Apostila de pesquisa operacional

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Apostila formulada por duas amigas e eu. Requisito para aprovação no curso de Pesquisa Operacional, componente do curso de graduação em Tecnologia em Agronegócios da Fatec de Itapetininga. Fique a vontade para utilizar em suas pesquisas, porém, lembre-se de realizar as devidas citações.

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Apostila de pesquisa operacional

  1. 1. 0 CENTRO PAULA SOUZA FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ITAPETININGA CURSO SUPERIOR DE TECNOLOGIA EM AGRONEGÓCIOS FELIPE JOSÉ DE LAZARI ALINE BRASIL NEVES RAQUEL APARECIDA PEREIRA ALVES PESQUISA OPERACIONAL EMBASAMENTO E TOMADA DE DECISÃO Itapetininga, SP Junho/2008
  2. 2. 1 FELIPE JOSÉ DE LAZARI ALINE BRASIL NEVES RAQUEL APARECIDA PEREIRA ALVES PESQUISA OPERACIONAL EMBASAMENTO E TOMADA DE DECISÃO Apostila apresentada à disciplina de PESQUISA OPERACIONAL para avaliação semestral Orientador: Prof. Msc. Marcelo dos Santos Silvério Itapetininga, SP Junho/2008
  3. 3. 2 SUMÁRIO 1 PESQUISA OPERACIONAL: ........................................................................ 4 1.1CONCEITOS E APLICABILIDADE........................................................... 4 1.2 DIVISÃO DA PESQUISA OPERACIONAL.............................................. 5 1.3 CUSTOS FIXOS E VARIAVEIS .............................................................. 5 1.4 PERT-CPM ( PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIQUE - CRITICAL PATH METHOD ) ................................................................................. 8 1.5 PROGRAMAÇÃO LINEAR...................................................................... 8 2 RECEITAS, CUSTOS E PONTOS DE RUPTURA ........................................ 9 2.1 RECEITA............................................................................................... 11 2.2 CUSTOS ............................................................................................... 11 2.3 LUCROS ............................................................................................... 12 3 EXEMPLO: CUSTOS RECEITA E PONTO DE RUPTURA ........................ 16 3.1 ENCONTRANDO A FUNÇÃO CUSTOS ............................................... 16 3.2 RECEITA............................................................................................... 17 3.3 PONTO DE RUPTURA ......................................................................... 18 3.4 PONTO DE EQUILÍBRIO ...................................................................... 19 4 IDENTIFICANDO OS CUSTOS ................................................................... 23 4.1 FUNÇÃO RECEITA E PONTO DE EQUILÍBRIO .................................. 26 5 TOMADA DE DECISÃO .............................................................................. 29 6 PROBLEMA DE APLICAÇÃO .................................................................... 36 6.1 CURVA DOS CUSTOS ......................................................................... 37 6.2 FUNÇÃO LUCRO.................................................................................. 38 7 PROGRAMAÇÃO LINEAR (P.L.) ............................................................... 41 7.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO: .............................................................. 41
  4. 4. 3 7.2 VARIÁVEIS DE RESTRIÇÃO ............................................................... 42 7.3 SOLUÇÃO ÓTIMA ................................................................................ 44 7.4 REGIÃO SIMPLEX ................................................................................ 46 8 LINDO.......................................................................................................... 50 9 AJUSTAMENTO DE CURVAS. .................................................................. 55 OPÇÃO DE AJUSTE DOS EIXOS .............................................................. 58 9.1 PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO LOCAIS .......................................... 63 10 REDES PERT/CPM ................................................................................... 69 10.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO ............................................................. 69 10.1 TEMPO CEDO, TEMPO TARDE, FOLGA E CAMINHO CRÍTICO ..... 71 10.1.1 Tempo cedo................................................................................. 71 10.1.2 Tempo tarde ................................................................................ 72 10.1.3 Folga ............................................................................................ 73 10.2 CAMINHO CRÍTICO............................................................................ 74 10 CONSIDERAÇÕES FINAIS ...................................................................... 76 REFERÊNCIAS .............................................................................................. 77
  5. 5. 4 1 PESQUISA OPERACIONAL 1.1CONCEITOS E APLICABILIDADE. Pesquisa Operacional (P.O.) é um ramo interdisciplinar da matemática aplicada que faz uso de modelos matemáticos, estatísticos e de algoritmos na ajuda à tomada de decisões. Com o objetivo de melhorar e aperfeiçoar o desempenho, fornece ferramentas quantitativas no processo de tomada de decisão. É constituída por um conjunto de disciplinas isoladas, tais como Programação Linear, Teoria das Filas, Simulação, Programação Dinâmica, Teoria dos Jogos, entre outras. De uma maneira geral, todas as disciplinas que constituem a PO se apóiam em quatro ciências fundamentais: Economia, Matemática, Estatística e Informática. Sua área de atuação é muito abrangente, desde fabricas, hospitais, fazendas em geral, escritórios, estradas, e muitas outras. Foi introduzida durante a Segunda Guerra Mundial, quando um grupo de cientistas foi convocado na Inglaterra para estudar problemas de estratégia e de tática associados com a defesa do país. O objetivo era utilizar os escassos recursos militares de forma eficaz. A convocação deste grupo foi à primeira atividade formal de pesquisa operacional. Como os resultados foram positivos os Estados Unidos motivou-se a utilizá-lo. A Pesquisa Operacional é originária da Inglaterra, mas sua propagação devese principalmente à equipe de cientistas liderada por George B. Dantzig, dos Estados Unidos, convocada durante a Segunda Guerra Mundial. A pesquisa foi concluída em 1947, e deu-se o nome de Método Simplex. Com o aumento da velocidade de processamento e quantidade de memória dos computadores atuais, houve um grande progresso na Pesquisa Operacional. Este progresso é devido também à larga utilização de microcomputadores, que se tornaram unidades isoladas dentro de empresas. Isso faz com que os modelos desenvolvidos pelos profissionais de Pesquisa Operacional sejam mais rápidos e versáteis, além de
  6. 6. 5 serem também interativos, possibilitando a participação do usuário ao longo do processo de cálculo. Nesta apostila abordaremos algumas áreas da PO, sendo elas a programação linear, o ajustamento de curvas, os pontos de equilíbrio ou ruptura, as redes PERT/COM e, principalmente, a importância destas ferramentas para a tomada de decisão. 1.2 DIVISÃO DA PESQUISA OPERACIONAL P.O. pode ser dividida entre disciplinas isoladas, tais como Programação Linear, Teoria das Filas, Simulação, Programação Dinâmica, Teoria dos Jogos, entre outras. 1.3 CUSTOS FIXOS E VARIAVEIS Os custos fixos são aqueles que ocorrem todos os meses independentes da quantidade produzida, já os custos variáveis variam de acordo com a quantidade produzida. Ocorrem também os custos diretos e indiretos, geralmente os custos diretos são variáveis como podemos observar nestes dados específicos. Suponhamos que os seguintes Custos de Produção de determinado Período precisam ser alocados os quatro diferentes produtos elaborados pela empresa: Matéria-Prima - R$ 2.500.000,00 Embalagens - R$ 600.000,00 Materiais de Consumo - R$ 100.000,00 Mão-de-obra - R$ 1.000.000,00 Salários da Supervisão - R$ 400.000,00 Depreciação das Máquinas - 300.000,00
  7. 7. 6 Energia Elétrica - R$500.000,00 Aluguel do Prédio - R$ 200.000,00 Total - R$ 5.600.000,00 O responsável por Custos faz os levantamentos e as análises necessárias e verifica o seguinte: Matéria-Prima e Embalagens: podem ser apropriadas perfeitas e diretamente aos quatro produtos, já que foi possível identificar quanto cada um consumiu. Materiais de Consumo: alguns são lubrificantes de máquinas, e não há como associá-los a cada produto diretamente, e outros são de tão pequeno valor que ninguém se preocupou em associá-los a cada produto. Mão-de-obra: é possível associar parte dela diretamente com cada produto, pois houve uma medição de quanto cada operário trabalhou em cada um e quanto custa cada operário para a empresa. Mas parte dela refere-se aos chefes de equipes de produção, e não há possibilidade de se verificar quanto atribuir diretamente aos produtos ($ 200.000 dos $ 1.000.000). Salários da Supervisão: muito mais difícil ainda de se alocar por meio de uma verificação direta e objetiva do que a mão-de-obra dos chefes de equipes de produção, já que essa supervisão é a geral da fábrica. Representa esse custo o gasto da supervisão dos chefes de equipes e, por isso mesmo, muito mais difícil é a alocação aos produtos. Depreciação das máquinas: a empresa deprecia linearmente em valores iguais por período, e não por produto. Haveria possibilidade de apropriar diretamente a cada produto se a depreciação fosse contabilizada de outra forma. Energia Elétrica: parte dela é possível alocar a 3 dos 4 produtos, já que a máquina que mais consome energia elétrica possuí um medidor próprio, e a empresa faz verificações de quanto consome para cada item elaborado. Porém, o resto da energia só é medido globalmente, e não há forma direta de alocação ($ 350.000 são alocáveis e $ 150.000 não). Aluguel do Prédio: impossível de se medir diretamente quanto pertence a cada produto.
