1. Diretoria de Ciências Exatas
Laboratório de Física
Roteiro 01
Física Geral e Experimental I
Experimento: Medidas de Grandezas Físicas

2. Medidas de grandezas Físicas
1. Objetivos:
a. Analisar dados e apresentar os resultados finais de medidas de uma Grandeza Física,
segundo o Sistema Internacional de Unidades (SI) e normas gerais da ABNT.
b. Observar grandezas físicas fundamentais como comprimento, tempo e massa,
representando medidas destas grandezas, acompanhadas do erro instrumental.
c. Explorar as operações fundamentais com algarismos significativos.
d. O aluno deverá ser capaz de identificar e classificar os possíveis erros que ocorrem
durante um processo de medição.
e. A partir de uma série de medidas do Período do pêndulo efetuadas com a utilização de
um cronômetro, o aluno deverá determinar o valor mais provável, eleger a incerteza
adequada e expressar a medida na forma correta.
2. Material utilizado:
a. Trena;
b. Pêndulo simples;
c. Balança digital;
d. Cronômetro digital;
e. Transferidor analógico;
f. Proveta graduada.
3. Medidas de Grandezas Físicas
A nomenclatura e as regras básicas sobre incertezas em metrologia foram discutidas
nos últimos anos por grupos de trabalho constituídos de especialistas indicados por diversas
organizações internacionais (BIPM, ISO, IUPAC, IUPAP, IEC e OIML) e foram publicadas
em dois importantes textos: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements e
International Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology. Esta última publicação foi
traduzida pela INMETRO em 1994.
Com a finalidade de tornar a exposição mais clara, e em conformidade com a
Legislação Brasileira, serão apresentadas as definições e alguns comentários sobre termos
mais usuais em Teoria dos Erros.
3.1. Algarismos Significativos
A sensibilidade e precisão de todo instrumento de medida está limitada na sua
fabricação. Muitas vezes a leitura do valor de uma grandeza é intermediária a dois traços
consecutivos da escala como na Figura1.
Figura1 - Exemplo de Medida de Distância.
A barra que está sendo medida na Figura 1 tem uma extremidade ajustada ao zero de
uma régua marcada em centímetros. A outra extremidade da barra não está coincidindo
com nenhum traço.
Observa-se que o valor deste comprimento é 27 cm mais alguns décimos de
centímetro, mas não podemos afirmar com certeza o seu valor. Ou seja, podemos apenas
2

3. estimar ou avaliar estes décimos de centímetros e a aproximação ao valor "verdadeiro"
dependerá da perícia e da capacidade da avaliação do operador.
Por exemplo, suponha que três pessoas diferentes apresentem como resultado desta
medida os seguintes valores:
27,3 cm 27,4 cm 27,5 cm
Pode-se verificar que há concordância com relação aos algarismos 2 (dezenas) e 7
(unidades) e, portanto um consenso de que eles são "verdadeiros" ou "exatos", enquanto
que os algarismos 3, 4, e 5 (décimos) são duvidosos. Os algarismos exatos de uma medida
bem como os algarismos duvidosos, são denominados algarismos significativos. No
exemplo acima, os dois primeiros algarismos de cada medição (2 e 7) são significativos
exatos mas os últimos algarismos de cada uma das medições (3, 4 e 5) são significativos
duvidosos.
O termo duvidoso vem do fato de que o mesmo apresenta uma incerteza, gerada pela
própria grandeza medida, pela sensibilidade do instrumento bem como pela perícia do
observador.
É importante observar que não há sentido em se escrever algarismos após o
algarismo duvidoso de uma medida.
Qualquer grandeza física escalar pode ser escrita na forma: A  (a   a )  u
onde A é o símbolo que representa determinada grandeza física, a é o seu valor numérico,
a é a sua incerteza e u é a sua unidade da grandeza física medida.
O valor numérico (a) poderá ser resultado de uma ou mais medições diretas ou
indiretas. Entretanto, qualquer que seja a precisão adotada a quantidade de algarismos
estará limitada pelas condições experimentais, a uma determinada quantidade de
algarismos que têm realmente significado que, por esse motivo, são denominados
algarismos significativos.
3.2. Notação Científica (NC)
A maneira de se escrever o valor numérico em trabalhos científicos é,
preferencialmente, a notação científica. Nesta notação escreve-se o número recorrendo à
potência de dez, com a particularidade de que se deve conservar à esquerda da vírgula,
apenas um algarismo, diferente de zero.
Exemplos:
1) 125 g = 1, 25 102 g 3 algarismos significativos
2) 22,34 m = 2, 234 10m 4 algarismos significativos
3) 0,0350 Ω = 3,50 103  3 algarismos significativos
4) 1,0052 V = 1,0052 V 5 algarismos significativos
A razão para se preferir a notação científica a qualquer outra forma de indicação está
relacionada à facilidade e à rapidez com que se pode visualizar a grandeza (com a devida
potência de 10) e a quantidade de algarismos significativos.
3.3. Arredondamentos de Algarismos Significativos
As operações precisas com algarismos significativos exigem o conhecimento da
Teoria dos Erros, tema de próximos tópicos. Entretanto, algumas regras básicas podem
auxiliar para evitar o exagero de casas decimais, muitas vezes, representando uma precisão
que não corresponde à realidade.
Desta forma, resultados finais de operações matemáticas precisam ser arredondados
(ou truncados). Para tanto, são utilizadas as seguintes regras de arredondamento:
- Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo significativo a ser
conservado for inferior a 5, o último algarismo (o duvidoso) a ser conservado permanecerá
sem modificação.
3

