quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias
25

29. fcd = fckj / γc = (β1).(fck / γc) (1.19)
sendo β1 a relação (fckj / fck ) dada por:
β1 = exp{s{1-(28/t)1/2
]} (1.20)
onde: s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV;
s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II;
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI
t é a idade efetiva do concreto, em dias.
I.8.7.3 – Coeficientes de ponderação das resistências
As resistências devem ser minoradas pelo coeficiente:
γm = γm1 . γm2 . γm3 (1.21)
onde:
γm1 é a parte o coeficiente de ponderação das resistência γm , que considera a
variabilidade da resistência dos materiais envolvidos.
γm2 é a parte do coeficiente de ponderação das resistência γm , que considera a
diferença entre a resistência do material no corpo-de-prova e na estrutura.
γm3 é a parte co coeficiente de ponderação das resistência γm , que considera os
desvios gerados na construção e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das
resistências.
Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite último (ELU)
Os valores para verificação no ELU estão indicados na tabela 1.6
26

30. Tabela 1.6 – Valores dos coeficientes γc e γs
Combinações
Concreto
γc
Aço
γs
Normais
1.4 1.15
Especiais ou de
construção 1.2 1.15
Excepcionais
1.2 1
Coeficientes de ponderação das resistências no estado limite de serviço (ELS)
Os limites estabelecidos para os estados limites de serviço não necessitam de minoração,
portanto γm= 1.
I.9 – Referências Bibliográficas
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) – NBR 6118 – Projeto de
estruturas de concreto
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1980) – NBR 6120 – Cargas para
cálculo de estruturas de edificações – Procedimento
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1987) – NBR 6123 – Forças
devidas ao vento em edificações – Procedimento
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996) – NBR 7480 – Barras e
fios de aço destinados a armadura para concreto armado – Especificação
27

31. 28
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2003) – NBR 8681 – Ações e
segurança nas estruturas – Procedimento
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1996) – NBR 12655 – Concreto
– Preparo, controle e recebimento – Procedimento
RUSCH, H. (1981) – Concreto armado e protendido, propriedades dos materiais e
dimensionamento – Editora Campus, Rio de Janeiro

32. Capítulo 2 - FLEXÃO NORMAL SIMPLES
2.1 - Introdução
Dentre os esforços solicitantes o momento fletor M é em condições normais o esforço
preponderante no dimensionamento de peças estruturais como lajes e vigas. Quando o
momento fletor atua segundo um plano que contenha um dos eixos principais da seção
transversal, a flexão é dita normal . Se simultaneamente atua uma força normal N ela é dita
normal composta e na ausência desta, flexão normal simples.
Normalmente o momento fletor atua em conjunto com a força cortante V, podendo no entanto
em situações especiais, ser o único esforço solicitante. Nesse caso tem-se a flexão pura,
situação ilustrada na figura 2.2, no trecho entre as cargas simétricas P, quando se despreza o
peso próprio da viga.
Segundo o o item 16.1 da NBR 6118 (2003), o objetivo do dimensionamento, da verificação e
do detalhamento é garantir segurança em relação aos estados limites últimos (ELU) e de
serviço (ELS) da estrutura como um todo ou de cada uma de suas partes. Essa segurança
exige que sejam respeitadas condições analíticas do tipo:
Sd ≤ Rd MS,d ≤ MR,d (2.1)
Onde Sd é a solicitação externa de cálculo e Rd é a resistência interna de cálculo.
Na figura 2.1, designou-se por Rcc a resultante de compressão no concreto e por Rst a
resultante de tração na armadura (aço = steel), na seção em que atua o momento solicitante de
cálculo Md. Como é flexão simples, Nd = 0, tem-se que o momento interno resistente é
equivalente a ação do binário:
Rcc . z = Rst . z = Md (2.2)
Quanto ao comportamento resistente à flexão pura, sabe-se que sendo o concreto um material
menos resistente à tração do que à compressão, tão logo a barra seja submetida a um momento
Md Rcc
z RstNd=0
Seção Transversal
Figura 2.1 – Esforços externos e internos na seção transversal
29

33. P P
As
Figura 2.2 – Fissuras de flexão
fletor capaz de produzir tensões de tração superiores às que o concreto possa suportar, surgem
fissuras de flexão transversais, conforme mostrado na figura 2.2.
A “costura” dessas fissuras pela armadura de flexão As impede que as mesmas cresçam
indefinidamente ocasionando a ruptura total da peça. Conforme será visto no capítulo 4, a
abertura dessas fissuras dependerá substancialmente das características e do detalhamento
final da armadura de flexão.
A ruína de uma peça à flexão é um fenômeno de difícil caracterização, devido basicamente a
complexidade envolvida no funcionamento conjunto aço-concreto. Portanto para que essa
tarefa seja possível convenciona-se que a ruína de uma seção à flexão é alcançada quando,
pelo aumento da solicitação, é atingido a ruptura do concreto à compressão ou da armadura à
tração. Para seções parcialmente comprimidas, admite-se que ocorra a ruptura do concreto
quando o mesmo atinge na sua fibra mais comprimida o encurtamento limite (último)
εcc,u=3,5 ‰. Para o aço admite-se que a ruptura à tração ocorra quando se atinge um
alongamento limite (último) εs,u = 10 ‰. O alongamento máximo de 10 ‰ se deve a uma
limitação da fissuração no concreto que envolve a armadura e não ao alongamento real de
ruptura do aço, que é bem superior a esse valor.
Atinge-se, então, o estado limite último - ELU, correspondente a ruptura do concreto
comprimido ou a deformação plástica excessiva da armadura.O momento fletor Md é o
momento de ruptura, enquanto o momento de serviço será o de ruptura dividido pelo
coeficiente de ponderação das ações γf, ou seja:
Msev = Md / γf (2.3)
30

34. Conforme o item 17.2 da NBR 6118, na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga
ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas:
1. As seções transversais se mantêm planas após a deformação; os vários casos possíveis são
ilustrados na figura 2.3;
2. a deformação das barras passivas aderentes em tração ou compressão deve ser a mesma do
concreto em seu entorno;
3. as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, devem ser desprezadas,
obrigatoriamente no ELU;
4. Para o encurtamento de ruptura do concreto nas seções parcialmente comprimidas
considera-se o valor convencional de 3,5 ‰ (domínios 3,4 e 4a da figura 3). Nas seções
inteiramente comprimidas (domínio 5) admite-se que o encurtamento da borda mais
comprimida, na ocasião da ruptura, varie de 3,5 ‰ a 2 ‰, mantendo-se inalterado e igual
a 2 ‰ a deformação a 3/7 da altura da seção, a partir da borda mais comprimida.
5. Para o alongamento máximo de ruptura do aço considera-se o valor convencional de 10 ‰
(domínios 1 e 2 da figura 2.3) a fim de prevenir deformação plástica excessiva.
6. A distribuição das tensões do concreto na seção se faz de acordo com o diagrama
parábola-retângulo da figura 2.4. Permite-se a substituição desse por um diagrama
retangular simplificado de altura y=0,8 x (x é a profundidade da linha neutra), com a
seguinte tensão:
0,85 . fcd = 0,85 . fck / γc = σcd = fc (2.4)
no caso em que a largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminua a
partir desta para a borda comprimida;
0,80 . fcd = 0,80 . fck / γc = σcd = fc (2.5)
no caso contrário.
7 A tensão nas armaduras deve ser obtida a partir das suas deformações usando os
diagramas tensão-deformação, com seus valores de cálculo.
31