  8. 8. 7 Após essas análises, podemos verificar que alguns custos podem ser diretamente apropriados aos produtos, bastando haver uma medida de consumo (quilogramas de materiais consumidos, embalagens utilizadas, horas de mão-de-obra utilizadas e até quantidade de energia elétrica consumida). São os Custos Diretos com relação aos produtos. Outros realmente não oferecem condição de uma medida objetiva e qualquer tentativa de alocação tem de ser feita de maneira estimada e muitas vezes arbitrária (como o aluguel, a supervisão, as chefias, etc.). São os Custos Indiretos com relação aos produtos. A classificação de Direto e Indireto que estamos fazendo é com relação ao produto feito, e não à produção no sentido geral ou aos departamentos dentro da fábrica. Alguns custos têm características especiais. Por exemplo, vimos que parte dos Materiais de Consumo poderia ser apropriada diretamente, mas, dada sua irrelevância, verificou-se não valer a pena esse trabalho; muitas vezes a relação "custo-benefício" é desfavorável para itens de pequena importância. Outros, como a Depreciação, poderiam também ser apropriados de maneira mais direta, porém, pela própria natureza na maior parte das vezes considerado útil tal procedimento. O próprio valor da depreciação como um todo é tão estimado e arbitrariamente fixado que chega a ser pouco útil a alocação direta. Finalmente, certos custos, como a Energia Elétrica, são relevantes, mas não tratados como diretos, já que para tanto seria necessária à existência de um sistema de mensuração do quanto é aplicado a cada produto. Por ser caro esse sistema ou de difícil aplicação, ou ainda por não ser muito diferente o valor assim obtido daquele que se calcularia com base na potência de cada máquina e no volume de sua utilização, prefere-se fazer a apropriação de forma indireta. Pode-se inclusive dizer também que, entre os Indiretos, existem os menos Indiretos (quase Diretos), como Materiais de Consumo, e os mais indiretos, como Supervisão da fábrica, Imposto Predial ou Corpo de Segurança. Todos os custos podem ser classificados em Fixos e Variáveis ou em Diretos e Indiretos ao mesmo tempo. Assim, a matéria-prima é um Custo Direto e Variável, os materiais de consumo são normalmente Custos Indiretos e Variáveis, os seguros da fábrica são Custos Indiretos e Fixos, etc.
  9. 9. 8 1.4 PERT-CPM (PROGRAM EVALUATION AND REVIEW TECHNIC – CRITICAL PATH METHOD) É um método de planejamento e replanejamento e avaliação de processo, com a finalidade de controlar a execução de um programa ou projeto. Em alguns países ele é tão utilizado que as grandes administrações púbicas exigem que os fornecedores utilizem esta forma de controle. O PERT foi desenvolvido pela NASA com a finalidade de controlar o tempo e a execução de tarefas realizadas pela primeira vez. O CPM foi criado na empresa norte-americana Dupont com o objetivo de realizar as paradas de manutenção no menor prazo possível e com o nível constante de utilização dos recursos. Os dois métodos são quase idênticos e foram criados no ano de 1958. 1.5 PROGRAMAÇÃO LINEAR Foi criada em 1946, com a finalidade de diminuir custos e aumentar os lucros de situações reais. Programação Linear técnica de planejamento que vem se constituindo como uma das mais poderosas em quase todo ramo da atividade humana. Seus benefícios são exatamente aqueles procurados por qualquer empresa: diminuição dos custos e aumento dos lucros. Em algumas organizações ela está, inclusive, embutida em suas rotinas informatizadas de planejamento diário dos processos de operação. Algumas de suas aplicações são: - Formulação de alimentos, rações e adubos - Transportes - Localizações industriais - Carteiras de ações - Alocação de recursos em fábricas, fazendas, escritórios, etc - Designação de pessoas e tarefas.
  10. 10. 9 2 RECEITAS, CUSTOS E PONTOS DE RUPTURA Suponhamos que a quantidade mensal vendida de morangos transgênicos azuis esteja relacionada com o preço unitário do mesmo segundo o gráfico Quantidade Q 1500 250 Preço em reais Pelo gráfico acima, podemos notar os preços para a quantidade 0 e também para o preço 0. Porém, se quisermos descobrir qual seria o preço para a quantidade de 290 unidades, deveríamos formular uma equação a qual representasse o gráfico acima. Podemos formulá-la com a utilização de uma derivada, ou seja, uma taxa de variação que represente a inclinação da curva numa relação quantidade, podemos então utilizar a fórmula: Q(p)= ap+b Onde a = ∆Q Qf − Qi 0 − 1500 − 1500 = = = = −6 ∆p pf − pi 250 − 0 250 B= ponto onde o valor de p=0, ou seja, onde a curva intersecciona o eixo das ordenadas, no caso do nosso exemplo, o eixo Q, portanto, se substituirmos o valor de
  11. 11. 10 “a” na fórmula Q(p) = ap+b, o que nos daria a função Q(p) = -6p + b, e substituirmos na fórmula os valores de Q(p), ou seja, a imagem que se encontra no eixo das ordenadas, e substituirmos “p”, por um ponto no domínio, o qual gerou a imagem selecionada no eixo Q, teremos uma única incógnita, a própria b. Demonstração - substituição 1, “a”: Q(p) = ap + b →Q(p) = -6p + b - substituição 2 (para esta substituição, é necessário que conheçamos o valor tanto do domínio quando da imagem em questão do ponto que desejamos destacar na função, sendo assim, é aconselhável que, utilizemo-nos de pontos de fácil localização no gráfico e dos quais tenhamos certeza da exatidão. É aconselhável portanto, que utilizemos pontos dos eixos. Em nosso exemplo, utilizaremos os pontos dos eixos Q= 0 e p = 250 Q(p) = -6p + b→ 0= -6.250 + b Em seguida, isolamos a incógnita para podermos obter o seu valor como a constante que é -b = -1500 -b = -1500 (-1) agora, multiplicamos a equação toda por -1 para que valor de b não seja negativo, portanto, o valor de b é b=1500 Possuímos então o valor das duas constantes da equação, o valor de a, que é -6 e o valor de b, que é 1500, sendo assim, podemos substituí-los na fórmula Q(p) = ap + b, que teremos agora a função:
  12. 12. 11 Q(p) = -6p + 1500 Onde “p” é o preço, ou seja, a série de pontos presentes no domínio da função que se encontra no eixo das abscissas e Q é a quantidade, ou seja, a imagem presente no eixo das ordenadas que se relaciona ao preço gerando a curva da função. 2.1 RECEITA Entendemos por receita os lucros, em relação à quantidade vendida de um determinado bem, ou serviço, desconsiderando seus custos. Pode-se compreender como os lucros brutos de um exercício. Para equacionarmos a receita somente necessitamos de uma equação simples, onde os preços (p) são multiplicados pela quantidade (Q). Portanto, a equação formulada será: R= p.Q → p(-6p + 1500) → R= -6p² + 1500p 2.2 CUSTOS Podemos admitir 3 formas básicas de custos: - Custos fixos: aqueles que independem de produção, ou seja, são gastos com plantas, parcelas de máquinas adquiridas em leasing... - Custos variáveis: aqueles que dependem da produção, que aumentam e diminuem em relação à produção, ou seja, matéria prima, mão de obra para a produção, frete.
