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RACIOCÍNIO LÓGICO
1. Estruturas lógicas; 2. Lógica de argumentação: analogias, interferência, deduções e conclusões; 3. Lógica
sentencial (proposicional): proposições simples e compostas, tabelas verdade, equivalências, diagramas lógicos; 4.
Lógica de primeira ordem; 5. Princípios de contagem e probabilidades; 6. Raciocínio lógico envolvendo problemas
aritméticos, geométricos e matriciais.
1 – LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO
1.1 – PROPOSIÇÃO
Proposição é toda sentença expressa em palavras ou símbolos que exprimem uma ideia, ao qual se atribui, dentro
de determinado contexto, somente um dos dois valores lógicos possíveis: verdadeiro (V) ou falso (F).
Os valores de verdadeiro ou falso são atribuídos somente às sentenças declarativas, ocorrendo a afirmação ou a
negação dessa sentença.
Exemplos de sentenças declarativas:
1. A Matemática é uma Ciência Exata.
2. O pássaro pode voar.
3. Todo pássaro voa.
4. Nenhum homem é mortal.
5. Todo animal é humano.
Exemplos de sentenças não declarativas:
1. Quanto é dois mais dois?
2. Vá pescar.
3. Que chuva!
4. Jogavam bola.
Observação
No caso das sentenças não declarativas não é possível atribuir um valor lógico de verdadeiro ou falso, embora elas
também expressem juízos.
1.1.1 – PROPOSIÇÃO SIMPLES
Uma proposição é considerada simples ou atômica quando não é possível subdividi-la em partes menores,
obtendo-se novas proposições.
1.1.2 – PROPOSIÇÃO COMPOSTA
Uma proposição é considerada composta ou molecular quando for possível extrair dela uma nova proposição.
Exemplos:
1. Deodato é professor de balé. (proposição simples)
2. Deodato é professor de informática. (proposição simples)
3. Deodato é professor de balé e informática. (proposição composta)
1.2 – MODIFICADOR
Com o uso do modificador “não” é possível formar uma proposição a partir de outra já existente.
Exemplo:
1. Proposição A: O carro está em alta velocidade.
2. Proposição ~ A (negação de A): O carro não está em alta velocidade.
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Observações
1. Se uma proposição é verdadeira, sua negação será falsa.
2. Se uma proposição é falsa, sua negação será verdadeira.
3. Em qualquer caso ~ (~ A) = A.
4. Tabela verdade
A ~A
V F
F V
1.3 – CONECTIVOS (OPERADORES LÓGICOS)
Os conectivos são termos ou expressões que estão frequentemente presentes nas proposições compostas. São
exemplos de conectivos lógicos “não”, “e”, “ou”, “se ... então” e “se e somente se”.
O valor lógico de uma proposição composta depende do valor lógico de cada proposição simples que a constitui
e da forma como as proposições simples estão ligadas pelos conectivos lógicos.
1.3.1 – CONJUNÇÃO (A e B)
Conjunção é uma proposição composta formada por duas proposições simples ligadas através do conectivo “e”.
Exemplo:
1. Proposição A: Elias é professor de estatística.
2. Proposição B: Elias é professor de raciocínio lógico.
3. Proposição A  B (A e B): Elias é professor de estatística e raciocínio lógico.
Observações
1. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção “A  B”
será equivalente à intersecção “A  B”.
2. Uma conjunção será verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras.
3. Tabela verdade
A B AB
V V V
V F F
F V F
F F F
1.3.2 – DISJUNÇÃO (A ou B)
Disjunção é uma proposição composta formada por duas proposições simples ligadas através do conectivo “ou”.
Exemplos:
1. Proposição A: Onei é professor de estatística.
2. Proposição B: Onei é professor de contabilidade.
3. Proposição A  B (A ou B): Onei é professor de estatística ou contabilidade.
Observações
1. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção “A  B”
será equivalente à união “A  B”.
2. Uma disjunção é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas.
3. Tabela verdade
A B AB
V V V
V F V
F V V
F F F
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1.3.3 – DUPLA DISJUNÇÃO (ou A ou B)
Dupla Disjunção é uma proposição composta formada por duas proposições simples ligadas através do conectivo
“ou ou”.
Exemplos:
1. Proposição A: Ou Onei é professor de estatística.
2. Proposição B: Ou Onei é professor de contabilidade.
3. Proposição A  B (ou A ou B): Ou Onei é professor de estatística ou contabilidade.
Observações
1. A dupla disjunção é verdadeira quando somente uma das proposições é verdadeira.
2. Tabela verdade.
A B AvB
V V F
V F V
F V V
F F F
1.3.4 – CONDICIONAL (se A então B)
Condicional é a proposição composta formada por duas proposições simples ligadas através do conectivo “se ...
então” ou por uma de suas formas equivalentes.
Exemplo:
1. Proposição A: Danilo é baiano.
2. Proposição B: Danilo é brasileiro.
3. Proposição A  B: Se Danilo é baiano, então é brasileiro.
Observações
1. A proposição que é anunciada pelo uso da conjunção “se” é denominada condição ou antecedente.
2. A proposição que é anunciada pelo uso do advérbio “então” é denominada conclusão ou consequente.
3. As expressões abaixo são equivalentes a “se ... então”:
Se A, B.
B, se A.
Todo A é B.
A implica B.
A somente se B.
A é suficiente para B.
B é necessário para A.
4. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição condicional
“se A então B” será equivalente à inclusão do conjunto A no conjunto B (A está contido em B).
5. Uma condicional “se A então B” é falsa somente quando a condição A é verdadeira e conclusão B é falsa.
6. Tabela verdade
A B AB
V V V
V F F
F V V
F F V
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1.3.5 – BICONDICIONAL (A se e somente se B)
Bicondicional é a proposição composta formada por duas proposições simples ligadas através do conectivo “se e
somente se” ou por uma de suas formas equivalentes.
Exemplo:
1. Proposição A: Patrícia é aprovada.
2. Proposição B: Patrícia estuda.
3. Proposição A  B (A se e somente se B): Patrícia é aprovada se e somente se estuda.
Observações
1. As expressões abaixo são equivalentes a “se e somente se”:
“se A então B e se B então A”
A se e só se B.
Todo A é B e todo B é A.
Todo A é B e reciprocamente.
Se A então B e reciprocamente.
A somente se B e B somente se A.
A é suficiente para B e B é suficiente para A.
B é necessário para A e A é necessário para B.
2. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição
bicondicional “A se e somente se B” será equivalente à igualdade dos conjuntos A e B (A = B).
3. Uma bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando A e B têm o mesmo valor lógico (ambas
são verdadeiras ou ambas são falsas).
4. Tabela verdade.
A B AB
V V V
V F F
F V F
F F V
1.4 RESUMO DA TABELA VERDADE COMPOSTA DE DUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES
A B AB AB AvB AB AB
V V V V F V V
V F F V V F F
F V F V V V F
F F F F F V V
Observações
1. A tabela verdade construída acima trata de apenas duas proposições A e B. No entanto, veremos que os
problemas podem considerar mais de duas proposições.
2. O número de linhas de uma tabela verdade pode ser calculado pela expressão abaixo:
simplessproposiçõedenúmero
)2base( .
1.5 – PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES
LEIS ASSOCIATIVAS
1. )()( CBACBA 
2. )()( CBACBA 
LEIS DISTRIBUTIVAS
1. )()()( CABACBA 
2. )()()( CABACBA 
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LEI DA DUPLA NEGAÇÃO
1. ~ ~ A  A
EQUIVALÊNCIAS
1. ABBA 
Exemplo:
As duas proposições abaixo são equivalentes.
Paulo estuda ou trabalha.
Paulo trabalha ou estuda.
2. ABBA 
Exemplo:
As duas proposições abaixo são equivalentes.
Paulo estuda e trabalha.
Paulo trabalha e estuda.
3. ABBA 
Exemplo:
As duas proposições abaixo são equivalentes.
Paulo estuda se e somente se trabalha.
Paulo trabalha se e somente se estuda.
4. ABBA 
Exemplo:
As duas proposições abaixo são equivalentes.
Ou Paulo estuda ou trabalha.
Ou Paulo trabalha ou estuda.
5. BABA  ~
Exemplo:
As duas proposições abaixo são equivalentes.
Se Paulo estuda, então trabalha.
Paulo não estuda ou trabalha.
6. ABBA ~~ 
Exemplo:
As duas proposições abaixo são equivalentes.
Se Paulo estuda, então trabalha.
Se Paulo não trabalha, então não estuda.
7. BABA  )(
Exemplo:
Proposição: Se Paulo estuda, então trabalha.
Negação: Paulo estuda e não trabalha.
8. BABA  )(
Exemplo:
Proposição: Paulo estuda se e somente se trabalha.
Negação: Ou Paulo estuda ou trabalha.
9. BABA  )(
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Exemplo:
Proposição: Paulo estuda ou trabalha.
Negação: Paulo não estuda e não trabalha.
10. BABA  )(
Exemplo:
Proposição: Paulo estuda e trabalha.
Negação: Paulo não estuda ou não trabalha.
11. BénãoAumaBéAtodo lg)( 
Exemplo:
Proposição: Todo homem é mortal.
Negação: Algum homem não é mortal.
12. BéAumaBéAnenhum lg)( 
Exemplo:
Proposição: Nenhum homem é imortal.
Negação: Algum homem é imortal.
13. BéAnenhumBéAuma  )lg(
Exemplo:
Proposição: Algum homem é mortal.
Negação: Nenhum homem é mortal.
1.6 – TAUTOLOGIA
Damos o nome de tautologia à proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das
proposições simples que a compõe.
Exemplo:
Hoje vai chover ou hoje não vai chover.
1.7 – CONTRADIÇÃO
Damos o nome de contradição à proposição que é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das
proposições simples que as compõem.
Exemplo:
Hoje vai chover e hoje não vai chover.
Observação
Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre falsa, tem-se que:
- a negação de uma tautologia é sempre uma contradição;
- a negação de uma contradição é sempre uma tautologia.
1.8 – CONTINGÊNCIA
A contingência é uma proposição cuja tabela verdade apresenta tanto valor lógico verdadeiro como falso.
Premissas (ou hipótese) do argumento é um conjunto de proposições P1, P2, ..., Pn.
Argumento é a relação que associa o conjunto de premissas com a proposição C, chamada de conclusão (ou
tese) do argumento.
Silogismos são os argumentos constituídos de apenas duas premissas.
Exemplo de silogismos:
Premissa A: Todo paranaense é brasileiro.
Premissa B: Gregório é paranaense.
Conclusão C: Gregório é brasileiro.
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1.9 – ARGUMENTO
Premissas (ou hipótese) do argumento é um conjunto de proposições P1, P2, ..., Pn.
Argumento é a relação que associa o conjunto de premissas com a proposição C, chamada de conclusão (ou
tese) do argumento.
Silogismos são os argumentos constituídos de apenas duas premissas.
Exemplo de silogismos:
Premissa A: Todo paranaense é brasileiro.
Premissa B: Gregório é paranaense.
Conclusão C: Gregório é brasileiro.
1.9.1 – ARGUMENTO VÁLIDO (OU LEGÍTIMO OU BEM CONSTRUÍDO)
Um argumento é válido quando a conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas, ou
seja, a verdade das premissas garante a verdade da conclusão do argumento.
Exemplo:
Premissa A: Todo Físico gosta de Astronomia.
Premissa B: Nenhuma pessoa que gosta de Astronomia é estudiosa.
Conclusão C: Nenhum Físico é estudioso.
Observação
O argumento acima é válido porque as premissas A e B garantem a veracidade da conclusão.
1.9.2 – ARGUMENTO INVÁLIDO (OU ILEGÍTIMO OU MAL CONSTRUÍDO)
Um argumento é inválido quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão.
Exemplo:
Premissa A: Todo Físico gosta de Astronomia.
Premissa B: João Vitor não é Físico.
Conclusão C: João Vitor não gosta de Astronomia.
Observações
O argumento acima é inválido porque João Vitor “pode ou não” gostar de Astronomia.
2. Quando se está discutindo o valor de um argumento é irrelevante o valor de verdade de cada uma das
premissas.
1.10 - EXERCÍCIOS
IDENTIFICAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO
1. [Téc. Contr. Ext.-(Téc. Oper.)-(Ár. Transp.)-(CM13)-(T1)-TCE-GO/2009-FCC].(Q.16) Uma proposição de uma
linguagem é uma expressão de tal linguagem que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Com base nessa
definição, analise as seguintes expressões:
I. 3 + 8 < 13
II. Que horas são?
III. Existe um número inteiro x tal que 2x > −5.
IV. Os tigres são mamíferos.
V. 36 é divisível por 7.
VI. x + y = 5
É correto afirmar que são proposições APENAS as expressões
a) I e IV.
b) I e V.
c) II, IV e VI.
d) III, IV e V.
e) I, III, IV e V.
GABARITO
1
E
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PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS (TODO; ALGUM; NENHUM)
Conclusão de um Diagrama Lógico
1. (Consulplan - 2013) Observe conjunto a seguir. Com base nesse conjunto, é correto afirmar que
a) todo A é B.
b) todo B é A.
c) nenhum B é A.
d) algum B não é A.
e) não existe B que não seja A.
2. (Consulplan - 2013) Observe os conjuntos a seguir. Analisando os conjuntos, é correto afirmar que C está para B,
assim como D está para
a) A.
b) C.
c) D.
d) A, B, C e D.
e) nenhum.
Conclusão de uma Premissa
3. (COMPANHIA PERNAMBUCANA DE GÁS–FCC-2016) É verdade que existem programadores que não gostam de
computadores. A partir dessa afirmação é correto concluir que
a) qualquer pessoa que não gosta de computadores é um programador.
b) todas as pessoas que gostam de computadores não são programadores.
c) dentre aqueles que não gostam de computadores, alguns são programadores.
d) para ser programador é necessário gostar de computador.
e) qualquer pessoa que gosta de computador será um bom programador.
4. (COMPANHIA DO METROPOLITANO DO ESTADO DE SÃO PAULO–FCC-2016) A partir da afirmação:
− Dentre um grupo de 100 jogadores de futebol, alguns são baixos. − é correto concluir que
a) todos esses 100 jogadores são baixos.
b) é certo que mais da metade desses jogadores não são baixos.
c) é certo que menos da metade desses jogadores não são baixos.
d) é possível que não haja qualquer jogador baixo.
e) é possível serem apenas dois jogadores baixos.
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Conclusão de um Argumento
5. (Administrador Hospitalar–EMSERH-MA–FUNCAB-2015) Partindo das premissas:
I. Todo médico é formado em medicina.
II. Todo médico é atencioso.
III. Ribamar é atencioso.
IV. Francisca é funcionária do hospital.
Pode-se concluir que:
a) Ribamar é formado em medicina.
b) Francisca é atenciosa.
c) Francisca e Ribamar são casados.
d) Ribamar é funcionário do hospital.
e) Há pessoas atenciosas que são formadas em medicina.
6. (Administrador Hospitalar–EMSERH-MA–FUNCAB-2015) Se todos os maranhenses são nordestinos e todos os
nordestinos são brasileiros, então pode-se concluir que:
a) Todos os nordestinos são maranhenses.
b) É possível existir um maranhense que não seja nordestino.
c) É possível existir um maranhense que não seja brasileiro.
d) Todos os brasileiros são maranhenses.
e) É possível existir um nordestino que não seja maranhense.
7. (TRF-3º Região-Técnico Judiciário-Área Apoio Especializado-Especialidade Informática-FCC-2016) Se “todo
engenheiro é bom em matemática” e “algum engenheiro é físico”, conclui-se corretamente que
a) todo físico é bom em matemática.
b) certos bons em matemática não são físicos.
c) existem bons em matemática que são físicos.
d) certos físicos não são bons em matemática.
e) não há engenheiros que sejam físicos.
8. (Agente de Portaria–EMSERH–Maranhão–FUNCAB-2015) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:
“Algum maranhense é pescador.”
“Todo maranhense é trabalhador”
Assim pode-se afirmar, do ponto de vista lógico, que:
a) Algum maranhense não pescador não é trabalhador.
b) Algum maranhense trabalhador é pescador.
c) Todo maranhense pescador não é trabalhador.
d) Algum maranhense pescador não é trabalhador.
e) Todo maranhense trabalhador é pescador.
9. (ESAF - 2014) Se é verdade que alguns adultos são felizes e que nenhum aluno de matemática é feliz, então é
necessariamente verdade que:
a) algum adulto é aluno de matemática.
b) nenhum adulto é aluno de matemática.
c) algum adulto não é aluno de matemática.
d) algum aluno de matemática é adulto.
e) nenhum aluno de matemática é adulto.
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10. (Agente Legislativo–Câmara Municipal de Linhares-ES–FUNCAB-2016) Assinale a alternativa que apresenta uma
contradição.
a) Todo capixaba é guerreiro e algum guerreiro não é capixaba.
b) Nenhum capixaba é guerreiro e algum capixaba não é guerreiro.
c) Todo capixaba não é guerreiro e algum guerreiro é capixaba.
d) Todo guerreiro é capixaba e algum capixaba não é guerreiro.
e) Algum capixaba é guerreiro e algum capixaba não é guerreiro.
Classificação de uma Proposição Categórica
11. (VUNESP – 2014) Na lógica clássica, as proposições que compõem um raciocínio são classificadas como: (1)
universais ou particulares e (2) afirmativas ou negativas. Assim sendo, as proposições “todo ser humano é mortal”,
“algumas pessoas não usam óculos” e “alguns motoristas são descuidados” são classificadas, respectivamente,
como:
a) particular afirmativa, universal negativa e universal afirmativa.
b) particular afirmativa, universal negativa e particular afirmativa.
c) universal afirmativa, particular afirmativa e particular negativa.
d) particular negativa, particular afirmativa e universal afirmativa.
e) universal afirmativa, particular negativa e particular afirmativa.
12. (VUNESP – 2014) As proposições que compõem as premissas e a conclusão dos silogismos podem ser (I) universais
ou particulares e (II) afirmativas ou negativas. Considerando estas possibilidades, é correto afirmar que a proposição
a) “Nenhum ser humano é imortal” é universal e negativa.
b) “Todos os seres vivos não são organismos” é particular e negativa.
c) “Algum ser vivo é mortal” é universal e afirmativa.
d) “Sócrates é imortal” é universal e afirmativa.
e) “Nenhum organismo é mortal” é particular e afirmativa.
GABARITOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A C E E E C B C C E A
ESTUDO DA TABELA-VERDADE
Identificação de Conectivo
1. (Agente de Portaria–EMSERH–Maranhão–FUNCAB-2015) Considere a proposição “Antônio trabalha, mas não
recebe o suficiente”. Nela, o conectivo lógico é:
a) Disjunção inclusiva.
b) Disjunção exclusiva.
c) Conjunção.
d) Bi condicional.
e) Condicional.
