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                                  Carlos Nadaline – 41-9153-5097
Trigonometria                     carlosnadaline@hotmail.com




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 Matemática
                             Trigonometria
Carlos Nadaline 41--9153.5097
Matemática              Estudo da trigonometria

  Supervisor
    Relações métricas no triângulo retângulo                      MSGLINE

    Razões trigonométricas no triângulo retângulo

    Ângulo central

    Comprimento de um arco
    Circunferência orientada

    Circunferência trigonométrica

     Funções trigonométricas                                      Anterior

                                                                   Encerrar

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 Relações Métricas no Triângulo Retângulo




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Matemática             Estudo da trigonometria
                                                        A
  Elementos de um triângulo retângulo
                   c

  B
                                                 h                 b
                         n

                                                            m
                                                 H
                             a                                         C

                       A + B + C = 180º
                                                                Encerrar

                          A = 90º                                Anterior

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                                                 carlosnadaline@hotmail.com
Matemática     Estudo da trigonometria           Carlos Nadaline

9153.5097
                                                             Anterior
       Elementos de um triângulo retângulo
                                                              Encerrar
      BC     hipotenusa                                  A
     (Oposto ao ângulo reto )

                             c              h
                                                                      b

                                            H
                            n
                                                                m
            B                    a
                                                  C
 AC e AB são os catetos (opostos aos ângulos agudos)
      AH é a altura relativa a hipotenusa   Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                            carlosnadaline@hotmail.com
Matemática        Estudo da trigonometria               Carlos Nadaline

9153.5097

       Elementos de um triângulo retângulo                A         Encerrar

                                                                     Anterior
                         c

   B                                               h                b

                             n

                                                          m
                                 a                 H                    C
       BH e HC são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa

      BC = a         AB = c          BH = n

      AH = h         AC = b          HC = m
                                                   Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                   carlosnadaline@hotmail.com
Matemática        Estudo da trigonometria            Carlos Nadaline

Relações métricas nos triângulos retângulos
9153.5097                                             A

                            c


  B
                                              h                b

                        n        a
                                              H
                                                       m            C

      h2= mn     c2= an
                                                             Anterior

      b =am
       2
                 ha = bc         a2 =b2+c2                   Encerrar

                                              Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                              carlosnadaline@hotmail.com
Matemática          Estudo da trigonometria                Carlos Nadaline

    Exercícios resolvidos
9153.5097                                                   A
 Num triângulo retângulo os catetos c e b ,
 medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
                         c=8

  B
                                                    h                b=6


                           n     a
                                                    H
                                                             m           C
   a) hipotenusa

  a2 = b2 + c2                                                     Anterior
                      a2 = 36 + 64
  a2 = 62 + 82                                                     Encerrar
                                              100
                                                    a = 10
                                      a=            Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                    carlosnadaline@hotmail.com
Matemática           Estudo da trigonometria            Carlos Nadaline

   Exercícios resolvidos
9153.5097                                                  A
Num triângulo retângulo os catetos c e b ,
medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
                           c=8

   B
                                                  h                 b=6
                                  a = 10 cm
                             n
                                                  H
                                                            m           C
     b) A altura relativa a hipotenusa

    ha = bc                                                       Anterior
                           h = 48
                                             h = 4,8 cm           Encerrar
       h . 10 = 6 . 8          10
                                                   Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                   carlosnadaline@hotmail.com
Matemática           Estudo da trigonometria                      Carlos Nadaline

9153.5097
    Exercícios resolvidos                                            A
   Num triângulo retângulo os catetos c e b ,
   medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
                              c=8

   B                                               h = 4,8 cm
                                                                              b=6

                       n
                                       a = 10 cm

                                                             H
                                                                      m           C
     c) Cálculo de m

     c2 = an                        64                                      Anterior
                              n=                n = 6,4 cm
                                                                            Encerrar
       8 = 10 . n
            2
                                    10
                                                             Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                             carlosnadaline@hotmail.com
Matemática    Estudo da trigonometria           Carlos Nadaline

Exercícios
9153.5097                                         A
Num triângulo
resolvidos retângulo os catetos c e b ,
medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
                  c = 8

  B                               h = 4,8 cm
                                                           b = 6



                                                m = 3,6 cm
                           a = 10 cm      H
                                                               C
  c) Cálculo de m

   m + n = a                                             Anterior
                          n = 6,4 cm                    Encerrar

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      m + 6,4 = 10
                                          Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                          carlosnadaline@hotmail.com
Matemática             Estudo da trigonometria           Carlos Nadaline

    Exercícios
9153.5097        resolvidos                                A
  Num triângulo retângulo os catetos c e b ,
  medem 8 cm e 6 cm. Calcule:
                   c=8

  B                                        h = 4,8 cm
                                                                    b=6
                 n = 6,4 cm

                                                          m = 3,6 cm
                                   a = 10 cm       H
                                                                        C
    d) Cálculo do perímetro

   p=a+b+c                                                        Anterior


      p = 10 + 6 + 8 = 24                   p = 24 cm             Encerrar

                                                   Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                   carlosnadaline@hotmail.com
Matemática            Estudo da trigonometria                        Carlos Nadaline

   Exercícios
9153.5097       resolvidos                                             A
  Num triângulo retângulo os catetos c e b ,                                  Encerrar
                                                                               Anterior
  medem 8 cm e 6 cm. Calcule:

                      c=8
  B                                              h = 4,8 cm
                                                                                b=6
                 n = 6,4 cm

                                                                      m = 3,6 cm
                                     a = 10 cm                  H
                                                                                    C
    e) Cálculo da área

   S= base . altura                 S=b.c                      S=6.8
         2                             2                         2
                              Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                                     S = 24 cm2
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Matemática           Estudo da trigonometria               Carlos Nadaline

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     Exercícios
            1) Calcule a diagonal de um retângulo de lados iguais
               a4me3m

            2) As diagonais de um losango medem 24 m e 10 m.
            Calcule a medida do lado desse losango.
            3) Um triângulo retângulo e isósceles tem catetos
             que medem 6 m. Calcule a medida da hipotenusa.


            4) Calcule o perímetro de um retângulo, sabendo
             que sua diagonal mede 18 cm e um dos lados mede
             10cm.                                                   Anterior

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            Razões trigonométricas
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            no triângulo retângulo
                Seno      Cosseno Tangente

      30º
                  1/2        3/2            3/3
      45º          2          2
                  ___        ___            1
                   2          2

      60º                    1/2
                                                                 Anterior
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            C


                                               b
                                    Sen B =
                                               a

                              a
            b
                                                           c
                 Seno                       Sen C =
                                                          a


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                                               c
                                    Cos B =
                                               a

                              a
            b
                                                           b
                 Cosseno                    Cos C =
                                                          a


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                                                b
                                     Tg B =
                                                c

                               a
            b
                                                            c
                                              Tg C =
                Tangente                                    b


                                                                Anterior

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     Exercício resolvido
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    Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B
    no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm
    e b = 8 cm

                  C

                                 a = 10
            b=8

                                                 B
                  A          c
                                                 c2 = 100 - 64
             a2 = b2 + c2     102 = 82 + c2
                                                     cCarlos6 cm– 41-9153-5097
                                                       = Nadaline
                                                      carlosnadaline@hotmail.com
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    Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B
    no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm
    e b = 8 cm
                                                               b
                  C                             Sen B =
                                                               a
                              a = 10                             8
                                                    Sen B =
            b=8                                                  10

                  A
                                                B    Sen B = 4
                         c = 6 cm                                      5

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    Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B
    no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm
    e b = 8 cm
                                                               c
                  C                             Cos B =
                                                               a
                              a = 10
                                                    Cos B = 6
            b=8                                                    10

                  A
                                                B    Cos B = 3
                         c = 6 cm                                       5

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     Exercício resolvido
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    Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B
    no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm
    e b = 8 cm
                                                               b
                  C                             Tg B =
                                                               c

                              a = 10                             8
                                                    Tg B =
            b=8                                                  6

                                                B                      4
                  A                                  Tg B =
                         c = 6 cm                                      3

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                                       Matemática do 2º grau




Arcos e ângulos

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        Arcos e Ângulos                                                    Anterior
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                                     •Arcos de circunferência

              Arco de circunferência é cada uma das duas partes em que
              uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos.


