Manual de Topografia e Geodésia

1o
Edição
A primeira intenção ao elaborar este documento foi cooperar e auxiliar os trabalhos didáticos das
disciplinas de Topografia Teórica e Prática, do Centro Federal de Educação Tecnológica de Minas Gerais.
Além deste objetivo, que já justifica todo o empenho, este trabalho busca contribuir com a literatura
das ciências geodésica e topográfica.
É com muita satisfação que repasso este conhecimento à família
“cefetiana” e aos demais leitores de outras instituições, reconhecendo que ao
elaborar este projeto, iniciei-o com afinco, executei-o com paixão e finalizei-o
com satisfação.
Agradeço a minha família à compreensão pelas horas dedicadas na
confecção deste documento, e ao Centro Federal de Educação Tecnológica pelo
apoio de recursos humanos e materiais.
13 de fevereiro de 1998.
Marcelo Tuler de Oliveira
Engenheiro Agrimensor
mtuler@deii.cefetmg.br
2o
Edição
Com satisfação faço a apresentação deste documento, agradecendo ao amigo Marcelo Tuler, autor
desta obra, pela oportunidade de prestar minha colaboração a esse trabalho. Sei que foi elaborado com muita
dedicação, esforço e pesquisa. A sua grande preocupação com o ensino e sua capacidade e competência, criou
uma excelente fonte de consulta para estudantes e profissionais das áreas de Topografia e Geodésia.
ii

Esta 2a
Edição, revisada e ampliada é bastante didática e bem
organizada em capítulos por assuntos, facilitando a leitura e o
entendimento, destes estudantes e profissionais que necessitem de
aprendizado no dia a dia, ou aprimoramento de seus conhecimentos.
Com certeza é uma importante contribuição à literatura técnica.
Com conteúdo atualizado, bem ilustrado, com vários
exemplos e exercícios, este trabalho demonstra dedicação a anos de
estudos e pesquisa na área. Com sua experiência em docência, o
Professor Tuler, compartilha seus conhecimentos com clareza e muito profissionalismo.
Com certeza esta obra ajudará muitas pessoas no seu desenvolvimento profissional, em especial aos
estudantes dos Cursos Técnicos e aos alunos de Engenharia de Agrimensura.
A exemplo da 1a
Edição, que é fonte de consulta bibliográfica de muitos trabalhos e pesquisas, esta 2a
Edição, ainda melhorada, contribuirá ainda muito mais à comunidade técnica.
04 de março de 2002.
Sérgio Luiz Costa Saraiva
Engenheiro Civil
saraiva@deii.cefetmg.br
iii

pg.
Prefácio ............................................................................................................................................................. ii
Sumário ............................................................................................................................................................ iv
Lista de Figuras ................................................................................................................................................ x
Lista de Quadros e Tabelas ............................................................................................................................... xvi
Capítulo 1 - Generalidades e Definições
1 - Introdução ................................................................................................................................................... 1
2 - Resumo Histórico ........................................................................................................................................ 2
2.1 - Das Primeiras Civilizações à Idade Antiga ......................................................................................... 2
2.2 - Da Idade Média à Revolução Científica ............................................................................................. 6
2.3 - Da Revolução Industrial ao Contemporâneo ...................................................................................... 7
3 - Conceitos Fundamentais da Geodésia ......................................................................................................... 8
3.1 - Terra Geoidal, Elipsoidal e Esférica ................................................................................................... 9
4 - Conceitos Fundamentais da Topografia ...................................................................................................... 14
4.1 - Divisão da Topografia ......................................................................................................................... 14
4.2 - Importância e Aplicações .................................................................................................................... 16
5 - Sistemas de Referência na Geodésia e Topografia ...................................................................................... 17
5.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ........................................................................ 18
5.1.1 - Sistema de Coordenadas Astronômicas .................................................................................... 18
5.1.2 - Sistema de Coordenadas Geodésicas ........................................................................................ 19
5.1.3 - Relação entre as Coordenadas Astronômicas e Geodésicas ..................................................... 19
5.2 - Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas ................................................................................... 20
5.2.1 - Sistema de Coordenadas UTM ................................................................................................. 20
5.2.2 - Sistema de Coordenadas Topográficas ..................................................................................... 22
5.2.3 - Relação entre o Sistema de Coordenadas UTM e Topográficas .............................................. 23
iv

v
6 - Sistema Geodésico Brasileiro ...................................................................................................................... 23
6.1 - Situação Atual do SGB ....................................................................................................................... 24
6.2 - Novas Propostas para Implantação de Redes Fundamentais ............................................................... 26
Capítulo 2 - Planimetria
1 - Introdução ................................................................................................................................................... 29
2 - Sistemas de Unidades de Medidas .............................................................................................................. 29
2.1 - Unidade de Medida Linear .................................................................................................................. 30
2.2 - Unidade de Medida de Superfície ....................................................................................................... 32
2.3 - Unidade de Medida de Volume ........................................................................................................... 34
2.4 - Unidade de Medida Angular ............................................................................................................... 34
2.4.1 - Sistema Sexagesimal ................................................................................................................ 34
2.4.2 - Sistema Centesimal e Radiano ................................................................................................. 37
3 - Gramometria ................................................................................................................................................ 40
3.1 - Processos Diretos ................................................................................................................................ 40
3.2 - Processos Indiretos .............................................................................................................................. 43
3.2.1 - Distância Horizontal - Plano Horizontal .................................................................................. 43
3.2.2 - Distância Horizontal - Plano Inclinado .................................................................................... 45
3.2.3 - Diferença de Nível .................................................................................................................... 46
3.2.4 - Distâncias Máximas e Mínimas ................................................................................................ 47
4 - Goniologia ................................................................................................................................................... 50
4.1 - Ângulos Horizontais ............................................................................................................................ 50
4.1.1 - Ângulos Azimutais ................................................................................................................... 51
4.1.2 - Ângulos Goniométricos ............................................................................................................ 52
4.1.3 - Azimutes Calculados ................................................................................................................ 53
4.2 - Ângulos Verticais................................................................................................................................. 54
4.2.1 - Ângulo de Inclinação ................................................................................................................ 54
4.2.2 - Ângulo Zenital .......................................................................................................................... 54
4.3 - Magnetismo Terrestre ......................................................................................................................... 55
4.3.1 - Declinação Magnética .............................................................................................................. 55
5 - Métodos de Levantamento Planimétrico ..................................................................................................... 58
5.1 - Métodos Principais e Secundários ...................................................................................................... 59
5.1.1 - Métodos Principais ................................................................................................................... 59
5.1.2 - Métodos Secundários ............................................................................................................... 61
5.1.3 – Exemplo 30 – Ponto Inacessível .............................................................................................. 62
5.2 - Poligonal Topográfica ......................................................................................................................... 65
6 - Planilha de Coordenadas ............................................................................................................................. 69

vi
6.1 - Cálculo do Fechamento Angular ......................................................................................................... 69
6.1.1 - Determinação do Erro Angular ................................................................................................ 70
6.1.2 - Tolerância do Erro Angular ...................................................................................................... 72
6.1.3 - Distribuição do Erro Angular ................................................................................................... 73
6.2 - Cálculo de Azimutes ........................................................................................................................... 74
6.3 - Cálculo das Coordenadas Relativas Não Corrigidas ........................................................................... 76
6.4 - Cálculo do Fechamento Linear ........................................................................................................... 78
6.4.1 - Determinação do Erro Linear ................................................................................................... 78
6.4.2 - Tolerância do Erro Linear ........................................................................................................ 78
6.5 - Cálculo das Coordenadas Relativas Corrigidas .................................................................................. 79
6.6 - Cálculo das Coordenadas Absolutas ................................................................................................... 80
6.7 - Exemplos de Cálculos de Planilhas de Coordenadas .......................................................................... 81
6.7.1 - Exemplo 39 .............................................................................................................................. 81
6.7.2 - Exemplo 40 .............................................................................................................................. 87
7 - Cálculo de Áreas Planas .............................................................................................................................. 94
7.1 - Método Analítico pela Fórmula de Gauss ........................................................................................... 94
7.2 - Método de Decomposição em Polígonos ............................................................................................ 97
7.3 - Método de Comparação por Quadrículas ............................................................................................ 98
Capítulo 3 - Altimetria
1 - Introdução ................................................................................................................................................... 101
1.1 - Superfícies de Referência de Nível ..................................................................................................... 101
1.1.1 - Erro de Nível Aparente ............................................................................................................. 103
1.2 - Altitude, Cota e Diferença de Nível .................................................................................................... 105
2 - Instrumentos Altimétricos ........................................................................................................................... 107
2.1 - Plano de Visada Horizontal ................................................................................................................. 107
2.2 - Plano de Visada Inclinado ................................................................................................................... 110
2.3 - Acessórios ........................................................................................................................................... 111
2.4 - Barômetros .......................................................................................................................................... 111
3 - Processos de Nivelamento ........................................................................................................................... 112
3.1 - Introdução ........................................................................................................................................... 112
3.2 - Nivelamento Geométrico .................................................................................................................... 112
3.3 - Nivelamento Trigonométrico .............................................................................................................. 113
3.4 - Nivelamento Barométrico ................................................................................................................... 115
3.5 - Nivelamento Taqueométrico ............................................................................................................... 116
3.6 - Fatos Atuais em Altimetria ................................................................................................................. 116
3.6.1 - Normas Técnicas Nivelamento segundo a ABNT .................................................................... 117
3.6.2 - Nivelamento Geodésico ........................................................................................................... 117