4. Exemplo: 1,5734 = 1,57 (truncado com 3 algarismos significativos)
- Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo significativo a ser
conservado for superior a 5, ou, sendo 5 e este seguido de no mínimo um algarismo diferente
de zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade.
Exemplos:
1) 1,666 = 1,67 (truncado com 3 algarismos significativos)
2) 4,8505 = 4,9 (truncado para 2 algarismos significativos)
- Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo significativo a ser
conservado for 5 e este for seguido de zeros ou não houver algarismos depois do 5, deve-se
considerar:
a. se o último algarismo significativo for ímpar, arredondar o algarismo a ser conservado
para o próximo algarismo par.
Exemplos:
1) 4,5500 = 4,6 (truncado para 2 algarismos significativos)
2) 75,35=75,4 (truncado para 3 algarismos significativos)
b. se ele for um número par, o último algarismo é conservado.
Exemplos:
1) 7,156500 = 7,156 (truncado para 4 algarismos significativos)
2) 9,45=9,4 (truncado para 2 algarismos significativos)
3.4. Grandezas Físicas e o Sistema Internacional de Unidades (SI)
Tabela 1: Grandezas Fundamentais do SI e sua nomenclatura.
NOME DA SÍMBOLO DA
GRANDEZA DEFINIÇÃO DA UNIDADE
UNIDADE UNIDADE
“... o comprimento do percurso coberto pela luz, no
Comprimento metro M vácuo, em 1/299.792.458 de um segundo.” (1983)
“... este protótipo (um certo cilindro de liga de
Massa quilograma Kg platina-irídio), será considerado daqui por diante a
unidade de massa.” (1889)
“... a duração de 9.192.631.770 vibrações da
Tempo segundo S transmissão entre dois níveis hiperfinos do estado
fundamental do átomo de césio 133”.(1967)
“... a corrente constante que, mantida em dois
condutores retilíneos, paralelos, de comprimento
infinito, de seção circular desprezível e separada
Corrente elétrica Ampère A pela distância de 1 metro no vácuo, provoca entre
esses condutores uma força igual a 2.10-7 newtons
por metro de comprimento.” (1946)
Temperatura “... a fração 1/273,16 da temperatura
Kelvin K termodinâmica do ponto triplo da água”.(1967)
termodinâmica
“... a quantidade de substância de um sistema que
Quantidade de contém tantas entidades elementares quanto são os
mol Mol
átomos em 0,012 quilogramas de carbono 12.”
substância
(1971)
“... a intensidade luminosa, na direção
perpendicular, de uma superfície de 1/600.000
metros quadrados, de um corpo negro na
Intensidade luminosa candela Cd temperatura de solidificação da platina, sob a
pressão de 101,325 newtons por metro quadrado.”
(1967)
4

