Apostila de cálculo diferencial e integral 1

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Apostila de cálculo diferencial e integral 1

  1. 1. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Apostila de Cálculo Diferencial e Integral 1 2013 Professora Gabriele Granada Veleda
  2. 2. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 1Continuidade de uma função real Definição: Dizemos que uma função real é contínua em 𝑥 = 𝑎 se, e somente se, as seguintes condições forem satisfeitas: 1) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) existe; 2) 𝑓(𝑎) existe; 3) lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). Exemplo: Verifique se as funções 𝑓(𝑥) = { 𝑥2−9 𝑥+3 , 𝑒 𝑥 ≠ −3 4, 𝑠𝑒 𝑥 = −3 e 𝑔(𝑥) = 1 𝑥−2 são contínuas, em seguida, faça um esboço dos gráficos. DE MANEIRA GERAL, PODEMOS DIZER QUE UMA FUNÇÃO É CONTÍNUA SE CONSEGUIRMOS DESENHAR SEU GRÁFICO SEM TIRAR O LÁPIS DO PAPEL.
  3. 3. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 2Exercício 1: Observe os gráficos a seguir e diga se eles representam um função contínua ou descontínua. Caso seja descontínua, indique o ponto de descontinuidade e justifique sua resposta utilizando as três condições para que uma função seja contínua. a) b) c) d) e) f)
  4. 4. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 3Exercício 2: Verifique se as funções a seguir são contínuas em seu domínio. a) 𝑓(𝑥) = { 2𝑥 + 3, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 1 2, 𝑠𝑒 𝑥 = 1 b) 𝑔(𝑥) = { |𝑥 − 3|, 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 3 1, 𝑠𝑒 𝑥 = 3 c) ℎ(𝑥) = 𝑥2 + 2𝑥 − 5 d) 𝑗(𝑥) = √𝑥2 − 3 e) 𝑞(𝑥) = { 𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 > 1 𝑥2 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1 Tipos de descontinuidade Podemos caracterizar a descontinuidade de uma função em: Descontinuidade removível: quando lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) ≠ 𝑓(𝑎), a descontinuidade pode ser removida redefinindo a função de modo a termos lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). Descontinuidade essencial (ou de salto): quando lim 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) não existir, ou seja, o gráfico da função possui um salto. Exercício 3: Classifique a descontinuidade das funções dos exercícios 1 e 2. Em caso de descontinuidade removível, redefina a função de modo a torná-la contínua.
  5. 5. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 4O problema da velocidade instantânea Suponha que uma bola é solta do topo de um prédio de 450m de altura. Determine a velocidade da bola após 5 segundos de queda. Para resolvermos este problema, precisamos lembrar da descoberta de Galileu: a distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo de queda. Chamando o tempo de t, a distância percorrida s depende do tempo de queda, logo, uma função que descreve a situação é 𝑠(𝑡) = 4,9𝑡2 . Após 5s, a distância percorrida será 122,5m, pois 𝑠(5) = 4,9 ∙ (5)2 = 122,5. Temos, então que a velocidade média (vm) da bola é calculada pela equação: 𝑣𝑚 = 𝑠(𝑡) 𝑡 = 122,5 5 = 24,5 Isto é, a velocidade média da bola é de 24,5m/s. Porém, não é isto o que o problema pede, o problema pede para calcular a velocidade no instante 5s (chamada de velocidade instantânea). Para isso, podemos calcular a velocidade média sobre um breve intervalo de tempo, por exemplo, do tempo de 5s até 