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Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 1
Teoria da Probabilidade
 … conseguir prever comportamentos de fenómenos…
 Fenómenos determinísticos: é possível prever o seu comportamento com exatidão e precisão, porque a relação
entre variáveis dependentes e independentes é bem conhecida.
 Ex.: o valor da fatura da eletricidade consumida é proporcional à energia elétrica consumida
 Fenómenos probabilísticos ou estocásticos: a relação entre as variáveis dependentes e independentes não é
bem conhecida, e por isso, o fator “sorte” assume relevância quando procuramos prever comportamentos.
 Ex.: o número de utentes que visitam uma farmácia, por faixa horária/dia, é um fenómeno probabilístico,
porque esse número depende de vários fatores que não conseguimos definir devidamente
 Probabilidade: fornece as ferramentas necessárias para desenvolver modelos matemáticos que possibilitam
estimar o fator “sorte”, e assim, prever o comportamento dos fenómenos probabilísticos.
Introdução
Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 2
Teoria da Probabilidade
No dia-a-dia utilizamos constantemente a noção de Probabilidade:
• pequena probabilidade de ganhar o Euromilhões
• um estudante interroga-se sobre a probabilidade de ter nota positiva num teste de escolha múltipla,
tendo respondido ao acaso
• um farmacêutico interroga-se sobre a maior probabilidade de um novo medicamento curar determinada
doença, em comparação com outro medicamento já utilizado
Nestes casos, e quando precisamos fazer uma opção, é usual fazer da Probabilidade o nosso grau de convicção na
realização de um determinado acontecimento.
Mas, não podemos ficar satisfeitos com esta definição… precisamos quantificar a “nossa convicção” de um qualquer
acontecimento. E já o fazemos!
• Sabemos que a probabilidade de sair um “5” no lançamento de um dado equilibrado é 1/6
Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 3
Teoria da Probabilidade
Imagine um jogo de lançamento do dado, e que quando saísse o “5” recebíamos um prémio.
E se, após algumas jogadas verificávamos que nunca saía o “5”? Rapidamente ficávamos desconfiados!
Como poderíamos testar se o dado estava equilibrado?
A Probabilidade está sempre associada a um Fenómeno Aleatório, isto é, para o qual não sabemos o resultado em qualquer
repetição, mas em que admitimos uma certa regularidade a longo prazo.
Fenómenos aleatórios: fenómenos cujos resultados individuais são incertos, mas para os quais se admite uma regularidade a
longo termo, permitindo identificar um padrão genérico de comportamento. A regularidade a longo termo permite estabelecer
um modelo que exprime a aleatoriedade.
Exemplos de fenómenos aleatórios:
• Chave do Euromilhões em cada sorteio
• Estado do tempo no dia seguinte
• Resposta terapêutica de um medicamento novo
Conceitos e terminologia
Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 4
Teoria da Probabilidade
A Teoria da Probabilidade tem como objetivo o estudo dos fenómenos aleatórios, através de modelos
matemáticos – modelos probabilísticos, que os possam descrever convenientemente.
Exemplo:
• Lançamento de uma moeda equilibrada: a probabilidade de sair face é igual à de sair coroa, que é ½.
• E, no lançamento de uma moeda não equilibrada?
Devemos obter mais informação, através de n vezes o lançamento da moeda. Por exemplo, em
1000 lançamentos, obtiveram-se 450 faces, e então, um valor aproximado para a probabilidade
de sair face é 0,450. E o valor aproximado para a probabilidade de sair coroa é 0,550.
Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 5
Teoria da Probabilidade
Experiência Aleatória. Espaço de resultados. Acontecimentos.
Experiência aleatória (e.a.): é o processo de observar um resultado de um fenómeno aleatório. Numa experiência aleatória
obtém-se um resultado, de entre um conjunto de resultados conhecidos de antemão, mas não se tem conhecimento suficiente
de qual o resultado que sai em cada realização da experiência. Admite-se ainda que a experiência se pode repetir e que as
repetições são realizadas nas mesmas circunstâncias e são independentes.
Ou seja, é qualquer processo que gera um resultado que pode ser diferente de cada vez que é repetido nas mesmas
condições.
