Leandro Rios Leão
 A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas 
alternativas de investimentos ou financiamentos de ...
 JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre 
o capital inicial emprestado ou aplicado. 
 ...
 A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão 
incluídas: compras a médio e longo prazo, co...
 A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, 
para um determinado período. Ela vem normalme...
 O REGIME de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas 
sobre o valor principal. Sobre os juros gera...
 Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. 
pelo REGIME de juros simples e devemos pagá-la em...
 Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. 
Montante = Principal + Juros 
Montante = Principal + ( Princi...
1) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um 
empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo...
Podemos transformar a taxa ou o tempo, depende de como achar melhor, e 
também podemos resolver seguindo os cálculos de tr...
2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total 
de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era d...
푖 = 
0,024∗1 
1 
12 
= 0,024 ∗ 1 ∗ 12 ⇒ 푖 = 0,288 a.a 
Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: 
C= 27.000 
i = 0...
3) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 
3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de ...
Resolvendo: 
3 
= 
푛 
1 
3,5 
⇒ 푛 = 3 ∗ 3,5 = 10,5 푏푖푚푒푠푡푟푒푠 
Identificando-se os termos disponíveis, temos: 
C = 52.000 
...
Substituindo o valor dos termos temos: 
푖 = 
22.932 
52.000∗10,5 
= 0,042 
Logo a taxa é: 
4,2 % a.b
4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total 
de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da t...
Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: 
푖 = 
푗 
퐶 ∗ 푛 
푖 = 
450 
2000 ∗ 30 
= 0,0075 
Logo: 
i = 0,75%
 Conforme estudado no tópico juros simples, vimos que o valor dos juros 
apurado a cada período não é acrescentado ao val...
Os dados para o cálculo dos juros são: 
C=R$ 100.000,00 
i=1% a.m 
N=100 meses 
Na modalidade de juros simples teríamos: 
...
Substituindo j pela fórmula de juro: 
푀 = 퐶 + 퐶 ∗ 푖 ∗ 푛 ⇒ 푀 = 퐶 ∗ 1 + 푖 ∗ 푛 
푀 = 100000 ∗ 1 + 0,0푖 ∗ 100 
푀 = 100000 ∗ 2 =...
Ou seja, tomaríamos cem mil e pagaríamos duzentos mil. Cem mil de juros e 
mais cem mil referentes ao valor principal. 
Vo...
A seguir temos a fórmula para o cálculo na modalidade de juro composto: 
푀 = 퐶 ∗ (1 + 푖)푛 
Substituindo as variáveis: 
푀 =...
 Na modalidade de juros compostos pagaríamos R$ 170.481,38 de juros, 
bem mais que os R$ 100.000,00 da modalidade de juro...
1) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., 
quanto receberei de volta após um ano de aplicação...
 Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar com o 
período de tempo em meses e não em anos como está no ...
Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor do montante: 
푀 = 15000 ∗ 1,01712 
푀 = 15000 ∗ 1,224197 
푀 = 1...
2) Paguei de juros um total de R$2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a 
uma taxa de juros composto de 1,4% a.m. Qual foi...
C= 
푀 
(1+푖)푛 
Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao invés disto temos a 
variável j, no entanto sabemos q...
OBRIGADO!!!
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Matemática financeira

719 visualizações

Publicada em

Slides

Publicada em: Economia e finanças
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
719
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
1
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
7
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Matemática financeira