5. Uma grandeza física é um atributo a um fenômeno, corpo ou substância que pode
ser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado. Há dois tipos de
grandezas físicas: as grandezas fundamentais e as grandezas derivadas.
Grandezas Físicas Fundamentais: São grandezas que, funcionalmente, são
independentes de qualquer outra. Por exemplo, o comprimento de uma barra de ferro e a
massa de um corpo sólido. O tempo e a temperatura são outros exemplos de grandezas
fundamentais.
Grandezas Físicas Derivadas: As Leis da Física são expressas em termos de grandezas
que requerem uma definição clara e precisa. Assim, todas as Grandezas Derivadas da
Mecânica, como a velocidade, a área, a aceleração, a força etc., podem ser escritas em
termos das três Grandezas Fundamentais (comprimento, massa e tempo). A Tabela 2
fornece alguns exemplos de Grandezas Derivadas no SI.
Tabela 2: Grandezas Derivas e sua nomenclatura no SI.
SÍMBOLO DA
GRANDEZA NOME DA UNIDADE OUTRAS UNIDADES
UNIDADE
Aceleração metro por segundo quadrado m/s2
Área metro quadrado m2
Densidade quilograma por metro cúbico kg/m3
Energia, Trabalho Joule J kg.m2/s2
Força Newton N kg.m/s2
Potência Watt W kg.m2/s3 (J/s)
Pressão Pascal Pa kg/m.s2
Velocidade metro por segundo m/s
Volume metro cúbico m3
Nota: No Sistema Internacional, a abertura angular é dada em radianos (rad):
Sr
 = 1 rad
180o = rad r 0o = 360o = 2 rad
270o = rad
Figura 2: Aberturas angulares em radianos.
5

6. Além das unidades do SI, como o metro, o quilograma e o segundo, também se pode
utilizar subunidades, como o milímetro e o nanossegundo onde, os prefixos mili e nano
significam várias potências de dez. Alguns prefixos são frequentemente utilizados para
expressarem potências de dez, por exemplo:
1) 1  10-3 m, é equivalente a 1 milímetro (mm) e
2) 1  103 m corresponde a 1 quilômetro (km).
3) De forma semelhante, 1 kg = 1  103 g.
A Tabela 3 fornece alguns prefixos comumente utilizados.
Tabela 3: Prefixos do SI.
POTÊNCIA PREFIXO SÍMBOLO
24
10 Iota Y
1021 Zeta Z
1018 Exa E
1015 Peta P
1012 Tera T
109 Giga G
106 Mega M
103 Quilo k
102 Hecto h
101 Deca da
0
10 = 1 -- --
-1
10 Deci d
-2
10 Centi c
-3
10 Mili m
-6
10 Micro µ
-9
10 Nano n
-12
10 Pico p
10-15 Femto f
10-18 Ato a
10-21 Zepto z
10-24 Iocto y
Há regras e convenções específicas para se apresentar, de forma mais compacta, o
resultado de uma grandeza física, tanto para grandezas fundamentais como para qualquer
grandeza derivada serão adotadas as regras e convenções do Sistema Internacional de
Unidades (SI). Então pode-se escrever o resultado da grandeza física L da seguinte forma:
L = 5,12 m Símbolo da unidade
Símbolo da Grandeza
Física
Resultado da medida física
6

