1. Caracterização dos Grupos Nilpotentes Finitos
Renan Fernandes de Moraes
Orientador: Prof. Mestre Júnio Moreira de Alencar
IFCE - Campus Juazeiro do Norte
2014
Renan Fernandes de Moraes Orientador: Prof. Mestre Júnio Moreira de Alencar Caracterização dos Grupos Nilpotentes Finitos

2. Preliminares
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3. Preliminares
1 Relações e Classes de Equivalência;
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4. Preliminares
1 Relações e Classes de Equivalência;
2 Grupos e Subgrupos;
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5. Preliminares
1 Relações e Classes de Equivalência;
2 Grupos e Subgrupos;
3 Ações, p-grupos e subgrupos de Sylow;
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6. Grupos Abelianos
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7. Grupos Abelianos
Produto Direto e Grupos Abelianos Finitos
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8. Solubilidade
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9. Solubilidade
1 Comutadores;
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10. Solubilidade
1 Comutadores;
2 Grupos Solúveis;
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11. Grupos Nilpotentes
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12. Grupos Nilpotentes
Grupos Nilpotentes Finitos
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13. Grupo Solúvel: {1} = G0 G1 G2 ··· Gn = G e
Gi+1
Gi
é abeliano.
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14. Grupo Solúvel: {1} = G0 G1 G2 ··· Gn = G e
Gi+1
Gi
é abeliano.
Grupo Nilpotente: {1} = G0 G1 G2 ··· Gn = G e
Gi
Gi−1
⊂ Z
Gi
Gi−1
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15. Todo grupo nilpotente é, em particular, solúvel.
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16. Todo grupo nilpotente é, em particular, solúvel.
Todo grupo abeliano é solúvel: {e} ⊂ H ⊂ G
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17. Caracterização dos Grupos Nilpotentes Finitos
(i) G é nilpotente.
(ii) Todo Subgrupo de G é subnormal em G.
(iii) Se H ≤ G, então H ≤ NG(H).
(iv) Se M G, então M G.
(v) Se P ∈ SylP (G), então P G.
(vi) G = P1 × ··· × Pr, onde Pi é um p − subgrupo de Sylow de G.
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18. (i) G é nilpotente.
(ii) Todo Subgrupo de G é subnormal em G.
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19. (i) G é nilpotente.
(ii) Todo Subgrupo de G é subnormal em G.
(i) ⇒ (ii): Seja H um subgrupo de G. Definimos a cadeia de subgrupos
H = H0 ⊂ H1 ⊂ ... ⊂ Hn = G
tal que Hi−1 Hi, 1 ≤ i ≤ n. Como Hi−1 Hi, podemos tomar, sem perda de
generalidade, que Hi = NG(Hi−1). Segue que, se Hn−1 G, então |Hn−1| < |Hn|.
Como G, da forma que foi definido, é finito, deve existir um índice n tal que Hn = G.
Dai, Hn−1 Hn = G. Logo, todo subgrupo de G é subnormal.
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20. (ii) Todo Subgrupo de G é subnormal em G.
(iii) Se H ≤ G, então H ≤ NG(H).
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21. (ii) Todo Subgrupo de G é subnormal em G.
(iii) Se H ≤ G, então H ≤ NG(H).
(ii) ⇒ (iii): Segue que, seja H ≤ G. Se H é subgrupo normal em G, então existe
uma série tal que H = H0 H1 ··· Hn = G. Se i é o menor inteiro positivo tal que
H Hi, então H = Hi−1 Hi e, pela propriedade do normalizador, como G é
nilpotente, Hi ≤ NG(H).
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22. (iii) Se H ≤ G, então H ≤ NG(H).
(iv) Se M G, então M G.
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23. (iii) Se H ≤ G, então H ≤ NG(H).
(iv) Se M G, então M G.
(iii) ⇒ (iv): Segue que, se M é um subgrupo maximal em G, então M ≤ NG(M).
Então, como M ≤ NG(M), pela definição de subgrupo maximal, teremos
NG(M) = G. Como NG(M) = {g ∈ G | g−1Mg = M}, então M G.
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24. (iv) Se M G, então M G.
(v) Se P ∈ SylP (G), então P G.
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25. (iv) Se M G, então M G.
(v) Se P ∈ SylP (G), então P G.
(iv) ⇒ (v) Seja P ∈ Sylp(G) e suponha que P G. Então, P ≤ NG(P) < M G.
Afirmação: NG(M) = M. Com efeito, seja g ∈ NG(M). Então,
g−1Pg ⊂ g−1Mg = M. E, portanto, P e g−1Pg pertencem a Sylp(M). Pelo teorema
de Sylow existe x ∈ M, tal que x−1Px = g−1Pg =⇒ P = Pgx−1
. Portanto,
gx−1 ∈ NG(P) ≤ M. E g ∈ xM = M. Logo, NG(M) ⊆ M. Mas, M ≤ NG(M).
Então, M = NG(M) e M G. Portanto, cada subgrupo Sylow de G é normal.
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26. (v) Se P ∈ SylP (G), então P G.
(vi) G = P1 × ··· × Pr.
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27. (v) Se P ∈ SylP (G), então P G.
(vi) G = P1 × ··· × Pr.
(v) ⇒ (vi) Note-se que, neste caso, G é um produto direto de seus subgrupos de
Sylow.
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28. (v) Se P ∈ SylP (G), então P G.
(vi) G = P1 × ··· × Pr.
(v) ⇒ (vi) Note-se que, neste caso, G é um produto direto de seus subgrupos de
Sylow.
(vi) G = P1 × ··· × Pr
(i) G é nilpotente.
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29. (v) Se P ∈ SylP (G), então P G.
(vi) G = P1 × ··· × Pr.
(v) ⇒ (vi) Note-se que, neste caso, G é um produto direto de seus subgrupos de
Sylow.
(vi) G = P1 × ··· × Pr
(i) G é nilpotente.
(vi) ⇒ (i) Sabemos que todo p−grupo finito é nilpotente. Se P1,...,Pr são
nilpotentes, então G = P1 × ··· × Pr é nilpotente. Basta ver a proposição 5.6: Todo
p − grupo finito é nilpotente. E e proposição 5.7: Produtos diretos finitos de grupos
nilpotentes são também nilpotentes.
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30. Caracterização do Grupos Nilpotentes Finitos ≈
Generalização
Teorema
Fundamental dos Grupos Abelianos Finitos
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31. Teorema fundamental de Grupos Abelianos finitos: Se G é um grupo abeliano finito,
então G é o produto direto interno de seus subgrupos de Sylow e portanto, G é
isomorfo ao produto direto de seus subgrupos de Sylow.
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32. Referências
ANZAR, M. J. I.; MONASOR, F. P. LECCIONES sobre GRUPOS.
Disponível em: <http://www.uv.es/∼iranzo/Lecciones_de_Grupos.pdf>.
ALENCAR, J.M. GRUPOS COBERTOS POR SEIS SUBGRUPOS MAXIMAIS.
Disponível em: <http://www.repositorio.ufc.br/handle/riufc/879>.
BATTACHARIA, P. B. Basic abstract algebra. 2nd ed. Cambridge : Cambridge Uni-
versity, 1994.
ROBINSON, D. J. S. A course in the theory of groups. New York : Springer-Verlag,
1982.
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33. Considerações Finais
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34. Considerações Finais
“Para sabermos bem as coisas, é preciso sabermos os pormenores, e como estes são
quase infinitos, os nossos conhecimentos são sempre superficiais e imperfeitos”.
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