  1. 1. Leandro Rios Leão
  2. 2.  A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.  Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.  Juros: Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois REGIMES: simples ou compostos.
  3. 3.  JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.  JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.  O juro é a remuneração pelo empréstimo do DINHEIRO. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
  4. 4.  A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc.  Raramente encontramos uso para o REGIME de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas
  5. 5.  A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere: 8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).  Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %: 0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)
  6. 6.  O REGIME de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros.  Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos: 퐽 = 푃 ∗ 푖 ∗ 푛 Onde: J = juros P = principal (capital) i = taxa de juros n = número de períodos  OBS: O P pode ser representado também por C.
  7. 7.  Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo REGIME de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão: J = 1000 x 0.08 x 2 = 160
  8. 8.  Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante. Montante = Principal + Juros Montante = Principal + ( Principal x Taxa de juros x Número de períodos ) 푀 = 푃 ∗ (1 + 푖 ∗ 푛 )  Exemplo: Calcule o montante resultante da aplicação de R$70.000,00 à taxa de 10,5% a.a. durante 145 dias. SOLUÇÃO: M = P . ( 1 + (i.n) ) M = 70000 [1 + (10,5/100).(145/360)] = R$72.960,42  Observe que expressamos a taxa i e o período n, na mesma unidade de tempo, ou seja, anos. Daí ter dividido 145 dias por 360, para obter o valor equivalente em anos, já que um ano comercial possui 360 dias.
  9. 9. 1) Comprei um novo computador, mas como não tinha o dinheiro todo, fiz um empréstimo para pagá-lo. Ao final do empréstimo terei pago R$ 4.300,00. Só de juros pagarei R$ 1.800,00. A taxa foi de 3% a.m. Por quantos anos pagarei pelo empréstimo? Qual o preço do computador sem os juros. Primeiramente iremos calcular o valor do capital. A diferença entre o montante (R$ 4.300,00) e o valor total do juro (R$ 1.800,00), nos dá o valor do capital: M= R$ 4.300,00 J= R$ 1.800,00 M=C+J => C=M-J => C=4300-1800 = 2500
  10. 10. Podemos transformar a taxa ou o tempo, depende de como achar melhor, e também podemos resolver seguindo os cálculos de transformação. Ex: 퐽 = 푃 ∗ 푖 ∗ 푛 => 1800 = 2500*0,36*n 푛 = 1800 900 = 2 푎푛표푠 0,03 푖 = 1 12 1 ⇒ 푖 = 0,03 ∗ 1 1 12 ⇒ 푖 = 0,03 ∗ 1 ∗ 12 = 0,36 푎. 푎
  11. 11. 2) Comprei o material para a reforma da minha casa, pelo qual pagarei um total de R$ 38.664,00. O seu valor à vista era de R$ 27.000,00 e a taxa de juros é de 2,4% a.m. Por quantos anos eu pagarei por este material? Em primeiro lugar, devemos calcular o valor do juro total. Obtemos o valor do juro total ao subtrairmos do montante (R$ 38.664,00), o valor do capital (R$ 27.000,00) M= 38.664 C= 27.000 퐽 = 푀 − 퐶 = 38.664 − 27.000 ⇒ 푗 = 11.664 Observe que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Nestas condições, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:
  12. 12. 푖 = 0,024∗1 1 12 = 0,024 ∗ 1 ∗ 12 ⇒ 푖 = 0,288 a.a Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: C= 27.000 i = 0,288 J = 11.664 Para calcular o período (tempo): 푛 = 11.664 27.000 ∗ 0,288 Logo: n = 1,6 anos
  13. 13. 3) Aninha retirou de uma aplicação o total R$ 74.932,00, após decorridos 3,5 semestres. O valor dos juros obtidos foi de R$ 22.932,00. Qual a taxa de juros a.b.? Inicialmente o valor do capital será obtido subtraindo-se do montante (R$ 74.932,00), o valor total do juro (R$ 22.932,00): M = 74.932 J = 22.932 C = M-J = 52.000 Veja bem que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Sendo assim, devemos converter uma das unidades. Montando uma regra de três simples direta, temos:
  14. 14. Resolvendo: 3 = 푛 1 3,5 ⇒ 푛 = 3 ∗ 3,5 = 10,5 푏푖푚푒푠푡푟푒푠 Identificando-se os termos disponíveis, temos: C = 52.000 J = 22.932 n = 10,5 bimestres Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: 푖 = 푗 퐶 ∗ 푛
  15. 15. Substituindo o valor dos termos temos: 푖 = 22.932 52.000∗10,5 = 0,042 Logo a taxa é: 4,2 % a.b