6s, e irmos diminuindo este intervalo, conforme mostra a tabela a seguir. Tempo inicial (ti) Tempo final (tf) Intervalo de tempo (∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖) 𝑠(𝑡𝑖) 𝑠(𝑡𝑓) 𝑣𝑚 = 𝑠(𝑡𝑓) − 𝑠(𝑡𝑖) ∆𝑡 5 6 1 122,5 176,4 53,9 5 5,1 0,1 122,5 127,449 49,49 5 5,05 0,05 122,5 124,9623 49,24 5 5,01 0,01 122,5 122,9905 49,049 5 5,001 0,001 122,5 122,549 49,0049 Quanto mais encurtamos o tempo de queda da bola, mais a velocidade média se aproxima de 49m/s, ou seja, conforme t se aproxima de 5, a velocidade média se aproxima de 49. Essa segunda ideia nos remete a ideia de limite, portanto, podemos escrever: lim 𝑡𝑓→𝑡𝑖 𝑣𝑚 = 49, ou ainda, lim 𝑡𝑓→𝑡𝑖 𝑠(𝑡𝑓)−𝑠(𝑡𝑖) ∆𝑡 = 49. Para deixarmos o limite
  6. 6. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 5em função de ∆𝑡 basta lembrarmos que ∆𝑡 = 𝑡𝑓 − 𝑡𝑖, 𝑡𝑖 = 5 e 𝑡𝑓 = 5 + ∆𝑡, e o limite fica: lim ∆𝑡→0 𝑠(5 + ∆𝑡) − 𝑠(5) ∆𝑡 = 49 Vamos resolver o limite e verificar que o seu valor é 49. lim ∆𝑡→0 𝑠(5 + ∆𝑡) − 𝑠(5) ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 4,9 ∙ (5 + ∆𝑡)2 − 4,9 ∙ (5)2 ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 4,9 ∙ (25 + 10∆𝑡 + ∆𝑡2) − 122,5 ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 122,5 + 49∆𝑡 + ∆𝑡2 − 122,5 ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 49∆𝑡 + ∆𝑡2 ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 ∆𝑡(49 + ∆𝑡) ∆𝑡 = lim ∆𝑡→0 49 + ∆𝑡⏞ 0 = 49 Exercícios 1. Uma bola é atirada no ar com uma velocidade de 40pés/s, e sua altura em pés após t segundos é dada por 𝑦 = 40𝑡 − 16𝑡2 . a) Encontre a velocidade média para o período de tempo que começa quanto 𝑡 = 2 e dura: i) 0,5𝑠 ii) 0,1𝑠 iii) 0,05𝑠 iv) 0,01𝑠 b) Encontre a velocidade instantânea no tempo 2 segundos. 2. O deslocamento (em pés) de uma certa partícula movendo-se em linha reta é dado por 𝑠(𝑡) = 𝑡3 6⁄ , onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade instantânea da partícula no tempo 1 segundo.
  7. 7. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 6Construindo a reta tangente em um ponto de um gráfico no Geogebra Vamos construir a ideia de reta tangente no Geogebra: 1. Digite no campo “entrada” a função 0.5x^2 e tecle enter. 2. Marque o ponto A(2,2) e o ponto B(4,8). 3. Crie uma reta perpendicular ao eixo x que passe por B e uma reta perpendicular ao eixo y que passe por A. Marque a intersecção das duas retas (ponto C) e apague- as. 4. Crie os segmentos AC, BC e AB. Renomeie o segmento AC para ∆𝑥 e a reta BC para ∆𝑦. 5. Crie uma reta que passe pelos pontos A e B. 6. Crie a reta 𝑦 = 0, marque o ponto D (4,0) e o ponto E, intersecção desta reta com a reta criada no item anterior. 7. Marque o ângulo DÊA e o ângulo CÂB. 8. Crie a variável m, definida da seguinte forma: 𝑚 = ∆𝑦 ∆𝑥 . 9. Movimente o ponto B para próximo do ponto A e, utilizando uma calculadora, calcule o a tangente do ângulo CAB, para auxiliar, complete a tabela a seguir. Medida de CAB tg(CÂB) Medida de (DÊA) Valor de m Agora, responda as perguntas: a) O que ∆𝑥 e ∆𝑦 representam? Como é possível calculá-los. b) O que acontece quando aproximamos o ponto B do ponto A? c) Por que o ângulo CÂB é igual ao ângulo DÊA? Por que tg(CÂB) é igual a m? d) Conforme ∆𝑥 tende a zero, para qual valor a imagem da função se aproxima? e) Reescreva o item e como o limite de uma função e verifique se esse limite tende ao valor que você respondeu no item anterior.