              A e B pontos quaisquer da circunferência , dividem em duas
              Partes.
                                             Arco de circunferência AB


                        O.       .   A=B
                                             B                                      A
                                                          o

            Arco nulo
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                                                   carlosnadaline@hotmail.com
Matemática            Estudo da trigonometria                 Carlos Nadaline
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                         Medida de um arco

        Grau
                                                    1
            Grau é o arco unitário equivalente a              da
            circunferência que o contém.           360



                                               B
                                   .         . A
                               O
                                                        m(AB) = 1º
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                   Medida de um arco

        Radiano
            Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao
            Comprimento do raio da circunferência que o
            Contém.
                                          B          A             B


                                  .         . A
                              O
                                                     m(AB) = 1 rad
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                Medida de um arco
       Em relação à circunferência, temos:

                          2Πr

     A                                                             B




                              .        . A= B
                          O       r
                                                m(AB) =2 Π rad
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            360º corresponde a 2 Π rad

                  180º corresponde a Π rad



                                                            Anterior

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                            Exemplo resolvido
                 Determine em radianos, a medida do arco 60º



                   180º               Π
                    60º                x

                                     60º. Π
                            x=
                                      180º

                                 Π
                Resposta x =                                  Anterior
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             Exemplo

            Calcule, em graus, a medida do arco
                         3 Π
                    x=
                           4
                    Resolução


                     x = 3. 180º
                            4

                Resposta x = 135º


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            Arcos e Ângulos

             Ângulo central
                                     B      α    Ângulo central


                               α
                       O                  A




                              Ângulo central de uma circunferência
                              é o ângulo que tem o vértice no centro
                              dessa circunferência.
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            Comprimento de um arco

                                   Ângulo central
                     B
                                        AB    arco da circunferência

                             α
                                        Determinado por dois pontos,
                 r                      Medido em radianos.
                                   l

                         r
                              A        Comprimento da AB ( l = comp. AB)

                                       r: raio da circunferência
                                                         Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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            Comprimento de um arco                            Encerrar       Anterior




                     B
                                   Sendo    α        a medida em radianos




                 r
                             α α                 =
                                                        l

                                                        r

                                                 α
                                   l
                                            l=    r
                         r
                              A


                                            α
                                       Considerando r=1

                                       l=                   m(ab) = M(        α)
                                                            Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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            Circunferência orientada                 Anterior




                                 +
                                        Sentido anti-horário


                       .
                   O

                                            Sentido horário
                                   -

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       Circunferência Orientada
                                        Sentido anti-horário
                                        m(AB) = 120º

                              +
                                            m(BA)=240º
                B            120º
                   .
                                        A    Sentido horário
                       .            .
                       O
                                              m(AB)=-240º
            240º
                                               m(BA)=-120
                                  -
                                                               Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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            Circunferência orientada
            Calcule o comprimento de uma pista circular de 30m de
            raio que descreve um arco de meia volta ( Π rad).
             Dado:      Π = 3,14

              Resolução:
              αΠ    =        rad

               l=   α    r
                                         l = 94,20 m

               l = 3,14 . 30                                       Anterior

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            Circunferência orientada
            Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um
            de um relógio que marca 9h 25min.

              Resolução:                                      A

             α. 30º + x
             = 4
            x é arco que o ponteiro menor descreveu   x
            quando o ponteiro maior se deslocou da
            posição A para a posição B
                                                          α
                                                                       B
             Minutos      Graus
              60           30º                   Cada divisão = 30º
                                x = 12º 30´
              25            x
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                               CIRCUNFERÊNCIA
                               TRIGONOMÉTRICA




                                            Carlos Nadaline – 41-9153-5097
Matemática         Estudo da trigonometria                  Carlos Nadaline

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                y   Circunferência trigonométrica
                               •Uma circunferência orientada de raio
                                unitário (r = 1)
                r=1        x
                       A
                               •Um ponto A é a origem de medida de todos
                                os arcos nela contida




                                                       Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                       carlosnadaline@hotmail.com
Matemática         Estudo da trigonometria                          Carlos Nadaline

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                                            y
    Quadrantes                                  90º ou Π/ 2 rad



                        2º quadrante            1º quadrante

            180º ou                                                0º ou 0 rad
            Π rad                       o
                                                                    A          x
                         3º quadrante           4º quadrante       360º ou 2     Π       rad




                                        270º ou 3 Π / 2 rad
                                                               Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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                                          y
       Orientação                                            +


                      2º quadrante            1º quadrante


                                      o
                                                                       A                   x
                       3º quadrante           4º quadrante



                                                                                Anterior

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      Aplicações resolvidas
                                        y
Localizar na circunferência
trigonométrica os seguintes
valores.


     Π/ 6                                          II/6 = 30º

   180º / 6= 30º
                                       o                                     x



                                                                  Anterior

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      Arcos trigonométricos                                                           Anterior
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      Arcos com mesma origem e mesma extremidades podem ser:
                                                       y
     • Positivos, quando marcados no sentido
       anti-horário;                                                                   .   F

     • Negativos quando marcados no
        sentido horário;                                                                          x
     • Maiores que 360º ou 2 Π rad quando                                O                     A
        têm mais de uma volta;
      Medida de AF m(AF) = 40º
     Como AF > 360º ...-680º = -320º = 40º = 400º = 760º...
      Medidas em graus esses arcos podem ser representados por:
      X = x0 + 360º . K  (K pertencente a Z)
       x0 a 1º determinação positiva do arco trigonométrico 0 <= x 0< 360º e K número de voltas
Matemática          Estudo da trigonometria                   Carlos Nadaline

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      Arcos trigonométricos
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      Arcos com mesma origem e mesma extremidades podem ser:
                                                       y
     • Positivos, quando marcados no sentido
       anti-horário;                                                       .   F

     • Negativos quando marcados no
        sentido horário;                                                              x
     • Maiores que 360º ou 2 Π rad quando                    O                      A
        têm mais de uma volta;

      Medida de AF m(AF) = 40º
                 Como AF > 360º ...-680º = -320º = 40º = 400º = 760º...
        Medidas em radianos esses arcos podem ser representados por:
             X = x0 + 2K Π    (K pertencente a Z) Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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    ARCOS CÔNGRUOS

       Dois arcos são côngruos quando a diferença entre eles é um
       múltiplo de 360º ou 2k Π rad

  Exemplos:
  30 º e 1110º são côngruos          1110º - 30º = 1080º = 3 . 360º

  14   Π    /3   e 2 Π / 3 são côngruos 14 Π / 3   - 2Π / 3 = 4   Π      = 2.2       Π



                                                                          Anterior

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                                      te
                                    en
                                  ng
                 Co                                       nte



                               Ta
                    sse                                 ca
                        no                        sse
                                               Co


               Funções circulares
                 Cotangente                                          nte
                                                                Sec a
                                            Se


                                                                                    Anterior
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                FUNÇÃO SENO


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                            +
                              y
                                                   Ciclo trigonométrico
                                                   Plano cartesiano
                                                   Quadrantes
                2º quadrante 1º quadrante
                                                   Sinais
            -             O                              +
                                                    x
                3º quadrante 4º quadrante

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   MSGLINE                 Matemática do 2º grau    carlosnadaline@hotmail.com
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                                   Eixo das ordenadas
        A FUNÇÃO SENO


                                   Ciclo Trigonométrico
                 O
                     .         .          A- Origem dos arcos


                                              Eixo das abscissas




                                                                          Anterior

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       Sistema Cartesiano Ortogonal de origem O
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Matemática              Estudo da trigonometria                             Carlos Nadaline

