Matrizes e determinantes

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Matrizes e determinantes

  1. 1. Caderno de Questões Bimestre 3.o Disciplina Matemática – Álgebra Turmas 2.o Bio Questões Testes Páginas 11 Data da prova 19/09/2005 P 53028 Professor(es) Gleney / Ricardo Sabo 11 Período M Verifique cuidadosamente se sua prova atende aos dados acima e, em caso negativo, solicite, imediatamente, outro exemplar. Não serão aceitas reclamações posteriores. Aluno(a) Nota Turma Professor N.o Assinatura do Professor Instruções: 1. A prova pode ser resolvida a lápis. Respostas finais somente com tinta azul ou preta. 2. É proibido o uso de bips, pagers, celulares, calculadoras (ou relógios que as contenham). 3. Resposta que não vier acompanhada de resolução não será considerada. 4. Escreva nome, número e turma em todos os espaços reservados para isso. 5. Seja educado: não escreva no tampo da mesa. Organizadamente utilize os espaços em branco da prova para rascunhos (o verso da última página – inclusive – está em branco para isso). , definida por aij = – 1 + 2i + j . 01. (valor: 0,5) Considere a matriz A = ( a ij ) 2´2 Calcule o determinante de A. Rascunho
  2. 2. P 53028 p2 é 3 -1 0 ù é1 0 0 ù 02. (valor: 1,0) Dadas as matrizes A = ê ú e B = ê 0 1 2 ú resolver o ë 2 -3 -2 û ë û ì X + Y = 2A + B sistema í î X - Y = - A - 2B Rascunho
  3. 3. Aluno(a) Turma N.o P 53028 p3 é 3 10 ù 03. (valor: 1,0) Sendo C = A–1 , determine C22 dado A = ê ú ë 5 17 û Rascunho
  4. 4. P 53028 p4 é1 a ù é2 1ù 04. (valor: 1,0) Sabendo-se que as matrizes A = ê ú e B = ê b 0 ú comutam, ë1 3 û ë û calcular a e b . Rascunho
  5. 5. Aluno(a) Turma N.o P 53028 p5 é -5 -3 ù –1 t 05. (valor: 1,0) (UNIRIO) Dada a matriz A = ê ú , determine A + A – I2 . ë 3 2û Rascunho
  6. 6. P 53028 p6 06. (valor: 0,5) Sejam as matrizes A e B quadradas de ordem n . Expresse a matriz X em função de A e B em cada equação: a. (X + A)t = B b. AXB = Bt Rascunho
  7. 7. Aluno(a) Turma N.o P 53028 p7 é 1 1ù 07. (UFRJ) Seja a matriz A = ê ú ë 0 1û a. (valor: 0,5) Determine A3 . b. (valor: 0,5) Se An denota o produto de A por A n vezes, determine o valor do 2 número natural k tal que A k - A 5k + A 6 = I , onde I é a matriz identidade. Rascunho
  8. 8. P 53028 p8 08. (UERJ) Considere as matrizes A = ( a x j ) se x é ímpar e B = ( b x j ) n´p n´n em que ax j = 1 se x é par e ax j = –1 em que bx j = jx . a. (valor: 0,5) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A . b. (valor: 0,5) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB é igual a 4094 . Calcule o número de linhas da matriz B . n æ ç Dado: soma PG: S = a 1 q - a 1 ç q -1 è ö ÷ ÷ ø Rascunho
