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1. Capítulo Zero - Introdução
Sobre Lógicas e Álgebras
“Não exageraríamos se asseverássemos, como
A.N. Whitehead, que a lógica atual está para
a lógica aristotélica como a matemática
moderna está para a aritmética das tribos
primitivas”.
Newton C. A. da Costa
Na Folha de São Paulo
0.1.- A Lógica
A Lógica é uma ciência e, como toda ciência ela é fruto de um complexo processo de produção de
conhecimento. Os processos de produção de conhecimentos, de modo geral, possuem características
dinâmicas próprias e inerentes a cada área do saber. Estes processos − às vezes lentos, truncados, caóticos
ou erráticos, às vezes extremamente rápidos, incisivos e contínuos − possuem fortes componentes
históricas, políticas e sociais que, por sua vez, estão assentados na grande malha dos conhecimentos
humanos, até ali conservados como válidos.
O processo evolutivo da Lógica, como ciência, nada fica a dever ao quadro aqui apresentado.
Muitos filósofos antes de Aristóteles fizeram incursões em busca da definição e compreensão do que seria
a verdade, mas foi Aristóteles (384 a.C.-322 a.C.) − um filósofo grego discípulo de Platão, nascido em
Estagira, na Macedônia − quem elaborou o primeiro sistema completo de Lógica que se tem notícia.
No início do texto intitulado Analíticos, que é um dos vários textos que compõem o Órganon1
, ele
se propõe investigar a ciência da demonstração e do saber demonstrativo, ali considerada um instrumento
(“órganon”) para o pensamento correto e para a elaboração da verdadeira ciência. No entanto, não coube
a ele a atribuição de um nome específico a esta ciência que, somente mais tarde, será adotado: Lógica.
A Lógica Aristotélica dominou o pensamento ocidental por mais de dois séculos, até o advento da
Lógica Moderna, no final do século XIX. Este está voltado a exploração de tópicos da Lógica Moderna e
algumas de suas aplicações mais notáveis.
1
A designação escolhida pelos comentadores gregos do Corpus Aristotélico (do latim: Documentos de Aristóteles) para ser
dada ao conjunto dos escritos daquele filósofo que abordam o tema da lógica foi Órganon (do grego: instrumento).

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0.2.- A Lógica Moderna
O Inicio da Lógica Moderna se dá com a publicação do livro "An Investigation of the Laws of
Thought – On which are founded the mathematical theories of Logic and Probabilities"2
no ano de 1854,
por George Boole (1815/1864) − matemático e lógico inglês. No prefácio dessa importante obra o autor
afirma: "O objetivo desse tratado é investigar as leis fundamentais em virtude das quais ocorrem as
operações da mente; expressar estas leis numa linguagem que possibilite cálculos e, estabelecer a ciência
da Lógica construindo seu método sobre tal fundamento; fazer deste método a base de um método geral
[...]". A Lógica de Boole ou Lógica Booleana tem hoje grande aplicação no campo da Eletrônica e da
Computação e, quando abordada a partir desta perspectiva, é estudada com o nome de Álgebra de Boole,
devido aos componentes simbólicos e formais que a revestem, bem como à necessidade de validação de
fórmulas e a obtenção de provas de diversos teoremas.
Em 1884, Gottlob Frege (1848-1925), publica o seu primeiro trabalho cujo título completo é:
“Begriffschrift, eine der arithmetischen nachgebildet Formelsplash des reine Denkes”, ou numa tradução
livre: “Ideografia3
, uma linguagem formalizada do pensamento puro com base na linguagem aritmética”,
que normalmente referido como “Begriffschrift”. De sua obra, constam ainda o livro “Die Grundlagen
der Arithmetik, eine logisch mathematische Untersuchung über den begriff der zahl” (Os Fundamentos da
Aritmética - Investigação lógico-aritmética sobre o conceito de número), publicado 1884. Os dois
volumes do seu trabalho “Grundlagen der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet” (Leis Básicas da
Aritmética, ideogaficamente deduzidas) foram publicados respectivamente nos anos 1893 e 1903.
Os trabalhos de Gottlob Frege (1848-1925), tanto no que diz respeito ao desenvolvimento da
Lógica Moderna quanto à fundamentação da Matemática, foram reconhecidos tardiamente, por Bertrand
Russell (1872-1970), como sendo básico para o desenvolvimento do conteúdo do “Principia
Methematica” (Volumes I, II e III), profundo tratado de Lógica e Matemática escrito em colaboração com
Alfred North Whitehead (1861-1947) e publicados respectivamente nos anos de: 1910, 1912 e 1913. Cabe
ressaltar que a dificuldade encontrada para a difusão dos trabalhos de Frege residia na dificuldade de
compreender-se o tipo de notação utilizada por ele, extremamente original, mas que envolvia grande
complexidade.
2
“Uma Investigação das Leis do Pensamento - Na qual estão fundadas as Teorias Matemáticas da Lógica e Probabilidades”.
3
Ideografia: representação direta do sentido das palavras por sinais gráficos (Dicionário Houaiss – ed. 2001) ; representação de
idéias através de símbolos gráficos; o uso de ideogramas para expressar idéias (The American Heritage Dictionary – 3rd
edition).