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       Função Seno                       Eixo dos Senos
                          B
       +1                            M(a,b)                   b ordenada de M
                           b
                                              x               a abscissa do ponto M
                                 x
            A1                                    A
                                     a
   Variação               O                       Eixo das abscissas
   do seno                                                                  M(a,b)
                                                                                O
                                                                                R
                                                                                D
        -1                                                                      E
                                                                                N
                                                                                A

                          B1                                                    D
                                                                                A



                                  Raio=1
                                                                          Seno de x
                                                      ^                  Sen x = Ob
                 O arco AM mede x, e o ângulo AOM mede x

                                                                       Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                                       carlosnadaline@hotmail.com
Matemática   Estudo da trigonometria                                        click
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   Estudo da função seno
9153.5097

                        y            Ciclo trigonométrico e sistema cartesiano

     +1                              M
                    .            .
                                 .                        Seno do arco AM

                             +           A
                O                            x




                        Sinal do seno no 1º quadrante
                                 Variação do Seno no primeiro quadrante

                                                          Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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Matemática        Estudo da trigonometria                  Carlos Nadaline

Estudo da função seno
9153.5097

                        y                   AM =0
                                             Seno 0º = 0

                            1ºQ       A=M
                                  .
                                       x




              Variação do Seno no primeiro quadrante
                                                                   Anterior

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                                                    Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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9153.5097
                         y
                                                             AM =90º
                 M
                     .                                         Seno 90º = 1
                             1º Q                 1
                               +                             Estudo da função seno
                                                 A

                                                         x




    Variação do Seno no primeiro quadrante                             0º a 90º
                                                                                   Anterior
  O seno no primeiro quadrante é uma função crescente
                                                                                   Encerrar

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Matemática           Estudo da trigonometria                           Carlos Nadaline

9153.5097
                            y
                                                         AM =180º
                        .                                  Seno 180º = 0
                + 2ºQ                                Estudo da função seno
        M                                   A

                                                     x




    Variação do Seno no segundo quadrante                          90º a 180º
                                                                                 Anterior
  O seno no segundo quadrante é uma função decrescente
                                                                                 Encerrar

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Matemática          Estudo da trigonometria                       Carlos Nadaline

9153.5097
                           y
                                                       AM =270º
                       .                                 Seno 270º = -1
                                                  Estudo da função seno
                                       A

                 3ºQ                          x
                   -

                     M
   Variação do Seno no terceiro quadrante                     180º a 270º
                                                                            Anterior
  O seno no terceiro quadrante é uma função decrescente
                                                                            Encerrar

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Matemática      Estudo da trigonometria        Carlos Nadaline

9153.5097
                    y              Estudo da função seno

                    .                                   AM =360º

                                                       Seno 360º = 0
                                          A
                        4ºQ   -        M         x



   Variação do Seno no quarto quadrante                    270º a 360º
                                                                        Anterior
  O seno no quarto quadrante é uma função crescente
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Matemática                Estudo da trigonometria                               Carlos Nadaline

   Estudo   da função seno
9153.5097
                                 y
                                     0º                  90º       180º           270º              360º
                    M
                             .
                        1
                                          +              A
                    O                                                                                 x




   Variação do Seno no primeiro quadrante                                  0º a 90º
                                                                                         Anterior
  O seno no primeiro quadrante é uma função crescente
                                                                                         Encerrar

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      MSGLINE                                 Matemática 2º grau          carlosnadaline@hotmail.com
Matemática                Estudo da trigonometria                            Carlos Nadaline

Estudo      da função seno                             Seno 0º = 0
9153.5097
                                 y
                                                       Seno 90º = 1
     AM =180º                                          Seno 180º = 0
                             .
                        1                              +         Sinal +
       M            +                +           A
                        O
                                                                                                  x




   Variação do Seno no 2º quadrante

                                                                                      Anterior
  O seno no segundo quadrante é uma função decrescente
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                    90º a 180º
                                                                       Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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Matemática               Estudo da trigonometria                          Carlos Nadaline

                                                    Seno 0º = 0
9153.5097
Estudo da função seno           y                   Seno 90º = 1
                                                    Seno 180º = 0
AM =270º
                            .                       Seno 270º = -1


                 +      1                             +
                            +           +
                                    A
                       O
                                                                     -                          x
             -

                 M
   Variação do Seno no 3º quadrante

                                                                                    Anterior
O seno no terceiro quadrante é uma função decrescente
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                     180º a 270º
                                                                     Carlos Nadaline – 41-9153-5097
            MSGLINE                     Matemática 2º grau           carlosnadaline@hotmail.com
Matemática                Estudo da trigonometria                             Carlos Nadaline

9153.5097
                    y    Estudo da função seno
   AM =360º
                             .

                +        1
                             +         +               +
                                   A
                        O         M                                                                 x
            -        -                                                   -          Sinal -
                                                                                      -
                                                        Seno 0º = 0
                                                        Seno 90º = 1
                                                        Seno 180º = 0
    Variação do Seno no 4º quadrante                    Seno 270º = -1
                                                        Seno 360º = 0

                                                                                        Anterior
O seno no quarto quadrante é uma função crescente
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                    270º a 360º
                                                                         Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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                    y            Estudo da função seno
   AM =360º
                             .
                +       1
                            +      A
                        O          M                                                       x
            -       -




                                                                               Anterior

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                                 senóide
                                                                Carlos Nadaline – 41-9153-5097
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                                                              Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                      y           Estudo da função seno       carlosnadaline@hotmail.com
   AM =360º
                              .

                 +        1
                              +     A
                          O        M                                                     x
             -        -


• O domínio da função sen x é o conjunto dos números reais D = R

• A imagem da função sen x é o intervalo
  [ -1, +1] isto é –1 >= senx x >= 1
•A partir de 2 Π a função seno repete seus valores ( função periódica)

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Carlos Nadaline – 41-9153-5097
9153.5097
carlosnadaline@hotmail.com
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                      y              Estudo da função seno                            Anterior
                                 .                                   O gráfico continua à direita de 2
                                                                     e a esquerda de 0 (zero) Π

                  +         1
                                 +       A
                                                                         Π   3 Π /2                    2Π             x
                           O            M           Π /2
              -        -


                           Quadrante            I           II                     III                 IV
                           Arco             0       Π /2   Π /2          Π   Π           3 Π /2     3 Π /2           2 Π
                            Sinal                   +            +                   -                      -
                                                    +1     +1                0                                   0
                            Variação                                 0                                -1
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        MSGLINE                           crescente        decrescente           decrescente         crescente
Matemática         Estudo da trigonometria                 Carlos Nadaline

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       Função Seno                 Eixo dos Senos
                     B         M
       +1             b                      A partir de 2Π a função seno
                                             repete seus valores, portanto
                           x                 é uma função periódica.
            A1                       A
                               a
   Variação          O                      A partir de um determinado
   do seno
                                            valor de x ( Π /2), cada vez
        -1                                  que somamos 2 Π , a função
                     B1                     seno assume sempre o mesmo
                                            Valor (+1).
                                            O período da função seno é
                                            P = 2Π .              Anterior

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                                                      Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                      carlosnadaline@hotmail.com
Matemática         Estudo da trigonometria                  Carlos Nadaline

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       Função Seno                 Eixo dos Senos
                     B
       +1                      M
                      b
                                               sen x = Ob
                           x
            A1                       A        sen( x + 2   Π)   = Ob
                               a
   Variação          O
   do seno
                                               sen(x + 4   Π   ) = Ob
        -1                                    sen(x +2k Π ) =Ob
                     B1
                                               k pertencente a Z

                                             sen x = sen( x + 2k       Π   )


                                                     Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                     carlosnadaline@hotmail.com
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       Função Seno                  Eixo dos Senos
                      B                        A função seno é impar
       +1                       M
                       b


