1. O documento apresenta uma série de postagens que tem como objetivo ensinar matemática de forma didática e informal para estudantes de graduação. 2. Serão abordados conceitos matemáticos de livros didáticos obrigatórios em um capítulo por postagem. 3. O projeto visa complementar o ensino de matemática para auxiliar os estudantes a irem além dos conceitos introdutórios.

1. Querido leitor, não se engane: se você quiser sair dos livros
introdutórios, você precisa estudar matemática. Claro que
não é necessário ser um matemático, mas ter um bom
domínio dessa linguagem é fundamental para ir além das
trivialidades. Melhor você aceitar isso e começar a jornada
corretamente do que perder muito tempo na maneira
errada ou, pior ainda, desistir de se aprofundar.
Aprender essa “linguagem da Economia” é o nosso objetivo
com essa série de postagens aqui. A ideia é auxiliar os
estudantes de graduação a terem um complemento na
matéria com um foco mais didático e informal. O projeto
seguirá com, pelo menos, um post por capítulo de cada
obra da bibliografia obrigatória abaixo. A jornada será
longa, mas certamente recompensará todo o esforço.
Ementa do Curso
Hammack, Richard. Book of Proof. 2018
01 – Conjuntos [Aula 01]
02 – Lógica [Aula 02]
03 – Contagem [Aula 03 – Parte 01]
04 – Prova Direta
05 – Prova Contrapositiva
06 – Prova por Contradição
07 – Prova de proposições não condicionais
08 – Provas com Conjuntos
09 – Contraprova
10 – Indução Matemática
11 – Relações
12 – Funções
13 – Prova com Calculus

2. 14 – Cardinalidade de Conjuntos
OK, Efe A. Real analysis with economic applications. Princeton
University Press, 2007.
A – Fundametos de Análise Real
B – Contagem
C – Espaços Métricos
D – Continuidade I
E – Continuidade II
F – Espaços Lineares
G – Convexidade
H – Aplicações Econômicas
I – Espaços Métricos Lineares
J – Espaços Normados Lineares
K – Cálculo Diferencial
Fundamentos 01 – Conjuntos
Sumário
1. Aviso ao Leitor
2. Produto Cartesiano
3. Subconjuntos
4. Conjunto de Partes
5. União, Intersecção e Diferença
6. Complemento
7. Diagramas de Venn
8. Conjuntos Indexados
9. Conjuntos que são Sistemas Numéricos
10. O Paradoxo de Russell

3. Aviso ao Leitor
Bem-vindo ao início de uma jornada consideravelmente longa. A primeira
parte desse projeto é um resumo (mais conciso e menos didático) do livro
do professor Richard Hammack. O objetivo desse manual é servir como
material de revisão e auxílio aos que quiserem seguir o caminho proposto
no Projeto Matemática do nosso site. A leitura do material original é
fortemente indicada e encorajada por parte dos que elaboraram o
presente manual. Os exercícios contidos no livro, por outro lado, são
obrigatórios. Você deve tentar resolver o máximo possível. Quaisquer
dúvidas podem ser enviadas nos comentários do projeto.
Um conjunto (set) é uma lista de elementos. Normalmente denotados por uma letra
maiúscula. Por exemplo:
A = {1 , 2 , 3 , 4 , ... }A={1,2,3,4,...}
Regra: Dois sets AA e BB são iguais se possuírem exatamente os mesmos elementos,
não importando a ordem desses elementos dentro de cada set.
Vamos definir um símbolo para sinalizar se um determinado elemento (x)(x) pertence
ou não a um determinado set qualquer (A)(A). Para tal relação usaremos o
símbolo ``in"‘‘∈" se xx for um elemento de AA ou, caso contrário,
usaremos ``notin"‘‘∈/" se xx não for um elemento de AA.
É provável que, em algum momento, seja necessário contar a quantidade de elementos
em um dado set qualquer AA. Chamaremos essa relação
de cardinalidade ou tamanho do set AA. O símbolo usado será duas barras em volta do
set do seguinte modo: ``|A|"‘‘∣A∣".
A partir dessas duas relações já podemos definir um tipo especial de set. Vamos definir
como conjunto vazio ou empty set um conjunto que possua o cardinal igual a zero.
Usaremos o símbolo `` emptyset "‘‘ ∅ " para definir a relação a seguir:
|emptyset| = 0∣∅∣=0
Em várias situações não vale a pena construir sets apenas com uma lista-exemplo de
alguns dos seus elementos. Imagine um set de todos os números pares, por exemplo, ou
um set de todos os números que começam com 33 e terminam com 44 ou qualquer outra
regra mais específica. Para essas situações usamos a notação de formação de conjuntos
(set builder notation). Como no exemplo abaixo:

4. E = textcolor{#ff0000}{ { } textcolor{#0000ff}{2n}
textcolor{#00ff00}{:} textcolor{#7a2500}{n}
textcolor{#f69457}{in} mathbb{Z }}E={2n:n∈ Z}
A matemática é uma linguagem que consegue dizer muita coisa com poucos símbolos.
Ao longo desse curso, você será capaz de ler esses símbolos e compreender corretamente
o que o autor quis dizer por meio deles. Para facilitar essa primeira leitura, eu colori cada
símbolo da expressão acima com a cor correspondente da passagem a seguir. Perceba
como um pequeno símbolo pode significar bastante coisa. A leitura da expressão acima
é: “O conjunto EE é igual ao textcolor{#ff0000}{conjunto dos elementos
da forma} textcolor{#0000ff}{ 2n} textcolor{#00ff00}{ tal que}
textcolor{#7a2500}{ n} textcolor{#f69457}{ e um elemento do
conjunto }
mathbb{Z}conjunto dos elementos da forma 2n tal que n e um eleme
nto do conjunto Z“.
Podemos resumir essa notação de formação de conjuntos como “Conjunto = {Expressão
: Regra}”. É bem comum vermos notações onde os dois pontos são trocados por uma
barra: “Conjunto = {Expressão | Regra}”. Nesse livro o autor preferiu a notação com dois
pontos.
Existem alguns conjuntos que são famosos ao ponto de terem nomes e símbolos próprios.
emptyset = { }∅={}. Conjunto Vazio
mathbb{N} = { 1, 2, 3, 4, … }N={1,2,3,4,…}. Conjunto dos Naturais
mathbb{Z} = { …, -2, -1, 0, 1, 2, … }Z={…,−2,−1,0,1,2,…}. Conjunto
dos Inteiros
mathbb{Q} = { x : x = m/n, onde m,n in mathbb{Z} e n neq 0
}Q={x:x=m/n, onde m,n∈Z e n . Conjunto dos Racionais
A Reta
Real
Como o conjunto dos número reais pode ser descrito como pontos em uma reta numérica
infinita. Se tivermos dois pontos quaisquer aa e bb, de modo que a , b in
mathbb{R}a,b∈R e a < ba<b, temos infinitos elementos entre esses dois pontos.
Por causa dessa propriedade, teremos que usar um novo símbolo para se referir aos
conjuntos que são melhor descritos em termos de intervalos entre pontos. Abaixo
coloquei uma coluna com uma representação gráfica e, ao lado, uma coluna com a
respectiva definição por set builder notation.

5. Produto Cartesiano
Definição: Um par ordenado é um lista na forma (x, y)(x,y) que contém dois
elementos (nesse caso, um xx e um yy). Esses dois elementos ficam entre parênteses e
separados por uma vírgula.
Atenção: Atente para o fato de que (x,y) neq (y,x)(x,y y,x).
Agora que temos a definição de par ordenado. Podemos escrever conjuntos usando esse
novo conceito.
Definição: O produto cartesiano de dois sets AA e BB é um outro set cujo símbolo
é ``A times B"‘‘A×B" e é definido como:
A times B = { (a,b) : a in A, b in B }A×B={(a,b):a∈A,b∈B}
Perceba que, se AA e BB são finitos, então | A times B | = |A| .
|B|∣A×B∣=∣A∣ . ∣B∣. Ou seja, o cardinal do produto cartesiano de dois sets é igual à
multiplicação dos cardinais dos dois conjuntos.
Podemos construir um produto cartesiano onde os conjuntos AA e BB são iguais. Por
exemplo: mathbb{R} times mathbb{R} = { (x,y) : x,y in mathbb{R}
}R×R={(x,y):x,y∈R}.
Para simplificar essa expressão onde temos um produto cartesiano de sets iguais, vamos
criar um novo conceito que chamaremos de potência cartesiana (cartersian power).
Desse modo, podemos definir o exemplo de ``mathbb{R} times
mathbb{R}"‘‘R×R" como simplesmente ``mathbb{R}^2"‘‘R2". Mais
genericamente, dizemos que, para qualquer set AA e um nn positivo, o cartesian
power A^nAn será definir como:

6. A^n = underbrace{A times A times ... times A}_text{n vezes} = {
(x_1,x_2, ... , x_n) : x_1,x_2, ... , x_n in A }An=n vezesA×A×...×A={(x1
,x2,...,xn):x1,x2,...,xn∈A}
Subconjuntos
Nós já aprendemos a relacionar elementos e conjuntos, mas agora vamos definir um
método de relacionar conjuntos entre si. A primeira relação que vamos explorar é a que
expressa a situação onde todos os elementos de um conjunto também são elementos de
outro conjunto.
Definição: Suponha que existam dois sets AA e BB. Se todos os elementos
de AA também forem elementos de BB, dizemos que AA é um subconjunto
(subset) de BB. O símbolo usado para expressar essa relação é ``subseteq"‘‘⊆", ou
seja, A subseteq BA⊆B quer dizer que AA é subconjunto de BB. Caso exista um
elemento de AA que não seja um elemento de BB, então escrevemos que A
nsubseteq BA⊈B.
Atenção 1: Uma consequência direta dessa definição de subconjunto é o fato de
que emptyset subseteq B∅⊆B para qualquer conjunto ``B"‘‘B". A demonstração
dessa afirmação é simples: suponha que exista algum conjunto ZZ onde emptyset
nsubseteq Z∅⊈Z. Isso significaria que existe algum x in emptysetx∈∅ que não
é um elemento de ZZ, ou seja, x notin Zx∈/Z. Mas, por definição, x notin
emptysetx∈/∅, desse modo, emptyset subseteq Z∅⊆Z.
Atenção 2: É trivial o fato que dado um conjunto qualquer AA, todos os elementos
de AA pertencem a ele mesmo. Isso implica que A subseteq AA⊆A. Portanto, todo
conjunto é subconjunto de si mesmo.
Atenção 3: Como vimos antes: emptyset subseteq B∅⊆B, para qualquer set B.
Acontece que também é verdadeiro o fato de que emptyset subseteq
emptyset∅⊆∅. Uma vez que, se emptyset nsubseteq emptyset∅⊈∅ existiria
algum xx de modo que x in emptysetx∈∅ e x notin emptysetx∈/∅, o que é
uma clara contradição.
Conjunto de Partes
Definição: Dado um set qualquer BB, o seu conjunto de partes ou power set será outro
set escrito como mathscr{P}(B)P(B) e definido como:
mathscr{P}(B) = { X : X subseteq B }P(B)={X:X⊆B}
Dica: Tem bastante informação interessante no livro. Como esse aqui é só um resumo,
não vou entrar muito em detalhes além da definição. Mas recomendo a leitura do material
original.
União, Intersecção e Diferença
Já vimos como podemos relacionar conjuntos por produto cartesiano para gerar outros
conjuntos. Agora vamos expandir ainda mais nosso ferramental de operações entre
conjuntos.
Definição: Dados dois conjuntos FF e GG, a união entre eles será um novo set denotado
por ``F cup G"‘‘F∪G" e definido como:

7. F cup G = { x : x in F ou x in G }F∪G={x:x∈F ou x∈G}
Definição: Sejam dois conjuntos FF e GG. A intersecção entre eles será um novo set
denotado por ``F cap G"‘‘F∩G" e definido como:
F cap G = { x : x in F e x in G }F∩G={x:x∈F e x∈G}
Definição: Sejam dois conjuntos FF e GG. A diferença entre eles será um novo set
denotado por ``F - G"‘‘F−G" e definido como:
F - G = { x : x in F e x notin G }F−G={x:x∈F e x∈/G}
Dica: Esses conceitos são muito importantes. Mas para o nosso curso não ficar muito
grande, vou me manter só nos conceitos também. Leia o material original caso tenha
dificuldade.
Complemento
Quando lidamos com conjuntos é comum supor que há um conjunto maior que contém
todos os outros. Esse set geral chamamos de conjunto universo ou conjunto universal.
Definição: Sejam um conjunto qualquer HH e o seu conjunto universo UU.
O complemento de HH é um novo set denotado por ``overline{H}"‘‘H" e definido
por:
overline{H} = U - HH=U−H
Diagramas de Venn
Essa sessão eu pulei integralmente. Diagramas de Venn são ótimos pra se ter uma intuição
sobre todos os conceitos que vimos até agora, mas não são usados para provas
matemáticas. Ainda vale a leitura do capítulo.
Conjuntos Indexados
Às vezes é necessário trabalhar com uma quantidade consideravelmente grande de
conjuntos. Para esses casos, usamos uma técnica de simplificação que é adicionar um
índice numérico subscrito à alguma letra maiúscula. Desse modo, ao invés de
trabalharmos com sets AA, BB e CC, podemos trabalhar com os sets A_1A1, A_2A2
e A_3A3.
Podemos relacionar esses subscritos à um outro set. O nome dado a esse set é conjunto
índice (index set). Nos exemplos acima, podemos dizer que todos os subscritos
pertencem ao conjunto { 1 , 2 , 3 }Produto Cartesiano
Definição: Um par ordenado é um lista na forma (x, y)(x,y) que contém
dois elementos (nesse caso, um xx e um yy). Esses dois elementos ficam
entre parênteses e separados por uma vírgula.
Atenção: Atente para o fato de que (x,y) neq (y,x)(x,y)
=(y,x).
Agora que temos a definição de par ordenado. Podemos escrever
conjuntos usando esse novo conceito.

8. Definição: O produto cartesiano de dois sets AA e BB é um outro set cujo
símbolo é ``A times B"‘‘A×B" e é definido como:
A times B = { (a,b) : a in A, b in B }A×B={(a,b):a∈A,b∈B}
Perceba que, se AA e BB são finitos, então | A times B | = |A| .
|B|∣A×B∣=∣A∣ . ∣B∣. Ou seja, o cardinal do produto cartesiano de dois sets
é igual à multiplicação dos cardinais dos dois conjuntos.
Podemos construir um produto cartesiano onde os conjuntos AA e BB são
iguais. Por exemplo: mathbb{R} times mathbb{R} = { (x,y) : x,y in
mathbb{R} }R×R={(x,y):x,y∈R}.
Para simplificar essa expressão onde temos um produto cartesiano de sets
iguais, vamos criar um novo conceito que chamaremos de potência
cartesiana (cartersian power). Desse modo, podemos definir o exemplo de
``mathbb{R} times mathbb{R}"‘‘R×R" como simplesmente
``mathbb{R}^2"‘‘R
2
". Mais genericamente, dizemos que, para qualquer set AA e um nn
positivo, o cartesian power A^nA
n
será definir como:
A^n = underbrace{A times A times ... times A}_text{n vezes} = {
(x_1,x_2, ... , x_n) : x_1,x_2, ... , x_n in A }A
n
=
n vezes
A×A×...×A
={(x
1
,x
2
,...,x
n

9. ):x
1
,x
2
,...,x
n
∈A}
Subconjuntos
Nós já aprendemos a relacionar elementos e conjuntos, mas agora vamos
definir um método de relacionar conjuntos entre si. A primeira relação que
vamos explorar é a que expressa a situação onde todos os elementos de
um conjunto também são elementos de outro conjunto.
Definição: Suponha que existam dois sets AA e BB. Se todos os elementos
de AA também forem elementos de BB, dizemos que AA é um
subconjunto (subset) de BB. O símbolo usado para expressar essa relação
é ``subseteq"‘‘⊆", ou seja, A subseteq BA⊆B quer dizer que AA é
subconjunto de BB. Caso exista um elemento de AA que não seja um
elemento de BB, então escrevemos que A nsubseteq BA⊈B.
Atenção 1: Uma consequência direta dessa definição de subconjunto é o
fato de que emptyset subseteq B∅⊆B para qualquer conjunto ``B"‘‘B".
A demonstração dessa afirmação é simples: suponha que exista algum
conjunto ZZ onde emptyset nsubseteq Z∅⊈Z. Isso significaria que existe
algum x in emptysetx∈∅ que não é um elemento de ZZ, ou seja, x notin
Zx∈
/
Z. Mas, por definição, x notin emptysetx∈
/
∅, desse modo, emptyset subseteq Z∅⊆Z.
Atenção 2: É trivial o fato que dado um conjunto qualquer AA, todos os
elementos de AA pertencem a ele mesmo. Isso implica que A subseteq
AA⊆A. Portanto, todo conjunto é subconjunto de si mesmo.