7. 3.5. Definições
- Medição: Conjunto de operações que têm por objetivo determinar o valor de uma
grandeza.
- Repetitividade: Grau de concordância entre os resultados de sucessivas medições
de um mesmo mensurando, efetuadas sob as mesmas condições de medições.
- Reprodutibilidade: Grau de concordância entre os resultados de medições de um
mesmo mensurando, efetuadas sob condições de medições diferentes.
- Exatidão ou Acurácia: Grau de concordância entre o resultado de uma medição e o
valor verdadeiro do mensurando.
- Precisão: Conceito qualitativo para indicar o grau de concordância entre os diversos
resultados experimentais obtidos em condições de repetitividade.
Então, boa precisão significa erro estatístico pequeno, de forma que os resultados
apresentem boa repetitividade.
Observação: Mesmo com boa precisão, a exatidão ou a acurácia pode ser ruim caso
existam erros sistemáticos consideráveis.
- Valor Médio : Definição de uma dada grandeza específica, considerando uma
quantidade finita n de medições.
- Valor Médio Verdadeiro : Valor consistente com a definição de uma dada
grandeza específica, considerando uma quantidade infinita de medições.
O valor verdadeiro de uma grandeza é o valor que seria obtido para uma medição
perfeita e a determinação do mesmo pode ser entendida como o objetivo final da medição.
Entretanto, o valor verdadeiro é indeterminado por natureza.
- Resultado de uma medição: Valor obtido por medição e atribuído ao mensurando.
- Mensurando: Grandeza específica submetida à medição.
- Desvio: É a diferença entre o resultado de uma medição e o valor médio verdadeiro
do mensurando.
Como o valor verdadeiro é uma quantidade desconhecida logo, o desvio também é
desconhecido, em princípio.
- Variância associada ao processo de medição : É a média dos quadrados dos
desvios quando a quantidade de medições tende a infinito.
- Desvio padrão experimental : Definido com sendo a raiz quadrada da
variância.
- Incerteza de medição: Parâmetro associado ao resultado de uma medição e que
caracteriza a dispersão dos valores que podem ser fundamentalmente atribuídos ao
mensurando.
Embora desconhecido, o mensurando tem um valor verdadeiro único por hipótese.
Entretanto, diferentes valores podem ser "atribuídos" ao mensurando e a incerteza
caracteriza a dispersão destes valores.
Evidentemente, a incerteza só pode ser obtida e interpretada em termos
probabilísticos.
Existem várias formas de indicar a incerteza tais como a incerteza padrão, incerteza
expandida e limite de erro.
- Erro estatístico: Resultado de uma medição menos o Valor Médio Verdadeiro (ou
Média Limite).
- Erro sistemático: Diferença entre o Valor Médio Verdadeiro e o Valor verdadeiro.
O Erro Sistemático é o erro do valor médio verdadeiro.
- Incerteza padrão: Resultado final dado na forma de um desvio padrão.
3.6. Objetivos da Teoria de Erros
Quando uma grandeza física experimental x é determinada a partir de medição o
resultado é uma aproximação para o valor verdadeiro xv da grandeza. Os objetivos da teoria
de erros podem ser resumidos em obter:
7