vii
3.6.3 - Nivelamento GPS ..................................................................................................................... 120
4 - Nivelamento Geométrico ............................................................................................................................ 121
4.1 - Nivelamento Geométrico Simples ....................................................................................................... 121
4.2 - Nivelamento Geométrico Composto ................................................................................................... 124
4.3 - Verificação dos Cálculos da Caderneta ............................................................................................... 126
4.4 – Erro no Nivelamento Topográfico ...................................................................................................... 127
4.4.1 – Determinação do Erro .............................................................................................................. 128
4.4.2 - Definição da Tolerância ........................................................................................................... 129
4.4.3 - Distribuição do Erro Admissível .............................................................................................. 130
4.5 - Exemplo de Cálculo de Nivelamento Geométrico .............................................................................. 130
5 - Perfis Longitudinais e Transversais ............................................................................................................ 133
5.1 - Perfil Longitudinal .............................................................................................................................. 134
5.2 - Perfil Transversal ................................................................................................................................ 134
5.2.1 - Nivelamento das Seções Transversais a Nível ......................................................................... 135
5.2.2 - Nivelamento das Seções Transversais a Régua ........................................................................ 135
5.2.3 - Nivelamento das Seções Transversais a Clinômetro ................................................................ 137
6 - Representação Altimétrica .......................................................................................................................... 138
6.1 - Planta Baixa ........................................................................................................................................ 139
6.2 - Perfil .................................................................................................................................................... 140
Capítulo 4 - Planialtimetria
1 - Introdução ................................................................................................................................................... 143
2 – Levantamento Planialtimétrico ................................................................................................................... 143
3 - Exemplo de Cálculo Planialtimétrico .......................................................................................................... 144
3.1 – Planimetria – Planilha de Coordenadas .............................................................................................. 147
3.2 – Altimetria – Nivelamento Estadimétrico ............................................................................................ 152
3.3 – Planialtimetria ..................................................................................................................................... 154
Capítulo 5 - Sistema de Posicionamento por Satélites - Aspectos Básicos
1 - Introdução e Histórico ................................................................................................................................. 159
2 - Segmentos do Sistema e o Projeto NAVSTAR-GPS .................................................................................. 160
3 - Princípios de Observação e Técnicas de Posicionamento GPS ................................................................... 162
3.1 - Observações no Modo Relativo ou Diferencial .................................................................................. 164
4 - Informações Básicas para Utilização do Sistema ........................................................................................ 167
5 - Transformação de Referenciais Geodésicos ................................................................................................ 167

viii
6 - Instrumento Receptor .................................................................................................................................. 168
7 - Precisão e Classificação dos Levantamentos GPS ...................................................................................... 168
8 – Aplicações do Sistema GPS ....................................................................................................................... 170
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
1 - Definições e Generalidades ......................................................................................................................... 173
2 - Câmaras Aéreas ........................................................................................................................................... 174
2.1 Câmaras Aéreas Digitais ....................................................................................................................... 175
3 - Formação do Modelo Estereoscópico ......................................................................................................... 177
3.1 - Restituição Fotogramétrica ................................................................................................................. 178
4 - Medição Aproximada de Altura .................................................................................................................. 180
5 - Plano de Vôo Aerofotogramétrico .............................................................................................................. 182
5.1 - Informações Complementares para Projeto Aerofotogramétrico ........................................................ 186
5.2 - Problema de Orientação das Fotos ...................................................................................................... 187
6 - Produtos Aerofotogramétricos .................................................................................................................... 189
6.1 - Aplicações na Fotointerpretação ......................................................................................................... 190
Capítulo 7 - Ajustamento de Observações Topográficas - Aspectos Básicos
1 - Generalidades e Definições ......................................................................................................................... 193
2 - Conceitos e Classificação dos Erros de Observação ................................................................................... 195
2.1 - Conceitos Iniciais ................................................................................................................................ 196
2.2 - Classificação dos Erros de Observação ............................................................................................... 197
2.2.1 - Estudos Experimentais dos Erros Acidentais ........................................................................... 198
3 - Aplicações Estatísticas ................................................................................................................................ 201
3.1 - Exemplo 1 ........................................................................................................................................... 202
3.2 - Exemplo 2 ........................................................................................................................................... 204
3.3 - Exemplo 3 ........................................................................................................................................... 207
Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos
1 – Generalidades e Definições ........................................................................................................................ 213
2 – Locação para Construção de Estradas ........................................................................................................ 214
2.1 – Locação das Tangentes e PI´s ............................................................................................................. 215
2.2 – Locação das Curvas ............................................................................................................................ 217
2.1.1 – Curva Circular Simples ............................................................................................................ 218
Capítulo 9 – Animais Peçonhentos – Aspectos Básicos
1 – Introdução ................................................................................................................................................... 249

ix
2 – Animais Perigosos ...................................................................................................................................... 250
2.1 – Aranhas ............................................................................................................................................... 252
2.2 – Escorpiões .......................................................................................................................................... 253
2.3 – Abelhas, vespas e marimbondos ......................................................................................................... 253
2.4 – Taturanas e Lacraias ........................................................................................................................... 254
2.5 – Cobras ................................................................................................................................................. 255
2.5.1 – Identificação de Cobras ........................................................................................................... 255
3 – Prevenção de Acidentes .............................................................................................................................. 259
Referências Bibliográficas ................................................................................................................................ 263

pg.
Figura 1.1: Determinação do raio da Terra, por Erastótenes ............................................................................ 4
Figura 1.2: Narrativa da experiência de Erastótenes ........................................................................................ 5
Figura 1.3: Astrolábio ....................................................................................................................................... 6
Figura 1.4: Elipsóide de Revolução .................................................................................................................. 9
Figura 1.5: Extensão do campo topográfico ..................................................................................................... 12
Figura 1.6: Sistema de coordenadas astronômicas ........................................................................................... 17
Figura 1.7: Sistema de coordenadas geodésicas ............................................................................................... 18
Figura 1.8: Relação entre superfícies da Geodésia ........................................................................................... 19
Figura 1.9: Algumas superfícies de projeção ................................................................................................... 20
Figura 1.10: Projeção UTM .............................................................................................................................. 20
Figura 1.11: Sistema de coordenadas UTM ..................................................................................................... 21
Figura 1.12: Deformações do sistema de projeção UTM ................................................................................. 21
Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro ................................................................................................ 30
Figura 2.2: Sistema sexagesimal ...................................................................................................................... 35
Figura 2.3: Sistema centesimal ......................................................................................................................... 37
Figura 2.4: Sistema radiano .............................................................................................................................. 38
Figura 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB ........................................................................................ 40
Figura 2.6: Horizontalidade do diastímetro ...................................................................................................... 41
Figura 2.7: Erro de catenária ............................................................................................................................ 42
Figura 2.8: Desvio vertical da baliza ................................................................................................................ 42
Figura 2.9: Desvio lateral do diastímetro ......................................................................................................... 42
Figura 2.10: Distância horizontal estadimétrica I ............................................................................................. 43
Figura 2.11: Fios estadimétricos ....................................................................................................................... 44
x

xi
Figura 2.12: Tipos de luneta ............................................................................................................................. 45
Figura 2.13: Distância horizontal estadimétrica II ............................................................................................ 45
Figura 2.14: Diferença de nível estadimétrica .................................................................................................. 46
Figura 2.15: Máxima distância teórica conferindo ........................................................................................... 48
Figura 2.16: Máxima distância teórica sem conferência .................................................................................. 48
Figura 2.17: Mínima distância teórica conferindo ............................................................................................ 48
Figura 2.18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico ........................................ 49
Figura 2.19: Ângulos na Topografia ................................................................................................................. 50
Figura 2.20: Ângulo horizontal α ..................................................................................................................... 51
Figura 2.21 : Medição de azimutes ................................................................................................................... 51
Figura 2.22: Azimute de vante e ré ................................................................................................................... 51
Figura 2.23: Medição dos rumos ...................................................................................................................... 52
Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos ..................................................................................................... 52
Figura 2.25: Medição de ângulos horários internos e externos ........................................................................ 52
Figura 2.26: Medição dos ângulos de deflexão ................................................................................................ 53
Figura 2.27: Azimute calculado a partir do rumo ............................................................................................. 53
Figura 2.28: Azimute calculado a partir da deflexão ........................................................................................ 53
Figura 2.29: Azimute calculado a partir do ângulo horário .............................................................................. 54
Figura 2.30: Ângulo de inclinação e zenital ..................................................................................................... 54
Figura 2.31: Declinação magnética .................................................................................................................. 55
Figura 2.32: Simulação de cálculo da declinação para BH .............................................................................. 57
Figura 2.33: Azimute magnético e verdadeiro .................................................................................................. 57
Figura 2.34: Levantamento por triangulação .................................................................................................... 59
Figura 2.35: Levantamento por caminhamento ................................................................................................ 60
Figura 2.36: Levantamento por interseção de ângulos ..................................................................................... 60
Figura 2.37: Levantamento por interseção de distâncias .................................................................................. 61
Figura 2.38: Levantamento por irradiação ........................................................................................................ 61
Figura 2.39: Levantamento por coordenadas retangulares ............................................................................... 62
Figura 2.40: Pontos inacessíveis ....................................................................................................................... 62
Figura 2.41: Acessórios ao levantamento da poligonal topográfica ................................................................. 66
Figura 2.42: Poligonal topográfica ................................................................................................................... 66
Figura 2.43: Levantamento planimétrico de uma propriedade ......................................................................... 67
Figura 2.44: Erro de fechamento angular I ....................................................................................................... 71
Figura 2.45: Erro de fechamento angular II ...................................................................................................... 72
Figura 2.46: Cálculo de azimutes I ................................................................................................................... 75
Figura 2.47: Cálculo de azimutes II .................................................................................................................. 76
Figura 2.48: Cálculo das coordenadas relativas I ............................................................................................. 77

