16 carga eletrica-lei_coulomb

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA
Prof. Anderson Coser Gaudio
Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo
http://www.cce.ufes.br/anderson
anderson@npd.ufes.br Última atualização: 28/11/2006 14:18 H
16 - Carga Elétrica e Lei de Coulomb
Fundamentos de Física 2
Halliday, Resnick, Walker
4ª Edição, LTC, 1996
Física 2
Resnick, Halliday, Krane
Física 2
Resnick, Halliday, Krane
Cap. 23 - Carga Elétrica Cap. 27 - Carga Elétrica
e Lei de Coulomb
Cap. 25 - A Carga
Elétrica e a Lei de
Coulomb
Prof. Anderson (Itacaré, BA - Fev/2006)

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES
HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FUNDAMENTOS DE FÍSICA 3
CAPÍTULO 23 - CARGA ELÉTRICA
EXERCÍCIOS E PROBLEMAS
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
[Início documento]
[Início seção] [Início documento]
________________________________________________________________________________________________________
Halliday, Resnick, Walker - Física 3 - 4
a
Ed. - LTC - 1996. Cap. 23 – Carga Elétrica
2

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.
FÍSICA 3
CAPÍTULO 27 - CARGA ELÉTRICA E LEI DE COULOMB
PROBLEMAS
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
[Início documento]
02. Qual deve ser a distância entre a carga pontual q1 = 26,3 μC e a q2 = -47,1 μC para que a força
elétrica atrativa entre elas tenha uma intensidade de 5,66 N?
(Pág. 9)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação, em que F12 é a força sobre a carga q1 devido à carga q2 e
r12 é o vetor posição da carga q1 em relação à carga q2:
q1 + −
r12
q2
F12 F21
1 2
12 2
0 12
1
4
q q
F
rπε
=
1 2
12
0 12
1,4028
4
q q
r m
Fπε
= =
12 1,40r m≈
04. Duas partículas igualmente carregadas, mantidas a 3,20 mm de distância uma da outra, são
liberadas a partir do repouso. Observa-se que a aceleração inicial da primeira partícula é de 7,22
m/s2
e que a da segunda é de 9,16 m/s2
. A massa da primeira partícula é de 6,31 × 10-7
kg.
Encontre (a) a massa da segunda partícula e (b) o módulo da carga comum às duas.
(Pág. 9)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
________________________________________________________________________________________________________
Resnick, Halliday, Krane - Física 3 - 4
a
Ed. - LTC - 1996. Cap. 27 – Carga Elétrica e Lei de Coulomb
3

q
+ +
r12
qF12 F21
x
y
Neste problema vamos ignorar o efeito da força peso, que é desprezível em comparação com a força
elétrica.
(a) Cálculo de m2:
12 1 1 1 1m m= = −F a a i
i21 2 2 2 2m m a= =F a
Mas:
12 21= −F F
( )1 1 2 2m a m a− = −i i
71
2 1
2
4,9736 10 kg
a
m m
a
−
= = ×
7
2 4,97 10 kgm −
≈ ×
(a) Cálculo de q:
12 1 1m=F a
2
1 12
0 12
1
4
q
m a
rπε
− = −i i
11
12 0 1 12 7,2596 10 Cq r m aπε −
= = ×
11
7,26 10 Cq −
≈ ×
07. Três partículas carregadas estão sobre uma linha reta, separadas pela distância d, como mostra a
Fig. 12. As cargas q1 e q2 são mantidas fixas. Descobre-se que a carga q3, que é livre para se
deslocar, está em equilíbrio sob a ação das forças elétricas. Encontre q1 em termos de q2.
(Pág. 10)
Solução.
Para que a carga q3 permaneça em equilíbrio, as forças elétricas que agem sobre a mesma, devido às
cargas q1 e q2, devem anular-se.
q3F31 F32
ou
q3F32 F31
Em quaisquer dos casos esquematizados acima, vale a seguinte relação:
31 32= −F F
________________________________________________________________________________________________________
a
4