10. Atenção 3: Como vimos antes: emptyset subseteq B∅⊆B, para qualquer
set B. Acontece que também é verdadeiro o fato de que emptyset
subseteq emptyset∅⊆∅. Uma vez que, se emptyset nsubseteq
emptyset∅⊈∅ existiria algum xx de modo que x in emptysetx∈∅ e x
notin emptysetx∈
/
∅, o que é uma clara contradição.
Conjunto de Partes
Definição: Dado um set qualquer BB, o seu conjunto de partes ou power
set será outro set escrito como mathscr{P}(B)P(B) e definido como:
mathscr{P}(B) = { X : X subseteq B }P(B)={X:X⊆B}
Dica: Tem bastante informação interessante no livro. Como esse aqui é só
um resumo, não vou entrar muito em detalhes além da definição. Mas
recomendo a leitura do material original.
União, Intersecção e Diferença
Já vimos como podemos relacionar conjuntos por produto cartesiano para
gerar outros conjuntos. Agora vamos expandir ainda mais nosso
ferramental de operações entre conjuntos.
Definição: Dados dois conjuntos FF e GG, a união entre eles será um novo
set denotado por ``F cup G"‘‘F∪G" e definido como:
F cup G = { x : x in F ou x in G }F∪G={x:x∈F ou x∈G}
Definição: Sejam dois conjuntos FF e GG. A intersecção entre eles será
um novo set denotado por ``F cap G"‘‘F∩G" e definido como:
F cap G = { x : x in F e x in G }F∩G={x:x∈F e x∈G}
Definição: Sejam dois conjuntos FF e GG. A diferença entre eles será um
novo set denotado por ``F - G"‘‘F−G" e definido como:
F - G = { x : x in F e x notin G }F−G={x:x∈F e x∈
/
G}

11. Dica: Esses conceitos são muito importantes. Mas para o nosso curso não
ficar muito grande, vou me manter só nos conceitos também. Leia o
material original caso tenha dificuldade.
Complemento
Quando lidamos com conjuntos é comum supor que há um conjunto maior
que contém todos os outros. Esse set geral chamamos de conjunto
universo ou conjunto universal.
Definição: Sejam um conjunto qualquer HH e o seu conjunto universo
UU. O complemento de HH é um novo set denotado por ``overline{H}"‘‘
H
" e definido por:
overline{H} = U - H
H
=U−H
Diagramas de Venn
Essa sessão eu pulei integralmente. Diagramas de Venn são ótimos pra se
ter uma intuição sobre todos os conceitos que vimos até agora, mas não
são usados para provas matemáticas. Ainda vale a leitura do capítulo.
Conjuntos Indexados
Às vezes é necessário trabalhar com uma quantidade consideravelmente
grande de conjuntos. Para esses casos, usamos uma técnica de
simplificação que é adicionar um índice numérico subscrito à alguma letra
maiúscula. Desse modo, ao invés de trabalharmos com sets AA, BB e CC,
podemos trabalhar com os sets A_1A
1
, A_2A
2
e A_3A
3
.

12. Podemos relacionar esses subscritos à um outro set. O nome dado a esse
set é conjunto índice (index set). Nos exemplos acima, podemos dizer que
todos os subscritos pertencem ao conjunto { 1 , 2 , 3 }{1,2,3}.
Agora podemos adicionar essa técnica às relações de união e intersecção
entre esses conjuntos indexados para um número arbitrariamente grande.
Além disso, vamos usar uma notação similar a do somatório para definir
essas relações.
Definição (União de Sets Indexados): Dados os conjuntos A_1A
1
, A_2A
2
, A_3A
3
, dots…, A_nA
n
e o index set I = { 1 , 2 , dots , n }I={1,2,…,n}, temos que
bigcup_{i in I}limits = { x : x in A_i para algum A_i, onde i in
I }
i∈I
⋃
={x:x∈A
i
para algum A
i
, onde i∈I}
Definição (Intersecção de Sets Indexados): Dados os conjuntos A_1A
1
, A_2A
2

13. , A_3A
3
, dots…, A_nA
n
e o index set I = { 1 , 2 , dots , n }I={1,2,…,n}, temos que:
bigcap_{i in I}limits = { x : x in A_i para todo A_i, onde i in I
}
i∈I
⋂
={x:x∈A
i
para todo A
i
, onde i∈I}
O livro tem dois exemplos bem interessantes da aplicação dos conceitos
que acabamos de definir. A essa altura você deve conseguir entender os
dois.
Conjuntos que são Sistemas Numéricos
A maioria dos conjuntos que trabalhamos são conjuntos que possuem
estruturas e propriedades especiais. No caso dos conjuntos numéricos
tomamos como certo que os seus elementos podem ser somados,
multiplicados e possuem relações que obedecem as regras que passamos
todo o ensino infantil, fundamental e médio aprendendo e aplicando.
Como esse livro é introdutório, todas essas características clássicas dos
sistemas numéricos serão tomadas como verdade. Mas saiba que as
relações que achamos ser naturais possuem comprovações bastante
complexas, que você pode procurar por conta própria.
Aqui o autor elenca algumas propriedades que tomaremos como
verdadeiras sem que sejam devidamente definidas e demonstradas:

14. Propriedade Comutativa/Associativa/Distributiva da
Adição/Subtração/Multiplicação/Divisão
Ordenação natural dos elementos numéricos de mathbb{R}R
Os subconjuntos de mathbb{N}N obedecem ao Princípio da Boa
Ordenação.
Comentário: Agora a gente vai adentrar um pouco nas propriedades que
podemos derivar desses pressupostos acima. Pode parecer que é um papo
chato, mas a sua missão é se certificar que você é capaz de compreender
toda a explicação. Vença a preguiça.
Uma conclusão que podemos tirar do princípio da boa ordenação é que
dado um conjunto não nulo qualquer A subseteq mathbb{N}A⊆N
sempre vai haver um x_0 in Ax
0
∈A que seja o seu menor elemento. De modo parecido, para qualquer b
in mathbb{Z}b∈Z, qualquer conjunto não nulo A subseteq { b, b+1,
b+2, b+3, dots }A⊆{b,b+1,b+2,b+3,…} também possui um menor
elemento.
Definição (Division Algorithm): Sejam dois inteiros aa e bb, onde b >
0b>0. Existem outros dois inteiros únicos qq e rr para os quais a = qb +
ra=qb+r e 0 leq r < b0≤r<b.
Agora o autor demonstra a existência de rr e qq com suas propriedades.
Talvez depois eu estenda a prova para a unicidade desses valores (pode
me cobrar nos comentários).
Demonstração (Division Algorithm): Dados a,b in mathbb{Z}a,b∈Z e b
> 0b>0, é possível criar um set do tipo:
A = { a - xb : x in mathbb{Z}, 0 leq a - xb } subseteq
mathbb{N}^0A={a−xb:x∈Z,0≤a−xb}⊆N
0
Desse modo, A subseteq mathbb{N}A⊆N. Por causa disso, podemos
aplicar o princípio da boa ordenação em AA e dizer que existe algum
elemento rr que seja o menor elemento de AA.

15. Como r in Ar∈A, ele pode ser escrito da forma r = a - qbr=a−qb, onde x
= q in mathbb{Z}x=q∈Z. Desse fato podemos tirar duas informações
úteis: 1) a = r + qba=r+qb e 2) Como r in mathbb{N}^0r∈N
0
, então r geq 0r≥0.
Agora só nos resta provar que r < br<b, mas para isso, vamos usar o
pensamento contrário: o que aconteceria se r geq br≥b?
Ora, se r geq br≥b, então a subtração r - br−b será um número positivo,
portanto será também um elemento de mathbb{N}^0N
0
. Podemos reescrever essa subtração como r - b = (a - qb) - b = a - (q +
1)br−b=(a−qb)−b=a−(q+1)b.
Mas veja só que estranho: q + 1q+1 certamente será um elemento de
mathbb{Z}Z. Logo, o número expresso por a - (q + 1)ba−(q+1)b também
será um elemento de AA (nesse caso, (q + 1)(q+1) é o xx). Portanto, não
é possível que rr seja o seu menor elemento, visto que r - br−b também é
um elemento de AA e é menor que rr. Isso é uma clara contradição. Isso
é justamente o que queríamos mostrar: quando tomamos r geq br≥b
acabamos com uma contradição, portanto, sabemos que r < br<b. E com
isso finalizamos a demonstração da existência de rr e qq blacksquare■.
O Paradoxo de Russell
Até agora trabalhos a distinção entre “elementos” e “conjuntos”. Mas, na
verdade, qualquer número (ou seja, elemento de sets numéricos) pode,
sim, ser interpretado como um conjunto. Existe um mundo de teoria sobre
conjuntos, nós não temos tempo pra entrar muito fundo nessa questão.
Então vá atrás de livros sobreteoria dos conjuntos e seja feliz. Até mesmos
as operações matemáticas podem ser definidas usando-se teoria dos
conjuntos. O autor vai até mais longe: “Qualquer entidade matemática é
um conjunto, mesmo que não escolhamos pensar desse modo“.
Essa parte do paradoxo de Russell não serve para o resto do livro mas é
bem legal de saber. O que Bertrand Russell propôs foi o seguinte conjunto:
A = { X : XA={X:X é um set e X notin X }X∈
/
X}. Ou seja, A é formado por todos os conjuntos que não possuem a si
mesmo como elemento.