xii
Figura 2.49: Cálculo das coordenadas relativas II ............................................................................................ 77
Figura 2.50: Poligonal topográfica I ................................................................................................................. 82
Figura 2.51: Poligonal topográfica II ............................................................................................................... 87
Figura 2.52: Cálculo de área I .......................................................................................................................... 95
Figura 2.53: Cálculo de área II ......................................................................................................................... 95
Figura 2.54: Cálculo de área III ........................................................................................................................ 97
Figura 2.55: Cálculo de área IV ....................................................................................................................... 98
Figura 3.1: Superfície terrestre, geóide e elipsóide .......................................................................................... 101
Figura 3.2: Alturas ortométricas ....................................................................................................................... 102
Figura 3.3: Superfície de referência verdadeira e aparente .............................................................................. 103
Figura 3.4: Altitudes de pontos topográficos ................................................................................................... 105
Figura 3.5: Cotas de pontos topográficos ......................................................................................................... 106
Figura 3.6: Níveis esféricos .............................................................................................................................. 108
Figura 3.7: Nível cilíndrico .............................................................................................................................. 108
Figura 3.8: Níveis de luneta .............................................................................................................................. 108
Figura 3.9: Nível de pedreiro ............................................................................................................................ 109
Figura 3.10: Níveis laser ................................................................................................................................... 109
Figura 3.11: Nível de mangueira ...................................................................................................................... 109
Figura 3.12: Corpos suspensos ......................................................................................................................... 110
Figura 3.13: Clinômetro ................................................................................................................................... 110
Figura 3.14: Estação Total ................................................................................................................................ 111
Figura 3.15: Miras ............................................................................................................................................ 111
Figura 3.16: Altímetro ...................................................................................................................................... 111
Figura 3.17: Nivelamento geométrico .............................................................................................................. 113
Figura 3.18: Nivelamento trigonométrico ........................................................................................................ 114
Figura 3.19: Nivelamento barométrico ............................................................................................................. 115
Figura 3.20: Nivelamento geométrico simples ................................................................................................. 122
Figura 3.21: Nivelamento geométrico composto I ........................................................................................... 124
Figura 3.22: Nivelamento geométrico composto II .......................................................................................... 131
Figura 3.23: Eixos longitudinal e transversal ................................................................................................... 134
Figura 3.24: Nivelamento de seção transversal a régua ................................................................................... 135
Figura 3.25: Perfil transversal .......................................................................................................................... 136
Figura 3.26: Nivelamento de seção transversal à clinômetro ........................................................................... 137
Figura 3.27: Planta com pontos cotados ........................................................................................................... 139
Figura 3.28: Planta com curvas de nível ........................................................................................................... 139

xiii
Figura 3.29: Planta com cores hipsométricas ................................................................................................... 140
Figura 3.30: Desenho de perfil ......................................................................................................................... 141
Figura 3.31: Desenho em perspectiva ............................................................................................................... 141
Figura 4.1: Croqui de área ................................................................................................................................ 144
Figura 4.2: Planta planialtimétrica do terreno .................................................................................................. 154
Figura 4.3: Planta em perspectiva do terreno ................................................................................................... 154
Figura 5.1: Segmento de controle ..................................................................................................................... 160
Figura 5.2: Segmento dos usuários ................................................................................................................... 161
Figura 5.3: Princípio de observação ................................................................................................................. 163
Figura 5.4: Fase codificada ............................................................................................................................... 163
Figura 5.5: Posicionamento relativo ou diferencial .......................................................................................... 164
Figura 5.6: Método diferencial utilizando as ondas portadoras ........................................................................ 165
Figura 5.7: Alguns modelos de receptores GPS ............................................................................................... 168
Capítulo 6 - Fotogrametria - Aspectos Básicos
Figura 6.1: Escala da fotografia aérea .............................................................................................................. 173
Figura 6.2: Câmaras terrestre e aérea ................................................................................................................ 174
Figura 6.3: Relação entre distância focal e escala ............................................................................................ 176
Figura 6.4: Estereoscópio de espelhos .............................................................................................................. 177
Figura 6.5: Restituidor universal ...................................................................................................................... 179
Figura 6.6: Medição aproximada de altura ....................................................................................................... 180
Figura 6.7: Plano de vôo ................................................................................................................................... 183
Figura 6.8: Apoio terrestre ................................................................................................................................ 187
Figura 6.9: Ortofotocarta .................................................................................................................................. 190
Figura 6.10: Construção de cartas e mapas ....................................................................................................... 190
Figura 6.11: Fotointerpretação urbana .............................................................................................................. 191
Figura 7.1: Acurácia x Precisão ........................................................................................................................ 196
Figura 7.2: Relação entre a freqüência observada e freqüência teórica ............................................................ 201
Figura 7.3: Nivelamento geométrico ................................................................................................................ 207
Capítulo 8 – Locação – Aspectos Básicos
Figura 8.1: Estaca testemunha .......................................................................................................................... 213

xiv
Figura 8.2: Referência do greide ...................................................................................................................... 213
Figura 8.3: Utilização de cruzetas .................................................................................................................... 213
Figura 8.4: Exemplo da marcação de off-set .................................................................................................... 215
Figura 8.5: Marcação das tangentes e PI´s ........................................................................................................ 215
Figura 8.6: Amarração de um PI por interseção de ângulos ............................................................................. 216
Figura 8.7: Amarração de um PI por interseção de distâncias .......................................................................... 217
Figura 8.8: Elementos de uma curva circular simples ...................................................................................... 217
Figura 8.9: Elementos de uma curva de transição ............................................................................................ 218
Figura 8.10: Estaqueamento final de uma estrada ............................................................................................ 218
Figura 8.11: Elementos as curva circular ......................................................................................................... 219
Figura 8.12: Cálculo da tangente externa ......................................................................................................... 220
Figura 8.13: Ângulo AC ................................................................................................................................... 220
Figura 8.14: Cálculo das estacas do PC e PT ................................................................................................... 221
Figura 8.15: Cálculo das estacas do PI ............................................................................................................. 222
Figura 8.16: Distância PC-PT, considerando as tangentes e o desenvolvimento ............................................. 223
Figura 8.17: Diferença entre distância reta e curva .......................................................................................... 226
Figura 8.18: Locação das curvas através da corda ........................................................................................... 228
Figura 8.19: Locação I. Arcos de 20 m ............................................................................................................ 229
Figura 8.20: Locação II. Arcos de 10 m ........................................................................................................... 230
Figura 8.21: Locação III. Arcos de 5 m............................................................................................................. 231
Figura 8.22: Cálculo do afastamento ................................................................................................................ 232
Figura 8.23: Aplicação do cálculo de afastamento ........................................................................................... 232
Figura 8.24: Grau da curva ............................................................................................................................... 233
Figura 8.25: Deflexão ....................................................................................................................................... 233
Figura 8.26: Deflexão total I ............................................................................................................................ 234
Figura 8.27: Deflexão total II ........................................................................................................................... 234
Figura 8.28: Deflexão acumulada I .................................................................................................................. 235
Figura 8.29: Deflexão acumulada II ................................................................................................................. 236
Figura 8.30: Deflexão acumulada III ................................................................................................................ 237
Figura 8.31: Cálculo da cordas I ....................................................................................................................... 238
Figura 8.32: Cálculo da cordas II ..................................................................................................................... 238
Figura 8.33: Cálculo das coordenadas da curva ............................................................................................... 242
Figura 8.34: Cálculo dos azimutes dos alinhamentos ....................................................................................... 243
Figura 8.35: Esquema de cálculo de azimutes .................................................................................................. 243
Figura 8.36: Esquema para locação de curva através das deflexões ................................................................ 245
Figura 8.37: Ilustrativo da locação por deflexão .............................................................................................. 245
Figura 8.38: Ilustrativo da locação por coordenadas ........................................................................................ 246

xv
Figura 9.1: Animais perigosos .......................................................................................................................... 251
Figura 9.2: Espécies de aranhas ........................................................................................................................ 252
Figura 9.3: Escorpião ........................................................................................................................................ 253
Figura 9.4: Lacraia ............................................................................................................................................ 254
Figura 9.5: Espécies de cobras .......................................................................................................................... 255
Figura 9.6: Fosseta loreal .................................................................................................................................. 256
Figura 9.7: Esquema não confiável de identificação de cobras ........................................................................ 257
Figura 9.8: Identificando cobras ....................................................................................................................... 258
Figura 9.9: Percentual de picadas de cobras nas partes do corpo ..................................................................... 259
Figura 9.10: Equipamentos de segurança ......................................................................................................... 259
Figura 9.11: Bote .............................................................................................................................................. 260

pg.
Quadro 1.1: Classificação dos Levantamentos Geodésicos .............................................................................. 24
Tabela 1.1: Alguns elipsóides e seus parâmetros ............................................................................................. 10
Tabela 1.2: Transformação entre sistemas geodésicos ..................................................................................... 26
Quadro 2.1: Outros sistemas lineares ............................................................................................................... 30
Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares ............................................................ 38
Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI) ..................................................................... 39
Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão ................................................................ 40
Tabela 2.4: Resumo das equações estadimétricas ............................................................................................ 47
Tabela 2.5: Levantamento Planimétrico – Poligonais ...................................................................................... 68
Tabela 2.6: Classificação dos teodolitos ........................................................................................................... 68
Tabela 2.7: Classificação dos MED ................................................................................................................. 68
Tabela 2.8: Classificação de estações totais ..................................................................................................... 68
Tabela 2.9: Classe x Coeficiente b ................................................................................................................... 72
Tabela 2.10: Classe x Coeficiente d ................................................................................................................. 79
Tabela 3.1: Valores de distâncias versus erro de nível aparente ...................................................................... 104
Tabela 3.2: Instrumentos altimétricos .............................................................................................................. 107
Tabela 3.3: Classificação dos instrumentos (níveis) ......................................................................................... 117
Tabela 3.4: Nivelamento de linhas ou circuitos e seções ................................................................................. 117
Tabela 3.5: Especificações para nivelamento geométrico – IBGE ................................................................... 119
Tabela 4.1: Resumo das equações taqueométricas ........................................................................................... 144
xvi

xvii
Tabela 4.2: Altimetria – Exemplo .................................................................................................................... 153
Tabela 5.1: Configuração Original do NAVSTAR-GPS .................................................................................. 161
Tabela 5.2: Configuração em 1990 do NAVSTAR-GPS ................................................................................. 161
Tabela 5.3: Mercado de receptores GPS ........................................................................................................... 169
Tabela 5.4: Técnicas de Posicionamento com o sistema GPS x Precisão ........................................................ 169
Tabela 7.1: Experimento de Bradley ................................................................................................................ 199
Tabela 7.2: Medidas de uma base geodésica .................................................................................................... 202
Tabela 7.3: Resumo dos cálculos I ................................................................................................................... 203
Tabela 7.4: Medidas do ângulo horizontal ....................................................................................................... 205
Tabela 7.5: Resumo dos cálculos II .................................................................................................................. 206
Tabela 7.6: Medidas da diferença de nível ....................................................................................................... 208
Tabela 7.7: Resumo dos cálculos III ................................................................................................................. 208
Quadro 9.1: Acidentes x soro ........................................................................................................................... 261