3. Finalmente, há que se registrar que a consolidação dos princípios da Lógica Moderna se dará,
finalmente com as contribuições de David Hilbert (1862-1943), Kurt Gödel (1906-1978) e Alfred Tarski
(1902-1983), mais à frente comentadas neste livro.
0.2.1. Lógica - Uma tentativa de definição
A definição do que seja a Lógica hoje, tal a quantidade de novas lógicas que vêm surgindo e vêm
sendo estudadas e propostas, exige o esforço de se recolher dados em diversas fontes e frentes de
pesquisas extremamente ágeis, num trabalho que poderia ser metaforicamente comparado à façanha de se
recolher os pedaços de um grande espelho estilhaçado, na tentativa de recompô-lo, sabendo-se
antecipadamente que cada um dos pedaços recolhidos já seria suficiente para vermos refletido o
necessário para uma primeira visão do que seja a Lógica Moderna.
Apresentado este quadro pouco animador, tentaremos recompor parte do nosso espelho
estilhaçado, apontando a seguir o que é a Lógica Moderna e o que devem ser as Lógicas Modernas:
A Lógica é ....
• A Lógica é a ciência que visa estudar e estabelecer leis formais que bem
dirijam as operações da mente.
• A Lógica é a ciência que trata das formas do pensamento em geral (dedução,
indução, hipótese, inferência etc) e das operações intelectuais que visam à
determinação do que é verdadeiro ou não.
• Lógica (formal) se preocupa com a análise e prova da validade ou da
invalidade de proposições, com atenção para a forma abstraindo-se totalmente
do assunto.
As Lógicas devem ....
• As Lógicas devem ser apresentadas através de linguagens formais ou
simbólicas que permitam manipulações algébricas ou lingüísticas bem
fundadas e consistentes.
• As Lógicas devem prover ferramentas para raciocínios e argumentações
sistematicamente corretos para as mais diversas áreas do conhecimento
humano.

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• As Lógicas devem possibilitar o trabalho com proposições, permitindo
distinguir o conteúdo das mesmas e o método de validação dos raciocínios
dedutivos que envolvam estas proposições, sejam elas atômicas ou compostas.
• As Lógicas devem estudar e criar estruturas formais baseadas em linguagens
artificiais que permitam diferenciar os raciocínios válidos dos inválidos.
• As Lógicas devem mostrar como procede o pensamento e como se deve
estruturar o raciocínio na busca da verdade, deve ainda indicar como é
possível realizar demonstrações, quais são as formas de fazê-la e quando elas
são possíveis ou não.
• As diversas Lógicas devem prover, para as mais diversas áreas do
conhecimento humano, ferramentas que permitam raciocínios claros e
argumentações que sejam sistematicamente corretas. Sendo assim, elas devem
ser apresentadas através de linguagens formais que permitam manipulações
algébricas ou lingüísticas bem fundadas e consistentes.
0.2.2. Lógica - Uma tentativa de divisão
Há muitos tipos de Lógica e todas as tentativas de classificá-las segundo o tipo, normalmente
encontradas na literatura, apesar de bastante complexas, espelham, quando muito, a época em que foram
propostas. No entanto, para as finalidades deste livro adotaremos uma divisão que, diga-se de passagem, é
bastante simplificada, mas panorâmica o suficiente para dar uma idéia precisa do caminho que foi seguido
no desenvolvimento deste livro.
Veja na figura a seguir: A Lógica Aristotélica [1] que não é considerada matemática, mas tão
somente formal, foi seguida pela Lógica Moderna [2], cuja estrutura algébrica bastante evidente, é
debitada à matemática, estará subdividida em duas: a Lógica Moderna Clássica [2.1] − cujo núcleo é
composto pela Lógica Predicativa, que abarca, de forma natural, a Lógica Proposicional que, por sua
vez, pode ser considerada como contida na Lógica Boolena −, e as Lógicas Modernas Não-Clássicas
[2.2], cujo escopo é bastante amplo e diversificado abrangendo lógicas de muitos e variados tipos.

