apresent_2014

Uma breve Introdu¸cão às
Equa¸cões Diferenciais Estocásticas
Henrique Bolfarine
BMAC IME-USP
February 4, 2015
Henrique Bolfarine (BMAC IME-USP) Uma breve Introdu¸cão às Equa¸cões Diferenciais EstocásticasFebruary 4, 2015 1 / 51

Tópicos a serem abordados
1 Introdu¸cão
2 Processos Estocásticos
3 Movimento Browniano
4 Cálculo Estocástico de It¯o
5 Equa¸cões Diferencias Estocásticas

Introdu¸cão
A teoria das equa¸cões diferenciais estocásticas ou EDE, é bastante
flex´ıvel, e emerge naturalmente em diversas aplica¸cões.
Sua principal utilidade é encontrar uma solu¸cão Xt, para a equa¸cão
dXt
dt
= a(t, Xt) + σ(t, Xt) · “ru´ıdo”. (1)
a(t, Xt) e σ(t, Xt) - fun¸cões cont´ınuas;
“ru´ıdo” - fator externo, aleatório que interfere em (1).
Vamos analizar melhor a equa¸cão (1).

Introdu¸cão
Analisando a equa¸cão (1);
se σ(t, Xt) = 0, temos uma EDO;
se σ(t, Xt) = 0, temos uma equa¸cão cuja solu¸cão, existência e
unicidade não são facilmente definidas (Handel, 2007).
Para σ(t, Xt) = 0, temos;
se σ(t, Xt) = σ, constante - “ru´ıdo” aditivo.
se σ(t, Xt) é fun¸cão em Xt - “ru´ıdo” multiplicativo.
Com as condi¸cões acima, surgem as seguintes perguntas;
Como podemos enteder (1), quando σ(t, Xt) = 0 ?
Qual o seu significado ?
A solu¸cão Xt existe ?

Introdu¸cão
Vamos come¸car com um exemplo extra´ıdo de Oksendal (1992).
Exemplo - (Crescimento populacional com ru´ıdo.);
dXt
dt
= b(t)Xt, X0 = x0, t ≥ 0.,
em que b(t) = r(t) + “ru´ıdo”, com r(t) uma fun¸cão cont´ınua.
Densenvolvendo a equa¸cão acima, temos.
dXt
dt
= r(t)Xt + Xt · “ru´ıdo”. (2)
Podemos perceber que (2) é uma equa¸cão do tipo (1), com
a(t, Xt) = r(t)Xt e σ(t, Xt) = Xt.

Introdu¸cão
Integrando ambos os lados de (2), obtemos:
Xt = X0 +
t
0
r(t)Xsds + “
t
0
Xs · “ru´ıdo”ds”.
Para entender o “ru´ıdo”:
Aleatório;
Possui uma distribui¸cão;
Possui varia¸cão temporal;
Isso nos leva a modelar o “ru´ıdo”, como um Processo Estocástico.

1 Introdu¸c˜ao

Processos Estocásticos
Defini¸cão:
Um processo estocástico, unidimensional, é uma cole¸cão de variáveis
aleatórias parametrizadas em t ∈ I, {X(t, ω); t ∈ I}, definidas em
(Ω, F, P) assumindo valores em R, na forma:
X(t, ω) : I × Ω → R.
se I = N, temos um processo estocástico discreto {X(t, ω); t ∈ N};
se I ⊂ R, temos um processo estocástico cont´ınuo {X(t, ω); t ≥ 0};
Pela defini¸cão
se fixamos um ω, um ˆω, tal que {X(t, ˆω); t ∈ I}, temos uma trajetória, ou
“sample path”, cuja representa¸cão é da forma
t → X(t, ˆω), t ∈ I.

Exemplo.1 - (Lan¸camento de uma moeda);
Lan¸camos uma moeda honesta cinco vezes.
(C) cara, ando (+1), (K) coroa, ando (−1).
Estamos interassados em uma sequˆencia de resultados,
ˆω = {CKKCK}
Vamos veriﬁcar o comportamento de X(t, ˆω), para t ∈ I, tal que
I = {0, 1, 2, 3, 4, 5},

0 1 2 3 4 5
-1.0-0.50.00.51.0
t
Xt
{C}
{CK}
{CKK} {CKKCK}
{CKKC}
X(0, ˆω) = 0, X(1, ˆω) = 1, X(2, ˆω) = 0,
X(3, ˆω) = −1, X(4, ˆω) = 0, X(5, ˆω) = −1.

