O documento apresenta um estudo sobre trigonometria, abordando os seguintes tópicos em três frases ou menos:
1) Elementos do triângulo retângulo e relações métricas;
2) Razões trigonométricas no triângulo retângulo;
3) Exercícios resolvidos sobre aplicações de relações trigonométricas e cálculo de medidas.
1. MSGLINE
Carlos Nadaline – 41-9153-5097
Trigonometria carlosnadaline@hotmail.com
Aplicativos em Multimídia
Matemática
Trigonometria
2. Carlos Nadaline 41--9153.5097
Matemática Estudo da trigonometria
Supervisor
Relações métricas no triângulo retângulo MSGLINE
Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Ângulo central
Comprimento de um arco
Circunferência orientada
Circunferência trigonométrica
Funções trigonométricas Anterior
Encerrar
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3. Matemática Carlos Nadaline 41--9153.5097
Estudo da Trigonometria
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
Encerrar
Anterior
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carlosnadaline@hotmail.com
4. Carlos Nadaline 41--9153.5097
Matemática Estudo da trigonometria
A
Elementos de um triângulo retângulo
c
B
h b
n
m
H
a C
A + B + C = 180º
Encerrar
A = 90º Anterior
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5. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Anterior
Elementos de um triângulo retângulo
Encerrar
BC hipotenusa A
(Oposto ao ângulo reto )
c h
b
H
n
m
B a
C
AC e AB são os catetos (opostos aos ângulos agudos)
AH é a altura relativa a hipotenusa Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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6. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Elementos de um triângulo retângulo A Encerrar
Anterior
c
B h b
n
m
a H C
BH e HC são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa
BC = a AB = c BH = n
AH = h AC = b HC = m
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7. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Relações métricas nos triângulos retângulos
9153.5097 A
c
B
h b
n a
H
m C
h2= mn c2= an
Anterior
b =am
2
ha = bc a2 =b2+c2 Encerrar
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8. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Exercícios resolvidos
9153.5097 A
Num triângulo retângulo os catetos c e b ,
medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
c=8
B
h b=6
n a
H
m C
a) hipotenusa
a2 = b2 + c2 Anterior
a2 = 36 + 64
a2 = 62 + 82 Encerrar
100
a = 10
a= Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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9. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Exercícios resolvidos
9153.5097 A
Num triângulo retângulo os catetos c e b ,
medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
c=8
B
h b=6
a = 10 cm
n
H
m C
b) A altura relativa a hipotenusa
ha = bc Anterior
h = 48
h = 4,8 cm Encerrar
h . 10 = 6 . 8 10
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10. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Exercícios resolvidos A
Num triângulo retângulo os catetos c e b ,
medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
c=8
B h = 4,8 cm
b=6
n
a = 10 cm
H
m C
c) Cálculo de m
c2 = an 64 Anterior
n= n = 6,4 cm
Encerrar
8 = 10 . n
2
10
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11. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Exercícios
9153.5097 A
Num triângulo
resolvidos retângulo os catetos c e b ,
medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
c = 8
B h = 4,8 cm
b = 6
m = 3,6 cm
a = 10 cm H
C
c) Cálculo de m
m + n = a Anterior
n = 6,4 cm Encerrar
Encerrar
m + 6,4 = 10
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12. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Exercícios
9153.5097 resolvidos A
Num triângulo retângulo os catetos c e b ,
medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
c=8
B h = 4,8 cm
b=6
n = 6,4 cm
m = 3,6 cm
a = 10 cm H
C
d) Cálculo do perímetro
p=a+b+c Anterior
p = 10 + 6 + 8 = 24 p = 24 cm Encerrar
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13. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Exercícios
9153.5097 resolvidos A
Num triângulo retângulo os catetos c e b , Encerrar
Anterior
medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
c=8
B h = 4,8 cm
b=6
n = 6,4 cm
m = 3,6 cm
a = 10 cm H
C
e) Cálculo da área
S= base . altura S=b.c S=6.8
2 2 2
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S = 24 cm2
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14. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Exercícios
1) Calcule a diagonal de um retângulo de lados iguais
a4me3m
2) As diagonais de um losango medem 24 m e 10 m.