                            x
            A1                        A
                                a
   Variação            O
   do seno       sen(-x)    -x
        -1
                                                 sen x = - sen x
                      B1


                                                                    Anterior

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                                                     carlosnadaline@hotmail.com
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            Função Cosseno

                                                                 Anterior

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Carlos Nadaline – 41-9153-5097
9153.5097
carlosnadaline@hotmail.com                                                Função cosseno
               Raio=1       B           M(a,b)                   b ordenada de M
                             b
                                                 x               a abscissa do ponto M
                                    x
         A1                                          A                      M(a,b)
                                        a
                            O                        Eixo das abscissas       A
                                                                              b
                                                                              s
                                                                              c
                                                                              i
                -1          B1          +1                                    s
                                                                              s
                     Variação                                                 a
                     do cosseno

       Eixo dos cossenos                                                  Cosseno x
                                                         ^
              O arco AM mede x, e o ângulo AOM mede x

                                                                  Cosseno x = Oa
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Matemática     Estudo da trigonometria                              Carlos Nadaline

    Estudo da função cosseno
9153.5097

                    y      Ciclo trigonométrico                 e sistema cartesiano
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                                                M
                                 .          .
                                            .           OM´ Cosseno do arco AM
                                     +
                                                    A
                           O             +1 M´
                                                        x




              Sinal do cosseno no 1º quadrante                                           click

                    Variação do cosseno no primeiro quadrante

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                                                cos 0º = 1
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                         Raio = 1       A=M
                                    .
                     O
                                         x




                 Variação do cosseno no primeiro quadrante
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                          M
                                 .                                  cos 90º = 0
                                      1ºQ
                                                                  Estudo da função cosseno
                                         +
                                                     A

                                                            x




    Variação do cosseno no primeiro quadrante                               0º a 90º

  O cosseno no primeiro quadrante é uma função decrescente


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                        .
                                                        AM =180º
                - 2ºQ                                  Cos 180º = -1
        M                                A

                                                x
                                              Estudo da função cosseno



    Variação do cos no segundo quadrante                   90º a 180º
                                                                         Anterior
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                                                      AM =270º
                      .                                 cos 270º = 0

                                      A          Estudo da função cosseno

                3ºQ                          x
                  -

                      M
   Variação do cos no terceiro quadrante                     180º a 270º
                                                                           Anterior
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                   .                                    cos 360º = 1

                                         A
                                                        Estudo da função cosseno
                       4ºQ            M         x
                             +



                                                              270º a 360º
   Variação do cos no quarto quadrante
                                                                            Anterior
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                      M
                              .
                          1
                                           +           A
                      O                                                                                x
                                           Estudo da função cosseno



   Variação do cos no primeiro quadrante                                    0º a 90º
                                                                                          Anterior
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                            0º                90º             180º           270º              360º
               M
                        .
                    +
       -                         +
                                 A
               O                                                                                 x
                                                          -



  Variação do cos no segundo quadrante                                90º a 180º
                                                                                    Anterior
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                      M
                              .

            -                          +
                          +
                                       A
            -         O                                                                          x
                                                  -             -



    Variação do cos no terceiro quadrante                       180º a 270º
                                                                              Anterior
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                  M
                          .
                                   Estudo da função cosseno
                      +                                                                              +
            -
                                       +
            -     O                A                                                                       x
                      +                                         -             -



    Variação do cos no quarto quadrante                                     270º a 360º

  O cos no quarto quadrante é uma função crescente
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   AM =360º
                             .

                +        1
                             +     A
                         O        M                                                           x
            -        -


• O domínio da função cos x é o conjunto dos números reais D = R
• A imagem da função cos x é o intervalo
  [ -1, +1] isto é –1 <= cos x <= 1
•A partir de 2 Π a função cosseno repete seus valores ( função periódica)

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9153.5097
                             y
                                 0º                  90º       180º            270º             360º
                 M
                         .
                     +                                                                      +
            -                         +              A
            -    O                                                                                x
                     +                                     -           -


    Estudo da função cosseno

                                                                      Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                                      carlosnadaline@hotmail.com

                                      Co-senóide
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Estudo da função cosseno
                                                      O gráfico continua à direita de 2 Π
                      y                               e a esquerda de 0 (zero)    Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                               .                                                        carlosnadaline@hotmail.com




                  -        1
                               +      A
                                                                               Π   3 Π /2                   2Π             x
                          O           M           Π /2
              -       +


                          Quadrante           I                  II                      III                IV
                          Arco            0       Π /2        Π /2             Π   Π           3 Π /2    3 Π /2        2 Π
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                           Sinal                  +                   -                    -                     +
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                                          +1                 0                                                        +1
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     Função cosseno                   Eixo dos cossenos
                  B             M
                       b
                                                  cos x = Oa
                            x
            A1                          A
                                a
                      O
                                                 cos x = cos( x + 2k Π )
                 -1   B1        +1                k pertencente a Z
                           Variação
                           do cos



                                                          Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                          carlosnadaline@hotmail.com


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                                           Eixo dos Cossenos
                      B                                  A função cos é par
                                       M


                                  x
            A1                               A   cos x
                      O
                                  -x
                                                     cos x = cos(-x)
                      B1
                 -1               +1

                          Variação                             Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                          do Cosseno                           carlosnadaline@hotmail.com




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       Função Tangente
                                             Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                             carlosnadaline@hotmail.com



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Matemática             Estudo da trigonometria                      Carlos Nadaline

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      Função tangente
                                             Eixo das tangentes

                                                       Definição
                                          Definimos como tangente (do arco AM ou do
                          y            tg
                                          ângulo x) a medida algébrica do segmento AT
                                  M
                                       T
                M´´

                              X

                      O           M´   A
                                                  tg x = AT
                                              x



                                                             Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                             carlosnadaline@hotmail.com


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                                                                    Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                                    carlosnadaline@hotmail.com
      Função tangente
                                                   Eixo das tangentes



                          y            tg        tg x = AT
                                  M
                M´´
                                             T               ∆    OM´M         é semelhante ao
                                                             ∆    OAT

                              X
                                                                  OM´    =    M´M
                      O           M´   A           x              OA           AT
                                                            cos x = sen x
                                                             1           AT

                                                   sen x                 sen x
                                            AT =                 tg x=                  cos x ≠      0
                                                    cos x                cos x
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   Função tangente
     Valores notáveis da tangente:

            x=0            x = 90º                     x = 180º                x = 270º             x = 360º

                      tg
                                    .
                                    M           tg                    tg                      tg                  tg



                  .        tg
                                            A
                                                .                 A                       A                       A
                                                                                                                   .
                                                                                .
            O     A=M           O                    M O                       O                       O          M
                                                                                     M

        tg 0 =0            tg 90º       ∃            tg 180º =0            tg 270º        ∃         tg 360º = 0




                                                                                     Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                                                     carlosnadaline@hotmail.com


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      Função tangente
                                                     Eixo das tangentes

                                                                Gráfico da função tangente
                         y               tg          90º       180º         270º       360º
                                     M   0
                                             +
                                                                      +
                 -        +
                                 X

                     O                           A
                                                     x
                 +           -                                                   -
                                                           -


                                                                tangentóide
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9153.5097



                                                                       Carlos Nadaline – 41-9153-5097
            Variação da função tangente                                carlosnadaline@hotmail.com




             Quadrante      1º Q              2º Q         3º Q                    4º Q


              Arco         0º a 90º           90º a 180º   180º a 270º        270º a 360º

              Sinal                                            +
              Sinal           +                -                                      -

                                   ∞                  0            +   ∞                       0
             Variação     0               -   ∞            0                 -    ∞
                            crescente          crescente       crescente          crescente

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                                                               Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                               carlosnadaline@hotmail.com


      Domínio da função tangente
                                                                   Π
                  Y = tg x        D ={ x pertencente a R / x   ≠            +kΠ }
                                                                    2
                                                                          K pertencente Z
       Imagem da função tangente
        y = tg x é o intervalo ] -        ∞ ,+ ∞ [
                 -   ∞ > tg x < + ∞

