educaçao

1. Para muitos estudantes, problemas de conjuntos são verdadeiros inimigos invencíveis.
São várias as dificuldades, mas a principal é a famosa “interpretação da questão” e em seguida,
“como vou montar os cálculos?”.
Mas superar tais dificuldades pode ser mais simples do que você imagina, caso esteja passando por
isso.
E nesse artigo, você aprenderá os passos fundamentais para aumentar sua capacidade de resolver
problemas de conjuntos.
Ao final do estudo, você descobrirá que o assunto não é tão complicado assim, entretanto, precisava
somente aprender alguns pontos importantes.
Desse modo, se sentirá mais bem preparado para encarar outros problemas e resolvê-los com
rapidez e êxito.
Continue lendo para saber mais sobre:
 Como não ficar perdido ao resolver problemas de conjuntos
 Os problemas de conjuntos mais comuns para você praticar, ganhar experiência e maturidade
no assunto
 As melhores estratégias para solucionar problemas de conjuntos e aprender ainda mais
Tudo pronto?
Então, vamos lá!
Dicas Essenciais que Você Precisa Conhecer para não Ficar Perdido com Problemas de Conjuntos
Todo assunto de Matemática tem sua particularidade, isto é, tem algo que o caracteriza.
Nesse tópico, vou abordar as duas que considero essenciais para resolver problemas de conjuntos:
a linguagem e a estratégia de resolução.
A linguagem própria do assunto, pode ser facilmente identificada num determinado problema ou
pode estar camuflada através de outras palavras ou sentenças.
A estratégia usada para resolver os problemas de determinado assunto, em sua maioria, seguem
um mesmo padrão de raciocínio.
É claro que uns poucos problemas precisam de soluções mais criativas.
Isso acontece, geralmente, em provas de concursos onde o nível de conhecimento dos candidatos
deve ser mais alto.
Para exemplificar o que estou descrevendo, veja a dica #1 que você deve ter atenção ao resolver
questões de conjuntos.
Dica #1: Tenha atenção com as palavras “apenas” e “somente”
Veja as questões abaixo, retiradas de concursos realizados pela Universidade Federal do Estado do
Rio de Janeiro (UNIRIO) e pela Fundação Carlos Chagas (FCC), respectivamente:
Observe como as palavras “somente” e “apenas” aparecem nos enunciados. Elas são comuns em
problemas de conjuntos.
Na primeira questão, a palavra “somente” significa que 61 pessoas leem uma ÚNICA revista. Não
leem outras mais.
E na segunda questão, o significado da palavra “apenas” traz a mesma ideia anterior.
Nesse caso, por exemplo, 12 vereadores se inscreveram nas comissões de Educação e Saúde, ou
seja, estes 12 vereadores não se inscreveram para outras comissões. Se inscreveram
UNICAMENTE para Educação e Saúde.

2. Esta explicação parece óbvia? Pois é, mas muita gente não dá a devida atenção ou não entende
mesmo e acaba se enrolando.
Fique tranquilo, logo abaixo as questões (acima) estão resolvidas detalhadamente.
Dica #2: Use diagramas e comece de dentro para fora
Problemas de conjuntos podem ser resolvidos mais facilmente com o uso de diagramas.
O problema abaixo contém várias interseções entre dois conjuntos e uma interseção entre três
conjuntos.
O caminho mais simples é separar as informações utilizando diagramas.
Mas quando começar a separar as informações, comece pelas interseções (de dentro para fora),
nesse caso, pela interseção entre os três conjuntos.
Desse modo, você evita somar duas ou três vezes as interseções.
Nos problemas a seguir, mostro como organizar os diagramas começando a resolver os problemas
de conjuntos de dentro para fora.
As dicas acima referem-se exclusivamente ao tema conjuntos.
No entanto, se você quiser aprender mais sobre resolução de problemas de modo geral, ou seja, um
guia sobre como interpretar e resolver problemas , leia o artigo:
7 Problemas de Conjuntos Resolvidos Passo a Passo
Enunciados dos Problemas de Conjuntos
1. Na cidade dos Pésujos, há duas marcas de sabão: RANCAKARACA e SAIKASCUDO. Após uma
pesquisa realizada para saber a quantidade de pessoas que utilizam as marcas, obtiveram-se os
seguintes dados na tabela abaixo:
Com base nas informações da tabela, quantas pessoas foram entrevistadas?
2. Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei, 20 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis,
18 jogam vôlei e tênis, 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é
igual ao número de pessoas que jogam tênis. Pergunta-se:
a) quantos jogam tênis e não jogam vôlei?
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
3.(UNIRIO) Numa pesquisa para se avaliar a leitura de três revistas A, B e C, descobriu-se que 81
pessoas leem, pelo menos, uma das revistas; 61 pessoas leem somente uma delas e 17 pessoas
leem duas das três revistas. Assim sendo, o número de pessoas mais bem informadas dentre as 81
é:
a) 3 b) 5 c) 12 d) 29 e) 37

3. 4.(CESPE/UnB) A partir de uma amostra de 1.200 candidatos a cargos em determinado concurso,
verificou-se que 600 deles se inscreveram para o cargo A, 400 se inscreveram para o cargo B e 400,
para cargos distintos de A e de B. Alguns que se inscreveram para o cargo A também se
inscreveram para o cargo B.
A respeito dessa situação hipotética, julgue o item abaixo:
Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B.
a) Certo
b) Errado
5.(FCC) Dos 43 vereadores de uma cidade, 13 deles não se inscreveram nas comissões de
Educação, Saúde e Saneamento Básico. Sete dos vereadores se inscreveram nas três comissões
citadas. Doze deles se inscreveram apenas nas comissões de Educação e Saúde e oito deles se
inscreveram apenas nas comissões de Saúde e Saneamento Básico. Nenhum dos vereadores se
inscreveu em apenas uma dessas comissões. O número de vereadores inscritos na comissão de
Saneamento Básico é igual a
a) 15 b) 21 ‘c) 18 d) 27 e) 16
6.(ENEM) Numa escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses
em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam
qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele
não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
a) ½ b) 5/8 c) ¼ d) 5/6 e) 5/14
7.(ITA) Denotemos por n(x) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C
conjuntos tais que n(A U B) = 8, n(A U C) = 9, n(B U C) = 10, N(A U B U C) = 11 e n(A ∩ B ∩ C) = 2.
Então n(A) + n(B) + n(C) é igual a:
a) 11 b) 14 c) 15 d) 18 e) 25
Resoluções dos Problemas de Conjuntos
Problema 1.
Nos problemas de conjuntos, devemos sempre ter atenção com os elementos que estão na
interseção. Seja ela de um, dois ou mais conjuntos.
Pois, geralmente, seus elementos são somados mais de uma vez.
Nesse problema, veremos como isso acontece. Veja a tabela fornecida no enunciado.
A pergunta do enunciado é referente a quantas pessoas foram entrevistadas e olhando para a
tabela, muitos estudantes desavisados raciocinam do seguinte modo:
simplesmente somam os valores da tabela e o resultado dessa soma é a resposta final.
Infelizmente a resposta estará errada.
Para saber a quantidade de pessoas entrevistadas, precisamos antes descobrir quantas pessoas
utilizam:
apenas o sabão rancakaraca;
apenas o sabão saicascudo.
Depois, realizar a soma com os demais valores.
Atenção: veja que utilizamos a palavra “apenas” (ou somente). Ela indica que as pessoas utilizam
única e exclusivamente um sabão e nenhum outro mais. É por isso que devemos tomar cuidado com
os elementos da interseção.
Por exemplo, são 210 pessoas que utilizam o sabão Rancakaraca, então entre essas pessoas há
também pessoas que utilizam a outra marca, isto é, que estão na interseção.

4. Começaremos pela interseção para subtrair o número de pessoas que são contadas duas vezes.
São 50 pessoas que utilizam ambas as marcas.
Se 210 pessoas utilizam a marca Rancakaraca (R) e 50 pessoas utilizam ambas, então a quantidade
de pessoas que utilizam apenas a marca Rancakaraca é
210 – 50 = 160.
Se 180 pessoas utilizam a marca Saicascudo (S) e 50 pessoas utilizam ambas, então a quantidade
pessoas que utilizam apenas a marca Saicascudo é
180 – 50 = 130.
Observe nos diagramas abaixo a distribuição da quantidade de pessoas.
Nos diagramas acima, a interseção entre os conjuntos tem 50 pessoas. O número de pessoas
que utilizam apenas R é igual a 160 e o número de pessoas que utilizam apenas S, é 130.
Essa forma de representar os elementos de um conjunto é conhecida como diagrama de Venn.
Agora que já sabemos que 160 pessoas utilizam apenas R, 130 pessoas utilizam S, 50 pessoas
utilizam ambas as marcas e 40 pessoas não utilizam nenhuma das duas marcas, então o total de
entrevistados é
160 + 130 + 50 + 40 = 380 pessoas.