  8. 8. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 7Determinando a inclinação da reta tangente em um ponto do gráfico Observe o gráfico de uma função na figura ao lado. Note que que é possível criar uma reta que passa pelos pontos P e Q e, pelas propriedades do triângulo retângulo, temos que 𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1) 𝑥2−𝑥1 define o valor da tangente da inclinação da reta em relação ao eixo x. Para determinarmos a reta tangente no ponto P, basta aproximarmos o ponto 𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)) do ponto 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)), ou seja, o valor de 𝑥2 será muito próximo (tende) de 𝑥1 e, com isso 𝑓(𝑥2) se aproxima de 𝑓(𝑥1), de modo que podemos determinar a reta tangente no ponto P pelo limite: lim 𝑥2→𝑥1 𝑓(𝑥2) − 𝑓(𝑥1) 𝑥2 − 𝑥1 Como o ponto P é fixo, podemos deixar o limite acima em função de 𝑥1, que é um valor conhecido, para isso, basta tomarmos ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1, o que segue, 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥. Logo, quando 𝑥2 tende a 𝑥1, segue que ∆𝑥 tende a zero, e o limite pode ser reescrito da seguinte forma: lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1) ∆𝑥
  9. 9. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 8Exemplo: Dada a parábola 𝑦 = 𝑥2 , a) Ache a inclinação da reta secante que passa pelos pontos (2;4) e (3,9); (2;4) e (2,1;4,41); (2;4) e (2,01; 4,0401) b) Determine a inclinação da reta tangente no ponto no ponto (2;4) c) Faça um esboço do gráfico e da reta tangente no ponto (2;4) a) 𝑚1 = 9−4 3−2 = 5; 𝑚2 = 4,41−4 2,1−2 = 0,41 0,1 = 4,1; 𝑚3 = 4,0401−4 2,01−2 = 0,0401 0,01 = 4,01 b) lim ∆𝑥→0 𝑓(2+∆𝑥)−𝑓(2) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 (2+∆𝑥)2−4 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 4+2∙2∙∆𝑥+∆𝑥2−4 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥(4+∆𝑥) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 4 + ∆𝑥⏟ 0 = 4 c)
  10. 10. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 9Exercícios 1. Ache a inclinação da reta tangente ao gráfico da função 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3𝑥 + 4 no ponto (𝑥1, 𝑦1). 2. Ache uma equação da reta tangente à curva do exercício 1 no ponto (2,6). Lembre-se que a equação geral de uma reta é dada pela equação 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1). 3. Um monitor é usado para medir os batimentos cardíacos de um paciente após uma cirurgia. Ele fornece um número de batimentos cardíacos após t minutos. Quando os dados na tabela são colocados em um gráfico, a inclinação da reta tangente representa a taxa de batimentos cardíacos por minuto. t (min) 36 38 40 42 44 Batimentos cardíacos 2530 2661 2806 2948 3080 O monitor estima esse valor calculando a inclinação de uma reta secante. Use os dados da tabela para estimar a taxa de batimentos cardíacos após 42 minutos usando a reta secante entre 𝑡 = 42 e os outros tempos dados. Quais são as suas conclusões?
