1. A HISTÓRIA DOS NÚMEROS
(pessoal.sercomtel.com.br)
Introdução sobre a origem dos números
Você já usou muitas vezes os números, mas será que já parou
para pensar sobre:
a. O modo como surgiram os números?
b. Como foram as primeiras formas de contagem?
c. Como os números foram criados, ou, será que eles
sempre existiram?
Para descobrir sobre a origem dos números, precisamos estudar
um pouco da história humana e entender os motivos religiosos
desses criadores. Na verdade, desconhecemos qualquer outro
motivo que tenha gerado os números.
Os historiadores são auxiliados por diversas descobertas, como o
estudo das ruínas de antigas civilizações, estudos de fósseis, o
estudo da linguagem escrita e a avaliação do comportamento de
diversos grupos étnicos desde o princípio dos tempos.
Olhando ao redor, observamos a grande presença dos números.
Quanto mais voltarmos na história, veremos que menor é a
presença dos números.

2. O Início do processo de contagem
Os homens primitivos não tinham necessidade de contar, pois o
que necessitavam para a sua sobrevivência era retirado da
própria natureza. A necessidade de contar começou com o
desenvolvimento das atividades humanas, quando o homem foi
deixando de ser pescador e coletor de alimentos para fixar-se no
solo.
O homem começou a plantar, produzir alimentos, construir casas,
proteções, fortificações e domesticar animais, usando os mesmos
para obter a lã e o leite, tornando-se criador de animais
domésticos, o que trouxe profundas modificações na vida
humana.
As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia, foram
criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje é
denominada Oriente Médio.
A agricultura passou então a exigir o conhecimento do tempo,
das estações do ano e das fases da Lua e assim começaram a
surgir as primeiras formas de calendário.
No pastoreio, o pastor usava várias formas para controlar o seu
rebanho. Pela manhã, ele soltava os seus carneiros e analisava
ao final da tarde, se algum tinha sido roubado, fugido, se perdido
do rebanho ou se havia sido acrescentado um novo carneiro ao
rebanho. Assim eles tinham a correspondência um a um, onde
cada carneiro correspondia a uma pedrinha que era armazenada
em um saco.

3. No caso das pedrinhas, cada animal que saía para o pasto de
manhã correspondia a uma pedra que era guardada em um saco
de couro. No final do dia, quando os animais voltavam do pasto,
era feita a correspondência inversa, onde, para cada animal que
retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no final do dia
sobrasse alguma pedra, é porque faltava algum dos animais e se
algum fosse acrescentado ao rebanho, era só acrescentar mais
uma pedra. A palavra que usamos hoje, cálculo, é derivada da
palavra latina calculus, que significa pedrinha.
A correspondência unidade a unidade não era feita somente com
pedras, mas eram usados também nós em cordas, marcas nas
paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos
de marcação.
Os talhes nas barras de madeira, que eram usados para marcar
quantidades, continuaram a ser usados até o século XVIII na
Inglaterra. A palavra talhe significa corte. Hoje em dia, usamos
ainda a correspondência unidade a unidade.
Representação numérica
Com o passar do tempo, as quantidades foram representadas por
expressões, gestos, palavras e símbolos, sendo que cada povo
tinha a sua maneira de representação.
A faculdade humana natural de reconhecimento imediato de
quantidades se resume a, no máximo, quatro elementos. Este
senso numérico que é a faculdade que permite reconhecer que
alguma coisa mudou em uma pequena coleção quando, sem seu