Exemplos:
• lançar uma moeda ao ar e ver o resultado que sai;
• lançar uma moeda ao ar 20 vezes e ver quantas faces saem;
• contar o número de carros estacionados, na rua, ao sairmos de manhã de casa.
Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 6
Teoria da Probabilidade
O conjunto de todos os resultados possíveis, associados à realização de uma experiência aleatória constitui o
Espaço de Resultados (S ou Ω), ou Espaço Amostral.
Exemplos:
• Relativamente à experiência aleatória que consiste em observar o resultado do lançamento de uma
moeda ao ar, temos: S = {face, coroa}
• Relativamente à experiência aleatória que consiste em observar o número de faces saídas em 20
lançamentos de uma moeda, temos: S = {0, 1, 2, ..., 19, 20}
• Relativamente à experiência aleatória que consiste em observar de manhã o tempo que se leva a chegar
ao emprego, temos: S = [0, +∞[
• Relativamente à experiência aleatória que consiste em observar o resultado do lançamento de dois dados,
temos: S = {(i, j): i = 1, 2, ..., 6; j = 1, 2, ...6}
Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 7
Teoria da Probabilidade
Exercício 1: Considere as seguintes experiências aleatórias e determine os seus espaços amostrais.
a) Lançar uma moeda e observar o número de faces obtidas
b) Lançar um dado e observar o número mostrado na face de cima
c) Lançar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de faces (F) e coroas (C) obtidas
d) Contar o número de peças defeituosas produzidas numa máquina no período de uma hora
e) Ensaiar uma lâmpada para determinar o tempo que demora a fundir
S1 = {0, 1}
S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
S3 = {FFF, FFC, FCF, FCC, CFF, CFC, CCF, CCC}
S4 ={0, 1, 2,… , n}, “n” = nº máximo de peças produzidas /hora
S5 = {t ∈ ℝ: t ≥ 0}
Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 8
Teoria da Probabilidade
Exercício 2:
Considere a experiência aleatória que consiste em
lançar uma moeda ao ar até sair coroa duas
vezes consecutivas ou até se realizarem 4
lançamentos.
Qual o espaço de resultados associado a este
acontecimento?
C
C
C
C
F
F
C
F
F
C
F
C
F
F
C
F
C
F
C
F
C
F
1º L. 2º L. 3º L. 4º L. resultados
CC
CFCC
CFCF
CFFC
CFFF
FCFC
FCFF
FFCC
FFCF
FFFC
FFFF
FCC
face = “F”
coroa = “C”:
Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 9
Teoria da Probabilidade
Acontecimento ou evento: é um subconjunto do espaço de resultados S, tal que existe uma correspondência
biunívoca entre evento e espaço amostral.
Evento elementar ou simples (s, s ∈ S): cada um dos resultados possíveis da e.a.
Evento composto: é um evento que contém mais do que um resultado possível de uma e.a..
Espaço de acontecimentos ( ): conjunto de todos os subconjuntos de S, cada um chamado de acontecimento.
(atenção: por vezes, nestes apontamentos pode surgir A em vez de , apenas por simplificação de escrita)
Evento certo: é o espaço amostral S
Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 10
Teoria da Probabilidade
Exemplos:
• e.a.: lançar uma moeda ao ar e registar a face voltada para cima:
S = {face, coroa}, A = {∅, {face}, {coroa}, S}
• e.a.: lançar um dado duas vezes e registar o número da face voltada para cima:
S = {(1, 1), (1, 2), . . .} ≝ {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6}
exemplo de acontecimento: “obter soma igual a 3” - {(1, 2), (2, 1)}
• e.a.: lançar um dado e registar o número da face voltada para cima até saída do número 6:
S = { 1, 2, . . . : ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, ∈ ℕ}
• e.a.: lançar um dardo sobre um quadrado de lado ! e registar as coordenadas do ponto obtido:
S = {(", #): ", # ∈ [0, !]} ≝ [0, !] × [0, !]
Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 11
Teoria da Probabilidade
No seguimento do exercício 1, indicar para cada e.a.:
i) um exemplo de evento
ii) o subconjunto do espaço amostral
iii) o tipo de evento
a) Lançar uma moeda e observar o número de faces obtidas
b) Lançar um dado e observar o número mostrado na face de cima
c) Lançar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de faces (F) e coroas C) obtidas
d) Contar o número de peças defeituosas produzidas numa máquina no período de uma hora
e) Ensaiar uma lâmpada para determinar o tempo que demora a fundir
S1 = {0, 1}
S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
S3 = {FFF, FFC, FCF, FCC, CFF, CFC, CCF, CCC}
S4 ={0, 1, 2,… , n}, “n” = nº máximo de peças produzidas /hora
S5 = {t ∈ ℝ: t ≥ 0}
Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 12
a) Lançar uma moeda e observar o número de faces obtidas
b) Lançar um dado e observar o número mostrado na face de cima
c) Lançar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de faces (F) e coroas (C) obtidas
d) Contar o número de peças defeituosas produzidas numa máquina no período de uma hora
e) Ensaiar uma lâmpada para determinar o tempo que demora a fundir
S1 = {0, 1}
S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
F = face e C = coroa: S3 = {FFF, FFC, FCF, FCC, CFF, CFC, CCF, CCC}
S4 ={0, 1, 2,… , n}, “n” = nº máximo de peças produzidas /hora
S5 = {t ∈ ℝ: t ≥ 0}
Teoria da Probabilidade
exercício 1 (cont.): i) exemplo de evento; ii) o subconjunto do espaço amostral; e, iii) o tipo de evento.
(a) E1: “saiu uma face”; E1 = {1}; evento simples
(b) E2: “saiu um número par”; E2 = {2, 4, 6}; evento composto
(c) E3: “saíram faces nos 2 primeiros lançamentos”; E3 = {FFF, FFC}; evento composto
(d) E4: “todas as peças são perfeitas”; E4 = {0}; evento simples
(e) E5: “a lâmpada queima em menos de 1 hora”; E5 = {t ∈ ℝ: 0 ≤ t ≤ 1} evento composto

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Sequência Didática de Matemática MatemáticaMatemática.pdf
 

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  • 1. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 1 Teoria da Probabilidade  … conseguir prever comportamentos de fenómenos…  Fenómenos determinísticos: é possível prever o seu comportamento com exatidão e precisão, porque a relação entre variáveis dependentes e independentes é bem conhecida.  Ex.: o valor da fatura da eletricidade consumida é proporcional à energia elétrica consumida  Fenómenos probabilísticos ou estocásticos: a relação entre as variáveis dependentes e independentes não é bem conhecida, e por isso, o fator “sorte” assume relevância quando procuramos prever comportamentos.  Ex.: o número de utentes que visitam uma farmácia, por faixa horária/dia, é um fenómeno probabilístico, porque esse número depende de vários fatores que não conseguimos definir devidamente  Probabilidade: fornece as ferramentas necessárias para desenvolver modelos matemáticos que possibilitam estimar o fator “sorte”, e assim, prever o comportamento dos fenómenos probabilísticos. Introdução
  • 2. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 2 Teoria da Probabilidade No dia-a-dia utilizamos constantemente a noção de Probabilidade: • pequena probabilidade de ganhar o Euromilhões • um estudante interroga-se sobre a probabilidade de ter nota positiva num teste de escolha múltipla, tendo respondido ao acaso • um farmacêutico interroga-se sobre a maior probabilidade de um novo medicamento curar determinada doença, em comparação com outro medicamento já utilizado Nestes casos, e quando precisamos fazer uma opção, é usual fazer da Probabilidade o nosso grau de convicção na realização de um determinado acontecimento. Mas, não podemos ficar satisfeitos com esta definição… precisamos quantificar a “nossa convicção” de um qualquer acontecimento. E já o fazemos! • Sabemos que a probabilidade de sair um “5” no lançamento de um dado equilibrado é 1/6