  13. 13. 12 - Custos casuais: aqueles que não são nem fixos nem variáveis, são custos que não podem ser previstos com muita antecedência à produção, pois se manifestam durante o processo de forma a serem computados quando surgem. Adotando o exemplo de produção citado a cima, podemos calcular seus custos. Para a produção de tal mercadoria, vamos tomar por hipótese a existência de apenas custos variáveis, e que estes custos sejam de $20,00 por unidade produzida. Sendo assim, qual é a função que determina os custos para a produção? Podemos equacionar estes custos, tendo em vista de que eles variam em relação à quantidade, então teremos a função que os determina: C= 20Q → 20(-6p + 1500) → C = -120p + 30000 Onde “Q” é a incógnita referente à quantidade produzida. 2.3 LUCROS Podemos classificar como lucro, todo o resíduo da produção que fora suficiente para suprir as despesas com a produção e “sobraram’ ao fim do processo produtivo. Se o resultado da produção, no âmbito financeiro, é a receita, o lucro é a receita menos os custos totais, ou seja, os custos variáveis mais os custos fixos mais os custos casuais. Podemos equacionar este lucro utilizando um “sistema de funções’, ou seja, subtraindo uma função da outra, no nosso caso, subtraindo da função receita, ou seja, R= p.Q, a função custo, C= Cfix+Cvar+Ccas. Podemos então afirmar que:
  14. 14. 13 L= R-C → L= Q.p – Cfix + Cvar + Ccas Exemplo: Adotando o gráfico de produção, qual é a função lucro? A solução para isso é subtrairmos da função receita, citada acima a função custo, que para o nosso exemplo, como já foi dito, é apenas variado. Portanto teremos na função lucro: L= R – C → L = p.Q – 20Q → L = (-6p + 1500)p -20(-6p + 1500) → L= -6p² + 1500p + 120p -30000 → L= -6p² + 1620p – 30000 Podemos, para esta função, formular o seguinte gráfico Quantidade Lucros 90000 80000 70000 60000 50000 40000 30000 20000 10000 Preço 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400 420 440 460 480 -10000 Agora, podemos determinar qual é o melhor nível de produção, ou seja, no qual se produza a quantidade que assegure o maior lucro. Para tal, devemos notar que, a partir de um determinado ponto no gráfico a função que representa os lucros torna-se decrescente.
  15. 15. 14 As derivadas nos demonstram a taxa de variação instantânea de uma função, sendo assim, se a mesma é negativa, a função será decrescente e, se positiva, a função é crescente. Levando esta teoria em consideração, o que acontece se a derivada for igual a zero? A resposta é, temos um ponto de máximo ou mínimo local, ou seja, é a partir deste ponto que o sinal da derivada se altera. Sendo assim, podemos utilizar a derivada para sabermos até que ponto é viável produzir ou, melhor ainda, qual é o ponto ótimo de produção, o ponto onde a quantidade produzida pode nos oferecer o maior lucro possível, este é o ponto de máximo, e podemos encontrá-lo na função lucro através de sua derivada, ou seja, derivamos a função e, se sabemos que o valor que desejamos é o de 0 para aquela determinada derivada, determinamos isso igualando-a à 0: Para tanto, primeiro derivaremos a função lucro, utilizando a aclamada “regra do tombo”: L = -6p² + 1620p – 30000 → L’= -12p + 1620 → -12p + 1620 = 0 → -12p = 1620 → → p = 135 Sendo assim, podemos interpretar o resultado como sendo o ponto p=135 no domínio, o ponto onde a derivada da função, ou seja, a reta tangente, possui uma inclinação igual a zero, sendo este um ponto de máximo.
  16. 16. 15 Para sabermos qual é o lucro obtido com esta produção, podemos colocar o valor do p encontrado, ou seja, p = 135, na função lucro: L = -6.135² + 1620.135 – 30000 → L = $ 79350,00
  17. 17. 16 3 EXEMPLO: CUSTOS RECEITA E PONTO DE RUPTURA Agora, buscaremos o ponto de ruptura em um caso onde, além dos custos variáveis, teremos custos fixos. Consideramos uma companhia que fabrica panelas. O arrendamento do galpão e do maquinário necessários para começar a produção são os custos fixos, pois tais custos existem ainda que nenhuma panela seja produzida. Os custos de matéria prima são variáveis, pois tais quantias dependem de quantas panelas serão feitas. Suponha que os custos fixos para esta companhia sejam de R$ 8.700,00 e os custos variáveis de R$ 4,00 por panela. A receita desta empresa é de R$9,00 por panela (sendo x o número de panelas vendidas, a receita é dada por R(x) = 9x. 3.1 ENCONTRANDO A FUNÇÃO CUSTOS Como bem sabemos, a função custos é a somatória dos custos variáveis, custos fixos e custos casuais. No exemplo anterior, nossos custos eram apenas variáveis, agora, agregaremos custos fixos, ou seja, aqueles que independem da quantidade produzida: Custos fixos = 8700 Custos variáveis = 4 por panela, se afirmamos que cada panela pode ser representada pela incógnita x, então também podemos afirmar que a função dos custos variáveis é de Cvar = 4x, ou seja, para a variação de cada x há uma variação de R$ 4,00 O nosso objetivo agora é criar uma função que represente todos os custos, ou seja, somarmos as duas funções.
  18. 18. 17 Custos Fixos + Custos variados → 8700 + 4x Com isso, podemos então classificar a junção destas duas funções em uma única função, a qual chamaremos apenas de C(x), e ela é: C(x) = 4x + 8700 3.2 RECEITA A receita permanece com sua forma inalterada, sendo o bruto recebido por quantidade vendida. Em nosso exemplo, a função receita se dá por R(x) = 9x Podemos colocar ambas as funções num mesmo gráfico e compararmos as disposições das mesmas
  19. 19. 18 Sabendo que, a função lucro apresenta-se como receita – Custos, podemos definir a função lucro por um sistema de funções onde: L = 9x – (4x + 8700) → L = 5x – 8700. 3.3 PONTO DE RUPTURA Ponto de ruptura é a quantidade a partir da qual o lucro é positivo, ou seja, a quantidade “x” para a qual a função lucro apresenta um resultado > 0. Porém, o ponto de ruptura em si é situado no ponto do domínio da função lucro onde a imagem é 0, ou seja, podemos encontrá-lo igualando a função lucro à 0: L = 5x – 8700 → 5x – 8700 = 0→ 5x = 8700 → x = ଼଻଴଴ ହ → x = 1740 Isso significa que, no ponto do domínio da função lucro x=1740, o resultado é zero
  20. 20. 19 3.4 PONTO DE EQUILÍBRIO Observe o que acontece quando utilizamos o ponto x = 1740 nas funções: Custos
  21. 21. 20 Receitas: Perceba que em ambas as funções, o ponto x do domínio em questão encontrase em destaque. Observe agora o que acontece quando sobrepomos as funções custos e receitas num mesmo gráfico com o ponto, o qual chamamos equilíbrio, em destaque.
  22. 22. 21 Veja que, o ponto de equilíbrio, se sobrepõe nas funções. Isto ocorre porquê eles possuem o mesmo domínio e a mesma imagem, sendo assim, tem o mesmo resultado em funções diferentes. Note que, as funções as quais estamos falando são as funções Custos e Receitas. Chamamos este ponto de ponto de equilíbrio, pois é o ponto no qual as receitas satisfazem os custos, para sabermos qual é o valor deste ponto no domínio das respectivas funções, somente necessitamos encontrar o ponto de ruptura da função lucro, ou seja, aquele no qual a função lucro é igual à 0, sendo assim, poderemos utilizar o valor do domínio em ambas as funções e conferirmos o ponto de equilíbrio de forma que, em ambas, a imagem deve ser a mesma. Após o ponto de equilíbrio, podemos afirmar que a diferença entre as funções Custos e Receitas, é o valor dos Lucros
  23. 23. 22 Recapitulando: O ponto de equilíbrio é o ponto onde as funções Receitas e Custos se satisfazem, sendo que, para o ponto do domínio em questão, possuem nas respectivas funções, uma mesma imagem, sendo esta imagem a referente ao ponto de ruptura da função lucro, que se dá pela mesma igualada à zero.