4. conhecimento direto, um objeto foi tirado ou adicionado, à
coleção.
O senso numérico não pode ser confundido com contagem, que é
um atributo exclusivamente humano que necessita de um
processo mental.
"Distingüimos, sem erro e numa rápida vista um, dois, três e
mesmo quatro elementos. mas aí para nosso poder de
identificação dos números." História Universal dos Algarismos",
Georges Ifrah.
Temos também, alguns animais, ditos irracionais, como os
rouxinóis e os corvos, que possuem este senso numérico onde
reconhecem quantidades concretas que vão de um até três ou
quatro unidades. Existe um exemplo célebre sobre um corvo que
tinha capacidade de reconhecer quantidades.
Curiosidade: Um fazendeiro estava disposto a
matar um corvo que fez seu ninho na torre de
observação de sua mansão. Por diversas vezes,
tentou surpreender o pássaro, mas em vão: à
aproximação do homem, o corvo saía do ninho. De uma árvore
distante, ele esperava atentamente até que o homem saísse da
torre e só então voltava ao ninho. Um dia, o fazendeiro tentou um
ardil: dois homens entraram na torre, um ficou dentro e o outro
saiu e se afastou. Mas o pássaro não foi enganado: manteve-se
afastado até que o outro homem saísse da torre. A experiência foi
repetida nos dias subsequentes com dois, três e quatro homens,
ainda sem sucesso. Finalmente, foram utilizados cinco homens
como antes, todos entraram na torre e um permaneceu lá dentro
enquanto os outros quatro saíam e se afastavam. Desta vez o
corvo perdeu a conta. Incapaz de distinguir entre quatro e cinco,
voltou imediatamente ao ninho.

5. Alguns símbolos antigos
No começo da história da escrita de algumas civilizações como a
egípcia, a babilônica e outras, os primeiros nove números inteiros
eram anotados pela repetição de traços verticais:
I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Depois este método foi mudado, devido à dificuldade de se contar
mais do que quatro termos:
I II III IIII
IIII
I
IIII
II
IIII
III
IIII
IIII
IIII
IIII
I
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Um dos sistemas de numeração mais antigos que se tem notícia
é o egípcio. É um sistema de numeração de base dez e era
composto pelos seguintes símbolos numéricos:
Outro sistema de numeração muito importante foi o da Babilônia,
criado a aproximadamente 4 mil anos.

6. Algumas das primeiras formas de contagem foram utilizadas com
as partes do corpo humano, sendo que em algumas aldeias os
indivíduos chegavam a contar até o número 33.
O ábaco
O ábaco, em sua forma geral, é uma moldura retangular com
fileiras de arame, cada fileira representando uma classe decimal
diferente, nas quais correm pequenas bolas
No princípio, os sistemas de numeração não facilitavam os
cálculos, logo, um dos instrumentos utilizados para facilitar os
cálculos foi o ábaco muito usado por diversas civilizações
orientais e ocidentais. No Japão, o ábaco é chamado de soroban
e na China de suánpan, que significa bandeja de calcular.
O Sistema de numeração Indo-Arábico
Nosso sistema de numeração surgiu na Ásia, há muitos séculos
no Vale do rio Indo, onde hoje é o Paquistão.
O primeiro número inventado foi o 1 e ele significava o homem e
sua unicidade, o segundo número 2, significava a mulher da
família, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos,
multidão. A curiosidade sobre os nomes do 3, não deve ter
ocorrido por acaso.
Inglês Francês Latim Grego Italiano Espanhol
three trois tres treis tre tres
Sueco Alemão Russo Polonês Hindu Português
tre drei tri trzy tri três

7. Notas históricas sobre a atual notação posicional
Foi no Norte da Índia, por volta do século V da era cristã, que
nasceu o mais antigo sistema de notação próximo do atual, o que
é comprovado por vários documentos, além de ser citado por
árabes (a quem esta descoberta foi atribuída por muitos anos).
Antes de produzir tal sistema, os habitantes da Índia setentrional
usaram por muito tempo uma numeração rudimentar que aparece
em muitas inscrições do século III antes de Cristo.
Esta numeração tinha uma característica do sistema moderno.
Seus nove primeiros algarismos eram sinais independentes:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
o que significava que um número como o 5 não era entendido
como 5 unidades mas como um símbolo independente.
Por muito tempo, estes algarismos foram denominados
algarismos arábicos, de uma forma errada.
Ainda existia nesta época a dificuldade posicional e os hindus
passaram a usar a notação por extenso para os números, pois
não podiam exprimir grandes números por algarismos.
Sem saber, estavam criando a notação posicional e também o
zero.
Cada algarismo tinha um nome:
1 2 3 4 5 6 7 8 9
eka dvi tri catur pañca sat sapta asta nava
Quando foi criada pelos hindús a base 10, cada dezena, cada
centena e cada milhar, recebeu um nome individual:
10 = dasa
100 = sata
1.000 = sahasra