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Julgamento de Proposições
2. [Anal. Planej.-SEFAZ-SP/2009-ESAF] Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
Conclusão de um Argumento
3. (Agente Penitenciário–SEGEP-MA–FUNCAB-2016) Sabe-se que um executivo é honesto se, e somente se, pratica
exercícios físicos. João é um executivo e é sedentário. Pode-se, então, concluir que:
a) Todo executivo é desonesto.
b) Todo executivo pratica exercícios físicos.
c) João não é um executivo honesto.
d) Todo executivo é honesto.
e) Nenhum executivo pratica exercícios físicos.
4. (Agente de Fiscalização–PM de Itabuna-BA–FUNCAB-2016) Se a Bahia não é na Europa, então o Sol é quente. Se
a Bahia é na Europa, então a chuva não molha. Ora, a chuva molha. Logo:
a) A Bahia é na Europa e o Sol é quente.
b) A Bahia não é na Europa e o Sol é quente.
c) A Bahia é na Europa e o Sol não é quente.
d) A Bahia não é na Europa e o Sol não é quente.
e) Se a chuva molha, então o Sol não é quente.
5. (ELETROSUL-Técnico de Manutenção de Equipamentos-FCC/2016) Considere as seguintes afirmações:
I. Se a temperatura está baixa, então a minha pele está seca.
II. Se não tenho rachaduras nas mãos, então a minha pele não está seca.
III. Se eu tenho rachaduras nas mãos, então eu sinto dor nas mãos.
IV. Não sinto dor nas mãos.
A partir delas é correto concluir que
a) é possível ter dor nas mãos causada por outro motivo.
b) não tenho rachaduras nas mãos ou a temperatura está baixa.
c) minha pele não está seca e tenho rachaduras nas mãos.
d) não tenho rachaduras nas mãos e a temperatura está baixa.
e) tenho rachaduras nas mãos ou a temperatura está baixa.
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6. [COMPANHIA PERNAMBUCANA DE GÁS – FCC – 2016].(Q.13) Considere verdadeiras as afirmações a seguir:
I. Laura é economista ou João é contador.
II. Se Dinorá é programadora, então João não é contador.
III. Beatriz é digitadora ou Roberto é engenheiro.
IV. Roberto é engenheiro e Laura não é economista.
A partir dessas informações é possível concluir, corretamente, que
a) Beatriz é digitadora.
b) João é contador.
c) Dinorá é programadora.
d) Beatriz não é digitadora.
e) João não é contador.
7. (Copergás-Analista Administrador-FCC-Julho/2016) Se Maria é economista, então Jorge é contador. Se Luiza é
administradora, então Jorge não é contador. Se Luiza não é administradora, então Norberto é engenheiro. Sabe-se
que Norberto não é engenheiro. A partir dessas informações é possível concluir corretamente que
a) Luiza é administradora ou Maria é economista.
b) Maria é economista ou Jorge é contador.
c) Jorge é contador e Norberto não é engenheiro.
d) Maria não é economista e Luiza não é administradora.
e) Jorge não é contador e Luiza não é administradora.
8. (Administrador Hospitalar–EMSERH-MA–FUNCAB-2015) Quando não canto reggae, não danço samba de crioula
ou danço frevo. Quando vou à praia, não danço samba de crioula e danço frevo. Quando não como uma
galinhada e danço samba de crioula, não canto reggae. Quando não vou à praia e danço frevo, não danço
samba de crioula. Hoje, danço samba de crioula. Portanto, hoje
a) Canto reggae, e não danço frevo, e não vou à praia, e como uma galinhada.
b) Não canto reggae, e danço frevo, e não vou à praia, e não como uma galinhada.
c) Canto reggae, danço frevo, e não vou à praia, e como uma galinhada.
d) Canto reggae, e não danço frevo, e vou à praia, e como uma galinhada.
e) Não canto reggar, e danço frevo, e vou à praia, e como uma galinhada.
9. (Agente Legislativo–Câmara Municipal de Linhares-ES–FUNCAB-2016) Somente se Mariana estiver estudando,
então Juliana já terminou de trabalhar. Verificou-se que Juliana já terminou de trabalhar. Portanto:
a) Mariana está estudando.
b) Mariana não está estudando.
c) Juliana ainda está trabalhando.
d) Mariana pode não estar estudando.
e) Juliana está vendo Mariana estudar.
10. (Analista e Programador de Sistemas–Câmara Municipal de Marília–VUNESP-2016) Considere verdadeiras as
afirmações a seguir:
I. Ou Marcelo é advogado, ou Andrea é dentista.
II. Débora é psicóloga se, e somente se, Paulo é publicitário.
III. Marcelo não é advogado.
IV. Paulo não é publicitário.
Com base nessas informações, conclui-se corretamente que
a) Andrea não é dentista, e Débora não é psicóloga.
b) Andrea não é dentista, e Débora é psicóloga.
c) Andrea não é dentista, ou Débora é psicóloga.
d) Andrea é dentista, e Débora não é psicóloga.
e) Andrea é dentista, e Débora é psicóloga.
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11. (Guarda Civil Municipal–Pref. da Estância Hidromineral de Poá–VUNESP-2016) Considere verdadeira a afirmação I
e falsa a afirmação II.
I. “Cicrana é bonita.”
II. “Cicrana é alta.”
Com base nas informações apresentadas, a única alternativa que contém uma afirmação FALSA é:
a) Cicrana é bonita e não é alta.
b) Cicrana é bonita ou é alta.
c) Cicrana não é bonita ou é alta.
d) Cicrana é bonita ou não é alta.
e) Cicrana não é bonita ou não é alta.
12. (Analista Programador Júnior–Fundunesp–VUNESP-2016) Considere verdadeiras as afirmações I e II, e falsa a
afirmação III, a seguir:
I. Se Rose não é secretária, então Carlos não é funcionário público.
II. Se Marcelo é professor, então Débora é funcionária pública.
III. Rose é secretária ou Marcelo é professor.
Com base nas informações apresentadas, conclui-se corretamente que
a) Carlos é funcionário público ou Débora não é funcionária pública.
b) Carlos é funcionário público e Débora não é funcionária pública.
c) Carlos não é funcionário público ou Débora é funcionária pública.
d) Carlos não é funcionário público e Débora é funcionária pública.
e) Carlos e Débora são funcionários públicos.
13. (Analista de Banco de Dados–Pref. Mun. de Presidente Prudente-SP–VUNESP-2016) Considere falsa a seguinte
afirmação: Czergw é inteligente se, e somente se, ele foi aprovado no concurso.
Com base nas informações apresentadas, é necessariamente verdadeira a afirmação:
a) Czergw é inteligente se, e somente se, ele não foi aprovado no concurso.
b) Czergw foi aprovado no concurso e não é inteligente.
c) Se Czergw foi aprovado no concurso, então ele não é inteligente.
d) Czergw não foi aprovado no concurso e é inteligente.
e) Se Czergw não foi aprovado no concurso, então ele é inteligente.
14. (Assembleia Legislativa De Mato Grosso Do Sul-Assistente Legislativo-FCC/2016) Lucas encontrou as seguintes
sentenças em um livro de lógica:
1. A próxima sentença é verdadeira.
2. A sentença anterior é falsa.
Analisando as duas sentenças, é correto afirmar que
a) 1 e 2 são necessariamente falsas.
b) 1 e 2 são mutuamente inconsistentes.
c) 1 e 2 são necessariamente verdadeiras.
d) 1 é verdadeira e 2 é falsa.
e) 1 é falsa e 2 é verdadeira.
GABARITOS
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
C D C B B B A A A D C C A B
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EQUIVALÊNCIA E NEGAÇÃO
1. (Agente de Portaria–EMSERH–Maranhão–FUNCAB-2015) Dizer que “Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses, se e
somente se, fez sol” é logicamente equivalente dizer que:
a) Não fez sol, se e somente se, Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses.
b) Se Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses, então fez sol.
c) Se Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses, então não fez sol.
d) Fez sol, se e somente se, Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses.
e) Ou Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses ou fez sol.
2. (Agente de Portaria–EMSERH–Maranhão–FUNCAB-2015) Se a cantora Alcione é maranhense, então ela é
nordestina com muito orgulho, portanto:
a) Se a cantora Alcione não é maranhense, então ela é nordestina com muito orgulho.
b) Se a cantora Alcione não é nordestina com muito orgulho, então ela não é maranhense.
c) Se a cantora Alcione é nordestina com muito orgulho, então ela não é maranhense.
d) Se a cantora Alcione é maranhense, então ela não é nordestina com muito orgulho.
e) Se a cantora Alcione é nordestina com muito orgulho, então ela é maranhense.
3. (Agente Legislativo–Câmara Municipal de Linhares-ES–FUNCAB-2016) Se Leonardo é religioso, então ele tem fé.
Portanto:
a) Se Leonardo é religioso, então ele não tem fé.
b) Se Leonardo não é religioso, então ele tem fé.
c) Se Leonardo não tem fé, então ele não é religioso.
d) Se Leonardo tem fé, então ele é religioso.
e) Se Leonardo tem fé, então ele não é religioso.
4. (Copergás-Companhia Pernambucana de Gás-Auxiliar Administrativo-FCC/2016) Considere a afirmação a seguir:
Se eu paguei o aluguel ou comprei comida, então o meu salário entrou na conta.
Uma afirmação equivalente a afirmação anterior é
a) Se o meu salário não entrou na conta, então eu não paguei o aluguel e não comprei comida.
b) Se eu paguei o aluguel e comprei comida, então o meu salário entrou na conta.
c) O meu salário entrou na conta e eu comprei comida e paguei o aluguel.
d) Se o meu salário não entrou na conta, então eu não paguei o aluguel ou não comprei comida.
e) Se eu não paguei o aluguel e não comprei comida, então o meu salário não entrou na conta.
5. (ELETROSUL-Técnico de Manutenção de Equipamentos-FCC/2016) A negação lógica da afirmação: “Corro
bastante e não tomo chuva” é
a) Não corro bastante e tomo chuva.
b) Tomo chuva ou não corro bastante.
c) Tomo chuva porque não corro bastante.
d) Se eu corro bastante, então não tomo chuva.
e) Corro bastante ou tomo chuva.
6. (Agente Legislativo–Câmara Municipal de Linhares-ES–FUNCAB-2016) A negação de: “Jorge é zelador ou Maria é
recepcionista” é:
a) Jorge é zelador e Maria não é recepcionista.
b) Maria não é recepcionista.
c) Jorge não é zelador ou Maria não é recepcionista.
d) Jorge não é zelador e Maria não é recepcionista.
e) Jorge não é zelador.
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7. (Agente Legislativo–Câmara Municipal de Linhares-ES–FUNCAB-2016) A negação de: “Diego comprou um carro e
viajou para Vitória” é:
a) Diego não comprou um carro e viajou para Vitória.
b) Diego não comprou um carro e não viajou para Vitória.
c) Diego comprou um carro e não viajou para Vitória.
d) Diego não comprou um carro ou não viajou para Vitória.
e) Diego comprou um carro, mas não viajou para Vitória.
8. (Analista e Programador de Sistemas–Câmara Municipal de Marília–VUNESP-2016) Considere a seguinte
afirmação: “Se Cicrano está realizando essa prova, então ele pretende ser um analista de sistemas.”
Uma negação lógica para essa afirmação é:
a) Se Cicrano não está realizando essa prova, então ele não pretende ser um analista de sistemas.
b) Se Cicrano não pretende ser um analista de sistemas, então ele não está realizando essa prova.
c) Cicrano não está realizando essa prova e não pretende ser um analista de sistemas.
d) Cicrano pretende ser um analista de sistemas e não está realizando essa prova.
e) Cicrano está realizando essa prova e não pretende ser analista de sistemas.
9. (Copergás-Analista Administrador-FCC-Julho/2016) Se João chegar bravo em casa, então Claudete foge para o
quarto e Beto não entra em casa. Uma afirmação que corresponde à negação da afirmação anterior é:
a) João não chega bravo em casa e, Claudete não foge para o quarto ou Beto entra em casa.
b) Se João não chega bravo em casa, então Claudete não foge para o quarto e Beto entra em casa.
c) João chega bravo em casa e, Claudete não foge para o quarto ou Beto entra em casa.
d) Se Claudete não foge para o quarto ou Beto entra em casa, então João não chegou em casa bravo.
e) Se Claudete foge para o quarto e Beto não entra em casa, então João chegou bravo em casa.
10. (Administrador Hospitalar–EMSERH-MA–FUNCAB-2015) Dizer que não é verdade que Francisco é dentista e Tânia
é enfermeira, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que:
a) Francisco não é dentista e Tânia não é enfermeira.
b) Francisco não é dentista ou Tânia não é enfermeira.
c) Se Francisco não é dentista, então Tânia não é enfermeira.
d) Francisco é dentista ou Tânia não é enfermeira.
e) Se Francisco não é dentista, então Tânia é enfermeira.
CATEGÓRICAS
11. [ELETROSUL CENTRAIS ELÉTRICAS S.A – FCC – 2016].(Q.20) Do ponto de vista da lógica, a negação da frase “alguns
dos meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde” é
a) excetuando um dos meus irmãos, os demais vão ao cinema nos sábados à tarde.
b) alguns dos meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.
c) todos os meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde.
d) todos os meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde.
e) somente um dos meus irmãos não vai ao cinema nos sábados à tarde.
12. (Agente de Fiscalização–PM de Itabuna-BA–FUNCAB-2016) A negação da sentença “todos os moradores de
Itabuna são baianos” é:
a) Nenhum morador de Itabuna é baiano.
b) Todos os moradores de Itabuna não são baianos.
c) Ao menos um morador de Itabuna não é baiano.
d) Nenhum baiano é morador de Itabuna.
e) Todos que não moram em Itabuna são baianos.
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13. (Analista de Banco de Dados–Pref. Mun. de Presidente Prudente-SP–VUNESP-2016) Considere a seguinte
afirmação: Existe servidor público que não é mulher ou que gosta de questões de raciocínio lógico.
Uma negação lógica para a afirmação apresentada acima está contida na alternativa:
a) Alguns servidores públicos são mulheres ou não gostam de questões de raciocínio lógico.
b) Existe servidor público que não é mulher ou que não gosta de questões de raciocínio lógico.
c) Existe servidor público que é homem e gosta de questões de raciocínio lógico.
d) Todo servidor público é mulher e não gosta de questões de raciocínio lógico.
e) Existe servidor público que é mulher e gosta de questões de raciocínio lógico.
14. (Analista Programador Júnior–Fundunesp–VUNESP-2016) Considere a seguinte afirmação: “Todo carro tem quatro
rodas e é bonito.”
Assinale a alternativa que apresenta uma negação lógica para a afirmação proposta.
a) Nenhum carro tem quatro rodas e é bonito.
b) Nenhum carro tem quatro rodas ou é bonito.
c) Algum carro não tem quatro rodas e não é bonito.
d) Algum carro não tem quatro rodas ou não é bonito.
e) Existe carro que tem quatro rodas e não é bonito.
GABARITO
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
D B C A B D D E C B D C D D
CONDIÇÃO SUFICIENTE E NECESSÁRIA
1. [Aud. Fiscal Rec.-SEFAZ-RJ/2014-FCC] Um indivíduo ser contador é condição suficiente para ele ter condições de
trabalhar no ramo de Auditoria. Assim sendo,
a) os indivíduos que têm condições de trabalhar no ramo de Auditoria sempre são contadores.
b) todos que têm condições de trabalhar no ramo de Auditoria são contadores.
c) é possível que alguns contadores não tenham condições de trabalhar no ramo de Auditoria.
d) um indivíduo que não tem condições de trabalhar no ramo de Auditoria nunca é contador.
e) a maioria dos indivíduos que tem condições de trabalhar no ramo de Auditoria são contadores.
2. [Agente Fiscal de Rendas-SEFAZ-SP/2009-FCC] Considere a afirmação:
Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada.
Para que essa afirmação seja FALSA
a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas.
b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão tenha sido tomada.
c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada, independentemente da participação de
ministros na reunião.
d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas.
e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma decisão tenha sido tomada.
GABARITO
1 2
D A
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TAUTOLOGIA; CONTINGÊNCIA; CONTRADIÇÃO
1. Assinale a opção que simboliza uma tautologia, isto é, uma proposição que é sempre verdadeira.
a) ¬A(AB)
b) (A¬B)¬A
c) A(B¬B)
d) (¬A¬B)(AB)
GABARITO
1
D
VALIDADE DE UM ARGUMENTO
1. Há uma forma de raciocínio dedutivo chamado silogismo. Nesta espécie de raciocínio, será formalmente válido o
argumento cuja conclusão é consequência que necessariamente deriva das premissas. Neste sentido, corresponde
a um silogismo válido:
a) Premissa 1: Todo maceronte gosta de comer fubá.
Premissa 2: As selenitas gostam de fubá.
Conclusão: As selenitas são macerontes.
b) Premissa 1: Todo maceronte gosta de comer fubá.
Premissa 2: Todo maceronte tem asas.
Conclusão: Todos que têm asas gostam de comer fubá.
c) Premissa 1: Nenhum X é Y.
Premissa 2: Algum X é Z
Conclusão: Algum Z não é Y.
d) Premissa 1: Todo X é Y.
Premissa 2: Algum Z é Y.
Conclusão: Algum Z é X.
e) Premissa 1: Capitu é mortal.
Premissa 2: Nenhuma mulher é imortal.
Conclusão: Capitu é mulher.
GABARITO
1
C
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2 – ANÁLISE COMBINATÓRIA
2.1 – CONCEITO
Em inúmeras situações do dia-a-dia podemos nos deparar com problemas de contagem.
Exemplos
1. No Brasil foram implantadas placas de automóveis com três letras e quatro algarismos. Utilizando um alfabeto de
26 letras e os algarismos de 0 até 9, quantas placas diferentes podem ser confeccionadas?
2. De um baralho de 52 cartas, quantos jogos de 5 cartas podem ser formados de modo que pelo menos uma delas
seja um rei?
O método de resolução para esse tipo de problema é chamado de análise combinatória.
2.2 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Considere uma ação constituída de duas etapas sucessivas. A 1º etapa pode ser realizada de n maneiras distintas.
Para cada uma dessas possibilidades, a 2º possibilidade pode ser realizada de m maneiras distintas. Dessa forma, o
número de maneiras de se efetuar a ação completa é dado por m x n.
Exemplo
Para ir ao clube, Pedro deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de seis
camisetas, quatro bermudas e três pares de tênis, de quantas maneiras distintas poderá vestir-se?