  24. 24. 23 4 IDENTIFICANDO OS CUSTOS Existem situações onde os custos não são apresentados de maneira explicita, sejam eles custos fixos ou variáveis. Vejamos o Exemplo abaixo: O preço de custo de mini tubérculos de batata-semente hidropônica varia com a quantidade “q” de unidades produzidas. Assim, se nossa empresa produzir 10.000 peças, o custo de produção será $ 200.000,00 e se ela produzir 24.000 peças, o custo será de $ 368.000,00. Porém, nossa empresa possui custos fixos e variados, pois precisamos pagar o aluguel do galpão onde trabalhamos e o leasing de algumas das máquinas além da matéria prima para a produção. Quais os custos fixos e variáveis de nossa produção? Nesta situação, não podemos, de imediato, identificar quais são os custos de produção, porém, com a ajuda da matemática, poderemos criar uma função que represente os custos, onde tanto os custos fixos, quanto os variáveis, serão devidamente fixados. Para tal, comecemos os cálculos! Primeiramente, o texto traz uma informação muito importante, a informação sobre os custos totais, ou seja, ele nos diz que, se produzirem 10.000 peças, o custo será de $ 200.000,00 e se produzirem 24.000 peças, o custo será de $ 368.000. Podemos admitir que: C(q) = custos totais → C(q) = Cvar + Cfix → C(q) = c.q + Cfix Os custos totais são a soma dos custos fixos e variáveis, e os custos variáveis são aqueles que dependem da produção “q”, ou seja, há um valor fixo para cada unidade produzida Encontrando o custo de produção do problema Segundo o problema apresentado no exemplo acima, temos um custo total para certa quantidade de produção, porém, possuiremos então em nossa função duas incógnitas:
  25. 25. 24 C(q) = c.q + Cfix -Para a produção de q = 10000 teremos C = 200000, substituindo na função: 200000 = 10000c + Cix -Para a produção de q = 24000 teremos C = 368000, substituindo na função: 368000 = 24000c + Cfix Com estas duas funções, podemos aplicar uma operação matemática conhecida como sistema de equações, onde a idéia é eliminarmos uma incógnita das equações para podermos identificar o valor da outra. Portanto, mãos à obra! Se transformarmos uma das funções acima numa função negativa, multiplicando-a por -1, o que alteraria seu sinal porém manteria seus números intactos, poderemos então subtraí-la da outra função Veja como faremos isso: 200000 = 10000c + Cfix 368000 = 24000c + Cfix Note que em ambas as funções existe uma incógnita em comum, “Cfix”, sendo assim, poderemos eliminá-la das funções multiplicando uma delas por -1 e subtraindoa da função que permanecer positiva: 200000 = 10000c + Cfix -200000 = -10000c - Cfix (-1) → 368000 = 24000c+ Cfix 368000 = 24000c + Cfix
  26. 26. 25 -Se subtrairmos uma função da outra teremos a função: 168000 = 14000c Note que eliminamos a incógnita Cfix. Isto foi possível porque subtraímos uma função da outra, e, em uma delas, esta incógnita possuía um sinal positivo, já na outra, um sinal negativo, sendo assim, seu valor tornou-se 0, e 0 adicionado a um outro número, é inexpressivo. -Agora poderemos encontrar o valor da incógnita “c”, que na verdade é a constante do custo variável: 168000 = 14000c → 14000c = 168000 → c = ଵ଺଼଴଴଴ ଵସ଴଴଴ → c = 12 -Agora que conhecemos o valor da constante c, que é 12, poderemos substituir em qualquer uma das duas funções e encontrarmos o valor da outra incógnita, Cfix, que também é uma constante na função: Tomemos para o cálculo a função 368000 = 24000c + Cfix Substituindo o valor de “c” 368000 = 24000.12 + Cfix → -Cfix = 288000 – 368000 → -Cfix = -80000 → Cfix = ି଼଴଴଴଴ ିଵ → Cfix = 80000 -Com estes cálculos simples, conseguimos identificar as duas incógnitas, que na verdade eram constantes, de nossa função custo que é: C(q) = 12q + 80000
  27. 27. 26 Dica: Para verificarmos a exatidão de nossos cálculos, podemos utilizar uma das quantias as quais sabemos o valor do custo, substituindo a quantidade na função custo. Veja: q = 10000 C(q) = 12.10000 + 80000 → C(q) = 120000 + 80000 → C(q) = 200000 Note que o resultado da função custo para uma quantidade de 10000 foi de $ 200.000,00, como citado no problema, portanto, podemos afirmar que a função custo que se encaixa a este problema é a: C(q) = 12q + 80000 4.1 FUNÇÃO RECEITA E PONTO DE EQUILÍBRIO Ainda levando em consideração o exemplo utilizado na demonstração anterior, suponhamos que a receita por unidade ‘q’ vendida seja de $ 17,00. Qual será o ponto de equilíbrio? -Retomemos os exemplos anteriores, onde comprovamos que o ponto de equilíbrio entre as funções receita e custos é o ponto de ruptura da função lucro, sendo assim, para encontrarmos o nosso ponto de equilíbrio, primeiro deveremos encontrar a função lucro.
  28. 28. 27 Lembremos que: A função Custo é : - C(q) = 12q + 80000 A função receita é a relação entre o valor a ser vendido e a quantidade vendida, ou seja, se afirmamos que cada unidade que vendemos é transacionada a um valor de $ 17,00 então nossa função receita será este valor fixado por cada unidade vendida. Poderemos então representar matematicamente esta situação pela equação: - R(q) = 17q Sendo assim, podemos representar então nossa função lucro: - L(q) = R(q) – C(q) → L(q) = 17q – (12q + 80000) → L(q) = 17q – 12q - 80000→ L(q) = 5q – 80000 Agora que já possuímos a equação Lucro, igualemo-na à zero e então possuiremos o ponto de ruptura: - L(q) = 5q – 80000 → 5q – 80000 = 0 → 5q = 80000 → q = ଼଴଴଴଴ ହ → q = 16000 Com estes cálculos, pudemos encontrar o ponto de ruptura da função lucro, sendo assim, resta-nos empregá-lo nas funções Custo e Receita e compararmos os resultados, se forem iguáis, este será o ponto de equilíbrio: R(16000) = 17.16000 → R(16000) = 272000 C(16000) = 12,16000 + 80000 → C(16000) = 272000
  29. 29. 28 - Sendo iguais os resultados em ambas as funções, este é nosso ponto de equilíbrio. Veja o Gráfico: Lembrando: - A partir do ponto de equilíbrio, a diferença entre as curvas geradas pela função Custos e a função Receita é igual aos lucros.
  30. 30. 29 5 TOMADA DE DECISÃO Neste exemplo empregaremos os cálculos de lucros para a tomada de decisão. Veja o exemplo abaixo: Para custear seus estudos um estudante resolve vender caixas de damasco. Se trabalhar para o proprietário de uma quitanda, ele receberá fixo por dia R$ 5,00 até cumprir uma meta de 20 caixas diárias vendidas. A partir da 21ª caixa, o patrão lhe pagará R$ 0,70 por cada caixa vendida acima da meta. Por outro lado, ele sabe que pode comprar direto do produtor cada caixa de damascos e vendê-las, descontados os impostos, com lucro de R$ 0,50, revertido exclusivamente para ele. Qual é a melhor situação para o estudante ser proprietário de seu negócio e de ser empregado? Temos uma questão de tomada de decisão direta, agora teremos que analisar a situação antes de agir, primeiramente, devemos notar os lucros que o estudante possuiria em ambos os casos, para tal, devemos equacioná-los. -Empregado: Neste caso ele possui uma renda fixa diária de R$ 5,00 antes de atingir a meta de 20 caixas de damascos, ou seja, vendendo ou não o produto, esta é uma renda certa, após cumprir a meta, terá uma comissão de R$ 0,70 por caixa - Autônomo: Neste caso, seu lucro por caixa vendida é de R$ 0,50 Para qual situação é mais propício ser autônomo e para qual é melhor ser empregado?
  31. 31. 30 A chave para a solução do problema é o ponto de equilíbrio entre os lucros, podemos equacionar as duas situações: - Empregado Para menos de 20 caixas seu lucro é fixo, ou seja, L = 5 Para mais de 20 caixas seu lucro é de R$ 0,70 por caixa. Para equacionarmos esta situação, teremos de usar um pouco de lógica: Se o estudante vender 20 caixas, ainda não possuirá esta “renda premio”, sua comissão. Somente à partir da 21ª caixa, ela existe, então, somente a partir deste ponto. Porém, o valor de R$ 5,00 será fixo, ou seja, se ele vender uma quantidade “q’ de caixas de damasco sendo que esta é maior do que 20, sua renda será de R$ 0.70 mais os R$ 5,00 que já lhe eram garantidos. Podemos então criar a equação: R = 0.7(q – 20) + 5 Pois só existirá esta renda quando o valor de “q” for maior que 20, porém, é válido lembrar que, para este caso, pode haver uma delimitação do domínio da função onde teríamos a seguinte função: R = 0,7q +5 D ={ q E R/ q >20} - Autônomo Neste caso, independente da quantidade “q”, sua renda é de R$ 0,50 por unidade, então a função q se encaixa é: L = 0,5q Tomando a decisão
  32. 32. 31 Para sabermos qual é a melhor situação para o estudante, devemos encontrar o ponto de equilíbrio das funções, porém, veja primeiro o gráfico abaixo. Note que as funções se cruzam 2 vezes, isso nos diz que não existe apenas 1 ponto de equilíbrio, mas sim 2 pontos. Para podermos encontrar estes pontos, observe também que as funções se cruzam em situações diferentes, sendo uma antes da comissão - como autônomo pois a curva em questão é uma constante - e a outra, com a comissão. Para encontrarmos os pontos de equilíbrio, podemos adotar a forma de resolução empregada nos exemplos anteriores, com o ponto de ruptura. Porém, não encontraremos agora uma fórmula de lucros, pois este não é nosso objetivo, mas sim, a diferença entre as funções, portanto, calculemos.