8. 10.000 = ayuta
100.000 = laksa
1.000.000 = prayuta
10.000.000 = koti
100.000.000 = vyarbuda
1.000.000.000 = padma
Ao invés de fazer como hoje, de acordo com as potências
decrescentes de 10, os hindus escreviam os números em ordem
crescente das potências de 10 por volta do século IV depois do
nascimento de Jesus Cristo. Eles começavam pelas unidades,
depois pelas dezenas, pelas centenas e assim por diante. O
número 3.709 ficava:
9 700 3000
nove sete centos três mil
nava sapta sata tri sahasra
Poderiamos escrever o número 12.345 como
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
pois, 12.345 = 5 + 40 + 300 + 2.000 + 10.000, logo:
5 = pañca
40 = catur dasa
300 = tri sata
2.000 = dvi sahasra
10.000 = ayuta
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
Esta já era uma forma especial.

9. Em virtude da grande repetição que ocorria com as potências de
10, por volta do século V depois do nascimento de Jesus Cristo,
os matemáticos e astrônomos hindus resolveram abreviar a
notação retirando os múltiplos de 10 que apareciam nos números
grandes, assim o número 12.345 que era escrito como:
pañca caturdasa trisata dvisahasra ayuta
passou a ser escrito apenas:
54321 = pañca catur tri dvi dasa
12345 = 5 + 4×10 + 3×100 + 2×1000 + 1×10000
e esta se transformou em uma notação falada e escrita posicional
excelente para a época, mas começaram a acontecer alguns
problemas como escrever os números 321 e 301.
321 = 1 + 2 x 10 + 3 x 100
321 = dasa dvi tri
301 = 1 + 3 x 100
301 = dasa tri
É lógico que este último número não poderia ser o 31, pois:
31 = 1 + 3 x 10
31 = dasa tri
No número 301 faltava algo para representar as dezenas.
Para construir este material, usamos algumas partes do
excelente livro: "Os números: A história de uma grande
invenção", Georges Ifrah, Editora Globo, 3a.edição, 1985, com a
permissão da Editora.
Notas históricas sobre a criação do zero
Tendo em vista o problema na construção dos números como 31
e 301, os hindus criaram um símbolo para representar algo vazio

10. (ausência de tudo) que foi denominado sunya (a letra s tem um
acento agudo e a letra u tem um traço horizontal sobre ela).
Dessa forma foi resolvido o problema da ausência de um
algarismo para representar as dezenas no número 301 e assim
passaram a escrever:
301 = 1 + ? x 10 + 3 x 100
301 = dasa sunya tri
Os hindus tinham acabado de descobrir o zero.
Porém, estas notações só serviam para as palavras e não para
os números, mas reunindo essas idéias apareceram juntos o zero
bem como o atual sistema de notação posicional.
Um dos primeiros locais onde aparece a notação posicional é um
tratado de cosmologia denominado: Lokavibhaga, publicado na
data de 25 de agosto de 458 do calendário juliano, por um
movimento religioso hindú para enaltecer as suas próprias
qualidades científicas e religiosas. Neste texto, aparece o número
14.236.713 escrito claramente:
triny ekam sapta sat trini dve catvary ekakam
três um sete seis três dois quatro um
Escrever tais números na ordem invertida, fornece:
um quatro dois três seis sete um três
1 4 2 3 6 7 1 3
Números como 123.000 eram escritos como:
sunya sunya sunya tri dvi dasa
que significa:
zero zero zero três dois um