            Período da função tangente                                     Π)
                                                       tg x = ( x + k
                     Y = tg x é p =   Π
                                                        k pertencente a Z


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                 A função y = tg x é impar


            y                tg

                         T1           tg x = - tg(-x)
                   x
             o      -x   A        x
                         T2                    Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                               carlosnadaline@hotmail.com


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                                                    carlosnadaline@hotmail.com




                 Função Cotangente


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                                                            carlosnadaline@hotmail.com

Função cotangente
                                    y
                               B             C

                              M´´                M                               cotg


                                        x

                               O            M´          A                  x

                                                     Definição

                                             Cotangente do arco AM
                                             ou do ângulo x é a medida
                                             algébrica do segmento BC
                                              e indicamos:
                                             cotg x = BC
       MSGLINE                                                                   Encerrar
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                                                           carlosnadaline@hotmail.com

Função cotangente
                                      y
                                 B             C

                                M´´                M                             cotg
Os triângulos OM´M e OBC
                                          x
     OM´ = MM´
                                 O        M´           A                  x
     BC OB
                                                                           cos x
       OM´´ = M´M                                          Cotg =         sen x

    OM´ = OM´´           cos x   sen x
                               =                              cos x
                          BC        1              BC =                       sen x   ≠   0
     BC          OB
                                                                sen x
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                                                                     carlosnadaline@hotmail.com

      Função cotangente

  Eixo das cotangentes                                         Gráfico da função cotangente
                         y             tg           90º       180º       270º       360º

                                     M 0
                                            +                        +
                -            +
                                 X

                    O                           A
                                                    x
                +            -
                                                          -                     -


                                                                cotangentóide
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            Variação da função cotangente




             Quadrante     1º Q                 2º Q               3º Q                4º Q


              Arco         0º a 90º             90º a 180º     180º a 270º        270º a 360º

              Sinal                                                  +
              Sinal           +                  -                                         -

             Variação
                          ∞                 0                  +   ∞              0
                                                  -                       0                    ∞
                                  0                    ∞                               -
                           decrescente           decrescente        decrescente       decrescente

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      Domínio da função cotangente
                  Y = cotg x       D ={ x pertencente a R / x ≠ k Π      }
                                                                      K pertencente Z
       Imagem da função cotangente
        y = tg x é o intervalo ] -       ∞ ,+ ∞ [
                  -   ∞ > cotg x < + ∞

            Período da função cotangente            cotg x = ( x + k Π )
                      Y = cotg x é p =    Π
                                                     k pertencente a Z


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                A função y = cotg x é impar


                  cotg x = - cotg(-x)


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            Valores notáveis da função cotangente



                                 x    cotg x

                                 0º       ∃

                                90º       0

                              180º        ∃
                               270º       0
                               360º       ∃
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                                            carlosnadaline@hotmail.com




                  Estudo da trigonometria


             Função: Secante e
                     Cossecante

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Matemática          Estudo da trigonometria                 Carlos Nadaline

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                                                      Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                                      carlosnadaline@hotmail.com


                       sen x
                                        A reta tangente à circunferência
                 D                      no ponto M, intercepta o eixo
                                        das abscissas no ponto S e o
                                        eixo das ordenadas no ponto D.
                 M´´
                               .M
                                           sec x = OS        cossec x = OD

                         x                 S
                                                                       1
                  O            M´   A    cos x        OS =                 = sec x
                                                                   COSX

                                                     OD =
                                                                   1       = cossecx
                                                                sen x

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Matemática                Estudo da trigonometria                       Carlos Nadaline

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                                                                 carlosnadaline@hotmail.com


      Domínio da função secante
                                                                     Π
                     y = sec x      D ={ x pertencente a R / x   ≠            +kΠ }
                                                                      2
                                                                            K pertencente Z
       Imagem da função secante
        y = sec x é o intervalo sec x<= -1 ou sec x >= 1

        Domínio da função cossecante

            y = cossec x
             X   ≠   k Π , k pertencete a Z
            Imagem da função cossecante
             cossec x <= -1 ou cossec x>= 1
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                                          Carlos Nadaline – 41-9153-5097
                                          carlosnadaline@hotmail.com