Calcule a medida do lado desse losango.
3) Um triângulo retângulo e isósceles tem catetos
que medem 6 m. Calcule a medida da hipotenusa.
4) Calcule o perímetro de um retângulo, sabendo
que sua diagonal mede 18 cm e um dos lados mede
10cm. Anterior
Encerrar
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15. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Razões trigonométricas
9153.5097
no triângulo retângulo
Seno Cosseno Tangente
30º
1/2 3/2 3/3
45º 2 2
___ ___ 1
2 2
60º 1/2
Anterior
3/2 3 Encerrar
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16. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 Razões trigonométricas
C
b
Sen B =
a
a
b
c
Seno Sen C =
a
Anterior
Encerrar
A B
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17. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
C Razões trigonométricas
c
Cos B =
a
a
b
b
Cosseno Cos C =
a
Anterior
Encerrar
A B
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18. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 C Razões trigonométricas
b
Tg B =
c
a
b
c
Tg C =
Tangente b
Anterior
Encerrar
A B
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19. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Exercício resolvido
9153.5097
Encerrar Anterior
Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B
no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm
e b = 8 cm
C
a = 10
b=8
B
A c
c2 = 100 - 64
a2 = b2 + c2 102 = 82 + c2
cCarlos6 cm– 41-9153-5097
= Nadaline
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20. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 Encerrar
Exercício resolvido Anterior
Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B
no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm
e b = 8 cm
b
C Sen B =
a
a = 10 8
Sen B =
b=8 10
A
B Sen B = 4
c = 6 cm 5
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21. Encerrar
Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Exercício resolvido Anterior
Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B
no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm
e b = 8 cm
c
C Cos B =
a
a = 10
Cos B = 6
b=8 10
A
B Cos B = 3
c = 6 cm 5
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22. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Encerrar
Exercício resolvido
9153.5097
Anterior
Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B
no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm
e b = 8 cm
b
C Tg B =
c
a = 10 8
Tg B =
b=8 6
B 4
A Tg B =
c = 6 cm 3
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23. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097
Matemática do 2º grau
Arcos e ângulos
Anterior
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24. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Arcos e Ângulos Anterior
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•Arcos de circunferência
Arco de circunferência é cada uma das duas partes em que
uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.
A e B pontos quaisquer da circunferência , dividem em duas
Partes.
Arco de circunferência AB
O. . A=B
B A
o
Arco nulo
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25. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Encerrar
9153.5097
Anterior
Medida de um arco
Grau
1
Grau é o arco unitário equivalente a da
circunferência que o contém. 360
B
. . A
O
m(AB) = 1º
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26. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 Encerrar
Anterior
Medida de um arco
Radiano
Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao
Comprimento do raio da circunferência que o
Contém.
B A B
. . A
O
m(AB) = 1 rad
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27. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 Encerrar
Anterior
Medida de um arco
Em relação à circunferência, temos:
2Πr
A B
. . A= B
O r
m(AB) =2 Π rad
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28. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
360º corresponde a 2 Π rad
180º corresponde a Π rad
Anterior
Encerrar
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29. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Exemplo resolvido
Determine em radianos, a medida do arco 60º
180º Π
60º x
60º. Π
x=
180º
Π
Resposta x = Anterior
3
Encerrar
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30. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 Encerrar Anterior
Exemplo
Calcule, em graus, a medida do arco
3 Π
x=
4
Resolução
x = 3. 180º
4
Resposta x = 135º
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31. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 Encerrar Anterior
Arcos e Ângulos
Ângulo central
B α Ângulo central
α
O A
Ângulo central de uma circunferência
é o ângulo que tem o vértice no centro
dessa circunferência.