Ficou claro para você o ponto onde não podemos contar os elementos da interseção duas vezes?
Cuidado, essa é uma dica essencial para você resolver problemas sobre conjuntos com
sucesso.
Vamos para a próxima resolução.
Problema 2.
Aqui, desenvolveremos cálculos com três conjuntos, por isso, muita atenção com as interseções.
Vamos retirar as informações do enunciado.
 Total de 99 esportistas.
 40 jogam vôlei (V).
 20 jogam vôlei (V) e xadrez (X).
 22 jogam xadrez (X) e tênis (T).
 18 jogam vôlei (V) e tênis (T).
 11 jogam as três modalidades.
 O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.
Observe que precisamos responder três perguntas, então vamos primeiro ajeitar algumas
informações sobre os conjuntos, isto é, encontrar os valores desconhecidos.
Para isso, começaremos pelas interseções com o objetivo de subtrair os elementos que são
contados mais de uma vez.
Temos que 11 pessoas jogam as três modalidades.
Se 18 jogam vôlei e tênis, e 11 pessoas jogam as três modalidades, então a quantidade de pessoas
que jogam apenas (ou somente) vôlei e tênis é
18 – 11 = 7.
Se 22 jogam xadrez e tênis, e 11 jogam as três modalidades, então a quantidade de pessoas que
jogam apenas xadrez e tênis é
22 – 11 = 11.
Se 20 jogam vôlei e xadrez, e 11 jogam as três modalidades, então a quantidade de pessoas que
jogam apenas vôlei e xadrez é
20 – 11 = 9.
Com estes cálculos, determinamos o número de pessoas que praticam apenas duas modalidades.
Veja nos diagramas abaixo os números encontrados e suas respectivas regiões.

5.  11, interseção dos três.
 7, interseção V e T.
 11, interseção entre X e T.
 9, interseção entre V e X.
Vamos determinar agora a quantidade de pessoas que praticam apenas um esporte.
Se 40 pessoas praticam vôlei, 9 praticam vôlei e xadrez, 7 praticam vôlei e tênis, e 11 praticam as
três modalidades, então a quantidade de pessoas que praticam apenas vôlei é
40 – 9 – 7 – 11 = 13.
Nesse cálculo, para determinar o número de pessoas que jogam apenas vôlei, subtraímos do total
de pessoas que jogam vôlei as quantidades que fazem interseção com o conjunto V.
No enunciado não temos a quantidade de pessoas que praticam xadrez, nem tênis.
Vamos indicar por x (minúsculo) a quantidade de pessoas que praticam apenas xadrez e por t
(minúsculo) a quantidade de pessoas que praticam apenas tênis.
Veja nos diagramas abaixo.
Agora, encontraremos os valores de x e t.
Você sabe e eu também sei que a soma dos valores que estão nos diagramas, deve ser igual ao
total de esportistas, isto é, 99.
Daí, podemos escrever e resolver a equação:
13 + 9 + 11 + 7 + x + 11 + t = 99 <=>
<=> 51 + x + t = 99 <=>
<=> x + t = 99 – 51 <=>
<=> x + t = 48.
Observe na equação que a soma de x com t é igual a 48. Vamos guardar essa informação.
O enunciado informa que o número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas
que jogam tênis.
Bem, o número de pessoas que jogam xadrez é determinado pelo soma dos valores que estão
contidos no diagrama X (veja acima).
O mesmo vale para a quantidade de pessoas que jogam tênis.
7 + 11 + 11 + t (número de pessoas que jogam xadrez).
9 + 11 + 11 + x (número de pessoas que jogam tênis).
Como estes números devem ser iguais, podemos escrever
7 + 11 + 11 + t = 9 + 11 + 11 + x <=>
<=> 29 + t = 31 + x <=>
<=> x = 29 – 31 + t <=>
<=> x = t – 2.
Daí, substituímos o valor de x na equação encontrada acima (x + t = 48).
x + t = 48 substituindo x = t – 2, vem
t – 2 + t = 48 <=>

6. <=> 2t = 48 + 2 <=>
<=> 2t = 50 <=>
<=> t = 50/2 = 25. (encontramos o valor de t!)
Como x = t – 2 e t = 25, substituindo…
x = 25 – 2 = 23. (encontramos o valor x!)
Assim, temos a quantidade de pessoas que praticam apenas uma modalidade.
 13, apenas vôlei.