Exemplo.2 - (Lan¸camento de uma moeda II);
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-20-1001020
t
x
400 lan¸camentos;
X(t, ω1) e X(t, ω2);
Dicretizamos o intervalo de tempo [0, 1];

Filtra¸cão
Defini¸cão:
Sendo (Ω, F, P), um espa¸co de probabilidade, uma filtra¸cão {Ft}t≥0 é
uma fam´ılia crescente de sub-σ-álgebras de F, indexadas por t ≥ 0. Para
cada s, t ≥ 0 tal que 0 ≤ s < t, temos Fs ⊂ Ft, em que o estado inical é
F0 = {Ω, ∅}.
Dizemos que um certo processo estocástico é adptado à filtra¸cão Ft , se
para cada t ≥ 0, Xt é mensurável em Ft.

Martingal
Defini¸cão:
Seja (Ω, F, P) um espea¸co de probabilidade, e uma filtra¸cão Ft . O
processo estocástico {Xt}t≥0 é um martingal, se vale E[|Xt|] < ∞, para
todo t ≥ 0 é adptado a filtra¸cão Ft, para 0 ≤ s ≤ t temos
se “≥” temos um submartingal;
se “≤” temos um supermatingal;
0
ts
s
Xs
E( | )=sXt Xs

Processo de Markov
Um estocástico processo {Xt}t≥0 é um processo de Markov se dados
0 ≤ t1 < · · · < tN ,quaisquer, temos que
P(XtN = xN |XtN−1 = xN−1, . . . , Xt1 = x1) = P(XtN = xN |XtN−1 = xN−1),
com probabilidade de transi¸cão
p(x, s; t, y) = P(Xt = y|Xs = x),
e probabilidade conjunta de transi¸cão da forma
P(XtN = xN , . . . , Xt1 = x1) =
N
j=2
p(xj−1, tj−1; xj, tj).

1 Introdu¸c˜ao

Movimento Browniano
Modelo de movimento aleatório de part´ıculas.
Homenagem ao descobridor do movimento, Robert Brown, (1827).
Modelo matemático satsifatório - A.Einstein (1905).
Modelado como processo estocástico - N.Wiener (1930).
0.0 0.5 1.0 1.5
-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.4
x
y

Movimento Browniano
Pode ser entendido como limite de um “passeio aleatório”.
A probabilidade de transi¸cão do passeio discreto, pelo TLC, aproxima
para uma distribui¸cão normal.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1.0-0.50.00.5
t
x
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.6-0.4-0.20.00.2
t
x
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-1.5-1.0-0.50.0
t
x
Simula¸cão, com N = {50, 100, 1000}, para t ∈ [0, 1]

Movimento Browniano
Processo de Wiener
Defini¸cão:
Dado um espa¸co de probabilidade conveniente, o Processo de Wiener é um
processo estocástico, W(ω, t), com valores em R e t ∈ [0, ∞), satisfazendo
W(ω, 0) = 0;
Os caminhos, t → W(ω, t), são cont´ınuos;
W(ω, t), tem incrementos estacionários;
Para 0 ≤ s < t, W(ω, t) − W(ω, s) ∼ N(0, t − s).
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-50050
t
W(t)

Movimento Browniano
Seja a nota¸c˜ao Wt
.
= W(t, ω), 0 ≤ s < t instantes de tempo, temos
Momentos do Processo de Wiener
E[Wt] = 0;
V ar[Wt] = E[W2
t ] = t;
Cov[Ws, Wt] = E[WsWt];
E[WsWt] = min{s, t}.
Momentos dos incrementos, com instantes de tempo, 0 ≤ r < s < t < u.
E[(Wu − Wt)(Ws − Wr)] = 0;
E[|Wt − Ws|2] = |t − s|.