  33. 33. 32 Primeiramente, calculemos o ponto de equilíbrio para as vendas até 20 caixas, onde temos as funções: - Empregado: R= 5 - Autônomo: R = 0,5q - Utilizando o sistema de funções: R = 5 (-1) R = -5 → R = 0,5q → R = 0,5q - 5 R = 0,5q - Igualamos o valor da renda à 0: R = 0,5q – 5 → 0,5q – 5 = 0 → 0,5q = 5 → q = ହ ଴,ହ → q = 10 Agora sabemos que para “q” < =20, o ponto de equilíbrio entre as funções é q = 10. Para confirmarmos estes cálculos, substituamos em ambas as funções o valor de “q” R = 5, para esta função não há o que substituir, pois é uma constante R = 0,5.5 → R = 5 Agora, temos a confirmação do nosso ponto de equilíbrio, que chamaremos de Equilíbrio 1
  34. 34. 33 Façamos o mesmo para o ponto de equilíbrio com q >20 - Empregado: R = 0,7(q-20) + 5 - Autônomo: R = 0,5q - Aplicando o sistema Desta vez, apresentaremos uma outra forma de aplicar-se sistema de funções, o que pode tornar mais fácil a compreensão da resolução do problema, apenas igualaremos as funções. Observe: 0,7(q – 20) + 5 = 0.5q→ 0,7q – 14 +5 = 0,5q → 0,7q – 9 = 0,5q → 0,7q – 0,5q = 9 → 0,2q = 9 → q = ଽ ଴,ଶ → q = 45 Encontrado o ponto de equilíbrio, apliquemo-lo às funções para validá-lo: R = 0,7(45 – 20) + 5 → R = 0,7.25 + 5 → R = 22,5 R = 0,5.45 → R = 22,5 Validado o ponto, então teremos o nosso novo ponto de equilíbrio, o qual chamaremos Equilíbrio 2 Agora, visualizamos o gráfico novamente:
  35. 35. 34 Agora podemos notar quais são os pontos de equilíbrio do problema, e notando a diferença nas curvas de empregado e autônomo, podemos perceber até que ponto vale a pena ele ser empregado e autônomo Analisando os dados e chegando à uma conclusão Podemos ver no gráfico, a diferença entre as curvas, podemos nos orientar por ela para tomarmos a decisão, ou seja, até onde vale a pena continuar trabalhando como empregado e a partir de onde vale a pena começar o próprio negócio. Note que, no gráfico, a partir de 0, a renda como empregado é maior que a renda como autônomo, mas só até a ponto de vender 10 caixas de damasco, onde a renda como autônomo é superior, o que deixa de ser verdade a partir da venda de 45 caixas, onde a renda como empregado, torna a ser maior. Portanto, podemos afirmar que,:
  36. 36. 35 -para vender até 10 caixas, vale à pena ser um empregado; -para vender acima de 10 caixas, porém, abaixo de 45, vale à pena ser um empreendedor; -porém, para superar a margem de 45 caixas, é muito melhor ser um empregado, pois a renda é superior a do empreendedor.
  37. 37. 36 6 PROBLEMA DE APLICAÇÃO Neste exemplo, demonstraremos o gráfico de uma produção e você deverá encontrar a função lucro, o que lhe dará o ponto de ruptura. Os custos totais de produção da nossa empresa de rações são mostrados no gráfico a seguir, juntamente com a receita total. $ R eceita c ustos 0 40 2 kg de ração Solução; Para resolvermos este problema, primeiramente temos de definir quais funções geraram as curvas da receita e dos custos. Para tal, utilizaremos a derivada destas curvas. Como são “retas”, podemos deduzir que as equações são de 1º grau, ou seja, sua fórmula é : Y = ax +b
  38. 38. 37 Onde: - x é a variável, o nosso caso, Kg de ração; - b é a constante, que pode tanto ser definida como o ponto onde a curva intersecciona o eixo das ordenadas como o valor obtido pela adoção de x = 0 - a é o coeficiente angular da reta, ou seja, sua derivada, a taxa de variação instantânea da curva - Y é preço de produção e o valor da renda, para as respectivas curvas 6.1 CURVA DOS CUSTOS Podemos agora encontrar a função que gerou esta curva. Primeiramente, vamos calcular o valor de a, para tal, utilizaremos a derivada da curva: ௱௒ a = ௱௫ → a = ௬௙ି௬௜ ௫௙ି௫௜ →a= ଼଴ି଺଴ ସ଴ି଴ ଶ଴ → a = ସ଴ → a = 0,5 Em seguida, encontraremos o valor de “b”, para tal, selecionaremos valores de x e Y que estejam evidentes no gráfico para substituirmos, em nosso caso, optamos pelos valores de Y = 80 e x = 40 Y = ax + b → 80 = 0,5.40 + b → b + 20 = 80 → b = 80 – 20 → b = 40 Sendo determinadas as constantes, podemos formar a função que deu origem à curva: Y = 0,5x + 40 Habilitando à ao problema, teremos:
  39. 39. 38 C(kg) 0,5kg + 40 Curva da receita Para a curva da receita, utilizaremos a mesma técnica de resolução: -a= ௱௒ ௱௫ →a= ௬௙ି௬௜ ௫௙ି௫௜ →a= ଼଴ି଴ ଷଶି଴ → a = 2,5 Em seguida, encontraremos o valor de “b”, para tal, selecionaremos valores de x e Y que estejam evidentes no gráfico para substituirmos, em nosso caso, optamos pelos valores de Y = 80 e x = 32 - Y = ax + b → 80 = 2,5.32 + b → 80 + b = 80 → b = 80 – 80 → b = 0 Sendo determinadas as constantes, podemos formar a função que deu origem à curva: Y = 2,5x Habilitando à ao problema, teremos: R(kg) = 2,5 kg 6.2 FUNÇÃO LUCRO Para formularmos a função Lucro, devemos lembrar que, lucro é igual à receita menos despesas portanto: L = R(kg) – C(kg) → L = 2,5kg – (0,5kg + 40) → L = 2,5kg – 0,5kg – 40 →
  40. 40. 39 L = 2kg – 40 Determinada a função Lucro, igualamo-la a zero e então encontraremos o ponto de ruptura, conseqüentemente, o ponto de equilíbrio entre as curvas dos custos e da receita: L = 2kg – 40 → 2kg – 40 = 0 → 2kg = 40 → kg = ସ଴ ଶ → kg = 20 Sabemos que nosso ponto de ruptura é em kg = 20, agora, para validá-lo como ponto de equilíbrio entre as funções, coloquemo-lo nas respectivas funções. R(kg) = 2,5kg → R(kg) = 2,5.20 → R(kg) =50 C(kg) = 0,5kg + 40 → C(kg) = 0,5.20 + 40 → C(kg) = 10 + 40 → C(kg) = 50 Veja agora no gráfico:
  41. 41. 40
  42. 42. 41 7 PROGRAMAÇÃO LINEAR (P.L.) A programação linear é a área mais utilizada em P.O. Ela surgiu na 2ª Guerra Mundial com o intuito de otimizar soluções de problemas que possam ser modelados matematicamente. 7.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO: Desejamos otimizar o lucro pela utilização de duas opções de cultura: milho e trigo. As restrições referem-se ao espaço utilizado sendo que as partes de milho e trigo não podem ultrapassar a dimensão disponível para o plantio que é de 200 ha. Sabe-se que cada hectare de milho consome R$1.000,00 com gastos de preparação de terreno e 20 homens/horas de utilização de mão de obra. Já o trigo consome R$ 1.200,00 para o preparo e exige 30 homens/horas como mão de obra. Está disponível um total de R$ 240.000,00 para o plantio e manejo e um total de 5040 homens/horas para mão de obra. Por fim, o lucro esperado é de R$ 600,00 por hectare de milho e R$ 850,00 por hectare de trigo. Solução: Para começarmos a resolver este problema, devemos primeiro identificar qual seu objetivo: Segundo o texto, o objetivo do problema é otimizar o lucro, ou seja, maximizálo Em P.L., possuímos variáveis de decisão, como o que produzir, assim como e descrito no texto, por tanto, nossas variáveis de decisão para o problema serão o Milho e o Trigo. Para efeito de equacionamento, delimitaremos as incógnitas do trigo e do milho por T e M respectivamente. Adotaremos uma equação chamada “função objetivo”, que representa o que estamos procurando, no nosso caso, é a maximização dos lucros. Portanto, nossa