 23, apenas xadrez.
 25, apenas tênis.
De posse desses números, podemos encontrar as respostas para as perguntas.
a) quantos jogam tênis e não jogam vôlei?
Olhe para o diagrama T e não conte as interseções com V.
25 + 11 = 36 pessoas que jogam tênis e não jogam vôlei.
b) quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?
Da mesma forma, some os valores que estão em X e T, mas desconsidere os valores que fazem
interseção com V.
23 + 11 + 25 = 59 pessoas jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei.
c) quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?
Agora, some os valores de V, mas desconsidere aqueles na interseção com X.
13 + 7 = 20 pessoas jogam vôlei e não jogam xadrez.
Viu como resolvemos o problema a partir das interseções, ou seja, de dentro para fora?
Continuando…
Problema 3.
Como 81 pessoas leem pelo menos uma das três revistas e 61 pessoas leem somente uma delas,
então subtraindo 61 de 81 teremos como resultado a quantidade de pessoas que leem duas ou três
revistas.
81 – 61 = 20 pessoas leem duas ou três revistas.
Agora, como 20 pessoas leem duas ou três revistas e 17 pessoas leem somente duas revistas,
então subtraindo 17 de 20 teremos como resultado a quantidade de pessoas que leem três revistas.
20 – 17 = 3 pessoas leem as três revistas, isto é, são as pessoas mais bem informadas dentre as 81.
Você prestou atenção na palavra “somente”? Está percebendo como essas palavras (apenas,
somente) aparecem em problemas de conjuntos?
Vamos para a próxima resolução!
Problema 4.
Aqui temos um problema envolvendo conjunto, onde teremos que julgar em certo ou errado a
afirmação:
“Menos de 180 candidatos se inscreveram no concurso para os cargos A e B.”
De qualquer forma, realizaremos as operações com conjuntos.
Vamos retirar as informações do enunciado.
 O total é de 1200 candidatos.
 600 deles se inscreveram para o cargo A.
 400 se inscreveram para o cargo B.
 400 para cargos distintos de A e de B, ou seja, 400 não se inscreveram para nenhum dos
cargos A ou B.
 Alguns que se inscreveram para o cargo A, também se inscreveram para o cargo B. Então
vamos indicar por x a quantidade de candidatos que se inscreveram para A e B.

7. Veja que para julgarmos corretamente a afirmação, precisaremos descobrir o valor de x, pois ele
indica a quantidade de elementos da interseção.
Se 600 candidatos se inscreveram para o cargo A e x candidatos se inscreveram para os cargos A e
B, então o número de candidatos que se inscreveram para apenas o cargo A será dado por
600 – x.
Se 400 candidatos se inscreveram para o cargo B e x candidatos se inscreveram para os cargos A e
B, então o número de candidatos que se inscreveram para apenas o cargo B será dado por
400 – x.
Veja nos diagramas abaixo.
Sabemos que a soma dos valores dos diagramas mais os 400 que não se inscreveram para nenhum
dos cargos deve ser igual ao total (1200).
600 – x + 400 – x + x + 400 = 1200 <=>
<=> -x + 1400 = 1200 <=>
<=> 1400 – 1200 = x <=>
<=> 200 = x.
Então, 200 candidatos se inscreveram para ambos os cargos A e B.
E portanto, a afirmação está errada.
O problema é relativamente simples. Leia com atenção, separe as informações, trace uma estratégia
de resolução e por último, verifique sua resposta.
Para saber mais sobre como resolver problemas, conheça o passo a passo lendo o artigo:
» 5 Dicas de Ouro para Você ter Sucesso ao Resolver Problemas de Matemática
Adiante!
Problema 5.
Retirando as informações do problema.
 Temos um total de 43 vereadores.
 7 se inscreveram nas três comissões.
 12 se inscreveram apenas nas comissões de Educação (E) e Saúde (S).
 8 se inscreveram apenas nas comissões de Saúde (S) e Saneamento Básico (SB).
 13 não se inscreveram em nenhuma das comissões.
 Nenhum dos vereadores se inscreveu em apenas uma dessas comissões.
Veja que com relação ao número de vereadores que se inscreveram para duas comissões, não
precisamos nos preocupar com a subtração de vereadores que podem ter sido contados duas ou
três vezes, pois o enunciado já nos informa que os vereadores se inscreveram para APENAS tais
comissões.
Veja também, que não há vereadores inscritos em apenas uma comissão, portanto indicaremos por
0 (zero).
