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A seguir apresento um exemplo de documento que pode ser encaminhado ao aprofessor como resposta:           SECRETARIA ESTA...
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Fernando oliveira mateus projeto de aprendizagem final

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Fernando oliveira mateus projeto de aprendizagem final

  1. 1. Informática Educativa I :: Projeto de AprendizagemTítulo: Solucionando graficamente um sistema de equações de primeirograu, a partir da construção de gráficos traçados em objeto desenhadocom software de Geometria Dinâmica.Nome do Aluno: Fernando Oliveira Mateus1. Disciplina e anos envolvidos:Álgebra e Geometria da 9ª série do ensino fundamental e 1° ano do ensinomédio.2. Tema central :Estudo das funções solucionando questões que podem ser expressas em sistemasde equações de primeiro grau.3. Temas de apoio:Teorema de Tales e Desenho geométrico.4. Justificativa:Para um melhor entendimento da matemática é importante que o aluno perceba ainterrelação entre os conteúdos que lhes são apresentados e identifique aspossíveis aplicações das ferramentas que passa a conhecer.5. Objetivos gerais e específicos:Relacionar uma aplicação do Teorema de Tales com o desenho geométrico, naelaboração de um objeto pedagógico que permitirá uma solução de um possívelproblema do mundo real, que envolve o estudo de funções e soluções de sistemasde primeiro grau.O software Geogebra, apenas para citar um, seria um programa mais eficientepara a solução do problema que envolve a plotagem de gráficos de função afimcomo proposto. Entretanto, ao utilizarmos um software de Geometria Dinâmica,no caso o Régua e Compasso, apenas como uma ferramenta de desenho edesprezando a ferramenta "exibir grelhas", permite que sejam explorados outrosconceitos.Dessa forma, ampliamos o número de conteúdos matemáticos abordados, aomesmo tempo em que se promove um treinamento do aluno com esse tipo deaplicativo.Evidentemente, é recomendável que o aluno já tenha tido contato com osoftware.6. Enfoque pedagógico :A atividade representa uma abordagem construtivista sobre temas damatemática. 1
  2. 2. 7. Recursos tecnológicos:A tarefa envolve momentos em sala de aula e na sala de informática do colégio,dotada de computadores equipados com software de Geometria Dinâmica - Réguae Compasso, editor de texto e acesso à internet.8. Etapas e suas estratégias de realização:Etapa 1- ApresentaçãoReunidos na sala de aula, inicialmente, é apresentada aos alunos a tarefaproposta, identificando:- seus objetivos,- a razão do emprego de um software de geometria dinâmica para a solução doproblema, em lugar de outros mais eficientes para o caso,- a forma como seria realizada,- os elementos a serem utilizados,- a forma de apresentação dos resultados,- a forma de avaliação e- a divisão dos grupos de alunos que dividiriam o mesmo computador.Feita essa introdução, faz-se a apresentação da seguinte situação-problemahipotética:“ Um dispositivo aprovado em 2000 pela Assembleia Legislativa do estado de SãoMathias, estabeleceu que o tesouro da cidade que possuísse o maior número dehabitantes ao longo dos 50 anos seguintes, seria merecedora de um repasse nãoreembolsável, do equivalente a P$10.000,00 (dez mil patacas) por ano para cadahabitante dessa cidade. A ideia era incentivar os governantes locais apromoverem o crescimento populacional de suas cidades, já que essasapresentavam baixa densidade demográfica e, portanto, eram incapazes de atrairinvestimentos externos importantes para o desenvolvimento da região. Para severificar quais as cidades que seriam merecedoras desse benefício, o referidodispositivo legislativo fixou que a cada 5 anos seriam realizados censos para seaferir a população dos principais centros urbanos de São Mathias.Assim, passou a haver uma disputa entre Fernandópolis e Juliópolis para recebertais recursos, já que aquelas seriam as maiores cidades daquele estado.O primeiro censo realizado para essa medição, ainda no ano 2000, mostrou queJuliópolis saiu na frente, pois foram contados 40.012 habitantes, enquantoFernandópolis totalizou apenas 30.009. O segundo censo, realizado em 2005,revelou que a população de Juliópolis cresceu 5%, ao passo que em Fernadópolisforam encontrados 4002 moradores a