  • 3. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 3 Teoria da Probabilidade Imagine um jogo de lançamento do dado, e que quando saísse o “5” recebíamos um prémio. E se, após algumas jogadas verificávamos que nunca saía o “5”? Rapidamente ficávamos desconfiados! Como poderíamos testar se o dado estava equilibrado? A Probabilidade está sempre associada a um Fenómeno Aleatório, isto é, para o qual não sabemos o resultado em qualquer repetição, mas em que admitimos uma certa regularidade a longo prazo. Fenómenos aleatórios: fenómenos cujos resultados individuais são incertos, mas para os quais se admite uma regularidade a longo termo, permitindo identificar um padrão genérico de comportamento. A regularidade a longo termo permite estabelecer um modelo que exprime a aleatoriedade. Exemplos de fenómenos aleatórios: • Chave do Euromilhões em cada sorteio • Estado do tempo no dia seguinte • Resposta terapêutica de um medicamento novo Conceitos e terminologia
  • 4. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 4 Teoria da Probabilidade A Teoria da Probabilidade tem como objetivo o estudo dos fenómenos aleatórios, através de modelos matemáticos – modelos probabilísticos, que os possam descrever convenientemente. Exemplo: • Lançamento de uma moeda equilibrada: a probabilidade de sair face é igual à de sair coroa, que é ½. • E, no lançamento de uma moeda não equilibrada? Devemos obter mais informação, através de n vezes o lançamento da moeda. Por exemplo, em 1000 lançamentos, obtiveram-se 450 faces, e então, um valor aproximado para a probabilidade de sair face é 0,450. E o valor aproximado para a probabilidade de sair coroa é 0,550.
  • 5. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 5 Teoria da Probabilidade Experiência Aleatória. Espaço de resultados. Acontecimentos. Experiência aleatória (e.a.): é o processo de observar um resultado de um fenómeno aleatório. Numa experiência aleatória obtém-se um resultado, de entre um conjunto de resultados conhecidos de antemão, mas não se tem conhecimento suficiente de qual o resultado que sai em cada realização da experiência. Admite-se ainda que a experiência se pode repetir e que as repetições são realizadas nas mesmas circunstâncias e são independentes. Ou seja, é qualquer processo que gera um resultado que pode ser diferente de cada vez que é repetido nas mesmas condições. Exemplos: • lançar uma moeda ao ar e ver o resultado que sai; • lançar uma moeda ao ar 20 vezes e ver quantas faces saem; • contar o número de carros estacionados, na rua, ao sairmos de manhã de casa.
  • 6. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 6 Teoria da Probabilidade O conjunto de todos os resultados possíveis, associados à realização de uma experiência aleatória constitui o Espaço de Resultados (S ou Ω), ou Espaço Amostral. Exemplos: • Relativamente à experiência aleatória que consiste em observar o resultado do lançamento de uma moeda ao ar, temos: S = {face, coroa} • Relativamente à experiência aleatória que consiste em observar o número de faces saídas em 20 lançamentos de uma moeda, temos: S = {0, 1, 2, ..., 19, 20} • Relativamente à experiência aleatória que consiste em observar de manhã o tempo que se leva a chegar ao emprego, temos: S = [0, +∞[ • Relativamente à experiência aleatória que consiste em observar o resultado do lançamento de dois dados, temos: S = {(i, j): i = 1, 2, ..., 6; j = 1, 2, ...6}
  • 7. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 7 Teoria da Probabilidade Exercício 1: Considere as seguintes experiências aleatórias e determine os seus espaços amostrais. a) Lançar uma moeda e observar o número de faces obtidas b) Lançar um dado e observar o número mostrado na face de cima c) Lançar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de faces (F) e coroas (C) obtidas d) Contar o número de peças defeituosas produzidas numa máquina no período de uma hora e) Ensaiar uma lâmpada para determinar o tempo que demora a fundir S1 = {0, 1} S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S3 = {FFF, FFC, FCF, FCC, CFF, CFC, CCF, CCC} S4 ={0, 1, 2,… , n}, “n” = nº máximo de peças produzidas /hora S5 = {t ∈ ℝ: t ≥ 0}