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                        FIM
 Se querer é poder, querer é vencer.
                       Rui Barbosa
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  • 1. MSGLINE Carlos Nadaline – 41-9153-5097 Trigonometria carlosnadaline@hotmail.com Aplicativos em Multimídia Matemática Trigonometria
  • 2. Carlos Nadaline 41--9153.5097 Matemática Estudo da trigonometria Supervisor Relações métricas no triângulo retângulo MSGLINE Razões trigonométricas no triângulo retângulo Ângulo central Comprimento de um arco Circunferência orientada Circunferência trigonométrica Funções trigonométricas Anterior Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 3. Matemática Carlos Nadaline 41--9153.5097 Estudo da Trigonometria Relações Métricas no Triângulo Retângulo Encerrar Anterior Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 4. Carlos Nadaline 41--9153.5097 Matemática Estudo da trigonometria A Elementos de um triângulo retângulo c B h b n m H a C A + B + C = 180º Encerrar A = 90º Anterior Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 5. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Anterior Elementos de um triângulo retângulo Encerrar BC hipotenusa A (Oposto ao ângulo reto ) c h b H n m B a C AC e AB são os catetos (opostos aos ângulos agudos) AH é a altura relativa a hipotenusa Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 6. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Elementos de um triângulo retângulo A Encerrar Anterior c B h b n m a H C BH e HC são as projeções dos catetos sobre a hipotenusa BC = a AB = c BH = n AH = h AC = b HC = m Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 7. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Relações métricas nos triângulos retângulos 9153.5097 A c B h b n a H m C h2= mn c2= an Anterior b =am 2 ha = bc a2 =b2+c2 Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 8. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Exercícios resolvidos 9153.5097 A Num triângulo retângulo os catetos c e b , medem 8 cm e 6 cm. Calcule: c=8 B h b=6 n a H m C a) hipotenusa a2 = b2 + c2 Anterior a2 = 36 + 64 a2 = 62 + 82 Encerrar 100 a = 10 a= Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 9. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Exercícios resolvidos 9153.5097 A Num triângulo retângulo os catetos c e b , medem 8 cm e 6 cm. Calcule: c=8 B h b=6 a = 10 cm n H m C b) A altura relativa a hipotenusa ha = bc Anterior h = 48 h = 4,8 cm Encerrar h . 10 = 6 . 8 10 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 10. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Exercícios resolvidos A Num triângulo retângulo os catetos c e b , medem 8 cm e 6 cm. Calcule: c=8 B h = 4,8 cm b=6 n a = 10 cm H m C c) Cálculo de m c2 = an 64 Anterior n= n = 6,4 cm Encerrar 8 = 10 . n 2 10 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 11. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Exercícios 9153.5097 A Num triângulo resolvidos retângulo os catetos c e b , medem 8 cm e 6 cm. Calcule: c = 8 B h = 4,8 cm b = 6 m = 3,6 cm a = 10 cm H C c) Cálculo de m m + n = a Anterior n = 6,4 cm Encerrar Encerrar m + 6,4 = 10 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 12. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Exercícios 9153.5097 resolvidos A Num triângulo retângulo os catetos c e b , medem 8 cm e 6 cm. Calcule: c=8 B h = 4,8 cm b=6 n = 6,4 cm m = 3,6 cm a = 10 cm H C d) Cálculo do perímetro p=a+b+c Anterior p = 10 + 6 + 8 = 24 p = 24 cm Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 13. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Exercícios 9153.5097 resolvidos A Num triângulo retângulo os catetos c e b , Encerrar Anterior medem 8 cm e 6 cm. Calcule: c=8 B h = 4,8 cm b=6 n = 6,4 cm m = 3,6 cm a = 10 cm H C e) Cálculo da área S= base . altura S=b.c S=6.8 2 2 2 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 S = 24 cm2 carlosnadaline@hotmail.com
  • 14. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Exercícios 1) Calcule a diagonal de um retângulo de lados iguais a4me3m 2) As diagonais de um losango medem 24 m e 10 m. Calcule a medida do lado desse losango. 3) Um triângulo retângulo e isósceles tem catetos que medem 6 m. Calcule a medida da hipotenusa. 4) Calcule o perímetro de um retângulo, sabendo que sua diagonal mede 18 cm e um dos lados mede 10cm. Anterior Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 15. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Razões trigonométricas 9153.5097 no triângulo retângulo Seno Cosseno Tangente 30º 1/2 3/2 3/3 45º 2 2 ___ ___ 1 2 2 60º 1/2 Anterior 3/2 3 Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 16. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Razões trigonométricas C b Sen B = a a b c Seno Sen C = a Anterior Encerrar A B Carlos Nadaline – 41-9153-5097 c carlosnadaline@hotmail.com
  • 17. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 C Razões trigonométricas c Cos B = a a b b Cosseno Cos C = a Anterior Encerrar A B Carlos Nadaline – 41-9153-5097 c carlosnadaline@hotmail.com
  • 18. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 C Razões trigonométricas b Tg B = c a b c Tg C = Tangente b Anterior Encerrar A B Carlos Nadaline – 41-9153-5097 c carlosnadaline@hotmail.com
  • 19. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Exercício resolvido 9153.5097 Encerrar Anterior Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm e b = 8 cm C a = 10 b=8 B A c c2 = 100 - 64 a2 = b2 + c2 102 = 82 + c2 cCarlos6 cm– 41-9153-5097 = Nadaline carlosnadaline@hotmail.com
  • 20. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Encerrar Exercício resolvido Anterior Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm e b = 8 cm b C Sen B = a a = 10 8 Sen B = b=8 10 A B Sen B = 4 c = 6 cm 5 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 21. Encerrar Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Exercício resolvido Anterior Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm e b = 8 cm c C Cos B = a a = 10 Cos B = 6 b=8 10 A B Cos B = 3 c = 6 cm 5 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 22. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Encerrar Exercício resolvido 9153.5097 Anterior Calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo B no triângulo retângulo em A, sabendo que a = 10 cm e b = 8 cm b C Tg B = c a = 10 8 Tg B = b=8 6 B 4 A Tg B = c = 6 cm 3 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 23. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Matemática do 2º grau Arcos e ângulos Anterior Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 24. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Arcos e Ângulos Anterior Encerrar •Arcos de circunferência Arco de circunferência é cada uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida por dois de seus pontos. A e B pontos quaisquer da circunferência , dividem em duas Partes. Arco de circunferência AB O. . A=B B A o Arco nulo Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 25. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Encerrar 9153.5097 Anterior Medida de um arco Grau 1 Grau é o arco unitário equivalente a da circunferência que o contém. 360 B . . A O m(AB) = 1º Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 26. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Encerrar Anterior Medida de um arco Radiano Radiano é o arco cujo comprimento é igual ao Comprimento do raio da circunferência que o Contém. B A B . . A O m(AB) = 1 rad Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 27. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Encerrar Anterior Medida de um arco Em relação à circunferência, temos: 2Πr A B . . A= B O r m(AB) =2 Π rad Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 28. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 360º corresponde a 2 Π rad 180º corresponde a Π rad Anterior Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 29. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Exemplo resolvido Determine em radianos, a medida do arco 60º 180º Π 60º x 60º. Π x= 180º Π Resposta x = Anterior 3 Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 30. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Encerrar Anterior Exemplo Calcule, em graus, a medida do arco 3 Π x= 4 Resolução x = 3. 180º 4 Resposta x = 135º Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 31. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Encerrar Anterior Arcos e Ângulos Ângulo central B α Ângulo central α O A Ângulo central de uma circunferência é o ângulo que tem o vértice no centro dessa circunferência. Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 32. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Encerrar Anterior Comprimento de um arco Ângulo central B AB arco da circunferência α Determinado por dois pontos, r Medido em radianos. l r A Comprimento da AB ( l = comp. AB) r: raio da circunferência Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 33. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Comprimento de um arco Encerrar Anterior B Sendo α a medida em radianos r α α = l r α l l= r r A α Considerando r=1 l= m(ab) = M( α) Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 34. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Encerrar Circunferência orientada Anterior + Sentido anti-horário . O Sentido horário - Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 35. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Anterior Encerrar Circunferência Orientada Sentido anti-horário m(AB) = 120º + m(BA)=240º B 120º . A Sentido horário . . O m(AB)=-240º 240º m(BA)=-120 - Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 36. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Circunferência orientada Calcule o comprimento de uma pista circular de 30m de raio que descreve um arco de meia volta ( Π rad). Dado: Π = 3,14 Resolução: αΠ = rad l= α r l = 94,20 m l = 3,14 . 30 Anterior Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 37. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Encerrar Anterior Circunferência orientada Calcule o menor ângulo formado pelos ponteiros de um de um relógio que marca 9h 25min. Resolução: A α. 30º + x = 4 x é arco que o ponteiro menor descreveu x quando o ponteiro maior se deslocou da posição A para a posição B α B Minutos Graus 60 30º Cada divisão = 30º x = 12º 30´ 25 x Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 38. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 MSGLINE Encerrar Anterior CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Carlos Nadaline – 41-9153-5097