5. [2.2.] Lógicas Modernas Não-Clássicas[2.1] Lógica Moderna Clássica
Lógica Predicativa
Lógica Boolena
[2.2.1] Lógica Trivalorada
[2.2.n] Muitas outras Lógicas
[2.2.2] Lógica Multivalorada
[2.2.3] Lógica Fuzzy
Lógica Proposicional
Algumas das Lógicas Modernas Não-Clássicas serão apresentadas no capítulo 6, mas pode-se
saber algo sobre muitas outras delas através de rápidas pesquisas na Internet através de alguma ferramenta
de busca – como, por exemplo, o Google [http://www.google.com.br/]. Para facilitar suas buscas tente os
seguintes tipos de Lógicas, aqui dispostos em ordem alfabética: Lógica de Crenças; Lógica Deôntica;
Lógica Epistêmica; Lógica Fuzzy; Lógica Intuicionista; Lógica Modal; Lógica Multivalorada; Lógica
Paraconsistente; Lógica Temporal; Lógica Trivalorada.
0.3.- Sobre a Álgebra e as Álgebras
A palavra Álgebra aparece pela primeira vez como parte do título de um manuscrito árabe
possivelmente datado de 800 a.C. que continha regras para a resolução de certos tipos de equações. A
palavra Álgebra, segundo a edição 2001 do Dicionário Houaiss, provém do árabe: al djabr, o que pode ser
traduzido como “a redução” por causa das simplificações de escrita que essa técnica matemática tornou
possível.
Até o início do século XIX, Álgebra era o nome dado à Teoria das Equações. A partir dos estudos
mais aprofundados sobre as equações algébricas, desenvolvidos por Lagrange, Vandermonde e Gauss −

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que irão envolver necessariamente operações sobre entes abstratos −, seguidos de estudos realizados por
Abel, Cauchy e, sobretudo por Galois, chegar-se-á Teoria dos Grupos de Substituições com Serret e
Jordan nos meados do século XIX. Também, já no início do século XIX, a representação dos números
complexos, descoberta simultaneamente por Argand, Wessel, Cauchy e Gauss, abriam um novo campo de
pesquisa algébrica através dos vetores, fazendo surgir a Álgebra Linear, com os matemáticos ingleses
Hamilton, Cayley e Sylvester e com Möbius e Grassmann, matemáticos alemães. Foi assim que, pouco a
pouco, foi sendo alterado o significado da palavra Álgebra.
Em resumo, a partir dos meados do século XIX a Álgebra, que antes só se ocupava com o estudo
das equações, passa a dizer respeito também ao estudo de sistemas formais abstratos. Os sistemas formais
abstratos envolvem conjuntos de símbolos, numéricos ou não, bem como o estudo das propriedades e
operações que possam ser realizadas com os mesmos.
Modernamente, o nome “álgebra” ou o adjetivo “algébrico” aparece dando nome a “várias
álgebras” que levam especificamente o nome de seus autores ou de suas propriedades características(*)
:
Álgebra Abstrata, Álgebra Alternativa, Álgebra Associativa, Álgebra B* (B-estrela), Álgebra Booleana,
Álgebra C*, Álgebra Comutativa, Álgebra da Medida, Álgebra de Banach, Álgebra de Cayley, Álgebra de
Clifford, Álgebra de Grassmann, Álgebra de Hecke, Álgebra de Heyting, Álgebra de Hopf, Álgebra de
Jordan, Álgebra de Lie, Álgebra de Robbins, Álgebra de Schur, Álgebra de Stenrood, Álgebra de Von
Newmann, Álgebra Exterior, Álgebra Homológica, Álgebra Linear, Álgebra Não-Associativa, Sigma-
Álgebra de Borel, Sigma-Álgebra, e muitas outras.
0.4.- Sobre a Estrutura deste Livro
Reunidos sob o nome de Tópicos de Álgebra Moderna Elementar este livro apresenta, no
Capítulo 1, o conceito de Linguagens Formais e Sistemas Formais, que irão servir de base para a
introdução da Lógica Proposicional no Capítulo 2 e de um bom exemplo de Álgebra da Lógica − a
Álgebra de Boole − no Capítulo 3. No Capítulo 4 vai-se tomar contato com a Estrutura Dedutiva da
Lógica Proposicional. O Capítulo 5 estará reservado para a apresentação do tratamento algébrico-
axiomático da Lógica de Predicados ou Lógica Predicativa.
No Capítulos 6, intitulado Hilbert e a Formalização da Matemática, o leitor irá encontrar idéias
bastante interessantes sobre possibilidade da Matemática ser expressa através de axiomas e provas de
teoremas diretamente neles baseadas, tentativa estas que, sugeridas por uns e levada a efeito por diversos
eminentes matemáticos, não se mostrou possível. No Capítulo 7, sobre as Lógicas Modernas Não-
(*)
Dados resumidos sobre estas e outras Álgebras podem ser encontrados no site: http://mathworld.wolfram.com/Algebra.html
[em inglês].