  9. 9. Aluno(a) Turma N.o P 53028 p9 09. (valor: 1,0) (VUNESP / modificada) Dez amigos vão sentar-se em dez poltronas alinhadas em um cinema, mas três deles desejam sentar-se juntos. Nestas condições, de quantas maneiras distintas os dez amigos podem ocupar as poltronas referidas, considerando-se distintas as posições em que pelo menos dois amigos ocupem poltronas diferentes? Rascunho
  10. 10. P 53028 p 10 10. (FGV / modificada) Um dado de 6 faces é viciado de tal forma que a probabilidade de sair a face 3 é o triplo da face 1 e as demais faces possuem a probabilidade de um dado honesto. a. (valor: 0,5) Lançando-se uma vez o dado, qual a probabilidade de sair a face 3? b. (valor: 0,5) Lançando-se 2 vezes o dado, qual a probabilidade de sair exatamente uma face 3? Rascunho
  11. 11. Aluno(a) Turma N.o P 53028 p 11 Rascunho 11. (valor: 0,5) (FGV / modificada) a. Se um dado em forma de um octaedro regular (poliedro com 8 faces congruentes), com suas faces numeradas de 1 a 8, for lançado duas vezes, qual a probabilidade de que a soma dos números observados seja 5? b. (valor: 0,5) Se este dado do item anterior é lançado n vezes, para que valores de n a probabilidade que o número 8 apareça ao menos uma vez seja inferior a 2 ? 3
  12. 12. P 53028 2.o Bio Mat. – Álgebra Ricardo Sabo / Gleney 19/09/2005 Gabarito 01. (valor: 0,5) Considere a matriz A = ( a ij ) , definida por aij = – 1 + 2i + j . 2´2 Calcule o determinante de A. a ù éa é (–1 + 2 ×1 + 1) (–1 + 2 ×1 + 2) ù é 2 3ù A 2x2 = ê 11 12 ú = ê ú = ê4 5ú ëa 21 a 22 û ë(–1 + 2 ×2 + 1) (–1 + 2 × 2 + 2) û ë û Resposta: det(A) = 2 3 4 5 = 2 × 5 – 3 × 4 + 10 – 12 = – 2 é 3 -1 0 ù é1 0 0 ù 02. (valor: 1,0) Dadas as matrizes A = ê e B=ê ú ú resolver o ë 2 -3 -2 û ë0 1 2 û ì X + Y = 2A + B sistema í î X - Y = - A - 2B ì X + Y = 2A + B í X – Y = – A – 2B + î 0ù é3 – 1 é1 0 0 ù é2 – 1 0 ù 2X = A – B = ê – ê Þ 2X = ê ú ú ú ë2 – 3 – 2û ë0 1 2 û ë2 – 4 – 4 û é6 Y = 2A + B – X Þ Y = ê ë4 0ù é1 –1 2 Resposta: X = ê ú ë1 – 2 – 2û é1 – 1 0 ù 2 X = ê ú – 2ú ê1 – 2 ë û –2 0 ù 0ù é1 0 0 ù é1 – 1 2 ú + ê0 1 2 ú – ê1 – 2 – 2ú – 6 – 4û ë û ë û e Þ é6 – 3 2 0 ù Y = ê ú ë3 – 3 0 û é6 – 3 2 0 ù Y = ê ú ë3 – 3 0 û é 3 10 ù 03. (valor: 1,0) Sendo C = A–1, determine C22 dado A = ê ú ë 5 17 û é3 10 ù éC 11 C 12 ù é1 0 ù AC = I2 Þ ê ú × êC ú = ê0 1ú ë5 17 û ë 21 C 22 û ë û ì3C 12 + 10C 22 = 0 í î 5C 12 + 17C 22 = 1 x (–5) x (3) Þ Þ é1 0 ù é3C 11 + 10C 21 3C 12 + 10C 22 ù ê5C + 17C ú = ê0 1ú 21 5C 12 + 17C 22 û ë û ë 11 ì –15C 12 – 50C 22 = 0 í 15C + 51C = 3 12 22 î C22 = 3 Resposta: C22 = 3 +