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32. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 Encerrar Anterior
Comprimento de um arco
Ângulo central
B
AB arco da circunferência
α
Determinado por dois pontos,
r Medido em radianos.
l
r
A Comprimento da AB ( l = comp. AB)
r: raio da circunferência
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33. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Comprimento de um arco Encerrar Anterior
B
Sendo α a medida em radianos
r
α α =
l
r
α
l
l= r
r
A
α
Considerando r=1
l= m(ab) = M( α)
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34. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Encerrar
Circunferência orientada Anterior
+
Sentido anti-horário
.
O
Sentido horário
-
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35. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Anterior Encerrar
Circunferência Orientada
Sentido anti-horário
m(AB) = 120º
+
m(BA)=240º
B 120º
.
A Sentido horário
. .
O
m(AB)=-240º
240º
m(BA)=-120
-
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36. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Circunferência orientada
Calcule o comprimento de uma pista circular de 30m de
raio que descreve um arco de meia volta ( Π rad).
Dado: Π = 3,14
Resolução:
αΠ = rad
l= α r
l = 94,20 m
l = 3,14 . 30 Anterior
Encerrar
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37. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 Encerrar Anterior
Circunferência orientada
Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um
de um relógio que marca 9h 25min.
Resolução: A
α. 30º + x
= 4
x é arco que o ponteiro menor descreveu x
quando o ponteiro maior se deslocou da
posição A para a posição B
α
B
Minutos Graus
60 30º Cada divisão = 30º
x = 12º 30´
25 x
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38. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
MSGLINE Encerrar Anterior
CIRCUNFERÊNCIA
TRIGONOMÉTRICA
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39. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 Anterior Encerrar
MSGLINE
y Circunferência trigonométrica
•Uma circunferência orientada de raio
unitário (r = 1)
r=1 x
A
•Um ponto A é a origem de medida de todos
os arcos nela contida
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40. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 Encerrar Anterior
y
Quadrantes 90º ou Π/ 2 rad
2º quadrante 1º quadrante
180º ou 0º ou 0 rad
Π rad o
A x
3º quadrante 4º quadrante 360º ou 2 Π rad
270º ou 3 Π / 2 rad
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41. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y
Orientação +
2º quadrante 1º quadrante
o
A x
3º quadrante 4º quadrante
Anterior
Encerrar
-
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42. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Aplicações resolvidas
y
Localizar na circunferência
trigonométrica os seguintes
valores.
Π/ 6 II/6 = 30º
180º / 6= 30º
o x
Anterior
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43. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Encerrar
MSGLINE
Arcos trigonométricos Anterior
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Arcos com mesma origem e mesma extremidades podem ser:
y
• Positivos, quando marcados no sentido
anti-horário; . F
• Negativos quando marcados no
sentido horário; x
• Maiores que 360º ou 2 Π rad quando O A
têm mais de uma volta;
Medida de AF m(AF) = 40º
Como AF > 360º ...-680º = -320º = 40º = 400º = 760º...
Medidas em graus esses arcos podem ser representados por:
X = x0 + 360º . K (K pertencente a Z)
x0 a 1º determinação positiva do arco trigonométrico 0 <= x 0< 360º e K número de voltas
44. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Anterior Encerrar
Arcos trigonométricos
MSGLINE
Arcos com mesma origem e mesma extremidades podem ser:
y
• Positivos, quando marcados no sentido
anti-horário; . F
• Negativos quando marcados no
sentido horário; x
• Maiores que 360º ou 2 Π rad quando O A
têm mais de uma volta;
Medida de AF m(AF) = 40º
Como AF > 360º ...-680º = -320º = 40º = 400º = 760º...