  43. 43. 42 função objetivo será uma função lucro, devemos lembrar que nossa produção é de trigo e milho, então os lucros só podem ser provenientes daí, ou seja, nosso lucro é obtido da função gerada pela soma das receitas líquidas geradas de ambas as opções, o que pode ser traduzido pela função: L = 600M + 850T Já que o texto nos diz que, é esperado para cada hectare de milho um lucro de R$ 600,00 e para cada hectare de trigo um lucro de R$ 850,00, a cada hectare de ambos os produtos que aumentarmos, teremos um lucro potencializado proporcionalmente, sendo assim, podemos afirmar que estes valores são constantes dentro de nosso problema, sendo as variáveis a quantia de hectares dedicados as respectivas culturas 7.2 VARIÁVEIS DE RESTRIÇÃO Podemos notar que o texto nos expressa que não temos todo o espaço do mundo, nem todo o dinheiro do mundo tão quanto temo toda a mão-de-obra do mundo para nosso empreendimento. Portanto, temos alguma restrições, sendo estas citadas no problema, são essas: - Espaço - Mão de obra - Recursos financeiros A tabela a seguir demonstra os recursos disponíveis e a necessidade que cada cultura demonstra por estes recursos por hectare
  44. 44. 43 Milho Trigo Máximo disponível Homens/Hora 20 30 5040 Área 1 1 200 ha Gastos 1000 1200 240000 Sendo essa a nossa realidade, podemos equacionar o que podemos ou não fazer, de modo a restringirmos nossas ações dentro da realidade: Portanto Na situação de área, podemos encontrar a inequação: M + T ≤ 200 Na situação de gastos, cabe a inequação: 1000M + 1200T ≤ 240000 E para a situação de mão de obra, a inequação: 20M + 30T ≤ 5040 Estamos trabalhando com a realidade, portanto, ao há como produzirmos um número negativo de produtos, portanto, devemos gerar inequações de não negatividade: M≥0 T≥0
  45. 45. 44 7.3 SOLUÇÃO ÓTIMA Para encontrarmos a solução ótima, faremos uso da região simplex, tal como descrito abaixo: - Primeiramente, devemos encontrar as coordenadas, em eixos cartesianos, das inequações de restrição: 1ª inequação Para encontrarmos os pontos cartesianos, primeiramente transformamos estas inequações em equações, depois, isolamos uma das incógnitas, em seguida, adotamos o valor de uma delas como sendo 0, assim como no exemplo abaixo: M + T ≤ 200 → M + T = 200 → M = 200 – T → M = 200 – 0 → M = 200 M = 200 – T → 0 = 200 – T → T = 200 Para a segunda inequação, faremos o mesmo processo, note que, após chegarmos ao cálculo em azul, utilizamos o mesmo para identificar as duas coordenadas, este processo deve ser mantido. 2ª Inequação: 1000M + 1200T ≤ 240000 → 1000M + 1200T = 240000 → 1000M = 240000 – 1200T → M = ଶସ଴଴଴଴ିଵଶ଴଴் ଵ଴଴଴ → M = 240 – 1,2T → M = 240 – 1,2.0 → M = 240 M = 240 – 1,2T → 0 = 240 – 1,2T → 1,2T = 240 → T = ଶସ଴ ଵ,ଶ → T = 200
  46. 46. 45 3ª Inequação 20M + 30T ≤ 5040 → 20M + 30T = 5040 → 20M = 5040 – 30T → M = ହ଴ସ଴ିଷ଴் ଶ଴ → M = 252 – 1,5T → M = 252 – 1,5.0 → M = 252 M = 252 – 1,5T → 0 = 252 – 1,5T → 1,5T = 252 → T = ଶହଶ ଵ,ହ → T = 168 Após encontradas todas as coordenadas, devemos traçar um gráfico onde estas coordenadas tem relação aos eixos, afinal, igualamos sempre uma das incógnitas a zero, ou seja, seu valor como imagem da outra incógnita era zero. Veja o gráfico abaixo:
  47. 47. 46 7.4 REGIÃO SIMPLEX A região simplex e a região onde as possibilidades são reais, nesta região, qualquer emprego das culturas seria admissível. Ela se encontra abaixo de todas as curvas, os pontos prováveis de otimização se encontram nos cruzamentos das curvas e nos cruzamentos com os eixos, veja no gráfico abaixo Estes pontos representam coordenadas, mas além disso, representam quantidades de produção, agora, devemos descobrir quais são as coordenadas que estes pontos representam, para tal, devemos identificar as intersecções entre funções que estes pontos representam, após identificadas, devemos descobrir qual o valor destas coordenadas, veja o exemplo de resolução a seguir: Ponto 1: Cruzamento entre as inequações 1 e 3
  48. 48. 47 Para encontrarmos as coordenadas deste ponto, utilizaremos o sistema de funções, o mesmo que já utilizamos para identificar o ponto de equilíbrio para os custos e receitas. Veja: Inequação 1: M + T ≤ 200 Inequação 3: 20M + 30T ≤ 5040 Para iniciarmos a resolução, devemos aplicar um sistema de modo a eliminar uma das incógnitas. Observe: 20M + 30T ≤ 5040 20M + 30T ≤ 5040 → M + T ≤ 200 (-20) → 10T ≤ 1040 -20M – 20T ≤ -4000 O segundo passo é transformarmos esta inequação em uma equação e encontrarmos sua raiz: 10T ≤ 1040 → 10T = 1040 → T = ଵ଴ସ଴ ଵ଴ → T = 104 Agora que encontramos o valor de T, se o substituirmos numa das funções, poderemos encontrar o valor de M: M + T ≤ 200 → M + T = 200 → M + 104= 200 → M = 200 – 104 → M = 96 Nosso objetivo com este problema é maximizar os lucros, portanto, devemos empregar estes resultados na função objetivo, que é a função lucro. Observe: L = 600M + 850T → L = 600.96 + 850 . 104 → L = 146000
  49. 49. 48 Com a produção de 96 hectares de milho e 104 hectares de trigo, possuiremos um lucro de R$ 146.000,00. Testemos agora os outros pontos identificados na região simplex Ponto 2 T = 168 M=0 Neste caso, como é um ponto no eixo, é óbvio que o valor da outra coordenada que não seja a que nomeia o eixo seja zero, portanto, dispensa cálculos. Empreguemos então os valores das coordenadas na função lucro: L = 600M + 850T → L = 0.600 + 168.850 → L = 142800 Com a produção de apenas 168 hectares de trigo, nosso lucro será de R$ 168.000,00 Ponto 3 Mais uma vez, um ponto no eixo. Observe: T=0 M = 200 Substituindo na função lucro: L = 600M + 850T → L = 600.200 = 850.0 → L =120000
  50. 50. 49 Produzindo apenas 200 hectares de milho, obteremos um lucro de R$ 120.000,00 Portanto, analisando as possibilidades de produção na qual o desempenho seria o melhor, ou seja, os pontos obtidos na região simplex, podemos afirmar que o melhor consórcio de produção será o de 96 hectares de milho e 104 hectares de trigo, onde obteremos um lucro de R$ 146.000,00.
  51. 51. 50 8 LINDO O programa LINDO é um software criado para solucionar problemas de programação linear. Ele é capaz de resolvê-los eliminando os cálculos e, em conseqüência, poupando tempo. Utilizaremos agora este programa para resolver o seguinte problema: Problema da formulação de uma ração ideal a custo mínimo. Sabe-se que um determinado animal de grande porte necessita diariamente de no mínimo 140 mg de vitamina tipo 1, 190 mg de vitamina tipo 2 e 80 mg de vitamina tipo 3. Serão misturados dois tipos de alimentos, A e B, para compor a ração do animal. O custo do quilograma do alimento A é de R$5,00 e o custo do quilograma do alimento B, R$4,00. Sabemos que cada kg do produto A contém 2 mg de vitamina tipo 1, 5 mg de vitamina tipo 2 e nenhuma mg do tipo 3. Além disso, o composto B contém 2 mg de vitamina tipo 1, 1 mg de vitamina tipo 2 e 4 mg de vitamina tipo 3. Vamos procurar encontrar qual a composição ideal de alimentos A e B de forma que sejam satisfeitas as necessidades mínimas do animal em questão e que o custo de produção seja o menor possível. O programa LINDO é um programa que segue uma linguagem de programação, diferentemente das maravilhosas interfaces que podemos encontrar na maioria dos programas da atualidade. Apesar disso, ele não deixou de ser um poderoso aliado na programação linear. Por tanto, devemos dizer ao programa tudo o que ele deve fazer. - Tudo o que é escrito no programa é compreendido como uma variável do problema, a não ser que esteja entre pontos de exclamações, então as frases, títulos, ou qualquer outras coisas digitadas serão apenas compreendidas como um texto ilustrativo. Como no exemplo acima, devemos primeiramente dizer ao programa o que queremos daquele problema, para tal, devemos encontrar a função objetivo, as variáveis de restrição e descrevermo-las em linguagem de programação.