Movimento Browniano
Processo de Wiener e difus˜ao

Movimento Browniano
Propriedades do Processo de Wiener
O Processo de Wiener é um martingal;
O Processo de Wiener é um processo de Markov;
O Processo de Wiener não é diferenciável;
O Processo de Wiener não possui varia¸cão limitada;
O processo de Wiener possui varia¸cão quadrática
lim
n→∞
E
n−1
i=0
(Wti+1 − Wti )2
− T
2
= 0.
Do último item temos a seguinte rela¸cão,
(dWt)2
= dt.

Movimento Browniano
Ru´ıdo Branco e o Processo de Wiener
O termo “ru´ıdo” é modelado como um ru´ıdo branco.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-3-2-10123
t
x
O ru´ıdo branco cont´ınuo é dif´ıcil de definir, pois não é mensurável,
portanto não é integrável.(Handel, 2007)
Modelamos o ru´ıdo branco como
ξt“ = ”
dWt
dt
, dtξt = dWt

1 Introdu¸c˜ao

Cálculo Estocástico de It¯o
Voltamos a equa¸cão que apresentamos no in´ıcio.
dXt
dt
= a(t, Xt) + σ(t, Xt) · “ru´ıdo”.
dXt
dt
= a(t, Xt) + σ(t, Xt)ξt.
Discretizamos em 0 = t0 < t1 < · · · < tn = T obtendo
Xk+1 − Xk
∆tk
= a(tk, Xk) + σ(tk, Xk)ξk,
Xk+1 − Xk = a(tk, Xk)∆tk + σ(tk, Xk)ξk∆tk,
onde
Xj = Xtj , ξk = ξtk
, ∆tk = tk+1 − tk.

Aplicando ξk∆tk, ∆Vk = Vk+1 − Vk, Vk = Wk e ∆Wk = Wk+1 − Wk,
(Processo de Wiener). Revertendo a equa¸cão anterior até X0 temos
Xt = X0 +
k−1
j=0
a(tj, Xj)∆tj +
k−1
j=0
σ(tj, Xj)∆Wj,
em que ∆j → 0, nos dá
Xt = X0 +
t
0
a(s, Xs)ds + “
t
0
σ(s, Xs)dWs”.
Com σ(t, Xt) = f(t, ω), obtemos o termo
t
0
f(s, ω)dWs,
que é conhecido como a Integral estocástica de It¯o.

Integral Estocástica de It¯o
Defini¸cão
Seja {Xt}t≥0 um processo estocástico adaptado a filtra¸cão gerada por um
Processo de Wiener, tal que
t
0
E[X2
s ]ds < ∞.
Então a integral estocástica em Xt é definida como
I(Xt) =
t
0
XsdWs = lim
n→∞
n−1
i=0
Xti (Wti+1 − Wti ),
onde temos a convergência quadrática dos termos e ti pertencente à
parti¸cão τn.

Escolha dos limites da parti¸c˜ao altera o resultado da integral de It¯o.
Seja a integral de It¯o, utilizando f(t, ω) = Wt
I(f) =
t
0
WsdWs,
cuja a soma no limite esquerdo do intervalo [ti, ti+1], ´e da forma
I(f) = lim
n→∞
n−1
i=0
Wti (Wti+1 − Wti ) =
1
2
W2
T −
1
2
T.
e no limite direito temos
I(f) = lim
n→∞
n−1
i=0
Wti+1 (Wti+1 − Wti ) =
1
2
W2
T +
1
2
T.

Propriedades da Integral de It¯o
E
t
0 XsdWs = 0,
V ar
t
0 XsdWs =
t
0 E[X2
t ]dt,(Isometria de It¯o.)
t
0 (aXs + bYs)dWs = a
t
0 XsdWs + b
t
0 YsdWs, (Linearidade.)
t
0 XudWu =
s
0 XudWu +
t
s XudWu,
E
t
0 XudWu Fs =
s
0 XudWu, (Martingal.)
Processo de It¯o
Xt = X0 +
t
0
a(s, Xs)ds +
t
0
σ(s, Xs)dWs,
cuja a forma diferencial ´e
dXt = a(t, Xt)dt + σ(t, Xt)dWt.