8. a) O melhor valor para o mensurando a partir dos dados experimentais disponíveis.
Isto significa determinar a melhor aproximação possível para o valor verdadeiro em termos
estatísticos.
b) A incerteza no valor obtido, o que significa determinar em termos estatísticos o grau
de precisão e confiança na medida da grandeza física.
3.6.1. Erros Sistemáticos e Erros Estatísticos
Geralmente, ocorrem erros de vários tipos numa mesma medição. Estes erros podem
ser agrupados em dois grandes grupos que são: os erros sistemáticos e erros estatísticos
(ou aleatórios).
Considerando o conjunto de xi determinações (i = 1, 2,..., n) de um mensurando, os
erros podem ser divididos em:
a. Erro sistemático: é um erro que afeta igualmente todas as n medições xi. Isto é, o
conjunto completo das n medições xi apresenta-se igualmente deslocada com relação
ao valor verdadeiro xv.
Os erros sistemáticos podem ser de vários tipos:
a.1. Erro sistemático instrumental: Relativo à calibração do instrumento de medição.
a.2. Erro sistemático ambiental: Erro devido a efeitos do ambiente sobre a experiência.
Fatores ambientais como temperatura, pressão, umidade, luminosidade e outros podem
introduzir a erros no resultado de medição.
a.3. Erro sistemático observacional: Erro devido a pequenas falhas de procedimentos ou
limitações do observador. Por exemplo, o efeito de paralaxe na leitura de escalas de
instrumentos.
b. Erro estatístico ou erro aleatório: Medida da dispersão dos n resultados xi em torno do
valor verdadeiro xv.
Os erros estatísticos (ou aleatórios) resultam de variações aleatórias nas medições,
provenientes de fatores que não podem ser controlados ou que, por algum motivo, não
foram controlados. Por exemplo, na medição de massa com uma balança, correntes de ar
ou vibrações (fatores aleatórios) podem introduzir erros estatísticos na medição.
3.6.2. Desvio Padrão (n-1)
Para estabelecer uma quantidade para a medida da dispersão com significado mais
amplo, emprega-se o conceito de que um conjunto represente uma amostra do universo de
medidas realizadas uma quantidade infinita de vezes naquele universo.
Uma das quantidades que é de interesse chama-se desvio padrão (n-1) que vem a ser
o desvio médio quadrático das medidas com relação à média do universo de medidas.
Como é impossível fazer infinitas medidas em um universo de medições para
determinar a sua média, o procedimento adotado considera uma análise estatística a partir
de uma quantidade n de observações para obter a melhor estimativa para o desvio padrão.
Desta forma, a melhor estimativa para o desvio padrão é calculada por:
O desvio padrão indica o erro que teríamos caso fizéssemos uma única observação. O
significado do erro padrão de um dado conjunto de n determinações é que, em torno do
valor médio, uma dada observação tem:
68% de probabilidade de estar no intervalo ;
95% de probabilidade de estar no intervalo .
8

9. 3.6.3. Desvio Padrão da Média (m)
Considerando um conjunto de n resultados de medições, o Desvio Padrão da Média
ou Desvio Padrão do Valor Médio é a incerteza final correspondente aos erros estatísticos
nas medições e pode ser calculado por intermédio das fórmulas:
3.6.4. Incerteza Padrão Final
Ao se realizar um processo de medição, o ideal é que o instrumento de medida esteja
devidamente calibrado e que tenha uma sensibilidade suficiente para permitir a observação
de flutuações estatísticas.
Alguns erros sistemáticos podem ser corrigidos e, com isso, melhorar os resultados
finais da medição. Erros sistemáticos para os quais não é possível fazer correções são
chamados Erros Sistemáticos Residuais e as incertezas correspondentes são denominadas
Incertezas Sistemáticas Residuais.
No caso dos instrumentos de medida não preencherem a condição acima (possuírem
sensibilidade suficiente para observar as flutuações estatísticas), costuma-se especificar um
erro sistemático avaliado adotando-se uma das regras práticas especificadas abaixo:
- é a menor divisão da escala (em geral em instrumentos digitais) ou
- é a metade da menor divisão da escala (em geral para instrumentos analógicos).
Nessa avaliação é necessário considerar que este valor será tomado como um desvio
padrão, a fim de permitir cálculos de propagação de erros coerentes. Portanto essa
avaliação não deve abranger 100% de confiança, mas sim um pouco mais da metade (68%).
As incertezas estatísticas são obtidas por intermédio do cálculo do desvio padrão do
valor médio .
As incertezas sistemáticas residuais advindas de multiplicidade de efeitos são
mais difíceis de serem obtidas e não existe nenhum método padrão bem estabelecido para
isso, exceto o bom senso.
Para combinar as incertezas estatísticas e as incertezas sistemáticas residuais,
determina-se a incerteza padrão final de uma medição por intermédio da fórmula:
3.6.5. Quantidade de Algarismos Significativos na Incerteza Padrão
Quanto à quantidade de algarismos significativos no desvio ou na incerteza, um
procedimento muito comum é expressá-lo com apenas com um algarismo significativo.
No entanto, considerando que não existe uma regra muito bem estabelecida para a
quantidade de algarismos significativos com a qual deve ser indicada a incerteza padrão, a
tendência atual é de se indicar a incerteza padrão com 2 algarismos significativos, além de
zeros à esquerda (quando necessário). Entretanto, há situações em que não é possível
atribuir mais de 1 algarismo significativo para a incerteza padrão.
Então, quando o nível de confiança é dado pelo desvio padrão e a sua precisão é
grande, usa-se 2 algarismos significativos para o desvio, principalmente nos casos em que o
primeiro algarismo do desvio for 1 ou 2.
9