3 2 3 1
2 2
0 32 0 31
1 1
4 4
q q q q
r rπε πε
= −i i
( )
2 1
22
2
q q
d d
= −
1 24q q= −
12. Duas cargas fixas, +1,07 μC e -3,28 μC, estão a 61,8 cm de distância entre si. Onde se pode
localizar uma terceira carga de modo que nenhuma força resultante aja sobre ela?
(Pág. 10)
Solução.
Para ficar em equilíbrio, uma terceira carga, positiva ou negativa, somente poderá estar localizada
em algum ponto da reta que passa por q1 e q2. Podemos dividir essa reta em três regiões: A, B e C.
A + −B C
Uma análise rápida mostra que as regiões B e C estão descartadas, pois as forças elétricas sobre a
terceira carga não seria nula. O esquema abaixo ilustra a situação das forças sobre q3 (primeiro
sendo positiva e depois negativa) na região B.
+ −+
F31q1 q2q3
F32
+ −−
F31q1 q2q3
F32
O esquema abaixo ilustra a situação das forças sobre q3 na região C.
+
q1
− +
F31
q2 q3
F32
+
q1
− −
F31
q2 q3
F32
Veja que somente na região A as forças F31 e F32 podem anular-se.
+
q1
−+
F32
q2q3
F31
+
q1
−−
F32
q2q3
F31
Considere o seguinte esquema:
________________________________________________________________________________________________________
a
5

+
q1
−+
F32
q2q3
F31
r31
r32
r12
3 31 32 0= + =∑F F F
31 32F F=
3 1 3 2
2 2
0 31 0 32
1 1
4 4
q q q q
r rπε πε
=
( )
1 2
22
31 31 12
q q
r r r
=
+
( ) 1
31 31 12
2
q
r r r
q
= +
12
31
2
1
0,82308 m
1
r
r
q
q
= =
−
31 0,823 mr ≈
Logo:
32 31 12 1,44108 mr r r= + =
32 1,44 mr ≈
14. Fixa-se uma carga Q em cada um de dois vértices opostos de um quadrado. Coloca-se uma
carga q em cada um dos outros dois vértices. (a) Se a força elétrica resultante sobre Q é nula,
qual é a relação entre Q e q? (b) Poderia escolher-se q de forma a anular a força elétrica
resultante sobre todas as cargas? Explique sua resposta.
(Pág. 10)
Solução.
(a) Considere o seguinte esquema da situação:
q
q
Q
Ql
2l l
x
y
________________________________________________________________________________________________________
a
6

Diagrama de corpo livre da carga Q localizada no vértice inferior esquerdo do quadrado:
Q
x
y
θ θ=π/4
θ
FQq1
Fqq2
FQQ
A condição de equilíbrio da carga Q é que o somatório das forças que atuam sobre a mesma deve
ser zero.
1 2
0Q Qq Qq QQ= + + =∑F F F F
O somatório das forças em x deve ser zero.
2
cos 0Qx Qq QQ θ= + =∑F F F
( )
22
0 0
1 1
4 4 2
Qq QQ
l lπε πε
= −
2
2
2 2
2
2 2
Q Q
l l
= −
2 2Q q= −
(b) Não. Para que a carga q fique em equilíbrio, seu valor deve ser 2 2Q− . Mas para que a carga Q
fique em equilíbrio, seu valor também deve ser 2 2Q− . Como não é possível satisfazer a essas
condições simultaneamente, as quatro cargas não poderão constituir um sistema em equilíbrio.
16. Penduram-se duas bolinhas semelhantes, de massa m, a fios de seda de comprimento L; as
bolinhas têm cargas iguais q conforme a Fig. 14. Suponha que q seja tão pequeno que se possa
substituir tan q por seu equivalente aproximado, sen q. (a) A essa aproximação, mostre que,
para o equilíbrio,
1/3
2
02
q L
x
mgπε
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
,
onde x é a separação entre as bolinhas. (b) Se L = 122 cm, m = 11,2 g, e x = 4,70 cm, qual é o
valor de q?
________________________________________________________________________________________________________
a
7