16. E então ele perguntou: “O conjunto AA é um elemento de si mesmo?“.
Dica: Leia o livro nessa parte. O professor explica bem melhor sobre o
paradoxo.
Dessa maneira terminamos o capítulo 01 do livro. Reveja sempre que
necessário e tente fazer os exercícios do livro{1,2,3}.
Agora podemos adicionar essa técnica às relações de união e intersecção entre esses
conjuntos indexados para um número arbitrariamente grande. Além disso, vamos usar
uma notação similar a do somatório para definir essas relações.
Definição (União de Sets Indexados): Dados os conjuntos A_1A1, A_2A2, A_3A3
, dots…, A_nAn e o index set I = { 1 , 2 , dots , n }I={1,2,…,n}, temos que
bigcup_{i in I}limits = { x : x in A_i para algum A_i, onde i
in I }i∈I⋃={x:x∈Ai para algum Ai, onde i∈I}
Definição (Intersecção de Sets Indexados): Dados os conjuntos A_1A1, A_2A2
, A_3A3, dots…, A_nAn e o index set I = { 1 , 2 , dots , n }I={1,2,…,n},
temos que: Produto Cartesiano
Definição: Um par ordenado é um lista na forma (x, y)(x,y) que contém dois elementos
(nesse caso, um xx e um yy). Esses dois elementos ficam entre parênteses e separados por
uma vírgula.
Atenção: Atente para o fato de que (x,y) neq (y,x)(x,y)
=(y,x).
Agora que temos a definição de par ordenado. Podemos escrever conjuntos usando esse
novo conceito.
Definição: O produto cartesiano de dois sets AA e BB é um outro set cujo símbolo é ``A
times B"‘‘A×B" e é definido como:
A times B = { (a,b) : a in A, b in B }A×B={(a,b):a∈A,b∈B}
Perceba que, se AA e BB são finitos, então | A times B | = |A| . |B|∣A×B∣=∣A∣ . ∣B∣. Ou
seja, o cardinal do produto cartesiano de dois sets é igual à multiplicação dos cardinais
dos dois conjuntos.
Podemos construir um produto cartesiano onde os conjuntos AA e BB são iguais. Por
exemplo: mathbb{R} times mathbb{R} = { (x,y) : x,y in mathbb{R}
}R×R={(x,y):x,y∈R}.
Para simplificar essa expressão onde temos um produto cartesiano de sets iguais, vamos
criar um novo conceito que chamaremos de potência cartesiana (cartersian power). Desse
modo, podemos definir o exemplo de ``mathbb{R} times mathbb{R}"‘‘R×R" como
simplesmente ``mathbb{R}^2"‘‘R
2

17. ". Mais genericamente, dizemos que, para qualquer set AA e um nn positivo, o cartesian
power A^nA
n
será definir como:
A^n = underbrace{A times A times ... times A}_text{n vezes} = { (x_1,x_2, ... ,
x_n) : x_1,x_2, ... , x_n in A }A
n
=
n vezes
A×A×...×A
={(x
1
,x
2
,...,x
n
):x
1
,x
2
,...,x
n
∈A}
Subconjuntos
Nós já aprendemos a relacionar elementos e conjuntos, mas agora vamos definir um
método de relacionar conjuntos entre si. A primeira relação que vamos explorar é a que
expressa a situação onde todos os elementos de um conjunto também são elementos de
outro conjunto.
Definição: Suponha que existam dois sets AA e BB. Se todos os elementos de AA
também forem elementos de BB, dizemos que AA é um subconjunto (subset) de BB. O
símbolo usado para expressar essa relação é ``subseteq"‘‘⊆", ou seja, A subseteq BA⊆B
quer dizer que AA é subconjunto de BB. Caso exista um elemento de AA que não seja
um elemento de BB, então escrevemos que A nsubseteq BA⊈B.
Atenção 1: Uma consequência direta dessa definição de subconjunto é o fato de que
emptyset subseteq B∅⊆B para qualquer conjunto ``B"‘‘B". A demonstração dessa
afirmação é simples: suponha que exista algum conjunto ZZ onde emptyset nsubseteq

18. Z∅⊈Z. Isso significaria que existe algum x in emptysetx∈∅ que não é um elemento de
ZZ, ou seja, x notin Zx∈
/
Z. Mas, por definição, x notin emptysetx∈
/
∅, desse modo, emptyset subseteq Z∅⊆Z.
Atenção 2: É trivial o fato que dado um conjunto qualquer AA, todos os elementos de AA
pertencem a ele mesmo. Isso implica que A subseteq AA⊆A. Portanto, todo conjunto é
subconjunto de si mesmo.
Atenção 3: Como vimos antes: emptyset subseteq B∅⊆B, para qualquer set B. Acontece
que também é verdadeiro o fato de que emptyset subseteq emptyset∅⊆∅. Uma vez que,
se emptyset nsubseteq emptyset∅⊈∅ existiria algum xx de modo que x in
emptysetx∈∅ e x notin emptysetx∈
/
∅, o que é uma clara contradição.
Conjunto de Partes
Definição: Dado um set qualquer BB, o seu conjunto de partes ou power set será outro
set escrito como mathscr{P}(B)P(B) e definido como:
mathscr{P}(B) = { X : X subseteq B }P(B)={X:X⊆B}
Dica: Tem bastante informação interessante no livro. Como esse aqui é só um resumo,
não vou entrar muito em detalhes além da definição. Mas recomendo a leitura do material
original.
União, Intersecção e Diferença
Já vimos como podemos relacionar conjuntos por produto cartesiano para gerar outros
conjuntos. Agora vamos expandir ainda mais nosso ferramental de operações entre
conjuntos.
Definição: Dados dois conjuntos FF e GG, a união entre eles será um novo set denotado
por ``F cup G"‘‘F∪G" e definido como:
F cup G = { x : x in F ou x in G }F∪G={x:x∈F ou x∈G}
Definição: Sejam dois conjuntos FF e GG. A intersecção entre eles será um novo set
denotado por ``F cap G"‘‘F∩G" e definido como:
F cap G = { x : x in F e x in G }F∩G={x:x∈F e x∈G}
Definição: Sejam dois conjuntos FF e GG. A diferença entre eles será um novo set
denotado por ``F - G"‘‘F−G" e definido como:
F - G = { x : x in F e x notin G }F−G={x:x∈F e x∈
/
G}

19. Dica: Esses conceitos são muito importantes. Mas para o nosso curso não ficar muito
grande, vou me manter só nos conceitos também. Leia o material original caso tenha
dificuldade.
Complemento
Quando lidamos com conjuntos é comum supor que há um conjunto maior que contém
todos os outros. Esse set geral chamamos de conjunto universo ou conjunto universal.
Definição: Sejam um conjunto qualquer HH e o seu conjunto universo UU. O
complemento de HH é um novo set denotado por ``overline{H}"‘‘
H
" e definido por:
overline{H} = U - H
H
=U−H
Diagramas de Venn
Essa sessão eu pulei integralmente. Diagramas de Venn são ótimos pra se ter uma intuição
sobre todos os conceitos que vimos até agora, mas não são usados para provas
matemáticas. Ainda vale a leitura do capítulo.
Conjuntos Indexados
Às vezes é necessário trabalhar com uma quantidade consideravelmente grande de
conjuntos. Para esses casos, usamos uma técnica de simplificação que é adicionar um
índice numérico subscrito à alguma letra maiúscula. Desse modo, ao invés de
trabalharmos com sets AA, BB e CC, podemos trabalhar com os sets A_1A
1
, A_2A
2
e A_3A
3
.
Podemos relacionar esses subscritos à um outro set. O nome dado a esse set é conjunto
índice (index set). Nos exemplos acima, podemos dizer que todos os subscritos pertencem
ao conjunto { 1 , 2 , 3 }{1,2,3}.
Agora podemos adicionar essa técnica às relações de união e intersecção entre esses
conjuntos indexados para um número arbitrariamente grande. Além disso, vamos usar
uma notação similar a do somatório para definir essas relações.
Definição (União de Sets Indexados): Dados os conjuntos A_1A
1
, A_2A
2

20. , A_3A
3
, dots…, A_nA
n
e o index set I = { 1 , 2 , dots , n }I={1,2,…,n}, temos que
bigcup_{i in I}limits = { x : x in A_i para algum A_i, onde i in I }
i∈I
⋃
={x:x∈A
i
para algum A
i
, onde i∈I}
Definição (Intersecção de Sets Indexados): Dados os conjuntos A_1A
1
, A_2A
2
, A_3A
3
, dots…, A_nA
n
e o index set I = { 1 , 2 , dots , n }I={1,2,…,n}, temos que:
bigcap_{i in I}limits = { x : x in A_i para todo A_i, onde i in I }
i∈I
⋂
={x:x∈A
i
para todo A
i
, onde i∈I}
O livro tem dois exemplos bem interessantes da aplicação dos conceitos que acabamos
de definir. A essa altura você deve conseguir entender os dois.

21. Conjuntos que são Sistemas Numéricos
A maioria dos conjuntos que trabalhamos são conjuntos que possuem estruturas e
propriedades especiais. No caso dos conjuntos numéricos tomamos como certo que os
seus elementos podem ser somados, multiplicados e possuem relações que obedecem as
regras que passamos todo o ensino infantil, fundamental e médio aprendendo e aplicando.
Como esse livro é introdutório, todas essas características clássicas dos sistemas
numéricos serão tomadas como verdade. Mas saiba que as relações que achamos ser
naturais possuem comprovações bastante complexas, que você pode procurar por conta
própria.
Aqui o autor elenca algumas propriedades que tomaremos como verdadeiras sem que
sejam devidamente definidas e demonstradas:
Propriedade Comutativa/Associativa/Distributiva da
Adição/Subtração/Multiplicação/Divisão
Ordenação natural dos elementos numéricos de mathbb{R}R
Os subconjuntos de mathbb{N}N obedecem ao Princípio da Boa Ordenação.
Comentário: Agora a gente vai adentrar um pouco nas propriedades que podemos derivar
desses pressupostos acima. Pode parecer que é um papo chato, mas a sua missão é se
certificar que você é capaz de compreender toda a explicação. Vença a preguiça.
Uma conclusão que podemos tirar do princípio da boa ordenação é que dado um conjunto
não nulo qualquer A subseteq mathbb{N}A⊆N sempre vai haver um x_0 in Ax
0
∈A que seja o seu menor elemento. De modo parecido, para qualquer b in
mathbb{Z}b∈Z, qualquer conjunto não nulo A subseteq { b, b+1, b+2, b+3, dots
}A⊆{b,b+1,b+2,b+3,…} também possui um menor elemento.
Definição (Division Algorithm): Sejam dois inteiros aa e bb, onde b > 0b>0. Existem
outros dois inteiros únicos qq e rr para os quais a = qb + ra=qb+r e 0 leq r < b0≤r<b.
Agora o autor demonstra a existência de rr e qq com suas propriedades. Talvez depois eu
estenda a prova para a unicidade desses valores (pode me cobrar nos comentários).
Demonstração (Division Algorithm): Dados a,b in mathbb{Z}a,b∈Z e b > 0b>0, é
possível criar um set do tipo:
A = { a - xb : x in mathbb{Z}, 0 leq a - xb } subseteq
mathbb{N}^0A={a−xb:x∈Z,0≤a−xb}⊆N
0
Desse modo, A subseteq mathbb{N}A⊆N. Por causa disso, podemos aplicar o princípio
da boa ordenação em AA e dizer que existe algum elemento rr que seja o menor elemento
de AA.
Como r in Ar∈A, ele pode ser escrito da forma r = a - qbr=a−qb, onde x = q in
mathbb{Z}x=q∈Z. Desse fato podemos tirar duas informações úteis: 1) a = r + qba=r+qb
e 2) Como r in mathbb{N}^0r∈N

