Problemas P, NP e NP-Completos

1. Problemas P, NP e NPC
Melhor solução comprovada
demanda complexidade pelo
menos exponencial
Problemas Não Tratáveis (NT)
Todos os problemas computáveis
NP NT
P
Melhor solução demanda
complexidade até polinomial
Problemas Polinomiais (P)
Melhor solução encontrada é de
ordem exponencial, mas não se
sabe se é, de fato, a melhor
solução possível
Problemas
Não-deterministicamente
Polinomiais (NP)
NPC
Problemas NP tais que todos os outros são
redutíveis a eles em tempo polinomial
Problemas NP-Completo (NPC)
NP
NP
NP
NP
1

2. Problemas P, NP e NPC
● Exemplo:
 Suponha que desejemos saber se existe um determinado
número em uma lista ordenada de valores.
Qual a complexidade
desse problema?
 Problemas polinomiais (P): aqueles cuja melhor solução
demanda algoritmos com complexidade (assintótica) de ordem
até polinomial O(nc) 13
Lista
1
3
5
6
7
9
10
12
15
Solução trivial: O(n)
É a melhor solução?
Busca binária: O(log2 n)
Ela contém
o número 8?

3. Problemas P, NP e NPC
● Problema do Caixeiro Viajante: Dado um mapa com n cidades e a
distância entre cada par de cidades, é possível obter um percurso para
um vendedor de modo que ele o complete dentro de uma dada
quilometragem, visitando cada cidade uma única vez e retornando ao
ponto de partida?
Jaguariúna
Qual é a rota de menor custo?
14
Campinas
Hortolândia
Itatiba
nós (n-1)!
4 6
10 362880
Qual é a ordem de
complexidade?
Exponencial: O(cn)
É a melhor solução encontrada?
Nunca se comprovou!
Problema Não-deterministicamente
Polinomial (NP)
15
km
J J J J J J
C C H H I I
Rotas H I I C C H
I H C I H C
J J J J J J
Custo 93 90 90 93 93 93
Asolução é obtida analisando-se as (n-1)! possibilidades.

4. Complexidade
•
Para acharmos o número R( n ) de rotas para o caso de n cidades, basta fazer
um raciocínio combinatório simples e clássico.
• Dado n = 4 cidades, a primeira e última posição são fixas, de modo que elas
não afetam o cálculo; na segunda posição podemos colocar qualquer uma
das 3 cidades restantes B, C e D, e uma vez escolhida uma delas, podemos
colocar qualquer uma das 2 restantes na terceira posição; na quarta posição
não teríamos nenhuma escolha, pois sobrou apenas uma cidade;
consequentemente, o número de rotas é 3 x 2 x 1 = 6.
• De modo semelhante, para o caso de n cidades, como a primeira é fixa, é (n-
1) x (n-2) x ... x 2 x 1. De modo que, usando a notação de fatorial: R( n ) = (
n - 1 )!.

5. Problemas P, NP e NPC
● Problemas não-deterministicamente polinomiais (NP): aqueles
cuja melhor solução conhecida demanda algoritmos com
complexidade (assintótica) de ordem exponencial Ο(cn).
 Contudo, ainda não se sabe se esta é, de fato, a melhor solução que
pode ser alcançada.
● Se for provado que um algoritmo de ordem O(cn) representa a
melhor solução possível para o problema, dizemos que estamos
diante de um problema não-tratável.
Problemas tratáveis: aqueles cuja solução demanda um algoritmo
de ordem polinomial ou menor E aqueles que ainda não se
provou que a melhor solução demanda algoritmos de ordem
exponencial ou maior.
Problemas não-tratáveis: já se comprovou que a melhor solução
possível demanda um algoritmo de ordem exponencial ou ainda
mais custoso.
5

6. Problemas P, NP e NPC
● Problema da Torre de Hanoi:
 Dado um conjunto de n discos dispostos em ordem decrescente de
tamanho, o objetivo é mover a pilha para outro pino usando um
terceiro como auxiliar.
 Restrições:
 Somente um disco pode ser movido a cada instante.
 Cada movimento consiste em retirar o disco do topo de uma pilha e movê-
lo ao topo de outra pilha.
 Nenhum disco pode ser colocado sobre outro que seja menor do que ele.
6

