Razão Áurea e sua função na arte, arquitetura e matemática

2. Introdução
Neste trabalho vamos falar da Razão de Ouro na
Matemática. Vamos também abordar o seu
significado geométrico e sua relação com a
natureza e a arquitetura. Vamos também
apresentar alguns aspectos da obra de Fibonacci,
uma vez que foi ele quem introduziu este número
à Matemática moderna.

3. O que é o Número de Ouro
O Número de Ouro é representado pela letra grega Φ, (Fi
maiúsculo), é a inicial do nome de Fídias, que foi um famoso
escultor e arquitecto grego, encarregado pela construção do
Pártenon, em Atenas e por ter usado a proporção de ouro em
muitos dos seus trabalhos.

4. O que é o Número de Ouro
Outro exemplo do Número de
Ouro poderá ser também obtido
desenhando-se um rectângulo
de ouro cujos lados tenham uma
razão entre si igual ao Número
de Ouro. Este pode ser dividido
num quadrado e noutro
rectângulo em que este é,
também ele, um rectângulo de
ouro. Este processo pode ser
repetido infinitamente
mantendo-se a razão constante.

5. A História do Número de Ouro
 A história deste enigmático número perde-se na
Antiguidade. No Egipto, as pirâmides de Gizé foram
construídas tendo em conta a Razão de Ouro : A
razão entre a altura de um face e metade do lado da
base da grande pirâmide é igual ao Número de Ouro.
O Papiro de Rhind refere-se a uma «razão sagrada»,
que se crê ser o Número de Ouro. Esta razão ou
secção áurea surge em muitas estátuas da
Antiguidade .

6. Rectângulo Áureo e Nautilus
Juntando dois quadrados unitários (Lado=1), teremos um
rectângulo 2x1, sendo que o comprimento 2 é igual à soma
dos lados dos quadrados anteriores. De novo anexamos
outro quadrado com L=2 (o maior dos lados do rectângulo
anterior) e teremos um rectângulo 3x2. Continuamos a
anexar quadrados com lados iguais ao maior dos
comprimentos dos rectângulos obtidos antes. A sequência
dos lados dos próximos quadrados é: 3,5,8,13,... que é a
sequência de Fibonacci.

7. Com um compasso, trace um quarto de circunferência no quadrado
de lado L=13, de acordo com o desenho ao lado.tendo em atenção
o desenho, trace quartos de circunferências nos quadrados de
lados L=8, L=5, L=3, L=2, L=1 e L=1
Rectângulo Áureo e Nautilus

8. Rectângulo Áureo e Nautilus
 A espiral assim obtida é chamada uma espiral de ouro.
 Esta espiral pode ser observada na secção da casca do Nautilus (um molusco).
 A referida sequência (1, 1, 2, 3, 5, 8, ...) é conhecida como a sequência de
Fibonacci.

9. No fim da Idade Média havia duas escolas matemáticas: uma, a
escola da Igreja e Universidade, voltada para um âmbito mais
teórico e exaustivo; outra com uma finalidade mais prática e
objectiva, a escola do comércio e dos mercadores, à qual pertencia
Fibonacci.
A contribuição de Fibonacci para o Número de Ouro está
relacionada com a solução do seu problema dos coelhos publicado no
seu livro Liber Abaci, a sequência de números de Fibonacci.
É que as sucessivas razões entre um número e o que o antecede
vão-se aproximando do Número de Ouro. Outro matemático que
contribuiu para o estudo e divulgação do Número de Ouro foi
Pacioli. Uma curiosidade deste matemático é que foi o primeiro a
ter um retracto autêntico.
Publicou em 1509 uma edição que teve pouco sucesso de Euclides
e um trabalho com o título De Divina Proportione. Este trabalho
dizia respeito a polígonos regulares e sólidos e a Razão de Ouro.

10. O Problema de Fibonacci
No século XIII os povos europeus ainda usavam
a numeração romana nos seus cálculos e
contagens.
Fibonacci foi quem mais contribuiu para a
transição para o sistema numérico indo-árabe,
que ainda hoje utilizamos.
Na obra "Liber Abaci" Fibonacci explica como
usar a numeração árabe e como efectuar
cálculos com ela, surgem alguns problemas, um
dos quais é o célebre “Problema dos coelhos".

11. O Problema de Fibonacci
 Quantos pares de coelhos
podem ser gerados por um par
de coelhos num ano, supondo que
se começa com um par de
coelhos num ambiente fechado.
Desejamos saber quantos pares
de coelhos podem ser gerados
por este par num ano, se de um
modo natural a cada mês ocorre
a produção de um par e esse par
começa a produzir coelhos
quando completa dois meses de
vida.

12. O Problema de Fibonacci
Tal processo continua através dos diversos meses até completar
um ano. Obtém-se a seguinte sequência de números, a qual conta
o número de pares de coelhos existentes ao longo de cada um dos
meses desse ano:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144
Esta sequência, também chamada de sequência de Fibonacci,
constrói-se de uma forma extremamente simples: cada número,
exceptuando evidentemente os dois primeiros, é composto pela
adição dos dois números precedentes.

13. Leonardo Da Vinci
Uma contribuição que não pode
ser deixada de referir foi a de
Leonardo Da Vinci (1452-1519). A
excelência dos seus desenhos
revela os seus conhecimentos
matemáticos, bem como a
utilização da razão áurea como
garante de uma perfeição, beleza
e harmonia únicas. Lembrado
como matemático apesar da sua
mente irrequieta não se
concentrar na Aritmética,
Álgebra ou Geometria o tempo
suficiente para fazer uma
contribuição significativa.

14. Leonardo Da Vinci
 Leonardo representa bem o Homem
da Renascença, que fazia de tudo
um pouco sem se fixar em nada. Era
um génio de pensamento original que
usou exaustivamente os seus
conhecimentos de Matemática,
nomeadamente o Número de Ouro,
nas suas obras de arte. Um exemplo
é a tradicional representação do
homem em forma de estrela de
cinco pontas de Leonardo, que foi
baseada nos pentágonos, estrelado
e regular, inscritos na
circunferência.

17. Video