29
11 -- IInnttrroodduuççããoo
Considerando que a topometria é a parte da Topografia responsável pela avaliação de grandezas pa-
ra representar o ambiente (Cap. 1), a planimetria estuda os procedimentos, métodos e instrumentos de medi-
da de ângulos e distâncias, considerando o plano horizontal. Para estudo da planimetria, divide-se inicial-
mente o conteúdo em dois temas, baseado nas duas grandezas básicas a serem avaliadas em campo, ou seja,
as distâncias (Gramometria - Item 3) e ângulos (Goniologia - Item 4).
No Item 5 estes temas se fundem perfazendo os métodos de levantamento planimétrico. Nos pró-
ximos itens (6 e 7) calculam-se coordenadas e áreas de polígonos topográficos. Como o assunto está associa-
do à interpretação e medida de grandezas lineares e angulares, tem-se no Item 2, uma revisão associada aos
sistemas de unidades de medidas.
22 -- SSiisstteemmaass ddee UUnniiddaaddeess ddee MMeeddiiddaass
Medir uma grandeza consiste em compará-la com outra, denominada padrão,
e verificar quantas vezes ela é maior ou menor que aquela tomada como padrão.
Já está bem difundido a utilização do “Sistema Internacional de Unidades -
SI”, apesar de alguns sistemas antigos (infelizmente !) ainda serem usados com freqüência. A seguir são co-
mentadas as unidades mais utilizadas na Topografia, citando as de medidas lineares, de superfície, volumé-
tricas e angulares, e ao final um resumo dos vários sistemas de unidades utilizadas pelo Engenheiro.

30
22..11 -- UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa LLiinneeaarr
A unidade de medida internacional para medidas lineares é o metro (m), que corresponde à décima
milionésima parte de um quarto do meridiano terrestre. O sistema métrico decimal envolve seus múltiplos e
submúltiplos (Figura 2.1):
Figura 2.1: Múltiplos e submúltiplos do metro.
Exemplo 1: Transforme 10 km e 98 mm, nos múltiplos e submúltiplos do metro.
Solução:
10 km = 100 hm = 1.000 dam = 10.000 m = 100.000 dm = 1.000.000 cm = 10.000.000 mm.
98 mm = 9,8 cm = 0,98 dm = 0,098 m = 0,0098 dam = 0,00098 hm = 0,000098 km.
Exemplo 2: Transforme 21,45 m, para mm e km.
Solução:
21,45 m = 21.450 mm = 0,02145 km.
Apesar da tendência de utilização do sistema métrico decimal, unidade antigas ainda são utilizadas,
como:
Quadro 2.1: Outros sistemas lineares.
1 polegada inglesa1
= 25,4 mm; 1 pé = 30,479 cm;
1 jarda = 3 pés = 0,91438 m; 1 milha terrestre = 1.609,34 m;
1 palmo = 8 polegadas = 0,22 m; 1 milha náutica ou marítima = 1.852,35 m;
1 vara = 5 palmos = 1,10 m; 1 milha (bras.) = 2.200 m;
1 braça2
= 2 varas = 2,20 m; 1 corda = 15 braças = 33 m;
1 légua de sesmaria = 6.600 m. 1 légua geométrica = 6.000 m.
Exemplo 3: Transforme 12 polegadas inglesas e 5 pés em metros.
1
Polegada: Segundo a ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas), equivale a 27,5 mm

31
Solução:
1 polegada = 25,4 mm, logo 12 polegadas =304,8 mm, ou, 0,3048 m
1 pé = 30,479 cm, logo 5 pés = 152,39 cm, ou 1,524 m
Saiba desta ... !
Curiosidades sobre o Metro
A comissão de acadêmicos constituída por Monge, Lagrange, Condorcet e Borda,
formulando um esboço do sistema de medidas, encarregou os astrônomos João Delambre e
Pedro Nadré Mechain, a proceder os trabalhos geodésicos necessários para a medida de
10o
do meridiano, que vai de Dunquerque, no norte da França, a Monjony, próximo a Bar-
celona.
Empregando como unidade de medida a toesa (1 toesa = 6 pés), do qual se dedu-
ziria a quarta parte do mesmo meridiano para, então, ser determinado o padrão da unidade
fundamental escolhida.
O comprimento do quarto do meridiano deduzido das medidas efetuadas foi de 5.130.740 toesas,
cuja décima-milionésima parte equivale a 0,51307 toesa. Esta parte recebeu a denominação proposta por
Borda, de metro (metron = medida).
O padrão, protótipo em platina, que dá o comprimento legal do metro, construído pelo físico fran-
cês Fortin, de seção retangular, 25 x 4 mm, foi por lei de 10/12/1799 declarado “MÈTRE VRAI ET
DÈFINITIF” e depositado nos arquivos do Estado Francês.
Em 1909 após seus trabalhos geodésicos, Hayford encontrou para o quadrante terrestre
10.002,286, chegando a conclusão que o metro dos arquivos possuía 1/5 de mm a mais ou seja, o metro ar-
quivado tinha 1,0002 m. Resolveu-se, no entanto, não modificar o metro dos arquivos, razão por que na
Convenção Internacional do Metro, realizada em 1875, a qual participaram os principais países do mundo
entre os quais o Brasil, foi mantida esta medida e designada a cidade de Bretevil, próximo a Paris, para a
sede do Departamento Internacional de Pesos e Medidas, encarregado dos trabalhos de metrologia. Foram
então confeccionadas 30 cópias do metro, de seção especial, numa liga de 90% de platina e 10 % de irídio,
e por deliberação da primeira conferência geral, realizado em 26/09/1899, a cópia mais aproximada seria o
metro protótipo internacional, e as outras distribuídas pelos países participantes da conferência, seriam os
protótipos nacionais.
2
Braça: Unidade linear do ASPM (Antigo Sistema de Pesos e Medidas).

32
Saiba também ... !
Por que a milha náutica é diferente da milha terrestre ?
A origem da milha terrestre – sistema de medida ainda em uso na Inglaterra e nos Estados Unidos
– esta no “Mille passus”, unidade de comprimento utilizada pelo exército romano que correspondia a 1.000
passos dados por um centurião, o comandante das suas milícias. Os passos do centurião tomados como base
eram duplos, mais largos que o normal, e a medida encontrada foi o equivalente a 63.360 polegadas, ou
1.690,34 metros. Já a milha náutica foi esta estabelecida de forma científica. Como a terra possui um for-
mato arredondado, qualquer linha a contorná-la terá 360o
. A linha do equador mede aproximadamente
40.000 quilômetros. Dividiu-se, então esse perímetro por 360 partes (1o
) e depois por 60 (1’). Ou seja, 1 mi-
nuto de arco corresponde a 1.853,25 metros, que é a milha marítima. Por convenção internacional, esse va-
lor foi arredondado para 1.852 metros.
Saiba ainda... !
Qual a medida da LÉGUA ?
Do latim “leuca”, esta medida itinerária cujo valor primitivo não está bem fixado e possui várias
interpretações, que variam de 2,2 a 7,4 km, conforme a época e o povo. A légua de sesmaria equivale a
3.300 braças ou a 6, 6 km. A légua de uma hora, légua de 4,875 km. Légua geométrica possui 6.000 metros
enquanto a légua marítima, a 20a
parte do grau, contada num círculo máximo da terra, que vale 3 milhas,
ou cerca de 5,556 km. Esta última também é denominada de légua de vinte ao grau. Tem-se ainda a légua
quilométrica (4 km) e a légua terrestre ou comum, légua de 4,445 km, também chamada de vinte e cinco ao
grau.
Não satisfeitos, tem-se ainda a légua de beiço, distância indicada por uma pessoa que a expressa
esticando o lábio inferior, para dar a entender que é longe, principalmente se for precedida de um “logo a-
li” do mineirinho.
22..22 –– UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa ddee SSuuppeerrffíícciiee
A unidade padrão é o metro quadrado (m2
), porém em topografia, em razão da avaliação de gran-
des extensões da superfície, utiliza-se com mais freqüência o múltiplo hectare, correspondente a 10.000 m2
.
Are (a) => 100 m2
Múltiplo => 1 hectare (ha) = 10.000 m2
= 100 a
Submúltiplo => 1 centiare (ca) = 1,0 m2
= 0,01 a
Exemplo 4: Seja transformar:

33
23,34 ha = 233.400 m2
1 m2
= 100 dm2
= 10.000 cm2
= 1.000.000 mm2
1 km2
= 1.000.000 m2
Existem ainda algumas unidades antigas de superfície utilizadas no Brasil, baseado no ASPM (An-
tigo Sistema de Pesos e Medidas), como por exemplo o alqueire, variando sua medida entre regiões; citando:
1 alqueire geométrico = 100 x 100 braças = 48.400 m2
= 4,84 ha
1 alqueire paulista = 50 x 100 braças = 24.200 m2
= 2,42 ha
1 alqueire mineiro = 75 x 75 braças = 27.224 m2
= 2,7225 ha
1 alqueire goiano = 96.800 m2
Exemplo 5: Transforme 200 ha em m2
e em alqueires geométricos.
Solução:
200 ha = 2.000.000,000 m2
= 41,3223 alqueires geométricos.
Algumas outras utilizadas em algumas regiões brasileiras e outros países (e até curiosas !), como:
1 milha quadrada = 2,788 x 107
pés2
= 640 acres
1 pé quadrado = 929,0 cm2
1 acre3
= 43.560 pés2
= 4.046,8 m2
(cerca de 0,4 ha)
1 Braça quadrada = 4,84 m2
Saiba desta ... !
Cinqüenta é uma unidade de medida agrária empregada na Paraíba e equivale à 50 x 50 bra-
ças, também chamada de Quarta no Rio Grande do Sul. No Paraná a Quarta vale 50 x 25 braças.
Colônia é uma unidade de superfície usada no estado do Espírito Santo, equivalente a 5 alquei-
res de 100 x 100 braças.
Geira é uma unidade de medida agrária e equivale a 400 braças quadradas.
Tarefa é uma unidade agrária de valor variável de estado a estado. Na Bahia corresponde à
superfície de um quadrado de 30 braças de lado, por exemplo.
Morgo é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 0,25 hectare, se-
ja um quadrado de 50 m de lado.
Lote é uma unidade de superfície empregada em Santa Catarina, equivale a 25 hectares.
22..33 –– UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa ddee VVoolluummee
3
Acre é uma unidade de medida agrária empregada na Inglaterra e nos Estados Unidos.

34
A unidade padrão é o metro cúbico (m3
), corresponde a um cubo de 1 x 1 x 1 m.
Têm-se ainda as seguintes unidades volumétricas:
1 litro = 1 dm3
; 1 jarda cúbica = 0,7645 m3
.
Exemplo 6: Transforme:
1 m3
= 1m x 1m x 1m = 10 dm x 10 dm x 10 dm = 1.000 dm3
= 100 cm x 100 cm x 100 cm = 1.000.000 cm3
Exemplo 7: Calcule a capacidade, em litros e em m3
, de uma caixa de água com as seguintes di-
mensões (largura = 4 m; comprimento = 100 dm; altura: 500 cm).
Solução:
Capacidade = largura x comprimento x altura = 4,000 m x 10,000 m x 5,000 m = 200 m3
Capacidade = 200 m3
= 200.000 litros
Exemplo 8: Seja calcular a capacidade, em m3
, de um moto-scraper que transporta 24 jardas cúbi-
cas por viagem.
Solução:
1 jarda cúbica = 0,7645 m3
24 jardas cúbicas = 18,348 m3
Capacidade = 18,348 m3
22..44 –– UUnniiddaaddee ddee MMeeddiiddaa AAnngguullaarr
As unidades de medidas dos ângulos e arcos podem ser sexagesimais (grau), centesimais (grado) e
o radiano.
22..44..11 -- SSiisstteemmaa SSeexxaaggeessiimmaall
É o sistema mais utilizado na Topografia. No sistema sexagesimal o círculo trigonométrico é divi-
dido em 360 partes, tendo como unidade básica o grau (Figura 2.2).

35
Figura 2.2: Sistema sexagesimal.
Círculo: 360o
Unidade básica: 1o
Submúltiplos:
Minuto: 60’ = 1o
Segundo: 3.600” = 1o
Logo: 1o
= 60’ = 3.600”
Geralmente tem-se a origem da medição na direção do Norte, em sentido horário. As modalidades
de ângulos horizontais e verticais utilizados na topografia são comentados no item 4 (Item 4 – Goniologia).
Exemplo 9: 30o
49’ 32,5” (lê-se trinta graus, quarenta e nove minutos e trinta e dois “vírgula” cin-
co segundos).
Pode-se executar as seguintes operações algébricas:
a) Adição
Adicionar as unidades comuns.
Exemplo 10: Some 50o
20’ 30” e 20o
45’ 43”
Solução:
50o
20’ 30”
+ 20o
45’ 43”
70o
65’ 73”
= 71o
06’ 13”
Logo, 70o
65’ 73” = 70o
66’ 13” = 71o
06’ 13”
b) Subtração

36
Subtrair as unidades comuns e iguais.
Exemplo 11: Subtraia 50o
20’ 30” e 10o
42’ 40”
Solução:
50o
20’ 30” 50o
19’ 90” 49o
79’ 90”
10o
42’ 40” 10o
42’ 40” 10o
42’ 40”
39o
37’ 50”
c) Multiplicação
Multiplicar apenas por números adimensionais;
Não multiplicar ângulos por ângulos.
Exemplo 12: Multiplique 80o
20’ 30” por 5
Solução:
80o
20’ 30”
x 5
400o
100’ 150”
Corretamente tem-se 401o
42’ 30”
d) Divisão
Dividir apenas por números adimensionais.
Não dividir ângulos por ângulos.
Exemplo 13: Divida 80o
40’ 20” por 4.
Solução:
80 40' 20''
4 20 10' 05'
o
o
= '
Deve ser claro que relações trigonométricas envolvendo unidades do grau, minuto e segundo, estes
devem ser “decimalizados”, ou seja, por exemplo:
sen 30o
30’ ≠ sen 30,30o
(erro muito comum em operações trigonométricas).
pois sen 30o
30’ = 0,507538362921
sen 30,30o
= 0,504527623815
A operação da decimalização já é uma rotina existente na maioria das calculadoras científicas, de-
vendo ser executada antes de qualquer operação matemática relacionada à ângulos sexagesimais.
Exemplo 14: Decimalize e/ou calcule:
a) 30o
30’

37
b) 20o
06’ 18”
c) tan 30o
20’ 01,20”
Solução:
a) 60’ equivalem a 1o
, logo, 30’ equivale a 0,5o
, então:
30o
30’ = 30o
+ 0,5o
= 30,5o
b) 60’ equivale a 1o
, logo 06’ equivale a 0,1o
; e 3600” equivale a 1o
, logo, 18” equivale a 0,005o
;
então:
20o
06’ 18” = 20o
+ 0,1o
+ 0,005o
= 20,105o
c) tan 30o
20’ 01,20” = tan 30,3336666667 = 0,585141328646
22..44..22 -- SSiisstteemmaa CCeenntteessiimmaall ee RRaaddiiaannoo
O sistema centesimal foi bastante empregado na Topografia, não ocorrendo com freqüência na atu-
alidade. No sistema centesimal o círculo trigonométrico é dividido em 400 partes, tendo como unidade bási-
ca o grado (Figura 2.3).
Círculo - 400g
Unidade básica: 1g
Submúltiplos: Centigrado: 100 centrigados = 1g
; Decimiligados = 10.000 decimiligrados = 1g
Figura 2.3: Sistema centesimal.
Exemplo 15: 382,4839g
(lê-se trezentos e oitenta e dois grados, quarenta e oito centigrados e trinta
e nove decimiligrados).

38
O radiano é o ângulo central correspondente à um arco de comprimento igual ao raio (Figura
2.4).
2 π R ==> 360o
a ==> α
'18573,57
2
360
Rase
R2
a360
00
0
0
≈=
π
∴=
π
⋅
=α
Logo 1 radiano ≈ 57 180
' = α
Figura 2.4: Sistema radiano.
Na tabela 2.1 tem-se a conversão de sistemas de unidades de medidas angulares vistos anteriormen-
te.
Tabela 2.1: Relação entre sistemas de unidades de medidas angulares.
Graus Grados Radianos
0o
0gr
0 rd
90o
100gr
π/2 rd
180o
200gr
π rd
270o
300gr
3π/2 rd
360o
400gr
2π rd
Geralmente é necessário transformar os valores entre os vários sistemas angulares, principalmente
ao confeccionar algum programa de cálculo. Alguns equipamentos modernos (Estações Totais, por exemplo)
possibilitam a tomada destas grandezas em quaisquer sistemas mencionados acima.

39
Exemplo 16: Seja transformar:
a) 358o
(para grado) = 397,7g
b) 120o
c) 76o
d) 104g
(para grau) = 93,60
= 93o
36’
e) 96g
(para grau) = 86o
24’
f) 78g
(para grau) = 70o
12’
g) 100o
(para radiano) = 1,74 rd
h) 2 rd (para grau) = 114o
36’
A tabela 2.2 ilustra outros sistemas de unidades utilizados freqüentemente nas medições em geral.
Tabela 2.2: Resumo do Sistema Internacional de Unidades (SI).
Grandeza Nome Símbolo Definição
Comprimento Metro m
“ ... a distância percorrida pela luz no vácuo em
1/299.792.458 do segundo. ” (1983).
Massa Quilograma kg
“ ... este protótipo (um determinado cilindro de platina e i-
rídio) será, daqui em diante, considerando a unidade de
massa. ” (1889).
Tempo Segundo s
“ ... a duração de 9.192.631.770 períodos da radiação cor-
respondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do
estado fundamental do átomo de césio 133.” (1967).
Corrente elétrica Ampére A
“ ... a corrente constante que, mantida em dois condutores
retilíneos paralelos de comprimento infinito e seção circu-
lar transversal desprezível, situados no vácuo e distantes
um do outro 1 metro, produziria entre esses condutores
uma força igual a 2 x 10-7
newton por metro.” (1946).
Área Metro quadrado m2
-
Volume Metro cúbico m3
-
Freqüência Hertz Hz s-1
Densidade Quil. por metro cúbico kg/m3
-
Velocidade Metro por segundo m/s -
Aceleração Metro por seg. quadr. m/s2
-
Força Newton N kg . m/s2
Pressão Pascal Pa N/m2
Trabalho/Energia Joule J N.m
Potência Watt W J/s
33 -- GGrraammoommeettrriiaa
A Gramometria estuda os processos e instrumentos usados nas determinações de distâncias entre
dois pontos. Esta distância pode ser obtida por processos direto ou indireto.