As possibilidades de escolha de Pedro são:
6 camisetas (número de maneiras de se efetuar a 1º etapa)
4 bermudas (número de maneiras de se efetuar a 2º etapa)
3 pares de tênis (número de maneiras de se efetuar a 3º etapa)
Assim, pelo princípio fundamental da contagem tem-se 6 x 4 x 3 = 72 maneiras distintas de Pedro se vestir.
2.3 – PERMUTAÇÃO
Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos a qualquer seqüência
formada por esses n elementos.
Exemplo
Considere as possíveis permutações das Letras que compõem a palavra POR.
POR PRO POR ORP ROP POR
2.3.1 – CÁLCULO DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES
De um modo geral o que nos interessa é a quantidade de permutações que podem ser realizadas com os n
elementos de um conjunto. Essa quantidade pode ser dada por:
- Permutação sem repetição
É quando os n elementos são distintos.
!nPn 
Onde 12)2()1(!  nnnn
- Permutação com repetição
É o conjunto apresenta algum elemento repetido.
!x!x!x
!n
P
k
)x,,x,x(
n
k




21
21
Onde kxxx ,, 21 representa o número de vezes que cada elemento se repete.
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2.4 – ARRANJO SIMPLES
Considere um conjunto com n elementos distintos. Chama-se de arranjo simples dos n elementos, tomados k a k, a
qualquer seqüência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes.
Exemplo
Escreva os possíveis arranjos formados pelos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4}, tomados dois a dois.
Devemos escrever todas as seqüências ordenadas de dois elementos distintos, escolhidos entre os elementos do
conjunto dado. Assim, temos:
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3)
Observação
A seqüência (2, 3) é diferente da seqüência (3, 2). Neste caso, dizemos que no arranjo a ordem importa.
2.4.1 – CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS
O número de arranjos dos n elementos tomados k a k é dado por:
)!(
!
;
kn
n
A kn

 kn 
2.5 – COMBINAÇÃO
Considere um conjunto com n elementos distintos. Chama-se de combinação simples dos n elementos, tomados k a
k, a qualquer subconjunto de k elementos.
Exemplo
Escreva as possíveis combinações formadas pelos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4}, tomados dois a dois.
(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3, 4)
Observação
O subconjunto (2, 3) é igual ao subconjunto (3, 2). Neste caso, dizemos que na combinação a ordem não importa.
2.5.1 – CÁLCULO DO NÚMERO DE COMBINAÇÕES
O número de combinações dos n elementos tomados k a k é dado por:
)!kn(!k
!n
C k;n

 kn 
2.6 – EXERCÍCIOS
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
1. Um restaurante oferece um cardápio diário com três tipos de carne, quatro tipos de prato frio e cinco tipos de
prato quente. Quantas opções de escolha um cliente desse restaurante terá, de acordo com o cardápio oferecido,
considerando que ele se servirá de uma carne, um prato frio e um prato quente?
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2. Usando somente os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, responda:
a) Quantos números de sete algarismos distintos podem ser formados?
b) Quantos números de três algarismos podem ser formados?
c) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados?
PERMUTAÇÃO
1. Considerando a palavra BRUNA, responda:
a) Quantos anagramas podem ser formados?
b) Quantos anagramas começam por R?
c) Quantos anagramas começam por RA?
d) Quantos anagramas terminam por consoante?
e) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante?
2. O número de anagramas da palavra BANANEIRA é:
a) 15 120
b) 30 240
c) 362 880
d) 120
e) 144
3. O número de maneiras em que podemos dispor 20 pessoas em torno de uma mesa redonda é:
a) 20!
b) 20!/2
c) 19!
d) 19!/2
e) n.d.a
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ARRANJO
1. Quantas senhas de quatro algarismos distintos podem ser confeccionadas com o sistema de numeração
decimal?
a) 5040
b) 10000
c) 1120
d) 480
e) 60
COMBINAÇÃO
1. Uma comissão de cinco membros será escolhida dentre oito pessoas. Qual o número de comissões diferentes que
podem ser formadas?
a) 8
b) 32
c) 56
d) 64
e) 128
PROBLEMAS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
1. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2014-COPEVE] Uma garota irá
iniciar um curso de curta duração, onde serão realizados 61 encontros presenciais. Ela não deseja repetir uma
combinação de roupas utilizada numa aula para assistir qualquer outra aula do curso. Entende-se por não repetir
uma combinação de roupas como mudar, pelo menos, uma das peças utilizadas entre camiseta, saia e sandália. A
garota possui 3 pares de sandálias e 4 saias disponíveis. Qual o número mínimo de camisetas (diferentes) que a
garota precisa ter para comparecer em todas as aulas presenciais sem repetir a mesma combinação de roupas?
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6
e) 7.
2. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2013-COPEVE] Quantos são os
números naturais de quatro algarismos que possuem, exatamente, dois algarismos iguais?
a) 3.162.
b) 4.000.
c) 3.600.
d) 3.800.
e) 3.888.
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3. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2012-COPEVE] Uma loja de
materiais de construção oferece os padrões P, Q e R de lajotas que servem tanto para piso como para revestir
paredes. Considerando que pode-se revestir o piso e as paredes de um banheiro social como lajotas de mesmo
padrão ou de padrões diferentes e, que no piso é usado um só padrão e nas paredes também, o número de
maneiras distintas que é possível revestir o piso e as paredes do banheiro é:
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
4. [Oficial-PM-MS/2013-Fund. Escola Gov.] Um sargento, um cabo e três soldados deverá compor uma patrulha para
uma ronda de rotina em um bairro da cidade. Estão de serviço no quartel dois sargentos, cinco cabos e dez soldados.
Desses últimos, dois deles têm sérios problemas de relacionamento entre si: Praxedes e Pafúncio.
O número de patrulhas distintas que podem ser formadas com os militares de serviço, sem que os soldados citados
sejam escalados, juntos é igual a:
a) 1.120.
b) 1.192.
c) 1.200.
d) 2.145.
e) 3.003.
5. [Fiscal Transp. e Trâns.-(NM)-AGETRAN-PMCG-MS-FADEMS/2010] As placas de carros são formadas usando-se
três letras (variando entre 5 vogais e 21 consoantes) seguidas de quatro algarismos (variando de 0 a 9). Quantas
placas diferentes, com três vogais distintas e terminadas em algarismo par, são possíveis de serem formadas?
a) 300.000
b) 350.000
c) 400.000
d) 450.000
e) 500.000
GABARITOS
1 2 3 4 5
D E D A A
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3 – TEORIA DOS CONJUNTOS
3.1 DEFINIÇÃO
Podemos definir como conjunto, qualquer “grupo” de objetos, pessoas, números, etc., que tenham alguma
característica ou propriedade em comum.
Um objeto que satisfaz todas as características que determinam um conjunto é definido como elemento do
conjunto. Caso contrário, ou seja, se o objeto não satisfaz alguma das características do conjunto, diz-se que o
objeto não é elemento do conjunto.
Exemplo:
Conjunto de países que pertencem ao MERCOSUL: {Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai}.
Se dermos o nome de M ao conjunto dos países do MERCOSUL, podemos dizer que:
Brasil pertence ao conjunto M, que é representado por MBrasil  .
Chile não pertence ao conjunto M, que é representado por MChile  .
Conjunto dos números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...}.
Se dermos o nome de P ao conjunto dos Números Primos, podemos dizer que:
2 pertence ao conjunto P, que é representado por P2 .
1 não pertence ao conjunto P, que é representado por P1 .
Zero não pertence ao conjunto P, que é representado por P0 .
Curiosidade: Os símbolos  e  são utilizados exclusivamente para relacionar elemento com conjunto (relação de
pertinência).
3.2 – CONJUNTO VAZIO
Dizemos que um conjunto é vazio quando ele não tem qualquer elemento. O conjunto vazio é representado por 
ou { } e uma propriedade contraditória qualquer pode ser usada para defini-lo.
Exemplo:
{A / A é um número natural par e primo maior do que 2} =  ou { }.
Observação: Temos aqui uma contradição, pois não existe número par primo maior do que 2.
3.3 – CONJUNTO UNITÁRIO
Dizemos que um conjunto é unitário quando for formado por um único elemento.
Exemplo:
{P / P é um número natural par e primo} = {2}.
Observação: O único número natural par e primo é o elemento 2.
3.4 – CONJUNTO UNIVERSO
O Conjunto Universo, representado por U, é o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos
trabalhando.
Exemplo:
Se U é o conjunto de todos os Números Naturais, podemos dizer que:
U é o conjunto Universo = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, ...}. Neste caso, o conjunto dos Números Naturais Primos é um subconjunto
do conjunto Universo em questão.
Curiosidade:  ou { } são representações do conjunto vazio e { } é um conjunto unitário.
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3.5 – IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dois conjuntos são ditos iguais quando possuem os mesmos elementos.
Exemplo:
N é o conjunto dos Números Naturais = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Z+ é o conjunto dos Números Inteiros não Negativos = {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
Como podemos notar N = Z+.
3.6 – CONJUNTOS DISJUNTOS
Dois conjuntos são Disjuntos quando não possuem quaisquer elementos em comum.
Exemplo:
Conjunto dos Números Naturais Pares = {0, 2, 4, 6, 8, ...}.
Conjunto dos Números Naturais Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9, ...}.
Como os dois conjuntos em questão não possuem qualquer elemento em comum podemos afirmar que se trata de
conjuntos disjuntos.
3.7 – SUBCONJUNTOS E RELAÇÃO DE INCLUSÃO
Dados dois conjuntos A e B, se todos os elementos de A forem também elementos de B, dizemos que A é um
subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, que A é parte de B. Então, podemos escrever que:
BA (relação de inclusão)
Essa indicação representa que A está contido em B ou que B contém A.
Se A não for subconjunto de B podemos escrever que BA .
Exemplo:
Se A é o conjunto dos trapézios e B é o conjunto dos quadriláteros, então BA , pois todo trapézio é um quadrilátero.
Também podemos citar que AB , pois nem todo quadrilátero é um trapézio.
3.7.1 – PROPRIEDADES DA INCLUSÃO
Propriedade reflexiva AA
Qualquer elemento de A pertence a A.
Propriedade anti-simétrica se BA e AB , então BA .
Essa propriedade é usada quando se quer provar que dois conjuntos são iguais.
Propriedade transitiva se BA e CB , então CA .
A propriedade transitiva é fundamental nas deduções. Na lógica ela é conhecida como uma forma de raciocínio
chamada silogismo.
A , qualquer que seja o conjunto A, sempre o conjunto vazio está contido em A.
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3.8 – OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
3.8.1 – DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS
A diferença ( BA ) entre os conjuntos A e B é dada pelos elementos que pertencem a A mas que não pertencem
a B.
Se AB , a diferença BA é equivalente a
B
AC , ou
C
B , ou B (complementar de B em relação a A).
3.8.2 – REUNIÃO OU UNIÃO DE CONJUNTOS
De modo geral, a reunião ou união de A e B é representado por BA e é formado pelos elementos que
pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos.
}/{ BxouAxxBA 
3.8.3 – INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
A intersecção de dois conjuntos A e B é formada pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja
pelos elementos comuns a A e B.
}/{ BxeAxxBA 
Observações:
1. Se BA , então os conjuntos A e B são chamados disjuntos.
2. Propriedade comutativa ABBA 
ABBA 
3. Propriedade associativa )()( CBACBA 
)()( CBACBA 
4. Propriedade distributiva )()()( CABACBA 
)()()( CABACBA 
5. ABABBABA 
6. CBCABA  e CBCABA 
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7. O complementar da reunião é igual à intersecção dos complementares
CCC
BABA  )(
8. O complementar da intersecção é igual à reunião dos complementares
CCC
BABA  )(
9. Quando A e B são conjuntos finitos, temos que:
Se )()()( BnAnBAnBA  
Se )()()()( BAnBnAnBAnBA  
3.11 – EXERCÍCIOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
1. (AOCP) Considere os conjuntos
   187/200/  xxBexxA
Quantos elementos possui o conjunto BA ?
a) 10 elementos.
b) 11 elementos.
c) 12 elementos.
d) 13 elementos.
e) 14 elementos.
2. (Consulplan – 2013) Sejam os conjuntos A = {2, 5, 8, 11, 13, 15}, B = {2, 7, 8, 11, 12, 15} e C = {3, 5, 6, 8, 12, 13}. Qual
dos elementos NAO pertence ao conjunto (A ∩ B) U (B ∩ C)?
a) 2
b) 11
c) 13
d) 8
e) 12
3. (Consulplan – 2013) Sejam os conjuntos A = {3, 6, 7, 9, 12, 15} e B = {2, 3, 5, 9, 11, 15}. Das relações a seguir marque
a verdadeira.
a) A união entre os conjuntos A e B possui 12 elementos.
b) A interseção entre os conjuntos A e B possui 4 elementos.
c) A soma dos elementos do conjunto A é igual a soma dos elementos do conjunto B.
d) A interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio.
e) A soma dos elementos do conjunto interseção entre A e B é igual a 27.
4. (Consulplan – 2013) No diagrama a seguir, que representa os conjuntos A e B, a região hachurada é indicada por
a) A ∩ B.
b) A ∪ B.
c) A – B.
d) A ∈ B.
e) A ⊂ B.
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OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS - DIAGRAMA DE VENN
5. (FGV-2013) Sobre os membros de três comissões A, B e C da Assembleia Legislativa sabe-se que
I. Nenhum membro pertence às três comissões simultaneamente.
II. Dadas duas quaisquer dessas comissões, há exatamente um membro que pertence simultaneamente às duas.
III. Cada uma dessas três comissões possui exatamente cinco membros.
O número total de membros diferentes que compõem essas três comissões é
a) 15.
b) 12.
c) 10.
d) 9.
e) 8.
6. (VUNESP–2013) Carlos é engenheiro e matemático, mas não é físico. Sílvio é engenheiro e físico, mas não é
matemático. Antônio e Roberto não são engenheiros, mas são matemáticos e físicos. Somente Walter é engenheiro,
matemático e físico. Se em um grupo de profissionais do qual participam todos os citados existem apenas
engenheiros, matemáticos e físicos, sendo 10, 8 e 7 pessoas, respectivamente, de cada área, e somente os
profissionais citados têm mais de uma formação nesse grupo, então é possível afirmar, corretamente, que o número
de pessoas nesse grupo é
a) 17.
b) 19.
c) 21.
d) 23.
e) 25.
7. (FUNCAB - 2012) Numa escola os alunos do 5º ano podem estudar um ou mais dos seguintes idiomas: Inglês,
Espanhol e Alemão.
 Sabe-se que nesse ano, 100 alunos estudam Inglês.
 100 alunos estudam Espanhol.
 45 alunos estudam Alemão.
 60 alunos estudam Inglês e Espanhol.
 20 alunos estudam Inglês e Alemão.
 20 alunos estudam Espanhol e Alemão.
 15 alunos estudam Inglês, Espanhol e Alemão.
 Todos os alunos estudam pelo menos um dos três idiomas.
O número total de alunos do 5º ano dessa escola, que estudam um e somente um desses três idiomas, nesse ano, é igual a:
a) 70
b) 85
c) 90
d) 95
e) 100
TABELA DE CORRELAÇÃO
8. [Especialista em Regulação-(P2)-ANEEL/2006-ESAF] Uma faculdade possui 2500 alunos dos quais 40% falam
espanhol e 60% são do sexo masculino. Sabe-se que 25% das mulheres falam espanhol. Desse modo, o número de
alunos do sexo masculino e que falam espanhol é igual a:
a) 500
b) 1100
c) 250
d) 750
e) 1750
GABARITOS
1 2 3 4 5 6 7 8
B C E C B B C D
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4 – PROBABILIDADE
4.1 – CONCEITO
De acordo com a promoção de um supermercado, uma bicicleta será sorteada entre seus clientes. Paulo depositou
10 cupons em uma das urnas desse supermercado e Vera depositou 20 cupons. No dia do sorteio o conteúdo de
todas as urnas foi juntado, formando uma pilha de 10.000 cupons, para que um deles fosse sorteado.
A probabilidade é um número que mede a possibilidade de ocorrer, ou não, um resultado. Assim, é possível medir a
possibilidade de Paulo ou de Vera serem sorteados com a bicicleta.
Probabilidade de Paulo ganhar: Como Paulo depositou 10 cupons num total de 10.000, sua chance, ou
probabilidade, de ganhar a bicicleta pode ser representada pelo número
10000
10
.
Probabilidade de Vera ganhar: Analogamente, a probabilidade de Vera pode ser representada por
10000
20
.
Observações
1. No exemplo citado acima é possível notar que a probabilidade de Vera ganhar a bicicleta é maior que a de
Paulo.
2. Uma definição intuitiva para a probabilidade é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número
de casos possíveis.
possíveiscasosdenúmero
favoráveiscasosdenúmero
eobabilidad Pr
4.1.1 – EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Um experimento é chamado de aleatório quando seu resultado depender somente do acaso.
Exemplos
1. O lançamento de uma moeda.
2. O lançamento de um dado.
3. O sorteio de um cupom num total de 10.000 cupons.
4.1.2 – ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO
Chamamos de espaço amostral (E) de um experimento ao conjunto de todos os seus resultados possíveis e, damos o
nome de evento (e), a qualquer subconjunto do espaço amostral.
Exemplos
1. Experimento: lançamento de uma moeda
Espaço amostral: cara ou coroa
Número de elementos do espaço amostral: n(E) = 2
Exemplo de evento: sair cara como resultado do lançamento
Número de elementos do evento: n(e) = 1
2. Experimento: lançamento de um dado
Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Número de elementos do espaço amostral: n(E) = 6
Exemplo de evento: sair um número ímpar como resultado do lançamento
Número de elementos do evento: n(e) = 3
3. Experimento: sorteio de um dentre os 10.000 cupons
Espaço amostral: 10.000 cupons
Número de elementos do espaço amostral: n(E) =10.000
Exemplo de evento: Paulo ser sorteado
Número de elementos do evento: n(e) =10
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O número que representa a probabilidade de ocorrer os eventos em cada um dos experimentos citados acima,
pode ser dado pela razão
)(
)(
)(
En
en
eP  .
Observação
Consideraremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma
probabilidade de ocorrer.