7. Clássicas, envolvendo idéias revolucionárias que mudaram a maneira de se pensar a Lógica a partir da
segunda metade do século XX.
Mais à frente, no Capítulo 8, a Teoria Informal dos Conjuntos em sua versão intuitiva ou
ingênua, como é comumente chamada, devida a Cantor e algumas idéias resumidas sobre as Teorias
Axiomáticas dos Conjuntos, que irão figurar no Capítulo 9, permitirão um desenvolvimento bastante
claro sobre a construção e a verificação de maioria das propriedades dos Conjuntos Numéricos, que será
providenciada no Capítulo10.
Finalmente no Capítulo 11, o leitor encontrará uma introdução bastante razoável sobre a Teoria
Elementar dos Números, completando assim a sua preparação para o futuro estudo das Estruturas
Algébricas, que poderão ser encontradas nos livros de Álgebra Moderna, em tratamentos de maior ou
menor profundidade.

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0.5.- Sumário do Capítulo Zero
• A História da Lógica tem seu início na Grécia muito antes de Aristóteles, mas é ele quem estabelece o
primeiro sistema completo de Lógica. Por mais incrível que possa parecer, a Lógica Aristotélica permaneceu
como hegemônica no pensamento ocidental por mais de dois séculos, até o advento da Lógica Moderna a
partir do final do século XIX com George Boole, Frege, Peano, Dedekind, Bertrand Russel, Alfred North
Whitehead e outros matemáticos notáveis.
• Deve-se observar atentamente, que os trabalhos de Boole foram publicados bem antes dos trabalhos de Frege.
Na época da publicação do livro "Uma Investigação das Leis do Pensamento" que continha as idéias de
Boole, Frege teria por volta de seis anos de idade. Enquanto o trabalho de Boole ganhou rápida
repercussão, os trabalhos de Frege só foram reconhecidos tardiamente, em particular, por Bertrand Russell.
No entanto, a verdadeira consolidação da Lógica Moderna se dará, finalmente, a partir das contribuições de
David Hilbert, Kurt Gödel e Alfred Tarski.
• A partir dos meados do século XIX a Álgebra, que antes só se ocupava com o estudo das equações, passa a
dizer respeito também ao estudo de sistemas formais abstratos. Os sistemas formais abstratos envolvem
conjuntos de símbolos, numéricos ou não, bem como o estudo das operações que possam ser realizadas com os
mesmos e de suas propriedades.

9. 0.6.- Trabalhos de Pesquisa Recomendados - Capítulo Zero
1.- (Pesquisa) Leia atentamente o texto desta Introdução anotando os nomes de todos os matemáticos que
ali figuram. Elabore linhas de tempo paralelas para cada um deles contendo: (i) nome do matemático e
país de origem, data de nascimento; (ii) data das obras mais notáveis e (iii) data do falecimento (veja um
exemplo a seguir). Compare estas linhas de tempo com os acontecimentos notáveis da História da
Humanidade, fazendo uma última linha que contenha estes acontecimentos.
George Boole
Inglaterra
Gottlob Frege
Alemanha 1848 1925
1815 1864
Investigações das
Leis do Pensamento
1854
Begriffschrift
(Ideografia)
1884
2.- (Pesquisa) Use a ferramenta de buscas Google [http://www.google.com.br/] para saber mais
sobre os diversos tipos de lógicas mencionados neste capítulo.
3.- (Pesquisa) Examine no site http://mathworld.wolfram.com/Algebra.html [onde as informações estão
em inglês]: os dados sobre algumas das álgebras e dos nomes associados à palavra álgebra destacados a
seguir:
Abstract Algebra, Alternative Algebra, Associative Algebra, B-Star-Algebra, Banach Algebra,
Boolean Algebra, Borel Sigma-Algebra, C-Star-Algebra, Cayley Algebra, Clifford Algebra,
Commutative Algebra, Derivation Algebra, Exterior Algebra, Fundamental Theorem of Algebra,
Graded Algebra, Grassmann Algebra, Hecke Algebra, Heyting Algebra, Homological Algebra, Hopf
Algebra, Jordan Algebra, Lie Algebra, Linear Algebra, Measure Algebra, Nonassociative Algebra,
Power Associative Algebra, Quaternion, Robbins Algebra, Schur Algebra, Semisimple Algebra, Sigma-
Algebra, Simple Algebra, Steenrod Algebra, Umbral Algebra, von Neumann Algebra