mais que o indicado no censo anterior.Consequentemente, naquela ocasião constatou-se que Juliópolis continuaria areceber o incentivo financeiro, no mínimo por mais 5 anos.Considerando que as taxas de natalidade de cada cidade permaneçam constantesdesde o primeiro censo, determine se a tendência é de que Juliópolis continuerecebendo o benefício durante os 50 anos de vigência da regulamentação criada,ou haveria um momento em que Fernandópolis assumiria o posto de cidade maishabitada de São Mathias e, consequentemente, passaria a ser a cidadebeneficiada com a medida? Se for o caso, indique em que ano tal situaçãoocorreria e qual seria a população aproximada de Fernandópolis na ocasião?Utilize um gráfico cartesiano para obter essa solução construído em folha dequadriculada desenhada apenas com o software Régua e Compasso.” 2
  3. 3. É de se esperar que os alunos apresentem dificuldades na interpretação etradução simbólica dos dados fornecidos em linguagem natural, para sistemas deequações. Por essa razão, é aconselhável que seja discutido com toda a turma oselementos que lhes são apresentados no problema, identificando os dadosdisponibilizados e as estratégias que permitiriam a construção da solução.Aspectos relativos à suficiência no tratamento desses dados também merecem serressaltados nessa oportunidade, já que eles facilitariam a obtenção da solução. Além dessa abordagem, o professor também deve rever alguns conteúdos sobregráficos e sistemas de equações de primeiro grau, razão pela qual a lousa éindispensável para essa etapa.Etapa 2- Solução do problema proposto:Já na sala de informática, organizados em duplas ou trios previamente escolhidos(isso agilizaria o começo dos trabalhos), se inicia a tarefa a partir da elaboraçãode uma figura que venha facilitar a plotagem de um gráfico. Essa figura apresentalinhas de chamadas equidistantes, onde são apontadas as coordenadas dasfunções que representam o fenômeno observado, conforme a escala entendidaadequada para a solução do problema. O professor deve conduzir a discussãosobre a melhor subdivisão que a figura deve.Para a construção dessa figura, é disponibilizado pelo professor um arquivo emextensão zir (Figura 1), próprio do Régua e Compasso. Figura 1A partir desse arquivo, cada grupo de alunos desenha a região quadriculada ondeserão traçados os gráficos que representam a estória de São Mathias.Para tanto, os alunos deverão dividir o retângulo em quadrículas de tamanhosiguais, utilizando-se de segmentos auxiliares divididos em partes iguais, numaaplicação do Teorema de Tales. A divisão desses segmentos poderia serrealizada com qualquer das ferramentas do aplicativo, conforme a escolha de 3
  4. 4. cada grupo de alunos, que terão que ter como objetivo apresentar um gráfico comuma escala adequada.Nessa oportunidade, é recomendável que também se dedique um certo tempopara que os todos possam acessar os sítios da internet indicados na bibliografiade apoio desse documento, de modo que obtenham informações complementaresque os auxiliem na tarefa.Embora seja uma etapa em que o professor deverá ser demandado de formabastante intensa para solucionar dúvidas relativas à construção da figura, érecomendável que ele, na medida do possível permita que os grupos de alunosarrisquem e tentem por si só elaborar esse objeto. É importante se ressaltar quenessa etapa da tarefa, o professor também tem a oportunidade de chamar aatenção sobre as possíveis aplicações do Teorema de Tales, ao mesmo tempo emque promove uma maior familiaridade do aluno com o aplicativo de GeometriaDinâmica.Uma das soluções para a construção da figura onde será traçado o gráfico dasfunções que representam a evolução da população daquelas cidades, áapresentada na sequência das figuras 2 a 4, a seguir. Essa configuração consideraque a subdivisões em 10 partes, tanto para as ordenadas quanto para asabscissas seria adequada para a representação: Figura 2Processo utilizado na construção detalhada na figura 2:-Construção de semiretas transversais a dois dos lados do retângulo da figura 1;- Após marcação de pontos que definem segmentos nessas semiretas,com o emprego da ferramenta "Ponto Médio" sucessivas vezes, se definem 8segmentos congruentes em cada uma das semiretas;- para complementar os 10 segmentos congruentes, se utiliza da ferramenta"Círculo" duas vezes sucessivas. 4