  • 8. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 8 Teoria da Probabilidade Exercício 2: Considere a experiência aleatória que consiste em lançar uma moeda ao ar até sair coroa duas vezes consecutivas ou até se realizarem 4 lançamentos. Qual o espaço de resultados associado a este acontecimento? C C C C F F C F F C F C F F C F C F C F C F 1º L. 2º L. 3º L. 4º L. resultados CC CFCC CFCF CFFC CFFF FCFC FCFF FFCC FFCF FFFC FFFF FCC face = “F” coroa = “C”:
  • 9. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 9 Teoria da Probabilidade Acontecimento ou evento: é um subconjunto do espaço de resultados S, tal que existe uma correspondência biunívoca entre evento e espaço amostral. Evento elementar ou simples (s, s ∈ S): cada um dos resultados possíveis da e.a. Evento composto: é um evento que contém mais do que um resultado possível de uma e.a.. Espaço de acontecimentos ( ): conjunto de todos os subconjuntos de S, cada um chamado de acontecimento. (atenção: por vezes, nestes apontamentos pode surgir A em vez de , apenas por simplificação de escrita) Evento certo: é o espaço amostral S
  • 10. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 10 Teoria da Probabilidade Exemplos: • e.a.: lançar uma moeda ao ar e registar a face voltada para cima: S = {face, coroa}, A = {∅, {face}, {coroa}, S} • e.a.: lançar um dado duas vezes e registar o número da face voltada para cima: S = {(1, 1), (1, 2), . . .} ≝ {1, 2, 3, 4, 5, 6} × {1, 2, 3, 4, 5, 6} exemplo de acontecimento: “obter soma igual a 3” - {(1, 2), (2, 1)} • e.a.: lançar um dado e registar o número da face voltada para cima até saída do número 6: S = { 1, 2, . . . : ∈ {1, 2, 3, 4, 5}, ∈ ℕ} • e.a.: lançar um dardo sobre um quadrado de lado ! e registar as coordenadas do ponto obtido: S = {(", #): ", # ∈ [0, !]} ≝ [0, !] × [0, !]
  • 11. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 11 Teoria da Probabilidade No seguimento do exercício 1, indicar para cada e.a.: i) um exemplo de evento ii) o subconjunto do espaço amostral iii) o tipo de evento a) Lançar uma moeda e observar o número de faces obtidas b) Lançar um dado e observar o número mostrado na face de cima c) Lançar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de faces (F) e coroas C) obtidas d) Contar o número de peças defeituosas produzidas numa máquina no período de uma hora e) Ensaiar uma lâmpada para determinar o tempo que demora a fundir S1 = {0, 1} S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} S3 = {FFF, FFC, FCF, FCC, CFF, CFC, CCF, CCC} S4 ={0, 1, 2,… , n}, “n” = nº máximo de peças produzidas /hora S5 = {t ∈ ℝ: t ≥ 0}
  • 12. Matemática e Bioestatística – MICF - FFUP 12 a) Lançar uma moeda e observar o número de faces obtidas b) Lançar um dado e observar o número mostrado na face de cima c) Lançar uma moeda 3 vezes e observar a sequência de faces (F) e coroas (C) obtidas d) Contar o número de peças defeituosas produzidas numa máquina no período de uma hora e) Ensaiar uma lâmpada para determinar o tempo que demora a fundir S1 = {0, 1} S2 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} F = face e C = coroa: S3 = {FFF, FFC, FCF, FCC, CFF, CFC, CCF, CCC} S4 ={0, 1, 2,… , n}, “n” = nº máximo de peças produzidas /hora S5 = {t ∈ ℝ: t ≥ 0} Teoria da Probabilidade exercício 1 (cont.): i) exemplo de evento; ii) o subconjunto do espaço amostral; e, iii) o tipo de evento. (a) E1: “saiu uma face”; E1 = {1}; evento simples (b) E2: “saiu um número par”; E2 = {2, 4, 6}; evento composto (c) E3: “saíram faces nos 2 primeiros lançamentos”; E3 = {FFF, FFC}; evento composto (d) E4: “todas as peças são perfeitas”; E4 = {0}; evento simples (e) E5: “a lâmpada queima em menos de 1 hora”; E5 = {t ∈ ℝ: 0 ≤ t ≤ 1} evento composto