35. Alongamento Encurtamento
2.2 - Seção subarmada, normalmente armada e superarmada
No caso particular de flexão simples, dos domínios existentes ficam eliminados os de número
1 (seção totalmente tracionada), 4a e 5 (seção totalmente comprimida), restando pois os
domínios possíveis 2,3 e 4.
Os domínios 2 e 3 correspondem ao que se denomina seção sub-armada (a armadura escoa
antes da ruptura do concreto à compressão: εsd ≥ εyd). O domínio 4 corresponde ao que se
2,0%o
3,5%o
2,0%od’
B
h
7
3
a
d
b
C2
1
h
53 4
A
4aεyd10,0%
Figura 2.3 – Domínios de deformação (Tepdino/NBR-6118)
σcd=0,85fcd
ou 0,80fcd3,5%o σcd=0,85fcd
y=0.8x
x
h
Figura 2.4 – Diagramas parábola-retângulo e retangular simplificado do concreto
(Tepedino)
32

36. denomina seção superarmada (o concreto atinge o encurtamento convencional de ruptura
antes da armadura escoar: εsd < εyd).
Costuma-se chamar normalmente armada uma seção que funciona no limite entre as duas
situações acima, isto é, no qual, teoricamente, o esmagamento convencional do concreto
comprimido e a deformação de escoamento do aço ocorram simultaneamente. Na figura 2.3 a
situação de peças normalmente armadas ocorre no limite entre os domínios 3 e 4.
Segundo Tepedinio “em princípio, não há inconveniente técnico na superarmação, a não ser,
talvez, alguma deformação excessiva por flexão, fato que pode ser prevenido. No entanto, a
superarmação é antieconômica, pelo mau aproveitamento da resistência do aço. Por isto
mesmo, sempre que possível, devem-se projetar seções subarmadas ou normalmente armadas,
sendo a mesma desaconselhável pela NBR 6118”.
A NBR 6118 prescreve no item 14.6.4.3 limites para redistribuição de momentos e condições
de dutilidade:
“A capacidade de rotação dos elementos estruturais é função da posição da linha neutra no
ELU. Quanto menor é x/d, maior é essa capacidade.
Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoios das vigas ou de ligações com
outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas redistribuições de esforços
solicitantes, a posição da linha neutra no ELU deve obedecer aos seguintes limites:
a) x/d ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa; ou
b) x/d ≤ 0,40 para concretos com fck > 35 MPa;”
E no item 17.2.3, dutilidade de vigas:
“Nas vigas, principalmente nas zonas de apoio, ou quando feita redistribuição de esforços, é
importante garantir boas condições de dutilidade, sendo adotada, se necessário, armadura de
compressão que garante a posição adequada da linha neutra (x), conforme 14.6.4.3
33

37. A introdução da armadura de compressão para garantir o atendimento de valores menores de
x (posição da linha neutra), que estejam nos domínios 2 ou 3, não conduz a elementos
estruturais com ruptura frágil (usualmente chamados de superarmados). A ruptura frágil está
associada a posição da linha neutra no domínio 4, com ou sem armadura de compressão.”
2.3 - Seção retangular à flexão simples
Segundo Tepedino “no caso da seção retangular, pode-se, sem erro considerável e obtendo-se
grande simplificação, adotar, para os domínios 2 e 3 (seção subarmada ou normalmente
armada), o diagrama retangular para as tensões no concreto, permitido pela NBR 6118,
representado na figura 2.5.”
Para que a tensão σsd na armadura tracionada seja igual a fyd, é necessário e suficiente que a
profundidade relativa da linha neutra (x/d) seja menor ou igual à profundidade relativa limite
do domínio 3, dada por:
0,035ε
0,035
d
x
ξ
ydlim3,
lim3,
+
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= (2.6)
com εyd, deformação de cálculo ao escoamento da armadura, dada por:
b
h
Asfyd
Rcc = fc.b.y
A’
sσ’
s
εc ≤ 0,0035 fc = σcd = 0,85fcd
Md
εs≥εyd
ε’
s
y = 0.8x
d
x
Figura 2.5 – Seção retangular à flexão simples
d’
A’s
As
34

38. εyd = fyd / Es (2.7)
De acordo a figura 2.5 pode-se escrever as seguintes equações de equilíbrio:
∑ MAs = 0 ⇒ Md = Rcc . (d – y/2) + A’s . σ’sd . (d – d’) (2.8)
∑ Fh = 0 ⇒ Nd = 0 = Rcc + A’s . σ’sd – As . fyd (2.9)
Ao dividir todos os termos da equação (2.8), de equilíbrio em termos de momentos, por uma
quantidade que tem a mesma dimensão de um momento, como o termo fc.b.d2
, obtém-se uma
equação de equilíbrio em termos adimensionais, que depois de substituído o valor de
Rcc=fc.b.y e cancelados os valores iguais no numerador e denominador fica:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+=
d
d'
1
bdf
σ'A'
K'K
c
sds
(2.10)
Onde:
2
c
d
bdf
M
K = (2.11)
é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor solicitante (externo)
de cálculo;
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
2
α
αα
2d
y
1
d
y
bdf
2
y
dbyf
K' 2
c
c
(2.12)
é o parâmetro adimensional que mede a intensidade do momento fletor resistente (interno) de
cálculo, devido ao concreto comprimido. O terceiro termo de (2.10) mede a intensidade do
momento fletor resistente (interno) de cálculo, devido à armadura A’s comprimida.
Na equação (2.12), α é o valor da profundidade relativa da linha neutra referente ao diagrama
retangular simplificado de tensões no concreto, ou seja:
α = (y/d) = 0,8 . (x/d) = 0,8 . ξ (2.13)
35

39. A equação (2.12) representa uma equação do segundo grau em α e ,portanto, conforme (2.13),
em função da incógnita x (profundidade da linha neutra), que depois de resolvida fornece
entre as duas raízes do problema, o seguinte valor possível:
(2.14)2K'11α −−=
Voltando-se à equação (2.10), multiplicando-se e dividindo-se o último termo
simultaneamente por fyd, obtém-se a expressão para o cálculo da armadura comprimida A’s:
φ
d
d'
1
K'K
f
bdf
A'
yd
c
s ÷
−
−
= (2.15)
Onde φ representa o nível de tensão na armadura comprimida, dada por:
φ = σ’sd / fyd ≤ 1 (2.16)
A partir da equação de equilíbrio (2.9) determina-se a armadura de tração As dada por:
yd
sds
yd
c
s
f
σ'A'
f
byf
A += (2.17)
Multiplicando-se e dividindo-se simultaneamente o segundo termo de (2.17) por d e
substituindo a relação σ’sd / fyd do terceiro termo pela equação (2.16), obtém-se:
φA'
d
y
f
bdf
A s
yd
c
s += (2.18)
De (2.13) e (2.14) sabe-se que (y/d) = α = 1 – (1 – 2.K’)1/2
que levado em(2.18) fornece:
As = As1 + As2 (2.19)
com
36

40. ( 2K'11
f
bdf
A
yd
c
s1 −−= ) (2.20)
d
d'
1
K'K
f
bdf
φA'A
yd
c
ss2
−
−
== (2.21)
Uma vez calculada a armadura As, com sua parcela As2 pode-se obter a armadura A’s dada
por:
A’s = As2 / φ (2.22)
As expressões (2.19) a (2.22) são as utilizadas para o cálculo à flexão de vigas com seção
retangular.
A armadura de compressão A’s nem sempre é necessária para equilibrar o momento externo
Md (representado adimensionalmente por K), que nesse caso será equilibrado internamente
apenas pelo momento devido ao concreto comprimido (representado adimensionalmente por
K’). A única possibilidade matemática de se ter armadura A’s nula e conseqüentemente
também As2, é fazer em (2.15) ou em (2.21) K = K’. Essa igualdade tem uma explicação
física coerente com a situação de armadura simples (sem armadura de compressão), ou seja:
- quando o momento externo Md, (K), for equilibrado pelo momento interno devido ao
concreto comprimido, (K’), isto é K = K’, não é necessário armadura de compressão.
Conforme visto anteriormente na equação (2.6), a máxima profundidade relativa da linha
neutra para se ter seção subarmada ou normalmente armada é a correspondente ao limite do
domínio 3. Com essa profundidade limite obtém-se o máximo momento interno resistente
K’L, que deve ser equilibrado pelo momento externo limite KL. Para essa situação limite, a
partir da equação (2.12), obtém-se:
KL = K’L = αL (1 - αL / 2) (2.23)
Com
αL = (y/d)L = 0,8.(x/d)L = 0,8 . ξ3,lim (2.24)
37