Medidas em radianos esses arcos podem ser representados por:
X = x0 + 2K Π (K pertencente a Z) Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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45. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
ARCOS CÔNGRUOS
Dois arcos são côngruos quando a diferença entre eles é um
múltiplo de 360º ou 2k Π rad
Exemplos:
30 º e 1110º são côngruos 1110º - 30º = 1080º = 3 . 360º
14 Π /3 e 2 Π / 3 são côngruos 14 Π / 3 - 2Π / 3 = 4 Π = 2.2 Π
Anterior
Encerrar
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46. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
te
en
ng
Co nte
Ta
sse ca
no sse
Co
Funções circulares
Cotangente nte
Sec a
Se
Anterior
no
Encerrar
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47. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
FUNÇÃO SENO
Anterior
Encerrar
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48. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
+
y
Ciclo trigonométrico
Plano cartesiano
Quadrantes
2º quadrante 1º quadrante
Sinais
- O +
x
3º quadrante 4º quadrante
Anterior Encerrar
-
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49. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Eixo das ordenadas
A FUNÇÃO SENO
Ciclo Trigonométrico
O
. . A- Origem dos arcos
Eixo das abscissas
Anterior
Encerrar
Sistema Cartesiano Ortogonal de origem O
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50. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Anterior Encerrar
Função Seno Eixo dos Senos
B
+1 M(a,b) b ordenada de M
b
x a abscissa do ponto M
x
A1 A
a
Variação O Eixo das abscissas
do seno M(a,b)
O
R
D
-1 E
N
A
B1 D
A
Raio=1
Seno de x
^ Sen x = Ob
O arco AM mede x, e o ângulo AOM mede x
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51. Matemática Estudo da trigonometria click
Carlos Nadaline
Estudo da função seno
9153.5097
y Ciclo trigonométrico e sistema cartesiano
+1 M
. .
. Seno do arco AM
+ A
O x
Sinal do seno no 1º quadrante
Variação do Seno no primeiro quadrante
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52. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Estudo da função seno
9153.5097
y AM =0
Seno 0º = 0
1ºQ A=M
.
x
Variação do Seno no primeiro quadrante
Anterior
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53. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y
AM =90º
M
. Seno 90º = 1
1º Q 1
+ Estudo da função seno
A
x
Variação do Seno no primeiro quadrante 0º a 90º
Anterior
O seno no primeiro quadrante é uma função crescente
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54. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y
AM =180º
. Seno 180º = 0
+ 2ºQ Estudo da função seno
M A
x
Variação do Seno no segundo quadrante 90º a 180º
Anterior
O seno no segundo quadrante é uma função decrescente
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55. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y
AM =270º
. Seno 270º = -1
Estudo da função seno
A
3ºQ x
-
M
Variação do Seno no terceiro quadrante 180º a 270º
Anterior
O seno no terceiro quadrante é uma função decrescente
Encerrar
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56. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y Estudo da função seno
. AM =360º
Seno 360º = 0
A
4ºQ - M x
Variação do Seno no quarto quadrante 270º a 360º
Anterior
O seno no quarto quadrante é uma função crescente
Encerrar
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57. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Estudo da função seno
9153.5097
y
0º 90º 180º 270º 360º
M
.
1
+ A
O x
Variação do Seno no primeiro quadrante 0º a 90º
Anterior
O seno no primeiro quadrante é uma função crescente
Encerrar
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58. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Estudo da função seno Seno 0º = 0
9153.5097
y
Seno 90º = 1
AM =180º Seno 180º = 0
.
1 + Sinal +
M + + A
O
x
Variação do Seno no 2º quadrante
Anterior
O seno no segundo quadrante é uma função decrescente
Encerrar
90º a 180º
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59. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Seno 0º = 0
9153.5097
Estudo da função seno y Seno 90º = 1
Seno 180º = 0
AM =270º
. Seno 270º = -1
+ 1 +
+ +
A
O
- x
-
M
Variação do Seno no 3º quadrante
Anterior
O seno no terceiro quadrante é uma função decrescente
Encerrar
180º a 270º
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60. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y Estudo da função seno
AM =360º
.