4.1.3 – EVENTOS COMPLEMENTARES
Considere uma urna que contém apenas bolas azuis, vermelhas pretas e brancas, sendo cada bola de uma única
cor. Retira-se uma bola da urna. Sendo E o espaço amostral desse experimento, consideremos o seguinte evento:
}/{ vermelhabolaéxExA 
Para obter o complementar de A, basta negar esse evento, isto é:
}/{ vermelhabolaénãoyEyA 
4.1.4 PROPRIEDADES DAS PROBABILIDADES
Sendo E um espaço amostral finito e não-vazio e sendo e um evento de E, temos:
I. Evento impossível: P( ) = 0
II. Evento certo: P(E) = 1
III. 1)(0  eP
IV. )(1)( APAP 
4.2 – ADIÇÃO DE PROBABILIDADES
O teorema da adição de probabilidades é aplicado na resolução de problemas que pedem a probabilidade de
ocorrer um evento A ou um evento B, pois o conectivo ou indica a união dos eventos. A identidade que representa
a adição de probabilidades é dada por:
)()()()( BAPBPAPBAP 
Observação
Se  BA , os eventos A e B são chamados de mutuamente exclusivos e, nesse caso temos:
)()()( BPAPBAP 
4.3 – PROBABILIDADE CONDICIONAL
Chama-se probabilidade condicional de um evento B a probabilidade de esse evento ocorrer considerando-se que
já ocorreu um evento A.
O número P(B/A) é a probabilidade de ocorrer B, condicionada à ocorrência de A (probabilidade condicional de
um evento B). Esse número é dado pela razão:
)A(n
)BA(n
)A/B(P


Observações
1. n representa o número de elementos.
2. Na probabilidade condicional o espaço amostral fica reduzido.
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4.4 – MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES
Se A e B forem eventos independentes, então:
)()()( BPAPBAP 
Observação
Seja um espaço amostral E, finito e não-vazio. Sejam A e B eventos de E. Dizemos que A e B são eventos
independentes se, e somente se:
)()/()()/( APBAPouBPABP 
Exemplo
Lançando-se dez vezes uma moeda, a probabilidade de cair cara no décimo lançamento é 1/2. Essa
probabilidade independe do que ocorreu nos nove primeiros lançamentos.
4.5 – EXERCÍCIOS
1. [Ag. Tribut. Est.-ATE-(P1)-(NS)-(M)-SAD-SEFAZ-MS/2014-FAPEC] Lucas pode apostar nos números de 1 a 20 num jogo
de roletas. Ele apostou em todos os números primos e também nos múltiplos de 2. A chance de Lucas não ganhar é
igual a:
a) 15%
b) 85%
c) 20%
d) 80%
e) 25%
2. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2012-COPEVE] Em uma grande
população de pardais, 20% deles têm uma mutação dos olhos, 60% têm uma mutação das asas e 30% dos que têm
mutação dos olhos, têm mutação das asas. Se um pardal for escolhido ao acaso da população, então, a
probabilidade de que ele tenha pelo menos uma das mutações é:
a) 0,50
b) 0,56.
c) 0,76.
d) 0,74.
e) 0,84.
3. [Oficial-PM-MS/2013-Fund. Escola Gov.] Cinquenta soldados aprovados para a Polícia Militar de Mato Grosso do Sul
foram submetidos a um questionário ao qual responderam, em uma das questões, se já haviam praticado atletismo,
artes marciais e/ou esporte coletivo. Após a tabulação dos cartões-resposta, obteve-se a seguinte frequência:
Prática desportiva Frequência
Atletismo 15
Artes marciais 17
Esporte coletivo 27
Atletismo e artes marciais 4
Atletismo e esporte coletivo 10
Artes marciais e esporte coletivo 7
Nenhum deles 10
Sorteando-se aleatoriamente um desses questionários, sabendo-se que todos têm chances iguais de ser o sorteado,
a probabilidade de que seja de um soldado com experiência nas três práticas desportivas é igual a:
a) zero.
b) 1/25.
c) 3/50.
d) 2/25.
e) 1/10.
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4. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.) Uma fábrica produz quatro modelos de automóveis: X, Y, Z, e W. Os
modelos X e Y são fabricados com dois tipos de carrocerias: fechada e conversível, já os modelos Z e W podem ser:
fechados, conversíveis, pick-ups e utilitários. Cada modelo é fabricado em 5 cores diferentes. Um cliente escolhe um
dos modelos. Qual a probabilidade de que seja do tipo Z,
a) 5,67%
b) 23,56%
c) 3,45%
d) 1,66%
e) 6,66%
5. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.] Um dado foi lançado duas vezes e foram somados os valores da
face superior. A probabilidade da soma ter sido 8 nesses dois lances é de:
a)
36
1
b)
8
1
c)
6
1
d)
36
5
e)
3
1
6. [Fiscal Transp. e Trâns.-(NM)-AGETRAN-PMCG-MS-FADEMS/2010] Considere duas urnas tais que cada uma
contém 6 bolinhas numeradas de 0 a 5. Sorteando-se, simultaneamente, uma bola de cada uma das urnas e
multiplicando-se os números das duas bolinhas retiradas, tem-se que P é a probabilidade do produto obtido ser um
número par, então é correto afirmar que:
a) P = 75%
b) P = 70%
c) P = 65%
d) P = 60%
e) P = 50%
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7. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2013-COPEVE] Uma urna contém
bolas brancas e uma única bola preta. Considere o experimento de retirar ao acaso uma bola de cada vez da urna
e observar a sua cor. A bola retirada é descartada, ou seja, não existe reposição. Antes do início do experimento,
sabe-se que a probabilidade de retirar a bola preta na terceira tentativa é de 1/51. Quantas bolas brancas existem
na urna?
a) 47.
b) 48.
c) 49.
d) 50.
e) 51.
8. [Assistente em Administração-(Classe D)-(NM)-(T)-IFMS/2013-COPEVE] Um torneio de tênis é disputado por 8
jogadores que possuem habilidades equivalentes, o que significa que em qualquer partida a probabilidade de um
jogador ganhar ou perder é igual a 0,5. Dois jogadores A e B se inscreveram para o torneio. Para determinar as
partidas sorteia-se um número (de 1 a 8) para cada jogador. Assim, o jogador número 1 enfrenta o jogador número
2 (jogo 1), o jogador número 3 enfrenta o jogador número 4 (jogo 2), o jogador número 5 enfrenta o jogador número
6 (jogo 3) e o jogador número 7 enfrenta o jogador número 8 (jogo 4). Para a segunda rodada, o vencedor do jogo
1 enfrenta o vencedor do jogo 2 e o vencedor do jogo 3 enfrenta o vencedor do jogo 4, por fim, os vencedores
desses dois últimos jogos se enfrentam na final.
Sabendo que primeiro foi sorteado um número para o jogador A, depois foi sorteado um número para o jogador B e
depois para os demais, qual a probabilidade do jogador A enfrentar o jogador B na final?
a) 1/4.
b) 1/7.
c) 1/28.
d) 1/32.
e) 1/56.
GABARITOS
1 2 3 4 5 6 7 8
A D B D D A D C
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5 – PROBLEMAS ARITMÉTICOS, GEOMÉTRICOS E MATRICIAIS
PROBLEMAS ARITMÉTICOS
1.Em um sistema de criptografia, as palavras são codificadas de acordo com as seguintes regras:
- cada vogal deve ser substituída por um dentre os números 1, 2, 3, 4 e 5, sendo que o 1 corresponde ao A, o 2
corresponde ao E, e assim por diante, conforme a ordem em que as vogais aparecem no alfabeto;
- cada consoante deverá ser substituída pela letra do alfabeto que a sucede. A letra Z será substituída pela letra A.
Que palavra está codificada de acordo com esse sistema criptográfico?
Código Palavra
a) 1A2EP AZEDO
b) CS1R3M BRASIL
c) D15R1 CAUSA
d) A2CSB ZEBRA
e) M2US1 LETRA
2. Sobre uma mesa há 3 moedas do sistema monetário brasileiro, cujos valores são diferentes. Retira-se uma delas,
de modo que as duas moedas que permanecem sobre a mesa totalizam 30 centavos. Coloca-se a moeda retirada
de volta e, a seguir, retira-se outra moeda. Dessa vez, as duas moedas que permanecem sobre a mesa somam 15
centavos. A soma, em centavos, dos valores das 3 moedas é
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
e) 50
3. Em determinado ano bissexto, o dia 31 de dezembro foi um sábado. Se este ano não tivesse sido bissexto, em que
dia da semana cairia o último dia do ano?
a) Terça-feira
b) Quarta-feira
c) Quinta-feira
d) Sexta-feira
e) Domingo
4. Jonas possui 15 bolas visualmente idênticas. Entretanto, uma delas é um pouco mais pesada do que as outras 14,
que têm todas o mesmo peso.
Utilizando uma balança de dois pratos, semelhante à da figura acima, o número mínimo de pesagens que deverão
ser feitas para que se possa garantir que a bola que destoa quanto ao peso será identificada é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
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5. Em uma urna há 5 bolas pretas, 4 bolas brancas e 3 bolas verdes. Deseja-se retirar, aleatoriamente, certa
quantidade de bolas dessa urna. O número mínimo de bolas que devem ser retiradas para que se tenha certeza de
que entre elas haverá 2 de mesma cor é
a) 8
b) 7
c) 5
d) 4
e) 3
6. Em uma gaveta, há 6 lenços brancos, 8 azuis e 9 vermelhos. Lenços serão retirados, ao acaso, de dentro dessa
gaveta. Quantos lenços, no mínimo, devem ser retirados para que se possa garantir que, dentre os lenços retirados
haja um de cada cor?
a) 11
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
7. “O governo federal lançou, no dia 25 de março, o programa “Minha Casa, Minha Vida”, que pretende construir
um milhão de moradias nos próximos anos, no país, para reduzir o déficit habitacional das famílias que têm renda
até dez salários mínimos. Veja abaixo a distribuição preliminar das moradias por estados e regiões.
Disponível em: http://g1.globo.com/Noticias/Economia_Negocios/ (Adaptado)
Com base nesse gráfico, as regiões que, respectivamente, serão a mais e a menos beneficiadas pelo programa são:
a) Sudeste e Nordeste.
b) Sudeste e Norte.
c) Sudeste e Centro-Oeste.
d) Nordeste e Centro-Oeste.
e) Nordeste e Norte.
8. Um número N, ao ser dividido por 7, deixa resto 5. Dividindo-se N + 4 por 7, o resto obtido é
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 9
9. Em um número N de três algarismos, o algarismo das unidades é uma unidade maior do que o algarismo das
dezenas. Por sua vez, o algarismo das dezenas é uma unidade maior do que o algarismo das centenas. Se N é
divisível por 12, a soma de seus algarismos é igual a
a) 12
b) 15
c) 18
d) 21
e) 24
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PROBLEMAS GEOMÉTRICOS
10. Um míssil balístico foi lançado de um ponto P para atingir um ponto Q, sendo sua trajetória uma
semicircunferência de comprimento 500  metros. No mesmo instante do ponto Q foi lançado, em linha reta, um
míssil antibalístico que deve destruir o primeiro quando ele atingir um ponto R, tal que RQ é igual a 8.000 metros.
Qual a medida do segmento de reta PR?
a) 12,000 metros
b) 10,000 metros
c) 6,000 metros
d) 7,500 metros
e) 5,000 metros
11. O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse modo, em termos percentuais, a área do
círculo A é menor do que a área do círculo B em:
a) 51%
b) 49%
c) 30%
d) 70%
e) 90%
12. A figura a seguir mostra um setor circular de 42º e 3cm de raio que foi reproduzido cinco vezes; em seguida,
todos foram unidos pelo vértice.
A área da figura, em cm2, é aproximadamente igual a:
a) 13,8;
b) 16,5;
c) 18,4;
d) 20,8;
e) 22,9.
13. Num município de Mato Grosso do Sul, uma área delimitada em linha grossa, ilustrada na figura a seguir, será transformada
em reserva ambiental, Sabendo-se que cada quadrado pontilhado da figura tem 100 metros de lado, determine
qual é a área total, em hectares, da referida reserva ambiental.
(lembre-se: 1 hectare = 10.000 metros quadrados)
a) 45
b) 43
c) 41
d) 39
e) 37
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14. Considere as cinco figuras representadas abaixo, onde cada quadradinho possui a mesma área. A figura que
possui a maior área é:
a) A;
b) B;
c) C;
d) D;
e) E.
15. Numa região na área rural foram delimitados cinco terrenos retangulares, todos com a mesma largura de 200 m.
Os comprimentos dos terrenos são diretamente proporcionais a 5, 6, 7, 8 e 9, respectivamente e a soma das medidas
dos dois menores comprimentos é de 2 200 m.
Qual é, em km, a soma das medidas de todos os lados dos cinco terrenos?
a) 16
b) 15
c) 14
d) 9
e) 6
16. A figura abaixo representa a planta de um apartamento.
A área total é de (m2):
a) 56;
b) 58;
c) 62;
d) 64;
e) 80.
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17. Considere a figura abaixo:
A área da região hachureada é de:
a) 60 m2
b) 84 m2
c) 92 m2
d) 100 m2
e) 156 m2
18. Calcule a área de um terreno quadrado com diagonal medindo 40 m.
a) 1.600 m2
b) 1.200 m2
c) 800 m2
d) 600 m2
e) 400 m2
19.
Na figura acima, a reta AB é paralela à reta DE, e a reta DC é paralela à reta EF. Se o menor ângulo entre as retas
AB e CD é 62º, então o ângulo x, marcado na figura, mede
a) 105º.
b) 115º.
c) 118º.
d) 128º.
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20. Considere o paralelogramo ABCD representado na figura abaixo.
Considere as retas
• r que passa por A e B;
• s que passa por B e C;
• t que passa por A e D;
• u que passa por B e D;
• v que passa por A e C.
Analise as afirmativas abaixo:
I. u é perpendicular à v;
II. t é paralelo à s;
III. r é perpendicular à s.
É/são verdadeira(s) somente:
a) I;
b) II;
c) I e II;
d) II e III;
e) I, II e III.
21. Considere o polígono abaixo:
Analise as seguintes afirmativas sobre esse polígono:
I. possui 11 lados;
II. possui 11 ângulos internos;
III. possui 5 ângulos internos obtusos (maiores que 90º).
É/são verdadeira(s) somente:
a) I;
b) III;
c) I e II;
d) I e III;
e) I, II e III.
22. Para descer alguns objetos da janela de um apartamento à rua, dois garotos fizeram uma brincadeira: fixaram a
ponta de uma corda na janela e a outra no chão da rua a uma distância de 7 metros da base do prédio. Através
de uma cesta que deslizava na corda, desciam os objetos. Sabendo que a janela deste apartamento está a uma
altura de 24 metros do chão e desconsiderando os nós que terão que dar, o tamanho mínimo da corda que os
garotos deverão utilizar é de:
a) 17 m
b) 25 m
c) 31 m
d) 38 m
e) 45 m
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23. A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128
m2. Assim, a área do triângulo T2 é igual a
a) 4 m2.
b) 16 m2.
c) 32 m2.
d) 64 m2.
e) 2 m2.
24. Um reservatório cúbico foi projetado para receber água tratada para consumo humano. Após conseguir mais
verba para a construção do reservatório, o secretario de obras do município ordenou que o projeto fosse refeito de
forma que todas que todas as medidas das arestas do reservatório fossem dobradas. Então, a capacidade do novo
reservatório ficou:
a) dez vezes maior que a capacidade inicialmente projetada.
b) oito vezes maior que a capacidade inicialmente projetada.
c) cinco vezes maior que a capacidade inicialmente projetada.
d) quatro vezes maior que a capacidade inicialmente projetada.
e) duas vezes maior que a capacidade inicialmente projetada.
25.
A figura acima ilustra um recipiente com forma de paralelepípedo reto-retângulo, com capacidade para 60 litros,
cujas dimensões da base são 40 cm x 30 cm. Considerando que o recipiente não tem tampa, qual a sua superfície
total externa, em metros quadrados?
a) 0,94
b) 0,82
c) 0,70
d) 0,67
e) 0,47
26. Um tanque de armazenamento de óleo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de 5m de comprimento,
2m de largura e 1,5m de profundidade. Este tanque será substituído por um novo tanque de mesmo formato, com a
mesma largura e o mesmo comprimento, mas 0,6m mais profundo. O volume, em litros, desse novo tanque será:
a) 2.100
b) 6.000
c) 16.800
d) 21.000
27. Um silo para armazenar grãos possui a forma de um cilindro de raio 30m e altura 50m com uma semi-esfera no
topo, conforme a figura abaixo. A capacidade desse silo é de:
a) 1500 m3;
b) 45000 m3;
c) 63000 m3;
d) 76000 m3;
e) 90000 m3.
PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO
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42
28. Um artista plástico pretende fazer uma obra que apresentará três esferas, cada uma com 10cm de raio,
dispostas, uma sobre a outra, no interior de uma peça cilíndrica transparente cujo interior tem 20cm de diâmetro e
60cm de altura. O artista vai preencher o espaço que ficará vazio no interior do cilindro, depois de postas as esferas,
com um líquido translúcido. O volume a ser preenchido com o líquido, em cm3, vale, aproximadamente:
a) 1.260;
b) 3.570;
c) 4.240;
d) 5.350;
e) 6.280.
PROBLEMAS MATRICIAIS
29. Sabendo-se que A é uma matriz 4x4, detA= –2 e que B= –2·A, pode-se afirmar que detB é igual a:
a) –32
b) –16
c) –4
d) 4
e) 16
30. Sejam as matrizes


















4321
5431
Be
33
62
41
A
e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto
entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a
a) 1.
b) 1/2.
c) 2.
d) 1/3.
e) 3.
31. Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a
coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem é a matriz resultante da soma das matrizes
A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij ) = i2-j2 e que bij = (i+j)2, então a soma dos elementos x31 e x13 é igual a:
a) 20
b) 24
c) 32
d) 64
e) 108
32. O termo geral da matriz M2x2 é j2i3aij  . O valor do determinante de M é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
33. Sejam as matrizes mostradas na figura a seguir 


















10
21
Ce
12
01
B,
01
10
A O determinante da matriz A + B.C é:
a) -4
b) -2
c) 0
d) 1
e) 5
GABARITOS:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
E C D B D E C A B C A B A B A B D C C B E B E B B
26 27 28 29 30 31 32 33
D C E A B D E A

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Rac. lógico

  • 1. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 3 RACIOCÍNIO LÓGICO 1. Estruturas lógicas; 2. Lógica de argumentação: analogias, interferência, deduções e conclusões; 3. Lógica sentencial (proposicional): proposições simples e compostas, tabelas verdade, equivalências, diagramas lógicos; 4. Lógica de primeira ordem; 5. Princípios de contagem e probabilidades; 6. Raciocínio lógico envolvendo problemas aritméticos, geométricos e matriciais. 1 – LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 1.1 – PROPOSIÇÃO Proposição é toda sentença expressa em palavras ou símbolos que exprimem uma ideia, ao qual se atribui, dentro de determinado contexto, somente um dos dois valores lógicos possíveis: verdadeiro (V) ou falso (F). Os valores de verdadeiro ou falso são atribuídos somente às sentenças declarativas, ocorrendo a afirmação ou a negação dessa sentença. Exemplos de sentenças declarativas: 1. A Matemática é uma Ciência Exata. 2. O pássaro pode voar. 3. Todo pássaro voa. 4. Nenhum homem é mortal. 5. Todo animal é humano. Exemplos de sentenças não declarativas: 1. Quanto é dois mais dois? 2. Vá pescar. 3. Que chuva! 4. Jogavam bola. Observação No caso das sentenças não declarativas não é possível atribuir um valor lógico de verdadeiro ou falso, embora elas também expressem juízos. 1.1.1 – PROPOSIÇÃO SIMPLES Uma proposição é considerada simples ou atômica quando não é possível subdividi-la em partes menores, obtendo-se novas proposições. 1.1.2 – PROPOSIÇÃO COMPOSTA Uma proposição é considerada composta ou molecular quando for possível extrair dela uma nova proposição. Exemplos: 1. Deodato é professor de balé. (proposição simples) 2. Deodato é professor de informática. (proposição simples) 3. Deodato é professor de balé e informática. (proposição composta) 1.2 – MODIFICADOR Com o uso do modificador “não” é possível formar uma proposição a partir de outra já existente. Exemplo: 1. Proposição A: O carro está em alta velocidade. 2. Proposição ~ A (negação de A): O carro não está em alta velocidade.
  • 2. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 4 Observações 1. Se uma proposição é verdadeira, sua negação será falsa. 2. Se uma proposição é falsa, sua negação será verdadeira. 3. Em qualquer caso ~ (~ A) = A. 4. Tabela verdade A ~A V F F V 1.3 – CONECTIVOS (OPERADORES LÓGICOS) Os conectivos são termos ou expressões que estão frequentemente presentes nas proposições compostas. São exemplos de conectivos lógicos “não”, “e”, “ou”, “se ... então” e “se e somente se”. O valor lógico de uma proposição composta depende do valor lógico de cada proposição simples que a constitui e da forma como as proposições simples estão ligadas pelos conectivos lógicos. 1.3.1 – CONJUNÇÃO (A e B) Conjunção é uma proposição composta formada por duas proposições simples ligadas através do conectivo “e”. Exemplo: 1. Proposição A: Elias é professor de estatística. 2. Proposição B: Elias é professor de raciocínio lógico. 3. Proposição A  B (A e B): Elias é professor de estatística e raciocínio lógico. Observações 1. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção “A  B” será equivalente à intersecção “A  B”. 2. Uma conjunção será verdadeira somente quando as duas proposições que a compõem forem verdadeiras. 3. Tabela verdade A B AB V V V V F F F V F F F F 1.3.2 – DISJUNÇÃO (A ou B) Disjunção é uma proposição composta formada por duas proposições simples ligadas através do conectivo “ou”. Exemplos: 1. Proposição A: Onei é professor de estatística. 2. Proposição B: Onei é professor de contabilidade. 3. Proposição A  B (A ou B): Onei é professor de estatística ou contabilidade. Observações 1. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a conjunção “A  B” será equivalente à união “A  B”. 2. Uma disjunção é falsa somente quando as duas proposições que a compõem forem falsas. 3. Tabela verdade A B AB V V V V F V F V V F F F
  • 3. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 5 1.3.3 – DUPLA DISJUNÇÃO (ou A ou B) Dupla Disjunção é uma proposição composta formada por duas proposições simples ligadas através do conectivo “ou ou”. Exemplos: 1. Proposição A: Ou Onei é professor de estatística. 2. Proposição B: Ou Onei é professor de contabilidade. 3. Proposição A  B (ou A ou B): Ou Onei é professor de estatística ou contabilidade. Observações 1. A dupla disjunção é verdadeira quando somente uma das proposições é verdadeira. 2. Tabela verdade. A B AvB V V F V F V F V V F F F 1.3.4 – CONDICIONAL (se A então B) Condicional é a proposição composta formada por duas proposições simples ligadas através do conectivo “se ... então” ou por uma de suas formas equivalentes. Exemplo: 1. Proposição A: Danilo é baiano. 2. Proposição B: Danilo é brasileiro. 3. Proposição A  B: Se Danilo é baiano, então é brasileiro. Observações 1. A proposição que é anunciada pelo uso da conjunção “se” é denominada condição ou antecedente. 2. A proposição que é anunciada pelo uso do advérbio “então” é denominada conclusão ou consequente. 3. As expressões abaixo são equivalentes a “se ... então”: Se A, B. B, se A. Todo A é B. A implica B. A somente se B. A é suficiente para B. B é necessário para A. 4. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição condicional “se A então B” será equivalente à inclusão do conjunto A no conjunto B (A está contido em B). 5. Uma condicional “se A então B” é falsa somente quando a condição A é verdadeira e conclusão B é falsa. 6. Tabela verdade A B AB V V V V F F F V V F F V
  • 4. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 6 1.3.5 – BICONDICIONAL (A se e somente se B) Bicondicional é a proposição composta formada por duas proposições simples ligadas através do conectivo “se e somente se” ou por uma de suas formas equivalentes. Exemplo: 1. Proposição A: Patrícia é aprovada. 2. Proposição B: Patrícia estuda. 3. Proposição A  B (A se e somente se B): Patrícia é aprovada se e somente se estuda. Observações 1. As expressões abaixo são equivalentes a “se e somente se”: “se A então B e se B então A” A se e só se B. Todo A é B e todo B é A. Todo A é B e reciprocamente. Se A então B e reciprocamente. A somente se B e B somente se A. A é suficiente para B e B é suficiente para A. B é necessário para A e A é necessário para B. 2. Se as proposições A e B forem representadas como conjuntos através de um diagrama, a proposição bicondicional “A se e somente se B” será equivalente à igualdade dos conjuntos A e B (A = B). 3. Uma bicondicional “A se e somente se B” é verdadeira somente quando A e B têm o mesmo valor lógico (ambas são verdadeiras ou ambas são falsas). 4. Tabela verdade. A B AB V V V V F F F V F F F V 1.4 RESUMO DA TABELA VERDADE COMPOSTA DE DUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES A B AB AB AvB AB AB V V V V F V V V F F V V F F F V F V V V F F F F F F V V Observações 1. A tabela verdade construída acima trata de apenas duas proposições A e B. No entanto, veremos que os problemas podem considerar mais de duas proposições. 2. O número de linhas de uma tabela verdade pode ser calculado pela expressão abaixo: simplessproposiçõedenúmero )2base( . 1.5 – PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES LEIS ASSOCIATIVAS 1. )()( CBACBA  2. )()( CBACBA  LEIS DISTRIBUTIVAS 1. )()()( CABACBA  2. )()()( CABACBA 
  • 5. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 7 LEI DA DUPLA NEGAÇÃO 1. ~ ~ A  A EQUIVALÊNCIAS 1. ABBA  Exemplo: As duas proposições abaixo são equivalentes. Paulo estuda ou trabalha. Paulo trabalha ou estuda. 2. ABBA  Exemplo: As duas proposições abaixo são equivalentes. Paulo estuda e trabalha. Paulo trabalha e estuda. 3. ABBA  Exemplo: As duas proposições abaixo são equivalentes. Paulo estuda se e somente se trabalha. Paulo trabalha se e somente se estuda. 4. ABBA  Exemplo: As duas proposições abaixo são equivalentes. Ou Paulo estuda ou trabalha. Ou Paulo trabalha ou estuda. 5. BABA  ~ Exemplo: As duas proposições abaixo são equivalentes. Se Paulo estuda, então trabalha. Paulo não estuda ou trabalha. 6. ABBA ~~  Exemplo: As duas proposições abaixo são equivalentes. Se Paulo estuda, então trabalha. Se Paulo não trabalha, então não estuda. 7. BABA  )( Exemplo: Proposição: Se Paulo estuda, então trabalha. Negação: Paulo estuda e não trabalha. 8. BABA  )( Exemplo: Proposição: Paulo estuda se e somente se trabalha. Negação: Ou Paulo estuda ou trabalha. 9. BABA  )(
  • 6. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 8 Exemplo: Proposição: Paulo estuda ou trabalha. Negação: Paulo não estuda e não trabalha. 10. BABA  )( Exemplo: Proposição: Paulo estuda e trabalha. Negação: Paulo não estuda ou não trabalha. 11. BénãoAumaBéAtodo lg)(  Exemplo: Proposição: Todo homem é mortal. Negação: Algum homem não é mortal. 12. BéAumaBéAnenhum lg)(  Exemplo: Proposição: Nenhum homem é imortal. Negação: Algum homem é imortal. 13. BéAnenhumBéAuma  )lg( Exemplo: Proposição: Algum homem é mortal. Negação: Nenhum homem é mortal. 1.6 – TAUTOLOGIA Damos o nome de tautologia à proposição que é sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõe. Exemplo: Hoje vai chover ou hoje não vai chover. 1.7 – CONTRADIÇÃO Damos o nome de contradição à proposição que é sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições simples que as compõem. Exemplo: Hoje vai chover e hoje não vai chover. Observação Como uma tautologia é sempre verdadeira e uma contradição sempre falsa, tem-se que: - a negação de uma tautologia é sempre uma contradição; - a negação de uma contradição é sempre uma tautologia. 1.8 – CONTINGÊNCIA A contingência é uma proposição cuja tabela verdade apresenta tanto valor lógico verdadeiro como falso. Premissas (ou hipótese) do argumento é um conjunto de proposições P1, P2, ..., Pn. Argumento é a relação que associa o conjunto de premissas com a proposição C, chamada de conclusão (ou tese) do argumento. Silogismos são os argumentos constituídos de apenas duas premissas. Exemplo de silogismos: Premissa A: Todo paranaense é brasileiro. Premissa B: Gregório é paranaense. Conclusão C: Gregório é brasileiro.
  • 7. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 9 1.9 – ARGUMENTO Premissas (ou hipótese) do argumento é um conjunto de proposições P1, P2, ..., Pn. Argumento é a relação que associa o conjunto de premissas com a proposição C, chamada de conclusão (ou tese) do argumento. Silogismos são os argumentos constituídos de apenas duas premissas. Exemplo de silogismos: Premissa A: Todo paranaense é brasileiro. Premissa B: Gregório é paranaense. Conclusão C: Gregório é brasileiro. 1.9.1 – ARGUMENTO VÁLIDO (OU LEGÍTIMO OU BEM CONSTRUÍDO) Um argumento é válido quando a conclusão é uma consequência obrigatória do seu conjunto de premissas, ou seja, a verdade das premissas garante a verdade da conclusão do argumento. Exemplo: Premissa A: Todo Físico gosta de Astronomia. Premissa B: Nenhuma pessoa que gosta de Astronomia é estudiosa. Conclusão C: Nenhum Físico é estudioso. Observação O argumento acima é válido porque as premissas A e B garantem a veracidade da conclusão. 1.9.2 – ARGUMENTO INVÁLIDO (OU ILEGÍTIMO OU MAL CONSTRUÍDO) Um argumento é inválido quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão. Exemplo: Premissa A: Todo Físico gosta de Astronomia. Premissa B: João Vitor não é Físico. Conclusão C: João Vitor não gosta de Astronomia. Observações O argumento acima é inválido porque João Vitor “pode ou não” gostar de Astronomia. 2. Quando se está discutindo o valor de um argumento é irrelevante o valor de verdade de cada uma das premissas. 1.10 - EXERCÍCIOS IDENTIFICAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO 1. [Téc. Contr. Ext.-(Téc. Oper.)-(Ár. Transp.)-(CM13)-(T1)-TCE-GO/2009-FCC].(Q.16) Uma proposição de uma linguagem é uma expressão de tal linguagem que pode ser classificada como verdadeira ou falsa. Com base nessa definição, analise as seguintes expressões: I. 3 + 8 < 13 II. Que horas são? III. Existe um número inteiro x tal que 2x > −5. IV. Os tigres são mamíferos. V. 36 é divisível por 7. VI. x + y = 5 É correto afirmar que são proposições APENAS as expressões a) I e IV. b) I e V. c) II, IV e VI. d) III, IV e V. e) I, III, IV e V. GABARITO 1 E
  • 8. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 10 PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS (TODO; ALGUM; NENHUM) Conclusão de um Diagrama Lógico 1. (Consulplan - 2013) Observe conjunto a seguir. Com base nesse conjunto, é correto afirmar que a) todo A é B. b) todo B é A. c) nenhum B é A. d) algum B não é A. e) não existe B que não seja A. 2. (Consulplan - 2013) Observe os conjuntos a seguir. Analisando os conjuntos, é correto afirmar que C está para B, assim como D está para a) A. b) C. c) D. d) A, B, C e D. e) nenhum. Conclusão de uma Premissa 3. (COMPANHIA PERNAMBUCANA DE GÁS–FCC-2016) É verdade que existem programadores que não gostam de computadores. A partir dessa afirmação é correto concluir que a) qualquer pessoa que não gosta de computadores é um programador. b) todas as pessoas que gostam de computadores não são programadores. c) dentre aqueles que não gostam de computadores, alguns são programadores. d) para ser programador é necessário gostar de computador. e) qualquer pessoa que gosta de computador será um bom programador. 4. (COMPANHIA DO METROPOLITANO DO ESTADO DE SÃO PAULO–FCC-2016) A partir da afirmação: − Dentre um grupo de 100 jogadores de futebol, alguns são baixos. − é correto concluir que a) todos esses 100 jogadores são baixos. b) é certo que mais da metade desses jogadores não são baixos. c) é certo que menos da metade desses jogadores não são baixos. d) é possível que não haja qualquer jogador baixo. e) é possível serem apenas dois jogadores baixos.
  • 9. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 11 Conclusão de um Argumento 5. (Administrador Hospitalar–EMSERH-MA–FUNCAB-2015) Partindo das premissas: I. Todo médico é formado em medicina. II. Todo médico é atencioso. III. Ribamar é atencioso. IV. Francisca é funcionária do hospital. Pode-se concluir que: a) Ribamar é formado em medicina. b) Francisca é atenciosa. c) Francisca e Ribamar são casados. d) Ribamar é funcionário do hospital. e) Há pessoas atenciosas que são formadas em medicina. 6. (Administrador Hospitalar–EMSERH-MA–FUNCAB-2015) Se todos os maranhenses são nordestinos e todos os nordestinos são brasileiros, então pode-se concluir que: a) Todos os nordestinos são maranhenses. b) É possível existir um maranhense que não seja nordestino. c) É possível existir um maranhense que não seja brasileiro. d) Todos os brasileiros são maranhenses. e) É possível existir um nordestino que não seja maranhense. 7. (TRF-3º Região-Técnico Judiciário-Área Apoio Especializado-Especialidade Informática-FCC-2016) Se “todo engenheiro é bom em matemática” e “algum engenheiro é físico”, conclui-se corretamente que a) todo físico é bom em matemática. b) certos bons em matemática não são físicos. c) existem bons em matemática que são físicos. d) certos físicos não são bons em matemática. e) não há engenheiros que sejam físicos. 8. (Agente de Portaria–EMSERH–Maranhão–FUNCAB-2015) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras: “Algum maranhense é pescador.” “Todo maranhense é trabalhador” Assim pode-se afirmar, do ponto de vista lógico, que: a) Algum maranhense não pescador não é trabalhador. b) Algum maranhense trabalhador é pescador. c) Todo maranhense pescador não é trabalhador. d) Algum maranhense pescador não é trabalhador. e) Todo maranhense trabalhador é pescador. 9. (ESAF - 2014) Se é verdade que alguns adultos são felizes e que nenhum aluno de matemática é feliz, então é necessariamente verdade que: a) algum adulto é aluno de matemática. b) nenhum adulto é aluno de matemática. c) algum adulto não é aluno de matemática. d) algum aluno de matemática é adulto. e) nenhum aluno de matemática é adulto.
  • 10. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 12 10. (Agente Legislativo–Câmara Municipal de Linhares-ES–FUNCAB-2016) Assinale a alternativa que apresenta uma contradição. a) Todo capixaba é guerreiro e algum guerreiro não é capixaba. b) Nenhum capixaba é guerreiro e algum capixaba não é guerreiro. c) Todo capixaba não é guerreiro e algum guerreiro é capixaba. d) Todo guerreiro é capixaba e algum capixaba não é guerreiro. e) Algum capixaba é guerreiro e algum capixaba não é guerreiro. Classificação de uma Proposição Categórica 11. (VUNESP – 2014) Na lógica clássica, as proposições que compõem um raciocínio são classificadas como: (1) universais ou particulares e (2) afirmativas ou negativas. Assim sendo, as proposições “todo ser humano é mortal”, “algumas pessoas não usam óculos” e “alguns motoristas são descuidados” são classificadas, respectivamente, como: a) particular afirmativa, universal negativa e universal afirmativa. b) particular afirmativa, universal negativa e particular afirmativa. c) universal afirmativa, particular afirmativa e particular negativa. d) particular negativa, particular afirmativa e universal afirmativa. e) universal afirmativa, particular negativa e particular afirmativa. 12. (VUNESP – 2014) As proposições que compõem as premissas e a conclusão dos silogismos podem ser (I) universais ou particulares e (II) afirmativas ou negativas. Considerando estas possibilidades, é correto afirmar que a proposição a) “Nenhum ser humano é imortal” é universal e negativa. b) “Todos os seres vivos não são organismos” é particular e negativa. c) “Algum ser vivo é mortal” é universal e afirmativa. d) “Sócrates é imortal” é universal e afirmativa. e) “Nenhum organismo é mortal” é particular e afirmativa. GABARITOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C E E E C B C C E A ESTUDO DA TABELA-VERDADE Identificação de Conectivo 1. (Agente de Portaria–EMSERH–Maranhão–FUNCAB-2015) Considere a proposição “Antônio trabalha, mas não recebe o suficiente”. Nela, o conectivo lógico é: a) Disjunção inclusiva. b) Disjunção exclusiva. c) Conjunção. d) Bi condicional. e) Condicional.
