Trabalho de geodesia 2 problema dirfecto e inverso

UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO
FACULDADE DE CIENCIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA GEOGRAFICA
TRABALHO DE GEODESIA II
Determinação do problema
direito e inverso da geodesia
Curso : eng. Geografica
3º ano
Periodo : noturno
Docente: Dr. António Alves de carvalho
LUANDA - 2013

Problema geodesico directo e inverso
Trabalho de geodesia II Página 2
INTEGRANTES DO GRUPO
AFONSO VICTOR ZOBETO ........................................................... Nº 87070
ALFEU MARINHO JOSE ......................................................................Nº 87073
JOÃO HENRIQUE GANDA .................................................................Nº 81505
JOÃO FELIPE EDUARDO DOMBI ......................................................Nº 84281
LINO PAULO SUMANO .......................................................................Nº 74873
JANUARIO JOÃO DUARTE CABAMBO...........................................Nº 811500

Ninguem quer saber o que fomos, o que possuiamos, que cargo
ocupavamos no mundo; o que conta e a luz que cada um
ja tenha conseguido fazer brilhar em si mesmo.
Chico Xavier

AGRADECIMENTO
Deus é a fonte da vida e como sempre, ele soube iluminar as nossas ideias de formas a
fazermos bem as coisas da terra ( entre as quais o trabalho que nós apresentamos). Pela sua
grandiosidade é a ele que agradecemos primeiramente; em segunda instancia agradecemos aos
nosso familiares que de forma incondicional sempre estiveram presentes para um apoio moral
e financeiro; ao Doutor Alves pela amabilidade de nos propor a execução deste trabalho que
de certa forma pela sua complexidade, nos exigiu um certo indice de investigação, debates e
dúvidas.

INDICE
OBJECTIVO...............................................................................................................................6
INTRODUÇÃO .........................................................................................................................7
DETERMINAÇÃO DO PROBLEMA DIRECTO E INVERSO DA GEODESIA...................8
SOLUÇÃO NÃO ITERATIVA – FÓRMULAS DE SODANO .............................................12
FÓRMULAS DE VINCENTY.................................................................................................15
CONCLUSÃO..........................................................................................................................18
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .....................................................................................19

Objectivo
Este trabalho tem o proposito fundamental o transporte de coordenadas sendo ele um
cálculo seqüencial que passa por todos os pontos intermediários, desde um ponto origem
cujas coordenadas sejam conhecidas até o ponto considerado.

Introdução
Neste trabalho iremos abordar acerca do problema geodésico direto e inverso.
Sabe-se que em uma superfície de um elipsóide nos é dado um ponto A cujas coordenadas
esféricas (latitudes e longitudes geodésicas) são conhecidas bem como o azimute geodésico e
a distancia da linha geodesica, com a pretensão em determinar coordenadas geodésicas de um
outro ponto B, neste contesto surge o problema geodesico direto.
Para o problema geodesico inverso nos é dado as coordenadas geodesicas de dois
pontos e pretende-se determinar a distancia ou o comprimento da linha geodesica e o seu
azimute.
Para resolução destes problemas a geodesia nos oferece varias formulas de resolução. Para o
nosso caso utilizamos as formulas de PUISSANT, SODANO e de VINCENTY .