41. O valor de ξ3,lim depende do tipo de aço empregado, assim como as outras grandezas da tabela
2.1 abaixo.
Tabela 2.1 – Valores de KL sem a consideração da dutilidade
Aço fyd
(kN/cm2
)
εyd
(‰)
ξ3,lim
(x/d)3,lim
αL KL
CA-25 21,74 1,035 0,772 0,617 0,427
CA-50 43,48 2,070 0,628 0,503 0,376
CA-60 52,17 2,484 0,585 0,468 0,358
A relação ξ = (x/d), além de satisfazer ao limite estabelecido em (2.6), que gerou a tabela 2.1,
deve também atender aos limites fixados pela NBR 6118 em 14.6.4.3, para melhoria da
dutilidade, que fixa a profundidade relativa limite em:
ξlim = (x/d)lim ≤ 0,50 para concretos com fck ≤ 35 MPa
(2.25)
ξlim = (x/d)lim ≤ 0,40 para concretos com fck ≤ 35 MPa
Observando-se a tabela 2.1 nota-se que todos os valores de ξ3,lim são superiores aos das
equações (2.25) e que, portanto, para se atender às prescrições de melhoria de dutilidade das
vigas deve-se ter os seguintes valores de KL da tabela 2.2, que agora não mais dependem do
tipo de aço, mas sim apenas se a resistência fck do concreto é inferior ou não a 35 MPa.
Tabela 2.2 – Valores finais de KL, com a consideração da dutilidade
fck KL
≤ 35 MPa 0,320
> 35 MPa 0,269
A partir da equação (2.11) e considerando os valores limites da tabela 2.2, obtém-se:
Md,L = KL . (fc.b.d2
) (2.26)
38

42. bfK
M
d
cL
d
L = (2.27)
onde:
• Md,L é o máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples
• dL é a altura útil mínima necessária para resistir ao Md com armadura simples
Caso o momento de cálculo atuante seja maior que Md,L ou ainda que a altura útil seja menor
que dL,o que significa em ambos, K > KL, torna-se necessário para o equilíbrio a armadura de
compressão A’s. Essa situação, com a utilização simultânea de armadura de tração As e de
compressão A’s, caracteriza seções dimensionadas à flexão com armadura dupla.
Conforme já citado a superarmação deve sempre ser evitada, principalmente por ser
antieconômica. Na situação de armadura dupla para os valores da tabela 2.2, caso se pretenda
absorver um momento solicitante superior ao Md,L apenas com armadura de tração, isso não
significa necessariamente peças superarmadas. Já com os valores da tabela 2.1, caso a mesma
situação ocorra e seja possível o equilíbrio apenas com armadura simples (só As), essa seção
será obrigatoriamente superarmada, uma vez que os limites da tabela 2.1 referem-se ao final
do domínio 3.
Na situação de armadura dupla K > KL (Md > Md,L), basta fazer nas equações de
dimensionamento à flexão em seções retangulares, equações (2.19) a (2.22), K’ = KL. Essa
igualdade significa fisicamente que o momento interno resistente referente ao concreto
comprimido K’ é igual ao máximo momento fletor de cálculo resistido com armadura simples
KL. Essa parcela do momento total será resistida pelo concreto comprimido e pela armadura
tracionada As1. A diferença (Md – Md,L), que em termos adimensionais fica (K – KL), será
absorvida pela parcela da armadura de tração As2 e pela armadura de compressão A’s.
No cálculo da armadura A’s aparece o nível de tensão φ na armadura comprimida, que
normalmente vale 1, ou seja σ’sd = fyd. A tensão na armadura comprimida σ’sd é função da
deformação ε’sd, que por sua vez depende da profundidade relativa da linha neutra ξ = (x/d).
Na situação de armadura dupla (onde A’s ≠ 0) essa profundidade relativa é constante e igual a
ξlim = (x/d)lim dado na equação (2.25), para cada uma das duas faixas de resistência do
concreto (fck≤ 35 MPa ou fck> 35 MPa).
39

43. Considerando os valores limites da equação (2.25) nota-se que ambos, (x/d)=0,4 e (x/d)=0,5,
são menores que os valores de ξ3,lim = (x/d)3,lim da tabela 2.1, para as três categorias de aço
CA-25, CA-50 e CA-60. Além disso, o valor da profundidade relativa do domínio 2 é dado
por ξ2,lim = (x/d)2,lim = (3,5 / 13,5) = 0,259. Pode-se concluir, portanto, que para as três
categorias de aço empregados em peças de concreto armado, a profundidade relativa limite
que define a armadura dupla estará no domínio 3, ou seja:
ξ2,lim = 0,259 < ξlim = (x/d)lim < ξ3,lim (2.28)
A definição do ELU para o domínio 3 é εc,max = 3,5 ‰, conforme indicado na figura 2.6. A
deformação ε’s pode ser calculada a partir da seguinte equação, retirada por semelhança de
triângulos na figura 2.6:
limlim
s
x
0,035
d'x
ε'
=
−
(2.29)
0,035
d
x
d
d'
d
x
0,035
x
d'x
ε'
lim
lim
lim
lim
s ×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=×
−
= (2.30)
Caso ε’s seja menor que o valor da deformação de cálculo correspondente ao escoamento εyd,
a tensão σ’sd é obtida pela aplicação da Lei de Hooke, σ’sd = Es . ε’s, o que implica em valor
εs
εc,max=0,035d’
xlim
ε’s
d
Figura 2.6 – Diagrama de deformação na armadura dupla
40

44. de φ menor que 1. Caso contrário σ’sd = fyd, o que implica em φ = 1. Fazendo ε’s ≥ εyd em
(2.30) obtém-se a inequação (2.31) que expressa a relação (d’/d) abaixo da qual se tem φ = 1:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−×⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
0,035
ε
1
d
x
d
d' yd
lim
(2.31)
O aço CA-25 é pouco usado no Brasil, o CA-60 é normalmente usado para flexão em lajes,
onde não se usa armadura dupla, restando, pois o aço CA-50, que é o mais utilizado para
flexão em vigas. Para esse aço εyd = 2,07 ‰, e considerando (x/d)lim = 0,5 (fck≤35 MPa) a
equação (2.31) fica:
(d’/d) ≤ 0,204 ou (d/d’) ≥ 4,896 (2.32)
Esse valor expresso por (2.32), assim como para outros tipos de aço e (x/d)lim, estão indicados
na tabela 2.3.
Tabela 2.3 – Valores das relações entre d e d’, para se ter φ = 1(nível de tensão em A’s)
Aço
fck ≤ 35 MPa
(x/d)lim = 0,5
fck > 35 MPa
(x/d)lim = 0,40
(d’/d) ≤ (d/d’) ≥ (d’/d) ≤ (d/d’) ≥
CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550
CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121
CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616
Os valores da tabela 2.3 são as relações usuais para vigas de concreto armado, ou seja,
geralmente o nível de tensão na armadura comprimida é igual a 1. No entanto, para situações
pouco comuns, não contempladas na tabela 2.3, o valor de φ = σ’sd / fyd ≤ 1, pode ser obtido
com σ’sd = Es . ε’s ≤ fyd, a partir da equação (2.30):
1
f
E0,035
d
x
d
d'
d
x
φ
yd
s
lim
lim
≤
×
×
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
= (2.33)
Todo o dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexão simples encontra-se de
forma resumida na próxima página.
41