  • 11. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 13 Julgamento de Proposições 2. [Anal. Planej.-SEFAZ-SP/2009-ESAF] Assinale a opção verdadeira. a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9 b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9 c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9 d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9 e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9 Conclusão de um Argumento 3. (Agente Penitenciário–SEGEP-MA–FUNCAB-2016) Sabe-se que um executivo é honesto se, e somente se, pratica exercícios físicos. João é um executivo e é sedentário. Pode-se, então, concluir que: a) Todo executivo é desonesto. b) Todo executivo pratica exercícios físicos. c) João não é um executivo honesto. d) Todo executivo é honesto. e) Nenhum executivo pratica exercícios físicos. 4. (Agente de Fiscalização–PM de Itabuna-BA–FUNCAB-2016) Se a Bahia não é na Europa, então o Sol é quente. Se a Bahia é na Europa, então a chuva não molha. Ora, a chuva molha. Logo: a) A Bahia é na Europa e o Sol é quente. b) A Bahia não é na Europa e o Sol é quente. c) A Bahia é na Europa e o Sol não é quente. d) A Bahia não é na Europa e o Sol não é quente. e) Se a chuva molha, então o Sol não é quente. 5. (ELETROSUL-Técnico de Manutenção de Equipamentos-FCC/2016) Considere as seguintes afirmações: I. Se a temperatura está baixa, então a minha pele está seca. II. Se não tenho rachaduras nas mãos, então a minha pele não está seca. III. Se eu tenho rachaduras nas mãos, então eu sinto dor nas mãos. IV. Não sinto dor nas mãos. A partir delas é correto concluir que a) é possível ter dor nas mãos causada por outro motivo. b) não tenho rachaduras nas mãos ou a temperatura está baixa. c) minha pele não está seca e tenho rachaduras nas mãos. d) não tenho rachaduras nas mãos e a temperatura está baixa. e) tenho rachaduras nas mãos ou a temperatura está baixa.
  • 12. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 14 6. [COMPANHIA PERNAMBUCANA DE GÁS – FCC – 2016].(Q.13) Considere verdadeiras as afirmações a seguir: I. Laura é economista ou João é contador. II. Se Dinorá é programadora, então João não é contador. III. Beatriz é digitadora ou Roberto é engenheiro. IV. Roberto é engenheiro e Laura não é economista. A partir dessas informações é possível concluir, corretamente, que a) Beatriz é digitadora. b) João é contador. c) Dinorá é programadora. d) Beatriz não é digitadora. e) João não é contador. 7. (Copergás-Analista Administrador-FCC-Julho/2016) Se Maria é economista, então Jorge é contador. Se Luiza é administradora, então Jorge não é contador. Se Luiza não é administradora, então Norberto é engenheiro. Sabe-se que Norberto não é engenheiro. A partir dessas informações é possível concluir corretamente que a) Luiza é administradora ou Maria é economista. b) Maria é economista ou Jorge é contador. c) Jorge é contador e Norberto não é engenheiro. d) Maria não é economista e Luiza não é administradora. e) Jorge não é contador e Luiza não é administradora. 8. (Administrador Hospitalar–EMSERH-MA–FUNCAB-2015) Quando não canto reggae, não danço samba de crioula ou danço frevo. Quando vou à praia, não danço samba de crioula e danço frevo. Quando não como uma galinhada e danço samba de crioula, não canto reggae. Quando não vou à praia e danço frevo, não danço samba de crioula. Hoje, danço samba de crioula. Portanto, hoje a) Canto reggae, e não danço frevo, e não vou à praia, e como uma galinhada. b) Não canto reggae, e danço frevo, e não vou à praia, e não como uma galinhada. c) Canto reggae, danço frevo, e não vou à praia, e como uma galinhada. d) Canto reggae, e não danço frevo, e vou à praia, e como uma galinhada. e) Não canto reggar, e danço frevo, e vou à praia, e como uma galinhada. 9. (Agente Legislativo–Câmara Municipal de Linhares-ES–FUNCAB-2016) Somente se Mariana estiver estudando, então Juliana já terminou de trabalhar. Verificou-se que Juliana já terminou de trabalhar. Portanto: a) Mariana está estudando. b) Mariana não está estudando. c) Juliana ainda está trabalhando. d) Mariana pode não estar estudando. e) Juliana está vendo Mariana estudar. 10. (Analista e Programador de Sistemas–Câmara Municipal de Marília–VUNESP-2016) Considere verdadeiras as afirmações a seguir: I. Ou Marcelo é advogado, ou Andrea é dentista. II. Débora é psicóloga se, e somente se, Paulo é publicitário. III. Marcelo não é advogado. IV. Paulo não é publicitário. Com base nessas informações, conclui-se corretamente que a) Andrea não é dentista, e Débora não é psicóloga. b) Andrea não é dentista, e Débora é psicóloga. c) Andrea não é dentista, ou Débora é psicóloga. d) Andrea é dentista, e Débora não é psicóloga. e) Andrea é dentista, e Débora é psicóloga.
  • 13. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 15 11. (Guarda Civil Municipal–Pref. da Estância Hidromineral de Poá–VUNESP-2016) Considere verdadeira a afirmação I e falsa a afirmação II. I. “Cicrana é bonita.” II. “Cicrana é alta.” Com base nas informações apresentadas, a única alternativa que contém uma afirmação FALSA é: a) Cicrana é bonita e não é alta. b) Cicrana é bonita ou é alta. c) Cicrana não é bonita ou é alta. d) Cicrana é bonita ou não é alta. e) Cicrana não é bonita ou não é alta. 12. (Analista Programador Júnior–Fundunesp–VUNESP-2016) Considere verdadeiras as afirmações I e II, e falsa a afirmação III, a seguir: I. Se Rose não é secretária, então Carlos não é funcionário público. II. Se Marcelo é professor, então Débora é funcionária pública. III. Rose é secretária ou Marcelo é professor. Com base nas informações apresentadas, conclui-se corretamente que a) Carlos é funcionário público ou Débora não é funcionária pública. b) Carlos é funcionário público e Débora não é funcionária pública. c) Carlos não é funcionário público ou Débora é funcionária pública. d) Carlos não é funcionário público e Débora é funcionária pública. e) Carlos e Débora são funcionários públicos. 13. (Analista de Banco de Dados–Pref. Mun. de Presidente Prudente-SP–VUNESP-2016) Considere falsa a seguinte afirmação: Czergw é inteligente se, e somente se, ele foi aprovado no concurso. Com base nas informações apresentadas, é necessariamente verdadeira a afirmação: a) Czergw é inteligente se, e somente se, ele não foi aprovado no concurso. b) Czergw foi aprovado no concurso e não é inteligente. c) Se Czergw foi aprovado no concurso, então ele não é inteligente. d) Czergw não foi aprovado no concurso e é inteligente. e) Se Czergw não foi aprovado no concurso, então ele é inteligente. 14. (Assembleia Legislativa De Mato Grosso Do Sul-Assistente Legislativo-FCC/2016) Lucas encontrou as seguintes sentenças em um livro de lógica: 1. A próxima sentença é verdadeira. 2. A sentença anterior é falsa. Analisando as duas sentenças, é correto afirmar que a) 1 e 2 são necessariamente falsas. b) 1 e 2 são mutuamente inconsistentes. c) 1 e 2 são necessariamente verdadeiras. d) 1 é verdadeira e 2 é falsa. e) 1 é falsa e 2 é verdadeira. GABARITOS 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 C D C B B B A A A D C C A B
  • 14. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 16 EQUIVALÊNCIA E NEGAÇÃO 1. (Agente de Portaria–EMSERH–Maranhão–FUNCAB-2015) Dizer que “Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses, se e somente se, fez sol” é logicamente equivalente dizer que: a) Não fez sol, se e somente se, Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses. b) Se Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses, então fez sol. c) Se Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses, então não fez sol. d) Fez sol, se e somente se, Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses. e) Ou Alexandre foi aos Lençóis Maranhenses ou fez sol. 2. (Agente de Portaria–EMSERH–Maranhão–FUNCAB-2015) Se a cantora Alcione é maranhense, então ela é nordestina com muito orgulho, portanto: a) Se a cantora Alcione não é maranhense, então ela é nordestina com muito orgulho. b) Se a cantora Alcione não é nordestina com muito orgulho, então ela não é maranhense. c) Se a cantora Alcione é nordestina com muito orgulho, então ela não é maranhense. d) Se a cantora Alcione é maranhense, então ela não é nordestina com muito orgulho. e) Se a cantora Alcione é nordestina com muito orgulho, então ela é maranhense. 3. (Agente Legislativo–Câmara Municipal de Linhares-ES–FUNCAB-2016) Se Leonardo é religioso, então ele tem fé. Portanto: a) Se Leonardo é religioso, então ele não tem fé. b) Se Leonardo não é religioso, então ele tem fé. c) Se Leonardo não tem fé, então ele não é religioso. d) Se Leonardo tem fé, então ele é religioso. e) Se Leonardo tem fé, então ele não é religioso. 4. (Copergás-Companhia Pernambucana de Gás-Auxiliar Administrativo-FCC/2016) Considere a afirmação a seguir: Se eu paguei o aluguel ou comprei comida, então o meu salário entrou na conta. Uma afirmação equivalente a afirmação anterior é a) Se o meu salário não entrou na conta, então eu não paguei o aluguel e não comprei comida. b) Se eu paguei o aluguel e comprei comida, então o meu salário entrou na conta. c) O meu salário entrou na conta e eu comprei comida e paguei o aluguel. d) Se o meu salário não entrou na conta, então eu não paguei o aluguel ou não comprei comida. e) Se eu não paguei o aluguel e não comprei comida, então o meu salário não entrou na conta. 5. (ELETROSUL-Técnico de Manutenção de Equipamentos-FCC/2016) A negação lógica da afirmação: “Corro bastante e não tomo chuva” é a) Não corro bastante e tomo chuva. b) Tomo chuva ou não corro bastante. c) Tomo chuva porque não corro bastante. d) Se eu corro bastante, então não tomo chuva. e) Corro bastante ou tomo chuva. 6. (Agente Legislativo–Câmara Municipal de Linhares-ES–FUNCAB-2016) A negação de: “Jorge é zelador ou Maria é recepcionista” é: a) Jorge é zelador e Maria não é recepcionista. b) Maria não é recepcionista. c) Jorge não é zelador ou Maria não é recepcionista. d) Jorge não é zelador e Maria não é recepcionista. e) Jorge não é zelador.
  • 15. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 17 7. (Agente Legislativo–Câmara Municipal de Linhares-ES–FUNCAB-2016) A negação de: “Diego comprou um carro e viajou para Vitória” é: a) Diego não comprou um carro e viajou para Vitória. b) Diego não comprou um carro e não viajou para Vitória. c) Diego comprou um carro e não viajou para Vitória. d) Diego não comprou um carro ou não viajou para Vitória. e) Diego comprou um carro, mas não viajou para Vitória. 8. (Analista e Programador de Sistemas–Câmara Municipal de Marília–VUNESP-2016) Considere a seguinte afirmação: “Se Cicrano está realizando essa prova, então ele pretende ser um analista de sistemas.” Uma negação lógica para essa afirmação é: a) Se Cicrano não está realizando essa prova, então ele não pretende ser um analista de sistemas. b) Se Cicrano não pretende ser um analista de sistemas, então ele não está realizando essa prova. c) Cicrano não está realizando essa prova e não pretende ser um analista de sistemas. d) Cicrano pretende ser um analista de sistemas e não está realizando essa prova. e) Cicrano está realizando essa prova e não pretende ser analista de sistemas. 9. (Copergás-Analista Administrador-FCC-Julho/2016) Se João chegar bravo em casa, então Claudete foge para o quarto e Beto não entra em casa. Uma afirmação que corresponde à negação da afirmação anterior é: a) João não chega bravo em casa e, Claudete não foge para o quarto ou Beto entra em casa. b) Se João não chega bravo em casa, então Claudete não foge para o quarto e Beto entra em casa. c) João chega bravo em casa e, Claudete não foge para o quarto ou Beto entra em casa. d) Se Claudete não foge para o quarto ou Beto entra em casa, então João não chegou em casa bravo. e) Se Claudete foge para o quarto e Beto não entra em casa, então João chegou bravo em casa. 10. (Administrador Hospitalar–EMSERH-MA–FUNCAB-2015) Dizer que não é verdade que Francisco é dentista e Tânia é enfermeira, é logicamente equivalente a dizer que é verdade que: a) Francisco não é dentista e Tânia não é enfermeira. b) Francisco não é dentista ou Tânia não é enfermeira. c) Se Francisco não é dentista, então Tânia não é enfermeira. d) Francisco é dentista ou Tânia não é enfermeira. e) Se Francisco não é dentista, então Tânia é enfermeira. CATEGÓRICAS 11. [ELETROSUL CENTRAIS ELÉTRICAS S.A – FCC – 2016].(Q.20) Do ponto de vista da lógica, a negação da frase “alguns dos meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde” é a) excetuando um dos meus irmãos, os demais vão ao cinema nos sábados à tarde. b) alguns dos meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde. c) todos os meus irmãos não vão ao cinema nos sábados à tarde. d) todos os meus irmãos vão ao cinema nos sábados à tarde. e) somente um dos meus irmãos não vai ao cinema nos sábados à tarde. 12. (Agente de Fiscalização–PM de Itabuna-BA–FUNCAB-2016) A negação da sentença “todos os moradores de Itabuna são baianos” é: a) Nenhum morador de Itabuna é baiano. b) Todos os moradores de Itabuna não são baianos. c) Ao menos um morador de Itabuna não é baiano. d) Nenhum baiano é morador de Itabuna. e) Todos que não moram em Itabuna são baianos.
  • 16. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 18 13. (Analista de Banco de Dados–Pref. Mun. de Presidente Prudente-SP–VUNESP-2016) Considere a seguinte afirmação: Existe servidor público que não é mulher ou que gosta de questões de raciocínio lógico. Uma negação lógica para a afirmação apresentada acima está contida na alternativa: a) Alguns servidores públicos são mulheres ou não gostam de questões de raciocínio lógico. b) Existe servidor público que não é mulher ou que não gosta de questões de raciocínio lógico. c) Existe servidor público que é homem e gosta de questões de raciocínio lógico. d) Todo servidor público é mulher e não gosta de questões de raciocínio lógico. e) Existe servidor público que é mulher e gosta de questões de raciocínio lógico. 14. (Analista Programador Júnior–Fundunesp–VUNESP-2016) Considere a seguinte afirmação: “Todo carro tem quatro rodas e é bonito.” Assinale a alternativa que apresenta uma negação lógica para a afirmação proposta. a) Nenhum carro tem quatro rodas e é bonito. b) Nenhum carro tem quatro rodas ou é bonito. c) Algum carro não tem quatro rodas e não é bonito. d) Algum carro não tem quatro rodas ou não é bonito. e) Existe carro que tem quatro rodas e não é bonito. GABARITO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 D B C A B D D E C B D C D D CONDIÇÃO SUFICIENTE E NECESSÁRIA 1. [Aud. Fiscal Rec.-SEFAZ-RJ/2014-FCC] Um indivíduo ser contador é condição suficiente para ele ter condições de trabalhar no ramo de Auditoria. Assim sendo, a) os indivíduos que têm condições de trabalhar no ramo de Auditoria sempre são contadores. b) todos que têm condições de trabalhar no ramo de Auditoria são contadores. c) é possível que alguns contadores não tenham condições de trabalhar no ramo de Auditoria. d) um indivíduo que não tem condições de trabalhar no ramo de Auditoria nunca é contador. e) a maioria dos indivíduos que tem condições de trabalhar no ramo de Auditoria são contadores. 2. [Agente Fiscal de Rendas-SEFAZ-SP/2009-FCC] Considere a afirmação: Pelo menos um ministro participará da reunião ou nenhuma decisão será tomada. Para que essa afirmação seja FALSA a) é suficiente que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. b) é suficiente que dois ministros tenham participado da reunião e alguma decisão tenha sido tomada. c) é necessário e suficiente que alguma decisão tenha sido tomada, independentemente da participação de ministros na reunião. d) é necessário que nenhum ministro tenha participado da reunião e duas decisões tenham sido tomadas. e) é necessário que dois ministros tenham participado da reunião e nenhuma decisão tenha sido tomada. GABARITO 1 2 D A
  • 17. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 19 TAUTOLOGIA; CONTINGÊNCIA; CONTRADIÇÃO 1. Assinale a opção que simboliza uma tautologia, isto é, uma proposição que é sempre verdadeira. a) ¬A(AB) b) (A¬B)¬A c) A(B¬B) d) (¬A¬B)(AB) GABARITO 1 D VALIDADE DE UM ARGUMENTO 1. Há uma forma de raciocínio dedutivo chamado silogismo. Nesta espécie de raciocínio, será formalmente válido o argumento cuja conclusão é consequência que necessariamente deriva das premissas. Neste sentido, corresponde a um silogismo válido: a) Premissa 1: Todo maceronte gosta de comer fubá. Premissa 2: As selenitas gostam de fubá. Conclusão: As selenitas são macerontes. b) Premissa 1: Todo maceronte gosta de comer fubá. Premissa 2: Todo maceronte tem asas. Conclusão: Todos que têm asas gostam de comer fubá. c) Premissa 1: Nenhum X é Y. Premissa 2: Algum X é Z Conclusão: Algum Z não é Y. d) Premissa 1: Todo X é Y. Premissa 2: Algum Z é Y. Conclusão: Algum Z é X. e) Premissa 1: Capitu é mortal. Premissa 2: Nenhuma mulher é imortal. Conclusão: Capitu é mulher. GABARITO 1 C
  • 18. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 20 2 – ANÁLISE COMBINATÓRIA 2.1 – CONCEITO Em inúmeras situações do dia-a-dia podemos nos deparar com problemas de contagem. Exemplos 1. No Brasil foram implantadas placas de automóveis com três letras e quatro algarismos. Utilizando um alfabeto de 26 letras e os algarismos de 0 até 9, quantas placas diferentes podem ser confeccionadas? 2. De um baralho de 52 cartas, quantos jogos de 5 cartas podem ser formados de modo que pelo menos uma delas seja um rei? O método de resolução para esse tipo de problema é chamado de análise combinatória. 2.2 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM Considere uma ação constituída de duas etapas sucessivas. A 1º etapa pode ser realizada de n maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a 2º possibilidade pode ser realizada de m maneiras distintas. Dessa forma, o número de maneiras de se efetuar a ação completa é dado por m x n. Exemplo Para ir ao clube, Pedro deseja usar uma camiseta, uma bermuda e um par de tênis. Sabendo que ele dispõe de seis camisetas, quatro bermudas e três pares de tênis, de quantas maneiras distintas poderá vestir-se? As possibilidades de escolha de Pedro são: 6 camisetas (número de maneiras de se efetuar a 1º etapa) 4 bermudas (número de maneiras de se efetuar a 2º etapa) 3 pares de tênis (número de maneiras de se efetuar a 3º etapa) Assim, pelo princípio fundamental da contagem tem-se 6 x 4 x 3 = 72 maneiras distintas de Pedro se vestir. 2.3 – PERMUTAÇÃO Dado um conjunto com n elementos distintos, chama-se permutação dos n elementos a qualquer seqüência formada por esses n elementos. Exemplo Considere as possíveis permutações das Letras que compõem a palavra POR. POR PRO POR ORP ROP POR 2.3.1 – CÁLCULO DO NÚMERO DE PERMUTAÇÕES De um modo geral o que nos interessa é a quantidade de permutações que podem ser realizadas com os n elementos de um conjunto. Essa quantidade pode ser dada por: - Permutação sem repetição É quando os n elementos são distintos. !nPn  Onde 12)2()1(!  nnnn - Permutação com repetição É o conjunto apresenta algum elemento repetido. !x!x!x !n P k )x,,x,x( n k     21 21 Onde kxxx ,, 21 representa o número de vezes que cada elemento se repete.
