Este documento apresenta os passos para derivar a equação paramétrica de uma elipse no plano complexo. Primeiro, define-se a excentricidade ε em termos do semi-eixo maior a e da distância focal d. Em seguida, representa-se a elipse como o conjunto de pontos cuja soma das distâncias aos focos é constante. Por fim, deriva-se a equação r = a(1−ε2)1−εcos(θ−γ) que relaciona o raio r ao ângulo θ.

1. Exerc´ıcio da elipse
Pimenta
April 20, 2015
a) Pela defni¸c˜ao de excentricidade:
ε
.
= d/(2a) (1)
onde d ´e a distˆancia focal.
A elipse ´e definida como o conjunto de pontos que possui a soma das distˆancias
entre dois pontos dados (focos) igual a 2a, onde a ´e o semi-eixo maior. Como um
dos focos coincide com a origem do plano complexo, temos que (lembrando que
a distˆancia entre dois n´umeros complexos ´e definida como o m´odulo da diferen¸ca
entre eles):
|z − 0| + |z − c| = 2a (2)
onde c ´e o segundo foco, que ´e um n´umero complexo arbitr´ario (n˜ao t˜ao ar-
bitr´ario assim se a e ε forem dados a priori, j´a que, como um dos focos coincide
com a origem, o m´odulo do n´umero c torna-se a distˆancia focal (|c| = d) e,
portanto, deve satisfazer |c| = 2aε, com 0 ≤ ε < 1.
Representando
c = |c|eiγ
(3)
temos que γ fornece o ˆangulo entre o eixo maior da elipse e o eixo real do plano
complexo.
b) Representando z = x + iy, obtemos:
|z| + |z − c| = 2a ⇔ (x2
+ y2
)1/2
+ |x − |c|cos(γ) + i(y − |c|sin(γ))| =
= (x2
+ y2
)1/2
+ [(x − |c|cos(γ))2
+ (y − |c|sin(γ))2
]1/2
=
= (x2
+ y2
)1/2
+ [(x2
+ y2
− 2|c|(xcos(γ) + ysin(γ) + |c|2
]1/2
= 2a
(4)
Obs.: a ´ultima igualdade acho que j´a ´e a equa¸c˜ao pedida, mas pode tamb´em
substituir |c| por 2aε se quiser.
c) Pela Eq.(4) :
r + [r2
− 4εarcos(θ − γ) + 4ε2
a2
]1/2
= 2a ⇔
⇔ r2
− 4εarcos(θ − γ) + 4ε2
a2
= 4a2
− 4ar + r2
⇔
⇔ r = a(1−ε2
)
1−εcos(θ−γ)
(5)
para z = reiθ
, r = x2 + y2.
Obs.: note que a ´ultima passagem ´e v´alida, pois 1 − εcos(θ − γ) n˜ao se anula,
j´a que 0 ≤ ε < 1.
1