  5. 5. Figura 3Numa aplicação do Teorema de Tales, se chega à subdivisão dos lados da figuraem 10 partes iguais, a partir dos segmentos congruentes das semirretasauxiliares. O processo detalhado na figura 3 segue os seguintes passos:- Uni-se os pontos extremos das semirretas auxiliares aos respectivos pontosextremos dos eixos da figura;- A partir dos demais pontos das semirretas auxiliares, traçam-se paralelas àsretas que unem esses pontos extremos.Em seguida, os alunos deverão indicar na figura os valores que representam cadaintervalo entre as quadrículas desenhadas, conforme a escala escolhida e,considerando os valores fornecidos no problema, traçar as curvas querepresentam a evolução das populações dessas duas cidades. Figura 4 5
  6. 6. Considerando que a escala escolhida para cada subdivisão dos eixo das ordenadasem 4.000 habitantes, não possibilita a definição mais precisa dos dadoscompreendidos entre o número de 38.000 e 42.000, faz-se a subdivisão desseintervalo em quatro partes, conforme a figura 5. Figura 5Nesse processo de subdivisão, utiliza-se sucessivas vezes a ferramenta "PontoMédio". Em seguida, traça-se segmentos paralelos aos eixos das abscissas apartir desses pontos médios que subdividem esse intervalo.Uma vez preparada a figura passa-se à etapa de desenho dos gráficos querepresentam as funções correspondentes à evolução da população de cada cidade.Inicialmente se processa a marcação dos pontos que representam as populaçõesdas cidades com os dados obtidos nos dois sensos, conforme a figura 6. Éimportante se observar que são considerados critérios de suficiência, pois para oque se pretende, a diferença de menos de 20 habitantes num universo que superaos 30.000 não influencia o resultado obtido e facilita à solução do problema.Portanto, o conceito de suficiência é mais um dos conteúdos que se pode explorarcom essa atividade. 6
  7. 7. Figura 6Marcados os pontos, traçam-se os gráficos e encontram-se as soluções para oproblema apresentado, conforme a figura 7. Figura 7Ao observar os gráficos traçados, os diversos grupos de alunos têm condiçõespara responder às perguntas formuladas e, dessa forma podem encaminhar umamensagem à caixa postal virtual disponibilizada pelo professor, apresentado assuas conclusões. 7
  8. 8. A seguir apresento um exemplo de documento que pode ser encaminhado ao aprofessor como resposta: SECRETARIA ESTADUAL DE EDUCAÇÃO COLÉGIO ESTADUAL ANDRÉ MAUROISATIVIDADE : SOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU COM OEMPREGO DE GRÁFICOS CONSTRUÍDOS COM SOFTWARES.PROFESSOR: Fernando DATA:ALUNO: JOÃO DA SILVA Nº 100 TURMA: 11111) PROBLEMA APRESENTADO:“ Um dispositivo aprovado em 2000 pela Assembleia Legislativa do estado de SãoMathias, estabeleceu que o tesouro da cidade que possuísse o maior número dehabitantes ao longo dos 50 anos seguintes, seria merecedora de um repasse nãoreembolsável, do equivalente a P$10.000,00 (dez mil patacas) por ano para cadahabitante dessa cidade. A ideia era incentivar os governantes locais apromoverem o crescimento populacional de suas cidades, já que essasapresentavam baixa densidade demográfica e, portanto, eram incapazes de atrairinvestimentos externos importantes para o desenvolvimento da região. Para severificar quais as cidades que seriam merecedoras desse benefício, o referidodispositivo legislativo fixou que a cada 5 anos seriam realizados censos para seaferir a população dos principais centros urbanos de São Mathias.Assim, passou a haver uma disputa entre Fernandópolis e Juliópolis para recebertais recursos, já que aquelas seriam as maiores cidades daquele estado.O primeiro censo realizado para essa medição, ainda no ano 2000, mostrou queJuliópolis saiu na frente, pois foram contados 40.012 habitantes, enquantoFernandópolis totalizou apenas 30.009. O segundo censo, realizado em 2005,revelou que a população de Juliópolis cresceu 5%, ao passo que em Fernadópolisforam encontrados 4002 moradores a mais que o indicado no censo anterior.Consequentemente, naquela ocasião constatou-se que Juliópolis continuaria areceber o incentivo financeiro, no mínimo por mais 5 anos.Considerando que as taxas de natalidade de cada cidade permaneçam constantesdesde o primeiro censo, determine se a tendência é de que Juliópolis continuerecebendo o benefício durante os 50 anos de vigência da regulamentação criada,ou haveria um momento em que Fernandópolis assumiria o posto de cidade maishabitada de São Mathias e, consequentemente, passaria a ser a cidadebeneficiada com a medida? Se for o caso, indique em que ano tal situaçãoocorreria e qual seria a população aproximada de Fernandópolis na ocasião?Utilize um gráfico cartesiano para obter essa solução construído em folha dequadriculada desenhada apenas com o software Régua e Compasso.”SOLUÇÃO: 8