7. Problemas P, NP e NPC
● Problema da Torre de Hanoi:
 Exemplo: 3 discos
Início 4
 Caso geral: o número mínimo de movimentos é igual a 2³-
1=8-1 generalizando 2n – 1. O(2n )
17
1
2
3
5
6
7

8. Problemas P, NP e NPC
● Questão: Será que os problemas pertencentes à classe NP
são, na verdade, problemas P para os quais ainda não
conseguimos descobrir algoritmos que nos deem uma
solução em tempo polinomial?
● Em outras palavras, P = NP?
● Esta questão é um dos maiores desafios não resolvidos da
ciência da computação – um dos sete problemas valendo 1
milhão de dólares (Millenium Prize Problems, Clay
Mathematics Institute).
● Alguns problemas NP, contudo, são de especial importância
e podem ser úteis na tentativa de solucionar esta questão.
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9. Problemas P, NP e NPC
● Problema da mochila (knapsack): é um problema de otimização
combinatória. O objetivo é que se preencha uma mochila com um
conjunto de itens tal que se atinja o maior valor total, não ultrapassando o
peso máximo suportado.
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Problema cuja melhor
solução conhecida
demanda um
algoritmo de ordem
exponencial
Problema NP
É interessante observar que
diversos outros problemas
se reduzem ao problema
da mochila
- Investimento de capitais
- Corte e empacotamento
- Orçamento
- Criptografia de chave pública
Desta forma, se
encontrarmos uma
solução em tempo
polinomial para o
problema da mochila,
teremos uma solução
O(nc) para todos os
outros problemas da
mesma classe.
O problema da Mochila é
NP-Completo

10. Problemas P, NP e NPC
● Problemas NP-Completos (NPC): subconjunto de NP formado por
certos problemas tais que todos os demais problemas em NP são
redutíveis a eles em tempo polinomial.
● Os problemas NPC podem ser muito úteis na investigação da questão
P = NP.
● Caso seja provado que P = NP, então inúmeros problemas para os
quais hoje só se vislumbram algoritmos exponenciais ou ainda de
maior complexidade, na verdade, têm solução de menor
complexidade (P). Caso seja demonstrado que P ≠ NP, então não há
razão para buscar estes algoritmos.
● Ponto importante: obter um algoritmo eficiente (polinomial) para
qualquer problema NPC implicará que um algoritmo eficiente
(polinomial) terá sido obtido para toda esta classe de problemas
(NPC). E, consequentemente, para NP. Com isto terá sido provado
que P = NPC e, equivalentemente, que P=NP.
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11. Problemas P, NP e NPC
● Mas o que significa dizer que um problema é redutível a
outro?
 Redução é a transformação de um problema em outro.
 Por exemplo, um problema de decisão Y é redutível a um
problema de decisão X se existe um algoritmo que transforma
qualquer instância y1 de Y em uma instância x1 de X, tal que
y1 é verdadeira se e somente se x1 for verdadeira.
Informalmente, Y é redutível a X se Y for um subproblema ou
caso particular de X.
 Se um problema Y pode ser reduzido a X, uma solução para X
oferece uma solução para Y. Deste modo, resolver Y não pode
ser mais custoso do que resolver X (ou seja, não pode exigir
tempo maior).
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12. Problemas P, NP e NPC
● Mas o que significa dizer que um problema é redutível a
outro?
 Exemplo: o problema do quadrado-perfeito (Y) é
polinomialmente redutível ao problema de equação de 2º grau
inteira (X).
 Quadrado perfeito: dada uma entrada n, número natural, é
preciso decidir se existe um natural j tal que j2 = n.
 Equação de 2º grau inteira: dada uma entrada composta
pelos inteiros a, b e c, é preciso decidir se existe um inteiro x
tal que ax2 + bx + c = 0.
 Escolhendo a = 1, b = 0 e c = -n, ao resolver o problema de
equação de 2º grau, teremos resolvido o problema do
quadrado perfeito.
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