45. Valores de KL
fck KL
≤ 35 MPa 0,320
> 35 MPa 0,269
Relações entre d e d’ para de ter o nível de tensão φ = 1
Aço fck ≤ 35 MPa fck > 35 MPa
(d’/d) ≤ (d/d’) ≥ (d’/d) ≤ (d/d’) ≥
CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550
CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121
CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616
A’s d’
As
b
d
y=0,8x
Md
σcd=fc=0,85fcd
A’s.σ’s
Rcc=fcby
Asfyd
d-y/2
d-d’
FLEXÃO NORMAL SIMPLES – SEÇÃO RETANGULAR (TEPEDINO)
K ≤ KL ⇒ K’ = K
2
c
d
bdf
M
K =
> KL ⇒ K’ = KLK
( )2K'11
f
bdf
A
yd
c
s1 −−=
s2s1s AAA +≥
d
d'1
K'K
f
bdf
A
yd
c
s2
−
−
=
0,8
αd
x =2K'11α −−=φAA' s2s ÷=
yd
sd
f
σ'
φ =
( ) ( )
( )lim
lim
yd
d
x
d
d'
d
x
f
735
φ
−
=
2
fyd em kN/cm
42

46. 2.4 – Seção T ou L à flexão simples
“Nas estruturas de concreto armado são muito freqüentes as seções em T ou L, uma vez que
as nervuras das vigas são normalmente solidárias às lajes, que colaboram na resistência à
compressão, conforme mostrado na figura 2.7.
É necessário salientar que uma viga de concreto armado com seção geométrica em T ou L,
isto é, composta de uma nervura e uma mesa, somente pode ser considerada como tal no
cálculo, quando a mesa estiver comprimida; caso contrário a seção se comportará como
retangular de largura bw”(Tepedino).
Por outro lado, caso a profundidade da linha neutra, considerando-se o diagrama retangular
simplificado, seja menor ou igual a altura da mesa (y ≤ hf), a seção será tratada como
retangular, de largura bf.
Também no caso da seção em T ou L é válida e vantajosa a substituição do diagrama
parábola-retângulo pelo retangular simplificado.
hf
bf
d’ =f
bw
d
x
Figura 2.7 – Seção T à flexão simples
εs
ε’s
εc
y=0,8x
Md
σcd c=0,85fcd
A’sσ’sd
Rcc
A fs yd
43

47. Para seções normalmente armadas ou subarmadas (εs ≥ εyd ⇒ σs = fyd), podem ser montadas
as seguintes equações de equilíbrio:
( ) ( )d'dσ'A'
2
h
dhbbf
2
y
dybfM sds
f
fwfcwcd −+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−= (2.34)
(2.35)( ) 0fAσ'A'hbbfybfN ydssdsfwfcwcd =−+−+=
Transformando-se a equação (2.34) conforme procedimento análogo ao da seção retangular e
lembrando-se que α = y/d e φ = σ’sd/fyd obtém-se:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
d
d'
1
bdf
φfA'
2d
h
1
d
h
1
b
b
2
α
1α
bdf
M
c
ydsff
w
f
2
c
d
(2.36)
Fazendo-se
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−=
2d
h
1
d
h
1
b
b
bdf
M
K ff
w
f
2
c
d
(2.37)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
2
α
1αK' (2.38)
Nota-se pelo valor de K em (2.37), que ao diminuir do momento total solicitante de cálculo
Md o momento resistido apenas pelas laterais da mesa comprimida - fc(bf-bw)hf(d-hf/2), o
problema se transforma na flexão de uma seção retangular de largura bw.
Levando-se (2.37) e (2.38) em (2.36) obtém-se:
φ
d
d'
1
KK'
f
dbf
A'
yd
wc
s ÷
−
−
= (2.39)
44

48. Os critérios para limitação do valor de K são os mesmos da seção retangular, portanto:
K ≤ KL ⇒ K’ = K
K > KL ⇒ K’ = KL
Da equação (2.35) obtém-se:
s
f
w
f
yd
wc
s φA'
d
h
1
b
b
α
f
dbf
A +⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+= (2.40)
O valor de α pode ser obtido de (2.38) resultando como na seção retangular a expressão
(2.14), que levada em (2.40) fica:
As = As1 + As2 (2.41)
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−−=
d
h
1
b
b
2K'11
f
dbf
A f
w
f
yd
wc
s1 (2.42)
d
d'
1
K'K
f
dbf
A
yd
wc
s2
−
−
= (2.43)
Da mesma forma que na seção retangular
(2.44)φAA' s2s ÷=
Fazendo-se bf = bw nas equações (2.41) a (2.44) elas se transformam nas equações (2.19) a
(2.22) para a seção retangular, como era de se esperar.
Analisando-se a equação (2.37) nota-se que quando K = 0, o momento externo de cálculo Md
é igual ao momento interno resistido apenas pelas laterais comprimidas da mesa. Como nesse
caso o trecho da mesa de largura bw ainda está comprimido, a profundidade da linha neutra
45

49. será menor que hf, para se ter o equilíbrio. Isso significa que mesmo para pequenos valores de
K positivos, a linha neutra cortará a mesa e o dimensionamento se fará como seção retangular
de largura bf. O valor positivo de K abaixo do qual a mesa estará parcialmente comprimida é
encontrado fazendo-se em (2.37) K = K’,uma vez que para pequenos valores de K a armadura
comprimida é igual a zero. Como K’ = α(1-α/2) e nesse caso y = hf, tem-se:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−==
2d
h
1
d
h
2
α
1αK'K ff
0 (2.45)
Para valores de K ≤ K0 o dimensionamento deve ser feito como seção retangular bf x h.
Embora esse seja o valor correto, sabe-se que usando o limite do Prof. Tepedino, K ≤ 0, a
armadura calculada como seção T com 0 ≤ K ≤ K0, dá o mesmo resultado que como seção
retangular bf x h nesse mesmo intervalo. Portanto, para efeito dessa publicação será tomado
como o limite para se ter a mesa parcialmente comprimida o estabelecido pelo Prof.
Tepedino, K ≤ 0.
Normalmente a largura colaborante da mesa bf (determinada no item seguinte) conduz a
valores de momentos resistentes internos, que dificilmente precisam de uma profundidade da
linha neutra superior a hf. Nessa situação o melhor seria, determinar o máximo momento
interno de cálculo resistido pela mesa inteiramente comprimida, denominado Md,referência e
dado por:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−=
2
h
dhbfM f
ffcrefd, (2.46)
Md ≤ Md,ref ⇒ y ≤ hf ⇒ seção retangular bf x h
Md > Md,ref ⇒ y > hf ⇒ seção T ou L
2.4.1 – Determinação da largura colaborante da mesa - bf
Quando uma viga submetida à flexão deforma, ela traz consigo a laje que lhe é solidária, que
se estiver comprimida auxiliará na absorção do momento fletor atuante. Adotando-se o
46