40
33..11 -- PPrroocceessssooss DDiirreettooss
Pelo método direto, as distâncias são determinadas percorrendo-se o alinhamento. Genericamen-
te os instrumentos destinados a medida direta são denominados de diastímetros.
Geralmente as trenas são constituídas de uma fita de lona, de aço ou de nylon, enrolada no interior
de uma caixa circular. Existem trenas de 2, 5, 10, 20, 30 e 50 metros, sendo mais usadas as de 20m. As fitas
de aço temperado possuem geralmente 10, 20, 30 e 50 e até 100 metros. Na tabela abaixo (Tabela 2.3) tem-se
uma classificação dos processos diretos segundo sua respectiva precisão.
Tabela 2.3: Classificação dos processos diretos segundo a precisão.
* Passo (por ex.: p ≅ 0,80 m)
* Régua graduada (por ex.: bambu)Baixa precisão
* Medidor topográfico
- De aço
* Fitas
- De fibra de vidro
- De lona
- De aço
Média precisão
* Trenas
- De fibra de vidro
Alta precisão * Fio ínvar
Na operação das medidas lineares deve-se ter o cuidado de avaliar sempre a projeção horizontal dos
pontos considerados. Como os alinhamentos são representados em planta por suas projeções num plano hori-
zontal (rever o conceito de Topografia), as medidas das distâncias devem ser feitas na horizontal. Logo, caso
o terreno seja inclinado, a medida deve ser executada tendo uma das extremidades no ponto mais alto, e a ou-
tra num ponto mais baixo, com auxílio de duas balizas (Figura 2.5).
Ainda, na medição de uma distância, alguns erros devem ser corrigidos e outros evitados. O erro
total ao executar uma medida é a resultante de um conjunto destes erros. Abaixo são citados os erros mais
comuns.
a) Erro no comprimento do diastímetro
Deve ser corrigido.
Figura 2.5: Medição horizontal do alinhamento AB.

41
Exemplo 17: Suponha um diastímetro, inicialmente, com a marcação de 25 metros.
Em segunda análise, suponha que foi feita uma aferição (constatação em laboratório), e sua verda-
deira medida seja 24,9 m. Neste caso, pensaria o usuário estar medindo 25m, mas na realidade teria apenas
24,9 m.
Exemplo 18: Partindo do exemplo 15, suponha uma distância no campo igual 100 m, qual seria a
distância real ?
Solução:
100 m ⇒ 25,0 m
x m ⇒ 24,9 m
x = 99,60 m (distância real medida pelo usuário)
Exemplo 19: Ainda, para obter a distância real de 100 m, com o diastímetro acima, quanto deve-se
medir no campo ?
Solução:
x m ⇒ 25,0 m
100 m ⇒ 24,9 m
x = 100,40 m (a ser medido no campo para obter os 100,00 m)
b) Erro de dilatação do diastímetro
Deve ser corrigido.
e L T t= −* *( )α , onde:
e - Erro; L - Distância medida; α - Coeficiente de dilatação;
T - Temperatura ambiente; t - Temperatura de aferição (± 20o
C).
c) Falta de horizontalidade do diastí-
metro
Como os pontos A e B devem ser proje-
tados considerando um plano horizontal, caso o-
corra uma inclinação do diastímetro, a distância
tomada será sempre maior que a real. Deve ser evi-
tado, por exemplo, com auxílio de uma 3o
pessoa
verificando a posição do diastímetro (Figura 2.6).
d) Erro de catenária
Figura 2.6: Horizontalidade do diastímetro.

42
Erro devido ao peso do diastímetro. Para evitá-lo deve-se esticar o diastímetro, avaliar trechos me-
nores ou adotar escoras intermediárias. (Figura 2.7).
e) Desvio vertical da baliza
Em virtude das balizas não estarem perfeita-
mente na vertical, a distância medida pode ser maior ou
menor que a distância real AB (Figura 2.8).
Deve ser evitado, por exemplo, com a utiliza-
ção de um nível de cantoneira.
f) Erro de desvio lateral do diastímetro
Considerando dois pontos topográficos, a dis-
tância horizontal entre eles deve ser tomada materiali-
zando um alinhamento reto, ou seja um traço da interse-
ção do terreno com apenas um plano vertical que contém
estes pontos. Deve ser evitado, por exemplo, através do
balizamento (Figura 2.9).
g) Enganos
Ocorre pela inabilidade do operador. Pode-se citar como erro grosseiro ou engano: Posição do ze-
ro no diastímetro, erro de leitura, omissão de trenadas, anotação errada, etc. Este erro tem de ser evitado.
33..22 -- PPrroocceessssooss IInnddiirreettooss
Na medição indireta de distâncias, estas são determinadas sem percorrer o alinhamento. Os ins-
trumentos de medida indireta de distância são denominados distanciômetros. Estes podem ser:
Óticos
Mecânicos
Eletrônicos
Os instrumentos óticos e mecânicos são designados de taqueômetros ou taquímetros.
Figura 2.7: Erro de catenária.
Figura 2.8: Desvio vertical da baliza.
Figura 2.9: Desvio lateral do diastímetro.

43
O processo indireto confundia-se com a taqueometria ou estadimetria, por este ser um processo de
levantamento muito aplicado em levantamentos topográficos, contudo com o avanço da utilização de instru-
mentos eletrônicos para obtenção de distâncias, reafirma-se a divisão proposta.
Taqueometria é a parte da topografia que se ocupa da medida indireta das distâncias horizontais e
das diferenças de nível, quer por meios óticos, quer por meios mecânicos, empregando-se instrumentos de-
nominados taqueômetros.
Os taqueômetros estadimétricos ou normais são teodolitos com luneta portadora de retículos esta-
dimétricos, constituídos de três fios horizontais e um vertical. Com os fios de retículo, associados às miras
verticais ou horizontais, pode-se obter a distância horizontal e a diferença de nível entre dois pontos.
Nos itens a seguir (3.2.1, 3.2.2, 3.2.3 e 3.2.4), dá-se ênfase ao processo de obtenção de distâncias e
diferenças de nível com uso de taqueômetros, associados à miras verticais.
33..22..11 -- DDiissttâânncciiaa HHoorriizzoonnttaall -- PPllaannoo HHoorriizzoonnttaall
O princípio de construção está ilustra-
do figura 2.10, onde:
AC
AF
BC
EF
= (01)
AC
AF
CD
FG
= (02)
AC
AF
BC CD
EF FG
BD
EG
=
+
+
= (03)
sendo
AC - Distância a ser determinada (D)
AF - Distância focal (f)
BD - Leitura estadimétrica (m) (FS - FI)
EG - Altura dos fios do retículo (h)
h
f*m
D
h
m
f
D
=∴= (04)
)tetancons(g
h
f
=
D m g= ⋅
onde
D - Distância horizontal;
m - Leitura estadimétrica onde: m = FS - FI;
Figura 2.10: Distância horizontal estadimétrica I.

44
onde FS - Fio superior do retículo;
FI - Fio inferior do retículo;
FM - Fio médio do retículo;
g - Constante do aparelho. Em 99% dos casos, g = 100;
Existe ainda a seguinte relação:
Obs.: Muitas vezes é considerando a igualdade ao invés da aproximação da igualdade.
Exemplo 20: Dados os fios FS, FI e g, calcule o FM e a distância (Figura 2.11):
Solução:
FS = 2,800 m; FI = 1,200 m
g = 100
2 . FM ≅ (FS + FI) => 2 . 2,000 = (2,800 + 1,200)
=> 4,000 = 4,000 OK !
m = FS - FI = 2,800 - 1,200 = 1,600 m
D = m . g = 1,600 . 100 = 160 m
Em alguns taqueômetros, a luneta pode não coincidir com o
centro do instrumento (alática) ou coincidir (analática) (Figura 2.12).
No caso da luneta alática, para determinação das distâncias ho-
rizontal e vertical, deve-se considerar a constante “c” mais a distância focal “f”.
A maioria das lunetas dos taqueômetros é analática.
Figura 2.12: Tipos de luneta – Alática e Analática.
33..22..22 -- DDiissttâânncciiaa HHoorriizzoonnttaall -- PPllaannoo IInncclliinnaaddoo
2 . FM ≅ FS + FI
Figura 2.11: Fios estadimétri-
cos.

