Quando se discute o problema do ensino de matemática, uma das panacéias recorrentes é o uso da propalada metodologia interdisciplinaridade. Longe, nesse artigo de adentrar no debate sísifo sobre sua conceituação, o objeto aqui perquirido é tentar apresentar como essa abordagem na sua definição trivial é salutar para aproximar, quando possível, áreas do conhecimento aparentemente díspares. Com esse ousado propósito, reproduzo aqui um famoso problema matemático da antiguidade, desconhecido hoje do público e até mesmo de alguns recônditos acadêmicos. Trata-se da Digressão Geométrica no Ménon de Platão, uma magnífica interação entre Matemática e Filosofia.

1. A DIGRESSÃO GEOMÉTRICA
NO MÉNON DE PLATÃO
Albertino Servulo
albertinosbs@professor.sme.fortaleza.ce.gov.br
1. INTRODUÇÃO
O tema desse artigo é resultado de uma pesquisa que teve seu início nos primeiros anos da
graduação e que muito tem contribuído para a minha prática de ensino. Recentemente isso
aconteceu, quando levei essa temática para apresentar num seminári de formação para
seminário
professores de matemática, organizado pela Secretaria Executiva Regional de Fortaleza - SER V,
na qual pertenço, atuando desde 2001 como Professor de Matemática. O convite para apresentar
um seminário sobre avaliação em matemática me pôs diante de um duplo desafio. Primeiro
acerca do tema proposto; segundo, a forma de introduzi lo. Eu sabia que deveria apresentar o
introduzi-lo.
tema da avaliação em matemática partindo da legislação educacional vigente, mas eu não queria
tornar a apresentação monótona, devido a exposição extenuante de regras. Foi então que surgiu a
idéia de apresentar a proposta apartir de uma questão, no caso, propus o seguinte problema:
avaliação em matemática: a tensão entre o caráter diagnóstico e o aspecto objetivo Com esse
objetivo.
artifício promovi um debate dirigido, sem deixar de lado a legislação educacional. Ao mesmo
tempo surgiu também o modo de apresentar a discussão; e a forma que optei para introduzir o
optei,
debate, foi apresentar um tema relacionado com a discussão acerca de novas fo
formas de ensino,
nessa consideração ganha destaque a interdisciplinaridade.
Quando se discute o problema do ensino de matemática, uma das panacéias recorrentes é o uso
da propalada metodologia interdisciplinaridade. Longe, nesse artigo de adentrar no debat sísifo
debate
sobre sua conceituação, o objeto aqui perquirido é tentar apresentar como essa abordagem na sua
definição trivial é salutar para aproximar, quando possível, áreas do conhecimento
aparentemente díspares. Com esse ousado propósito, reproduzo aqui um famoso problema

2. matemático da antiguidade, desconhecido hoje do público e até mesmo de alguns recônditos
acadêmicos. Trata-se da Digressão Geométrica no Ménon de Platão, uma magnífica interação
entre Matemática e Filosofia.
2. O MENON
O Menon é uma obra escrita pelo filósofo grego Platão cujos personagens principais são:
Sócrates, Menon (figura daquele que pensa que é sábio) e o escravo de Menon. Nela a episteme é
apresentada como anamnese. Menon inicia um debate (a característica marcante da obra
platônica é esse processo de aprender por meio do debate dirigido) com Sócrates, buscando saber
se a virtude pode ou não ser ensinada. Sócrates estimula o debate intentando outra direção. O
arquétipo platônico visa mudar a questão inicial para a questão da essência, pois compreende que
sem conhecer o que é a coisa mesma, qualquer problematização não tem sentido. Com esse
objetivo, Sócrates encurrala o seu interlocutor por intermédio de aporias (paradoxos).
3. ANTINOMIAS DO MENON
Entretanto, Menon faz uma reviravolta no debate com Sócrates; e partindo das próprias aporias
socráticas, elabora um paradoxo surpreendente. Os filósofos da matemática fazem distinção entre
os paradoxos. Conforme a sentença deles há três formas clássicas:
i)
PARADOXOS DE NOÇÃO COMUM; exemplo correspondente a este é a conjectura
de Cantor:
ii)
·;
PARADOXOS LÓGICOS; destaque para as séries alternadas do tipo: S ≡ 1-1+11...=0=1=1/2;
iii)
ANTINOMIAS OU DILEMAS; exemplificação perfeita desse tipo encontra-se no
famoso paradoxo de Russel, A = {X / X não-pertence X}; A pertence A
pertence A).
↔
(A não-