+ 1
+ + +
A
O M x
- - - Sinal -
-
Seno 0º = 0
Seno 90º = 1
Seno 180º = 0
Variação do Seno no 4º quadrante Seno 270º = -1
Seno 360º = 0
Anterior
O seno no quarto quadrante é uma função crescente
Encerrar
270º a 360º
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61. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y Estudo da função seno
AM =360º
.
+ 1
+ A
O M x
- -
Anterior
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senóide
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62. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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y Estudo da função seno carlosnadaline@hotmail.com
AM =360º
.
+ 1
+ A
O M x
- -
• O domínio da função sen x é o conjunto dos números reais D = R
• A imagem da função sen x é o intervalo
[ -1, +1] isto é –1 >= senx x >= 1
•A partir de 2 Π a função seno repete seus valores ( função periódica)
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63. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
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y Estudo da função seno Anterior
. O gráfico continua à direita de 2
e a esquerda de 0 (zero) Π
+ 1
+ A
Π 3 Π /2 2Π x
O M Π /2
- -
Quadrante I II III IV
Arco 0 Π /2 Π /2 Π Π 3 Π /2 3 Π /2 2 Π
Sinal + + - -
+1 +1 0 0
Variação 0 -1
Matemática 2º grau 0 -1
MSGLINE crescente decrescente decrescente crescente
64. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Função Seno Eixo dos Senos
B M
+1 b A partir de 2Π a função seno
repete seus valores, portanto
x é uma função periódica.
A1 A
a
Variação O A partir de um determinado
do seno
valor de x ( Π /2), cada vez
-1 que somamos 2 Π , a função
B1 seno assume sempre o mesmo
Valor (+1).
O período da função seno é
P = 2Π . Anterior
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65. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097 Encerrar Anterior
Função Seno Eixo dos Senos
B
+1 M
b
sen x = Ob
x
A1 A sen( x + 2 Π) = Ob
a
Variação O
do seno
sen(x + 4 Π ) = Ob
-1 sen(x +2k Π ) =Ob
B1
k pertencente a Z
sen x = sen( x + 2k Π )
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66. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Função Seno Eixo dos Senos
B A função seno é impar
+1 M
b
x
A1 A
a
Variação O
do seno sen(-x) -x
-1
sen x = - sen x
B1
Anterior
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67. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Função Cosseno
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68. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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carlosnadaline@hotmail.com Função cosseno
Raio=1 B M(a,b) b ordenada de M
b
x a abscissa do ponto M
x
A1 A M(a,b)
a
O Eixo das abscissas A
b
s
c
i
-1 B1 +1 s
s
Variação a
do cosseno
Eixo dos cossenos Cosseno x
^
O arco AM mede x, e o ângulo AOM mede x
Cosseno x = Oa
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69. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Estudo da função cosseno
9153.5097
y Ciclo trigonométrico e sistema cartesiano
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M
. .
. OM´ Cosseno do arco AM
+
A
O +1 M´
x
Sinal do cosseno no 1º quadrante click
Variação do cosseno no primeiro quadrante
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70. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y
AM =0
cos 0º = 1
Estudo da função cosseno
Raio = 1 A=M
.
O
x
Variação do cosseno no primeiro quadrante
Anterior Encerrar
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71. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
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y
AM =90º
M
. cos 90º = 0
1ºQ
Estudo da função cosseno
+
A
x
Variação do cosseno no primeiro quadrante 0º a 90º
O cosseno no primeiro quadrante é uma função decrescente
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72. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y
.