11. que escrito na ordem invertida fornece:
um dois três zero zero zero
No texto existe a palavra hindú sthanakramad que significa "por
ordem de posição".
Observamos que tal notação posicional já era então conhecida no
quinto século de nossa era por uma grande quantidade de
cientistas e matemáticos.
Para escrever este material, usamos alguns tópicos do excelente
livro: "Os números: A história de uma grande invenção", Georges
Ifrah, Editora Globo, (3a
.ed), 1985.
Notação Posicional
O sistema de numeração posicional indiano surgiu por volta do
século V. Este princípio de numeração posicional já aparecia nos
sistemas dos egípcios e chineses.
No sistema de numeração indiana não posicional que aparece no
século I não existia a necessidade do número zero.
Notação (ou valor) posicional é quando representamos um
número no sistema de numeração decimal, sendo que cada
algarismo tem um determinado valor, de acordo com a posição
relativa que ele ocupa na representação do numeral.
Mudando a posição de um algarismo, estaremos alterando o
valor do número. Por exemplo, tomemos o número 12. Mudando
as posições dos algarismos teremos 21.
12 = 1 × 10 + 2
21 = 2 × 10 + 1
O zero foi o último número a ser inventado e o seu uso
matemático parece ter sido criado pelos babilônios. Os
documentos mais antigos conhecidos onde aparece o número
zero, não são anteriores ao século III antes de Cristo. Nesta
época, os números continham no máximo três algarismos.

12. Um dos grandes problemas do homem começou a ser a
representação de grandes quantidades. A solução para isto foi
instituir uma base para os sistemas de numeração. Os numerais
indo-arábicos e a maioria dos outros sistemas de numeração
usam a base dez, isto porque o princípio da contagem se deu em
correspondência com os dedos das mãos de um indivíduo
normal.
Na base dez, cada dez unidades é representada por uma
dezena, que é formada pelo número um e o número zero: 10.
A base dez já aparecia no sistema de numeração chinês.
Os sumérios e os babilônios usavam a base sessenta.
Alguma vez você questionou sobre a razão pela qual há 360
graus em um círculo? Uma resposta razoável é que 360=6x60 e
60 é um dos menores números com grande quantidade de
divisores, como por exemplo:
D(60) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Os indianos reuniram as diferentes características do princípio
posicional e da base dez em um único sistema numérico. Este
sistema decimal posicional foi assimilado e difundido pelos
árabes e por isso, passou a ser conhecido como sistema indo-
arábico.
Nosso sistema de numeração retrata o ábaco. Em cada posição
que um número se encontra seu valor é diferente.
O Sistema Romano de Numeração
O sistema de numeração Romano é um sistema decimal, ou seja,
sua base é dez. Este sistema é utilizado até hoje em
representações de séculos, capítulos de livros, mostradores de
relógios antigos, nomes de reis e papas e outros tipos de
representações oficiais em documentos. Estas eram as primeiras
formas da grafia dos algarismos romanos.
Tal sistema não permite que sejam feitos cálculos, não se
destinavam a fazer operações aritméticas mas apenas
representar quantidades. Com o passar do tempo, os símbolos

13. utilizados pelos romanos eram sete letras, cada uma com um
valor numérico:
Letra I V X L C D M
Valor 1 5 10 50 100 500 1000
Leitura Um Cinco Dez Cinquenta Cem Quinhentos Mil
Estas letras obedeciam aos três princípios:
1. Todo símbolo numérico que possui valor menor do que o
que está à sua esquerda, deve ser somado ao maior.
VI = 5 + 1 = 6
XII = 10 + 1 + 1 = 12
CLIII = 100 + 50 + 3 = 153
2. Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que
está à sua direita, deve ser subtraído do maior.
IX = 10 - 1 = 9
XL = 50 - 10 = 40
VD = 500 - 5 = 495
3. Todo símbolo numérico com um traço horizontal sobre ele
representa milhar e o símbolo numérico que apresenta
dois traços sobre ele representa milhão.
Construída por Miriam Gongora e Ulysses Sodré. Atualizada em
24/mar/2005.