22. 0
, então r geq 0r≥0.
Agora só nos resta provar que r < br<b, mas para isso, vamos usar o pensamento contrário:
o que aconteceria se r geq br≥b?
Ora, se r geq br≥b, então a subtração r - br−b será um número positivo, portanto será
também um elemento de mathbb{N}^0N
0
. Podemos reescrever essa subtração como r - b = (a - qb) - b = a - (q +
1)br−b=(a−qb)−b=a−(q+1)b.
Mas veja só que estranho: q + 1q+1 certamente será um elemento de mathbb{Z}Z. Logo,
o número expresso por a - (q + 1)ba−(q+1)b também será um elemento de AA (nesse
caso, (q + 1)(q+1) é o xx). Portanto, não é possível que rr seja o seu menor elemento,
visto que r - br−b também é um elemento de AA e é menor que rr. Isso é uma clara
contradição. Isso é justamente o que queríamos mostrar: quando tomamos r geq br≥b
acabamos com uma contradição, portanto, sabemos que r < br<b. E com isso finalizamos
a demonstração da existência de rr e qq blacksquare■.
O Paradoxo de Russell
Até agora trabalhos a distinção entre “elementos” e “conjuntos”. Mas, na verdade,
qualquer número (ou seja, elemento de sets numéricos) pode, sim, ser interpretado como
um conjunto. Existe um mundo de teoria sobre conjuntos, nós não temos tempo pra entrar
muito fundo nessa questão. Então vá atrás de livros sobre teoria dos conjuntos e seja feliz.
Até mesmos as operações matemáticas podem ser definidas usando-se teoria dos
conjuntos. O autor vai até mais longe: “Qualquer entidade matemática é um conjunto,
mesmo que não escolhamos pensar desse modo“.
Essa parte do paradoxo de Russell não serve para o resto do livro mas é bem legal de
saber. O que Bertrand Russell propôs foi o seguinte conjunto:
A = { X : XA={X:X é um set e X notin X }X∈
/
X}. Ou seja, A é formado por todos os conjuntos que não possuem a si mesmo como
elemento.
E então ele perguntou: “O conjunto AA é um elemento de si mesmo?“.
Dica: Leia o livro nessa parte. O professor explica bem melhor sobre o paradoxo.
Dessa maneira terminamos o capítulo 01 do livro. Reveja sempre que necessário e tente
fazer os exercícios do livro
bigcap_{i in I}limits = { x : x in A_i para todo A_i, onde i in I
}i∈I⋂={x:x∈Ai para todo Ai, onde i∈I}
O livro tem dois exemplos bem interessantes da aplicação dos conceitos que acabamos
de definir. A essa altura você deve conseguir entender os dois.

23. Conjuntos que são Sistemas
NuméricosProduto Cartesiano
Definição: Um par ordenado é um lista
na forma (x, y)(x,y) que contém dois
elementos (nesse caso, um xx e um yy).
Esses dois elementos ficam entre
parênteses e separados por uma
vírgula.
Atenção: Atente para o fato de que
(x,y) neq (y,x)(x,y)
=(y,x).
Agora que temos a definição de par
ordenado. Podemos escrever conjuntos
usando esse novo conceito.
Definição: O produto cartesiano de
dois sets AA e BB é um outro set cujo
símbolo é ``A times B"‘‘A×B" e é
definido como:

24. A times B = { (a,b) : a in A, b in B
}A×B={(a,b):a∈A,b∈B}
Perceba que, se AA e BB são finitos,
então | A times B | = |A| .
|B|∣A×B∣=∣A∣ . ∣B∣. Ou seja, o cardinal
do produto cartesiano de dois sets é
igual à multiplicação dos cardinais dos
dois conjuntos.
Podemos construir um produto
cartesiano onde os conjuntos AA e BB
são iguais. Por exemplo: mathbb{R}
times mathbb{R} = { (x,y) : x,y in
mathbb{R} }R×R={(x,y):x,y∈R}.
Para simplificar essa expressão onde
temos um produto cartesiano de sets
iguais, vamos criar um novo conceito
que chamaremos de potência
cartesiana (cartersian power). Desse

25. modo, podemos definir o exemplo de
``mathbb{R} times
mathbb{R}"‘‘R×R" como
simplesmente ``mathbb{R}^2"‘‘R
2
". Mais genericamente, dizemos que,
para qualquer set AA e um nn
positivo, o cartesian power A^nA
n
será definir como:
A^n = underbrace{A times A times
... times A}_text{n vezes} = {
(x_1,x_2, ... , x_n) : x_1,x_2, ... , x_n in
A }A
n
=
n vezes
A×A×...×A

26. ={(x
1
,x
2
,...,x
n
):x
1
,x
2
,...,x
n
∈A}
Subconjuntos

27. Nós já aprendemos a relacionar
elementos e conjuntos, mas agora
vamos definir um método de
relacionar conjuntos entre si. A
primeira relação que vamos explorar é
a que expressa a situação onde todos
os elementos de um conjunto também
são elementos de outro conjunto.
Definição: Suponha que existam dois
sets AA e BB. Se todos os elementos de
AA também forem elementos de BB,
dizemos que AA é um subconjunto
(subset) de BB. O símbolo usado para
expressar essa relação é
``subseteq"‘‘⊆", ou seja, A subseteq
BA⊆B quer dizer que AA é
subconjunto de BB. Caso exista um
elemento de AA que não seja um
elemento de BB, então escrevemos que
A nsubseteq BA⊈B.

28. Atenção 1: Uma consequência direta
dessa definição de subconjunto é o fato
de que emptyset subseteq B∅⊆B para
qualquer conjunto ``B"‘‘B". A
demonstração dessa afirmação é
simples: suponha que exista algum
conjunto ZZ onde emptyset
nsubseteq Z∅⊈Z. Isso significaria que
existe algum x in emptysetx∈∅ que
não é um elemento de ZZ, ou seja, x
notin Zx∈
/
Z. Mas, por definição, x notin
emptysetx∈
/
∅, desse modo, emptyset subseteq
Z∅⊆Z.
Atenção 2: É trivial o fato que dado
um conjunto qualquer AA, todos os
elementos de AA pertencem a ele
mesmo. Isso implica que A subseteq

29. AA⊆A. Portanto, todo conjunto é
subconjunto de si mesmo.
Atenção 3: Como vimos antes:
emptyset subseteq B∅⊆B, para
qualquer set B. Acontece que também
é verdadeiro o fato de que emptyset
subseteq emptyset∅⊆∅. Uma vez que,
se emptyset nsubseteq emptyset∅⊈∅
existiria algum xx de modo que x in
emptysetx∈∅ e x notin emptysetx∈
/
∅, o que é uma clara contradição.
Conjunto de Partes
Definição: Dado um set qualquer BB,
o seu conjunto de partes ou power set
será outro set escrito como
mathscr{P}(B)P(B) e definido como:
mathscr{P}(B) = { X : X subseteq B
}P(B)={X:X⊆B}

30. Dica: Tem bastante informação
interessante no livro. Como esse aqui é
só um resumo, não vou entrar muito
em detalhes além da definição. Mas
recomendo a leitura do material
original.
União, Intersecção e Diferença
Já vimos como podemos relacionar
conjuntos por produto cartesiano para
gerar outros conjuntos. Agora vamos
expandir ainda mais nosso ferramental
de operações entre conjuntos.
Definição: Dados dois conjuntos FF e
GG, a união entre eles será um novo
set denotado por ``F cup G"‘‘F∪G" e
definido como:
F cup G = { x : x in F ou x in G
}F∪G={x:x∈F ou x∈G}

31. Definição: Sejam dois conjuntos FF e
GG. A intersecção entre eles será um
novo set denotado por ``F cap
G"‘‘F∩G" e definido como:
F cap G = { x : x in F e x in G
}F∩G={x:x∈F e x∈G}
Definição: Sejam dois conjuntos FF e
GG. A diferença entre eles será um
novo set denotado por ``F - G"‘‘F−G"
e definido como:
F - G = { x : x in F e x notin G
}F−G={x:x∈F e x∈
/
G}
Dica: Esses conceitos são muito
importantes. Mas para o nosso curso
não ficar muito grande, vou me