50. diagrama retangular simplificado da NBR-6118, a tensão na mesa comprimida
correspondente ao trecho comum com a nervura (bw), deve ser igual a σcd = fc = 0,85fcd.
Afastando-se desse trecho nos dois sentidos, conforme mostrado na figura 2.8, a tensão de
compressão deve diminuir até zero, para pontos na laje bem distantes da nervura. Essa
distribuição de tensões na mesa pode ser obtida pela teoria da elasticidade, mas pela NBR-
6118 ela é substituída por uma distribuição uniforme simplificada, com tensão igual a fc, e
com uma largura total igual a bf, de tal forma que as resultantes de compressão em ambas as
distribuições sejam estaticamente equivalentes.
Segundo a NBR-6118, no item 14.6.2.2, a largura colaborante bf deve ser dada pela largura
bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, para
cada lado da viga em que houver laje colaborante.
A distância a pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo considerado,como se
apresenta a seguir:
fc
bf
Distribuição simplificada
equivalente
Distribuição real de
tensões na mesa
bw
Figura 2.8 – Distribuição real e simplificada de tensões na mesa
47

51. • viga simplesmente apoiada a = 1,00 l,
• tramo com momento em uma só extremidade a = 0,75 l;
• tramo com momentos nas duas extremidades a = 0,60 l;
• tramo em balanço a = 2,00 l.
Alternativamente, o cômputo da distância a pode ser feito ou verificado mediante exame dos
diagramas de momentos fletores na estrutura.
Devem ser respeitados os limites b1 e b3 conforme indicado na figura 2.9.
b1 ≤ 0,5 b2 b1 ≤ 0,1 a
(2.47)
b3 ≤ b4 b3 ≤ 0,1 a
bfbf
cb3 b1 b1b1
b4
c b2
bw
bw
Figura 2.9 – Largura da mesa colaborante
48

52. K ≤ KL K’ = K
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−−=
2d
h
1
d
h
1
b
b
dbf
M
K ff
w
f
2
wc
d
K ≤ 0 seção retangular bf x h
K > KL K’ = KL
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+−−=
d
h
1
b
b
2K'11
f
dbf
A f
w
f
yd
wc
s1
s2s1s AAA +≥
d
d'1
K'K
f
dbf
A
yd
wc
s2
−
−
=
φAA' s2s ÷= 2K'11α −−=
0,8
αd
x =
Valores de KL
fck KL
≤ 35 MPa 0,320
> 35 MPa 0,269
Relações entre d e d’ para de ter o nível de tensão φ = 1
Aço fck ≤ 35 MPa fck > 35 MPa
(d’/d) ≤ (d/d’) ≥ (d’/d) ≤ (d/d’) ≥
CA-25 0,352 2,840 0,282 3,550
CA-50 0,204 4,896 0,163 6,121
CA-60 0,145 6,893 0,116 8,616
FLEXÃO NORMAL SIMPLES – SEÇÃO T OU L (TEPEDINO)
hf
bf d’ σcd=fc=0,85fcd
A’sσ’sd
Rcc
A’s
d Md
As
Asfyd
bw
yd
sd
f
σ'
φ =
( ) ( )
( )lim
lim
yd
d
x
d
d'
d
x
f
735
φ
−
=
fyd em kN/cm2
49

53. 2.5 – Prescrições de norma referente às vigas
2.5.1 – Armadura longitudinal mínima de tração
De acordo o item 17.3.5.2 da NBR-6118, a armadura mínima de tração, em elementos
estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo dimensionamento da seção a
um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, respeitada a taxa mínima absoluta
de 0,15 %.
Md,min = 0,8 .W0 . fctk,sup (2.48)
Onde:
• W0 é o modulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à
fibra mais tracionada;
• fctk,sup é a resistência característica superior do concreto à tração (item 8.2.5 da
NBR-6118).
De 8.2.5 sabe-se que:
fctk,sup = 1,3 . fctm = 0,39 . (fck)2/3
(MPa) (2.49)
O dimensionamento para Md,min deve ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas
de armadura da tabela 2.4 abaixo.
A taxa mecânica mínima de armadura longitudinal de flexão para vigas, ωmin, que aparece na
tabela 2.4, é dada por:
cd
yd
min
cdc
ydmins,
min
f
f
ρ
fA
fA
ω == (2.50)
De (2.50) pode-se obter ρmin a partir do valor dado de ωmin:
min
yd
cd
min ω
f
f
ρ = (2.51)
50

54. Tabela 2.4 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas
Forma da
seção
Valores de ρmin
1)
= (As,min / Ac) - %
fck
ωmin
20
MPa
25
MPa
30
MPa
35
MPa
40
MPa
45
MPa
50
MPa
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
T – (Mesa
comprimida)
0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197
T – (Mesa
tracionada)
0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255
Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575
1)
Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc=1,4 e γs=1,15. Caso esses
fatores sejam diferentes, ρmin deve ser calculado com base no valor de ωmin dado.
NOTA –Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da
mesa colaborante.
Os valores da tabela 2.4 foram obtidos para aço CA-50, γc=1,4 e γs=1,15. Como exemplo para
esses valores, a taxa mínima para seção retangular com concreto fck=30 MPa, fica:
ρmin = (30/1,4) x 0,035 / (500/1,15) = 0,00173 = 0,173 %
Para outros valores de tipo de aço ou de coeficientes de ponderações dos materiais, não se
pode usar a tabela 2.4, devendo-se calcular a taxa mínima pela equação (2.51), que é o caso
por exemplo, das lajes, onde se usa normalmente aço CA-60.
2.4.2 – Armadura de pele
Segundo o item 17.3.5.2.3 da NBR-6118, a armadura mínima lateral deve ser 0,10 % Ac,alma
em cada face da viga e composta por barras de alta aderência (η1≥2,25) com espaçamento não
maior que 20 cm ou d/3 (18.3.5), respeitado o disposto em 17.3.3.2 (toda armadura de pele
tracionada deve manter um espaçamento menor ou igual a 15φ).
Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a utilização de armadura
de pele.
51

55. 2.4.3 – Armaduras de tração e compressão
A soma das armaduras de tração e de compressão (As + A’s) não deve ter valor maior que
4%Ac, calculada na região fora da zona de emendas.
2.4.4 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras longitudinais, medido no plano da
seção transversal, deve ser igual ou superior ao maior dos seguintes valores:
• na direção horizontal (ah)
- 20 mm;
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
- 1,2 vez o diâmetro máximo do agregado;
• na direção vertical (av)
- 20 mm
- diâmetro da barra, do feixe ou da luva;
- 0,5 vez o diâmetro máximo do agregado.
Na figura 2.10 estão indicados os espaçamentos mínimos na direção horizontal (ah) e vertical
(av). Com base nessa figura obtém-se a largura útil (bútil) da viga dada por:
bútil = bw – 2 . (c + φtransv) (2.52)
onde:
• c é o cobrimento nominal da armadura
• φtransv é o diâmetro da armadura transversal (estribo)
O número máximo de barras longitudinais com diâmetro φlong que cabem em uma mesma
camada, atendendo ao espaçamento horizontal ah especificado acima, fica:
longh
hútil
adabarras/cam
φa
ab
n
+
+
≤ (2.53)
52

56. bútil
c
φtransv
ah
av
φlong
bw
Figura 2.10 – Distribuição transversal das armaduras longitudinais
Adota-se como valor final do número de barras por camada, a parcela inteira do número
calculado em (53).
2.4.5 – Armaduras de ligação mesa-alma ou talão-alma
Segundo o item 18.3.7 da NBR-6118, os planos de ligação entre mesas e almas ou talões e
alma devem ser verificados com relação aos efeitos tangenciais decorrentes das variações de
tensões normais ao longo do comprimento da viga, tanto sob o aspecto de resistência do
concreto, quanto das armaduras necessária para resistir às trações decorrentes desses efeitos.
As armaduras de flexão da laje, existentes no plano de ligação, podem ser consideradas como
parte da armadura de ligação, complementando-se a diferença entre ambas, se necessário. A
53

57. 54
seção transversal mínima dessa armadura, estendendo-se por toda a largura útil e ancorada na
alma, deve ser de 1,5 cm2
por metro.