45
Seja agora a figura 2.13, considerando um plano inclinado:
BD = m - Leitura estadimétrica com a mira na vertical;
FG = n - Leitura estadimétrica com a mira normal à visada;
AC = n . g (05);
AE = AC . cosα (06)
AE = n . g . cosα (07)
Dos triângulos FBC e DCG (considerando serem retângulos semelhantes ao triângulo ACE) (Figu-
ra 2.13), os ângulos:
FCB DCG CAE= = = α (08)
α⋅=∴=α
/
⋅
/
=α∴=α
cosmn
m
n
cos
m
2
2
n
cos
2
m
2
n
cos
n = m . cosα (09)
(09 em 07)
D = m . g . cosα . cosα (10)
Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 –
Goniologia), a fórmula estadimétrica será:
33..22..33 -- DDiiffeerreennççaa ddee NNíívveell
Considere a figura 2.14, para avaliar a diferença de nível FG, ou seja, a distância vertical entre o
ponto F e a projeção do ponto A.
BD => Leitura estadimétrica - m;
FG => Diferença de nível;
LE => D = m . g . cos2
α (12)
CF => Leitura feita na mira com o fio médio - alvo;
EG => i - Altura do instrumento.
Figura 2.13: Distância horizontal estadimétrica II.
D = m . g . cos2
α
D = m . g . sen2
Z

46
Definição:
FG = CG - CF (13)
CG = CE + EG (14)
(14) em (13)
FG = CE + EG - CF (15)
CE = LE . tgα (16)
(16) em (15)
FG = LE . tgα + EG - CF (10) (17)
Substituindo, tem-se:
dn = m . g . cos2
α . tgα + i – alvo (18)
( )dn m g
sen
i l= ⋅ ⋅
⋅
+ −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
2
2
α
Obs.: Se o ângulo vertical corresponde ao ângulo zenital (ângulo com origem no zênite) (Item 4 –
Goniologia), a fórmula taqueométrica será:
( ) li
2
Z2sen
gmdn −+
⋅
⋅⋅= ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
Na tabela 2.4 tem-se um resumo das equações taqueométricas para avaliar distâncias horizontais e
diferenças de nível.
Tabela 2.4: Resumo das equações estadimétricas.
Analática
Plano horizontal
Distância horizontal
D = m . g
Plano inclinado
Distância horizontal
D = m . g . cos2
α (α)
D = m . g . sen2
Z (Z)
Plano inclinado
Diferença de nível
( )dn m g
sen
i l= ⋅ ⋅
⋅⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ + −
2
2
α (α)
Figura 2.14: Diferença de nível estadimétrica.

47
( ) li
2
Z2sen
gmdn −+⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ⋅
⋅⋅= (Z)
Igualmente à medida direta de uma distância, ao avaliar indiretamente uma distância por taqueome-
tria, alguns cuidados devem ser considerados, evitando alguns erros como:
Na leitura da mira - Distância imprópria, capacidade de aumento focal da luneta, desvios causa-
dos pela refração atmosférica;
Erros nas constantes c, f, g;
Falta de verticalidade da mira;
Erro na medição do ângulo de inclinação (α ou Z).
33..22..44 -- DDiissttâânncciiaass MMááxxiimmaass ee MMíínniimmaass
Através de exemplos, pode-se demonstrar as máximas e mínimas distâncias que podem ser obtidas
pela taqueometria. Estas podem ser avaliadas pelo aspecto teórico, ou seja, matematicamente, ou pelo aspec-
to prático, ou seja, a real distância que se pode obter pelo taqueômetro.
Na consideração teórica estão em questão o tamanho da mira e sua menor subdivisão, e o valor
da constante g.
Para a prática, depende diretamente do foco do instrumento, sendo que a distâncias superiores a
150 m, e inferiores a aproximadamente 5 m, a imagem do objeto começa a ficar prejudicada.
Exemplo 21: Sejam os dados abaixo, calcule a máxima distância teórica conferindo (Figura 2.15)
e sem conferência (Figura 2.16).
Dados:
L (tamanho da mira) = 4,000 m
g = 100
Solução:
Obs.: A máxima distância entre
dois pontos é aquela tomada na horizontal,
logo:
D = m . g
m = FS - FI
m = 4,000 - 0,000 = 4,000 m
Figura 2.15: Máxima distância teórica conferindo.

48
D = 4,000 x 100 = 400 m (conferindo)
Obs.: Para determinar a distância máxima sem conferência, um dos fios (superior ou inferior) está
impossibilitado de ser lido, logo, deve ser calculado pela fórmula:
FM
FS FI
m
FS
FS m=
+
∴ =
+
∴ =
2
4 000
0 000
2
8 000,
,
,
m = 8,000 - 0,00 = 8,000 m
D = 8,000 x 100 = 800 m (sem conferência)
Exemplo 22: Sejam os dados a-
baixo, calcule a mínima distância teórica
conferindo (Figura 2.17).
Dados:
menor subdivisão = 0,010 m
g = 100
Solução:
D = m . g
m = 1,010 - 1,000 = 0,010 m
D = 0,010 x 100 = 1,000 m (conferindo)
Exemplo 23: Durante as operações topográficas, a maioria das medidas de distâncias é tomada
considerando um plano inclinado. Considerado os dados abaixo e as fórmulas da tabela 2.4, calcule a distân-
cia horizontal e diferença de nível entre dois pontos (Figura 2.18).
Dados:
FS = 2,344 m; FI = 1,200 m; FM = 1,772 m;
g = 100; α = 30o
30’; i = 1,5 m
Solução:
a) Distância horizontal
D = m . g . cos2
α
D = (FS - FI) . 100 . cos2
(30o
30’)
D = (2,344 - 1,200) . 100 . cos2
(30,5o
) = 1,144 . 100 . 0,74240 = 84,931 m
b) Diferença de nível
Figura 2.16: Máxima distância teórica sem confe-
rência.
Figura 2.17: Mínima distância teórica conferindo.

49
dn m g
sen
i l= ⋅ ⋅
⋅
+ −
2
2
α
∴ dn FS FI
sen o
= − ⋅ ⋅ + −( )
. '
, ,100
2 30 30
2
1500 1 772
( )
dn
sen
dn
o
= ⋅ ⋅ + −
= ⋅ ⋅ + − =
1144 100
2 30 5
2
1500 1 772
1144 100 0 43730 1500 1 772
,
. ,
, ,
, , , , 49,756 m
44 -- GGoonniioollooggiiaa
A Goniologia estuda os processos e instrumentos necessários para avaliar um ângulo. Para seu es-
tudo alguns autores a dividem em:
Goniografia - Estuda os processos de representação gráfica dos ângulos;
Goniometria - Estuda os processos e instrumentos necessários para a medida dos ângulos em
campo.
Na figura abaixo (Figura 2.19) têm-se os vários tipos de ângulos utilizados na topografia, comenta-
dos nos itens 4.1 e 4.2.
Figura 2.18: Distância horizontal e diferença de nível pelo processo estadimétrico.

50
Figura 2.19: Ângulos na Topografia.
Os instrumentos utilizados para medir estes ângulos em campo (e escritório) são denominados de
goniômetros. O teodolito é um goniômetro que possui limbos vertical e horizontal (Figura 2.19), internos
ou externos. O limbo é a parte específica do goniômetro que permite fazer a avaliação numérica dos ângu-
los. É constituída de uma coroa graduada podendo ter os seguintes sistemas de graduação:
Sexagesimal (grau) Centesimal (grado)
44..11 -- ÂÂnngguullooss HHoorriizzoonnttaaiiss
O ângulo horizontal é definido como o ângulo formado pelo afastamento de 2 planos verticais,
considerando um eixo (Figura 2.20). Os ângulos horizontais, de acordo com a direção ou alinhamento que
serve de origem para sua medida, podem ser azimutais ou goniométricos.
Os ângulos horizontais azimutais, têm por origem a direção norte-sul, sendo denominados de a-
zimutes e rumos;
Os ângulos goniométricos são medidos com relação a um alinhamento qualquer, sendo denomina-
dos de ângulos entre alinhamentos (interno ou externo) e deflexões.

51
Figura 2.20: Ângulo horizontal α.
44..11..11 -- ÂÂnngguullooss AAzziimmuuttaaiiss
a) Azimutes
É o ângulo horizontal formado entre a direção nor-
te-sul e um alinhamento, tendo por origem o sentido do nor-
te e grandeza variável entre 0o
e 360o
(Figura 2.21).
O azimute recíproco de um alinhamento AB (van-
te) é o azimute deste alinhamento em sentido contrário, isto
é, o azimute de BA (ré), os quais diferem de 180o
, ou seja
(Figura 2.22):
AZ AZ 180BA AB
o
= + (19)
b) Rumos
É o menor ângulo formado entre a direção norte-sul e um alinhamento, tendo como origem a dire-
ção norte ou sul, ou seja, com grandeza variável entre 0o
e 90o
(Figura 2.23).
c) Conversão de Rumo em Azimute
Figura 2.21 : Medição de azimutes.
Figura 2.22: Azimute de vante e ré.

52
Algumas vezes avalia-se em campo o valor do azimute, e este deve ser transformado em rumo pa-
ra cálculos posteriores, logo como os rumos e os azimutes são referidos à uma mesma direção, estes podem
ser relacionados entre si (Figura 2.24).
44..11..22 -- ÂÂnngguullooss GGoonniioommééttrriiccooss
a) Ângulos horários internos e externos
É o ângulo formado entre dois alinhamentos, contado no sentido horário e variável de 0o
a 360o
,
internamente (interno) ou externamente (externo) ao polígono (Figura 2.25).
b) Ângulos de deflexão
Figura 2.24: Conversão azimutes em rumos.Figura 2.23: Medição dos rumos.
Figura 2.25: Medição de ângulos horários internos e externos.