3. A dificuldade promovida por Ménon corresponde a essa última forma e consiste em três dilemas:
i)
Como procurar por algo quando não se sabe pelo que se procura?
ii)
Como propor uma investigação acerca de algo que não se conhece?
iii)
Como saber, ao encontrar, que algo que não se conhecia é aquilo que se procurava?
As antinomias do Menon promovem uma dificuldade filosófica na argumentação socrática, pois
destroem de uma só vez, o objeto e o método cognoscente. Nessa perspectiva, significa o fim da
filosofia; a impossibilidade do conhecimento.
4. DIGRESSÃO GEOMÉTRICA
Para escapar das antinomias, o Sócrates de Platão apresenta um argumento genial. Nele é
indicado que a episteme (conhecimento) é reminiscência (rememoração). É aqui que a obra
filosófica de Platão é singular, pois para demonstrar a reminiscência, o filósofo apresenta uma
questão matemática associada ao famoso teorema de Pitágoras.
5. DUPLICAÇÃO DA SUPERFÍCIE DE UM QUADRADO
É resolvendo um problema matemático que Platão resolve um problema filosófico (É possível
conhecer?). Mas como isso é possível? Fica claro nesse argumento o valor que Platão atribui a
Matemática, tida por ele como um conhecimento da essência. É aí reside o âmago da questão,
isto é, a possibilidade de conhecer a essência, é isso que está em disputa. Essa é a relação entre
matemática e filosofia apartir dessa referência. A questão matemática que aparece no centro do
debate filosófico apresentado no Menon de Platão é o problema da duplicação da superfície de
um quadrado. Algebricamente a questão torna-se simples; senão vejamos: Seja I o quadrado de
lado L1. Conseqüentemente sua superfície vale (L1)2. Portanto o quadrado, que chamaremos de
II, que terá sua superfície equivalente a 2(L1)2, será aquele que tem seus respectivos lados com
medida igual a L1√2. Entretanto, na digressão geométrica o desafio é duplicar a superfície do
quadrado por meio da construção geométrica, isto é, construir um quadrado cuja superfície é o

4. dobro da superfície de um quadrado qualquer. Aparentemente fácil, o problema torna-se mais
complexo do que já é porque tem que ser resolvido pelo escravo de Menon, que não tem
conhecimentos formais em matemática, o que garante a solução do problema filosó
filosófico, mas nos
faz indagar como é possível resolver o problema matemático. A digressão geométrica torna
torna-se
ainda mais dramática porque exige que o escravo de Menon não possa ser ensinado por Sócrates,
ou seja, ele deve encontrar a resposta do problema por reminiscência. Mas como isso pode
reminiscência.
ocorrer? Pois Sócrates conduz explicitamente o escravo de Menon à solução do problema da
duplicação da superfície do quadrado. Isso não é ensinar?
6. DEMONSTRAÇÃO INTUITIVA
No diálogo, Sócrates mostra ao escravo de Ménon esboços até a conclusão do mesmo de como
pode duplicar a superfície do quadrado. A apresentação desses esboços pode ser reconstituída e
analisada como as etapas da digressão geométrica no Menon de Platão. É p
possível identificar seis
etapas que podem ser designadas por: (1) PRESSUPOSTOS; (2) RELAÇÃO ENTRE AS
LINHAS QUE FORMAM UMA FIGURA E SUA SUPERFÍCIE; (3) DUPLICAÇÃO DA
SUPERFÍCIE DO QUADRADO; (4) O INSIGHT DO ESCRAVO; (5) AS LINHAS DO
QUADRADO e (6) AS DIAGO
DIAGONAIS. Trata-se de uma demonstração intuitiva. Não é possível
se
ensinar as formas das figuras geoméricas. Desde sempre se sabe as formas das figuras É nesse
figuras.
sentido que Platão se ancora na Matemática para sustentar sua teoria do conhecimento. A
representação acima é um esboço sucinto da demonstração intuitiva da duplicação da superfície
do quadrado.

5. 7. O PROBLEMA DAS DIAGONAIS
O mais certo é dizer que é na geometria que Platão tenta sustentar seu argumento, uma vez que a
construção do quadrado almejado, isto é, a solução da duplicação da superfície do quadrado é
encontrada na diagonal. E nesse sentido, num dado momento esbarra-se com o problema
pitagórico, isto é, a descoberta dos irracionais. Daí que se a solução do problema da duplicação
da superfície do quadrado fosse almejada somente pela aritmética, jamais haveria uma resposta
satisfatória, uma vez que os irracionais não podem ser determinados.
8. CONCLUSÃO
Fica evidente a riqueza teórica com a interação entre filosofia e matemática. Somos informados
como um problema matemático foi relacionado a um problema filosófico. Nessa mesma
exposição podemos perceber onde possivelmente ocorreu à ruptura entre geometria e aritmética,
separação estritamente relacionada ao problema do infinito. Pensando assim é que concluímos
lançando a seguinte questão: por que a duplicação da superfície do quadrado está associada
ao teorema de Pitágoras, se nela o processo de construção é a partir do quadrado?
9. REFERÊNCIAS
PLATÃO. Menon. s/e.Rio de janeiro: Editora-PUC-RIO; Loyola, 2001.
_______. Menon. 2 ed.Lisboa: Edições Colibri, 1993.
SOUSA, Albertino S. B. A Digressão geométrica no Menon de Platão. Fortaleza: UECE,
2008.,p.,45. (Monografia)
SOUSA, Albertino S. B. Interdisciplinaridade no ensino de matemática: uma exigência da
nova ordem mundial. Fortaleza: UECE, 2004.,p.,50. (Monografia)