58. Capítulo 3 -LAJE
3.1 – Definição
Placa é um elemento estrutural laminar, uma dimensão (espessura) bem menor que as outras
duas em planta, solicitada predominantemente por cargas normais ao seu plano. Quando a
placa é de concreto armado ela normalmente é chamada de laje. Como exemplo pode-se citar
lajes de piso e forro dos edifícios, lajes de reservatórios, muros de contenção.
3.2 – Histórico
As placas devido a sua importância como elemento de vedação, piso e de transferência de
cargas para as vigas, tem merecido ao longo dos tempos grande destaque dos pesquisadores e
constitui ainda hoje um tema inesgotável de pesquisas.
As placas podem ser classificadas segundo a sua espessura h, comprada com a sua menor
dimensão em planta a como:
• Placas muito esbeltas, quando (h/a) ≤ (1/100)
• Placas esbeltas, quando (1/100) < (h/a) ≤ (1/5)
• Placas espessas, quando (h/a) < (1/5)
As placas de concreto, chamadas de lajes, se situam normalmente na faixa de variação das
placas esbeltas, cujo teoria clássica ou de Kirchhoff, interpreta razoavelmente os seus
resultados, que são baseados na solução da seguinte equação diferencial de quarta ordem:
(∂4
w / ∂x4
) + 2 . (∂4
w / ∂x2
∂y2
) + (∂4
w / ∂y4
) = p/D (3.1)
onde:
• w é o deslocamento transversal (vertical) da placa;
55

59. • p é a carga normal distribuída, aplicada a placa;
• D é a rigidez da placa à flexão, dada por:
D = Ec . h3
/ 12(1 - ν2
) (3.2)
Onde Ec e ν são respectivamente, o módulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson do
concreto.
A solução analítica da equação (3.1) só é possível para situações particulares de condições de
contorno e de carregamento. Para a maioria dos casos recorre-se a soluções numéricas para a
solução da placa baseada nos Métodos das Diferenças Finitas (MDF), Método dos Elementos
Finitos (MEF) e Método dos Elementos de Contorno (MEC).
Normalmente as lajes de concreto dos edifícios residenciais são retangulares e para essas
foram produzidas desde o início tabelas para cálculo de reações de apoio e de momentos
fletores. Estas tabelas foram elaboradas baseadas na teoria da elasticidade usando-se
integração numérica ou séries duplas de Fourier para a solução da equação (3.1).
As primeiras tabelas utilizadas foram produzidas por Marcus, que resolveu o problema,
substituindo a placa por uma grelha, com vigas ou faixas unitárias perpendiculares e
independentes entre si, introduzindo coeficientes semi-empíricos para levar em conta a torção
entre as mesmas, contemplada na equação (3.1) pela derivada cruzada, ou seja em x e y. O
processo de cálculo desprezando-se a torção entre as faixas perpendiculares é normalmente
conhecido como teoria da grelha ou dos quinhões de carga para cálculo de lajes retangulares.
Para o entendimento desse processo simples e normalmente utilizado para a solução de lajes
nervuradas, seja a figura 3.1 onde uma laje retangular axb, simplesmente apoiada em todos os
quatro lados e submetida a uma carga total p, que será distribuída em pa e pb, parcelas ou
quinhões da carga total que atuarão nas direções a e b respectivamente. Trata-se de um
problema estaticamente indeterminado cuja única equação de equilíbrio é dada por:
p = pa + pb (3.3)
56

60. Para a solução desse problema cujas incógnitas são as parcelas ou quinhões de carga pa e pb
deve-se lançar mão de uma equação de compatibilidade geométrica, que nesse caso consiste
em igualar as flechas δa e δb no centro da placa, correspondente às flechas máximas nas
direções a e b, respectivamente (figura 3.1).
384EI
b5p
δ
384EI
a5p
δ
4
b
b
4
a
a === (3.4)
De (3.4) obtém-se:
pa = pb . (b / a)4
(3.5)
Levando-se (3.5) em (3.3) obtém-se a expressão da parcela de carga na direção b:
pk
a
b
1
p
p b4b =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
= (3.6)
1
pa
a
pb
b
δb
1
δa
Figura 3.1 – Quinhões de cargas
57

61. 4b
a
b
1
1
k
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
= ka = 1 - kb (3.7)
Onde ka e kb são os coeficientes para se determinar os quinhões de cargas nas direções a e b
respectivamente.
Para a determinação das reações e momentos fletores da laje basta calcular isoladamente as
vigas nas direções a e b, utilizando-se as parcelas ou quinhões de carga obtidos.
Pela equação (3.7) para uma relação (b/a) = 2 o valor de kb = 1 / 17 ≈ 0,06 e
conseqüentemente ka ≈ 0,94, indicando que a laje funciona praticamente na direção menor a.
Conforme será visto adiante, a partir da relação (b/a) > 2 a laje será considerada armada em
uma direção, ou seja a dimensão menor, sendo que para relações menores, a laje será
considerada armada em duas direções ou em cruz.
Outras tabelas para o cálculo de reações e momentos bastante utilizadas são as tabelas de
Kalmanock, que integrou numericamente a equação diferencial (3.1) e tabelou para diversos
tipos de lajes retangulares e de relações (b/a), variando de 0,5 a 2. Estas tabelas, como outras
baseadas na teoria da elasticidade, são utilizadas no cálculo de lajes em regime elástico.
Existem também as tabelas baseadas no regime rígido-plástico, ou das linhas de ruptura, ou
das charneiras plásticas (Ingerslev -1923 e Johansen -1932), onde o diagrama tensão-
deformação do material constituinte da laje é elasto-plástico perfeito, com um trecho linear
elástico seguido por um trecho perfeitamente plástico. Este processo extremamente simples de
cálculo pode ser visto na apostila de lajes retangulares do Prof. José de Miranda Tepedino,
que originou tanto as tabelas para cálculo de momentos fletores no regime rígido-plástico,
quanto no elástico, mostradas adiante.
3.3 – Laje retangular armada em uma direção
Conforme visto no item anterior as lajes retangulares cuja relação entre lados for maior que 2,
será calculada como laje armada em uma direção, no caso, a direção menor. Estas lajes são
calculadas supondo vigas unitárias com o comprimento correspondente ao vão menor da laje e
58

62. com as condições de contorno iguais às do lado maior. Desta forma as configurações
possíveis para lajes retangulares armadas em uma direção estão indicadas na figura 3.2.
As reações e os momentos para as três lajes da figura 3.2 estão apresentados na tabela 3.1
abaixo, para o cálculo no regime elástico e no regime rígido-plástico, com a carga total p
atuando na faixa unitária.
Os valores das reações e dos momentos da coluna correspondente ao regime elástico são os
valores conhecidos da análise das estruturas, já os valores do regime rígido–plástico são
obtidos a partir da relação entre o momento negativo e do positivo atuantes numa mesma
direção, que no caso da tabela 3.1 foi adotado igual a 1,5. Assim para a laje apoiada-engastada
o momento máximo positivo é dado por:
M = (Ra)2
/ 2 . p (3.8)
com
Ra = p.l / 2 – X / l = p.l / 2 – 1,5.M / l (3.9)
M = Ra
2
/ 2.p = (p.l / 2 – 1,5.M / l)2
/ 2.p (3.10)
a aa
b
1
M M M
X X X
R R Ra Re
R R
Figura 3.2 – Lajes armadas em uma direção
59