32. manter só nos conceitos também. Leia
o material original caso tenha
dificuldade.
Complemento
Quando lidamos com conjuntos é
comum supor que há um conjunto
maior que contém todos os outros.
Esse set geral chamamos de conjunto
universo ou conjunto universal.
Definição: Sejam um conjunto
qualquer HH e o seu conjunto
universo UU. O complemento de HH é
um novo set denotado por
``overline{H}"‘‘
H
" e definido por:
overline{H} = U - H
H
=U−H

33. Diagramas de Venn
Essa sessão eu pulei integralmente.
Diagramas de Venn são ótimos pra se
ter uma intuição sobre todos os
conceitos que vimos até agora, mas
não são usados para provas
matemáticas. Ainda vale a leitura do
capítulo.
Conjuntos Indexados
Às vezes é necessário trabalhar com
uma quantidade consideravelmente
grande de conjuntos. Para esses casos,
usamos uma técnica de simplificação
que é adicionar um índice numérico
subscrito à alguma letra maiúscula.
Desse modo, ao invés de trabalharmos
com sets AA, BB e CC, podemos
trabalhar com os sets A_1A
1

34. , A_2A
2
e A_3A
3
.
Podemos relacionar esses subscritos à
um outro set. O nome dado a esse set é
conjunto índice (index set). Nos
exemplos acima, podemos dizer que
todos os subscritos pertencem ao
conjunto { 1 , 2 , 3 }{1,2,3}.
Agora podemos adicionar essa técnica
às relações de união e intersecção entre
esses conjuntos indexados para um
número arbitrariamente grande. Além
disso, vamos usar uma notação similar
a do somatório para definir essas
relações.

35. Definição (União de Sets Indexados):
Dados os conjuntos A_1A
1
, A_2A
2
, A_3A
3
, dots…, A_nA
n
e o index set I = { 1 , 2 , dots , n
}I={1,2,…,n}, temos que
bigcup_{i in I}limits = { x : x in A_i
para algum A_i, onde i in I }
i∈I
⋃

36. ={x:x∈A
i
para algum A
i
, onde i∈I}
Definição (Intersecção de Sets
Indexados): Dados os conjuntos A_1A
1
, A_2A
2
, A_3A
3
, dots…, A_nA
n

37. e o index set I = { 1 , 2 , dots , n
}I={1,2,…,n}, temos que:
bigcap_{i in I}limits = { x : x in A_i
para todo A_i, onde i in I }
i∈I
⋂
={x:x∈A
i
para todo A
i
, onde i∈I}
O livro tem dois exemplos bem
interessantes da aplicação dos
conceitos que acabamos de definir. A
essa altura você deve conseguir
entender os dois.

38. Conjuntos que são Sistemas
Numéricos
A maioria dos conjuntos que
trabalhamos são conjuntos que
possuem estruturas e propriedades
especiais. No caso dos conjuntos
numéricos tomamos como certo que os
seus elementos podem ser somados,
multiplicados e possuem relações que
obedecem as regras que passamos todo
o ensino infantil, fundamental e médio
aprendendo e aplicando. Como esse
livro é introdutório, todas essas
características clássicas dos sistemas
numéricos serão tomadas como
verdade. Mas saiba que as relações
que achamos ser naturais possuem
comprovações bastante complexas, que
você pode procurar por conta própria.
Aqui o autor elenca algumas
propriedades que tomaremos como

39. verdadeiras sem que sejam
devidamente definidas e
demonstradas:
Propriedade
Comutativa/Associativa/Distributiva
da
Adição/Subtração/Multiplicação/Divis
ão
Ordenação natural dos elementos
numéricos de mathbb{R}R
Os subconjuntos de mathbb{N}N
obedecem ao Princípio da Boa
Ordenação.
Comentário: Agora a gente vai
adentrar um pouco nas propriedades
que podemos derivar desses
pressupostos acima. Pode parecer que
é um papo chato, mas a sua missão é se
certificar que você é capaz de
compreender toda a explicação. Vença
a preguiça.

40. Uma conclusão que podemos tirar do
princípio da boa ordenação é que dado
um conjunto não nulo qualquer A
subseteq mathbb{N}A⊆N sempre vai
haver um x_0 in Ax
0
∈A que seja o seu menor elemento. De
modo parecido, para qualquer b in
mathbb{Z}b∈Z, qualquer conjunto
não nulo A subseteq { b, b+1, b+2,
b+3, dots }A⊆{b,b+1,b+2,b+3,…}
também possui um menor elemento.
Definição (Division Algorithm): Sejam
dois inteiros aa e bb, onde b > 0b>0.
Existem outros dois inteiros únicos qq
e rr para os quais a = qb + ra=qb+r e 0
leq r < b0≤r<b.

41. Agora o autor demonstra a existência
de rr e qq com suas propriedades.
Talvez depois eu estenda a prova para
a unicidade desses valores (pode me
cobrar nos comentários).
Demonstração (Division Algorithm):
Dados a,b in mathbb{Z}a,b∈Z e b >
0b>0, é possível criar um set do tipo:
A = { a - xb : x in mathbb{Z}, 0 leq a
- xb } subseteq
mathbb{N}^0A={a−xb:x∈Z,0≤a−xb}
⊆N
0
Desse modo, A subseteq
mathbb{N}A⊆N. Por causa disso,
podemos aplicar o princípio da boa
ordenação em AA e dizer que existe

42. algum elemento rr que seja o menor
elemento de AA.
Como r in Ar∈A, ele pode ser escrito
da forma r = a - qbr=a−qb, onde x = q
in mathbb{Z}x=q∈Z. Desse fato
podemos tirar duas informações úteis:
1) a = r + qba=r+qb e 2) Como r in
mathbb{N}^0r∈N
0
, então r geq 0r≥0.
Agora só nos resta provar que r <
br<b, mas para isso, vamos usar o
pensamento contrário: o que
aconteceria se r geq br≥b?
Ora, se r geq br≥b, então a subtração
r - br−b será um número positivo,
portanto será também um elemento de
mathbb{N}^0N
0

43. . Podemos reescrever essa subtração
como r - b = (a - qb) - b = a - (q +
1)br−b=(a−qb)−b=a−(q+1)b.
Mas veja só que estranho: q + 1q+1
certamente será um elemento de
mathbb{Z}Z. Logo, o número
expresso por a - (q + 1)ba−(q+1)b
também será um elemento de AA
(nesse caso, (q + 1)(q+1) é o xx).
Portanto, não é possível que rr seja o
seu menor elemento, visto que r - br−b
também é um elemento de AA e é
menor que rr. Isso é uma clara
contradição. Isso é justamente o que
queríamos mostrar: quando tomamos
r geq br≥b acabamos com uma
contradição, portanto, sabemos que r
< br<b. E com isso finalizamos a
demonstração da existência de rr e qq
blacksquare■.

44. O Paradoxo de Russell
Até agora trabalhos a distinção entre
“elementos” e “conjuntos”. Mas, na
verdade, qualquer número (ou seja,
elemento de sets numéricos) pode, sim,
ser interpretado como um conjunto.
Existe um mundo de teoria sobre
conjuntos, nós não temos tempo pra
entrar muito fundo nessa questão.
Então vá atrás de livros sobre teoria
dos conjuntos e seja feliz. Até mesmos
as operações matemáticas podem ser
definidas usando-se teoria dos
conjuntos. O autor vai até mais longe:
“Qualquer entidade matemática é um
conjunto, mesmo que não escolhamos
pensar desse modo“.
Essa parte do paradoxo de Russell não
serve para o resto do livro mas é bem
legal de saber. O que Bertrand Russell
propôs foi o seguinte conjunto:

45. A = { X : XA={X:X é um set e X notin
X }X∈ProdutoCartesiano
Definição: Um parordenadoé um lista
na forma(x,y)(x,y)quecontémdois
elementos (nessecaso,um xx e um yy).
Esses dois elementos ficamentre
parêntesese separadosporuma
vírgula.
Atenção:Atentepara o fatode que(x,y)
neq (y,x)(x,y)
=(y,x).
Agoraquetemosa definiçãode par
ordenado. Podemosescreverconjuntos
usandoesse novoconceito.
Definição: O produtocartesianode dois
setsAA e BB é um outrosetcujo

46. símboloé ``Atimes B"‘‘A×B" e é
definidocomo:
A timesB = { (a,b): a inA, b inB
}A×B={(a,b):a∈A,b∈B}
Perceba que,se AA e BB sãofinitos,
então| A timesB | = |A| .
|B|∣A×B∣=∣A∣. ∣B∣. Ou seja,o cardinal
do produtocartesianode dois sets é
igualà multiplicação dos cardinais dos
dois conjuntos.
Podemosconstruirumproduto
cartesianoondeos conjuntosAA e BB
sãoiguais. Porexemplo: mathbb{R}
timesmathbb{R}= { (x,y): x,y in
mathbb{R}}R×R={(x,y):x,y∈R}.
Parasimplificaressaexpressãoonde
temosum produtocartesianode sets
iguais, vamoscriarumnovoconceito