  52. 52. 51 O problema nos diz que desejamos minimizar os custos, portanto, devemos identificar quais os custos empregados e sobre o que são empregados e, colocarmos na linguagem de interpretação do programa. Sabemos que há um custo a compra do alimento A, e outro na compra do alimento B, portanto, como na função objetivo citada no problema de programação liear anterior, devemos criar a função objetivo, que no caso, para a interpretação do programa, deve ser colocada no algoritmo da seguinte forma: MIN5A+4B Efetuada esta parte do algoritmo, deveos então definir as variáveis de restrição, segundo o texto elas são: A B Mínimo Necessário Vitamina 1 2 2 140mg Vitamina 2 5 1 190mg Vitamina 3 0 4 80mg Note que agora queremos encontrar o mínimo necessário, para tanto, deveremos alterar as inequações de restrição, portanto serão elas: 2A + 2B ≥ 140 5A +1B ≥ 190 4B ≥ 80 - é necessário demonstrar ao programa as restrições presentes no problema. Seguindo nosso exemplo, devemos digitar, em linhas separadas, as restrições, assim como é descrito no algoritmo abaixo:
  53. 53. 52 Subject to 2A+2B>=140 5A+1.1B>=190 4B>=80 A frase Subject to (sujeito à) indica a restrição do problema à realidade apresentada pela situação. Nesta sessão, também devemos colocar as inequações de não negatividade: B>=0 A>=0 - Após inseridas todas as informações no programa, devemos “informá-lo” que já pode tomar sua decisão, para tal, sinalizamos na linguagem de programação o fim com a palavra END, com isso, teremos então o seguinte algoritmo: !QUALQUER COISA QUE VOCÊ QUEIRA ESCREVER QUE NÃO TENHA UM VALOR A SER CALCULADO! MIN 5A+4B SUBJECT TO 2A+2B>=140 5A+1.1B>=190 4B>=80 B>=0 A>=0 END
  54. 54. 53 Finalizando o algoritmo, podemos pedir para que o programa calcule a solução ótima clicando no alvo que é descrito na imagem abaixo Após clicarmos, o programa nos fornecerá um relatório, em inglês, com os resultados para a programação linear, como é demonstrado abaixo LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE 310.0000 VALUE REDUCED COST A 30.000000 0.000000 B 40.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -1.875000 3) 0.000000 -0.250000 4) 80.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2
  55. 55. 54 Teremos no relatório as seguintes informações importantes: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2: Significa que o algoritmo simplex utilizado pelo programa encontrou a solução com dois passos (vértice) OBJECTIVE FUNCTION VALUE: Indica que o valor ótimo da função objetivo, neste caso, é de 310.000 VARIABLE VALUE E REDUCET COST: Temos uma tabela que apresenta os valores ótimos das variáveis básicas. Portanto A = 30 e B = 40. A coluna REDUCED COST é o custo reduzido, quando ela apresenta dados diferentes de 0 significa o quanto que a variável correspondente deveria ser aumentado para sua solução seja diferente de zero. Neste caso, como A e B são diferentes de zero a coluna REDUCED COST aparece nula. ROW SLACK OR SURPLUS E DUAL: ROW são as linhas, SLACK é a folga, significa o limite da restrição. No caso de SLACK = 80 mostra que a restrição da equação 4b>=80 tem folga de 80 na vitamina 3. DUAL PRICE = -1.875 representa o aumento da função objetiva (lucro) se aumentar em 1 no limite das restrições (no caso -1.875, quer dizer que diminui para cada 1 que aumentar.
  56. 56. 55 9 AJUSTAMENTO DE CURVAS. Utilizado para projeções em cima de dados anteriores, o ajustamento de curvas é muito utilizado na tomada de decisão, justamente por poder “prever” uma situação muito próxima à realidade. Exemplo: Um determinado hedger, ao ser contratado por um produtor de soja deve fazer uma previsão para os valores, no mercado futuro, do derivativo. Sendo assim, ele decide coletar dados no site da bolsa de valores. Os dados que este hedger conseguiu foram em intervalos de semanas, porém, ele não pode obter dados de toas as semanas, sendo assim, em alguns casos ele teve de utilizar dados diários, portanto, ele admitiu que uma semana possuiria o valor absoluto de 1 e, um dia, o valor aproximado de 0.142857143. O hedger determinou a semana na qual foi contratado como a semana 0, e pesquisou o mercado por mais 8 semanas, os resultados obtidos por esta pesquisa foram: Semana Oscilação -2 54 -1 0 -0,2 -1,38 0 0 0,5 2,44 1 0 3 -96 4 -180 6,5 -134,06 8 504 Qual será a projeção de preços para o derivativo de soja:
  57. 57. 56 Resolução: A intenção deste problema é saber quais serão os valores do derivativo, para optarmos pelo melhor dia de fazer o hedge, podemos obter estes valores, mesmo que aproximados, por um ajuste da curva gerada através dos pontos que são as semanas pesquisadas em relação às oscilações analisadas nas mesmas. O método que utilizaremos para fazer o ajuste desta curva será o oferecido pelo programa Graph 4.3, seguindo os procedimentos citados a baixo: Para tanto, temos alguns procedimentos à cumprir, a questão é que temos dados referentes a tempo e a valores de oscilação, ou seja, temos dados de ordem cronológica. A primeira coisa à ser feita e determinarmos qual dos valores assumirá os eixos x e y do programa. Para nosso problema, determinamos os dados de ordem cronológica para o eixo x, e os dados das oscilações para o eixo y. Agora, deveremos colocar os dados na opção “série de pontos”, que se encontra no ícone citado na imagem abaixo: Após selecionada a opção, surgirá uma tabela com as indicações x e y. Nesta tabela devemos inserir os dados como domínio e imagem, ou seja, definir para qual dia do eixo x há o determinado valor de oscilação no eixo y:
  58. 58. 57 Após selecionados os respectivos domínio e imagem, podemos confirmar a série de pontos, o resultado será o surgimento de pontos no gráfico. Ajuste os valores dos eixos para melhor se adaptarem a visualização do gráfico:
  59. 59. 58 Opção de ajuste dos eixos: Para acessar esta opção é necessário somente clicar duas vezes sobre a opção eixos:
  60. 60. 59
  61. 61. 60 Após ajustados os eixos, a série de pontos poderá ser melhor visualizada: Depois de inserida a série de pontos, deveremos ajustar a curva na opção “ajuste de curvas”: Obs: Para esta opção ser acessível, é necessário destacar a série de pontos sobre a qual se deseja realizar um ajuste, clicando sobre ela no menu do lada esquerdo da interface do programa.
  62. 62. 61 Após selecionar a opção, um menu de opções de ajuste surgirá: Agora você precisará de um pouco de paciência, pois terá de testar as curvas disponíveis para descobrir qual delas melhor se encaixa.