(Pág. 10)
Solução.
Considere o seguinte diagrama de corpo livre da carga localizada à esquerda:
q
x
y
θ
T
P
F
A condição de equilíbrio das cargas é dada por:
0= + + =∑F F T P
No eixo y, temos:
cos 0yF T Pθ= −∑ =
cos
mg
T
θ
= (1)
No eixo x:
(2)0xF Tsen Fθ= − =∑
Substituindo-se (1) em (2):
2
2
0
1
cos 4
mg q
sen
x
θ
θ πε
=
2
2
0
1
4 ta
q
x
mg nπε θ
=
Segundo o enunciado do problema, temos θ pequeno o suficiente para fazer tan θ ≈ sen θ.
2
2
0
1
4 se
q
x
mg nπε θ
≈ (3)
De acordo com o esquema, temos:
sen
2
x
L
θ = (4)
Substituindo-se (4) em (3):
________________________________________________________________________________________________________
a
8

2
2
0
1
4
2
q
x
x
mg
L
πε
≈
1/3
2
0
1
2
q L
x
mgπε
⎛ ⎞
≈ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(b)
3
802
2,28019 10 C
mgx
q
L
πε −
≈ = ×
8
2,28 10 Cq −
≈ ×
19. Duas cargas pontuais positivas, iguais a q, são mantidas à distância fixa 2a. Uma carga pontual
de prova localiza-se em um plano normal à linha que liga aquelas cargas e na metade do
caminho entre elas. Encontre o raio R do círculo nesse plano para o qual a força sobre a
partícula de prova tenha valor máximo. Veja a Fig. 15.
(Pág. 11)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação, em que q0 é uma carga de prova positiva:
q
+ +a q
F1 F2
θ
θ
q0
x
y
R
a
θ
O módulo da força resultante sobre a carga de prova está no eixo y, uma vez que as componentes x
das forças F1 e F2 anulam-se.
1 2 1 12 2 seny y yF F F F F θ= + = =
( ) ( )
0 0
1/2 3/22 2 2 2 2 2
0 0
1 1
2
4 2
qq qq RR
F
a R a R a Rπε πε
= =
+ + +
O valor de R que maximiza F é encontrado igualando-se a zero a derivada de F em relação à R:
________________________________________________________________________________________________________
a
9

( )
( )
2 2
0
5/22 2
0
21
0
2
qq a RdF
dR a Rπε
−
=
+
= (1)
Para que (1) seja verdadeira, é preciso que:
2 2
2 0a R− =
2
a
R =
21. Um cubo de aresta a porta uma carga pontual q em cada vértice. Mostre que a força elétrica
resultante sobre qualquer uma das cargas é dada por
2
2
0
0,262q
F
aε
= ,
e está dirigida ao longo da diagonal do cubo e para fora dele.
(Pág. 11)
Solução.
Considere o seguinte esquema da situação:
x
z
ya
1
32
4
5
a
a
7
6
8
2a
3a2a
θ
φ
F1
Os vetores-posição e as distâncias entre as cargas são:
12
12
a
r a
= −
=
r i
O vetor r12 é a posição da carga q1 em relação à carga q2 e, portanto, aponta no sentido negativo do
eixo x.
13
13
a
r a
= −
=
r j
14
14
a
r a
= −
=
r k
________________________________________________________________________________________________________
a
10

15
15 2
a a
r a
= − −
=
r i j
16
16 2
a a
r a
= − −
=
r i k
17
17 2
a a
r a
= − −
=
r j k
18
18 3
a a a
r a
= − − −
=
r i j k
As forças que agem sobre q1 são:
2 2
12 122 2
0 12 0
1 1
4 4
q q
r aπε πε
= = −F r i
2
13 2
0
1
4
q
aπε
= −F j
2
14 2
0
1
4
q
aπε
= −F k
( ) ( )
( ) ( )
2 2
15 2 2
0 0
2 2
2 2
0 0
1 1
cos sen
4 42 2
1 2 1 2
4 2 4 22 2
q q
a a
q q
a a
θ θ
πε πε
πε πε
= − −
= − −
F i j
i j
( ) ( )
2 2
16 2 2
0 0
1 2 1 2
4 2 4 22 2
q q
a aπε πε
= − −F i k
( ) ( )
2 2
17 2 2
0 0
1 2 1 2
4 2 4 22 2
q q
a aπε πε
= − −F j k
( ) ( ) ( )
2 2 2
18 2 2
0 0 0
1 1 1 1 1 1
4 4 43 33 3 3
q q q
a a aπε πε πε
= − − −F i 2
3
j k
A força resultante sobre a carga q1 vale:
28
1 1 2
1 0
2
2
0
2
2
0
2 1 1
1
2 43 3
2 1 1
1
2 43 3
2 1 1
1
2 43 3
i
i
q
a
q
a
q
a
πε
πε
πε
≠
⎛ ⎞
= = − + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
− + + −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎛ ⎞
− + +⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑F F i −
j
k
2 2
1 2 2
0 0
1 1
0,15123 0,15123 0,15123
4 4
q q
a aπε πε πε
= − − −F i
2
2
0
1
4
q
a
j k
________________________________________________________________________________________________________
a
11