47. que chamaremos de potência
cartesiana(cartersianpower).Desse
modo, podemosdefiniro exemplode
``mathbb{R}times
mathbb{R}"‘‘R×R" como
simplesmente``mathbb{R}^2"‘‘R
2
". Mais genericamente,dizemos que,
paraqualquersetAA e um nn positivo,
o cartesian powerA^nA
n
serádefinircomo:
A^n = underbrace{AtimesA times
... timesA}_text{n vezes}= {
(x_1,x_2, ..., x_n): x_1,x_2, ..., x_n inA
}A
n
=
n vezes
A×A×...×A

48. ={(x
1
,x
2
,...,x
n
):x
1
,x
2
,...,x
n
∈A}

49. Subconjuntos
Nós já aprendemosa relacionar
elementos e conjuntos,mas agora
vamosdefinirum métodode relacionar
conjuntosentresi. A primeira relação
que vamosexploraré a que expressaa
situaçãoondetodosos elementosde
um conjuntotambémsãoelementosde
outroconjunto.
Definição: Suponhaque existamdois
setsAA e BB.Se todosos elementos de
AA tambémforemelementos de BB,
dizemosqueAA é um subconjunto
(subset)de BB. O símbolousadopara
expressaressa relaçãoé
``subseteq"‘‘⊆", ou seja,A subseteq
BA⊆B querdizerqueAA é subconjunto
de BB. Casoexistaum elementode AA
que nãosejaum elementode BB, então
escrevemosque A nsubseteq BA⊈B.

50. Atenção1:Uma consequênciadireta
dessa definiçãode subconjuntoé o fato
de queemptyset subseteq B∅⊆B
paraqualquerconjunto``B"‘‘B". A
demonstraçãodessa afirmaçãoé
simples:suponhaque exista algum
conjuntoZZ ondeemptyset
nsubseteq Z∅⊈Z.Issosignificariaque
existe algumx inemptysetx∈∅que
nãoé um elementode ZZ,ou seja,x
notinZx∈
/
Z. Mas,pordefinição,x notin
emptysetx∈
/
∅, dessemodo,emptysetsubseteq
Z∅⊆Z.
Atenção2:É trivialo fatoquedadoum
conjuntoqualquerAA,todosos
elementos de AA pertencema ele
mesmo.Issoimplica queA subseteq

51. AA⊆A.Portanto, todoconjuntoé
subconjuntode si mesmo.
Atenção3:Comovimosantes:
emptysetsubseteqB∅⊆B,para
qualquersetB. Acontece quetambémé
verdadeiroo fatode que emptyset
subseteqemptyset∅⊆∅.Uma vez
que, se emptysetnsubseteq
emptyset∅⊈∅existiriaalgumxx de
modoquex inemptysetx∈∅e x
notinemptysetx∈
/
∅, o que é uma claracontradição.
Conjuntode Partes
Definição: Dadoum setqualquerBB, o
seu conjuntode partes ou powerset
será outrosetescritocomo
mathscr{P}(B)P(B)e definidocomo:

52. mathscr{P}(B)= { X : X subseteqB
}P(B)={X:X⊆B}
Dica:Tembastanteinformação
interessante nolivro.Comoesseaquié
só um resumo, nãovou entrarmuito
em detalhesalémda definição.Mas
recomendoa leiturado material
original.
União,Intersecçãoe Diferença
Já vimoscomopodemosrelacionar
conjuntosporprodutocartesianopara
geraroutrosconjuntos.Agoravamos
expandiraindamais nossoferramental
de operaçõesentre conjuntos.
Definição: Dados dois conjuntos FF e
GG,a uniãoentre elesseráum novoset
denotadopor``FcupG"‘‘F∪G"e
definidocomo:

53. F cupG = { x : x inF ou x inG
}F∪G={x:x∈Fou x∈G}
Definição: Sejamdois conjuntosFF e
GG.A intersecçãoentreeles será um
novosetdenotadopor``Fcap
G"‘‘F∩G"e definidocomo:
F capG = { x : x in F e x inG
}F∩G={x:x∈Fe x∈G}
Definição: Sejamdois conjuntosFF e
GG.A diferençaentre elesseráum novo
set denotadopor``F- G"‘‘F−G" e
definidocomo:
F - G = { x : x inF e x notinG
}F−G={x:x∈Fe x∈
/
G}

54. Dica:Essesconceitossãomuito
importantes. Maspara o nossocurso
nãoficarmuitogrande,vou me manter
só nos conceitostambém.Leiao
materialoriginalcasotenha
dificuldade.
Complemento
Quandolidamos comconjuntosé
comumsuporquehá um conjunto
maiorquecontémtodosos outros.Esse
set geralchamamosde conjunto
universoou conjuntouniversal.
Definição: Sejamum conjuntoqualquer
HH e o seu conjuntouniversoUU.O
complementode HH é um novoset
denotadopor``overline{H}"‘‘
H
" e definidopor:
overline{H}= U - H

55. H
=U−H
Diagramas de Venn
Essasessãoeu puleiintegralmente.
Diagramas de Venn sãoótimospra se
teruma intuiçãosobretodosos
conceitos quevimosaté agora,mas não
sãousadospara provas matemáticas.
Ainda valea leituradocapítulo.
ConjuntosIndexados
Às vezesé necessáriotrabalharcom
uma quantidade consideravelmente
grandede conjuntos. Paraessescasos,
usamosuma técnicade simplificação
que é adicionarumíndicenumérico
subscritoà alguma letra maiúscula.
Dessemodo, ao invésde trabalharmos
comsets AA,BB e CC,podemos
trabalharcomos setsA_1A
1

56. , A_2A
2
e A_3A
3
.
Podemosrelacionaresses subscritosà
um outroset. O nome dadoa esseset é
conjuntoíndice(indexset).Nos
exemplosacima,podemosdizerque
todos os subscritospertencemao
conjunto{ 1 , 2 , 3 }{1,2,3}.
Agorapodemosadicionaressatécnica
às relações de uniãoe intersecçãoentre
esses conjuntosindexadospara um
númeroarbitrariamente grande.Além
disso, vamosusaruma notaçãosimilar

57. a do somatóriopara definiressas
relações.
Definição(Uniãode SetsIndexados):
Dadosos conjuntosA_1A
1
, A_2A
2
, A_3A
3
, dots…,A_nA
n
e o indexset I = { 1 , 2 , dots, n
}I={1,2,…,n}, temosque
bigcup_{i inI}limits= { x : x in A_i
para algum A_i, onde i inI }
i∈I

58. ⋃
={x:x∈A
i
para algumA
i
, onde i∈I}
Definição(Intersecçãode Sets
Indexados):Dadosos conjuntosA_1A
1
, A_2A
2
, A_3A
3
, dots…,A_nA
n

59. e o indexset I = { 1 , 2 , dots, n
}I={1,2,…,n}, temosque:
bigcap_{i inI}limits = { x : x in A_i
para todo A_i, onde i in I }
i∈I
⋂
={x:x∈A
i
para todoA
i
, onde i∈I}
O livrotemdois exemplosbem
interessantesda aplicaçãodos
conceitos queacabamosde definir.A
essaalturavocê deveconseguir
entenderos dois.

60. Conjuntosque sãoSistemasNuméricos
A maioria dos conjuntosque
trabalhamos sãoconjuntosque
possuemestruturase propriedades
especiais. No casodosconjuntos
numéricostomamoscomocertoqueos
seuselementospodemsersomados,
multiplicadose possuemrelações que
obedecemas regrasque passamos todo
o ensinoinfantil, fundamental e médio
aprendendoe aplicando.Comoesse
livroé introdutório,todas essas
características clássicas dos sistemas
numéricosserãotomadascomo
verdade.Mas saibaque as relações que
achamos sernaturais possuem
comprovaçõesbastante complexas,que
você podeprocurarporcontaprópria.
Aqui o autorelencaalgumas
propriedadesquetomaremos como

61. verdadeirassemquesejam
devidamentedefinidas e
demonstradas:
Propriedade
Comutativa/Associativa/Distributiva
da
Adição/Subtração/Multiplicação/Divis
ão
Ordenaçãonaturaldos elementos
numéricosde mathbb{R}R
Os subconjuntosde mathbb{N}N
obedecemaoPrincípioda Boa
Ordenação.
Comentário:Agoraa gentevai adentrar
um pouconaspropriedades que
podemosderivardesses pressupostos
acima.Podeparecerqueé um papo
chato, mas a sua missãoé se certificar
que vocêé capazde compreendertoda
a explicação.Vençaa preguiça.

62. Uma conclusãoquepodemostirardo
princípioda boa ordenaçãoé que dado
um conjuntonãonuloqualquerA
subseteqmathbb{N}A⊆Nsemprevai
haverumx_0 inAx
0
∈A que sejao seu menorelemento.De
modoparecido, paraqualquerb in
mathbb{Z}b∈Z,qualquerconjuntonão
nuloA subseteq{ b,b+1,b+2,b+3,
dots}A⊆{b,b+1,b+2,b+3,…}
tambémpossui ummenorelemento.
Definição(Division Algorithm):Sejam
dois inteirosaa e bb,onde b > 0b>0.
Existemoutrosdoisinteirosúnicos qq
e rr para os quais a = qb + ra=qb+re 0
leqr < b0≤r<b.
Agorao autordemonstraa existência
de rr e qq comsuas propriedades.