  13. 13. é1 a ù é2 1ù 04. (valor: 1,0) Sabendo-se que as matrizes A = ê ú e B = ê b 0 ú comutam, calcular a e b . ë1 3 û ë û Se A e B comutam, então AB = BA: é1 a ù é2 1ù é2 1ù é1 a ù ê1 3ú × êb 0 ú = êb 0 ú ê1 3ú ë û ë û ë û ë û Þ é2 + ab 1ù é3 2a + 3ù ê2 + 3b 1ú = êb ba ú ë û ë û ab = 1 2a + 3 = 1 Þ a = – 1 2 + 3b = b Þ b = – 1 Resposta: a = – 1 e b = – 1 é -5 -3 ù 05. (valor: 1,0) (UNIRIO) Dada a matriz A = ê , determine A–1 + At – I2 . 3 2ú ë û é – 5 3ù At = ê ú ë – 3 2û éa bù –1 Sendo A–1 = ê ú então A × A = I ëc dû é – 5 – 3ù éa bù é1 0 ù ê 3 ú êc dú = ê0 1ú 2û ë ë û ë û ì – 5b – 3d = 0 ì – 5a – 3c = 1 x (2) í í î 3b + 2d = 1 î 3a + 2c = 0 x (3) x (2) x (3) ì –10b – 6d = 0 í 9b + 6d = 3 î ì –10a – 6c = 2 í î 9a + 6c = 0 –a=2 –b=3 a=–2 Þ C=3 b=–3 Þ d=5 é – 2 – 3ù Então A–1 = ê 5ú ë3 û é – 2 – 3ù é – 5 3ù é1 0 ù é- 8 0 ù Logo: A–1 + At – I2 = ê ú + ê – 3 2ú – ê0 1ú = ê 0 6 ú 5û ë3 ë û ë û ë û é– 8 0 ù Resposta: ê ú ë 0 6û 06. (valor: 0,5) Sejam as matrizes A e B quadradas de ordem n. Expresse a matriz X em função de A e B em cada equação: a. (X + A)t = B (X + A)t = B Þ [( X + A ) ] t t = Bt Þ X + A = Bt Þ X = Bt – A Resposta: X = B t – A 2
  14. 14. b. A X B = Bt A X B = Bt Þ A–1 A X B = A–1Bt Þ Þ I X B = A–1Bt Þ XB = A–1Bt Þ X B B–1 = A–1BtB–1 Þ Þ XI = A–1BtB–1 Þ X = A–1BtB–1 Resposta: X = A–1BtB–1 é 1 1ù 07. (UFRJ) Seja a matriz A = ê ú ë 0 1û a. (valor: 0,5) Determine A3 . é1 A2 = A × A = ê ë0 é1 A3 = A2 × A = ê ë0 2ù 1ú û 3ù 1ú û é 1 3ù Resposta: A3 = ê ú ë0 1û b. (valor: 0,5) Se An denota o produto de A por A n vezes, determine o valor do número natural k tal 2 que A k - A 5k + A 6 = I , onde I é a matriz identidade. 2 é1 k 2 ù Ak = ê ú ë0 1 û é 1 5k ù A 5k = ê ú ë0 1 û é1 6 ù A6 = ê ú ë0 1û 2 é1 k 2 ù é 1 5k ù é1 6 ù é1 0 ù Então se Ak – Ak5 + A6 = I Þ ê ú – ê0 1 ú + ê0 1ú = ê0 1ú ë û ë û ë û ë0 1 û Logo k2 – 5k + 6 = 0 (k – 2) (k – 3) = 0 k = 2 ou k = 3 Resposta: k = 2 ou k= 3 08. (UERJ) Considere as matrizes A = ( a x j ) se x é ímpar e B = ( b x j ) n´p n´n em que ax j = 1 se x é par e ax j = –1 em que bx j = jx . a. (valor: 0,5) Calcule a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A . é –1 –1 –1 –1 –1 ê 1 1 1 1 1 ê A = ê –1 –1 – –1 –1 ê 1 1 1 1 1 ê M M ê M ë L –1ù L 1ú ú L –1ú L 1ú ú M ú û Resposta: Se n é par a soma da diagonal principal é 0 Se n é ímpar a soma da diagonal principal é – 1 3
  15. 15. b. (valor: 0,5) O elemento da quarta linha e da segunda coluna da matriz produto AB é igual a 4094 . Calcule o número de linhas da matriz B . æ a qn - a 1 ç Dado: soma PG: S = 1 ç q -1 è é11 ê2 ê1 ê3 1 B=ê ê14 ê êM ê1n ë 21 31 41 51 22 32 42 52 23 33 43 53 24 34 44 54 M M M M n 2 n 3 4 5n n ö ÷ ÷ ø 1 L p ù ú 2 L p ú L p3 ú ú L p4 ú M M ú ú L nú p û O elemento da 4.a linha e 2.a coluna da matriz AB será a 4.a linha da matriz A multiplicada pela 2.a coluna da matriz B, então teremos: 1 × 2 + 1 × 22 + 1 × 23 + 1 × 24 + ... + 1 × 2n = 2 + 22 + 23 + 24 + ... + 2n = 4094 Isto é a soma da PG onde a1 = 2, q = 2 S = a 1 × qn – a 1 q–1 Þ 2n – 1 = 2047 Þ 2 × 2n – 2 = 4094 2–1 Þ 2n = 2048 Þ Þ ( ) 2 2n – 1 = 4094 Þ n = 11 Resposta: O número de linhas da matriz B é 11. 