63. Resolvendo-se a equação de segundo grau em M, equação (3.10), chega-se ao valor possível
de M dado por:
M = p.l2
/ 13,33 (3.11)
Tabela 1 – Reações e momentos para laje armada em uma direção
Tipo da laje Regime Elástico Regime rígido-plástico
Apoiada-apoiada
R = 0,5 . p.a R = 0,5 . p.a
M = pa2
/8 M = pa2
/8
Apoiada-engastada
Rapoio = 0,375 p.a Rapoio = 0,387 p.a
Rengaste = 0,625 p.a Rengaste = 0,613 p.a
M = p .a2
/14,22
X = p.a2
/8
M = p.a2/13,33
X = 1,5 . M
Engastada-engastada
R = 0,5 p.a R = 0,5 p.a
M = p.a2
/24
X = p.a2
/12
M = p.a2
/20
X = 1,5 . M
Para a placa engastada-engastada com o momento negativo X igual a 1,5 vez o momento
positivo M, tem-se:
M = Ra
2
/ 2.p – X = (pl/2)2
/ 2.p – 1,5.M = pl2
/ 8 –1,5.M (3.12)
De (3.12) obtém-se o valor de M:
M = p.l2
/ 20 (3.13)
60

64. 3.4 – Laje retangular armada em duas direções ou armada em cruz
Conforme visto anteriormente, quando a relação entre os lados de uma laje retangular é menor
ou igual a 2, considera-se a mesma armada em duas direções ou em cruz
3.4.1 – Tipos de lajes retangulares
Os tipos possíveis de lajes retangulares estão mostrados na figura 3.3, onde a é o vão cuja
direção tem o maior número de engastes. Caso nas duas direções o número de engaste seja o
mesmo, a será considerado o menor vão.
a a ≤ b
b
a
D E F
Figura 3.3 – Tipos de lajes retangulares armadas em cruz
a ≤ b
CbA B
aa ≤ b
61

65. 3.4.2 – Reações de apoio
As reações de apoio para lajes maciças retangulares com carga uniforme podem ser feitas de
acordo com o item 14.7.6 da NBR 6118, seguindo as aproximações:
1. as reações em cada apoio são as correspondentes às cargas atuantes nos triângulos ou
trapézios determinados através das charneiras plásticas, sendo que essas reações podem
ser, de maneira aproximada, consideradas uniformemente distribuídas sobre os elementos
estruturais que lhes servem de apoio;
2. quando a análise plástica não for efetuada, as charneiras podem ser aproximadas por retas
inclinadas, a partir dos vértices com os seguintes ângulos:
• 45o
entre dois apoios do mesmo tipo;
• 60o
a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado
simplesmente apoiado;
• 90o
a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre.
A partir dos ângulos definidos acima são produzidas tabelas para os 6 tipos de lajes
retangulares da figura 3.3, para as diversas relações b/a (tabela 3.8,adiante). Nessas tabelas a
reação em cada lado é obtida multiplicando-se os coeficientes tabelados sempre pelo produto
p.a.
62

66. 3.4.3 – Momentos fletores
Os momentos fletores em lajes retangulares são calculados também através de tabelas
produzidas tanto para o regime elástico como para o regime rígido-plástico. No regime
elástico, para a obtenção dos valores dos momentos atuantes nas duas direções, basta
multiplicar os valores tabelados tanto para os momentos positivos (armadura de flexão na
parte inferior da laje) quanto para os momentos negativos (idem para a parte superior) pelo
60o
45o
3
45o
1
4
30o
2
R”b
b ≥ a
R’a = pA1 / a
R”a = pA2 / a
R’b = pA4 / b
R”b = pA3 / b
R’b
R’a
R”a
a
Figura 3.4 – Reações de apoio para lajes retangulares
60o 45o
90o
90o
1
2 3
Rb
b
R’a
R”a
Bordo livre
R’a = pA2 / a
R”a = pA3 / a
a
Rb = pA1
63

67. produto p.a2
. Já para o regime rígido-plástico apenas são tabelados os coeficientes para os
momentos positivos nas duas direções, que são obtidos multiplicando-se esses coeficientes
pelo produto p.a2
. Caso exista, o momento negativo em uma determinada direção será obtido
multiplicando-se por 1,5 o momento positivo da mesma direção.
As tabelas 3.8 a 3.11 mostradas adiante, são as mesmas da apostila sobre lajes retangulares do
Prof. José de Miranda Tepedino, salientando que as do regime rígido-plástico foram
produzidas para uma variação contínua do índice de ortotropia (relação entre os momentos de
plastificação nas duas direções ortogonais da laje) e para uma relação constante entre os
momentos negativo e positivo em uma mesma direção, adotada igual a 1,5.
3.5 – Cálculo da flecha em lajes retangulares
O cálculo da flecha em lajes retangulares deve naturalmente obedecer ao estado limite de
serviço – ELS, nesse caso denominado ELS-DEF, ou seja, de deformações excessivas,
definido no item 3.2.4 da NBR-6118.
As cargas para o cálculo em serviço devem ser afetadas pelo coeficiente de ponderação, no
caso minoração, das ações no ELS, correspondente às combinações quase permanentes (ELS-
DEF):
γf = γf2 = ψ2 (3.14)
Conforme a tabela 11.2 da NBR-6118 para cargas acidentais de edifícios, ψ2 = 0,3 para
edifícios residenciais, ψ2 = 0,4 para edifícios comerciais, de escritório, estações e edifícios
públicos e ψ2 = 0,6 para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens.
Mserv = Mg + ψ2 . Mq (3.15)
Caso o momento de serviço dado em (3.15) seja menor que o momento de fissuração Mr
determinado conforme o item 17.3.1 da NBR-6118 a laje está trabalhando no estádio I
(concreto trabalhando simultaneamente à tração e compressão – concreto não fissurado), caso
64

68. contrário, no estádio II (concreto trabalhando à compressão no regime elástico enquanto as
tensões de tração são desprezadas – concreto fissurado). O momento de fissuração pode ser
calculado pela seguinte expressão aproximada:
Mr = α . fct . Ic / yt (3.16)
Onde:
• α é o fator que relaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a
resistência à tração direta, sendo igual a 1,5 para seções retangulares (caso da laje);
• yt é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada;
• Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
• fct é a resistência à tração direta do concreto, conforme o item 8.2.5 da NBR-6118,sendo
considerada igual a fctm no estado limite de deformação excessiva.
Para o cálculo de lajes, cuja seção transversal retangular é dada por 100xh, o valor de yt no
estádio I é aproximadamente igual a h/2, onde h é a altura da laje, ficando a relação Ic/yt ≈ W0
(módulo de resistência à flexão) dada por:
W0 = 100 . h2
/ 6 (cm3
) (3.17)
O valor correto de yt é obtido do cálculo da seção homogeneizada, mas tendo em vista a
pequena quantidade de armadura das lajes, esse valor é muito próximo ao da seção plena de
concreto, justificando-se pois adotar yt = h/2.
Levando-se os valores de α, fct = fctm, e W0 em (3.16) obtém-se finalmente o momento de
fissuração para lajes maciças dado por:
Mr = 150.fctm . h2
/ 6 (3.18)
Para o valor de fctm dado em KN/cm2
, a unidade de Mr será KN.cm. Deve-se salientar que a
equação (3.18) refere-se a uma faixa de laje de largura b = 100 cm = 1 m.
65