63. Talvezdepois eu estenda a provaparaa
unicidadedessesvalores(podeme
cobrarnos comentários).
Demonstração(DivisionAlgorithm):
Dadosa,b inmathbb{Z}a,b∈Ze b >
0b>0,é possível criarumset dotipo:
A = { a - xb : x inmathbb{Z}, 0 leqa
- xb } subseteq
mathbb{N}^0A={a−xb:x∈Z,0≤a−xb}
⊆N
0
Dessemodo, A subseteq
mathbb{N}A⊆N. Porcausadisso,
podemosaplicaro princípioda boa
ordenaçãoemAA e dizerque existe
algumelementorr quesejao menor
elementode AA.

64. Comor inAr∈A,ele pode serescrito
da formar = a - qbr=a−qb,ondex = q
inmathbb{Z}x=q∈Z.Dessefato
podemostirarduas informações úteis:
1) a = r + qba=r+qbe 2) Comor in
mathbb{N}^0r∈N
0
, entãor geq 0r≥0.
Agorasó nos restaprovarque r <
br<b,mas paraisso, vamos usaro
pensamentocontrário: o que
aconteceriase r geqbr≥b?
Ora, se r geq br≥b,entãoa subtraçãor
- br−b seráumnúmeropositivo,
portantoserátambémum elementode
mathbb{N}^0N
0
. Podemosreescreveressasubtração
comor - b = (a - qb)- b = a - (q +
1)br−b=(a−qb)−b=a−(q+1)b.

65. Mas vejasó queestranho: q + 1q+1
certamente será umelementode
mathbb{Z}Z.Logo,o númeroexpresso
pora - (q + 1)ba−(q+1)btambémserá
um elementode AA (nessecaso,(q +
1)(q+1)é o xx). Portanto,nãoé
possívelque rr sejao seu menor
elemento, vistoquer - br−b tambémé
um elementode AA e é menorquerr.
Issoé uma claracontradição.Issoé
justamente o que queríamosmostrar:
quandotomamosr geqbr≥b
acabamos comuma contradição,
portanto, sabemos quer < br<b.E com
issofinalizamosa demonstraçãoda
existência de rr e qq blacksquare■.
O Paradoxode Russell
Até agoratrabalhosa distinçãoentre
“elementos” e “conjuntos”. Mas, na
verdade,qualquernúmero(ou seja,

66. elementode setsnuméricos)pode, sim,
serinterpretado comoumconjunto.
Existe ummundode teoria sobre
conjuntos,nós nãotemostempopra
entrarmuitofundonessaquestão.
Entãová atrásde livros sobreteoria
dos conjuntose sejafeliz. Até mesmos
as operações matemáticas podemser
definidasusando-seteoriados
conjuntos.O autorvaiatémaislonge:
“Qualquerentidadematemáticaé um
conjunto,mesmoquenãoescolhamos
pensardessemodo“.
Essapartedoparadoxode Russellnão
serve parao restodolivromas é bem
legalde saber.O que BertrandRussell
propôs foio seguinte conjunto:
A = { X : XA={X:Xé um set e X notinX
}X∈
/

67. X}. Ou seja,A é formadoportodosos
conjuntosque nãopossuema si mesmo
comoelemento.
E entãoele perguntou: “OconjuntoAA
é um elementode si mesmo?“.
Dica:Leiao livronessa parte.O
professorexplicabemmelhorsobreo
paradoxo.
Dessamaneiraterminamos o capítulo
01 do livro.Revejasempre que
necessárioe tentefazeros exercícios
do livro
/
X}. Ou seja, A é formado por todos os
conjuntos que não possuem a si mesmo
como elemento.
E então ele perguntou: “O conjunto
AA é um elemento de si mesmo?“.

68. Dica: Leia o livro nessa parte. O
professor explica bem melhor sobre o
paradoxo.
Dessa maneira terminamos o capítulo
01 do livro. Reveja sempre que
necessário e tente fazer os exercícios
do livro
A maioria dos conjuntos que trabalhamos são conjuntos que possuem estruturas e
propriedades especiais. No caso dos conjuntos numéricos tomamos como certo que os
seus elementos podem ser somados, multiplicados e possuem relações que obedecem as
regras que passamos todo o ensino infantil, fundamental e médio aprendendo e aplicando.
Como esse livro é introdutório, todas essas características clássicas dos sistemas
numéricos serão tomadas como verdade. Mas saiba que as relações que achamos ser
naturais possuem comprovações bastante complexas, que você pode procurar por conta
própria.
Aqui o autor elenca algumas propriedades que tomaremos como verdadeiras sem que
sejam devidamente definidas e demonstradas:
 Propriedade Comutativa/Associativa/Distributiva da
Adição/Subtração/Multiplicação/Divisão
 Ordenação natural dos elementos numéricos de mathbb{R}R
 Os subconjuntos de mathbb{N}N obedecem ao Princípio da Boa Ordenação.
Comentário: Agora a gente vai adentrar um pouco nas propriedades que podemos derivar
desses pressupostos acima. Pode parecer que é um papo chato, mas a sua missão é se
certificar que você é capaz de compreender toda a explicação. Vença a preguiça.
Uma conclusão que podemos tirar do princípio da boa ordenação é que dado um conjunto
não nulo qualquer A subseteq mathbb{N}A⊆N sempre vai haver um x_0 in
Ax0∈A que seja o seu menor elemento. De modo parecido, para qualquer b in
mathbb{Z}b∈Z, qualquer conjunto não nulo A subseteq { b, b+1, b+2, b+3,
dots }A⊆{b,b+1,b+2,b+3,…} também possui um menor elemento.
Definição (Division Algorithm): Sejam dois inteiros aa e bb, onde b > 0b>0. Existem
outros dois inteiros únicos qq e rr para os quais a = qb + ra=qb+r e 0 leq r <
b0≤r<b.
Agora o autor demonstra a existência de rr e qq com suas propriedades. Talvez depois
eu estenda a prova para a unicidade desses valores (pode me cobrar nos comentários).

69. Demonstração (Division Algorithm): Dados a,b in mathbb{Z}a,b∈Z e b >
0b>0, é possível criar um set do tipo:
A = { a - xb : x in mathbb{Z}, 0 leq a - xb } subseteq
mathbb{N}^0A={a−xb:x∈Z,0≤a−xb}⊆N0
Desse modo, A subseteq mathbb{N}A⊆N. Por causa disso, podemos aplicar o
princípio da boa ordenação em AA e dizer que existe algum elemento rr que seja o
menor elemento de AA.
Como r in Ar∈A, ele pode ser escrito da forma r = a - qbr=a−qb, onde x = q in
mathbb{Z}x=q∈Z. Desse fato podemos tirar duas informações úteis: 1) a = r +
qba=r+qb e 2) Como r in mathbb{N}^0r∈N0, então r geq 0r≥0.
Agora só nos resta provar que r < br<b, mas para isso, vamos usar o pensamento
contrário: o que aconteceria se r geq br≥b?
Ora, se r geq br≥b, então a subtração r - br−b será um número positivo, portanto será
também um elemento de mathbb{N}^0N0. Podemos reescrever essa subtração
como r - b = (a - qb) - b = a - (q + 1)br−b=(a−qb)−b=a−(q+1)b.
Mas veja só que estranho: q + 1q+1 certamente será um elemento de mathbb{Z}Z.
Logo, o número expresso por a - (q + 1)ba−(q+1)b também será um elemento
de AA (nesse caso, (q + 1)(q+1) é o xx). Portanto, não é possível que rr seja o seu
menor elemento, visto que r - br−b também é um elemento de AA e é menor que rr.
Isso é uma clara contradição. Isso é justamente o que queríamos mostrar: quando
tomamos r geq br≥b acabamos com uma contradição, portanto, sabemos que r <
br<b. E com isso finalizamos a demonstração da existência
de rr e qq blacksquare■.
O Paradoxo de Russell
Até agora trabalhos a distinção entre “elementos” e “conjuntos”. Mas, na verdade,
qualquer número (ou seja, elemento de sets numéricos) pode, sim, ser interpretado como
um conjunto. Existe um mundo de teoria sobre conjuntos, nós não temos tempo pra entrar
muito fundo nessa questão. Então vá atrás de livros sobre teoria dos conjuntos e seja feliz.
Até mesmos as operações matemáticas podem ser definidas usando-se teoria dos
conjuntos. O autor vai até mais longe: “Qualquer entidade matemática é um conjunto,
mesmo que não escolhamos pensar desse modo“.
Essa parte do paradoxo de Russell não serve para o resto do livro mas é bem legal de
saber. O que Bertrand Russell propôs foi o seguinte conjunto:
A = { X : XA={X:X é um set e X notin X }X∈/X}. Ou seja, A é formado por
todos os conjuntos que não possuem a si mesmo como elemento.
E então ele perguntou: “O conjunto AA é um elemento de si mesmo?“.
Dica: Leia o livro nessa parte. O professor explica bem melhor sobre o paradoxo.
Dessa maneira terminamos o capítulo 01 do livro. Reveja sempre que necessário e tente
fazer os exercícios do livro