  • 19. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 21 2.4 – ARRANJO SIMPLES Considere um conjunto com n elementos distintos. Chama-se de arranjo simples dos n elementos, tomados k a k, a qualquer seqüência ordenada de k elementos distintos escolhidos entre os n existentes. Exemplo Escreva os possíveis arranjos formados pelos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4}, tomados dois a dois. Devemos escrever todas as seqüências ordenadas de dois elementos distintos, escolhidos entre os elementos do conjunto dado. Assim, temos: (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4, 1); (4, 2); (4, 3) Observação A seqüência (2, 3) é diferente da seqüência (3, 2). Neste caso, dizemos que no arranjo a ordem importa. 2.4.1 – CÁLCULO DO NÚMERO DE ARRANJOS O número de arranjos dos n elementos tomados k a k é dado por: )!( ! ; kn n A kn   kn  2.5 – COMBINAÇÃO Considere um conjunto com n elementos distintos. Chama-se de combinação simples dos n elementos, tomados k a k, a qualquer subconjunto de k elementos. Exemplo Escreva as possíveis combinações formadas pelos elementos do conjunto {1, 2, 3, 4}, tomados dois a dois. (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 3); (2, 4); (3, 4) Observação O subconjunto (2, 3) é igual ao subconjunto (3, 2). Neste caso, dizemos que na combinação a ordem não importa. 2.5.1 – CÁLCULO DO NÚMERO DE COMBINAÇÕES O número de combinações dos n elementos tomados k a k é dado por: )!kn(!k !n C k;n   kn  2.6 – EXERCÍCIOS PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 1. Um restaurante oferece um cardápio diário com três tipos de carne, quatro tipos de prato frio e cinco tipos de prato quente. Quantas opções de escolha um cliente desse restaurante terá, de acordo com o cardápio oferecido, considerando que ele se servirá de uma carne, um prato frio e um prato quente?
  • 20. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 22 2. Usando somente os algarismos 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, responda: a) Quantos números de sete algarismos distintos podem ser formados? b) Quantos números de três algarismos podem ser formados? c) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados? PERMUTAÇÃO 1. Considerando a palavra BRUNA, responda: a) Quantos anagramas podem ser formados? b) Quantos anagramas começam por R? c) Quantos anagramas começam por RA? d) Quantos anagramas terminam por consoante? e) Quantos anagramas começam por vogal e terminam por consoante? 2. O número de anagramas da palavra BANANEIRA é: a) 15 120 b) 30 240 c) 362 880 d) 120 e) 144 3. O número de maneiras em que podemos dispor 20 pessoas em torno de uma mesa redonda é: a) 20! b) 20!/2 c) 19! d) 19!/2 e) n.d.a
  • 21. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 23 ARRANJO 1. Quantas senhas de quatro algarismos distintos podem ser confeccionadas com o sistema de numeração decimal? a) 5040 b) 10000 c) 1120 d) 480 e) 60 COMBINAÇÃO 1. Uma comissão de cinco membros será escolhida dentre oito pessoas. Qual o número de comissões diferentes que podem ser formadas? a) 8 b) 32 c) 56 d) 64 e) 128 PROBLEMAS DE ANÁLISE COMBINATÓRIA 1. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2014-COPEVE] Uma garota irá iniciar um curso de curta duração, onde serão realizados 61 encontros presenciais. Ela não deseja repetir uma combinação de roupas utilizada numa aula para assistir qualquer outra aula do curso. Entende-se por não repetir uma combinação de roupas como mudar, pelo menos, uma das peças utilizadas entre camiseta, saia e sandália. A garota possui 3 pares de sandálias e 4 saias disponíveis. Qual o número mínimo de camisetas (diferentes) que a garota precisa ter para comparecer em todas as aulas presenciais sem repetir a mesma combinação de roupas? a) 3. b) 4. c) 5. d) 6 e) 7. 2. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2013-COPEVE] Quantos são os números naturais de quatro algarismos que possuem, exatamente, dois algarismos iguais? a) 3.162. b) 4.000. c) 3.600. d) 3.800. e) 3.888.
  • 22. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 24 3. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2012-COPEVE] Uma loja de materiais de construção oferece os padrões P, Q e R de lajotas que servem tanto para piso como para revestir paredes. Considerando que pode-se revestir o piso e as paredes de um banheiro social como lajotas de mesmo padrão ou de padrões diferentes e, que no piso é usado um só padrão e nas paredes também, o número de maneiras distintas que é possível revestir o piso e as paredes do banheiro é: a) 6. b) 7. c) 8. d) 9. e) 10. 4. [Oficial-PM-MS/2013-Fund. Escola Gov.] Um sargento, um cabo e três soldados deverá compor uma patrulha para uma ronda de rotina em um bairro da cidade. Estão de serviço no quartel dois sargentos, cinco cabos e dez soldados. Desses últimos, dois deles têm sérios problemas de relacionamento entre si: Praxedes e Pafúncio. O número de patrulhas distintas que podem ser formadas com os militares de serviço, sem que os soldados citados sejam escalados, juntos é igual a: a) 1.120. b) 1.192. c) 1.200. d) 2.145. e) 3.003. 5. [Fiscal Transp. e Trâns.-(NM)-AGETRAN-PMCG-MS-FADEMS/2010] As placas de carros são formadas usando-se três letras (variando entre 5 vogais e 21 consoantes) seguidas de quatro algarismos (variando de 0 a 9). Quantas placas diferentes, com três vogais distintas e terminadas em algarismo par, são possíveis de serem formadas? a) 300.000 b) 350.000 c) 400.000 d) 450.000 e) 500.000 GABARITOS 1 2 3 4 5 D E D A A
  • 23. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 25 3 – TEORIA DOS CONJUNTOS 3.1 DEFINIÇÃO Podemos definir como conjunto, qualquer “grupo” de objetos, pessoas, números, etc., que tenham alguma característica ou propriedade em comum. Um objeto que satisfaz todas as características que determinam um conjunto é definido como elemento do conjunto. Caso contrário, ou seja, se o objeto não satisfaz alguma das características do conjunto, diz-se que o objeto não é elemento do conjunto. Exemplo: Conjunto de países que pertencem ao MERCOSUL: {Brasil, Argentina, Paraguai, Uruguai}. Se dermos o nome de M ao conjunto dos países do MERCOSUL, podemos dizer que: Brasil pertence ao conjunto M, que é representado por MBrasil  . Chile não pertence ao conjunto M, que é representado por MChile  . Conjunto dos números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...}. Se dermos o nome de P ao conjunto dos Números Primos, podemos dizer que: 2 pertence ao conjunto P, que é representado por P2 . 1 não pertence ao conjunto P, que é representado por P1 . Zero não pertence ao conjunto P, que é representado por P0 . Curiosidade: Os símbolos  e  são utilizados exclusivamente para relacionar elemento com conjunto (relação de pertinência). 3.2 – CONJUNTO VAZIO Dizemos que um conjunto é vazio quando ele não tem qualquer elemento. O conjunto vazio é representado por  ou { } e uma propriedade contraditória qualquer pode ser usada para defini-lo. Exemplo: {A / A é um número natural par e primo maior do que 2} =  ou { }. Observação: Temos aqui uma contradição, pois não existe número par primo maior do que 2. 3.3 – CONJUNTO UNITÁRIO Dizemos que um conjunto é unitário quando for formado por um único elemento. Exemplo: {P / P é um número natural par e primo} = {2}. Observação: O único número natural par e primo é o elemento 2. 3.4 – CONJUNTO UNIVERSO O Conjunto Universo, representado por U, é o conjunto formado por todos os elementos com os quais estamos trabalhando. Exemplo: Se U é o conjunto de todos os Números Naturais, podemos dizer que: U é o conjunto Universo = {0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, ...}. Neste caso, o conjunto dos Números Naturais Primos é um subconjunto do conjunto Universo em questão. Curiosidade:  ou { } são representações do conjunto vazio e { } é um conjunto unitário.
  • 24. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 26 3.5 – IGUALDADE DE CONJUNTOS Dois conjuntos são ditos iguais quando possuem os mesmos elementos. Exemplo: N é o conjunto dos Números Naturais = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Z+ é o conjunto dos Números Inteiros não Negativos = {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Como podemos notar N = Z+. 3.6 – CONJUNTOS DISJUNTOS Dois conjuntos são Disjuntos quando não possuem quaisquer elementos em comum. Exemplo: Conjunto dos Números Naturais Pares = {0, 2, 4, 6, 8, ...}. Conjunto dos Números Naturais Ímpares = {1, 3, 5, 7, 9, ...}. Como os dois conjuntos em questão não possuem qualquer elemento em comum podemos afirmar que se trata de conjuntos disjuntos. 3.7 – SUBCONJUNTOS E RELAÇÃO DE INCLUSÃO Dados dois conjuntos A e B, se todos os elementos de A forem também elementos de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou que A está contido em B ou, ainda, que A é parte de B. Então, podemos escrever que: BA (relação de inclusão) Essa indicação representa que A está contido em B ou que B contém A. Se A não for subconjunto de B podemos escrever que BA . Exemplo: Se A é o conjunto dos trapézios e B é o conjunto dos quadriláteros, então BA , pois todo trapézio é um quadrilátero. Também podemos citar que AB , pois nem todo quadrilátero é um trapézio. 3.7.1 – PROPRIEDADES DA INCLUSÃO Propriedade reflexiva AA Qualquer elemento de A pertence a A. Propriedade anti-simétrica se BA e AB , então BA . Essa propriedade é usada quando se quer provar que dois conjuntos são iguais. Propriedade transitiva se BA e CB , então CA . A propriedade transitiva é fundamental nas deduções. Na lógica ela é conhecida como uma forma de raciocínio chamada silogismo. A , qualquer que seja o conjunto A, sempre o conjunto vazio está contido em A.
  • 25. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 27 3.8 – OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 3.8.1 – DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS A diferença ( BA ) entre os conjuntos A e B é dada pelos elementos que pertencem a A mas que não pertencem a B. Se AB , a diferença BA é equivalente a B AC , ou C B , ou B (complementar de B em relação a A). 3.8.2 – REUNIÃO OU UNIÃO DE CONJUNTOS De modo geral, a reunião ou união de A e B é representado por BA e é formado pelos elementos que pertencem a A ou pertencem a B ou a ambos. }/{ BxouAxxBA  3.8.3 – INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS A intersecção de dois conjuntos A e B é formada pelos elementos que pertencem simultaneamente a A e B, ou seja pelos elementos comuns a A e B. }/{ BxeAxxBA  Observações: 1. Se BA , então os conjuntos A e B são chamados disjuntos. 2. Propriedade comutativa ABBA  ABBA  3. Propriedade associativa )()( CBACBA  )()( CBACBA  4. Propriedade distributiva )()()( CABACBA  )()()( CABACBA  5. ABABBABA  6. CBCABA  e CBCABA 
  • 26. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 28 7. O complementar da reunião é igual à intersecção dos complementares CCC BABA  )( 8. O complementar da intersecção é igual à reunião dos complementares CCC BABA  )( 9. Quando A e B são conjuntos finitos, temos que: Se )()()( BnAnBAnBA   Se )()()()( BAnBnAnBAnBA   3.11 – EXERCÍCIOS CONJUNTOS NUMÉRICOS E OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS 1. (AOCP) Considere os conjuntos    187/200/  xxBexxA Quantos elementos possui o conjunto BA ? a) 10 elementos. b) 11 elementos. c) 12 elementos. d) 13 elementos. e) 14 elementos. 2. (Consulplan – 2013) Sejam os conjuntos A = {2, 5, 8, 11, 13, 15}, B = {2, 7, 8, 11, 12, 15} e C = {3, 5, 6, 8, 12, 13}. Qual dos elementos NAO pertence ao conjunto (A ∩ B) U (B ∩ C)? a) 2 b) 11 c) 13 d) 8 e) 12 3. (Consulplan – 2013) Sejam os conjuntos A = {3, 6, 7, 9, 12, 15} e B = {2, 3, 5, 9, 11, 15}. Das relações a seguir marque a verdadeira. a) A união entre os conjuntos A e B possui 12 elementos. b) A interseção entre os conjuntos A e B possui 4 elementos. c) A soma dos elementos do conjunto A é igual a soma dos elementos do conjunto B. d) A interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio. e) A soma dos elementos do conjunto interseção entre A e B é igual a 27. 4. (Consulplan – 2013) No diagrama a seguir, que representa os conjuntos A e B, a região hachurada é indicada por a) A ∩ B. b) A ∪ B. c) A – B. d) A ∈ B. e) A ⊂ B.
  • 27. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 29 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS - DIAGRAMA DE VENN 5. (FGV-2013) Sobre os membros de três comissões A, B e C da Assembleia Legislativa sabe-se que I. Nenhum membro pertence às três comissões simultaneamente. II. Dadas duas quaisquer dessas comissões, há exatamente um membro que pertence simultaneamente às duas. III. Cada uma dessas três comissões possui exatamente cinco membros. O número total de membros diferentes que compõem essas três comissões é a) 15. b) 12. c) 10. d) 9. e) 8. 6. (VUNESP–2013) Carlos é engenheiro e matemático, mas não é físico. Sílvio é engenheiro e físico, mas não é matemático. Antônio e Roberto não são engenheiros, mas são matemáticos e físicos. Somente Walter é engenheiro, matemático e físico. Se em um grupo de profissionais do qual participam todos os citados existem apenas engenheiros, matemáticos e físicos, sendo 10, 8 e 7 pessoas, respectivamente, de cada área, e somente os profissionais citados têm mais de uma formação nesse grupo, então é possível afirmar, corretamente, que o número de pessoas nesse grupo é a) 17. b) 19. c) 21. d) 23. e) 25. 7. (FUNCAB - 2012) Numa escola os alunos do 5º ano podem estudar um ou mais dos seguintes idiomas: Inglês, Espanhol e Alemão.  Sabe-se que nesse ano, 100 alunos estudam Inglês.  100 alunos estudam Espanhol.  45 alunos estudam Alemão.  60 alunos estudam Inglês e Espanhol.  20 alunos estudam Inglês e Alemão.  20 alunos estudam Espanhol e Alemão.  15 alunos estudam Inglês, Espanhol e Alemão.  Todos os alunos estudam pelo menos um dos três idiomas. O número total de alunos do 5º ano dessa escola, que estudam um e somente um desses três idiomas, nesse ano, é igual a: a) 70 b) 85 c) 90 d) 95 e) 100 TABELA DE CORRELAÇÃO 8. [Especialista em Regulação-(P2)-ANEEL/2006-ESAF] Uma faculdade possui 2500 alunos dos quais 40% falam espanhol e 60% são do sexo masculino. Sabe-se que 25% das mulheres falam espanhol. Desse modo, o número de alunos do sexo masculino e que falam espanhol é igual a: a) 500 b) 1100 c) 250 d) 750 e) 1750 GABARITOS 1 2 3 4 5 6 7 8 B C E C B B C D
  • 28. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 30 4 – PROBABILIDADE 4.1 – CONCEITO De acordo com a promoção de um supermercado, uma bicicleta será sorteada entre seus clientes. Paulo depositou 10 cupons em uma das urnas desse supermercado e Vera depositou 20 cupons. No dia do sorteio o conteúdo de todas as urnas foi juntado, formando uma pilha de 10.000 cupons, para que um deles fosse sorteado. A probabilidade é um número que mede a possibilidade de ocorrer, ou não, um resultado. Assim, é possível medir a possibilidade de Paulo ou de Vera serem sorteados com a bicicleta. Probabilidade de Paulo ganhar: Como Paulo depositou 10 cupons num total de 10.000, sua chance, ou probabilidade, de ganhar a bicicleta pode ser representada pelo número 10000 10 . Probabilidade de Vera ganhar: Analogamente, a probabilidade de Vera pode ser representada por 10000 20 . Observações 1. No exemplo citado acima é possível notar que a probabilidade de Vera ganhar a bicicleta é maior que a de Paulo. 2. Uma definição intuitiva para a probabilidade é dada pela razão entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. possíveiscasosdenúmero favoráveiscasosdenúmero eobabilidad Pr 4.1.1 – EXPERIMENTO ALEATÓRIO Um experimento é chamado de aleatório quando seu resultado depender somente do acaso. Exemplos 1. O lançamento de uma moeda. 2. O lançamento de um dado. 3. O sorteio de um cupom num total de 10.000 cupons. 4.1.2 – ESPAÇO AMOSTRAL E EVENTO DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO Chamamos de espaço amostral (E) de um experimento ao conjunto de todos os seus resultados possíveis e, damos o nome de evento (e), a qualquer subconjunto do espaço amostral. Exemplos 1. Experimento: lançamento de uma moeda Espaço amostral: cara ou coroa Número de elementos do espaço amostral: n(E) = 2 Exemplo de evento: sair cara como resultado do lançamento Número de elementos do evento: n(e) = 1 2. Experimento: lançamento de um dado Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} Número de elementos do espaço amostral: n(E) = 6 Exemplo de evento: sair um número ímpar como resultado do lançamento Número de elementos do evento: n(e) = 3 3. Experimento: sorteio de um dentre os 10.000 cupons Espaço amostral: 10.000 cupons Número de elementos do espaço amostral: n(E) =10.000 Exemplo de evento: Paulo ser sorteado Número de elementos do evento: n(e) =10
  • 29. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 31 O número que representa a probabilidade de ocorrer os eventos em cada um dos experimentos citados acima, pode ser dado pela razão )( )( )( En en eP  . Observação Consideraremos aqui os espaços amostrais equiprováveis, isto é, aqueles cujos pontos amostrais têm a mesma probabilidade de ocorrer. 4.1.3 – EVENTOS COMPLEMENTARES Considere uma urna que contém apenas bolas azuis, vermelhas pretas e brancas, sendo cada bola de uma única cor. Retira-se uma bola da urna. Sendo E o espaço amostral desse experimento, consideremos o seguinte evento: }/{ vermelhabolaéxExA  Para obter o complementar de A, basta negar esse evento, isto é: }/{ vermelhabolaénãoyEyA  4.1.4 PROPRIEDADES DAS PROBABILIDADES Sendo E um espaço amostral finito e não-vazio e sendo e um evento de E, temos: I. Evento impossível: P( ) = 0 II. Evento certo: P(E) = 1 III. 1)(0  eP IV. )(1)( APAP  4.2 – ADIÇÃO DE PROBABILIDADES O teorema da adição de probabilidades é aplicado na resolução de problemas que pedem a probabilidade de ocorrer um evento A ou um evento B, pois o conectivo ou indica a união dos eventos. A identidade que representa a adição de probabilidades é dada por: )()()()( BAPBPAPBAP  Observação Se  BA , os eventos A e B são chamados de mutuamente exclusivos e, nesse caso temos: )()()( BPAPBAP  4.3 – PROBABILIDADE CONDICIONAL Chama-se probabilidade condicional de um evento B a probabilidade de esse evento ocorrer considerando-se que já ocorreu um evento A. O número P(B/A) é a probabilidade de ocorrer B, condicionada à ocorrência de A (probabilidade condicional de um evento B). Esse número é dado pela razão: )A(n )BA(n )A/B(P   Observações 1. n representa o número de elementos. 2. Na probabilidade condicional o espaço amostral fica reduzido.