DETERMINAÇÃO DO PROBLEMA DIRECTO E
INVERSO DA GEODESIA
O procedimento fundamental para o estabelecimento de uma rede geodésica é o de
posicionar os pontos, atribuindo-lhes coordenadas definidas em função da sua posição relativa em
relação ao Datum e em função da geometria da superfície de referência utilizada.
Quanto mais a superfície de referência se aproxima da Terra verdadeira, mais as
coordenadas geométricas se aproximarão das naturais.
A operação matemática que possibilita o estabelecimento das coordenadas, conforme
descrito, denomina-se transporte de coordenadas.
O transporte de coordenadas é um cálculo seqüencial que passa por todos os pontos intermediários,
desde que o Datum, ou seja, desde um ponto origem cujas coordenadas sejam conhecidas até o
ponto considerado.
As coordenadas dos pontos são vinculadas às do ponto origem e são determinadas por
dimensões de bases, ângulos e azimutes, sendo usado como superfície de referência o elipsóide.
O transporte de coordenadas implica em duas situações, denominadas de problema direto e
problema inverso da geodésia.
Elementos esféricos fundamentais ao posicionamento
Onde:
ϕ1=latitude de P1
λ1=longitude de P1
ϕ2=latitude de P2
λ2=longitude de P2
γ=Convergência meridiana
A12=Azimute da direção P1 para P2
A21= Azimute da direção P2 para P1
S12= Comprimento da linha geodésica cujos pontos extremos são P1 e P2
Problemas Geodésicos Direto e Inverso

Solução do Problema Direto:
Dados conhecidos: ϕ1, λ1, A12, S12
Incógnitas: ϕ2, λ2, A21, γ
No problema direto são conhecidas as coordenadas geodésicas latitude ϕ1e longitude
λ1 de um ponto, a distância S12 e o azimute A12 para um segundo ponto, e é necessário
determinar as coordenadas geodésicas latitude ϕ2 e longitude λ2 deste segundo ponto.
Figura : Problema direto
Solução do Problema Inverso
Dados conhecidos: ϕ1, ϕ2, λ1, λ2
Incógnitas: γ, A12, A21, S12
No problema inverso são conhecidas às coordenadas geodésicas de dois pontos, e é
necessário se determinar a distância e o azimute entre os dois pontos.
Figura 2.2: Problema indireto
Obs:
a) Nos exemplos deve-se destacar que A21 ≠ A12 ± 180° uma vez que os meridianos de
1 e 2 não são paralelos, possuindo uma convergência γ, e assim:
A21 = A12 + γ ± 180°
b) É usual no problema direto, anexar o cálculo de γ e A21, para que se possa
continuar com o transporte de coordenadas para outros pontos.
c) Na actualidade é mais usual o problema inverso devido a técnicas modernas de
posicionamento como observações de satélites GPS e GLONASS.
Solução para os Problemas Geodésicos – Fórmulas de Puissant.

Figura : Arco de circunferência máxima
O uso das fórmulas de Puissant são adequadas para linhas curtas, não superiores a 80
km, e garante a precisão de 0,002” em ϕ2 para distâncias de até 100 km.
Problema Geodésico Direto
Neste caso são conhecidos:
ϕ1 e λ1 (latitude e longitude geodésicas do ponto 1)
A12 e s12 (azimute geodésico do ponto 1 para o ponto 2 e distância entre os dois pontos)
Devendo-se calcular:
A21 (azimute geodésico do ponto 2 para o ponto 1)
Transporte da longitude
OBS – S12 é a distância entre P1 e P2, não confundir com área.
Transporte do Azimute
Transporte da latitude

Problema Geodésico Inverso
Neste caso são conhecidas:
Os termos que devem ser calcular são:
A12 e s12 (azimute geodésico e distância entre os dois pontos)

SOLUÇÃO NÃO ITERATIVA – FÓRMULAS DE
SODANO.
Nas décadas de 50 e 60 SODANO apresentou fórmulas que fornecem uma solução
não iterativa para os problemas direto e inverso da Geodésia.
SODANO apresentou fórmulas de fácil programação computacional, além de
equações auxiliares que visam garantir alto grau de acurácia para qualquer linha geodésica,
não importando seu comprimento. A princípio, a dedução não iterativa foi desenvolvida para
geodésicas muito longas, visando o cálculo computacional. Posteriormente, de forma a obter a
mesma acurácia para geodésicas muito curtas, foram desenvolvidas fórmulas alternativas.
De maneira geral, as fórmulas alternativas para linhas curtas são também utilizadas
para linhas longas, logo, é necessário programar apenas um conjunto de equações.
As equações para a solução não iterativa desenvolvidas por SODANO são
apresentadas abaixo [SODANO,1965]:
Problema Inverso
Neste caso são conhecidas:
B1 e L1 (latitude e longitude geodésicas do ponto 1)
Considerando-se negativas as latitudes sul e longitudes oeste.
Os termos que deve-se calcular são:
α e S [azimute geodésico (horário contado a partir do Norte) distância entre os dois pontos]
A formulação aplicada para a solução do problema inverso é:
onde a0 é o semi eixo maior do elipsóide e b0 o semi eixo menor