  63. 63. 62 Selecionando uma curva, uma função respectiva a ela surgirá também, junto desta função haverá uma letra “R” Este “R” é o ponto culminante para o ajustamento, é ele quem indica o desvio da curva em relação aos pontos. Para que a curva seja o mais fiel a série possível, é imprescindível que o valor do “R” seja igual à 1. Observe o ajustamento feito com uma função polinomial de 4º grau sobre a série de pontos: Olhando mais de perto, vejamos o valor de “R”:
  64. 64. 63 Temos um ajustamento fiel à série de pontos originais, sendo assim, este pode ser utilizado pelo nosso hedger em sua projeção. Segundo o programa, a função que gerou este ajustamento foi: f(x)= 1.0000015x^4-6.9999684x^3- 1.0002437x^2+7.0000612x+0.0011301744 (onde x^n é o mesmo que x elevado à n) 9.1 PONTOS DE MÁXIMO E MÍNIMO LOCAIS Muitas vezes é necessário sabermos quais são os máximos e mínimos presentes numa função num determinado domínio. Sendo assim, veja o exemplo abaixo: No espaço de tempo que o hedger estava procurando o melhor dia para transacionar sua soja, um especulador decidiu ganhar dinheiro no mercado através de transações de Day trade, quais foram os melhores dias para a compra e para a venda do derivativo nesse espaço de tempo. Comprar na alta e vender na baixa, agora necessitamos dos pontos onde seria melhor a compra, ou seja, os pontos de mínimo, o os pontos onde seria melhor a venda do derivativo, para tal, podemos fazer um cálculo de derivada da função a qual gerou a curva. Para efeito de cálculos e demonstrações, faremos alguns arredondamentos na função original, tornando assim mais fácil a compreensão da solução. Portanto, adotaremos para efeito de cálculo a função geradora da curva como: f(x) = x^4 – 7x^3 – x^2 + 7x (onde x^n é o mesmo que x elevado à n)
  65. 65. 64 Sua derivada então será: f(‘x) = 4x^3 – 21x^2 – 2x + 7 Que nos dará a seguinte curva: Sendo seus pontos de máximo e mínimo locais definidos com muitas casas decimais, arredondar-nos-emos a apenas 2 casas, as quais seriam aproximadamente: Máximo: x = -3,59 Mínimo: x = 0,70 O que nos proporcionaria uma imagem aproximada, colocando-os na função original de:
  66. 66. 65 Máximo: f(x) = 451,96 em oscilação Mínimo: f(x) = 2,25 em oscilação Note que, devido ao arredondamento dos valores, nosso gráfico ficou totalmente inadequado à realidade, ou seja, os pontos de máximo e mínimo diferenciam-se muito da realidade dos dados. Portanto, a solução mais viável é utilizar a função “calc’ do programa graph e, já que afirmamos a existência de pontos de máximo e mínimo com muitas casas decimais, procuremos o mais próximo possível de um resultado de derivada de imagem 0. Para isso, necessitaremos agir intuitivamente, observando domínio e imagem da função gerada pelo ajuste das curvas e, inferindo valores do domínio para tentarmos chegar o mais próximo do valor zero da derivada. Primeiramente, devemos destacar a função que gerou o ajuste de curva no programa clicando sobre ela, em seguida, identificar a opção “calc”: Destacando a função A opção “calc” se encontra no seguinte item da barra superior da interface do programa:
  67. 67. 66 Clicando neste ícone, aparecerá um novo menu onde a opção “cálculo” estará contida: Clicando na opção “cálculo”, na barra esquerda aparecerão alguns campos sendo eles: Valor de x: o qual você pode determinar Valor da imagem deste x determinado: automático Valor da derivada do x determinado: automático Valor da derivada segunda do x determinado: automático
  68. 68. 67 Infelizmente, apenas o valor da imagem pode ser determinado, o que dificulta nosso trabalho, portanto, a inferência de domínios, sendo os mesmos encontrados intuitivamente é imprescindível para a obtenção dos pontos mais próximos de máximo e mínimo locais. Por tanto, vamos inferir (Não se preocupe em errar e, não espere que isto seja rápido, podem existir inúmeras situações que nos aproximem do resultado, sendo que devemos testá-las até encontrar um resultado satisfatório ou, até acabar nossa paciência e decidir ficar co o mais próximo resultado, lembrando que nosso guia para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo é a derivada com imagem 0)!!! Observação: Levando em consideração esta técnica, note que é mais fácil de obtermos o ponto de mínimo local, porém, com a utilização da derivada, pudemos encontrar com mais facilidade o valor de um possível ponto de máximo, portanto, seria aconselhável que você testasse ambas as técnicas para um melhor desempenho na sua decisão final. Para está técnica de inferência, destacamos a aproximação de um ponto de mínimo onde : E seu gráfico é (note a curva da derivada):
  69. 69. 68 Veja que a inclinação da reta tangente, ou seja, da derivada, é próxima de 0, sendo assim, podemos deduzir que próximo a este ponto do domínio existe um outro ponto com infinitas casa decimais onde a reta tangente tem um coeficiente angular igual à zero, o que podemos considerar um ponto de mínimo.
  70. 70. 69 10 REDES PERT/CPM Adotaremos agora um exemplo prático da utilização das redes PERT/CPM 10.1 PROBLEMA DE APLICAÇÃO Três estudantes do curso de tecnologia em agronegócios, para poderem ser aprovados na matéria de Pesquisa Operacional, têm de fazer uma apostila contendo os principais temas abordados no curso que fora ministrado durante o semestre. Eles então se organizam em 14 tarefas cujas quais foram determinadas por letras, sendo elas as descritas na tabela a seguir: A Início da pesquisa divisão das tarefas B Direcionamento dos temas a pesquisar C Pesquisa história da PO D Pesquisa custos E Pesquisa receitas F Pesquisa bibliográfica G Pesquisa programação linear H Pesquisa ajuste de curvas I Síntese da bibliografia J Síntese das pesquisas realizadas K Redação da apostila L Redação dos sumários e referências M Correção dos estudos promovidos N Impressão e entrega da apostila A decorrência das atividades será na seguinte ordem de eventos:
  71. 71. 70 EVENTOS ANTERIOR DECORRENTES SUCESSOR A B,C A B D, E A C F B D G B E H C F I D G J E H M F I K, L G J M I K N I L N H,J M N K, L, M N
  72. 72. 71 Para esta pesquisa, foi determinado um tempo de decorrência citado na rede PERT/CPM abaixo: Qual será o caminho crítico deste grupo? 1 0.1 TEMPO CEDO, TEMPO TARDE, FOLGA E CAMINHO CRÍTICO 10.1.1 tempo cedo O tempo cedo é o tempo onde somamos o tempo de duração de uma atividade ao tempo de duração acumulado de suas antecessoras. As atividades na REDE PERT/CPM são as setas que apresentam os números, e os círculos que estas setas unem, são chamados de eventos, os eventos podem ser considerados o início das atividades, que culminam dentro da rede a um outro evento e, sucessivamente, a uma outra atividade até o termino do programa. Para calcularmos o tempo cedo, devemos somar o valor acumulado de tempo cedo da atividade anterior ao tempo necessário à atividade em decorrência, este valor deve ser marcado sobre o evento no qual a atividade se finda. Veja o exemplo:
  73. 73. 72 7 8 4 12 12+6=18 20 6 0 11 11+9=20 2 Observe que para o primeiro evento, o tempo cedo é igual a zero, isso porque não há nenhuma atividade antes desta, o tempo cedo deve ser calculado até o ultimo evento. Quando chegamos num ponto ode duas atividades culminam para o mesmo evento, o tempo cedo é calculado com o valor acumulado maior do evento anterior e o tempo da atividade, referente ao evento em uso, que culmina ao evento final: 10.1.2 Tempo tarde O tempo tarde é calculado na regressão ao final dos cálculos de tempo cedo, ou seja, ao chegar, ao chegar a última atividade, devemos retornar ao início das atividade, o primeiro evento. Quando chegamos numa bifurcação, assim como no tempo cedo, ficamos com o maior valor de tempo tarde. O tempo tarde é o contrário do tempo cedo, ao invés de somarmos o valor a próxima atividade a ser computada, subtraímos este valor, de modo que estamos voltando até chegarmos ao tempo tarde de zero na primeira atividade. O tempo tarde deve iniciar-se na ultima atividade de modo a ser o primeiro tempo tarde o mesmo valor do último tempo cedo
  74. 74. 73 O tempo tarde segundo o método americano, deve ser marcado sobre o tempo cedo como na figura: ܶ݁݉‫݁݀ݎܽܶ ݋݌‬ ܶ݁݉‫݋݀݁ܿ ݋݌‬ ଵସ ଵଶ ଶ଴ ଶ଴ ଵଵ ଶଷ ଵଵ ଶଷ 10.1.3 Folga Como o próprio nome já diz, a folga é uma sobra, em nosso caso, uma sobra de tempo. Para encontrarmos as folgas, devemos subtrair o valor do tempo cedo, do
  75. 75. 74 valor do tempo tarde, de modo de que o resultado será o valor da folga. Nós demarcamos as folgas como na imagem abaixo: ்௘௠௣௢ ௧௔௥ௗ௘ ்௘௠௣௢ ஼௘ௗ௢ / Folga 10.2 CAMINHO CRÍTICO Caminho crítico é a sucessão de eventos onde não se possui folgas, ou seja, onde os tempos cedo e tarde são iguais. Este caminho também é conhecido como gargalo. O bom desenvolvimento destas atividades nos tempos estimados é fundamental para o sucesso do empreendimento. Agora, voltando a questão chave, qual é o caminho crítico dos nossos estudantes?
  76. 76. 75 Agora que já sabemos como calcular os tempos cedo e tarde e as folgas, podemos formular a rede dos eventos que estes estudantes terão para a criação de sua apostila, seguindo os passos supracitados, a rede de eventos destes alunos deverá ficar da seguinte forma: Sendo esta nossa rede, para definirmos o caminho crítico, é só analisarmos a sucessão de eventos, a partir do evento A, que não possuem folga. Portanto, o caminho crítico de nossos estudantes é: A, B, E, H, M e N
  77. 77. 76 10 CONSIDERAÇÕES FINAIS Como em todas as áreas que envolvem a tomada de decisão, a pesquisa operacional, no agronegócio, tem um papel fundamental como bússola do tecnólogo, seja ela aplicada na tomada de decisão de quanto empregar de certa cultura em sua área disponível, ou até mesmo do melhor momento calculável para a venda do seu derivativo agrícola, ela se demonstra uma ferramenta eficaz em sua função primordial, o embasamento na tomada de decisão.
  78. 78. 77 REFERÊNCIAS INSTITUTO DE DESENVOLVIMENTO GRENCIAL- Pesquisa Operacional: Definição- Disponível em: <www.indg.com.br/po/definicao.asp>. Acesso em 20 de jun, 2008. FUNDAÇÃO EDUCACIONAL DE CAETÉ – CPM- Disponível em: <www.caetenews.com.br/fec/cfp/mecanica/apostila_manut/cpm.html>. Acesso em 19 de jun, 2008.

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