  • 30. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 32 4.4 – MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES Se A e B forem eventos independentes, então: )()()( BPAPBAP  Observação Seja um espaço amostral E, finito e não-vazio. Sejam A e B eventos de E. Dizemos que A e B são eventos independentes se, e somente se: )()/()()/( APBAPouBPABP  Exemplo Lançando-se dez vezes uma moeda, a probabilidade de cair cara no décimo lançamento é 1/2. Essa probabilidade independe do que ocorreu nos nove primeiros lançamentos. 4.5 – EXERCÍCIOS 1. [Ag. Tribut. Est.-ATE-(P1)-(NS)-(M)-SAD-SEFAZ-MS/2014-FAPEC] Lucas pode apostar nos números de 1 a 20 num jogo de roletas. Ele apostou em todos os números primos e também nos múltiplos de 2. A chance de Lucas não ganhar é igual a: a) 15% b) 85% c) 20% d) 80% e) 25% 2. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2012-COPEVE] Em uma grande população de pardais, 20% deles têm uma mutação dos olhos, 60% têm uma mutação das asas e 30% dos que têm mutação dos olhos, têm mutação das asas. Se um pardal for escolhido ao acaso da população, então, a probabilidade de que ele tenha pelo menos uma das mutações é: a) 0,50 b) 0,56. c) 0,76. d) 0,74. e) 0,84. 3. [Oficial-PM-MS/2013-Fund. Escola Gov.] Cinquenta soldados aprovados para a Polícia Militar de Mato Grosso do Sul foram submetidos a um questionário ao qual responderam, em uma das questões, se já haviam praticado atletismo, artes marciais e/ou esporte coletivo. Após a tabulação dos cartões-resposta, obteve-se a seguinte frequência: Prática desportiva Frequência Atletismo 15 Artes marciais 17 Esporte coletivo 27 Atletismo e artes marciais 4 Atletismo e esporte coletivo 10 Artes marciais e esporte coletivo 7 Nenhum deles 10 Sorteando-se aleatoriamente um desses questionários, sabendo-se que todos têm chances iguais de ser o sorteado, a probabilidade de que seja de um soldado com experiência nas três práticas desportivas é igual a: a) zero. b) 1/25. c) 3/50. d) 2/25. e) 1/10.
  • 31. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 33 4. (Oficial da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.) Uma fábrica produz quatro modelos de automóveis: X, Y, Z, e W. Os modelos X e Y são fabricados com dois tipos de carrocerias: fechada e conversível, já os modelos Z e W podem ser: fechados, conversíveis, pick-ups e utilitários. Cada modelo é fabricado em 5 cores diferentes. Um cliente escolhe um dos modelos. Qual a probabilidade de que seja do tipo Z, a) 5,67% b) 23,56% c) 3,45% d) 1,66% e) 6,66% 5. [Soldado da PM-MS/2008-Fund. Escola Gov.] Um dado foi lançado duas vezes e foram somados os valores da face superior. A probabilidade da soma ter sido 8 nesses dois lances é de: a) 36 1 b) 8 1 c) 6 1 d) 36 5 e) 3 1 6. [Fiscal Transp. e Trâns.-(NM)-AGETRAN-PMCG-MS-FADEMS/2010] Considere duas urnas tais que cada uma contém 6 bolinhas numeradas de 0 a 5. Sorteando-se, simultaneamente, uma bola de cada uma das urnas e multiplicando-se os números das duas bolinhas retiradas, tem-se que P é a probabilidade do produto obtido ser um número par, então é correto afirmar que: a) P = 75% b) P = 70% c) P = 65% d) P = 60% e) P = 50%
  • 32. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 34 7. [Téc.-Adm. Educação-(Assistente em Administração)-(Classe D)-(NM)-(T)-UFMS/2013-COPEVE] Uma urna contém bolas brancas e uma única bola preta. Considere o experimento de retirar ao acaso uma bola de cada vez da urna e observar a sua cor. A bola retirada é descartada, ou seja, não existe reposição. Antes do início do experimento, sabe-se que a probabilidade de retirar a bola preta na terceira tentativa é de 1/51. Quantas bolas brancas existem na urna? a) 47. b) 48. c) 49. d) 50. e) 51. 8. [Assistente em Administração-(Classe D)-(NM)-(T)-IFMS/2013-COPEVE] Um torneio de tênis é disputado por 8 jogadores que possuem habilidades equivalentes, o que significa que em qualquer partida a probabilidade de um jogador ganhar ou perder é igual a 0,5. Dois jogadores A e B se inscreveram para o torneio. Para determinar as partidas sorteia-se um número (de 1 a 8) para cada jogador. Assim, o jogador número 1 enfrenta o jogador número 2 (jogo 1), o jogador número 3 enfrenta o jogador número 4 (jogo 2), o jogador número 5 enfrenta o jogador número 6 (jogo 3) e o jogador número 7 enfrenta o jogador número 8 (jogo 4). Para a segunda rodada, o vencedor do jogo 1 enfrenta o vencedor do jogo 2 e o vencedor do jogo 3 enfrenta o vencedor do jogo 4, por fim, os vencedores desses dois últimos jogos se enfrentam na final. Sabendo que primeiro foi sorteado um número para o jogador A, depois foi sorteado um número para o jogador B e depois para os demais, qual a probabilidade do jogador A enfrentar o jogador B na final? a) 1/4. b) 1/7. c) 1/28. d) 1/32. e) 1/56. GABARITOS 1 2 3 4 5 6 7 8 A D B D D A D C
  • 33. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 35 5 – PROBLEMAS ARITMÉTICOS, GEOMÉTRICOS E MATRICIAIS PROBLEMAS ARITMÉTICOS 1.Em um sistema de criptografia, as palavras são codificadas de acordo com as seguintes regras: - cada vogal deve ser substituída por um dentre os números 1, 2, 3, 4 e 5, sendo que o 1 corresponde ao A, o 2 corresponde ao E, e assim por diante, conforme a ordem em que as vogais aparecem no alfabeto; - cada consoante deverá ser substituída pela letra do alfabeto que a sucede. A letra Z será substituída pela letra A. Que palavra está codificada de acordo com esse sistema criptográfico? Código Palavra a) 1A2EP AZEDO b) CS1R3M BRASIL c) D15R1 CAUSA d) A2CSB ZEBRA e) M2US1 LETRA 2. Sobre uma mesa há 3 moedas do sistema monetário brasileiro, cujos valores são diferentes. Retira-se uma delas, de modo que as duas moedas que permanecem sobre a mesa totalizam 30 centavos. Coloca-se a moeda retirada de volta e, a seguir, retira-se outra moeda. Dessa vez, as duas moedas que permanecem sobre a mesa somam 15 centavos. A soma, em centavos, dos valores das 3 moedas é a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50 3. Em determinado ano bissexto, o dia 31 de dezembro foi um sábado. Se este ano não tivesse sido bissexto, em que dia da semana cairia o último dia do ano? a) Terça-feira b) Quarta-feira c) Quinta-feira d) Sexta-feira e) Domingo 4. Jonas possui 15 bolas visualmente idênticas. Entretanto, uma delas é um pouco mais pesada do que as outras 14, que têm todas o mesmo peso. Utilizando uma balança de dois pratos, semelhante à da figura acima, o número mínimo de pesagens que deverão ser feitas para que se possa garantir que a bola que destoa quanto ao peso será identificada é a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
  • 34. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 36 5. Em uma urna há 5 bolas pretas, 4 bolas brancas e 3 bolas verdes. Deseja-se retirar, aleatoriamente, certa quantidade de bolas dessa urna. O número mínimo de bolas que devem ser retiradas para que se tenha certeza de que entre elas haverá 2 de mesma cor é a) 8 b) 7 c) 5 d) 4 e) 3 6. Em uma gaveta, há 6 lenços brancos, 8 azuis e 9 vermelhos. Lenços serão retirados, ao acaso, de dentro dessa gaveta. Quantos lenços, no mínimo, devem ser retirados para que se possa garantir que, dentre os lenços retirados haja um de cada cor? a) 11 b) 15 c) 16 d) 17 e) 18 7. “O governo federal lançou, no dia 25 de março, o programa “Minha Casa, Minha Vida”, que pretende construir um milhão de moradias nos próximos anos, no país, para reduzir o déficit habitacional das famílias que têm renda até dez salários mínimos. Veja abaixo a distribuição preliminar das moradias por estados e regiões. Disponível em: http://g1.globo.com/Noticias/Economia_Negocios/ (Adaptado) Com base nesse gráfico, as regiões que, respectivamente, serão a mais e a menos beneficiadas pelo programa são: a) Sudeste e Nordeste. b) Sudeste e Norte. c) Sudeste e Centro-Oeste. d) Nordeste e Centro-Oeste. e) Nordeste e Norte. 8. Um número N, ao ser dividido por 7, deixa resto 5. Dividindo-se N + 4 por 7, o resto obtido é a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 9. Em um número N de três algarismos, o algarismo das unidades é uma unidade maior do que o algarismo das dezenas. Por sua vez, o algarismo das dezenas é uma unidade maior do que o algarismo das centenas. Se N é divisível por 12, a soma de seus algarismos é igual a a) 12 b) 15 c) 18 d) 21 e) 24
  • 35. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 37 PROBLEMAS GEOMÉTRICOS 10. Um míssil balístico foi lançado de um ponto P para atingir um ponto Q, sendo sua trajetória uma semicircunferência de comprimento 500  metros. No mesmo instante do ponto Q foi lançado, em linha reta, um míssil antibalístico que deve destruir o primeiro quando ele atingir um ponto R, tal que RQ é igual a 8.000 metros. Qual a medida do segmento de reta PR? a) 12,000 metros b) 10,000 metros c) 6,000 metros d) 7,500 metros e) 5,000 metros 11. O raio do círculo A é 30% menor do que o raio do círculo B. Desse modo, em termos percentuais, a área do círculo A é menor do que a área do círculo B em: a) 51% b) 49% c) 30% d) 70% e) 90% 12. A figura a seguir mostra um setor circular de 42º e 3cm de raio que foi reproduzido cinco vezes; em seguida, todos foram unidos pelo vértice. A área da figura, em cm2, é aproximadamente igual a: a) 13,8; b) 16,5; c) 18,4; d) 20,8; e) 22,9. 13. Num município de Mato Grosso do Sul, uma área delimitada em linha grossa, ilustrada na figura a seguir, será transformada em reserva ambiental, Sabendo-se que cada quadrado pontilhado da figura tem 100 metros de lado, determine qual é a área total, em hectares, da referida reserva ambiental. (lembre-se: 1 hectare = 10.000 metros quadrados) a) 45 b) 43 c) 41 d) 39 e) 37
  • 36. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 38 14. Considere as cinco figuras representadas abaixo, onde cada quadradinho possui a mesma área. A figura que possui a maior área é: a) A; b) B; c) C; d) D; e) E. 15. Numa região na área rural foram delimitados cinco terrenos retangulares, todos com a mesma largura de 200 m. Os comprimentos dos terrenos são diretamente proporcionais a 5, 6, 7, 8 e 9, respectivamente e a soma das medidas dos dois menores comprimentos é de 2 200 m. Qual é, em km, a soma das medidas de todos os lados dos cinco terrenos? a) 16 b) 15 c) 14 d) 9 e) 6 16. A figura abaixo representa a planta de um apartamento. A área total é de (m2): a) 56; b) 58; c) 62; d) 64; e) 80.
  • 37. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 39 17. Considere a figura abaixo: A área da região hachureada é de: a) 60 m2 b) 84 m2 c) 92 m2 d) 100 m2 e) 156 m2 18. Calcule a área de um terreno quadrado com diagonal medindo 40 m. a) 1.600 m2 b) 1.200 m2 c) 800 m2 d) 600 m2 e) 400 m2 19. Na figura acima, a reta AB é paralela à reta DE, e a reta DC é paralela à reta EF. Se o menor ângulo entre as retas AB e CD é 62º, então o ângulo x, marcado na figura, mede a) 105º. b) 115º. c) 118º. d) 128º.
  • 38. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 40 20. Considere o paralelogramo ABCD representado na figura abaixo. Considere as retas • r que passa por A e B; • s que passa por B e C; • t que passa por A e D; • u que passa por B e D; • v que passa por A e C. Analise as afirmativas abaixo: I. u é perpendicular à v; II. t é paralelo à s; III. r é perpendicular à s. É/são verdadeira(s) somente: a) I; b) II; c) I e II; d) II e III; e) I, II e III. 21. Considere o polígono abaixo: Analise as seguintes afirmativas sobre esse polígono: I. possui 11 lados; II. possui 11 ângulos internos; III. possui 5 ângulos internos obtusos (maiores que 90º). É/são verdadeira(s) somente: a) I; b) III; c) I e II; d) I e III; e) I, II e III. 22. Para descer alguns objetos da janela de um apartamento à rua, dois garotos fizeram uma brincadeira: fixaram a ponta de uma corda na janela e a outra no chão da rua a uma distância de 7 metros da base do prédio. Através de uma cesta que deslizava na corda, desciam os objetos. Sabendo que a janela deste apartamento está a uma altura de 24 metros do chão e desconsiderando os nós que terão que dar, o tamanho mínimo da corda que os garotos deverão utilizar é de: a) 17 m b) 25 m c) 31 m d) 38 m e) 45 m
  • 39. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 41 23. A razão de semelhança entre dois triângulos, T1, e T2, é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T1 é igual a 128 m2. Assim, a área do triângulo T2 é igual a a) 4 m2. b) 16 m2. c) 32 m2. d) 64 m2. e) 2 m2. 24. Um reservatório cúbico foi projetado para receber água tratada para consumo humano. Após conseguir mais verba para a construção do reservatório, o secretario de obras do município ordenou que o projeto fosse refeito de forma que todas que todas as medidas das arestas do reservatório fossem dobradas. Então, a capacidade do novo reservatório ficou: a) dez vezes maior que a capacidade inicialmente projetada. b) oito vezes maior que a capacidade inicialmente projetada. c) cinco vezes maior que a capacidade inicialmente projetada. d) quatro vezes maior que a capacidade inicialmente projetada. e) duas vezes maior que a capacidade inicialmente projetada. 25. A figura acima ilustra um recipiente com forma de paralelepípedo reto-retângulo, com capacidade para 60 litros, cujas dimensões da base são 40 cm x 30 cm. Considerando que o recipiente não tem tampa, qual a sua superfície total externa, em metros quadrados? a) 0,94 b) 0,82 c) 0,70 d) 0,67 e) 0,47 26. Um tanque de armazenamento de óleo tem a forma de um paralelepípedo retângulo de 5m de comprimento, 2m de largura e 1,5m de profundidade. Este tanque será substituído por um novo tanque de mesmo formato, com a mesma largura e o mesmo comprimento, mas 0,6m mais profundo. O volume, em litros, desse novo tanque será: a) 2.100 b) 6.000 c) 16.800 d) 21.000 27. Um silo para armazenar grãos possui a forma de um cilindro de raio 30m e altura 50m com uma semi-esfera no topo, conforme a figura abaixo. A capacidade desse silo é de: a) 1500 m3; b) 45000 m3; c) 63000 m3; d) 76000 m3; e) 90000 m3.
  • 40. PROFº: DILMAR RICARDO POLÍCIA CIVIL – APÓS EDITAL – 2017 RACIOCÍNIO LÓGICO O CURSO PERMANENTE que mais APROVA! 42 28. Um artista plástico pretende fazer uma obra que apresentará três esferas, cada uma com 10cm de raio, dispostas, uma sobre a outra, no interior de uma peça cilíndrica transparente cujo interior tem 20cm de diâmetro e 60cm de altura. O artista vai preencher o espaço que ficará vazio no interior do cilindro, depois de postas as esferas, com um líquido translúcido. O volume a ser preenchido com o líquido, em cm3, vale, aproximadamente: a) 1.260; b) 3.570; c) 4.240; d) 5.350; e) 6.280. PROBLEMAS MATRICIAIS 29. Sabendo-se que A é uma matriz 4x4, detA= –2 e que B= –2·A, pode-se afirmar que detB é igual a: a) –32 b) –16 c) –4 d) 4 e) 16 30. Sejam as matrizes                   4321 5431 Be 33 62 41 A e seja xij o elemento genérico de uma matriz X tal que X =(A.B)t, isto é, a matriz X é a matriz transposta do produto entre as matrizes A e B. Assim, a razão entre x31 e x12 é igual a a) 1. b) 1/2. c) 2. d) 1/3. e) 3. 31. Genericamente, qualquer elemento de uma matriz M pode ser representado por mij, onde i representa a linha e j a coluna em que esse elemento se localiza. Uma matriz X = xij, de terceira ordem é a matriz resultante da soma das matrizes A = (aij) e B = (bij). Sabendo-se que (aij ) = i2-j2 e que bij = (i+j)2, então a soma dos elementos x31 e x13 é igual a: a) 20 b) 24 c) 32 d) 64 e) 108 32. O termo geral da matriz M2x2 é j2i3aij  . O valor do determinante de M é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 33. Sejam as matrizes mostradas na figura a seguir                    10 21 Ce 12 01 B, 01 10 A O determinante da matriz A + B.C é: a) -4 b) -2 c) 0 d) 1 e) 5 GABARITOS: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 E C D B D E C A B C A B A B A B D C C B E B E B B 26 27 28 29 30 31 32 33 D C E A B D E A