Problema Direto
Neste caso são conhecidos:
α1-2 e S [azimute geodésico do ponto 1 para o ponto 2 (horário contado a partir do Norte) e
distância entre os dois pontos]
Considerando-se negativas as latitudes sul e longitudes oeste.
Devendo-se calcular:
α2-1 [azimute geodésico do ponto 2 para o ponto 1 (horário contado a partir do Norte)]
A formulação aplicada para a solução do problema direto é:

onde a0 é o semi eixo maior do elipsóide e b0 o semi eixo menor

FÓRMULAS DE VINCENTY
Um dos métodos para resolver o Problema Direto e Inverso de coordenadas na
Geodésia são as fórmulas de Vincenty descritas a seguir (VINCENTY, 1975). Ambas as
fórmulas são baseadas em métodos iterativos.
Primeiro serão apresentadas as fórmulas para o problema direto.
Dado o ponto inicial( φ1, λ1 ), azimute inicial α1, distância s em metros e os parâmetros do
elipsóide de referência b; f; e0 (semi-eixo menor, achatamento, segunda excentricidade) são
calculados:

As equações são iteradas até que a variação em σ seja desprezíve
Das equações acima são obtidas o ponto final (φ2; λ2). A seguir estão as fórmulas para
o problema inverso.
λ= λ2 - λ1 (primeira aproximação)
A variável _ é obtida pelas equações são iteradas começando por outras equações até
que a mudança em λ seja negligível. Após λ convergir pode-se calcular:

onde Δσ é obtido pelas equações ja citadas.
As expressões foram validadas por (THOMAS e FEATHERSTONE, 2005)
considerando distâncias de até 18:000km, com erros em distância menores que 0; 115mm em
todos os casos testados. Este método será utilizado para o desenho de uma linha geodésica
tendo em vista o estudo de seu comportamento.

CONCLUSÃO
De tudo que se abordou com relação aos problemas geodesicos direto e inverso
conclui-se que:
Apartir de um ponto de origem com coordenadas conhecidas aplicando os metodos
geodesicos direto e inverso usando como superfície de referência o elipsóide transportamo-lo
para a determinação dos pontos intermedios formando a rede geodesica.
Sabe-se que todo ponto na superficie terrestre esta adensado a uma rede geodesica dai,
urge todo uma necessidade de estuda-la ao pormenor; uma vez que os metodos aqui retratados
são de grande utilidade para a determinação da mesma.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
GEMAEL, C., (1987). Introdução a Geodésia (1ª Parte). Curso de Pós-Graduação em
Ciências Geodésicas – UFPR – Curitiba – PR.
GEMAEL, C., (1988). Introdução a Geodésia (2ª Parte). Curso de Pós-Graduação em
Ciências Geodésicas – UFPR – Curitiba – PR.
SEEBER, G., (1993). Satellite Geodesy., Berlin.
SODANO, E. M., (1958). A rigorous non-iterative procedure for rapid inverse solution of
very long geodesics. Bulletin Géodésique, Paris, pags 13-25.
SODANO, E. M., (1965). General non-iterative solution of the inverse and direct geodetic
problems. Bulletin Géodésique, Paris, pags 69-89.
SODANO, E. M., (1967). Supplement to inverse solution of long geodesics. Bulletin
Géodésique, Paris, pags 233-236.
VANÍCEK, P., KRAKIWSKY, E., (1986). Geodesy: The Concepts. 2ª ed. Amsterdam,
Elsevier Science Publishers B. V.

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