  9. 9. A análise do gráfico permite afirmar que:a) Considerando-se a evolução das populações das cidades reveladas pelos dois sensosrealizados, estima-se que a partir do vigésimo quinto ano da criação do benefício, a cidade deFernandópolis passe a ter direito a recebê-lo, desde que as taxas de crescimentos dascidades permaneçam constantes.b) Na ocasião, a população de Fernandópolis deve atingir um número de aproximadamente50.000 habitantes.__________________________________________________________Etapa 3- Reflexão sobre a tarefa e resumo dos conteúdos trabalhados.Realizada a tarefa e já de volta à sala de aula tradicional, é conveniente que sefaça uma reflexão sobre o que foi realizado, de modo que seja possível: - Inculcar nos alunos que a matemática é algo desenvolvido para apresentarsoluções para o homem; - Sublinhar os conteúdos abordados, especialmente, o Teorema de Tales,Função afim, geometria, aspectos de suficiência, entre outros; - Discutir potenciais e limitações de elementos pedagógicos, em particular osoftware utilizado; - Alertar sobre o papel da internet como fonte de pesquisa não para se copiarsoluções prontas, mas como uma ferramenta para oferecer referências para aconstrução dessas soluções; - Dar oportunidade para que o aluno se manifeste criticamente em relação ao 9
  10. 10. que lhe foi apresentado, possibilitando que ele se sinta também um elementoimportante para a construção do conhecimento; - Fornecer subsídios ao professor para aprimorar sua dinâmica e realizar osajustes necessários para se eliminar eventuais falhas e possibilitem que seenfatize os aspectos que se revelem necessários para o seu emprego junto aoutras turmas.9. Definição de papéis:Os alunos podem realizar as tarefas em grupos de dois ou três, conforme adisponibilidade de computadores do colégio.Os próprios alunos é que desenvolvem as pesquisas que julguem necessárias eque operam os computadores.Evidentemente, é imprescindível a supervisão e o apoio do professor, de modoque não haja dispersão e a tarefa possa atingir os objetivos pedagógicosesperados.10. Sites e bibliografia de apoio:http://www.youtube.com/watch?v=OUB0DarSWdIhttp://www.brasilescola.com/matematica/solucao-um-sistema-equacoes-1-grau-com-duas-incognitas-.htmhttp://www.klickeducacao.com.br/materia/20/display/0,5912,POR-20-86-966-5855,00.htmlhttp://www.youtube.com/watch?v=YRMLfNnUzM8http://www.youtube.com/watch?feature=endscreen&NR=1&v=V9Pf8X5TF8411. Avaliação:A avaliação será pautada em três aspectos:a) Correta construção da região quadriculada com o uso do software Régua eCompasso;b) Definição de escala adequada e correção dos gráficos;c) Correção dos valores definidos como solução, demonstrando que foi entendidaa dinâmica da solução gráfica de um sistema de equações;12. Cronograma:Tomando-se como premissa a utilização de dias em que existam dois tempos deaulas consecutivos para as turmas envolvidas, a tarefa deve ser realizada em trêsblocos com as seguintes dinâmicas:Bloco 1-Em sala de aula tradicional é feita a apresentação do problema e eventuais revisõessobre os assuntos envolvidos na tarefa; 1 0
  11. 11. Bloco 2-Na sala de informática do colégio.Primeiro dia:Contextualização, consulta bibliográfica e início da construção da figura auxiliaronde será traçado o gráfico necessário à solução do problema proposto;Segundo dia:Conclusão da figura complementar, plotagem do gráfico e explicitação das soluções.Terceiro dia:Elaboração da folha de resposta e envio do arquivo à caixa postal virtual doprofessor.Bloco 3De volta à sala de aula tradicional, o professor fará a apresentação das avaliações,conduzirá a discussão de avaliação da tarefa e apresentará o resumo dos conceitosabordados com suas aplicações. 1 1

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