AM =180º
- 2ºQ Cos 180º = -1
M A
x
Estudo da função cosseno
Variação do cos no segundo quadrante 90º a 180º
Anterior
O cos no segundo quadrante é uma função decrescente
Encerrar
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73. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y
AM =270º
. cos 270º = 0
A Estudo da função cosseno
3ºQ x
-
M
Variação do cos no terceiro quadrante 180º a 270º
Anterior
O cos no terceiro quadrante é uma função crescente
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74. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y
AM =360º
. cos 360º = 1
A
Estudo da função cosseno
4ºQ M x
+
270º a 360º
Variação do cos no quarto quadrante
Anterior
O cos no quarto quadrante é uma função crescente
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75. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y
0º 90º 180º 270º 360º
M
.
1
+ A
O x
Estudo da função cosseno
Variação do cos no primeiro quadrante 0º a 90º
Anterior
O cos no primeiro quadrante é uma função crescente
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76. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Estudo da função cosseno
9153.5097
y
0º 90º 180º 270º 360º
M
.
+
- +
A
O x
-
Variação do cos no segundo quadrante 90º a 180º
Anterior
O cos no segundo quadrante é uma função crescente
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77. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
Matemática 2º grau
9153.5097
y Estudo da função cosseno
0º 90º 180º 270º 360º
M
.
- +
+
A
- O x
- -
Variação do cos no terceiro quadrante 180º a 270º
Anterior
O cos no terceiro quadrante é uma função crescente
Encerrar
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78. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y
0º 90º 180º 270º 360º
M
.
Estudo da função cosseno
+ +
-
+
- O A x
+ - -
Variação do cos no quarto quadrante 270º a 360º
O cos no quarto quadrante é uma função crescente
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79. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Estudo da função cosseno
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y carlosnadaline@hotmail.com
AM =360º
.
+ 1
+ A
O M x
- -
• O domínio da função cos x é o conjunto dos números reais D = R
• A imagem da função cos x é o intervalo
[ -1, +1] isto é –1 <= cos x <= 1
•A partir de 2 Π a função cosseno repete seus valores ( função periódica)
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80. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
y
0º 90º 180º 270º 360º
M
.
+ +
- + A
- O x
+ - -
Estudo da função cosseno
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Co-senóide
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81. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Estudo da função cosseno
O gráfico continua à direita de 2 Π
y e a esquerda de 0 (zero) Carlos Nadaline – 41-9153-5097
. carlosnadaline@hotmail.com
- 1
+ A
Π 3 Π /2 2Π x
O M Π /2
- +
Quadrante I II III IV
Arco 0 Π /2 Π /2 Π Π 3 Π /2 3 Π /2 2 Π
Encerrar
Sinal + - - +
Anterior
+1 0 +1
Matemática 2º grau Variação 0 -1 -1 0 0
MSGLINE decrescente decrescente crescente crescente
82. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Função cosseno Eixo dos cossenos
B M
b
cos x = Oa
x
A1 A
a
O
cos x = cos( x + 2k Π )
-1 B1 +1 k pertencente a Z
Variação
do cos
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83. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Eixo dos Cossenos
B A função cos é par
M
x
A1 A cos x
O
-x
cos x = cos(-x)
B1
-1 +1
Variação Carlos Nadaline – 41-9153-5097
do Cosseno carlosnadaline@hotmail.com
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84. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Função Tangente
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MSGLINE Matemática do 2º grau
85. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Função tangente
Eixo das tangentes
Definição
Definimos como tangente (do arco AM ou do
y tg
ângulo x) a medida algébrica do segmento AT
M
T
M´´
X
O M´ A
tg x = AT
x
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86. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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Função tangente
Eixo das tangentes
y tg tg x = AT
M
M´´
T ∆ OM´M é semelhante ao
∆ OAT
X
OM´ = M´M
O M´ A x OA AT
cos x = sen x
1 AT
sen x sen x
AT = tg x= cos x ≠ 0
cos x cos x
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87. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Função tangente
Valores notáveis da tangente:
x=0 x = 90º x = 180º x = 270º x = 360º
tg
.
M tg tg tg tg
. tg
A
. A A A
.
.