  11. 11. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 10Derivada Observe que no problema da velocidade instantânea e na determinação da inclinação da reta tangente a ideia de construção é semelhante: escolhemos um ponto 𝑄(𝑥2, 𝑓(𝑥2)) diferente do ponto 𝑃(𝑥1, 𝑓(𝑥1)), dado no problema e aproximamos Q de P, modo a diminuir a distância entre os valores do domínio, isto é, fazemos 𝑥2 tender a 𝑥1. Chamando a diferença entre 𝑥2 e 𝑥1 de ∆𝑡 (∆𝑡 = 𝑥2 − 𝑥1), segue que 𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑡, e a resposta ao problema proposto é obtida resolvendo o seguinte limite: lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥1 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥1) ∆𝑥 Este limite, por ser usado na resolução de diferentes problemas, pode ser dito especial, e por isso, recebe o nome de derivada. Exemplo: Ache a derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12. 𝑓′(𝑥) = lim ∆𝑥→0 3(𝑥 + ∆𝑥)2 + 12 − (3𝑥2 + 12) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 3𝑥2 + 6𝑥 ∙ ∆𝑥 + ∆𝑥2 + 12 − 3𝑥2 − 12 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 6𝑥 ∙ ∆𝑥 + ∆𝑥2 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥(6𝑥 + ∆𝑥) ∆𝑥 = lim ∆𝑥→0 6𝑥 + ∆𝑥⏟ 0 = 6𝑥 Portanto, a derivada de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12 é 𝑓′(𝑥) = 6𝑥. Definição: A derivada de uma função f é a função denotada por f’, tal que seu valor em qualquer número 𝑥 do domínio de f seja dado por 𝑓′(𝑥) = lim ∆𝑥→0 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) ∆𝑥 se esse limite existir. O SÍMBOLO 𝑓′ FOI INTRODUZIDO PELO MATEMÁTICO LAGRANGE, NO SÉCULO XVIII. EXISTEM OUTRAS NOTAÇÕES : 𝑦′, 𝑑𝑦 𝑑𝑥 , 𝑑 𝑑𝑥 (𝑦), E REPRESENTAM A DERIVADA DA FUNÇÃO 𝑦 EM RELAÇÃO À VARIÁVEL 𝑥 Leithold, 1994.
  12. 12. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 11Observação: Se 𝑥1 for um determinado número do domínio de 𝑓, podemos calcular a derivada neste ponto utilizando a seguinte equação: 𝑓′(𝑥1) = lim 𝑥→𝑥1 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥1) 𝑥 − 𝑥1 Exemplo: Ache a derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12 no ponto 2. Como foi calculado no exemplo anterior 𝑓′(𝑥) = 6𝑥, aplicando 𝑥 = 2, segue que 𝑓′(2) = 6 ∙ 2 = 12 Utilizando a fórmula da observação acima, podemos realizar o seguinte cálculo: 𝑓′(2) = lim 𝑥→2 (3𝑥2 + 12) − 24 𝑥 − 2 = lim 𝑥→2 3𝑥2 − 12 𝑥 − 2 = lim 𝑥→2 3(𝑥2 − 4) 𝑥 − 2 = lim 𝑥→2 3(𝑥 − 2)(𝑥 + 2) 𝑥 − 2 = lim 𝑥→2 3(𝑥 + 2) = 3 ∙ 4 = 12 Exercícios: 1. Calcule a derivada das funções dadas: a) 𝑦 = 8 − 𝑥3 d) 𝑦 = 7𝑥 + 3 g) 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥 b) 𝑦 = 𝑥3 e) 𝑦 = 3𝑥2 + 4 h) 𝑦 = 1 𝑥 c) 𝑦 = √ 𝑥 f) 𝑦 = 3𝑥2 − 6 i) 𝑦 = −2 2. Ache a equação da reta tangente à curva dada, no ponto indicado. a) 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 − 5; (−2,7) c) 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥3 ; (−2,4) b) 𝑦 = 6 𝑥 ; (3,2) d) 𝑦 = − 8 √ 𝑥 ; (4, −4)
  13. 13. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 12Derivabilidade e continuidade O processo do cálculo da derivada é chamado derivação. Assim, a derivação é a operação de derivar uma função 𝑓′ de uma função 𝑓. Se uma função possui uma derivada em 𝑥1, a função será derivável em 𝑥1. Uma função será derivável em um intervalo aberto se ela for derivável em todo número deste intervalo aberto. Exemplo 1: A derivada da função 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 12 é 𝑓′(𝑥) = 6𝑥. Como o domínio de 𝑓(𝑥) são todos os reais e 6𝑥 pode ser