69. 3.5.1 – Flecha imediata em lajes retangulares armadas em uma direção
Para essas lajes as flechas são calculadas com as expressões obtidas da resistência dos
materiais para os três tipos possíveis de condições de contorno ilustrados na figura 3.2. Assim
essas três flechas podem ser agrupadas em uma única expressão genérica dada por:
( )eq
4
i
i
EI384
ap
Kf = (3.19)
com K = 5 para laje apoiada-apoiada
K = 2*
para laje apoiada-engastada
K = 1 para laje engastada-engastada
*
o valor inteiro 2 foi adotado por ser aproximadamente igual ao valor correto 2,079...
onde
• fi é a flecha imediata;
• pi = g + ψ2 . q é a carga de serviço;
• a é o vão da laje armada em uma direção;
• (E.I)eq é a rigidez equivalente.
Normalmente as lajes em edifícios residenciais armadas em uma direção têm vãos pequenos e
conseqüentemente momentos solicitantes em situação de serviço menores que o momento de
fissuração (equação 3.18), trabalhando, portanto no estádio I. Nesse caso a rigidez equivalente
é obtida considerando-se a seção homogeneizada, utilizando-se a relação entre os módulos de
elasticidade do aço e do concreto. Devido à pequena quantidade de armação utilizada nessas
lajes, pode-se usar o momento de inércia da seção bruta de concreto em substituição ao da
seção homogeneizada. Isso se justifica pela pequena diferença entre as duas.
Caso o momento em serviço supere o momento de fissuração, deve ser considerado o estádio
II. O item 19.3.1 da NBR-6118, estado limite de deformação em lajes, estabelece que devem
ser usados os mesmos critérios dados para as vigas (item 17.3.2), tanto para o estádio I quanto
para o estádio II.
66

70. Os critérios para a flecha imediata em vigas se baseiam no cálculo da rigidez equivalente pela
formulação de Branson, dada na NBR-6118 no item 17.3.2.1.1. Para lajes maciças usuais dos
edifícios residenciais armadas em uma ou duas direções, geralmente o momento máximo é
menor que o momento de fissuração, ou quando isso não ocorre, apenas uma pequena área da
laje, próxima ao momento máximo, encontra-se no estádio II. A maior parte da laje estará
sempre no estádio I. Mesmo a região que se encontra fissurada, segundo alguns autores, tem
uma contribuição mais efetiva para a rigidez equivalente que no caso das vigas, portanto não
seria muito correto usar o mesmo modelo para vigas e lajes. No entanto, para efeito dessa
publicação, deve-se considerar:
Estádio I - (EI)eq = Ecs . Ic (3.20)
Estádio II - ( ) ccsII
3
a
r
c
3
a
r
cseq IEI
M
M
1I
M
M
EEI ≤
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
= (3.21)
Onde:
• Ecs é o módulo de elasticidade secante do concreto;
• Ic é o momento de inércia da seção bruta de concreto;
• III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II,
calculada com αe=Es/Ecs;
• Ma é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo
no vão para lajes biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para lajes em
balanço, para a combinação de ações considerada nessa avaliação;
• Mr é o momento de fissuração do elemento estrutural.
3.5.2 – Flecha imediata em lajes retangulares armadas em duas direções
O valor da flecha imediata para essas lajes é obtido usando-se tabelas para cálculo de flechas
em lajes retangulares, baseadas nas tabelas de Bares. Segundo Tepedino, por meio de
regressão polinomial, ajustou-se para a flecha imediata fi, a seguinte expressão:
67

71. fi = f1 . pi.a4
/ (Ecs . h3
) (3.22)
com pi o mesmo dado em (3.19) e
f1 = [K1.(b/a)3
+ K2.(b/a)2
+ K3. (b/a) + K4] / 1000 (3.23)
onde K1, K2, K3 e K4 estão mostrados na tabela 3.2 abaixo, não se adotando para o cálculo
valores de (b/a) inferiores a 0,5, nem superiores a 2.
Com os valores de K1 a K4 tabelados abaixo, organizou-se a tabela 3.9, mostrada adiante, para
o cálculo de flechas nos seis tipos de lajes retangulares da figura 3.3. Nessa tabela, a partir do
tipo de laje e da relação (b/a), extrai-se o coeficiente f1 que permite o cálculo da flecha com o
emprego da equação (3.22).
Tabela 3.2 – Valores dos coeficientes para cálculo das flechas (Tepedino)
LAJE K1 K2 K3 K4
0,4 -29,6 156,8 -79,8
-1,0 -16,0 79,3 -29,9
14,4 -84,3 182,1 -87,9
7,2 -42,1 83,8 -26,6
1,9 -21,2 60,9 -23,3
2,0 23,0 69,2 -33,3
A
B
C
D
E
F
68

72. A discussão sobre rigidez equivalente, feita anteriormente, é mais acentuada nas lajes armadas
em duas direções, tendo em vista que para as lajes armadas em uma, o modelo estrutural
aproxima-se mais do comportamento de vigas, onde se aplica efetivamente a formulação de
Branson (equação 3.21). Para efeito dessa publicação, quando o momento em serviço for
menor que o de fissuração, ou seja, estádio I, deve-se adotar para a rigidez equivalente a
mesma dada pela equação (3.20). Quando ocorrer o estádio II, deve-se adotar um valor médio
aproximado para a rigidez equivalente, sem utilizar, no entanto a equação (3.21). Assim para
lajes armadas em duas direções tem-se:
Estádio I - (EI)eq = Ecs . Ic (3.24)
Estádio II - (EI)eq = 0,7 . Ecs.Ic (3.25)
O valor 0,7 da equação (3.25) pode ser justificado como sendo o mesmo fator utilizado no
item 15.7.3 da NBR-6118, para consideração aproximada da não-linearidade física do
concreto.
A equação (3.22), que calcula a flecha em lajes retangulares, apresenta apenas o valor do
módulo de elasticidade Ecs e não a rigidez à flexão EI. Portanto para levar em conta a rigidez
equivalente, conforme equações (3.24) e (3.25), basta somente substituir pelo valor 0,7.Ecs
quando se tiver estádio II, ficando inalterada a equação (3.22) para o estádio I.
3.5.3 – Flecha diferida no tempo para lajes de concreto armado
Segundo o item 17.3.2.1.2 da NBR-6118, a flecha adicional diferida, decorrente das cargas de
longa duração em função da fluência, pode ser calculada de maneira aproximada pela
multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão:
αf = Δξ / (1 + 50.ρ’) (3.26)
onde:
ρ’ = A’s / (b.d) (3.27)
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73. ξ é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 3.3, ou ser
calculado pelas expressões seguintes:
Δξ = ξ(t) - ξ(t0) (3.28)
ξ(t) = 0,68.(0,996)t
.t0,32
para t ≤ 70 meses (3.29)
ξ(t) = 2 para t > 70 meses (3.30)
sendo t o tempo dado em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida, t0 a idade em
meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso das parcelas de cargas
de longa duração serem aplicadas em idades diferentes, pode-se tomar para t0 o valor
ponderado a seguir:
t0 = Σ Pi . t0i / Σ Pi (31)
onde Pi representa as parcelas de carga e t0i é a idade em que se aplicou cada parcela Pi, em
meses.
Tabela 3.3 – Valores do coeficiente ξ em função do tempo
Tempo(t)
meses 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥ 70
Coeficiente
ξ(t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2
O valor da flecha total (flecha imediata fi mais a parcela adicional diferida αf . fi) deve ser
obtido multiplicando-se a flecha imediata por (1 + αf). Assim para situações normais em que
se deseja a flecha no tempo infinito, para cargas aplicadas a partir dos 14 dias,
aproximadamente t0 = 0,5 mês, com ρ’ = 0 (não se tem armadura dupla em lajes), obtém-se
para αf o seguinte valor:
αf = ξ(∞) - ξ(0,5) = 2 – 0,54 = 1,46 (3.32)
70