O A=M O M O O O M
M
tg 0 =0 tg 90º ∃ tg 180º =0 tg 270º ∃ tg 360º = 0
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88. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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Função tangente
Eixo das tangentes
Gráfico da função tangente
y tg 90º 180º 270º 360º
M 0
+
+
- +
X
O A
x
+ - -
-
tangentóide
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89. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Carlos Nadaline – 41-9153-5097
Variação da função tangente carlosnadaline@hotmail.com
Quadrante 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
Arco 0º a 90º 90º a 180º 180º a 270º 270º a 360º
Sinal +
Sinal + - -
∞ 0 + ∞ 0
Variação 0 - ∞ 0 - ∞
crescente crescente crescente crescente
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90. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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Domínio da função tangente
Π
Y = tg x D ={ x pertencente a R / x ≠ +kΠ }
2
K pertencente Z
Imagem da função tangente
y = tg x é o intervalo ] - ∞ ,+ ∞ [
- ∞ > tg x < + ∞
Período da função tangente Π)
tg x = ( x + k
Y = tg x é p = Π
k pertencente a Z
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91. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
A função y = tg x é impar
y tg
T1 tg x = - tg(-x)
x
o -x A x
T2 Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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92. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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Função Cotangente
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93. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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Função cotangente
y
B C
M´´ M cotg
x
O M´ A x
Definição
Cotangente do arco AM
ou do ângulo x é a medida
algébrica do segmento BC
e indicamos:
cotg x = BC
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94. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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Função cotangente
y
B C
M´´ M cotg
Os triângulos OM´M e OBC
x
OM´ = MM´
O M´ A x
BC OB
cos x
OM´´ = M´M Cotg = sen x
OM´ = OM´´ cos x sen x
= cos x
BC 1 BC = sen x ≠ 0
BC OB
sen x
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95. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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Função cotangente
Eixo das cotangentes Gráfico da função cotangente
y tg 90º 180º 270º 360º
M 0
+ +
- +
X
O A
x
+ -
- -
cotangentóide
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96. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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Variação da função cotangente
Quadrante 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q
Arco 0º a 90º 90º a 180º 180º a 270º 270º a 360º
Sinal +
Sinal + - -
Variação
∞ 0 + ∞ 0
- 0 ∞
0 ∞ -
decrescente decrescente decrescente decrescente
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97. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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Domínio da função cotangente
Y = cotg x D ={ x pertencente a R / x ≠ k Π }
K pertencente Z
Imagem da função cotangente
y = tg x é o intervalo ] - ∞ ,+ ∞ [
- ∞ > cotg x < + ∞
Período da função cotangente cotg x = ( x + k Π )
Y = cotg x é p = Π
k pertencente a Z
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98. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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A função y = cotg x é impar
cotg x = - cotg(-x)
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99. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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Valores notáveis da função cotangente
x cotg x
0º ∃
90º 0
180º ∃
270º 0
360º ∃
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100. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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Estudo da trigonometria
Função: Secante e
Cossecante
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101. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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sen x
A reta tangente à circunferência
D no ponto M, intercepta o eixo
das abscissas no ponto S e o
eixo das ordenadas no ponto D.
M´´
.M
sec x = OS cossec x = OD
x S
1
O M´ A cos x OS = = sec x
COSX
OD =
1 = cossecx
sen x
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102. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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Domínio da função secante
Π
y = sec x D ={ x pertencente a R / x ≠ +kΠ }
2
K pertencente Z
Imagem da função secante
y = sec x é o intervalo sec x<= -1 ou sec x >= 1
Domínio da função cossecante
y = cossec x
X ≠ k Π , k pertencete a Z
Imagem da função cossecante
cossec x <= -1 ou cossec x>= 1
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103. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline
9153.5097
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MSGLINE INFORMÁTICA LTDA
FIM
Se querer é poder, querer é vencer.
Rui Barbosa
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