O enunciado também não informa quantos vereadores se inscreveram apenas nas comissões de
Educação (E) e Saneamento Básico (SB), por isso, indicaremos essa quantidade por x.
Observe os diagramas abaixo.
Para responder a pergunta do problema, isto é, para determinar a quantidade de inscritos na
comissão de Saneamento Básico, precisamos saber o valor de x.

8. A soma das quantidades (lembre-se dos 13 vereadores que não se inscreveram em nenhuma
comissão) deve ser igual ao total de vereadores (43). Vamos desconsiderar os zeros.
x + 12 + 7 + 8 + 13 = 43 <=>
<=> x + 40 = 43 <=>
<=> x = 3.
Substituindo x por 3 no diagrama.
Agora, somamos os valores do diagrama SB.
3 + 7 + 8 + 0 = 18.
Portanto, são 18 vereadores inscritos na comissão de Saneamento Básico.
Você reparou que quando utilizamos diagramas de Venn a solução para a maioria dos problemas de
conjuntos pode ser mais simples?
Seguinte!
Problema 6.
Esse problema envolve outro assunto além de conjuntos, a probabilidade.
Veja a pergunta do problema:
“Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a
probabilidade de que esse aluno fale espanhol?”
Para respondê-la, precisamos antes determinar a quantidade de alunos que não falam inglês e a
quantidade de alunos que falam apenas espanhol.
Para isso, vamos utilizar a teoria dos conjuntos.
Temos as seguintes informações do enunciado:
 Total de 1200 alunos.
 600 alunos falam inglês.
 500 falam espanhol.
 300 não falam nenhum dos dois idiomas.
 Não foi informada a quantidade de alunos que falam ambos os idiomas, então indicaremos
essa quantidade por x.
Vamos, primeiro, subtrair a interseção dos conjuntos, para não contarmos alunos duas vezes.
Se 600 alunos falam inglês e x alunos falam os dois idiomas, então a quantidade de alunos que
falam apenas inglês é
600 – x.
Se 500 alunos falam espanhol e x alunos falam os dois idiomas, então a quantidade de alunos que
falam apenas espanhol é
500 – x.
Veja nos diagramas abaixo.
A soma dos valores dos diagramas (mais 300 que não falam nenhum idioma) deve ser igual ao total
de alunos.
600 – x + x + 500 – x + 300 = 1200 <=>
<=> 1400 – x = 1200 <=>
<=> x = 1400 – 1200 <=>
<=> x = 200.
Temos que 200 alunos falam ambos os idiomas.
Assim, conseguimos determinar quantos alunos falam apenas um idioma.
600 – 200 = 400 alunos falam apenas inglês.
500 – 200 = 300 alunos falam apenas espanhol.

9. O total de alunos é 1200 e 600 deles falam inglês, então a quantidade de alunos que não falam
inglês é
1200 – 600 = 600 (espaço amostral/casos possíveis em probabilidade).
Lembre-se que temos um condição na pergunta, o aluno não deve falar inglês.
Logo, devemos considerar os alunos que falam apenas espanhol, cuja quantidade é 300 (casos
favoráveis em probabilidade).
Portanto, a probabilidade (P) procurada é P = 300/600, simplificando…
P = 1/2.
Mais um problema simples, porém, envolve conceitos de dois assuntos básicos da Matemática.
Uma observação: você pode utilizar a fórmula do número de elementos da união de dois
conjuntos para encontrar o número de alunos que falam ambos os idiomas, isto é, o número de
elementos da interseção.
Veja a aplicação da fórmula nesse artigo aqui.
Vamos para a última resolução!
Problema 7.
Há pelo menos dois modos de resolver esse problema, um com fórmulas e o outro sem fórmulas.
Apresentarei os dois modos.
1º Modo: sem fórmulas, utilizando diagramas de Venn.
Temos as seguintes informações do enunciado:
 N(A U B U C) = 11
 n(A U B) = 8
 n(A U C) = 9
 n(B U C) = 10
 n(A ∩ B ∩ C) = 2
E o que o problema deseja saber é o valor de n(A) + n(B) + n(C).
Se o número de elementos da união dos três conjuntos é 11 e o número de elementos da união de A
com B é 8, então o número de elementos que pertencem apenas a C é
11 – 8 = 3.
Ficou claro para você? Veja, da união dos três (A, B e C) estamos subtraindo a união de dois (A com
B), logo restará apenas C.
Do mesmo modo, encontraremos as quantidades para apenas A e B.