F´ormula de It¯o
df(t, Xt) = ∂tf(t, Xt)dt + ∂xf(t, Xt)dXt +
1
2
∂2
xf(t, Xt)(dXt)2
,
em que
∂tf(t, x)
.
=
∂
∂t
f(t, x), ∂xf(t, x)
.
=
∂
∂x
f(t, x), ∂2
xf(t, x)
.
=
∂2
∂x
f(t, x),
E temos a tabela de It¯o.
dt dWt
dt 0 0
dWt 0 dt

Exemplo
Seja a seguinte integral
T
0
WsdWs,
escolhemos f(t, x) = x2
, Xt = Wt, tal que
∂tf(t, x) = 0, ∂xf(t, x) = 2x, ∂2
xf(t, x) = 2.
Aplicando a F´ormula de It¯o, em t ∈ [0, T], obtemos;
dW2
t = 0 +
1
2
.2 dt + 2WtdWt;
dW2
t = dt + 2WtdWt;
T
0
dW2
s =
t
0
ds + 2
T
0
WsdWs;
W2
T = T + 2
T
0
WsdWs,
T
0
WsdWs =
W2
t
2
−
T
2
;

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.50.00.51.01.5
t
WteXt
Wt
Int. Ito em Wt

Integral estoc´astica multidimensional
d ˜Xt = Atdt + Htd ˜Wt,
temos ˜f(t, x), tal que
˜f(t, x) = (f1(t, x), . . . , fp(t, x)), t ≥ 0 e x ∈ Rn
,
Para k = {1, . . . , p} e x = ˜Xt, temos
dfk(t, ˜Xt) = ∂tfk(t, ˜Xt)dt +
n
i=1
∂xi fk(t, ˜Xt)dXi +
1
2
n
i,j=1
∂2
xixj
fk(t, ˜Xt)dXidXj
onde
dWidWj = δijdt, dtdWi = dWidt = 0, dt2
= 0.
δij =
1, se i = j,
0, caso contr´ario.

1 Introdu¸c˜ao

Equa¸cões Diferencias Estocásticas
Resolu¸cão do Exemplo.1
dXt
dt
= r(t)Xt + Xt · “ru´ıdo”, X0 = x0, t ≥ 0.
Cuja forma correta de apresenta¸cão é
dXt = rXtdt + σXtdWt,
que escrevemos como
dXt
Xt
= rdt + σdWt.
t
0
dXs
Xs
=
t
0
rdt +
t
0
σdWt;
= rt + σ(Wt − W0),
= rt + σdWt.

Vamos utilizar a f´ormula de It¯o, com f(t, x) = ln x, em que
∂tf(t, x) = 0, ∂xf(t, x) =
1
x
, ∂2
xf(t, x) = −
1
x2
.
com x = Xt, obtemos
d ln Xt = 0 +
1
Xt
dXt −
1
2
1
X2
t
(dXt)2
.
Substituindo (dXt)2
= (rXtdt + σXtdWt)2
,
d ln Xt =
1
Xt
dXt −
1
2X2
t
(rXtdt + σXtdWt)2
,
=
1
Xt
dXt −
1
2X2
t
(r2
X2
t (dt)2
+ 2rXt(dtdWt) + σ2
X2
t (dWt)2
),
=
1
Xt
dXt −
1
2X2
t
(σ2
X2
t dt),
=
1
Xt
dXt −
σ2
2
dt.

t
0
d ln Xt =
t
0
1
Xs
dXs −
t
0
σ2
2
ds
t
0
1
Xs
dXs =
t
0
d ln Xs +
t
0
σ2
2
ds
= (ln Xt − ln X0) +
σ2
t
2
,
Substituindo na equa¸cão encontrada anteriormente temos
(ln Xt − ln X0) +
σ2
t
2
= rt + σWt,
ln
Xt
X0
= r −
σ2
2
t + σWt,
que nos dá a solu¸cão geral
Xt = X0 exp r −
σ2
2
t + σWt .
que é conhecido como Movimento Browniano geométrico.