  • 39. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Anterior Encerrar MSGLINE y Circunferência trigonométrica •Uma circunferência orientada de raio unitário (r = 1) r=1 x A •Um ponto A é a origem de medida de todos os arcos nela contida Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 40. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Encerrar Anterior y Quadrantes 90º ou Π/ 2 rad 2º quadrante 1º quadrante 180º ou 0º ou 0 rad Π rad o A x 3º quadrante 4º quadrante 360º ou 2 Π rad 270º ou 3 Π / 2 rad Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE carlosnadaline@hotmail.com
  • 41. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y Orientação + 2º quadrante 1º quadrante o A x 3º quadrante 4º quadrante Anterior Encerrar - Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 42. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Aplicações resolvidas y Localizar na circunferência trigonométrica os seguintes valores. Π/ 6 II/6 = 30º 180º / 6= 30º o x Anterior Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE carlosnadaline@hotmail.com
  • 43. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Encerrar MSGLINE Arcos trigonométricos Anterior Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Arcos com mesma origem e mesma extremidades podem ser: y • Positivos, quando marcados no sentido anti-horário; . F • Negativos quando marcados no sentido horário; x • Maiores que 360º ou 2 Π rad quando O A têm mais de uma volta; Medida de AF m(AF) = 40º Como AF > 360º ...-680º = -320º = 40º = 400º = 760º... Medidas em graus esses arcos podem ser representados por: X = x0 + 360º . K (K pertencente a Z) x0 a 1º determinação positiva do arco trigonométrico 0 <= x 0< 360º e K número de voltas
  • 44. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Anterior Encerrar Arcos trigonométricos MSGLINE Arcos com mesma origem e mesma extremidades podem ser: y • Positivos, quando marcados no sentido anti-horário; . F • Negativos quando marcados no sentido horário; x • Maiores que 360º ou 2 Π rad quando O A têm mais de uma volta; Medida de AF m(AF) = 40º Como AF > 360º ...-680º = -320º = 40º = 400º = 760º... Medidas em radianos esses arcos podem ser representados por: X = x0 + 2K Π (K pertencente a Z) Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 45. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 ARCOS CÔNGRUOS Dois arcos são côngruos quando a diferença entre eles é um múltiplo de 360º ou 2k Π rad Exemplos: 30 º e 1110º são côngruos 1110º - 30º = 1080º = 3 . 360º 14 Π /3 e 2 Π / 3 são côngruos 14 Π / 3 - 2Π / 3 = 4 Π = 2.2 Π Anterior Encerrar MSGLINE Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 46. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 te en ng Co nte Ta sse ca no sse Co Funções circulares Cotangente nte Sec a Se Anterior no Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática do 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 47. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 FUNÇÃO SENO Anterior Encerrar MSGLINE Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 48. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 + y Ciclo trigonométrico Plano cartesiano Quadrantes 2º quadrante 1º quadrante Sinais - O + x 3º quadrante 4º quadrante Anterior Encerrar - Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática do 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 49. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Eixo das ordenadas A FUNÇÃO SENO Ciclo Trigonométrico O . . A- Origem dos arcos Eixo das abscissas Anterior Encerrar Sistema Cartesiano Ortogonal de origem O Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 50. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Anterior Encerrar Função Seno Eixo dos Senos B +1 M(a,b) b ordenada de M b x a abscissa do ponto M x A1 A a Variação O Eixo das abscissas do seno M(a,b) O R D -1 E N A B1 D A Raio=1 Seno de x ^ Sen x = Ob O arco AM mede x, e o ângulo AOM mede x Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 51. Matemática Estudo da trigonometria click Carlos Nadaline Estudo da função seno 9153.5097 y Ciclo trigonométrico e sistema cartesiano +1 M . . . Seno do arco AM + A O x Sinal do seno no 1º quadrante Variação do Seno no primeiro quadrante Carlos Nadaline – 41-9153-5097 Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com Encerrar Anterior
  • 52. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Estudo da função seno 9153.5097 y AM =0 Seno 0º = 0 1ºQ A=M . x Variação do Seno no primeiro quadrante Anterior Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE carlosnadaline@hotmail.com
  • 53. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y AM =90º M . Seno 90º = 1 1º Q 1 + Estudo da função seno A x Variação do Seno no primeiro quadrante 0º a 90º Anterior O seno no primeiro quadrante é uma função crescente Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 54. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y AM =180º . Seno 180º = 0 + 2ºQ Estudo da função seno M A x Variação do Seno no segundo quadrante 90º a 180º Anterior O seno no segundo quadrante é uma função decrescente Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 55. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y AM =270º . Seno 270º = -1 Estudo da função seno A 3ºQ x - M Variação do Seno no terceiro quadrante 180º a 270º Anterior O seno no terceiro quadrante é uma função decrescente Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 56. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y Estudo da função seno . AM =360º Seno 360º = 0 A 4ºQ - M x Variação do Seno no quarto quadrante 270º a 360º Anterior O seno no quarto quadrante é uma função crescente Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 57. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Estudo da função seno 9153.5097 y 0º 90º 180º 270º 360º M . 1 + A O x Variação do Seno no primeiro quadrante 0º a 90º Anterior O seno no primeiro quadrante é uma função crescente Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 58. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Estudo da função seno Seno 0º = 0 9153.5097 y Seno 90º = 1 AM =180º Seno 180º = 0 . 1 + Sinal + M + + A O x Variação do Seno no 2º quadrante Anterior O seno no segundo quadrante é uma função decrescente Encerrar 90º a 180º Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 59. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Seno 0º = 0 9153.5097 Estudo da função seno y Seno 90º = 1 Seno 180º = 0 AM =270º . Seno 270º = -1 + 1 + + + A O - x - M Variação do Seno no 3º quadrante Anterior O seno no terceiro quadrante é uma função decrescente Encerrar 180º a 270º Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 60. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y Estudo da função seno AM =360º . + 1 + + + A O M x - - - Sinal - - Seno 0º = 0 Seno 90º = 1 Seno 180º = 0 Variação do Seno no 4º quadrante Seno 270º = -1 Seno 360º = 0 Anterior O seno no quarto quadrante é uma função crescente Encerrar 270º a 360º Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 61. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y Estudo da função seno AM =360º . + 1 + A O M x - - Anterior Encerrar senóide Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 62. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 y Estudo da função seno carlosnadaline@hotmail.com AM =360º . + 1 + A O M x - - • O domínio da função sen x é o conjunto dos números reais D = R • A imagem da função sen x é o intervalo [ -1, +1] isto é –1 >= senx x >= 1 •A partir de 2 Π a função seno repete seus valores ( função periódica) MSGLINE Matemática 2º grau Encerrar Anterior
  • 63. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Carlos Nadaline – 41-9153-5097 9153.5097 carlosnadaline@hotmail.com Encerrar y Estudo da função seno Anterior . O gráfico continua à direita de 2 e a esquerda de 0 (zero) Π + 1 + A Π 3 Π /2 2Π x O M Π /2 - - Quadrante I II III IV Arco 0 Π /2 Π /2 Π Π 3 Π /2 3 Π /2 2 Π Sinal + + - - +1 +1 0 0 Variação 0 -1 Matemática 2º grau 0 -1 MSGLINE crescente decrescente decrescente crescente
  • 64. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Função Seno Eixo dos Senos B M +1 b A partir de 2Π a função seno repete seus valores, portanto x é uma função periódica. A1 A a Variação O A partir de um determinado do seno valor de x ( Π /2), cada vez -1 que somamos 2 Π , a função B1 seno assume sempre o mesmo Valor (+1). O período da função seno é P = 2Π . Anterior Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 65. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Encerrar Anterior Função Seno Eixo dos Senos B +1 M b sen x = Ob x A1 A sen( x + 2 Π) = Ob a Variação O do seno sen(x + 4 Π ) = Ob -1 sen(x +2k Π ) =Ob B1 k pertencente a Z sen x = sen( x + 2k Π ) Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 66. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Função Seno Eixo dos Senos B A função seno é impar +1 M b x A1 A a Variação O do seno sen(-x) -x -1 sen x = - sen x B1 Anterior Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com
  • 67. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Função Cosseno Anterior Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática do 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 68. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Carlos Nadaline – 41-9153-5097 9153.5097 carlosnadaline@hotmail.com Função cosseno Raio=1 B M(a,b) b ordenada de M b x a abscissa do ponto M x A1 A M(a,b) a O Eixo das abscissas A b s c i -1 B1 +1 s s Variação a do cosseno Eixo dos cossenos Cosseno x ^ O arco AM mede x, e o ângulo AOM mede x Cosseno x = Oa Anterior Encerrar