10. 3.6.6. Resultado de uma Medição
Para escrever o resultado de uma medição, deve-se considerar o último algarismo
significativo da incerteza padrão final da medição, conforme os exemplos abaixo:
a.
Então:
No SI e em NC, fica A   2,757  0,012  10m
b.
Então:
No SI e em NC, fica L   4, 45600  0,00023 105 m
c.
Então:
No SI e em NC, fica M   7,53  0, 41 104 kg
d.
Então:
Em NC, fica T   9,736  0,010  10C
No SI e em NC, fica T  (3,7036  0,0010) 102 K
e.
Então:
Em NC, vem   1,350  0,020  102 
No SI e em NC, fica    2,3563  0,0017  rad
f. B  2,356cm e  B  0, 05cm
Então: B  (2,36  0,05)cm
No SI e em NC, vem B   2,36  0,05 102 m
g. t  25,9865s e  t  0, 04569s
Então: t  (25,986  0,046)s
No SI e em NC, vem t   2,5986  0,0046  10s
4. Procedimento Experimental
Denominamos pêndulo simples o conjunto constituído por um fio ideal (inextensível e
de massa desprezível), fixo por uma das extremidades e que mantém suspenso na outra
extremidade um corpo de pequenas dimensões, que oscile em torno de uma posição de
equilíbrio. O período do movimento de um pêndulo simples corresponde ao tempo gasto
para uma oscilação completa do corpo suspenso.
Para pequenas amplitudes, ângulos () de abertura que obedecem à igualdade:
 = sen 
Quando  é expresso em radianos, vale a equação abaixo, para a determinação do
período (T) do pêndulo simples:
10

11. PÊNDULO SIMPLES
0,0º < 
<10,0º
Figura 3: Ilustração de um pêndulo simples
Utilizaremos um pêndulo simples para aplicarmos os conceitos adquiridos neste
experimento.
5.1. Escolha um ângulo de abertura () menor do que 10º, no transferidor analógico para as
medidas dos períodos e expresse esta medida com a respectiva incerteza instrumental na
Tabela 4.
Tabela 4: Valores de Medidas Físicas.
Medida na
Medida em NC e
Medida Incerteza unidade de escala
Quantidade de no SI,
acompanhada da instrumental na de leitura,
Grandeza física algarismos acompanhada da
unidade da escala escala de leitura acompanhada da
significativos incerteza
de leitura incerteza
instrumental
instrumental
Massa do corpo
de prova do
pêndulo
Massa do fio
inextensível
Comprimento
do fio
inextensível
Abertura
angular
Período de uma
oscilação do
pêndulo
Massa de um
tronco de cone
Altura do tronco
de cone
Temperatura
ambiente
Volume de um
líquido
5.2. Utilizando o cronômetro medir oito vezes o período de uma oscilação completa de um
pêndulo simples e completar a Tabela 5.
11

12. Tabela 5: Conjunto de n=8 medidas do período de um pêndulo simples.
Desvio
Período de oscilação Quadrado do Desvio
Nº Absoluto
Ti ( s) Ti  T ( s) (Ti  T )2 (s 2 )
1
2
3
4
5
6
7
8
Média Soma dos quadrados dos
n desvios
T
 T  T 
i n
2
T  i 1
i
n i 1
5.3. Calcular o desvio padrão  n 1  da medida de um período de oscilação:
 T  T 
n
2
i
 n 1  i 1
n 1
5.4. Calcular o desvio padrão do valor médio  m  :
 T  T 
n
2
 n 1 i
m  ou m  i 1
n n   n  1
5.5. Calcular a incerteza padrão final  p   das medidas dos períodos feitas através do
cronômetro.
 p   m   s2
2
5.6. Expresse o valor mais provável do período, com sua devida incerteza em Notação
Científica (NC) e no Sistema Internacional de Unidades (SI).
T  T   p  u  T  (_______  _______) ________
12