53
É o ângulo formado entre o prolongamento do
alinhamento anterior e o alinhamento em estudo, contado
para a direita ou para a esquerda e tendo sua grandeza
limitada entre 0o
e 180o
(Figura 2.26).
44..11..33 -- AAzziimmuutteess CCaallccuullaaddooss
Em um levantamento topográfico, geralmente determina-se o azimute inicial no primeiro alinha-
mento da poligonal, com objetivo de orientar o levantamento. A seguir são utilizados outros métodos para
medição dos próximos ângulos, podendo ser o rumo, ângulo horário (interno ou externo) ou deflexão. Desta
forma, às vezes, é necessário calcular os demais azimutes
de cada alinhamento. Veja os exemplos a seguir.
Exemplo 24: Seja calcular o azimute a partir do
rumo dado (Figura 2.27).
Dados:
AZA-B = 100o
; RumoB-C = 50o
SO
Solução:
AZB-C = 50o
+ 180o
= 230o
Exemplo 25: Seja calcular o azimute a partir da
deflexão dada (Figura 2.28).
Dados:
AZA-B = 110o
; DeflexãoB-C = 110o
Dd
Solução:
AZB-C = 110o
+ 110o
= 220o
Figura 2.26: Ângulos de deflexão.
Figura 2.27: Azimute calculado a partir do
rumo.
Figura 2.28: Azimute calculado a partir da
deflexão.

54
Exemplo 26: Seja calcular o azimute a partir do
ângulo horário dado (Figura 2.29).
Dados:
AZA-B = 100o
; Ângulo HorárioB-C = 320o
AZB-C = 100o
+ 320o
- 180o
= 240o
44..22 -- ÂÂnngguullooss VVeerrttiiccaaiiss
O ângulo vertical é definido como o ângulo for-
mado pelo afastamento de 2 planos horizontais, considerando-se um eixo. De acordo com a origem para me-
dição do ângulo, estes podem ser de inclinação ou zenital. A transformação entre estas grandezas às vezes é
necessária, podendo ser visualizada na figura 2.30.
44..22..11 -- ÂÂnngguulloo ddee IInncclliinnaaççããoo
Fornece ângulo vertical entre a linha do horizonte e o alinhamento do ponto considerado (Figura
2.30).
44..22..22 -- ÂÂnngguulloo ZZeenniittaall
Fornece ângulo vertical entre a linha do zênite (linha que acompanha a vertical do ponto neste lo-
cal), com origem no sentido contrário ao centro de massa da terra e o alinhamento do ponto considerado (Fi-
gura 2.30).
Figura 2.30: Ângulos de inclinação e zenital.
44..33 -- MMaaggnneettiissmmoo TTeerrrreessttrree
Figura 2.29: Azimute calculado a partir do
ângulo horário.

55
Tendo a terra propriedades de um grande magneto, as extremidades da agulha de uma bússola são
atraídas por duas forças atuando em dois pontos diametralmente opostos, que são os pólos magnéticos da ter-
ra, os quais não coincidem com os pólos geográficos.
A linha que une os pólos magnéticos é denominada meridiana magnética. A linha que une os pó-
los geográficos é denominada meridiana geográfica ou verdadeira.
O goniômetro utilizado para materializar a linha norte-sul magnética é a bússola.
44..33..11 -- DDeecclliinnaaççããoo MMaaggnnééttiiccaa
A declinação magnética é o ângulo formado entre o meridiano magnético e o meridiano geográ-
fico. Com relação a posição dos meridianos, a declinação magnética pode ser (Figura 2.31):
Ocidental - Meridiano magnético à esquerda do meridiano verdadeiro;
Oriental - Meridiano magnético à direita do meridiano verdadeiro;
Nula - Coincidência entre os dois meridianos
Atualmente no Brasil, a declinação é ocidental.
Figura 2.31: Declinação magnética.
O valor da declinação magnética é variável, podendo ocorrer tanto no espaço (variações geográfi-
cas), quanto no tempo (variações diurnas, mensais, anuais e seculares), além das acidentais.
Os processos de determinação da declinação magnética podem ser por métodos da Astronomia de
campo; por magnetômetros e pelos mapas isogônicos e isopóricos.
a) Mapas isogônicos e isopóricos
Linhas isogônicas - Linhas que possuem o mesmo valor de declinação magnética;

56
Linhas isopóricas - Linhas que possuem o mesmo valor de variação anual desta declinação.
b) Cálculo da declinação magnética
Fórmula
DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ] (20)
Onde,
DM - Declinação Magnética
Cig - Curva isogônica (valor interpolado)
Cip - Curva Isopórica (valor interpolado)
A – Diferença entre o ano de construção do mapa e do ano da observação (por ex.,1980 para 1982
= 02)
Fa - Fração do ano
c) Fração do ano – Divisão por período de dias no mês
01 jan - 19 jan - 0,0
20 jan - 24 fev - 0,1
25 fev - 01 abr - 0,2
02 abr - 07 maio - 0,3
08 maio - 13 jun - 0,4
14 jun - 19 jul - 0,5
20 jul - 25 ago - 0,6
26 ago - 30 set - 0,7
01 out - 06 nov - 0,8
07 nov - 12 dez - 0,9
13 dez - 31 dez - 1,0
Exemplo 27: Calcule a declinação magnética para São Luís (MA) em 01 de julho de 1982.
Solução:
DM = - 19o
45’ + [ ( 2 + 0,5 ) . ( - 5,2’ ) ]
DM = - 19o
45’ - 13’
DM = - 19o
58’ (ou 19o
58’ ocidental ou 19o
58’ W)
Exemplo 28: Calcule a declinação magnética para Belo Horizonte em 31 de março de 1998 (Figura
2.32).
Solução:
Isogônicas
1cm => 1o
0,4 cm => xo
x
cm
cm
o
o
o
=
⋅
=
0 4 1
1
0 4
,
,
Isopóricas
4,5cm => 1’
2,0 cm => x’
'44,0
cm5,4
'1cm0,2
'x =
⋅
=

57
-15o
-14o
-21o
-16o
-17o
-18o
-19o
-20o
-8’ -7’
Belo Horizonte
Figura 2.32: Simulação de cálculo da declinação para BH – Mapa de 1980.
DM = Cig + [ (A + Fa) . (Cip) ]
DM = - 18,4o
+ [ ( 18 + 0,2 ) . ( - 7,44’ ) ]
DM = - 18,4o
- 135,41’
DM = - 18o
24’ - 2o
15’ 25” = -20o
39’ 25” (20o
39’ 25” W - ocidental)
Exemplo 29: Considere que o Azimute
Magnético A-B = 40o
30’ em 1980. Qual será o valor
atual deste azimute magnético A-B e o valor do azi-
mute verdadeiro (Figura 2.33).
Solução:
Az. magnético A-B (1988,4) = 40o
30’ + 2o
15’ 25”
= 42o
45’ 25”
Az.verdadeiro A-B = 40o
30’ - 18o
24’ = 22o
06’
55 -- MMééttooddooss ddee LLeevvaannttaammeennttoo PPllaanniimmééttrriiccoo
Figura 2.33: Azimute magnético e verdadeiro.

58
Ao conjunto de processos e operações realizadas para obtenção de medidas no terreno (ângulos e
distâncias), capazes de definir um trecho da superfície terrestre, com objetivo de representá-lo em planta, de-
nomina-se levantamento topográfico.
Segunda a NBR 13.133 (ABNT), o levantamento topográfico, em qualquer de suas finalidades,
deve ter, no mínimo, as seguintes fases:
a) Planejamento e seleção de métodos e aparelhagem;
b) Apoio topográfico;
c) Levantamento de detalhes
d) Cálculos e ajustes
e) Original topográfico
f) Desenho topográfico final
g) Relatório técnico
Quanto ao Relatório Técnico, a norma explicita que, quando do término de todo e qualquer levan-
tamento topográfico ou serviço de topografia, deve conter, no mínimo, os seguintes tópicos:
a) Objeto;
b) Finalidade;
c) Período de execução;
d) Localização;
e) Origem (Datum);
g) Precisões obtidas;
h) Quantidades realizadas;
i) Relação de aparelhagem utilizada;
j) Equipe técnica e identificação do responsável técnico;
l) Documentos produzidos;
m) Memórias de cálculo, destacando-se:
* Planilhas de cálculo das poligonais;
* Planilhas das linhas de nivelamento.
O levantamento topográfico está diretamente relacionado aos dados a serem coletados em campo e
à sua representação, podendo ser:
Planimétrico - São coletados ângulos horizontais e verticais, e distâncias horizontais, onde estes
são projetados num mesmo plano horizontal;

59
Altimétrico - São coletados elementos para definir as diferenças de nível entre os pontos e estes
projetados num plano vertical (perfil) (Cap. 3);
Planialtimétrico - São coletados dados planimétricos e altimétricos com objetivo de representa-
los (Cap. 4).
Ainda, de conformidade com as circunstâncias em que se opera no campo e seu objetivo, o levan-
tamento pode ser classificado em:
Expedito - Uso de instrumentos de baixa precisão. Sua execução é fácil e rápida.
Comum - Uso de instrumental mais aprimorado e de métodos de medições mais rigorosos.
De precisão - Uso de instrumentos de alta precisão, propiciando maior aperfeiçoamento nas me-
dições.
Tendo em vista a sistematização do estudo dos métodos de levantamento planimétrico, que são ba-
seados em princípios matemáticos diversos e considerando a importância e precisão, estes podem ser
classificados em métodos principais e secundários.
55..11 -- MMééttooddooss PPrriinncciippaaiiss ee SSeeccuunnddáárriiooss
55..11..11 -- MMééttooddooss PPrriinncciippaaiiss
Os métodos definidos como principais estão relacionados com a maior utilização destes em cam-
po, servindo geralmente para implantação de pontos de apoio para o levantamento topográfico, conseqüen-
temente, solicitando de maior rigidez e controle. Pode-se citar os seguintes métodos:
a) Triangulação
O processo de Triangulação é o método
baseado numa série de interseções sucessivas ou
encadeadas, onde medem-se uma única distância
e todos os ângulos dos triângulos (Figura 2.34). É
considerado muito preciso, e foi utilizado para
densificar a rede geodésica nacional.
b) Caminhamento
Figura 2.34: Levantamento por triangulação.

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