calculado para qualquer número real, dizemos que 𝑓(𝑥) é derivável em todos os reais. Exemplo 2: A derivada da função 𝑔(𝑥) = √𝑥 − 3 é a função 𝑔′(𝑥) = 1 2√𝑥−3 . Note que o domínio de 𝑔(𝑥) é o intervalo [3, +∞[, no entanto, não podemos calcular 𝑔′(3), pois o valor do denominador seria zero, logo, a função 𝑔(𝑥) não é derivável em todo o seu domínio, porém, 𝑔(𝑥) é derivável no intervalo (3, +∞). Exemplo 3: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑥 1 3⁄ , resolva o que se pede. a) Ache 𝑓′(𝑥). b) Mostre que 𝑓′(0) não existe, mesmo que 𝑓(𝑥) seja contínua nesse número. c) Faça um esboço do gráfico de 𝑓.
  14. 14. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 13Teorema: Se uma função 𝑓 for derivável em 𝑥1, então 𝑓 será contínua em 𝑥1. Demonstração: Observe que, pelo teorema, segue que toda função é derivável é necessariamente contínua. Entretanto, conforme o exemplo 3, nem toda função contínua é derivável.
  15. 15. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 14Exercícios: 1. Calcule a derivadas das funções a seguir e diga o que é possível concluir. a) 𝑦 = 3 b) 𝑦 = −3 c) ) 𝑦 = 5 d) ) 𝑦 = −√2 e) 𝑦 = 𝑥 f) 𝑦 = 𝑥 + 2 g) 𝑦 = 𝑥 − 4 h) 𝑦 = −𝑥 i) 𝑦 = 𝑥2 j) 𝑦 = 𝑥2 − 1 k) 𝑦 = 𝑥2 + 2 l) 𝑦 = 𝑥2 − 7 2. Dadas as funções 𝑓(𝑥) = 3 + 𝑥, 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 9, calcule as derivadas indicadas e diga se há alguma regularidade: a) 𝑓′(𝑥) b) 𝑔′(𝑥) c) 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥) d) [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]′ e) 𝑓′(𝑥) − 𝑔′(𝑥) f) [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]′ g) 𝑓′(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) h) [𝑔(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)]′ i) 𝑓′(𝑥)/𝑔′(𝑥) j) [𝑓(𝑥)/𝑔(𝑥)]′ k) 𝑔′(𝑥)/𝑓′(𝑥) l) [𝑔(𝑥)/𝑓(𝑥)]′
  16. 16. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 15Teoremas de derivação de funções contínuas Considerando 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) e ℎ(𝑥) funções contínuas e uma constante real c, são válidos os seguintes teoremas: 1. 𝑓(𝑥) = 𝑐 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 0 2. 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1 3. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ 𝑐 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑐 4. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) + ℎ′(𝑥) 5. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) − ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) − ℎ′(𝑥) 6. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) ∙ ℎ(𝑥) + ℎ′(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) 7. 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ℎ(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥)∙ℎ(𝑥)−ℎ′(𝑥)∙𝑔(𝑥) [ℎ(𝑥)]2 , com ℎ(𝑥) ≠ 0 8. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 9. 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛𝑥 Exercícios: 1. Calcule a derivada das funções a seguir utilizando os teoremas e, em seguida, confirme o resultado calculando pela definição. a) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 − 5 b) 𝑔(𝑥) = 1 − 2𝑥 − 𝑥2 c) ℎ(𝑥) = 4𝑥2 + 𝑥 + 1 2. Calcule a derivada das funções indicadas utilizando os teoremas de derivação. a) ℎ(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 b) 𝑦 = (𝑥2 + 1)3(𝑥 − 4) c) 𝑔(𝑥) = 𝑡𝑔𝑥 d) 𝑓(𝑥) = 1 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃 e) 𝑤(𝑥) = 5𝑥 (2𝑥)3 + 2𝑠𝑒𝑛𝑥 3. Determine 𝑓′ (1) se 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥 + 1.
  17. 17. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 164. O limite abaixo representa o limite de uma função em um ponto a, ou seja, 𝑓′(𝑎). Determine f(x) e o valor de a. lim ℎ→0 √(4 + ℎ) + 2 ℎ 5. Dada a função 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1, mostre que 𝑓′(𝑥) = 𝑥 √𝑥2+1 .
  18. 18. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 17 Derivada da função composta 10. Regra da cadeia: 𝑓(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥)) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(ℎ(𝑥)) ∙ ℎ′(𝑥) Exemplo 1: Seja 𝑓(𝑥) = (2𝑥3 − 5𝑥2 + 4)10 , calcule 𝑓′(𝑥). Exemplo 2: Seja 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) calcule 𝑓′(𝑥). Exercícios: 1. Utilize a regra da cadeia para derivar as seguintes funções: a) 𝑓(𝑥) = (5𝑥 − 2)2 b) 𝑔(𝑡) = √2𝑡2 + 5𝑡 c) ℎ(𝑥) = 3 (2𝑥−5)2 2. Um corpo se move em linha reta de acordo com a equação 𝑠(𝑡) = √4 + 3𝑡2, onde s é dado em metros e t em segundos. a) Determine a velocidade média desse corpo no intervalo [0,2]. b) Determine a velocidade do corpo no instante t = 2s.
  19. 19. FACULDADE ESTADUAL DE FILOSOFIA, CIÊNCIAS E LETRAS UNIÃO DA VITÓRIA - ESTADO DO PARANÁ HISTÓRIA E PEDAGOGIA: Decreto Federal nº 61.120 - 31.07.67 - DOU 03.08.67 LETRAS/INGLÊS E GEOGRAFIA: Decreto Federal n.º 74.750 - 23.10.74 - DOU 24.10.74 LETRAS/ESPANHOL: Decreto Estadual nº 1.715 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 MATEMATICA: Decreto Estadual nº 1.719 - 13.08.03 - DOE 13.08.03 CIÊNCIAS BIOLÓGICAS: Decreto Estadual nº 4.275 - 01.02.05 - DOE 01.02.05 QUÍMICA: Decreto Estadual n° 1.040 - 27.07.07 - DOE - 27.07.07 FILOSOFIA: Decreto Estadual n° 1.211 - 03.05.11 - DOE - 03.05.11 Professora Gabriele Granada Veleda 18Outros teoremas de derivação de função contínua 11. 𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑐 𝑔(𝑥) ∙ ln 𝑐 ∙ 𝑔′(𝑥) Exemplo 1: 𝑓(𝑥) = 2 𝑥2+𝑥 Exemplo 2: 𝑓(𝑥) = √3 𝑠𝑒𝑛𝑥+15 12. 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑔(𝑥) ∙ 𝑔′(𝑥) Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑒cos( 𝑥 2⁄ )+1 𝑠𝑒𝑛[𝑐𝑜𝑠( 𝑥2 2⁄ )] 13. 𝑓(𝑥) = log 𝐶 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑔′(𝑥) 𝑔(𝑥)∙ln 𝑐 Exemplo: 𝑓(𝑥) = log3 (5𝑥2 + 3𝑥) 14. ( 𝑥) = 𝑙𝑛 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓′( 𝑥) = 𝑔′(𝑥) 𝑔(𝑥) Exemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 ( 𝑠𝑒𝑛2 ( 5𝑥−1 4−3𝑥 ))

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