O gráfico com a solu¸cão do problema.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
02468
t
Xt
Sol.Determinisc.
sigma1 = 0.05
sigma2 = 0.3
sigma3 = 0.8

Existência e Unicidade das EDE’s
Defini¸cão Sejam a(t, xt) e σ(t, xt), fun¸cões em, com
a : ([0, ∞) × Rn
) → Rn
, σ : ([0, ∞) × Rn
) → Rn×m
,
satisfazendo a condi¸cão global de Lispchitz ou seja, existe uma constante K < ∞, tal
que
||σ(t, x) − σ(t, y)||2
+ ||a(t, x) − a(t, y)||2
≤ K2
||x − y||2
.
Então existe uma solu¸cão.
Prova existência e unicidade, podem ser encontradas em, Oksendal (1992), Kloeden
(1995) e Handel (2007).

Diversidade de aplica¸cões das EDE’s
Análise Numérica em EDE’s, Kloeden (1995).
Teoria de Controle em EDE’s, Handel (2007).
Inferência e simula¸cão, Iacus (2008).
Sistemas dinâmicos estocásticos, Ruffino (2009).
Equa¸cões Diferenciais Parciais, Kloeden (1995).

Exemplo - A equa¸cão de Ornstein-Uhlenbeck-Vasicek.
O processo de Ornstein-Uhlenbeck-Vasicek visto é a solu¸cão geral para
dXt
dt
= (θ1 − θ2Xt) + θ3ξt, X0 = x0, t ≥ 0,
em que θ3 ∈ R+ e θ1, θ2 ∈ R, cuja forma diferencial é
dXt = (θ1 − θ2Xt)dt + θ3dWt.

Escolhemos a fun¸cão f(t, x) = xeθ2t, e encontramos sua forma diferencial
parcial em
∂tf(t, x) = θ2xeθ2t
, ∂xf(t, x) = eθ2t
, ∂2
xf(t, x) = 0.
Aplicando na Fórmula de It¯o,
df(t, x) = ∂tf(t, x) + ∂xf(t, x)dXt +
1
2
∂2
xf(t, x)(dXt)2
,
com x = Xt, obtemos
dXteθ2t
= θ2Xteθ2t
dt + eθ2t
dXt.
temos que dXt = (θ1 − θ2Xt)dt + θ3dWt, que substituindo na eququa¸cão
acima

dXteθ2t
= θ2Xteθ2t
dt + eθ2t
((θ1 − θ2Xt)dt + θ3dWt);
= θ2Xteθ2t
dt + θ1eθ2t
dt − θ2Xteθ2t
dt + θ3eθ2t
dWt;
= θ1eθ2t
dt + θ3eθ2t
dWt.
Integrando ambos os lados, obtemos
t
0
dXseθ2s
=
t
0
θ1eθ2s
ds +
t
0
θ3eθ2s
dWs;
Xteθ2t
− X0 =
θ1
θ2
eθ2s
t
0
+
t
0
θ3eθ2s
dWs;
Xteθ2t
= X0 +
θ1
θ2
eθ2t
−
θ1
θ2
+
t
0
θ3eθ2s
dWs;

o que nos d´a a solu¸c˜ao geral
Xt =
θ1
θ2
+ X0 −
θ1
θ2
e−θ2t
+ θ3
t
0
e−θ2(t−s)
dWs.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-20-1001020
t
Xt
X0=20
X0=10
X0=-15
θ1 = 0, θ2 = 5, θ3 = 3.5,

Exemplo - Massa-Mola com ru´ıdo.
Seja um oscilador harmônico, cujo termo for¸cante f(t), é um ru´ıdo
f(t) = “ru´ıdo”. Podemos subistituir o “ru´ıdo”, por um processo {ηt}t≥0,
tal que ηt é um ru´ıdo branco com média 0 e variância σ2 =
√
m, assim
temos
f(t) = ηt
m
d2Xt
dt
+ kXt = ηt,
d2Xt
dt
= −
k
m
Xt +
ηt
m
.