  16. 16. 4) O valor principal de uma aplicação é de R$ 2.000,00. Resgatou-se um total de R$ 2.450,00 após 1 mês. Qual o valor da taxa de juros a.d.? Para começar, devemos calcular o valor do juro total subtraindo-se do montante (R$ 2.450,00), o valor do capital (R$ 2.000,00): M = 2.450 C = 2.000 J = M-C = R$ 450 Esteja atento que neste caso a taxa de juros e o período não estão na mesma unidade de tempo. Quando isto acontece, devemos converter uma das unidades. Identificando-se as variáveis disponíveis, temos: C = 2.000 J = 450 n = 1 mês = 30 dias
  17. 17. Para calcularmos a taxa de juros utilizaremos a fórmula: 푖 = 푗 퐶 ∗ 푛 푖 = 450 2000 ∗ 30 = 0,0075 Logo: i = 0,75%
  18. 18.  Conforme estudado no tópico juros simples, vimos que o valor dos juros apurado a cada período não é acrescentado ao valor principal, por isto, na prática tal modalidade de juros não é utilizada pelas instituições financeiras.  Vejamos a seguinte situação:  Alguém toma R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros de 1% a.m., qual é o valor total que deverá ser pago após 100 meses?
  19. 19. Os dados para o cálculo dos juros são: C=R$ 100.000,00 i=1% a.m N=100 meses Na modalidade de juros simples teríamos: J=C*i*n Para o cálculo do montante utilizaremos a fórmula: M=C+j
  20. 20. Substituindo j pela fórmula de juro: 푀 = 퐶 + 퐶 ∗ 푖 ∗ 푛 ⇒ 푀 = 퐶 ∗ 1 + 푖 ∗ 푛 푀 = 100000 ∗ 1 + 0,0푖 ∗ 100 푀 = 100000 ∗ 2 = 200000 Ou seja, tomaríamos cem mil e pagaríamos duzentos mil. Cem mil de juros e mais cem mil referentes ao valor principal. Você acha muito? Veja então o cálculo na modalidade de juro composto: Os dados para o cálculo seriam os mesmos:
  21. 21. Ou seja, tomaríamos cem mil e pagaríamos duzentos mil. Cem mil de juros e mais cem mil referentes ao valor principal. Você acha muito? Veja então o cálculo na modalidade de juro composto: Os dados para o cálculo seriam os mesmos: C = R$ 100000 i= 1% a.m n=100 meses
  22. 22. A seguir temos a fórmula para o cálculo na modalidade de juro composto: 푀 = 퐶 ∗ (1 + 푖)푛 Substituindo as variáveis: 푀 = 퐶 ∗ (1 + 0,01)100 푀 = 100000 ∗ 1,01100 푀 = 100000 ∗ 2,7048138 푀 = 270481,38 Isto é, pagaríamos um montante de R$ 270.481,38. A diferença de R$ 70.481,38 entre o cálculo realizado na modalidade juros simples e o cálculo na modalidade de juros compostos se refere aos juros que foram cobrados sobre os próprios juros apurados no período.
  23. 23.  Na modalidade de juros compostos pagaríamos R$ 170.481,38 de juros, bem mais que os R$ 100.000,00 da modalidade de juros simples. Esta diferença será percentualmente maior, quanto maior forem a taxa de juros e o período da operação.  Apenas a título de exemplo, os mesmos R$ 100.000,00 emprestados, a uma taxa de juros de 5% a.m., após 240 meses produzirão um juros total de R$ 1.200.000,00 na modalidade simples e de R$ 12.173.857.374,22 na modalidade composta.  Percebeu porque não é interessante se manter uma dívida de cartão de crédito ou de cheque especial por um longo período de tempo?
  24. 24. 1) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido neste período? Primeiramente vamos identificar cada uma das variáveis fornecidas pelo enunciado do problema: C=R$15.000 i=1,7% a.m n= 1 ano
  25. 25.  Como a taxa de juros está em meses, também iremos trabalhar com o período de tempo em meses e não em anos como está no enunciado do problema.  Pelo enunciado identificamos que foram solicitados o montante e o juro, utilizaremos, portanto a fórmula abaixo que nos dá o montante: 푀 = 퐶 ∗ 1 + 푖 푛 Ao substituirmos cada uma das variáveis pelo seu respectivo valor teremos: 푀 = 15000 ∗ 1 + 0,017 12
  26. 26. Podemos então realizar os cálculos para encontramos o valor do montante: 푀 = 15000 ∗ 1,01712 푀 = 15000 ∗ 1,224197 푀 = 18362,96 Logo o montante a receber será de R$ 18.362,96. Sabemos que a diferença entre o montante e o capital aplicado nos dará os juros do período. Temos então: 푗 = 푀 − 퐶 푗 = 18362,96 − 15000 푗 = 3362,96 Portanto: Após um ano de aplicação receberei de volta um total de R$ 18.362,96, dos quais R$ 3.362,96 serão recebidos a título de juros.
  27. 27. 2) Paguei de juros um total de R$2.447,22 por um empréstimo de 8 meses a uma taxa de juros composto de 1,4% a.m. Qual foi o capital emprestado? Em primeiro lugar vamos identificar as variáveis fornecidas pelo enunciado: j=R$ 2447,22 n=8 meses i=1,4% a.m Como sabemos a fórmula básica para o cálculo do juro composto é: 푀 = 퐶 ∗ 1 + 푖 푛 Mas como estamos interessados em calcular o capital, é melhor que isolemos a variável C como a seguir:
  28. 28. C= 푀 (1+푖)푛 Note que a variável M não consta no enunciado, mas ao invés disto temos a variável j, no entanto sabemos que o valor do montante é igual à soma do valor principal com o juro do período, então temos:
  29. 29. OBRIGADO!!!

×