Os valores idênticos das componentes do vetor F1 indicam que o mesmo possui direção que
coincide com a diagonal do cubo. Os sinais negativos das componentes mostram que o vetor aponta
para fora do cubo. O módulo de F1 vale:
2
2
1 2
0
1
3 0,15123
4
q
F
aπε
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
1 2
0
0,262
q
F
aε
≈
2a
3a
22. Duas cargas positivas +Q são mantidas fixas à distância d entre si. Uma partícula de carga
negativa −q e massa m é colocada na metade do caminho entre elas e, então, recebe um pequeno
deslocamento perpendicular à linha que as liga, sendo liberada em seguida. Mostre que a
partícula descreve movimento harmônico simples de período (εomπ3
d3
/qQ)1/2
.
(Pág. 11)
Solução.
(a) Considere o esquema abaixo:
Q
r
+ +
d
Q
F1 F2
r
θ
θ
−q
x
y
y
A partícula de carga −q está sujeita às forças F1 e F2 devido às interações elétricas com as cargas
+Q da direita e da esquerda, respectivamente. F1 e F2 têm o mesmo módulo F. Segunda lei de
Newton na direção y:
2
2y
d y
F m
dt
=∑
2
2
2 sen
d y
F m
dt
θ− =
2
2 2
0
2
4
qQ y d y
m
r r dtπε
⎛ ⎞
− =⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2 3
0
0
2
d y qQ
y
dt mrπε
+ =
O esquema mostra que:
1/22
4
d
r y
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Logo:
________________________________________________________________________________________________________
a
12

2
3/22 2
0
0
2
4
d y qQ
y
dt d
m yπε
+ =
⎛ ⎞
+⎜ ⎟
⎝ ⎠
Fazer um deslocamento pequeno na carga −q significa fazer d >> y. Isto significa que:
3/22 3
4 8
d d
y
⎛ ⎞
+ ≈⎜ ⎟
⎝ ⎠
Portanto:
2
2 3
0
4
0
d y qQ
y
dt mdπε
+ ≈
Esta equação é característica de movimento harmônico simples, onde a freqüência angular vale:
1/2
3
0
4qQ
md
ω
πε
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Portanto:
2
T
π
ω
=
1/23 3
0md
T
qQ
π ε⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
31. Calcule o número em coulombs da carga positiva existente em um copo d'água. Suponha que o
volume d'água seja de 250 cm3
.
(Pág. 11)
Solução.
A carga positiva total Q+ num volume V de água é dada por:
(1)Q Nq+ = +
Na Eq. (1), N é o número de moléculas de água no volume V e q+ é a carga positiva presente em
uma molécula de água. N é dado por (2), onde m á a massa total da amostra de água, NA é o número
de Avogadro e M é a massa molar da água.
AmN
N
M
= (2)
Como a m é o produto da densidade da água ρ pelo seu volume V, temos:
AVN
N
M
ρ
= (3)
A carga q+ é o número de prótons presentes numa molécula de água (10) multiplicada pela carga
fundamental e:
(4)10q+ = e
Substituindo-se (3) e (4) em (1):
________________________________________________________________________________________________________
a
13
710
1,3377 10 CAe VN
Q
M
ρ
+ = = ×

7
1,34 10 C 13,4 MCQ+ ≈ × =
________________________________________________________________________________________________________
a
14

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.
FÍSICA 3
CAPÍTULO 25 - A CARGA ELÉTRICA E A LEI DE COULOMB
EXERCÍCIOS
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
PROBLEMAS
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
[Início documento]
________________________________________________________________________________________________________
a
Ed. - LTC - 2003. Cap. 25 – A Carga Elétrica e a Lei de Coulomb
15

16 carga eletrica-lei_coulomb

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