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Ciclo trigonométrico
Chamamos de ciclo trigonométrico a propriedade da trigonometria no círculo que
mantém os valores iguais que repetem periodicamente.
Seja uma circulo de raio r = 1, desenhada sobre os eixos cartesianos e separada em 4
partes iguais.
.
Cada ¼ do círculo chamamos de quadrante.
O sentido da contagem será sempre positivo para anti horário e negativo, para sentido
horário.
Seno de um ângulo
Seja um ponto P qualquer do 1º quadrante, chamamos de seno do ângulo x (senx), a
distância da projeção do ponto P no eixo y até a origem do sistema cartesiano.
Seja P0, P1, P2,...P10 os diferentes pontos
do círculo e x o ângulo central formado
pelo P0 e P1.
O senx é o comprimento do segmento
pintado em roxo, projetado no eixo y.
Observamos que o comprimento do
segmento é o mesmo para P1,P5,P7 eP10.

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.
Da mesma forma, o ângulo central y, formado pelo Po e P2 também possui o seny
pintado em pink, repetindo nos pontos P2,P4, P8, P10.
Por esse motivo, é chamado de ciclo trigonométrico.
Os ângulos são sempre centrais(o vértice coincide com o centro) e um dos lados está
apoiado no eixo x.
Os valores de senx nos principais pontos do círculo são:
grau 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
rad 0
6
π
4
π
3
π
2
π π
2
3π π2
Sen 0
2
1
2
2
2
3 1 0 1− 0
Estudo de sinais:
No 1º quadrante(0 a
2
π
): senx varia de 0 até 1 → cresce positivamente.
No 2º quadrante (
2
π
a π ): senx varia de 1 até 0 → decresce positivamente.
No 3º quadrante (π a
2
3π
):: senx varia de 0 até -1 → decresce negativamente.
No 4º quadrante (
2
3π
a 2π ):: senx varia de -1 até 0 → cresce negativamente.

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Senx para outros quadrantes.
Embora não tenha a necessidade de saber todos os valores de seno
de um ângulo qualquer, convém saber os valores principais que
estão na tabela e os seus múltiplos.
Como é um ciclo, já sabemos que os valores se repetem, para saber o seno do
múltiplo desses valores, é necessário reduzir ao primeiro quadrante.
Redução para 1º quadrante
Regra: Senx = sinal do quadrante . sem(ângulo maior – ângulo menor), onde um
dos valores é x e o outro será 180º( ou π) quando está no 2º e 3º quadrante, ou 360°
(ou 2π) se x está no 4° quadrante.
Ex1: Determine:
a) sen120°
Resolução: senx está no 2° quadrante(90° a 180°), por isso o seu sinal é +.
Sen120° = +sen(180° - 120°) = sen60° =
2
3
b) sen330° = - sen(360° - 330°) = - sen30° = -
2
1
c) sen
4
5π
= - sen(
2
2
4
)
4
45
()
4
5
−=−=
−
=−
πππ
π
π
sensen
Nesse caso, observe que
4
5π
é
4
.5
π
é múltiplo de
4
π
, logo, e como
4
π
= 45°
basta saber em que quadrante está localizado.
Isso vale para
6
π
,
3
π
e outros.
Cosseno de um ângulo
Seja um ponto P qualquer do 1º quadrante, chamamos de cosseno do ângulo x (cosx), a
distância da projeção do ponto P no eixo x até a origem do sistema cartesiano.

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Na figura ao lado, o cosx é o segmento
colorido de verde, no eixo x e o cosy é o
segmento colorido de pink.
Da mesma forma que o seno, os valores
são cíclicos.
Os valores do cosx nos pontos notáveis são:
grau 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
rad 0
6
π
4
π
3
π
2
π π
2
3π π2
Sen 0
2
1
2
2
2
3 1 0 -1 0
Cos 1
2
3
2
2
2
1 0 -1 0 1
Estudo de sinais do cosx
No 1º quadrante(0 a
2
π
): cosx varia de 1até 0 →
decresce positivamente.
No 2º quadrante (
2
π
a π ): cosx varia de 0 até -1 →
decresce negativamente.
No 3º quadrante (π a
2
3π
):: senx varia de -1 até 0 → cresce negativamente.
No 4º quadrante (
2
3π
a 2π ):: cosx varia de 0 até 1→ cresce positivamente.
***A técnica de redução ao 1º quadrante é o mesmo do senx.
Ex. Calcule:
a) cos240°
Resolução: cos240° = -cos(240 – 180°) = -cos60° = -1/2
b) cos
2
3
6
cos
6
67
cos)
6
7
cos(
6
7
−=−=




 −
−=−−=
πππ
π
ππ

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Se for acima de 360°???
Neste caso, deve dividir por 360º para saber quantas voltas foi dada e pegar o valor
do resto para calcular. O resto da divisão indica onde se localiza o valor de x.
Ex: calcule o valor de sen870°
Significa que em 870° foi dada 2 voltas e parou em 150º, logo
sen870° = sen150º = sem(180°-150º) = sen30º = 1/2
Se for um ângulo negativo???
Isso significa que está no sentido horário. Então calcule quanto falta para
completar 360° para saber a localização exata desse ângulo.
Ex: Calcule:
Cos( – 300°) = cos (360º - 300°) = cos30º =
2
3
Calcule os valores de:
a)sen315°
b)cos240°
c) sen-120°
d)cos630°
e) sen-330°
f) cos-750º
g) sen 





−
3
π
h) cos π6
i) sen 





2
13π
j) cos 





−
6
5π
k) cos2100º
l) sen330º - cos 2460°
m)cos540° + sen1560°
Respostas:
a) -
2
2
; b) -
2
1
; c) -
2
3
; d) 0; e)
2
1
; f)
2
3
; g) -
2
3
; h) 1; i)1; j) -
2
3
k) -1
m) -1+
2
3

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Propriedade dos arcos complementares
De acordo com a tabela abaixo,
grau 0º 30º 45º 60º 90º 180º 270º 360º
rad 0
6
π
4
π
3
π
2
π π
2
3π π2
Sen 0
2
1
2
2
2
3 1 0 -1 0
Cos 1
2
3
2
2
2
1 0 -1 0 1
observamos que sen30° = cos 60°; cos30° = sen60°, sen45º = cos 45º; sen0º = cos90°.
Podemos concluir que quando os ângulos são complementares (soma = 90°), então os
valores de senx = cosseno do seu complemento.senx = cox(90-x).
Representação geral:
Senx = Cos(
2
π
-x) ou cosx = sen(
2
π
-x ) ou senx = cox(90-x).
Exemplo de exercícios:
Simplifique a expressão:
senxx
xxsen
−−−
+−
)
2
cos(
cos)
2
(
π
π
Resolução:
Substituindo sen(
2
π
-x ) por cosx e Cos(
2
π
-x) por senx, temos:
senxx
xxsen
−−−
+−
)
2
cos(
cos)
2
(
π
π
=
senx
x
senx
x
senxsenx
xx cos
2
cos2coscos
−=−=
−−
+
(mais tarde chamaremos de
cotgx).

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Simplifique:
a)
senxx
xxsen
.cos
)
2
cos().
2
( −−
ππ
b)
)
2
cos()
2
(
)
2
()
2
cos(
xxsen
xsenx
−−−−
−+−
ππ
ππ
c)
senxx
xxsen
+
−+−
cos
)
2
cos()
2
(
ππ
respostas:
a) 1; b) -1; c) 1