Se o número de elementos da união dos três conjuntos é 11 e o número de elementos da união de A
com C é 9, então o número de elementos que pertencem apenas a B é
11 – 9 = 2.
Se o número de elementos da união dos três conjuntos é 11 e o número de elementos da união de B
com C é 10, então o número de elementos que pertencem apenas a A é
11 – 10 = 1.
Vamos colocar esses valores nos diagramas, mais a interseção dos três.
Como não sabemos os valores das interseções entre dois conjuntos, vamos indicar da seguinte
forma:
n(A ∩ B) = x.
n(A ∩ C) = y.
n(B ∩ C) = z.
Sabemos que a soma dos valores dos diagrama deve ser igual 11 (união dos três) e daí
escrevemos:
1 + 2 + 3 + x + y + z + 2 = 11 <=>
<=> x + y + z + 8 = 11 <=>

10. <=> = x + y + z = 3. (guarde essa informação!)
Agora, sabemos também que, por exemplo, o número de elementos do conjunto A é igual a soma
dos seus elementos, e o mesmo vale para o número de elementos dos conjuntos B e C, certo?
Veja no diagrama acima.
n(A) = 1 + 2 + x + y = 3 + x + y.
n(B) = 2 + 2 + x + z = 4 + x + z.
n(C) = 2 + 3 + y + z = 5 + y + z.
Como o problema pede a soma n(A) + n(B) + n(C), substituindo os valores de n(A), n(B) e n(C),
respectivamente, escrevemos que:
n(A) + n(B) + n(C) = 3 + x + y + 4 + x + z + 5 + y + z
n(A) + n(B) + n(C) = 12 + 2x + 2y + 2z
Colocando o fator comum 2 em evidência, temos
n(A) + n(B) + n(C) = = 12 + 2.(x + y + z)
Lembre-se que encontramos x + y + z = 3, então substituindo…
n(A) + n(B) + n(C) = 12 + 2.3 = 12 + 6 = 18.
Portanto, o valor de n(A) + n(B) + n(C) = 18.
2º Modo: utilizando fórmulas.
Nesse segundo modo de resolução, vamos utilizar duas fórmulas muito comuns na teoria dos
conjuntos.
Número de elementos da união de dois conjuntos
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Número de elementos da união de três conjuntos
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Repetindo as informações do enunciado:
 N(A U B U C) = 11
 n(A U B) = 8
 n(A U C) = 9
 n(B U C) = 10
 n(A ∩ B ∩ C) = 2
Como n(A U B) = 8 e n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B), substituindo…
8 = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) <=>
<=> n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – 8. (guarde essa informação!)
De forma semelhante ao anterior,
como n(A U C) = 9 e n(A U C) = n(A) + n(C) – n(A ∩ C), substituindo…
9 = n(A) + n(C) – n(A ∩ C) <=>
<=> n(A ∩ C) = n(A) + n(C) – 9. (guarde essa informação!)
E,
como n(B U C) = 10 e n(B U C) = n(B) + n(C) – n(B ∩ C), substituindo…
10 = n(B) + n(C) – n(B ∩ C) <=>
<=> n(B ∩ C) = n(B) + n(C) – 10. (guarde essa informação!)
Obtemos três relações importantes referentes as interseções entre dois conjuntos:
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) – 8.
n(A ∩ C) = n(A) + n(C) – 9.
n(B ∩ C) = n(B) + n(C) – 10.
Com as informações do enunciado e estas três relações, vamos substituir na fórmula do número de
elementos da união de três conjuntos. Assim:
n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
11 = n(A) + n(B) + n(C) – [n(A) + n(B) – 8] – [n(A) + n(C) – 9] – [n(B) + n(C) – 10] + 2 <=>
<=> 11 = n(A) + n(B) + n(C) – n(A) – n(B) + 8 – n(A) – n(C) + 9 – n(B) – n(C) + 10 + 2 <=>
<=> 11 = n(A) – n(A) – n(A) + n(B) – n(B) – n(B) + n(C) – n(C) – n(C) + 8 + 9 + 10 + 2 <=>
<=> 11 = – n(A) – n(B) – n(C) + 29 <=>
<=> n(A) + n(B) + n(C) = 29 – 11 <=>
<=> n(A) + n(B) + n(C) = 18.
Opa, chegamos ao mesmo valor!
Bem, os dois modos de resolução garantem a mesma resposta. Como sugestão, compreenda
perfeitamente os dois e dedique-se mais ao raciocínio sem uso de fórmulas.