  • 69. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Estudo da função cosseno 9153.5097 y Ciclo trigonométrico e sistema cartesiano Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com M . . . OM´ Cosseno do arco AM + A O +1 M´ x Sinal do cosseno no 1º quadrante click Variação do cosseno no primeiro quadrante MSGLINE Matemática 2º grau Encerrar Anterior
  • 70. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y AM =0 cos 0º = 1 Estudo da função cosseno Raio = 1 A=M . O x Variação do cosseno no primeiro quadrante Anterior Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE carlosnadaline@hotmail.com
  • 71. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Carlos Nadaline – 41-9153-5097 9153.5097 carlosnadaline@hotmail.com y AM =90º M . cos 90º = 0 1ºQ Estudo da função cosseno + A x Variação do cosseno no primeiro quadrante 0º a 90º O cosseno no primeiro quadrante é uma função decrescente MSGLINE Matemática 2º grau Anterior Encerrar
  • 72. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y . AM =180º - 2ºQ Cos 180º = -1 M A x Estudo da função cosseno Variação do cos no segundo quadrante 90º a 180º Anterior O cos no segundo quadrante é uma função decrescente Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 73. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y AM =270º . cos 270º = 0 A Estudo da função cosseno 3ºQ x - M Variação do cos no terceiro quadrante 180º a 270º Anterior O cos no terceiro quadrante é uma função crescente Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 74. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y AM =360º . cos 360º = 1 A Estudo da função cosseno 4ºQ M x + 270º a 360º Variação do cos no quarto quadrante Anterior O cos no quarto quadrante é uma função crescente Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 75. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y 0º 90º 180º 270º 360º M . 1 + A O x Estudo da função cosseno Variação do cos no primeiro quadrante 0º a 90º Anterior O cos no primeiro quadrante é uma função crescente Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 76. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Estudo da função cosseno 9153.5097 y 0º 90º 180º 270º 360º M . + - + A O x - Variação do cos no segundo quadrante 90º a 180º Anterior O cos no segundo quadrante é uma função crescente Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE Matemática 2º grau carlosnadaline@hotmail.com
  • 77. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline Matemática 2º grau 9153.5097 y Estudo da função cosseno 0º 90º 180º 270º 360º M . - + + A - O x - - Variação do cos no terceiro quadrante 180º a 270º Anterior O cos no terceiro quadrante é uma função crescente Encerrar Carlos Nadaline – 41-9153-5097 MSGLINE carlosnadaline@hotmail.com
  • 78. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y 0º 90º 180º 270º 360º M . Estudo da função cosseno + + - + - O A x + - - Variação do cos no quarto quadrante 270º a 360º O cos no quarto quadrante é uma função crescente Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com MSGLINE Matemática 2º grau Anterior Encerrar
  • 79. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Estudo da função cosseno Carlos Nadaline – 41-9153-5097 y carlosnadaline@hotmail.com AM =360º . + 1 + A O M x - - • O domínio da função cos x é o conjunto dos números reais D = R • A imagem da função cos x é o intervalo [ -1, +1] isto é –1 <= cos x <= 1 •A partir de 2 Π a função cosseno repete seus valores ( função periódica) MSGLINE Matemática 2º grau Anterior Encerrar
  • 80. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 y 0º 90º 180º 270º 360º M . + + - + A - O x + - - Estudo da função cosseno Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Co-senóide MSGLINE Matemática 2º grau Anterior Encerrar
  • 81. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Estudo da função cosseno O gráfico continua à direita de 2 Π y e a esquerda de 0 (zero) Carlos Nadaline – 41-9153-5097 . carlosnadaline@hotmail.com - 1 + A Π 3 Π /2 2Π x O M Π /2 - + Quadrante I II III IV Arco 0 Π /2 Π /2 Π Π 3 Π /2 3 Π /2 2 Π Encerrar Sinal + - - + Anterior +1 0 +1 Matemática 2º grau Variação 0 -1 -1 0 0 MSGLINE decrescente decrescente crescente crescente
  • 82. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Função cosseno Eixo dos cossenos B M b cos x = Oa x A1 A a O cos x = cos( x + 2k Π ) -1 B1 +1 k pertencente a Z Variação do cos Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com MSGLINE Anterior Encerrar
  • 83. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Eixo dos Cossenos B A função cos é par M x A1 A cos x O -x cos x = cos(-x) B1 -1 +1 Variação Carlos Nadaline – 41-9153-5097 do Cosseno carlosnadaline@hotmail.com MSGLINE Anterior Encerrar
  • 84. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Função Tangente Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Anterior Encerrar MSGLINE Matemática do 2º grau
  • 85. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Função tangente Eixo das tangentes Definição Definimos como tangente (do arco AM ou do y tg ângulo x) a medida algébrica do segmento AT M T M´´ X O M´ A tg x = AT x Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com MSGLINE Anterior Encerrar
  • 86. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Função tangente Eixo das tangentes y tg tg x = AT M M´´ T ∆ OM´M é semelhante ao ∆ OAT X OM´ = M´M O M´ A x OA AT cos x = sen x 1 AT sen x sen x AT = tg x= cos x ≠ 0 cos x cos x MSGLINE Anterior Encerrar
  • 87. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Função tangente Valores notáveis da tangente: x=0 x = 90º x = 180º x = 270º x = 360º tg . M tg tg tg tg . tg A . A A A . . O A=M O M O O O M M tg 0 =0 tg 90º ∃ tg 180º =0 tg 270º ∃ tg 360º = 0 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com MSGLINE Anterior Encerrar
  • 88. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Função tangente Eixo das tangentes Gráfico da função tangente y tg 90º 180º 270º 360º M 0 + + - + X O A x + - - - tangentóide MSGLINE Anterior Encerrar
  • 89. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 Variação da função tangente carlosnadaline@hotmail.com Quadrante 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q Arco 0º a 90º 90º a 180º 180º a 270º 270º a 360º Sinal + Sinal + - - ∞ 0 + ∞ 0 Variação 0 - ∞ 0 - ∞ crescente crescente crescente crescente MSGLINE Encerrar Anterior
  • 90. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Domínio da função tangente Π Y = tg x D ={ x pertencente a R / x ≠ +kΠ } 2 K pertencente Z Imagem da função tangente y = tg x é o intervalo ] - ∞ ,+ ∞ [ - ∞ > tg x < + ∞ Período da função tangente Π) tg x = ( x + k Y = tg x é p = Π k pertencente a Z MSGLINE Anterior Encerrar
  • 91. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 A função y = tg x é impar y tg T1 tg x = - tg(-x) x o -x A x T2 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com MSGLINE Anterior Encerrar
  • 92. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Função Cotangente MSGLINE Encerrar Anterior
  • 93. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Função cotangente y B C M´´ M cotg x O M´ A x Definição Cotangente do arco AM ou do ângulo x é a medida algébrica do segmento BC e indicamos: cotg x = BC MSGLINE Encerrar
  • 94. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Função cotangente y B C M´´ M cotg Os triângulos OM´M e OBC x OM´ = MM´ O M´ A x BC OB cos x OM´´ = M´M Cotg = sen x OM´ = OM´´ cos x sen x = cos x BC 1 BC = sen x ≠ 0 BC OB sen x MSGLINE Anterior Encerrar
  • 95. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Função cotangente Eixo das cotangentes Gráfico da função cotangente y tg 90º 180º 270º 360º M 0 + + - + X O A x + - - - cotangentóide MSGLINE Anterior Encerrar
  • 96. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Variação da função cotangente Quadrante 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q Arco 0º a 90º 90º a 180º 180º a 270º 270º a 360º Sinal + Sinal + - - Variação ∞ 0 + ∞ 0 - 0 ∞ 0 ∞ - decrescente decrescente decrescente decrescente MSGLINE Anterior Encerrar
  • 97. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Domínio da função cotangente Y = cotg x D ={ x pertencente a R / x ≠ k Π } K pertencente Z Imagem da função cotangente y = tg x é o intervalo ] - ∞ ,+ ∞ [ - ∞ > cotg x < + ∞ Período da função cotangente cotg x = ( x + k Π ) Y = cotg x é p = Π k pertencente a Z MSGLINE Anterior Encerrar
  • 98. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com A função y = cotg x é impar cotg x = - cotg(-x) MSGLINE Anterior Encerrar
  • 99. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Valores notáveis da função cotangente x cotg x 0º ∃ 90º 0 180º ∃ 270º 0 360º ∃ MSGLINE Anterior Encerrar
  • 100. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Estudo da trigonometria Função: Secante e Cossecante MSGLINE Anterior Encerrar
  • 101. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com sen x A reta tangente à circunferência D no ponto M, intercepta o eixo das abscissas no ponto S e o eixo das ordenadas no ponto D. M´´ .M sec x = OS cossec x = OD x S 1 O M´ A cos x OS = = sec x COSX OD = 1 = cossecx sen x MSGLINE Anterior Encerrar
  • 102. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com Domínio da função secante Π y = sec x D ={ x pertencente a R / x ≠ +kΠ } 2 K pertencente Z Imagem da função secante y = sec x é o intervalo sec x<= -1 ou sec x >= 1 Domínio da função cossecante y = cossec x X ≠ k Π , k pertencete a Z Imagem da função cossecante cossec x <= -1 ou cossec x>= 1 MSGLINE Anterior Encerrar
  • 103. Matemática Estudo da trigonometria Carlos Nadaline 9153.5097 Carlos Nadaline – 41-9153-5097 carlosnadaline@hotmail.com MSGLINE INFORMÁTICA LTDA FIM Se querer é poder, querer é vencer. Rui Barbosa Anterior Encerrar