Substitu´ımos ηt/m = ξt, tal que {ξ}t≥0 é um ru´ıdo branco com média 0 e
variância σ2 = 1, e itroduzimos o vetor ˜Xt, tal que
˜Xt =
X1,t
X2,t
=
Xt
dXt
dt
,
dX1,t = X2,tdt;
dX2,t = − k
m X1,tdt + dtξt.
Podemos reescrever na forma matricial, em que subsititu´ımos dξt = dWt,
obtendo
d ˜Xt =
dX1,t
dX2,t
=
0 1
− k
m 0
A
X1,t
X2,t
dt +
0
1
B
dWt,

cuja forma matricial é
d ˜Xt = A ˜Xtdt + BdWt.
Vamos utilizar a Fórmula de It¯o multidimensional. Escolhemos uma
transforma¸cão f(t, x) → R2, com x ∈ R2 e t ≥ 0, conveniente tal que
f(t, x) = e−At
x, x ∈ R2
, t ≥ 0
para x = ˜Xt, temos
f(t, ˜Xt) = e−At X1,t
X2,t
,
sendo que e−At, pode ser reescrito como
e−At
= PeJt
P−1
,
1 1
k
m
i − k
m
i
, eJt
=

e
k
m
it
0
0 e− k
m
it

 , P−1
=


1
2
1
2 k
m
i
1
2
− 1
2 k
m
i

 .

o que nos dá, para α = k/m
e−At
=
cos(αt) −sin(αt)
α
α sin(αt) cos(αt)
,
assim temos a fun¸cão da forma
f(t, x) = e−At X1,t
X2,t
=
cos(αt)X1,t − sin(αt)
αt
X2,t
α sin(αt)X1,t + cos(αt)X2,t
=
f1(t, X1,t)
f2(t, X2,t)
Pela Fórmula de It¯o Multidimensional, temos
df1(t, X1,t) = (−α sin(αt)X1,t − cos(αt)X2,t)dt + cos(αt)dX1,t − sin(αt)
α
dX2,t;
df2(t, X2,t) = (α cos(αt)X1,t −
√
α sin(αt)X2,t)dt + α sin(αt)dX1,t + cos(αt)dX2,t,
que podemos representar da forma matricial
d(e−At
) =
−α sin(αt) − cos(αt)
α cos(αt) α sin(αt)
Ã
X1,t
X2,t
dt +
cos(αt) −sin(αt)
α
α sin(αt) cos(αt)
˜B
dX1,t
dX2,t
,

podemos perceber que Ã e ˜B, são da forma
Ã = −Ae−At
, ˜B = e−At
.
Portanto, temos que
d(e−At ˜Xt) = −Ae−At ˜Xt + e−At
d ˜Xt. (3)
Multiplicando e−At na expressão inicial, obtemos
e−At
d ˜Xt = e−At
A ˜Xtdt + e−At
BdWt
−e−At
A ˜Xtdt + e−At
d ˜Xt = e−At
BdWt,

d(e−At ˜Xt) = e−At
BdWt.
Integrando ambos os lados, obtemos
t
0
d(e−As ˜Xs) =
t
0
e−As
BdWs
e−At ˜Xt − ˜X0 =
t
0
e−As
BdWs,
que nos dá forma geral matricial
˜Xt = eAt ˜X0 +
t
0
eA(t−s)
BdWs.
Para ( ˜X0)T
= (X1,0, X2,0), um vetor com condi¸cões inicias, temos a seguinte solu¸cão
para a forma matricial,
X1,t = cos(αt)X1,0 − sin(αt)
α
X2,0 −
t
0
sin(α(t−s))
α
dWs;
X2,t = α sin(αt)X1,0 + cos(αt)X2,0 +
t
0
cos(α(t − s))dWs.

Logo, temos que a solu¸cão Xt = X1,t, para equa¸cão inicial é dada por
Xt = cos( k/mt)X1,0 −
sin( k/mt)
k/m
X2,0 −
t
0
sin( k/m(t − s))
k/m
dWs,
em que X1,0 é a posi¸cão inicial do objeto e X2,0 sua velocidade inicial.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.0020.0020.0060.010
t
XteSol

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
-0.010-0.0050.0000.0050.010
t
XteSol

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