09. (valor: 1,0) (VUNESP / modificada) Dez amigos vão sentar-se em dez poltronas alinhadas em um cinema, mas três deles desejam sentar-se juntos. Nestas condições, de quantas maneiras distintas os dez amigos podem ocupar as poltronas referidas, considerando-se distintas as posições em que pelo menos dois amigos ocupem poltronas diferentes? Vamos supor que as pessoas sejam A, B, C, D, E, F, G, H, I, J e que os amigos que querem sentar-se juntos sejam A, B, e C. Vamos analisar o problema como se A, B, C fossem um único “objeto”. A B C , D, E, F, G, H, I, J Então o número de maneiras que as 10 pessoas podem sentar-se é P8 × P3 Resposta: P8 × P3 10. (FGV / modificada) Um dado de 6 faces é viciado de tal forma que a probabilidade de sair a face 3 é o triplo da face 1 e as demais faces possuem a probabilidade de um dado honesto. a. (valor: 0,5) Lançando-se uma vez o dado, qual a probabilidade de sair a face 3? P(1) = x P(3) = 3x P(2) = P(4) = P(5) = P(6) = 1 6 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 x + 1 + 3x + 1 + 1 + 1 = 1 6 6 6 6 4
  16. 16. 4x + 4 = 1 6 x= 1 Þ P(3) = 3 = 1 12 12 4 Resposta: 1 4 b. (valor: 0,5) Lançando-se 2 vezes o dado, qual a probabilidade de sair exatamente uma face 3? 3 1 12 × 12 × face 3 face 1 3 4 12 × 6 face 3 face 2, 4 , 5, 6 ou P2 × P2 3 1 3 4 × ×2 + × ×2 122 12 12 6 2 1 8 9 + = 24 24 24 Resposta: 9 24 11. (valor: 0,5) (FGV / modificada) a. Se um dado em forma de um octaedro regular (poliedro com 8 faces congruentes), com suas faces numeradas de 1 a 8, for lançado duas vezes, qual a probabilidade de que a soma dos números observados seja 5? Espaço amostral: 8 × 8 = 64 duplas de números Evento: (1, 4) (4, 1) (2, 3) (3, 2) 4 1 P (soma = 5) = = 64 16 Resposta: 1 16 b. (valor: 0,5) Se este dado do item anterior é lançado n vezes, para que valores de n a probabilidade 2 que o número 8 apareça ao menos uma vez seja inferior a ? 3 Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em 1 lançamento: 7 8 7 ×7 = Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em 2 lançamentos: 8 8 Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em 3 lançamentos: M M M M M M Probabilidade de não aparecer o n.o 8 em n lançamentos: ( 8) n Em n lançamentos: P(8) + P(não 8) = 1 Þ P(8) + 7 mas P(8) < 2 Þ 1 < 3 3 ( 8) n Þ 1– 7 (78) n Þ log Resposta: n < log 1 3 7 1 3 7 <2 3 > n 8 ( 8) Þ – 7 então n 1 3 7 2 (78) 3 (78) n ( 8) = 1 Þ P(8) = 1 – 7 < –1 Þ 3 n < log (78) (78) n n > 1 Þ 3 com n Î IN 8 para n Î IN 8 5

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